DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR Prezent˘am ... - SSMR

6 Modele de lecţiiSoluţie: A 2 =⎛⎝ 1 8 80 9 320 0 25⎞⎛⎠, A 3 = ⎝1 26 720 27 1960 0 125⎞⎛⎠, A 4 = ⎝1 80 4640 81 10880 0 625Poziţiile în⎛care regularităţile nu sunt evidente sunt (1, 3) şi (2, 3); bănuim însăcă A n = ⎝ 1 ⎞3n − 1 a n0 3 n a n + 5 n − 1 ⎠. Din A n+1 = A · A n deducem a n =0 0 5 n3a n−1 +2(5 n−1 −1). Această relaţie ne conduce ⎛la a n = 5 n −2·3 n +1. Mai trebuiedoar să verificăm prin inducţie că A n = ⎝ 1 3n − 1 5 n − 2 · 3 n ⎞+ 10 3 n 2(5 n − 3 n ) ⎠.0 0 5 nPrezentăm acum un exemplu în care aplicăm metoda şirurilor recurenteutilizând şi relaţia Hamilton-Cayley:( )3 2Exemplul 13. Se consideră matricea A = ∈ M1 42 (C). DeterminaţiA n , n ∈ N.Soluţie: Avem Tr(A) = 7 şi det(A) = 10. Relaţia Hamilton-Cayley pentrumatricea A este deci A 2 − 7A + 10I 2 = 0; ea ne permite să scriem şi A n =7A n−1 − 10 · A n−2 pentru orice n ≥ 2. De aici obţinem imediat prin inducţieexistenţa a două şiruri (a n ) n şi (b n ) n astfel încât A n = a n A + b n I 2 pentru oricen ∈ N. În plus, şirurile (a n) şi (b n ) n au aceeaşi ecuaţie caracteristică, şi anumer 2 − 7r + 10 = 0. Ţinând cont de relaţiile a 0 = b 1 = 0 şi a 1 = b 0 = 1, obţinema n = 5n −2 n3, b n = 2·2n −2·5 n3, iar A n = a n A + b n I 2 =( 5 n +2 n+135 n −2 n32(5 n −2 n )32·5 n +2 n3⎞⎠.).4. Folosind polinomul caracteristic ([GG], [II])Fie A = (a ij ) i,j=1,n ∈ M n (C). Polinomul caracteristic al matricei A esteprin definiţie f A = det(XI n − A) = X n − (a 11 + a 22 + ... + a nn )X n−1 + ... +(−1) n det(A) ∈ C(X). Rădăcinile ecuaţiei caracteristice f A = 0 se numescvalorile proprii ale matricei A.Pentru matricele pătratice de ordinul doi şi trei, polinoamele caracteristice suntf A = X 2 − Tr(A)X + det(A)I 2 , respectiv f A = X 3 − Tr(A)X 2 + Tr(A ∗ )X −det(A)I 3 unde Tr(A ∗ ) este egal cu suma minorilor diagonali de ordinul doi aimatricei A.Teorema Cayley - Hamilton Orice matrice pătratică verifică propria saecuaţie caracteristică, respectiv f A (A) = 0.Teoremă Dacă A ∈ M n (C), m ∈ N, şi r este restul împărţirii lui X m la f Aatunci A m = r(A).Observaţie: Calculul unei puteri A m , A ∈ M n (C), m ≥ n, revine la a determinaun polinom matriceal de grad mai mic sau egal cu n+1 ai cărui coeficienţi