DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR Prezent˘am ... - SSMR

4 Modele de lecţii⎛Soluţie: Scriem A = I 3 + B, unde B = ⎝ 0 0 0⎞2 0 0⎠. Cum I 3 B = BI 3 , putem0 3 0⎛aplica formula binomului lui Newton. Avem B 2 = ⎝ 0 0 0⎞0 0 0⎠, iar B k este matriceanulă pentru orice k ≥ 3. Obţinem aşadar A n = ⎝ 2n 1 0⎠.3n(n − 1) 3n 06 0 0⎛⎞1 0 0⎛Exemplul 8. Fie A = ⎝ 1 1 0⎞1 0 1⎠. Determinaţi A n , n ∈ N.0 1 1⎛Soluţie: Scriem A = C −B, unde C = ⎝ 1 1 1⎞ ⎛1 1 1⎠ iar B = ⎝ 0 0 1⎞0 1 0⎠. Avem1 1 11 0 0C · B = B · C = C şi C 2 = 3C. Se demonstrează prin inducţie că pentru oricek ∈ N avem: C · B k = B k · C = C, C n = 3 n−1 C, B 2k = I 3 şi B 2k+1 = B. Prinurmare, A n = (C − B) n = 1 3 (2n − (−1) n )C + (−1) n B n .⎛Exemplul 9. Fie A = ⎝ k 2 − k −1⎞2 − k (k − 1) 2 k ⎠. Să se arate că există−1 k 2 − kdouă matrice B, C ∈ M 3 (R) astfel încât A n = B n + C n .⎛Soluţie: Alegem următoarele matrice: B = ⎝ k − 1 1 0⎞1 0 1 ⎠0 1 1 − k⎛şi C = ⎝ 1 1 − k −1⎞1 − k (k − 1) 2 k − 1⎠. Evident, A = B + C, iar BC este matricea−1 k − 1 1nulă. Considerând n ∈ N ∗ şi aplicând formula binomului lui Newton relaţieiA = B + C rezultă A n = B n + C n , toţi ceilalţi termeni fiind nuli. 4. Metoda şirurilor recurente poate fi aplicată fie direct, fie împreună( cu relaţia ) Hamilton-Cayley. Aplicarea ei directă constă în a nota 3 A n =an b nşi a utiliza relaţia Ac n d n+1 = A · A n pentru a stabili formule denrecurenţă (cu interdependenţe!) pentru şirurile (a n ) n , (b n ) n , (c n ) n şi (d n ) n .Din acestea obţinem formule de recurenţă pentru fiecare din şiruri ; pe bazaacestora şi a valorilor iniţiale date de A 0 = I 2 , A 1 , A 2 , . . . se determină formulelegenerale ale respectivelor şiruri şi, consecutiv, A n .3 Metoda funcţionează şi pentru matricele din Mn(C) cu n ≥ 3, considerând un numărcorespunzător de şiruri.