soluţii şi barem

Concursul interjudetean de matematica al Revistei SINUSEditia a II-a, Suceava, 18 noiembrie 2006Etapa finalaClasa a XII-a1. Pe multimea finita M consideram operatia asociativa ”o ”, care are proprietatea ca existaa Mx y≠ a, ∀ xy , ∈Maox = ao x ⇒ x = x , ∀ x, x ∈M \ a .∈ astfel încât o ( ) si1 2 1 2 ( ) 1 2 { }Sa se arate ca exista b∈ M\{ a}astfel încât a a=b bo o si sa se dea un exemplu de o operatie cuaceasta proprietate definita pe o multime cu trei elemente.Catalin Tigaeru, SuceavaSINUS 3(6)/2006xo y≠ a, ∀ xy , ∈Mrezulta ca functia f : M M f x = ao x nu este surjectivaSolutie: Din ( )( Im f M \{ a}a→ , ( )a⊆ ), deci nici injectiva ( deoarece M este finita ). Atunci exista x1 ≠ x2astfel caaox1 = ao x2. Din conditia aox1 = ao x2 ⇒ x1 = x2, ( ∀) x1, x2∈M \{ a}rezulta ca unul din cele douaelemente x1,x2este egal cu a si celalalt este diferit de a. Fie x1 = ax ,2= b ≠ a care verifica egalitateaaoa=a o b .Cum operatia "" o este asociativa atunci ( a a) b=a ( a b)( aoa) ob= ( aob) ob=ao( bo b). Obtinem ca a ( a b) = a ( b b)o o o o . Dar aoa=a o b decio o o o . Cum ao b≠a, bo b≠a rezulta ca:aob= bo b . Dar aoa=a o b , deci aoa=b o b .Un exemplu de astfel de operatie este descrisa de tabelul urmator:o c b ac c b bb b c ca b c c24x1 x2. Sa se calculeze ∫+ ⋅ edx, x > 0.x xGheorghe Marchitan, Suceava2'4x+ 1 ⎛ 1 ⎞ ' ⎛ 1 ⎞Solutie: ∫ ⋅ edx x = 4 x edx x 4 x( e x ) dx 2 edxxx x∫⎜ + ⎟ = − ⎜ ⎟ =⎝ x x∫ ∫⎠ ⎝ x⎠( )xxxe e e 22x−1 e= 4e x− 2∫ dx − 2 + 2x x∫xdx= + Cx x3. Fie f :¡ → ¡ o functie ce admite primitive si îndeplineste conditia:f ( x− 1) + f ( x+ 1 ) = x+ f ( x) ,( ∀)x∈¡.Sa se arate ca exista a ∈( 0,6)astfel încât f ( a ) = 3.Marius Marchitan, Suceavag: ¡ → ¡,g x = f x − x ce admite primitive. Relatia din ipoteza se rescrieSolutie: Fie ( ) ( )g( x− 1) + x− 1+ g( x+ 1) + x+ 1= x+ g( x)+ x, adica ( ) ( ) ( ) ( )Atunci g( x+ 3) = g( x+ 2) − g( x+ 1) =− g( x), deci g( x) g( x 3) 0, ( ) x .G( x+ 3 ) + G( x) = c,( ∀)x∈¡ , unde G g( x) dx.∈ ∫ag x− 1 + g x+ 1 = g x , ∀ x∈¡.+ + = ∀ ∈ ¡ Rezulta