soluÅ£ii Åi barem

More documents

Recommendations

Info

Concursul interjudetean de matematica al Revistei SINUSEditia a II-a, Suceava, 18 noiembrie 2006Etapa finalaClasa a X-a1. Stiind ca ( ∃) xy , ∈¡+pentru care 7 y = 9 si 5 x = 4 sa se determine semnul expresiei3 2 2 3E( x,y)= x + xy− xy − y .Solutie: Expresia se aduce la forma E( x,y) ( x y) 2( x y)Pentru x< y⇒ E( x, y)< 0.= + − .yx y yPentru x≥ y, din 7 = 9 ⇒ y > 1, iar din 4 = 5 ≥5 ⇒4 ≥ 5 . Atunci :yy4 5 ⎛5⎞5 4 5≥ = 28 45y ⎜ ⎟ > ⇒ > ⇔ > (fals). Deci x9 7 ⎝7⎠7 9 7Felicia Boeru si Constantin Boeru,SlatinaSINUS 1(4)/2006< y si atunci E( x, y ) < 0.2. Se considera numerele reale a1, a2, K , a n, strict pozitive, cu proprietatea ca a a a ndemonstreze ca2 22 2aa1 2logaa2 3 ⎛loga loga n 1 n ⎞ ⎛ a−a n 1 ⎞22 2 21+2+ L + = 1.⎛log⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + L + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ≥ n .⎝ a1 ⎠ ⎝ a2 ⎠ ⎝ an−1 ⎠ ⎝ an⎠Livia Balaci, SuceavaSolutie: Putem scrie:2 22 2⎡ log ( . . )1 2log2 3log logCBS⎛ aa ⎞ ⎛ aa ⎞ ⎛ aan 1 n ⎞ ⎛ aan 1 ⎞ ⎤−2 2 2⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + L+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥⎡a1 + a2+ + a ⎤n≥a1 a2 an−1a ⎣ L ⎦⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n⎣⎠ ⎥⎦n( a 2 a 3La n a 1) ( a 2 a 3 a n a 1)2 22 2≥ log a + log a + + log a + log a ≥ n log a ⋅ log a ⋅⋅⋅ log a ⋅ log a = n .1 2 n−1 n 1 2 n−1nS-a tinut cont ca a , a , a ∈( 0,1)1 2Knsi caa1 2 a23 a n 1log a ,log a , K ,log a > 0.3. Consideram triunghiul ABC si fie M un punct din plan. Sa se arate ca, daca alegem punctele N si Pastfel încât triunghiurile ABC, NBM si NAP sa fie direct asemenea, atunci patrulaterul APMC esteparalelogram (eventual degenerat).Catalin Tigaeru, SuceavaSolutie: Vom nota cu a, b, c, m, n si p afixele punctelor respectiv A, B, C, M, N si P. Din ipoteza, avema−b n−b n−a= = .c−b m− b p−aa−b n−ba−b n−b( m−n)( a−b)Din = , deducem = , de unde ( 1 ) c− a=.c−b m−bc−a m−nn−bn−b n−an−b n−ap−n n −aDin = deducem ca = , de unde = .m−b p−am−n p−nm−n n−bSa se
PANBMC( )( )p−m b−am−n b−aMai departe avem = , ceea ce conduce la ( 2 ) p− m=.m−n n−bn−bDin ( 1)si ( 2)se obtine c− a=−( p−m),ceea ce înseamna ca patrulaterul APMC este un paralelogram,eventual degenerat.
Page 1 and 2: Clasa a IV-a1. Suma a 3 numere este
Page 3 and 4: Concursul interjudetean de matemati
Page 7 and 8: Clasa a VI-a1. Fie unghiul ascutit
Page 17: ceea ce, dupa ce trecem totul într
Page 21 and 22: Solutie: a1= 1, a2= 1, a3= 8, a4= 3
Page 23: Astfel G( x+ 6) − G( x) = G( x+ 6

soluÅ£ii Åi barem

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

soluÅ£ii Åi barem