Predikat (öppna utsagor) Från predikat till logisk utsaga Predikat och ...

Predikat (öppna utsagor) kolumnerna i följande tabell: Jämför
Satslogik,
satser (utsagor)
P : Det regnar idag.
Q : Månen är en ost.
R : Peter har skägg.
Predikatlogik,
predikat (öppna utsagor)
P(x) : x ≥3.
Q(x,y) : x – y = 0.
R(x) : x har varit statsminister
i Sverige.
Predikat och logiska operatorer som med satser kan man sätta ihop predikat med logiska operatorer, exempelvis P(x)∧Q(x), ¬P(x) och Precis
Negation
P(x) Följande logiska ekvivalenseroch implikationer gäller: [∀x : P(x)] ∨[∀x : Q(x)] ⇒∀x : [P(x) ∨Q(x)] ∃x : [P(x) ∧Q(x)] ⇒[∃x : P(x)] ∧[∃x : Q(x)] ∀x : [P(x) ∧Q(x)] ⇔[∀x : P(x)] ∧[∀x : Q(x)] ∃x : [P(x) ∨Q(x)] ⇔[∃x : P(x)] ∨[∃x : Q(x)]
Kvantorers ordning
→Q(x), ochpåsåsättskapanyapredikat.
predikat med fler än en variabel och flera kvantorerkan ordningen påkvantorernaspela roll. Exempel: Betrakta predikatet man Har
Argument
Q(x,y) : x och y antas tillhöra samma universum, nämligen U som är mängden av de reella talen. Jämför de tvåutsagorna ∀y∃x : Q(x,y) och∃x∀y: Q(x,y). Vad betyder de? Är de sanna eller falska? Vad händer om U istället är mängden av de naturliga talen? där x≤y,
Från predikat till logisk utsaga från predikaten kan man konstruera logiska utsagor påföljande sätt: Utgående
Specificera P(2) : 2 ≥3. (F)
variabler Q(4,4) : 4 – 4 = 0. (S)
R(Gunde Svan) : Gunde Svan har varit
statsminister i Sverige. (F)
Kvantifiera
variabler
finns något x sådant att P(x) är sant.)
P(x). (P(x) är sant för alla x.) P(x). (Det : ∃x∊U : ∀x∊U
(U utgörs av ett universum av tillåtna värden på x.)
av kvantifierade predikat negationen till att P(x)är
x för alla x? Jo, att det finns (åtminstone) ett att P(x)ärfalskt. Med symbolerfås är Vad
sådant ¬[∀x : P(x)] ⇔∃x : [¬P(x)]. sant
x att det finns sådant sant för alla x, d v s med symboler
¬[∃x : P(x)] ⇔∀x : [¬P(x)]. till Negationen
är att
P(x)är falskt attP(x)är
med kvantorer kontrollerar man giltighet hos argument som innehåller kvantorer? Hur
Är följande ett giltigt argument? Alla matematiker är knäppskallar. Det finns matematiker som bor i Göteborg. Detfinnsknäppskallarsombori Göteborg.
Exempel:
1

Argument med kvantorer (forts.): Formalisera argumentet! M(x) : x är matematiker. K(x) : x är en knäppskalle. Exempel
Prolog
Predikatlogik,
predikat (öppna utsagor)
→K(x)] x bor i Göteborg. Argumentet kan dåskrivas: ∀x : [M(x) ∃x : [M(x) ∧G(x)] ∃x : [K(x) ∧G(x)]. G(x) :
ett programspråk för logikprogrammering. Det är uppbyggt av fakta, regleroch frågor. Predikaten (öppna utsagorna) definieras i allmänhet som en blandning av fakta och regler. Dessa kallas klausuler för predikatet. är Prolog
P(x) : x ≥3.
Q(x,y) : x – y = 0.
Prolog
p(X) :- X >= 3.
q(X,Y) :- X – Y =:= 0.
Prolog mer i detalj
∀X förståProlog lite mer i detalj kan vi använda det till att avgöra om argument är giltiga eller ej. att Genom
Prolog
(klausul)
p(X) :- X >= 3.
Betydelse
(logisk utsaga)
: [(X ≥3) →p(X)]
Argument med kvantorer (forts.): Beviset blir att den andra hypotesen ger att M(x0) och G(x0) är sant för något x0. För detta x0ger dåden första hypotesen att K(x0) Exempel
Komma igång med Prolog
Skriv in predikaten i en fil (ett på varje rad) med ett namn som
slutar på .pl, exempelvis test.pl.
Starta Prolog genom att skriva kommandot pl.
Ladda in predikaten i filen test.pl genom att skriva antingen
consult(test). eller [test]. vid kommandoprompten (?-) i Prolog.
Glöm inte punkterna.
Testa predikaten i filen, exempelvis genom ?- p(3).
Yes
?- p(0).
No
där Yes, som skrivs ut av Prolog, betyder att den logiska utsagan
p(3) : 3 >= 3 är sann och No betyder att den logiska utsagan p(0) :
0 >=3 är falsk.
Avsluta Prolog genom att skriva halt. vid kommandoprompten.
sant. Därmed är slutsatsen K(x0) ∧G(x0) sann och argumentet är giltigt. är
Prolog mer i detalj
Logisk utsaga
Prolog
→K(x)]
:- m(X). /* regel */ ∧G(x)]k(X) g(x0). /* fakta */
∧G(x)]m(x0). : [M(x) ∀x : [M(x) ∃x [K(x) : ∃x knäppskallar. och matematiker med exemplet tar Vi
/* fakta */
?- k(X), g(X). /* fråga */
2

Logisk fullständighet
Satslogik Digitalteknik ∧∨¬ (AND-grindar)
1
0som
helst kan konstrueras med hjälp Jämför satslogik med digitalteknik:
typer av grindar. SF ∧-grindar ∨-grindar (OR-grindar) ¬-grindar(NOT-grindar) krets digital Vilken tre dessa endast av
Logisk fullständighet räcker det med dessa tre typer av grindar? Varför
IN1(p) IN2(q)
UT
0 0 u1 0 1 u2 1 0 u3 1 1 u4 (¬p) ∧(¬q) (¬p) ∧q
p ∧(¬q) tredjeochp ∧q den önskadeutsignalenpå disjunktivnormalform. ∨fårman med 1:a önskaren man raderdär de utsagorsomsvararmot Genomattsättaihopde fjärde. påden påden andra, påden precispåförstaraden, 1:a produceraren
3