Probleme de examen

4 SEMINAR 6. EXAMINAREAlgoritmul explicit este=⎡⎢⎣⎤1/a 11 0 · · · 0−a 21/(a 22a 11) 1/a 22 · · · 0... ... ⎥ .. ⎦a n1/(a nna 11) 0 · · · 1/a nn1. x 11 = 1/a 112. pentru i = 2 : n1. x i1 = −a i1/(a 11a ii)3. pentru j = 2 : n1. pentru i = 1 : n1. x ij = 02. x jj = 1/a jjcu acelaşi număr de operaţii (flops) N fl ≈ 3n cu solutia 1.Observaţie. O soluţie e suficientă pentru a obţine punctajul maxim.Problema 2. a. Algoritmul de factorizare Crout fără pivotare pentru o matrice inferiorHessenberg H = L ∗ U poate fi obţinut în aceeaşi manieră ca şi algoritmul general (vezi cursul),calculând, în ordine directă, o coloana a matricei inferior triunghiulare L şi linia corespunzătoare amatricei superior triunghiulare unitate U. Utilizând identitatea⎡⎤h 11 h 12 · · · 0 0. h 21 h .. 22 0 0⎢... .. . ... ..=⎥⎣⎦h n−1,1 h n−1,2 · · · h n−1,n−1 h n−1,nh n1 h n2 · · · h n,n−1 h nn⎡⎤ ⎡⎤l 11 0 · · · 0 0 1 u 12 · · · u 1,n−1 u 1nl 21 l 22 · · · 0 00 1 · · · u 2,n−1 u 2n=⎢... ... ... ..⎥ ⎢... ... ... ..⎥⎣l n−1,1 l n−1 · · · l n−1,n−1 0⎦ ⎣0 0 · · · 1 u⎦n−1,nl n1 l n2 · · · l n,n−1 l nn 0 0 · · · 0 1putem continua după cum urmează.Pas 1. Avem h i1 = l i1 ∗ 1, astfel l i1 = h i1, i = 1 : n. Atunci h 1,j = l 11 ∗ u 1j, astfel u 12 = h 12/l 11,şi u 2j = 0 pentru j = 3 : n. Observaţi că matricea U este bidiagonală pe prima linie.Pas k. Presupunem că am calculat primele k − 1 coloane ale matricei L şi primele k − 1 liniiale matricei U şi că matricea U este superior bidiagonală pe primele k − 1 linii. Avem h ik =l i,k−1 ∗ u k−1,k + l ik ∗ 1, astfell ik = h ik − l i,k−1 ∗ u k−1,k , i = 1 : n.Atunci, h k,j = l kk ∗ u kj şi datorită faptului că u kj = 0 pentru j = k + 2 : n avemu k,k+1 = h k,k+1 /l kk si u kj = 0 pentru j = k + 1 : n.Astfel, matricea U este bidiagonală pe linia k. Prin inducţie, matricea U va fi superior bidiagonală.Expresiile de mai sus pentru elementele matricelor L şi U duc la următorul algoritm Croutadaptat pentru matrice inferioare Hessenberg.