Revista Educatia Financiara pe Intelesul Tuturor nr. 27 / 2020

4 EDUCAŢIA FINANCIARĂ PE ÎNŢELESUL TUTUROR
Matematici financiare
În matematica Un exemplu financiară de de utilizare în a abordarea a noțiunilor temei de de matematică ”Dobânzi” în în finanțe, și în demonstrațiile pus în în valuare prezentate, și și în în cadrul
care se bazează Un exemplu de utilizare noțiunilor de matematică în finanțe, pus în valuare și în cadrul
curriculumului pe compararea național diferitelor
la la clasele scheme
a a X-a de este dobânda, reprezentat se pot
de de introduce legătura proprietățile
dintre funcția
curriculumului național la clasele a X-a este reprezentat de legătura dintre funcția
exponențială și și schemele de de dobândă.
funcției exponențiale si exponențială ideile de baza și schemele ale demonstrațiilor dobândă. acestora. Practic, prezentăm activități
și exerciții
În
care permit analiza proprietăților funcției exponențiale, fără ca funcția exponențială
În matematica financiară în în abordarea temei ”Dobânzi” și și în în demonstrațiile prezentate, care se se
să apară formal în exerciții. În matematica financiară în abordarea temei ”Dobânzi” și în demonstrațiile prezentate, care se
bazează pe pe compararea diferitelor scheme de de dobânda, se se pot introduce proprietățile funcției
Astfel, pe de o bazează parte, pe proprietățile compararea diferitelor primesc semnificație scheme de dobânda, si explicație se pot introduce intuitivă proprietățile foarte funcției
exponențiale si si ideile de de baza ale ale demonstrațiilor acestora. Practic, prezentăm activități și și
puternică, iar
Un
pe
exemplu altă
exponențiale de
parte,
utilizare
motivează
si a noțiunilor ideile de
elevul
baza de matematică
și
ale
studiul
demonstrațiilor
acestor
în finanțe,
proprietăți
acestora. pus în valuare Practic,
devine
și prezentăm
o
în
reacție
cadrul activități și
Un exemplu exerciții de care utilizare permit a analiza noțiunilor proprietăților de matematică funcției în exponențiale, finanțe, pus în fără valuare ca ca funcția și în exponențială cadrul
curriculumului exerciții național care permit la clasele analiza a proprietăților X-a este reprezentat funcției exponențiale, de legătura fără dintre ca funcția exponențială
normală, curriculumului deoarece să să apară întrebarea formal național la exerciții. de clasele bază este Astfel, a X-a aceeasi pe pe este de de aproape o reprezentat o parte, întotdeauna proprietățile legătura ”Care primesc dintre este semnificație funcția investiția si si
exponențială să și apară schemele formal de dobândă. în exerciții. Astfel, pe de o parte, proprietățile primesc semnificație si
mai favorabilă?” exponențială explicație și și schemele dispare intuitivă explicație
întrebarea de foarte dobândă.
puternică,
intuitivă foarte
permanentă iar iar de de
puternică,
a altă elevului parte,
iar pe de ”La motivează
altă ce parte, îmi elevul
motivează trebuie și și noțiunea studiul acestor
elevul și de studiul acestor
funcție exponențială”. proprietăți devine
proprietăți Pe scurt, o o reacție
devine se realizează normală,
o reacție cadrul deoarece
normală, necesar întrebarea
deoarece motivării de de bază
întrebarea elevului este
de pentru aceeasi
bază este a studia aproape
În matematica financiară în abordarea temei ”Dobânzi” și în demonstrațiile prezentate, care aceeasi se aproape
disciplime
În matematica STEM.
întotdeauna
În
financiară întotdeauna continuare,
”Care este în abordarea investiția
”Care prezint
temei mai
este două favorabilă?” ”Dobânzi”
investiția exerciții mai favorabilă?” care
și și în dispare demonstrațiile
susțin întrebarea
și afirmațiile
prezentate, permanentă
dispare întrebarea de mai
care
sus.
a a se elevului
bazează pe compararea diferitelor scheme de dobânda, se pot introduce proprietățile permanentă funcției a elevului
bazează ”La pe ce ce compararea îmi trebuie diferitelor noțiunea de scheme de funcție de dobânda, exponențială”. se pot Pe Pe introduce scurt, se se proprietățile realizează cadrul funcției
necesar
exponențiale ”La si ce ideile îmi de trebuie baza noțiunea ale demonstrațiilor funcție exponențială”. acestora. Practic, Pe scurt, prezentăm se realizează activități cadrul și necesar
exponențiale motivării si elevului ideile de pentru baza a a ale studia demonstrațiilor disciplime STEM. acestora. În În continuare, Practic, prezentăm prezint două activități exerciții și
care
exerciții care motivării permit analiza elevului proprietăților pentru a studia funcției disciplime exponențiale, STEM. În fără continuare, ca funcția prezint exponențială două exerciții care
exerciții susțin care afirmațiile permit analiza de de mai proprietăților sus. funcției exponențiale, fără ca funcția exponențială
să apară formal susțin în afirmațiile În exerciții. urmă de cu Astfel, mai trei sus. ani pe a de fost o plasată parte, proprietățile în regim de primesc dobândă semnificație compusă si
să apară formal în exerciții. Astfel, pe de o parte, proprietățile primesc semnificație si
explicație intuitivă 1 1 În suma
foarte s = cu 1.000.000
puternică, a u.m.
iar pe şi
de azi
altă
dispunem
parte, motivează
în ca urmare
elevul
de a acestui
și studiul fapt
acestor
explicație Exercițiul intuitivă 1 foarte În urmă puternică, cu trei iar ani pe a de fost altă plasată parte, motivează în regim elevul de dobândă și studiul compusă acestor de
suma
proprietăți
s Exercițiul devine o reacție 1 În urmă normală, cu trei deoarece ani întrebarea fost plasată de în bază regim este de aceeasi dobândă aproape compusă suma
proprietăți s = 1.000.000 devine o un u.m. reacție fond şi şi azi azi final normală, dispunem sau acumulat deoarece ca ca urmare întrebarea S a = a 1.225.043 acestui de fapt bază de u.m. de un este un fond aceeasi final aproape sau acumulat
întotdeauna
S s ”Care = 1.000.000 este investiția u.m. şi mai azi favorabilă?” dispunem ca și urmare dispare a întrebarea acestui fapt permanentă de un fond a elevului final sau acumulat
întotdeauna S = 1.225.043 ”Care este u.m. investiția mai favorabilă?” și dispare întrebarea permanentă a elevului
a) Cu ce ”La
a) procent îmi
Cu anual S trebuie = 1.225.043 s-a noțiunea făcut s-a u.m. plasamentul de funcție exponențială”. ? Pe scurt, se realizează cadrul necesar
”La ce a) îmi Cu trebuie ce procent noțiunea anual s-a de funcție făcut plasamentul exponențială”. ??
Pe scurt, se realizează cadrul necesar
b) Dacă motivării
b) era făcut elevului a) pe Cu o ce perioadă pentru
o
procent a studia anual de de disciplime s-a făcut cu
plasamentul STEM. În continuare, ?
anual prezint
de de două dobândă, exerciții
cât fi cât care
motivării b) Dacă elevului era făcut pentru a o studia perioadă disciplime de patru STEM. ani cu În acelașii continuare, procent prezint anual două de dobândă, exerciții cât care
fi fost
fi
fost S? susțin afirmațiile
S?
b) Dacă de era mai făcut sus. pe o perioadă de patru ani cu acelașii procent anual de dobândă, cât ar fi fost
susțin S? afirmațiile de mai sus.
S?
Rezolvare: Exercițiul Rezolvare: a) a) Din 1 a) Din relaţia avem: şi şi
Rezolvare: În urmă a) cu Din trei relaţia ani a fost plasată avem: în regim de dobândă compusă suma
Exercițiul 1 În urmă cu trei ani a fost plasată în regim de dobândă compusă suma
şi
s deducem = 1.000.000 că că şi 1+i deducem u.m. = 1,07, şi azi adică dispunem 1+i i i = 0,07, 1,07, ca iar iar adică urmare p p = 77 i %. = %. a 0,07, acestui iar fapt p = de 7 un %. fond final sau acumulat
s = 1.000.000 u.m.
b) deducem şi azi dispunem că 1+i = 1,07, ca urmare adică i a = acestui 0,07, iar fapt p = de 7 %. un fond final sau acumulat
S b) = Folosind 1.225.043
b) b) formula u.m.
S = 1.225.043 u.m.
dobânzii
Folosind compuse
formula avem:
dobânzii compuse avem: avem:
a) Cu ce procent anual s-a făcut plasamentul ?
a) Cu ce procent anual s-a făcut plasamentul ?
b) Dacă era făcut pe o perioadă de patru ani cu acelașii procent anual de dobândă, cât ar fi fost
b) Dacă era făcut pe o perioadă de patru ani cu acelașii procent anual de dobândă, cât ar fi fost
S?
S? Execițiul 22 Pe Pe ce ce durată de de timp ar ar trebui plasată suma s s = 1.000.000 u.m. cu cu procentul anual
de Rezolvare: 7 %, în Execițiul
de 2 Pe ce durată de timp ar
a trebui plasată
de suma
S=
s = 1.000.000 u.m.
?
cu procentul anual
de 7 %, în regim a) Din de relaţia dobândă compusă, pentru avem: a dispune de suma S= 1.402.551,73 u.m. ? şi
Rezolvare: a) Din de relaţia 7 %, în regim de dobândă avem: compusă,
de pentru a dispune de suma
în
S= 1.402.551,73 şi
n
u.m. ?
deducem Rezolvare: că Din relaţia
avem de rezolvat ecuaţia exponenţială în necunoscuta n
Rezolvare: 1+i = 1,07, Din adică relaţia i = 0,07, iar p = 7 %.
deducem avem de rezolvat ecuaţia exponenţială în necunoscuta n
şi şi anume:
că 1+i = 1,07, adică i = 0,07, iar p = 7 %.
b) Folosind formula dobânzii compuse avem:
b) Folosind formula şi anume: dobânzii Pe compuse ce durată avem: de timp ar trebui plasată suma s = 1.000.000 u.m.
Exercițiul 2 cu procentul anual de 7 %, în regim de dobândă compusă, pentru a
Execițiul 2 Pe dispune ce durată de de suma timp ar S= trebui 1.402.551,73 plasată suma u.m.? s = 1.000.000 u.m. cu procentul anual
Execițiul 2 Pe ce durată de timp ar trebui plasată suma s = 1.000.000 u.m. cu procentul anual
de 7 %, în regim de dobândă compusă, pentru a dispune de suma S= 1.402.551,73 u.m. ?
de 7 %, în regim de dobândă compusă, pentru a dispune de suma S= 1.402.551,73 u.m. ?
Rezolvare:
Rezolvare: Din Din relaţia:
avem de rezolvat de rezolvat ecuaţia exponenţială ecuaţia exponenţială în necunoscuta în n
Rezolvare: Din relaţia
avem de rezolvat ecuaţia exponenţială în necunoscuta n
şi anume: necunoscuta n şi anume:
şi anume:
iar iar din tabelul de de logaritmi avem n n = 55 ani.
iar din tabelul de logaritmi avem n = 5 ani.
Rezolvând astfel de de probleme la la clasă devine evidentă importanța studiului funcției
Rezolvând astfel de probleme la clasă devine evidentă importanța studiului funcției
exponențiale, înțelesul practic al al șirului
și și monotonia sa. sa. Observam că, că, dacă
exponențiale, înțelesul practic al șirului
și monotonia sa. Observam că, dacă
depunem la la banca o o unitate de de bani cu cu o o dobândă anuală de de 100% si si efectuăm n n capitalizări
iar an (la
depunem la banca
de
o unitate de bani cu o dobândă anuală de
sa
100% si efectuăm
la n capitalizări
într-un din tabelul an (la intervale logaritmi egale avem de n timp, = 5 ani.
iar din tabelul de iar logaritmi astfel încât ultima capitalizare sa aiba loc la sfârsitul
într-un din tabelul an
avem
(la de intervale
n logaritmi = 5 ani.
egale avem de timp, n = 5 astfel ani. încât ultima capitalizare sa aiba loc la sfârsitul
anului), atunci peste un un an an putem retrage din cont
unități de de bani.
anului), atunci peste un an putem retrage din cont
unități de bani.
Rezolvând astfel de probleme la clasă devine evidentă importanța studiului funcției
Rezolvând astfel de probleme la clasă devine evidentă importanța studiului funcției
exponențiale, înțelesul practic al șirului
și monotonia sa. Observam că, dacă
exponențiale, înțelesul practic al șirului
și monotonia sa. Observam că, dacă
depunem la banca o unitate de bani cu o dobândă anuală de 100% si efectuăm n capitalizări
depunem la banca o unitate de bani cu o dobândă anuală de 100% si efectuăm n capitalizări