4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

- pe o porţiune Γ 1 a frontierei se cunosc deplasările u i ;
- pe o porţiune Γ 2 a frontierei se cunoaşte încărcarea exterioară t i .
Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) se aplică astfel:
- prima încărcare este încărcarea reală t i (necunoscută pe Γ 1 ),
care produce deplasările u i (necunoscute pe Γ 2 );
- a doua încărcare este o forţă concentrată unitate aplicată într-un
punct al frontierei, pentru care se cunosc, din soluţia fundamentală,
în toate punctele, deplasările şi tensiunile.
Frontiera Γ, a domeniului D, a corpului care se studiază, se
discretizează, adică se împarte în porţiuni, definite prin noduri. Între
două sau mai multe noduri se definesc elemente de frontieră, în
lungul cărora se consideră că deplasările şi încărcarea exterioară au
variaţii cunoscute. În acest scop se folosesc funcţii de interpolare.
Astfel se obţin elemente de frontieră de diverse tipuri, pentru
aproximarea conturului corpului în plan (elemente liniare) sau în
spaţiu (elemente de suprafaţă sau de volum).
Frecvent se folosesc aceleaşi funcţii de interpolare [N (k) i ] atât
pentru deplasările u i cât şi pentru încărcarea t i , astfel încât, pentru
elementul de frontieră k, se scriu
u i = [N (k) i ]{u (k) }, t i = [N (k) i ]{t (k) },
în care {u (k) } şi {t (k) } sunt valorile nodale (de pe frontieră) ale
deplasărilor, respectiv ale încărcărilor.
Metoda elementelor de frontieră duce la obţinerea unui sistem de
ecuaţii algebrice lineare de forma
[A] {u}=[B] {t}, (3.36)
în care: {u} şi {t} sunt vectorii deplasărilor, respectiv încărcărilor
nodale (de pe frontieră); [A] – matricea de influenţă a deplasărilor;
[B] – matricea de influenţă a încărcărilor.
Sistemul de ecuaţii (3.36) are o configuraţie oarecare, adică este
nesimetric şi „plin”, iar necunoscutele sale sunt definite în nodurile
reţelei prin care a fost discretizată frontiera: în unele noduri
deplasările u i , iar în altele încărcarea t i .
Dacă ecuaţiile se grupează convenabil, sistemul (3.36) se poate
scrie sub forma
n
c
n c
u
c n
t
A A B
B
c n ,
u
t
100