DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR Prezent˘am ... - SSMR

I. M. Maşca, Determinarea puterilor unei matrice 7se găsesc uşor dacă se cunosc rădăcinile ecuaţiei caracteristice.Pentru cazul matricelor de ordinul doi şi trei, se obţine A m = a m A + b m I 2 ,pentru A ∈ M 2 (C), respectiv A m = a m A 2 + b m A + c m I 3 , A ∈ M 3 (C).Demonstraţia existenţei şirurilor din cele două relaţii se realizează prin inducţie.Exemplul 14. Să se calculeze A n pentru matricea A =( )1 1, n ∈ N.−1 3Soluţie: Ecuaţia caracteristică asociată matricei A este x 2 − 4x + 4 = 0 cusoluţia dublă x 1 = x 2 = 2. Aplicând teorema împărţirii cu rest pentru polinoame,rezultă că X n = (X − 2) 2 g(X) + a n X + b n .Pentru x = 2 deducem că 2a n + b n = 2 n . Derivând relaţia de mai sus, obţinemnX n−1 = (X − 2)(...) + a n .Pentru x = 2, rezultă a n = n2 ( n−1 şi de aici b n = 2 n (1 − n). Obţinem2A n = n · 2 n−1 A + 2 n (1 − n)I 2 =n−1 (2 − n) n · 2 n−1 )−n · 2 n−1 2 n−1 . (2 + n)⎛Exemplul 15. Să se calculeze A n pentru matricea A = ⎝ 1 0 0⎞0 2 −3⎠,0 1 −1n ∈ N.Soluţie: Ecuaţia caracteristică asociată matricei A este x 3 − 2x 2 + 2x − 1 = 0cu valorile proprii x 1 = 1 şi x 2 = x 3 = 1±i√ 32. Aplicând teorema împărţirii curest obţinem X n = (X − 1)(X 2 − X − 1)g(X) + a n X 2 + b n X + c n I 3 , de undese obţine A n = a n X 2 + b n X + c n I 3 .Pentru x = 1 se obţine a n + b n + c n = 1 şi din faptul că ε este o rădăcină aecuaţiei x 2 − x + 1 = 0 avem relaţia a n ε 2 + b n ε + c n = ε n , care este echivalentăcu (a n + b n )ε + c n − a n = ε n , unde ε 3 = −1.Avem situaţiile:{an + b n + c n = 11. Dacă n = 6k, k ∈ N se obţine sistemul(a n + b n ) 1±i√ 32+ c n − a n = 1,din care avem: a n = b n = 0 şi c n = 1, prin urmare ⎧ A n = I 3 .⎪⎨ a n + b n + c n = 12. Dacă n = 6k + 1, k ∈ N se obţine sistemul c n − a n = 0⎪⎩a n + b n = 1,cu soluţia a n = c n = 0 şi b n = 1 şi atunci A n = A.Procedând analog, constatăm că:3. Pentru n = 6k + 2, k ∈ N se obţine A n = A 2 .4. Pentru n = 6k + 3, k ∈ N avem A n = 2A 2 − 2A + I 3 .5. Dacă n = 6k + 4, k ∈ N avem A n = 2A 2 − 3A + 2I 3 .6. Pentru n = 6k + 5, k ∈ N avem A n = A 2 − 2A + 2I 3 .