DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR Prezent˘am ... - SSMR

I. M. Maşca, Determinarea puterilor unei matrice 5Exemplul 10. Se consideră matricea A =)∈ M 2 (C). DeterminaţiA n , n ∈ N.Soluţie: Notăm A n =⎧a ⎪⎨ n+1 = a n + 3c nc n+1 = 4a n − 3c nb n+1 = b n + 3d n⎪⎩(1 34 −3( )an b n, n ∈ N. Din Ac n d n+1 = A · A n deducem:nDin primele două relaţii obţinem c n = −a n + 5a n−1 şid n+1 = 4b n − 3d napoi a n = −2a n−1 + 15a n−2 , n ≥ 2. Ecuaţia caracteristică a şirului (a n ) n estedeci r 2 + 2r − 15 = 0; ea are rădăcinile 3 şi −5. Prin urmare, există α, β ∈ Castfel încât a n = α · 3 n + β · (−5) n . De aici şi din a 0 = a 1 = 1 obţinem unsistem de ecuaţii cu soluţia α = 3 4 , β = 1 4 . Prin urmare, a n = 3n+1 +(−5) n4; cumc n = −a n + 5a n−1 , obţinem c n = 3n −(−5) n2.Procedând analog, obţinem b n = 3n+1 −3·(−5) n8şi d n = 3n +3·(−5) n4. Prin urmare,A n =(3 n+1 +(−5) n43 n −(−5) n23 n+1 −3·(−5) n83 n +3·(−5) n4)(cosExemplul 11. Fie A =2 x sin 2 )xsin 2 x cos 2 . Determinaţi Axn , n ∈ N.( )Soluţie: Punând A n an b=nşi aplicând procedeul descris mai susb n a nobţinem a n+1 = (a+b)n+1 +(a−b) n+12şi b n+1 = (a+b)n+1 −(a−b) n+1)2. Aşadar,((a+b) n +(a−b) n(a+b) n −(a−b) n2(a+b) n +(a−b) n2A n =2(a+b) n −(a−b) n. Dar a + b = 1 şi a − b = cos 2x, deci2A n = 1 (1 + cos n 2x 1 − cos n )2x2 1 − cos n 2x 1 + cos n . 2xDe obicei, aplicăm metoda şirurilor recurente dacă după calculul câtorvaputeri ale lui A nu putem observa regularităţi care să ne permită scriereadirectă a formei generale a lui A n . Menţionăm că există situaţii ,,mixte”, încare pentru unele poziţii ale matricei se observă regularităţi, iar pentru altelenu. În această situaţie, vom utiliza şiruri recurente numai pentru poziţiile caremai prezintă semne de întrebare. Prezentăm în acest sens:Exemplul 12. Se consideră matricea A =⎠ ∈ M 3 (C). DeterminaţiA n , n ∈ N.⎛⎝ 1 2 00 3 40 0 5⎞