Curs 3 - Agenda - Profs.info.uaic.ro

<strong>Curs</strong> 3 - <strong>Agenda</strong>
recursie
arbori binari
aplicatie: reprezentarea expresiilor ca arbori
coada cu prioritati si max-heap
colectii de multimi disjuncte si “union-find”
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Subprograme recursive
subprogramul f() apeleaza direct
subprogramul g() daca blocul care defineste
f() include un apel al lui g()
subprogramul f() apeleaza indirect
subprogramul g() daca f() apeleaza direct un
subprogram h() si h() apeleaza direct sau
indirect g()
f() este definit recursiv daca se
autoapeleaza direct sau indirect
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Subprograme recursive: Fibonacci
function fibRec(n)
if (n

Fibonacci – nerecursiv
function fib(n)
if (n

Functii recursive: conversie binara
procedure convert(x)
1.if (x != 0)
2.then convert(x/2)
3. print(x % 2)
}
convert(12)
convert(6)
convert(3)
1100
110
11
0
1 3
3 3
6 3
12 3
x adr.retur
convert(1)
convert(0)
1
─
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare
stiva
arborele apelurilor

Functii recursive: turnurile din Hanoi
sursa intermediar destinatie
sursa intermediar destinatie
sursa intermediar destinatie
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Functii recursive: turnurile din Hanoi
procedure muta(n, a, b, c)
// a = sursa
// b = destinatia
// c = intermediar
if (n = 1)
then print(a, “->”, b);
else muta(n-1, a, c, b);
print(a, “->”, b);
muta(n-1, c, b, a);
end
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Tipul de date abstract ArbBin
‣ obiecte : arbori binari
• un arbore binar este o colectie de noduri cu
proprietatile:
1.orice nod are 0, 1 sau 2 succesori (fiii, copiii)
2.orice nod, exceptand unul singur – radacina, are
un singur nod predecesor (tata, parintele)
3.radacina nu are predecesori
4.fiii sunt ordonati: fiul stang, fiul drept (daca un
nod are un singur fiu, trebuie mentionat care)
5.nodurile fara fii formeaza frontiera arborelui
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Arbori binari: exemplu
C
E
G
K
A
M
D
B
L
F
I
H
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Arbori binari: definitia recursiva:
• arborele cu nici un nod (vid) este arbore
binar
• daca v este un nod si t1, t2 sunt arbori
binari atunci arborele care are pe v ca
radacina, t1 subarbore stang al radacinii si
t2 subarbore drept al radacinii, este arbore
binar
v
t1
t2
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin: operatii
insereaza()
• intrare:
un arbore binar t, adresa unui nod cu
cel mult un fiu (tatal noului nod), tipul
fiului adaugat (stinga, dreapta) si
<strong>info</strong>rmatia e din noul nod
• iesire
arborele la care s-a adaugat un nod ce
memoreaza e; noul nod nu are fii
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin: inserare
C
E
G
K
A
M
D
X
B
L
F
I
H
Y
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin: eliminare
elimina()
• intrare:
un arbore binar t, adresa un nod fara
fii si adresa nodului-tata
• iesire
arborele din care s-a eliminat nodul de
pe frontiera dat
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin: eliminare
C
E
G
K
A
M
D
B
L
F
I
H
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin :parcurgere preordine
parcurgePreordine()
• intrare
un arbore binar t, o procedura
viziteaza()
• iesire
arborele binar t dar cu nodurile procesate
cu viziteaza()in ordinea:
• radacina (R)
• subarborele stanga (S)
• subarborele dreapta (D)
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin :parcurgere preordine - exemplu
C
E
G
K
A
M D
B
L
F
I
H
C, E, K, B, H, A, L, F, G, M, D, I
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin :parcurgere inordine
parcurgeInordine()
• intrare
un arbore binar t, o procedura
viziteaza()
• iesire
arborele binar t dar cu nodurile procesate
cu viziteaza()in ordinea S R D
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin :parcurgere inordine - exemplu
C
E
G
K
A
M D
B
L
F
I
H
K, H, B, E, L, A, F, C, M, G, I, D
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin: parcurgere postordine
parcurgePostordine()
• intrare
un arbore binar t, o procedura
viziteaza()
• iesire
arborele binar t dar cu nodurile procesate
cu viziteaza()in ordinea S D R
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin: parcurgere BFS
parcurgeBFS()
• intrare
un arbore binar t, o procedura
viziteaza()
• iesire
arborele binar t dar cu nodurile procesate
cu viziteaza()in ordinea BFS (pe
nivele)
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin: parcurgere BFS - exemplu
C
E
G
K
A
M D
B
L
F
I
H
C, E, G, K, A, M, D, B, L, F, I, H
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin : implementare cu structuri inlantuite
reprezentarea obiectelor
C
E
G
K
A
M
D
B
L
F
I
H
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

ArbBin : structura unui nod
un nod v este o structura cu trei campuri:
• v->inf /* <strong>info</strong>rmatia memorata in nod */
• v->stg /* adresa fiului stanga */
• v->drp /* adresa fiului dreapta */
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Arbori binari: parcurgePreordine()
procedure parcurgePreordine(v)
if (v = NULL)
then return
else viziteaza(v)
parcurgePreordine(v->stg)
parcurgePreordine(v->drp)
end
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Arbori binari: implementarea parcurgerii BFS
C
E
G
K
A
M D
Coada =
( C E G K A M D )
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Arbori binari: implementarea parcurgerii BFS
procedure parcurgeBFS(t)
begin
if (t = NULL)
then return
else C ← (t)
while (not esteVida(C))
citeste(C, v)
viziteaza(v)
elimina(C)
if (v→stg ≠ NULL)
then insereaza(C, v->stg)
if (v→drp ≠ NULL)
then insereaza(C, v->drp)
end
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Aplicatie: expresii intregi
Expresii intregi
• definitie
• exemple
Reprezentarea expresiilor ca arbori
• similaritati intre cele doua definitii
• arborele asociat unei expresii
• notatiile pref-, in- si postfixate si parcurgeri
ale arborilor
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Definitia expresiilor intregi
::= ... –2 | -1 | 0 | 1 | 2 ...
::=
|
| ()
::= + | − | * | / | %
reguli de precedenta
12-5*2 este (12-5)*2 sau 12-(5*2)
reguli de asociere
15/4/2 este (15/4)/2 sau 15/(4/2)?
15/4*2 este (15/4)*2 sau 15/(4*2)?
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Expresiile reprezentate ca arbori
-12 + 17 * 5 – (43 + 34 / 21 * 66)
−
+ +
-12
* 43 *
17 5
/
66
34 21
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Notatiile postfixate si prefixate
notatia postfixata se obtine prin parcurge
postordine
-12 17 5 * + 43 34 21 / 66 * + -
notatia prefixata se obtine prin parcurge
preordine
- + -12 * 17 5 + 43 * / 34 21 66
−
+ +
-12
* 43
*
17 5 /
34 21
66
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Coada cu prioritati: tip de data abstract
obiecte de tip data: structuri de date in care
elementele sunt numite atomi; orice atom un
camp-cheie numit prioritate
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Coada cu prioritati:operatii
citeste
• intrare: o coada cu prioritati C
• iesire: atomul din C cu cheia cea mai mare
elimina
• intrare: o coada cu prioritati C
• iesire: C din care s-a eliminat atomul cu
cheiaceamaimare
insereaza
• intrare: o coada cu prioritati C si un atom
at
• iesire: C la care s-a adaugat at
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

maxHeap
arbori binari completi cu proprietatea: pentru
orice nod, cheia din acel nod este mare decit
sau egala cu cheile din nodurile fii
exemplu
12
9 8
7 1
3
4
5 2
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

maxHeap: eliminarea
12
9 8
7 1
3
4
5 2
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

maxHeap: inserarea
12
10
9 8
7 1
3
4
5 2
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

maxHeap:implementarea cu tablouri
(∀k) 1 ≤ k ≤ n-1 ⇒ a[k] ≤ a[(k-1)/2]
12 9 8 7 1 3 4 5 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
12
0
9 8
1
2
7 1
3
3
4
4 5 6
5 2
7 8
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

maxHeap: inserare
procedure insereaza(a, n, cheie)
begin
n ← n+1
a[n-1] ← cheie
j ← n-1
heap ← false
while ((j > 0) and not heap) do
k ← [(j-1)/2]
if (a[j] > a[k])
then swap(a[j], a[k])
j ← k
else heap ← true
end
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

maxHeap - elimina
procedure elimina(a, n)
begin
a[0] ← a[n-1]
n ← n-1
j ← 0
heap ← false
while ((2*j+1 < n) and not heap) do
k ← 2*j+1
if ((k < n-1) and (a[k] < a[k+1]))
then k ← k+1
if (a[j] < a[k])
then swap(a[j], a[k])
j ← k
else heap ← true
end
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

maxHeap: timp de executie
inaltime (adancime) arbore = lungimea celui
mai lung drum de la radacina la frontiera
lungime drum = numar arce
n =2 k+1 -1
inaltime arbore = k = log (n+1)-1
operatiile inserare/eliminare necesita timpul
O(inaltime abore) = O(log n)
0
1
2
3 4 5 6
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Colectii de multimi disjuncte: tip de data abstract
obiecte: colectii de submultimi disjuncte (partitii) ale
unei multimi univers
operatii:
• find()
intrare: o colectie C, un element x din univers
iesire: submultimea din C la care apartine x
• union()
intrare: o colectie C, doua elemente x si y din
univers
iesire: C in care componentele lui x si resp. y
sint reunite
• single()
intrare: o colectie C, un element x din univers
iesire: C la care componenta lui x are pe x ca
unic element
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Colectii de multimi disjuncte: “union-find”
structura “union-find”
• multimea univers = {0,1, ..., n-1}
• submultime = arbore
• colectie = padure
• reprezentarea unei paduri prin legatura
parinte
6
5 9
2
1 3 0
8
7
parinte
5 6 6 -1 8 -1 -1 9 5 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare

Colectii de multimi disjuncte: “union-find”
function find(C, i)
begin
temp ← i
while (parinte[temp] >= 0) do
temp ← parinte[temp]
return temp
end
procedure union(C, i, j)
begin
ri ← find(i)
rj ← find(j)
if (ri ≠ rj)
then parinte[rj] ← ri
end
Dorel Lucanu
Algoritmica si programare