Probleme de examen

2 SEMINAR 6. EXAMINARE6.1.1 Soluţia problemelor din setul nr. 1Observaţie Programele MATLAB de implementare a algoritmilor elaboraţi sunt prezentaţi în AnexaProblema 1. Matricea dată A ∈ IR n×n are elemente nenule numai pe diagonală şi pe primacoloană, astfel A este o matrice inferior triunghiulară cu următoarea structură.⎡A =⎢⎣a. Exploatând structura matricei avem:( ∑µ = ‖A‖ 1 = maxj=1:nν = ‖A‖ ∞ = maxi=1:n⎤a 11 0 0 · · · 0a 21 a 22 0 · · · 0a 31 0 a 33 · · · 0.... ... ⎥ .. ⎦a n1 0 0 · · · a nni=1:n( ∑j=1:n|a ij||a ij|))= max(= max( ∑i=1:n√ √√√a n∑ n∑ρ = ‖A‖ F = √ a 2 ij = 211 +i=1 j=1|a 11|, maxi=2:n)|a i1|, max (|ajj|) ,j=2:n)(|a i1| + |a ii|)n∑(a 2 i1 + a2 ii ).Astfel, un algoritm eficient care calculează cele trei norme ale matricei este:1. µ = 02. pentru i = 1 : n1. µ = µ + |a i1|3. pentru j = 2 : n1. dacă |a jj| > µ1. µ = |a jj|4. ν = |a 11|5. pentru i = 2 : n1. σ = |a i1| + |a ii|2. dacă σ > ν1. ν = σ6. ρ = a 2 117. pentru i = 2 : n1. ρ = ρ + a 2 i1 + a 2 ii8. ρ = √ ρb. Sistemul Ax = b, unde b ∈ IR n este dat, este inferior triunghiular şi are o soluţie unicădatorită faptului că matricea A este nesingulară, întrucât a ii ≠ 0 oricare ar fi i = 1 : n. Pentrua calcula x vom adapta algoritmul de substituţie înainte la structura matricei A. Ecuaţia i estea i1x 1 + a iix i = b i, aşadar vom folosi formula x i = (b i − a i1x 1)/a ii. Algoritmul estei=2,1. x 1 = b 1/a 112. pentru i = 2 : n1. x i = (b i − a i1x 1)/a ii