Probleme de examen

6 SEMINAR 6. EXAMINARE1. β 1 = (∑ mi=1 i1) u2 /22. τ = (∑ )mi=1 ui1bi /β13. pentru i = 1 : m1. x i = b i − τu i1,cerând N fl ≈ 6m operaţii (flops).Problema 4. (10p) Problema cere un algoritm care să calculeze m − 1 rotaţii G 1, G 2, . . . ,G m−1 astfel încât G m−1 . . . G 2G 1b = αe m, unde α = ‖b‖ 2, deci avem nevoie să transformăm în zeroprimele elemente ale vectorului b. Pentru a face asta să calculăm matricea de rotaţie P ij pentrui < j astfel încât (P ijb)(i) = 0. Scalarii c şi s trebuiesc să fie o soluţie a sistemului{c 2 + s 2 = 1cerinţă care este satisfacută, de exemplu, dec =cb i + sb j = 0b j−b i√b , s = √b .2i+ b 2 2ji+ b 2 jFolosind astfel de rotaţii porblema este rezolvată dacă luăm spre exemplu G kîncât secvenţa următoareb ← P 1,m . . . P m−2,mP m−1,mb = αe mreprezintă schema de calcul.= P m−k,m , astfelAlgoritmul este1. pentru i = m − 1 : −1 : 11. Se calculează c i, s i adică rotaţia P im, astfel încât (P imb)(i) = 02. b ← P imb.1. pentru i = m − 1 : −1 : 11. ρ = √ b 2 i + b2 m2. c i = b m/ρ3. s i = −b i/ρ4. b i = 05. b m = ρşi necesită m − 1 extrageri de radical şi 5(m − 1) operaţii (flops).6.2 Setul de probleme nr. 21. Care sunt permutările de linii realizate când se aplică algoritmul GP P matricei A =[ 1 4 12 4 31 −3 −12. Fie A ∈ IR n×n o matrice inferior Hessenberg (a ij = 0, pentru j > i+1) având toate submatriceleA(1 : k, 1 : k) nesingulare.a. Scrieţi un algoritm eficient care să calculeze norma Frobenius a matricei A.b. Adaptaţi algoritmul de eliminare gaussiană (fără pivotare) pentru matricea A.c. Scrieţi un algoritm detaliat pentru rezolvarea sistemului A −p x = b, unde p ≥ 2 şi b ∈ IR nsunt de asemenea date.].