Optimala vägval i alpin skidåkning
Optimala vägval i alpin skidåkning
Optimala vägval i alpin skidåkning
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Truls Neubeck<br />
Tillämpad matematik D<br />
20060602<br />
Institutionen för Teknik, Fysik och Matematik<br />
Handledare: Fredrik Ståhl
Sammanfattning<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Truls Neubeck<br />
Duppsats i Tillämpad Matematik<br />
Institutionen för Teknik, Fysik och Matematik<br />
Mittuniversitetet.<br />
Problemet med att avgöra det snabbaste <strong>vägval</strong>et för en <strong>alpin</strong> skidåkare går att<br />
undersöka med hjälp av variationskalkyl. Tidigare resultat visar att lösningen är<br />
unikt bestämd som den del av en cykloid som går mellan två portar. I denna uppsats<br />
visas att om problemet utvidgas så att backens lutning ändras mellan portarna består<br />
lösningen av olika cykloiddelar, där man gör en större del av förflyttningen i den<br />
brantare delen av backen. För att kunna beskriva <strong>vägval</strong>et förbi fler portar än två<br />
måste en begränsning på hur snävt man kan svänga införas. Fördelar och nackdelar<br />
med ett antal sådana begränsningar diskuteras. Tidigare studier har utgått från att det<br />
optimala <strong>vägval</strong>et förbi flera portar består av cykloiddelar sammanbundna med<br />
delar av en cirkel med minsta tillåtna svängradie. Problemet är dock globalt och en<br />
lokal begränsning kan påverka hela lösningen. Man bör alltså försöka formulera och<br />
lösa problemet för hela intervallet. Tyvärr är det då svårt att hitta villkor som<br />
garanterar existensen av ett entydigt minimum, vilket två exempel visar.<br />
Abstract<br />
The problem of determining the fastest trajectory in <strong>alpin</strong>e skiing can be solved with<br />
the aid of calculus of variations. Earlier results show that the solution is a part of the<br />
unique cycloid that passes through two gates. This paper shows that if the problem<br />
includes a change of the inclination between the gates, the solution consists of parts<br />
of different cycloids, where a larger part of the traverse is made in the steeper part of<br />
the slope. Different constraints on how tight the turn can be made are discussed in<br />
order to describe the trajectory through more than two gates. Earlier studies have<br />
made the assumption that the optimal trajectory consists of parts of cycloids joined<br />
together with parts of circles with a given shortest radius. However a local constraint<br />
may cjange the global solution. The problem should therefore be studied on the<br />
whole interval, including the constaints. But it is not so easy to find conditions that<br />
guarantee the existence of a unique minimum, which is shown in two examples.
Innehållsförteckning<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
1.Alpin utförsåkning.................................................................................................................................7<br />
2.En fysikaliskt förenklad modell av en <strong>alpin</strong> skidåkare..........................................................................9<br />
3.Funktionalanalys..................................................................................................................................11<br />
4.Variationskalkyl...................................................................................................................................13<br />
5.Traversfasen.........................................................................................................................................15<br />
5.1.Den snabbaste vägen mellan två portar, Brachystochronen.........................................................15<br />
5.2.Lösning på Brachystochronproblemet..........................................................................................15<br />
5.3.Ingångsfart va 0........................................................................................................................17<br />
5.4.En backe med konstant lutning....................................................................................................18<br />
5.5.En backe med varierande lutning.................................................................................................18<br />
5.6.Resultat och jämförelse med den raka vägen...............................................................................20<br />
6.Svängfasen...........................................................................................................................................23<br />
6.1.Den snabbaste vägen i en backe med tre portar...........................................................................23<br />
6.2.Några olika beskrivningar av svängfasen....................................................................................24<br />
6.2.1.Svängen som en elastisk stöt................................................................................................24<br />
6.2.2.Carvingekvationen...............................................................................................................26<br />
6.2.3.Begränsad krökningsradie...................................................................................................27<br />
6.2.4.Begränsad Fload..................................................................................................................28<br />
6.3.Jämförelse mellan de olika modellerna för svängfasen...............................................................28<br />
7.Travers och svängfas tillsammans.......................................................................................................29<br />
7.1.Formulering med hinder...............................................................................................................29<br />
8.Variationskalkylens fundamentalsats...................................................................................................31<br />
8.1.Villkor på mängden X..................................................................................................................32<br />
8.1.1.Problem med entydigheten av minimerande punkter...........................................................32<br />
8.1.2.Problem med existensen av minimerande punkter...............................................................33<br />
9.Numeriska och direkta metoder...........................................................................................................35<br />
9.1.Variationsolikheter.......................................................................................................................35<br />
9.2.Ritz metod....................................................................................................................................36<br />
9.3.Finit differens metod....................................................................................................................37<br />
10.Diskussion..........................................................................................................................................39<br />
11.Slutsats................................................................................................................................................41<br />
12.Appendix A........................................................................................................................................43<br />
12.1.Mer funktionalanalys..................................................................................................................43<br />
12.1.1.Konvexitet...........................................................................................................................43<br />
12.1.2.Topologier..........................................................................................................................43<br />
12.1.3.Normerade rum..................................................................................................................44<br />
12.1.4.Dual och bidual..................................................................................................................45<br />
12.1.5.Svag och *svag topologi...................................................................................................46<br />
13.Appendix B........................................................................................................................................47<br />
13.1.Variations.m................................................................................................................................47<br />
13.2.Varsol.m.....................................................................................................................................48<br />
13.3.F.m.............................................................................................................................................49<br />
13.4.T.m.............................................................................................................................................49<br />
14.Avslutningsvis....................................................................................................................................50<br />
15.Referenser...........................................................................................................................................51<br />
5
Beteckningar<br />
Modell av en skidåkare.<br />
m massa<br />
W gravitationskraft<br />
FN kraft vinkelrätt mot backen<br />
Flar kraft vinkelrätt mot åkriktningen<br />
Fp kraft parallellt med åkriktningen<br />
Fc centrifugalkraft<br />
e enhetsvektor<br />
g gravitation<br />
G masscentrum<br />
S Skidans belastningspunkt<br />
v hastighet<br />
α backens lutning<br />
β ingångsvinkel mot porten<br />
a, b,.. reella tal<br />
x(y) <strong>vägval</strong>, kurva, funktion<br />
A, B,.. punkter i planet<br />
R krökningsradie<br />
K krökning<br />
Funktionalanalys och Variationskalkyl.<br />
X mängden av möjliga <strong>vägval</strong><br />
ℝ reella talen<br />
reellt tal<br />
f funktion<br />
J[x] funktional<br />
[h] linjär funktional<br />
F funktion i en funktional<br />
J[x] första variationen<br />
Truls Neubeck<br />
2 J[x] andra variationen<br />
C mängden av kontinuerliga funktioner<br />
C 1 mängden av funktioner med kontinuerlig första derivata<br />
C 2 mängden av funktioner med kontinuerlig andra derivata<br />
L p Lebesquerummen<br />
W m,p Sobolevrummen<br />
∥x∥ normen av x<br />
[y] hinderfunktion<br />
testfunktion<br />
minimum<br />
6
1. Alpin utförsåkning.<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Alpin utförsåkning innefattar konsten att på skidor ta sig via portar så fort som möjligt ned för en<br />
backe. Vad kan matematik och utförsåkning ha med varandra att göra? Jo som det står i en bok för<br />
tränare i <strong>alpin</strong>åkning.<br />
Oavsett vilken nivå av åkare och oavsett vilken tidsepok det gäller, påverkas åkaren av Newtons<br />
mekaniska lagar. Att kunna utnyttja och balansera Newtons krafter på bästa sätt är en av<br />
<strong>alpin</strong>sportens stora utmaningar. Åkaren kan påverka krafterna och skidtekniken genom att röra sig<br />
framåt och bakåt, i sidled, böja och sträcka, samt i roterande rörelser. Utifrån dessa grundrörelser kan<br />
åkaren i sin tur påverka skidorna genom att vrida, kantställa och belasta/avlasta skidorna [Zell,<br />
2005].<br />
Om nu man kan anse <strong>skidåkning</strong>en som styrd utifrån fysikaliska regler så kanske man kan skapa en<br />
förenklad modell för vilka krafter som påverkar en skidåkare. Utifrån denna förenklade modell av en<br />
skidåkare kan man sen se om det går att räkna ut det snabbaste <strong>vägval</strong>et utför backen. Hur ska en given<br />
åkare välja sin väg utför backen för att det ska gå så fort som möjligt?<br />
7
Truls Neubeck<br />
8
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
2. En fysikaliskt förenklad modell av en <strong>alpin</strong> skidåkare.<br />
Låt oss betrakta en skidåkare med massa m som rör sig nedför en backe med lutning α. Åkaren består<br />
av n st partiklar med massa mi ,i=1,2,..,n. Summan av de krafter som verkar på ett system av partiklar<br />
kommer att verka på systemets masscentrum enligt lagen för tyngdpunktens rörelse [Grahn & Jansson,<br />
1997]. De krafter som påverkar åkaren kommer alltså att verka som en summa utifrån åkarens<br />
masscentrum G.<br />
Skidåkaren påverkas av gravitationen med kraften W=mg. W kan delas upp i tre komponenter enligt<br />
[se figur 1]<br />
W= F N + F lat + F p<br />
F N är vinkelrät mot snöytans plan, F lat ligger i planet och är vinkelrät mot skidornas riktning, F p ligger i<br />
planet och verkar i skidornas åkriktning, det är Fp som är den kraft som kan öka åkarens hastighet.<br />
I en sväng så kommer åkaren även påverkas av en centrifugalkraft F c som verkar vinkelrätt mot<br />
skidorna och utåt i svängen.<br />
De krafter som inte ökar åkarens fart måste kompenseras genom muskelkraft och kan betecknas<br />
Fload = FN + Flat + Fc.<br />
De krafter som bromsar skidåkarens fart är friktionen mellan skida och snö och luftmotståndet. I denna<br />
uppsats antar jag att dessa bromsande krafter inte påverkar resultatet och de sätts därför till noll.<br />
Figur 1: En <strong>alpin</strong> skidåkare med de krafter som påverkar henne under en sväng.<br />
För att få ett uttryck för åkarens fart så kan man anta att energin konserveras under hela åket, dvs att<br />
ingen energi förloras i friktion eller sladdar. Om den positiva y axeln är riktad nedåt och g' är den<br />
komponent av gravitationen som ligger i planet så gäller sambandet mellan läges och rörelseenergi<br />
9
Truls Neubeck<br />
1<br />
2 mv2 −mg ' y= 1<br />
2 mv 2<br />
A−mg<br />
' y A .<br />
Då startpunkten a ligger i origo A = (0, 0) så kan farten uttryckas<br />
2<br />
v=v A2g<br />
' y .<br />
Det <strong>vägval</strong> som åkaren följer kan beskrivas av kurvan x=x(y) i backens plan och då ges de verkande<br />
krafterna av följande vektorer:<br />
F N = W cos .<br />
Genom att projicera den del av W som ligger i planet på enhetsvektorer i åkarens riktning<br />
och vinkelrätt mot åkarensriktning<br />
så får man<br />
och<br />
Krökningsradien, R, ges av<br />
[ ep = x´<br />
1 ]<br />
∥[ x´<br />
1 ] ∥<br />
=<br />
[ elat = 1<br />
−x´ ]<br />
∥[ 1<br />
−x´ ] ∥<br />
=<br />
Fp = Wsin ⋅e p<br />
∥e p ∥ 2 e p =<br />
F lat = Wsin ⋅e lat<br />
∥e lat ∥ 2 e lat =<br />
1<br />
1 x´ 2 [<br />
1<br />
1 x ´ 2 [<br />
R = 1 x'2 3/2<br />
∣x''∣<br />
x´<br />
1 ]<br />
Wsin <br />
1x´ 2 [<br />
Wsin <br />
1x´ 2 [<br />
.<br />
1<br />
−x ´ ] ,<br />
x´<br />
1 ]<br />
1<br />
−x´] .<br />
För centrifugalkraften gäller nu<br />
Fc = m v2<br />
R elat = mv 2<br />
A2gy∣x''∣<br />
1x' 2 2 [ 1<br />
−x'] .<br />
Utförsåkningen kan beskrivas av två faser, en traversfas och en svängfas [Lind & Sanders, 2004].<br />
Under traversfasen åker man mot nästa port. Under svängfasen ändrar man riktning för att återigen<br />
traversera mot nästa port. Modellen ovan beskriver de krafter som påverkar skidåkaren under travers<br />
och svängfasen utifrån en given väg x = x(y).<br />
10
3. Funktionalanalys<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
För att kunna undersöka om visst <strong>vägval</strong> är bättre än ett annat så måste man kunna mäta tiden det tar<br />
att röra sig utmed olika vägar, kurvor. Man måste också kunna tala om <strong>vägval</strong> som är nära varandra i<br />
en generell mening. Man kan då använda sig av funktionalanalys, och här införs nu några<br />
grundläggande definitioner och satser från [Gelfand & Fomin, 2000]. För mer definitioner och satser i<br />
funktionalanalys se appendix A.<br />
Definition 1: En avbildning f: X ℝ som till varje element ur X tilldelar ett reellt tal kallas för en<br />
funktional.<br />
Detta innebär att den avbildning som till varje kurva tilldelar tiden det tar att röra sig utmed kurvan<br />
med farten v är en funktional.<br />
Definition 2: låt [h] vara en funktional definierad på ett rum X. Då är [h] en linjär funktional om<br />
följande gäller:<br />
1. [ah] = a[h] för alla h ∈X och alla a ∈ℝ .<br />
2. [h1+h2] = [h1] + [h2] för alla h1, h2 ∈X.<br />
I denna uppsats kommer speciellt funktionaler på formen<br />
b<br />
J [x] =∫ a<br />
F y , x ,x ´ dx<br />
där F(y,x,x´) är en funktion av y, x(y) och x´(y) att vara av intresse.<br />
Mängden X som innehåller möjliga <strong>vägval</strong> eller kurvor är ett funktionsrum. För att beskriva det<br />
behöver man något som motsvarar begreppet avstånd i ℝ n . För att kunna tala om avstånd i abstrakta<br />
mängder använder man ett koncept som kallas norm.<br />
Definition 3: ett linjärt rum är en mängd, X, av element x, y, z,... där operationerna addition och<br />
multiplikation med reella tal a, b,... är definierade och följande axiom gäller:<br />
1. x + y = y + x<br />
2. (x + y) + z = x + (y + z)<br />
3. ∃ 0 ∈X sådant att x + 0 = x för alla x ∈X<br />
4. för alla x ∈ X ∃x ∈X sådant att x + (x) = 0<br />
5. 1x = x<br />
6. a(bx) = (ab)x<br />
7. (a+b)x = ax + bx<br />
8. a(x + y) = ax + ay<br />
11
Truls Neubeck<br />
Definition 4:Ett normerat rum X är ett linjärt rum där varje x ∈X tilldelas ett ickenegativt tal ∥x∥,<br />
normen av x, sådant att:<br />
1. ∥x∥ = 0 omm x = 0<br />
2. ∥ax∥=∣a∣ ∥x∥<br />
3. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥<br />
för alla x, y ∈ X och a ∈ ℝ<br />
Man kan nu införa avståndet d mellan två element x1 och x2 i ett normerat linjärt rum X. Avståndet ges<br />
av<br />
d(x1, x2) = ∥x1 – x2∥.<br />
Exempel: Mängden av alla kontinuerliga funktioner C på ett slutet intervall [a, b] är ett normerat rum<br />
med normen<br />
∥x∥C = max ∣ x y∣<br />
a xb<br />
och vanlig addition och multiplikation av funktioner. Medan mängden C 1 av alla funktioner vars<br />
derivata existerar och är kontinuerliga på [a, b] är ett normerat rum med normen<br />
∥x∥ C 1 = max<br />
a xb<br />
∣ x y∣ max ∣ x ' y∣<br />
a xb<br />
Med hjälp av normen kan man även införa kontinuitet för funktionaler.<br />
Definition 5: en funktional J[x] sägs vara kontinuerlig i x0 ∈X om det för varje ℇ>0 finns ett >0 sa<br />
∣J[x]J[x0]∣< ℇ förutsatt att ∥x x0∥ < .<br />
Exempel: Kurvlängd är ett exempel på en funktional som inte är kontinuerlig i Cnormen. Två kurvor<br />
med liten skillnad i norm ligger nära varandra i funktionsvärden, men den ena kurvan kan svänga fram<br />
och tillbaka och på så sätt bli mycket längre, utan att avstånden mellan de två kurvornas<br />
funktionsvärden ökar. Om man tar ett band med given bredd längs en kurva så kan man alltid få in en<br />
annan kurva som är godtyckligt mycket längre än den första kurvan inom detta band, oavsett hur smalt<br />
bandet görs. Om man däremot använder C 1 normen så är kurvlängdsfunktionalen kontinuerlig,<br />
eftersom man då även tar med första derivatans värden, vilka ju avgör hur snabbt en grafen till en<br />
funktion kan svänga fram och tillbaka.<br />
Ibland är kontinuitet ett för starkt krav på funktionalerna och man behöver därför ett svagare krav.<br />
Definition 6: En funktional J[x] är nedåt halvkontinuerlig (n.h.k.) i x0 ∈X om det för varje ℇ>0 finns<br />
ett >0 sa J[x]J[x0]> -ℇ förutsatt att ∥x x0∥ < .<br />
Exempel: Kurvlängdem är en n.h.k. funktional med avseende på Cnormen, eftersom en kurva som<br />
ligger i en omgivning av en annan kurva med avseende på Cnormen kan bli godtyckligt mycket längre<br />
men bara lite kortare utan att hamna utanför omgivningen.<br />
12
4. Variationskalkyl<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
I denna uppsats kommer alltså funktionalanalysen utgöra de matematiska verktyg man behöver för att<br />
mäta hur lång tid det tar att åka utmed olika kurvor. Det behövs nu ett sätt att avgöra hur tiden varierar<br />
utmed olika närliggande kurvor för att kunna hitta ett optimalt <strong>vägval</strong>. Variationskalkyl är en gren av<br />
matematiken som behandlar sådana frågeställningar. Tekniken påminner mycket om studiet av max<br />
och minproblem i ℝ n . Följande definitioner och satser från [Gelfand & Fomin, 2000] och [Blanchard<br />
& Brüning, 1992] ger nödvändiga och tillräckliga villkor för att en kurva x0∈X ska vara ett minimum<br />
till en funktional.<br />
För att undersöka hur en funktional varierar när man ändrar lite grand på det objekt funktionalen<br />
verkar på, i vårt fall kurvan x, så kan vi tänka oss att man adderar en kurva h med liten norm till<br />
kurvan x. Detta resonemang leder fram till följande definition.<br />
Definition 7: Låt J[x] vara en funktional definierad på ett normerat rum X och låt J[h] = J[x + h] –<br />
J[x] vara skillnaden mellan två närliggande kurvor, x och x + h, som beror av tillägget h = h(y) och den<br />
beroende variabeln x = x(y). Om x hålls fix så är J[h] en funktional av h, oftast ickelinjär. Antag att<br />
J[h] = [h] + ∥h∥ där [h] är en linjär funktional och 0 när ∥h∥0. Då sägs J[x] vara<br />
differentierbar och den linjära delen av J[h], dvs [h] kallas variationen av J[x] och betecknas <br />
J[h].<br />
På samma sätt som för vanliga funktioner i ℝ n så krävs det att J[x] – J[x0] 0 i en omgivning av x0 för<br />
att en funktional ska ha ett lokalt minimum vid en viss kurva x0.<br />
Sats 1. Ett nödvändigt villkor för att J[x] ska ha ett minimum i x = x0 är att variationen försvinner, dvs<br />
för x = x0 och alla tillgängliga h.<br />
Sats 2. Betrakta funktionalen<br />
J [x] =∫ a<br />
J[h]=0<br />
b<br />
F y , x ,x ´ dx<br />
definierad för alla x X C 1 och där x uppfyller randvillkoren x(a)=A och x(b)=B. Då är ett<br />
nödvändigt villkor för att J[x] ska ha ett minimum i x = x0 att x0 uppfyller Eulers ekvation<br />
F x − d<br />
dx F x ´ = 0.<br />
Om ändpunkterna till x istället får variera utmed linjerna y=ya och y=yb så blir<br />
y b<br />
J=∫ ya<br />
F x − d<br />
dy Fx 'hydyF x '∣y=b h b − F x'∣y=a ha <br />
En metod för att hitta ett minimum till funktionalen är alltså att lösa en differentialekvation. Observera<br />
att Eulers ekvation endast är ett nödvändigt villkor och lösningen x0 är en extrempunkt. x0 kan alltså<br />
vara ett minimum eller maximum men också en inflexionspunkt.<br />
13
Truls Neubeck<br />
Man behöver alltså mer information för att få ett tillräckligt villkor för att J[x] har ett minimum i x=x0.<br />
Definition 8. En funktional J[x, y] som är linjär i båda argumenten är en bilinjär funktional. Om y=x<br />
så är J en kvadratisk funktional.<br />
Definition 9. Om J kan skrivas J[h] = 1[h] + 2[h] +∥h∥ 2 , där 1[h] är en linjär funktional,<br />
2[h] en kvadratisk funktional och 0 när ∥h∥0, så är J[x] två gånger differentierbar och 2[h] är<br />
den andra variationen som skrivs 2 J[h].<br />
För funktionaler på formen<br />
b<br />
J [x] =∫ a<br />
så kan J[h] genom Taylorutveckling skrivas som<br />
J [h] = J [ xh] − J[ x] =∫ a<br />
där<br />
b<br />
2 J [h] = 1<br />
2 ∫ b<br />
a<br />
F y , x ,x ´ dx<br />
F x h F x 'h' dy 1<br />
2 ∫ b<br />
a<br />
Partiell integration och randvillkoren h(a)=0, h(b)=0 ger<br />
där<br />
F xx h 2 2F xx ' hh' F x ' x ' h' 2 dy .<br />
b<br />
2 J [h] =∫ a<br />
Ph ' 2 Qh 2 dy<br />
P = P y = 1<br />
2 F 1<br />
x' x ' , Q = Q[ y] =<br />
2 F d<br />
xx− dy F xx ' Sats 3. Ett tillräckligt villkor för att J[x] ska ha ett minimum i x=x0 är att:<br />
1. J[h] = 0<br />
2. 2 J[h] > 0<br />
för x=x0 och alla tillgängliga h.<br />
F xx h 2 2F yy ' hh ' F y' y' h' 2 dy <br />
Hittar man en kurva x0 som uppfyller Sats 3 för den funktional som mäter tiden så är det alltså<br />
tillräckligt för att x0 är det snabbaste <strong>vägval</strong>et.<br />
14
5. Traversfasen<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
5.1. Den snabbaste vägen mellan två portar, Brachystochronen.<br />
Att hitta det <strong>vägval</strong>, kurva, som beskriver den snabbaste vägen under traversfasen mellan två portar har<br />
stora likheter med ett känt matematiskt problem från slutet av 1600talet. År 1696 föreslog John<br />
Bernoulli Brachystochronproblemet som en utmaning till samtida matematiker [Kline, 1972].<br />
Brachystochronproblemet innebar att avgöra den väg x= x(y) en partikel skulle ta från en punkt A ned<br />
till en annan punkt B, som inte ligger rakt under punkten A, på kortast möjliga tid driven av enbart<br />
gravitation. Det matematiska tillvägagångssättet för att lösa att sådant problem kan beskrivas på<br />
följande sätt: Betänk alla kurvor, med kontinuerliga derivator, som förbinder två punkter A och B.<br />
Varje kurva tilldelas ett tal, nämligen den tid det tar att glida från A till B. (Alla kurvor där man aldrig<br />
når punkten B utesluts eller tilldelas talet ∞). Sen tar man från alla dessa tal, glidtider, det minsta<br />
(förutsatt att ett sådant existerar) och den kurva som är associerad med detta talet är lösningen på<br />
problemet [Sagan, 1969].<br />
Man ska alltså minimera funktionalen som mäter tiden det tar att röra sig längs en kurva,<br />
som genom sambanden<br />
och (notera att ingångsfarten vA=0)<br />
kan skrivas<br />
J [x] =∫ yA<br />
B<br />
J [x] =∫ A<br />
ds<br />
v<br />
ds = dx 2 dy 2 = 1 x ' 2 dy<br />
y B<br />
v = 2gy<br />
5.2. Lösning på Brachystochronproblemet.<br />
Eulers ekvation är<br />
F y , x , x 'dy , F = 1<br />
<br />
2<br />
1 x'<br />
2g y<br />
F x − d<br />
dx F x ' =0<br />
men eftersom F i detta fall inte beror av x så kan Eulers ekvation reduceras till<br />
som efter integration av båda sidor ger<br />
F x ' = 1<br />
2g<br />
d<br />
dx F x' =0<br />
x'<br />
1 x' 2<br />
y C1 .<br />
15<br />
.
Sätt C = 2gC 1 . Då gäller<br />
Låt<br />
vilket ger<br />
och<br />
tan<br />
y=<br />
2 <br />
C 2 1 tan 2 <br />
Sätt (3) i (1) och utnyttja (2). Då fås<br />
Truls Neubeck<br />
dx<br />
dy =x '= C 2 y<br />
1−C 2 y<br />
tan = C 2 y<br />
1−C 2 y<br />
1<br />
=<br />
c 2 sin 2 = 1<br />
1−cos2 <br />
2<br />
2C<br />
. (1)<br />
, (2)<br />
dy= 2<br />
sin cosd . (3)<br />
2<br />
C<br />
dx=tan 2<br />
2<br />
sin cos d = 2<br />
C C 2 sin2 d = 1<br />
1−cos 2 d .<br />
2<br />
C<br />
Integration av båda sidor ger<br />
Startpunkten x=0 ger K=0 , och med<br />
fås lösningen<br />
x = 1<br />
2−sin 2 K 2 .<br />
2C<br />
R= 1<br />
, t=2 <br />
2<br />
2C<br />
x = R(t – sin t ).<br />
y = R(1 – cos t).<br />
16
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Figur 2: Den snabbaste vägen mellan punkterna A=(0, 0) och B=(7.5, 16) är unikt<br />
bestämd av den del av en cykloid som passerar genom punkterna A och B.<br />
Kurvan visar sig vara den del av den cykloid som passerar genom A och B (figur 2). Newton,<br />
L'Hospital, John Bernoulli och hans äldre bror James fann alla lösningen på Brachystochronproblemet.<br />
Cykloiden är alltså en extremalkurva till Brachystochronproblemet men för att vara säkra på att den<br />
även ger ett minimum så måste man visa att hela Sats 3 är uppfyllt dvs även att<br />
För Brachystochronproblemet beror F inte av x så<br />
där<br />
2 J [h] = 1<br />
2 ∫ b<br />
a<br />
2 J[h] > 0 för x=x0 och alla tillgängliga h.<br />
F xx h 2 2Fxx ' hh' F x ' x ' h' 2 dy = 1<br />
2 ∫ b<br />
a<br />
F x ' x' = d<br />
dx '<br />
1 x ' 1<br />
=<br />
2<br />
2gy 1 x ' 2gy 1 x ' 2 −3/2<br />
F x' x' h' 2 dy<br />
som är strikt positiv eftersom yaxeln är positiv nedåt i åkarens riktning. Cykloiden uppfyller alltså<br />
hela Sats 3 och minimerar därför funktionalen J.<br />
5.3. Ingångsfart va 0<br />
Om åkaren startar från punkten A med en ingångsfart va ≠ 0 så motsvaras lösningen av att börja på<br />
17
Truls Neubeck<br />
cykloiden så långt ned som en partikel behöver falla från vila för att uppnå hastigheten va. Detta gäller<br />
eftersom det råder ett konserverande av energi i systemet och farten ges av sambandet mellan läges<br />
och rörelseenergi i slutna system. Den del av cykloiden som passerar genom A och B blir allt rakare ju<br />
högre ingångshastigheten är [Andersson, 1998]. Lösningen i det fall då va ≠ 0 ges av kurvan<br />
x = R(t – sin t ) + Dx<br />
y = R(1 – cos t)+ Dy.<br />
Där D=(Dx, Dy) är startpunkten för cykloiden och den aktuella lösningen ges i intervallet tA t tB.<br />
5.4. En backe med konstant lutning.<br />
För en skidåkare i en backe med konstant lutning α så kommer problemet att hitta den snabbaste vägen<br />
att bli likadant som brachystochronproblemet med skillnaden att den drivande accelerationen är en<br />
komponent g´ = g sin α av g. Lösningen blir fortfarande en del av den cykloid som är unikt bestämd av<br />
punkterna A och B. Lösningen beror alltså inte av lutningen. Att den snabbaste vägen för en skidåkare<br />
mellan två portar verkligen är en del av en cykloid och inte en rak linje har visats både teoretiskt<br />
[Reinisch, 1991; Andersson, 1998] genom de tillämpningar av Brachystochronproblemet som<br />
redovisats ovan och experimentellt [Reinisch,Gautier & Monjo, 1994; Twardokens, 1996]. I de<br />
experimentella studierna har man tagit tid på <strong>alpin</strong>a åkare som åkt både rakt mellan två portar och<br />
längs cykloidbanor. Tidsvinsten för en bana med A=(0, 0), B=(20, 40) blev upp till 23 hundradelar av<br />
en sekund och för en bana med A=(0, 0), B=(50, 100) upp till 36 hundradelar av en sekund. Dessa<br />
tidsvinster minskar när ingångshastigheten vA ökar, vid vA 40km/h är traversfasen i stort sett linjär<br />
och skillnaden mot att köra rakt på porten blir försumbar [Andersson, 1998; Reinisch,Gautier &<br />
Monjo, 1994].<br />
5.5. En backe med varierande lutning.<br />
Ett enkelt fall där lutningen varierar mellan A och B är när lutningen ändras i en punkt halvvägs<br />
mellan portarna (figur 3).<br />
Figur 3: Backen kan beskrivas av två plan y1 och y2 med olika lutning 1 och 2.<br />
Planen skär varandra vid den höjd, hc, där backen ändrar lutning. Åkaren ska då ta<br />
sig från punkt A, via en punkt C någonstans på linjen y=yC, till punkten B på så kort<br />
tid som möjligt.<br />
Då kan problemet att hitta det snabbaste <strong>vägval</strong>et beskrivas så här:<br />
18
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Två plan y1 och y2 med lutning 1 och 2 skär varandra i yC. Låt punkten A ligga i origo i y1 och<br />
punkten B ligga i (xB,yB) i y2. Då går den snabbaste vägen mellan A och B via någon punkt C på linjen<br />
yC. Man kan söka lösningen på problemet genom att minimera funktionalen<br />
där<br />
J [x] =J 1 [x] J 2 [ x]=∫ A<br />
F 1 =<br />
1<br />
2g sin 1 <br />
C<br />
2<br />
1 x'<br />
y<br />
ds<br />
v ∫<br />
B<br />
C<br />
, F 2 =<br />
Eftersom punkten C kan variera längs linjen yc så gäller det att<br />
y C<br />
J=∫ F 1 x −<br />
y A<br />
d<br />
dy F 1 x' h y dyF 1 x '∣ yB y= y hC ∫ C<br />
y C<br />
ds<br />
v =∫<br />
yC yB F 1 dy ∫ F2 dy<br />
yA<br />
yC<br />
1<br />
2g sin 2 1 x ' 2<br />
y<br />
F 2 x − d<br />
dy F 2 x 'hydy−F 2 x '∣y= y hC <br />
C<br />
Ett nödvändigt krav för att x=x0 ska vara ett minimum är att J=0 för x=x0 och alla h(y). De h(y)<br />
sådana att h(c)=0 ger att x=x0 måste uppfylla Eulers ekvation för F1 och F2.dvs att<br />
F 1 x− d<br />
dy F1 x ' =0 4<br />
F 2 x− d<br />
dy F 2 x ' =0 5<br />
Om ingångsfarten i punkten A är vA=0 så ges lösningen till (4) av cykloiden 1:<br />
för tA t tC.<br />
Lösningen till (5) ges av cykloiden 2:<br />
x1 = R1(t – sin t )<br />
y1 = R1(1 – cos t)<br />
x2 = R2(v – sin v ) + Dx<br />
y2 = R2(1 – cos v) + Dy<br />
för vC v vB, D=(Dx, Dy) är startpunkten för cykloiden och (yCDy) är den sträcka i yled som<br />
skidåkaren behöver åka för att uppnå farten vC .<br />
19<br />
.
Kravet att J=0 ger då att<br />
och eftersom h(C) är lika i punkten C gäller<br />
Truls Neubeck<br />
F 1 x ' ∣ y= yC hC −F 2 x ' ∣ y=yC hC = 0<br />
F 1 x ' ∣ y= yC = F 2 x' ∣ y=y C<br />
1<br />
Fi x ' =<br />
2gsin i x '1 = dx1 =<br />
dy1 1 −cost <br />
sin t<br />
1 x 2<br />
i' y<br />
i=1, 2<br />
, x ' 2 = dx 2<br />
=<br />
dy2 1 −cosv<br />
sin v<br />
sin 2 1 1 −cos v C =sin 2 2 1 −cost C <br />
Det går nu att formulera ett ekvationsystem för de variabler som behövs för att beskriva lösningen x0,<br />
det snabbaste <strong>vägval</strong>et i en backe med varierande lutning 1 och 2.<br />
1<br />
2<br />
2<br />
xc = R1(tC – sin tC) (6)<br />
yc = R1(1 – cos tC) (7)<br />
xc = R2(vC – sin vC) + Dx<br />
yc = R2(1 – cos vC) + Dy<br />
xb = R2(vB – sin vB)+ Dx<br />
yb = R2(1 – cos vB)+ Dy<br />
sin 2 1(1 – cos vC) = sin 2 2(1 – cos tC)<br />
Ekvationerna 612 är ett ickelinjärt system som kan lösas numeriskt (se Appendix B).<br />
5.6. Resultat och jämförelse med den raka vägen.<br />
Det optimala <strong>vägval</strong>et i en backe där lutningen ändras kan beskrivas av att man gör en större<br />
förflyttning i den brantare delen av backen medan man åker mer rakt i falllinjen i den flackare delen. I<br />
figur 4 kan man se hur detta <strong>vägval</strong> skulle se ut i två specialfall. Det första är när lutningen ändras från<br />
brant (30°) till flackt (5°) och det andra är när lutningen ändras från flackt (5°) till brant (30°).<br />
20<br />
(8)<br />
(9)<br />
(10)<br />
(11)<br />
(12)
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Figur 4: Linjen 5 till 30 visar det snabbaste <strong>vägval</strong>et mellan två portar i en backe<br />
där lutningen ändras från 5 till 30 grader. Linjen 30 till 5 visar det snabbaste<br />
<strong>vägval</strong>et om lutningen ändras från 30 till 5 grader. Det är tydligt att man bör<br />
försöka lägga en så stor del av svängen som möjligt i det brantare partiet av backen.<br />
Som jämförelse ligger den raka vägen mellan två portar med.<br />
För att få ett mått på hur mycket tid man kan tjäna på ett optimalt <strong>vägval</strong> så kan man jämföra<br />
lösningarna med alternativet att ta den kortaste vägen, en rak linje mellan två portar (tabell 1).<br />
Tabell 1<br />
Lutningsförändring Tid Position vid lutningsförändringen (xc)<br />
30º till 5º (Brant till flackt), Cykloid 3.969 s 6.25m<br />
30º till 5º (Brant till flackt), Raka vägen 3.974 s 3.75m<br />
5º till 30º (Flackt till brant), Cykloid 5.336 s 0.31m<br />
5º till 30º (Flackt till brant), Raka vägen 5.604 s 3.75m<br />
I ett fall där ingångsfarten är noll så kan en skidåkare tjäna upp till 27 hundradelar av en sekund på ett<br />
optimalt <strong>vägval</strong> jämfört med att köra den kortaste vägen. Detta är viktigt att påpeka då undersökningar<br />
har visat att <strong>alpin</strong>a tävlingsåkare instinktivt väljer ett <strong>vägval</strong> rakt på nästa port [Reinisch, Gautier &<br />
Monjo, 1994]. Tidsvinsten är störst då åkaren kommer från ett flackt parti in i ett brantare. Att inte<br />
tidsvinsten blir lika stor då åkaren kommer från ett brant parti in i ett flackare kan förklaras med att<br />
åkaren då har fått upp en högre fart och befinner sig därmed en kortare tid i det flacka partiet. 0.5<br />
hundradelar av en sekund är fortfarande en viktig tidsvinst då det bara handlar om en port och<br />
tidsskillnaderna under hela tävlingsåk ofta handlar om några hundradelar mellan de snabbaste åkarna.<br />
21
Truls Neubeck<br />
Om ingångsfarten är större än noll så blir cykloiddelarna allt mer raka och i farter över 30 km/h så är<br />
de i stort sett linjära [Reinisch, 1991]. Det är troligt att betydelsen av <strong>vägval</strong>et längs cykloiden minskar<br />
i förhållande till den raka vägen när farten ökar och en fortsatt undersökning där man testar olika<br />
ingångshastigheter vore intressant att genomföra.<br />
Tabell 1 visar även hur mycket man vid den höjd som backen ändrar lutning ska avvika från den räta<br />
linjen mellan två portar för att vara där den optimala <strong>vägval</strong>et går. Åkaren ska avvika ca 3 m från<br />
<strong>vägval</strong>et som går rakt på nästa port. Denna skillnad minskar troligen också när ingångsfarten på<br />
traversfasen ökar och delen av en cykloid blir allt mer linjär.<br />
De <strong>vägval</strong> som modellen visar som de optimala stämmer med de <strong>vägval</strong> man eftersträvar inom<br />
<strong>alpin</strong>åkning. Man försöker i den <strong>alpin</strong>a åkningen förlägga svängen i det brantare partiet av backen<br />
[Hjalmars, 2006]. Det tillkommer då ytterligare faktorer som att man måste kunna genomföra svängen<br />
utan att sladda, något som blir svårare ju brantare backen blir. Sådana faktorer tar inte denna<br />
förenklade modell hänsyn till.<br />
22
6. Svängfasen<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
6.1. Den snabbaste vägen i en backe med tre portar.<br />
Om en skidåkare ska ta sig från en port, A,via en andra port, B, till en tredje port, C, på så kort tid som<br />
möjligt, ges lösningen av den extremalkurva x=x0 som minimerar funktionalen<br />
J [x] =J 1 [x] J 2 [ x]=∫ A<br />
B<br />
ds<br />
v ∫<br />
C<br />
B<br />
Enligt de antaganden som gäller för den förenklade modell av en skidåkare som beskrivits ovan så<br />
gäller det att både J1 och J2 kommer att ha delar av cykloider som extremalkurvor x = x(y) och<br />
lösningen kommer att vara en bruten extremal med brytpunkt i B. En sådan kurva kallas i [Reinisch,<br />
1991] för zbana och innebär att skidåkaren gör en momentan riktningsförändring utan att förlora fart.<br />
Att åka så är naturligtvis omöjligt i verkligheten, men utvecklingen inom den <strong>alpin</strong>a utförsåkningen går<br />
mot allt mindre svängradier [Andersson, 1998].<br />
Figur 5: Lösningen på den snabbaste vägen mellan flera portar innebär att<br />
svängfasen består av att momentant byta riktning och banan kallas för zbana. Från<br />
[Reinisch, 1991].<br />
För att få en bild som mer överensstämmer med hur en verklig skidåkares sammanlänkande sväng<br />
mellan två cykloider ser ut måste man införa någon begränsning i modellen. Detta innebär att vi<br />
23<br />
ds<br />
v
Truls Neubeck<br />
kommer begränsa mängden av de tillåtna kurvor som man kan mäta tiden utmed. En fråga som dyker<br />
upp då man inför en begränsning är om begränsningen kommer att påverka resultatet globalt, dvs en<br />
annan bana blir snabbare, eller lokalt så att begränsningen spelar roll enbart i svängfasen.<br />
6.2. Några olika beskrivningar av svängfasen.<br />
Genom att titta på några tidigare beskrivningar av svängfasen bör man kunna hitta en begränsning som<br />
gör att det optimala <strong>vägval</strong>et inte innefattar några momentana riktningsförändringar.<br />
6.2.1. Svängen som en elastisk stöt.<br />
Detta är en modell av svängfasen som användes i [Andersson, 1998] för att länka samman cykloider<br />
till fullständiga svängar.<br />
Låt en port vara placerad i origo O och åkaren närma sig porten längs linjen Din med ingångsvinkeln β<br />
och lämna porten längs linjen Dut som har utgångsvinkeln β och är symmetrisk med Din (se figur 6).<br />
Figur 6: Skidåkarens masscentrum rör sig mot porten längs en linje Din och från<br />
porten längs en linje Dut.<br />
Masscentrum G hos åkaren rör sig längs Din och Dut med en fullständigt elastisk stöt i origo. För att<br />
genomföra denna sväng kan man anta att man pressar vinkelrätt mot skidorna i punkten S där l är<br />
avståndet SG mellan masscentrum och skidorna (se figur 7). l kan då ses som en fjäder med sambandet<br />
d = k dl där ä r den vinkel man vridit skidorna ifrån Din och k är den belastning som påverkar<br />
åkaren under svängen.<br />
24
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Figur 7: Skidorna befinner sig på ett avstånd l från masscentrum G under svängen.<br />
Ur figur 7 kan man få de geometriska sambanden<br />
y =OG sin <br />
l =OGsin } l = y<br />
sin <br />
sin <br />
där sinβ är en konstant. En liten förändring av l med avseende på riktningen y ges då av<br />
Insättning i<br />
ger<br />
dl<br />
dy<br />
= ∂ l<br />
∂ y<br />
∂ l<br />
∂<br />
d <br />
dy<br />
= sin <br />
sin <br />
y cos<br />
sin <br />
Figur 8: Skidornas väg runt porten beskrivs av kurvan S=S(t).<br />
d <br />
dy<br />
= −k dl<br />
dy<br />
25<br />
d <br />
dy<br />
(se figur 8).
d <br />
dy<br />
= −K<br />
Truls Neubeck<br />
sin <br />
1 Ky cos där K = k<br />
sin .<br />
Denna differentialekvation har en unik lösning enligt Picards sats och löses numeriskt med<br />
randvillkoret α(0) = π 2β vilket fås ur att skidorna skall vara tangentiella med Dut i origo.<br />
Resultatet är kurvan S=S(t) som beskriver den väg skidorna tar i svängfasen och kan användas för att<br />
länka samman traversfasens cykloiddelar till hela åk. Modellen beskriver dock en åkteknik som kräver<br />
att man påbörjar svängen med ett hopp (≠0 i början av svängen), något som skiljer den från den<br />
carvingteknik som eftersträvas i dagens utförsåkning.<br />
6.2.2. Carvingekvationen.<br />
Studier av hur man kan balansera skidorna genom hela svängfasen utan att sladda eller hacka och göra<br />
en skärande sväng utan att förlora fart, dvs en carvingsväng, finns i [Jentschura & Fahrbach, 2004] och<br />
[Lind & Sanders, 2004]. Som tidigare beskrivits så kan kraften som påverkar en skidåkare delas upp i<br />
olika komponenter. Fp är den kraft som kan öka åkarens fart och Fload = FN + Flat +Fc måste<br />
kompenseras av snön. För att åkaren inte ska sladda måste hon därför balansera sitt masscentum<br />
ovanför skidorna i en linje parallell med Fload.<br />
Figur 9: Lutningsvinkeln, , på en åkare i svängfasen ges av att åkaren måste<br />
balansera sitt masscentum ovanför skidorna i en linje parallell med Fload. .<br />
Vinkeln, , som åkaren behöver luta in i svängen ges av vinkeln mellan Fload och F N (se figur 9) enligt:<br />
cos = F load ⋅F N<br />
∥F load ∥∥F N ∥<br />
Enligt antagandena för denna modell gäller det att i en perfekt carvingsväng så ges skidornas effektiva<br />
svängradie R av skidornas skärningsradie Rsc (se figur 10), och hur mycket man lutar skidorna enligt<br />
sambandet<br />
R() = Rsc cos .<br />
26
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Figur 10:Svängradien, Rsc, fås ur skidornas skärning Från [Jentschura & Fahrbach,<br />
2004].<br />
Genom att kombinera dessa två uttryck så får man carvingekvationen<br />
R<br />
R sc<br />
= F load ⋅F N<br />
∥F load ∥∥F N ∥<br />
vilken måste vara uppfylld för att man ska göra en perfekt carvingsväng. För kurvan x=x(y) kan<br />
carvingekvationen skrivas<br />
tan 2y∣x ' '∣x ' 3 2 2 2 3<br />
x ' − Rsc∣x ' '∣ −1x ' = 0 .<br />
Carvingekvationen är en differentialekvation av andraordningen där man har två frihetsgrader för den<br />
kurva längs med vilken perfekta carvingsvängar kan göras.<br />
6.2.3. Begränsad krökningsradie.<br />
Ett sätt att beskriva svängfasen är att begränsa hur snävt svängen kan göras genom att kurvans<br />
krökningsradie, R, aldrig får understiga ett minsta värde Rmin [Reinisch, 1991]. Begränsningen på<br />
kurvan blir då<br />
Villkoret att RRmin kan skrivas<br />
där<br />
R = 1 x ' 2 3/ 2<br />
<br />
∣x ' '∣ Rmin .<br />
−K <br />
x ' '<br />
1 x ' 2 K 3/ 2<br />
<br />
K = 1<br />
R<br />
vilket gör att man kan söka lösningen x0 bland alla funktioner med kontinuerlig andraderivata,<br />
x C 2 .<br />
Genom integrera villkoret RRmin över en positiv testfunktion kan man få en svag formulering av<br />
villkoret där det räcker att lösningen x0 har kontinuerlig förstaderivata.<br />
Integration över ger<br />
27
y B<br />
−∫ 0<br />
partiell integrering ger<br />
y B<br />
K dy ∫ 0<br />
y B<br />
−∫ 0<br />
x ' '<br />
Truls Neubeck<br />
1 x' 2 3/ 2 dy ∫ 0<br />
y B<br />
K dy ∫ 0<br />
x'<br />
y B<br />
1 x ' 2 ' dy ∫ 0<br />
∞<br />
K dy ,∈ C0 [0, y B ]<br />
y B<br />
K dy<br />
och man kan således söka lösningen x0 med en begränsning på krökningsradien bland alla<br />
med denna begränsning på x'.<br />
6.2.4. Begränsad Fload<br />
x C 1<br />
Ytterligare ett sätt att begränsa svängfasen är att tänka sig att åkaren bara klarar belastningen upp till<br />
ett visst värde FloadMAX. Om man begränsar hur snävt svängen kan göras genom att inte låta Fload<br />
överstiga FloadMAX. så får man uttrycket<br />
där<br />
Fload = FN + Flat + Fc. FloadMAX<br />
Fload = W cos Wsin 1x'2 2<br />
mv a2gy∣x''∣<br />
1x' 2 2 [ 1<br />
−x'] .<br />
Fload innehåller alltså uttrycket för krökningsradien. dessutom ökar Fload när farten ökar och när backen<br />
blir brantare. En begränsning på Fload innehåller en begränsning på x'' men kan på liknande sätt som<br />
begränsningen på krökningsradien skrivas om med en svag formulering så att man bara har en<br />
begränsning på x'.<br />
6.3. Jämförelse mellan de olika modellerna för svängfasen.<br />
Modellen med en elastisk stöt förutsätter att Din och Dut är symmetriska vilket bara gäller om banan är<br />
symmetriskt stakad. I den carvingteknik som eftersträvas i dagens åkning påbörjas svängen utan ett<br />
hopp (α0 = 0) något som får modellen med en elastisk stöt att divergera. Att se svängen som en elastisk<br />
stöt innebär att skidorna hackar vilket påverkar farten och därmed även nästa cykloid. Allt detta<br />
sammantaget gör att man bör försöka hitta ett annat sätt att beskriva svängfasen.<br />
Carvingekvationen ger villkor under vilka en perfekt carvingsväng kan utföras, men det är svårt att<br />
direkt använda det komplicerade uttrycket för carvingekvationen som ett uttryck för begränsningen på<br />
svängfasen.<br />
Att begränsa svängfasen med krökningsradien ger ett enkelt uttryck men det beror tyvärr inte av farten<br />
som åkaren har i svängen, rimligen borde ju en skidåkare kunna göra snävare svängar om hon åker<br />
långsammare.<br />
Det verkar dock som om att Fload skulle vara en bra faktor att beskriva svängfasen med. Den ingår i<br />
carvingekvationen och innehåller både åkarens fart v och kurvans krökning R utan att bli så<br />
komplicerad som carvingekvationen.<br />
28
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
7. Travers och svängfas tillsammans<br />
Kan man hitta det <strong>vägval</strong>, kurva, som minimerar tiden det tar att åka nedför en bana med tre portar<br />
givet en begränsning av hur snävt kurva får svänga? Om krökningsradien R inte får understiga ett visst<br />
värde Rmin så kan man anta att lösningen består av delar av cykloider under traversfasen och av kurvor<br />
med minsta tillåtna krökningsradie R = Rmin under svängfasen [Reinisch, 1991] (se figur 11).<br />
Figur 11: Lösningen på problemet med begränsad krökningsradie består av delar av<br />
cykloider under traversfasen och av kurvor med minsta tillåtna krökningsradie R =<br />
Rmin under svängfasen [Reinisch, 1991].<br />
Det är inte givet att problemet med att hitta ett optimalt <strong>vägval</strong> i en bana med tre portar och en<br />
begränsning på svängfasen inte kommer att påverka resultatet globalt och man bör därför utreda detta<br />
vidare innan man tar den ovan antagna lösningen för given.<br />
7.1. Formulering med hinder.<br />
Problemet med att hitta det snabbaste <strong>vägval</strong>et via en port har likheter med andra variationsproblem<br />
med hinder. En hinderfunktion som villkor på mängden X underlättar inte nödvändigtvis<br />
beräkningarna i fallet med den snabbaste vägen via tre portar. Men det gör det lättare att jämföra med<br />
andra problem.<br />
Åkaren måste runda porten B så att<br />
x(yB) 1.<br />
I ett variationsproblem med hinder har man ett villkor av typen<br />
x(y) (y),<br />
där (y) är en hinderfunktion som tvingar kurvan man söker x0 att ta en viss väg (se figur 12).<br />
29
Truls Neubeck<br />
Figur 12: Problemet formulerat med en hinderfunktion (y) som gör att kurvan x(y)<br />
måste runda punkten B.<br />
Resultat från andra studier av variationsproblem med hinder har visat att regulariteten hos lösningen<br />
följer regulariteten hos hinderfunktionen. Har hinderfunktionen låg regularitet så har lösningen låg<br />
regularitet. Jämför med resultatet för zbanan där hinderfunktionen är<br />
y = 1 : y=y B<br />
0 ; y≠y B<br />
och lösningen har diskontinuerlig derivata. Även den antagna lösningen ovan kan beskrivas med en<br />
hinderfunktion i form av en cirkel med radien Rmin där lösningen som består av en del av en cirkel med<br />
radie Rmin antar samma regularitet vid hindret.<br />
De problem som inför denna uppsats studerats i litteraturen verkar tyvärr handla om helt andra<br />
funktionaler än<br />
b<br />
J [x] =∫ <br />
1x '<br />
a<br />
2<br />
dy<br />
y<br />
och det är svårt att dra några slutsatser ifrån dessa. Dessutom går det inte att formulera en<br />
hinderfunktion som beror av farten, vilket krävs för en fysikaliskt motiverad begränsning (se kapitel<br />
6.2).<br />
30
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
8. Variationskalkylens fundamentalsats<br />
För att ta reda på om en begränsning på svängfasen påverkar resultatet globalt eller inte behöver man<br />
beräkna lösningen för problemet som helhet, dvs de villkor som begränsar möjliga <strong>vägval</strong> måste tas<br />
med från början och gälla på hela intervallet. För att göra det behöver man använda numeriska eller<br />
direkta metoder då det inte går att lösa Eulers ekvation med en begränsning på krökningsradien R eller<br />
F load. Det är viktigt att säkerställa existens och entydighet av ett minimum på problemet innan man<br />
börjar beräkna lösningen numeriskt. Har man säkerställt existensen av ett minimum så vet man att den<br />
numeriska modell man använder kan konvergera. Vet man även att minimumet är entydigt så kommer<br />
modellen inte att kunna växla mellan olika lösningar under beräkningarna. Att visa existensen av ett<br />
minimum görs med variationskalkylens fundamentalsats. Variationskalkylens fundamentalsats<br />
förutsätter begrepp från funktional analysen vilka finns i appendix A.<br />
Sats 4, Variationskalkylens fundamentalsats, Existens av minimerande punkter:<br />
Låt f:Xℝ vara en nedåt halv kontinuerlig funktion (n.h.k.) på mängden X. Låt det finnas ett reellt tal<br />
sådant att<br />
1. Xf, ={xX∣f(x)} ≠ 0<br />
2. Xf, är följd kompakt.<br />
Då existerar en minimerande punkt x0 till f i X.<br />
Sats 5, Entydighet av minimerande punkter:<br />
Låt X vara konvex och f:Xℝ en strikt konvex funktion på X. Då har f som mest en minimerande punkt<br />
i X.<br />
Kombinationen av Sats 4 och 5 ger att om<br />
1. X är konvex<br />
2. f är strikt konvex<br />
3. f är n.h.k.<br />
4. ∃ℝ med Xf, ≠ ∅ och Xf, följdkompakt<br />
så existerar endast en minimerande punkt x0 till f i X.<br />
Ett problem med variationskalkylens fundamentalsats är att det ofta är svårt att hitta topologi på<br />
mängden X som uppfyller villkoren i sats 4. För en finare topologi ger fler n.h.k funktioner och en<br />
grövre topologi ger fler följdkompakta mängder. I ett Banachrum existerar det en topologi som är<br />
grövre än normtopologin och ger tillräckligt många följdkompakta mängder, nämligen den svaga<br />
topologin. Med hjälp av denna kan man formulera en variation på sats 4.<br />
Sats 6, Variation av Variationskalkylens fundamentalsats:<br />
1. Låt X vara ett reflexivt Banachrum och MX en svagt (följd) stängd delmängd.<br />
2. Låt f:Mℝ vara koerciv svagt (följd) n.h.k. funktion på M.<br />
Då är infxM f(x) ändlig och uppnås i en punkt x0 M.<br />
31
8.1. Villkor på mängden X<br />
Truls Neubeck<br />
För att uppfylla de villkor som krävs för att vara säker på att det existerar en entydig lösning på<br />
problemet måste man välja mängden X noggrannt. Valet av X styr även normen vilken påverkar hur<br />
funktionalen f beter sig. Följande två exempel visar att det inte är helt rättframt att tillämpa<br />
variationskalkylens fundamentalsats.<br />
8.1.1. Problem med entydigheten av minimerande punkter.<br />
För enkelhetens skull kan man undersöka möjligheten att visa att endast ett minimum existerar i fallet<br />
med villkoret<br />
R Rmin<br />
För att visa att sats 5 gäller för villkoret att R Rmin måste man visa att mängden X är konvex. Dvs att<br />
det för alla x1, x2 ∈ X gäller att<br />
01 ⇒ x1+(1)x2. X.<br />
Man kan se att det blir problem med att visa att villkoret är konvext då x1' > x2' och x1''> x2'' och man<br />
kan utifrån denna iakttagelse konstruera två kurvor som motbevisar att X är en konvex mängd.<br />
Antag att i en punkt, m, gäller följande<br />
låt Rmin = min{R1 y=m, R2 y=m} för =0.5 får man då<br />
x1' = 2, x1'' = 4, R1 y=m = 2.8<br />
x2' = 1, x2'' = 1, R2 y=m = 2.83<br />
R=0.5, y=m = 2.34 < Rmin.<br />
Det går nu att skapa två kurvor x1 och x2 sådana att de uppfyller de övriga villkoren i mängden X. Låt<br />
x1 bestå av delar av en cirkel med radie R1 y=m och räta linjer och låt x2 bestå av en annan cirkel med<br />
radie R2 y=m och räta linjer så att de tre första villkoren på mängden uppfylls (se figur 13).<br />
Figur 13: Kurvan består av delar av en cirkel med radie R1 y=m och räta linjer.<br />
32
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Nu gäller x1, x2 X men för =0.5 så x1 + (1)x2 ∉ X och mängden X är alltså ej konvex. Vilket<br />
innebär att det inte är säkert att det existerar endast en lösning på variationsproblemet.<br />
8.1.2. Problem med existensen av minimerande punkter.<br />
En annan sak som man vill visa är att det existerar ett minimum till problemet. För att visa att det<br />
säkert existerar minimerande punkter kan man använda sats 6. Mängden X måste då vara en delmängd<br />
i ett reflexivt Banachrum. Villkoren på mängden X kommer att innehålla x' vilket gör att man kan<br />
1, 2<br />
pröva att uppfylla sats 6 för till exempel Sobolevrummet, W 0 , som är ett Hilbertrum. Man får då att<br />
och normen för x X ges av<br />
1, 2<br />
X ⊆W 0<br />
∥x∥ 1,2 = ∫∣∇ x y∣ W 0 <br />
<br />
2 dy 1/2<br />
Man ska visa att f är en koerciv funktion, dvs att för<br />
gäller det att<br />
y<br />
f x =∫ <br />
C<br />
1 x'<br />
y A<br />
2<br />
dy<br />
y<br />
∥x∥ 1, 2 ∞ W ⇒ f x ∞<br />
0<br />
1<br />
1<br />
Tyvärr gäller detta inte. Iden till motexemplet bygger på att lim ∫ dy är en konvergent integral.<br />
c 0 c y<br />
Man kan utifrån denna idé skapa en följd xi sådan att f(xi) konvergerar då i ∞ trots att ∥xi∥ ∞ .<br />
Låt<br />
Då gäller<br />
Normen av x kan skrivas<br />
där<br />
y B<br />
I 2 = −∫ 0<br />
x = y[ y B − y 1/ 2 − 1/ 2 ] , 1/2 0 .<br />
x '= [y B −y 1 / 2 − 1/ 2 ]− 1<br />
2 yy B −y−1 / 2 .<br />
y B<br />
2<br />
∥x∥ 1,2 =∫ W 0<br />
0<br />
y B<br />
I 1 =∫ 0<br />
x ' 2 dy = I 1 I 2 I 3<br />
[ y B −y 1/2 − 1/2 ] 2 dy0<br />
y[1− 1/ 2 y B −y −1/2 ] dy−y B [1 − <br />
33<br />
.<br />
<br />
y B ]−y B<br />
då 0
Så ∥x 1, 2 ∥ ∞ W när 0 .<br />
0<br />
Men för<br />
har man<br />
1x ' 2<br />
y<br />
vilket för uppdelningen<br />
ger<br />
och<br />
I 1 = 1<br />
2 ∫ yB/ 2<br />
0<br />
I 2 = 1<br />
2 ∫<br />
y B<br />
y B /2<br />
Alltså gäller<br />
Truls Neubeck<br />
I 3 = 1<br />
4 ∫ yB y<br />
0<br />
2 [y b−y] −1 dy 1<br />
8 y 2<br />
B<br />
y B<br />
∫<br />
y B/ 2<br />
y B −y −1 dy =<br />
= 1<br />
8 y 2<br />
B ln yB /2 −ln∞ då 0 .<br />
y B<br />
F [ x ] =∫ 0<br />
1x ' 2<br />
dy<br />
y<br />
1<br />
=<br />
y [y B−y1 /2 − 1/ 2 ] 2<br />
−[1 −<br />
y<br />
1/ 2 y B−y −1/2 ] 1<br />
4 yy B− y−1 1 y B 1<br />
<br />
y 4 y yB− y−1 = 4 1y B yB−y y2<br />
4 y yB−y <br />
F [ x ] I 1 I 2<br />
41y B yB−yy 2<br />
dy <br />
yy B−y 1<br />
2 ∫ y B /2<br />
<br />
41 yBy By B/2<br />
0<br />
2<br />
dy=<br />
y y B /2 <br />
y B/ 2<br />
K 1 ∫ 0<br />
41y B yB−yy2 yy B− y<br />
yB K 2 ∫<br />
y / 2 B<br />
dy<br />
y C ∞ då 0<br />
1<br />
dy 1<br />
2 ∫<br />
y<br />
<br />
B<br />
y B/ 2<br />
41y B y B /2 y B2 dy=<br />
yB /2 yB− y<br />
dy<br />
y B −y = K 2 [ y B /2 −] C 2 ∞ då 0.<br />
F [ x] C 1C 2 ∞ när ∥x∥ 1,2 ∞ W ,<br />
0<br />
1,2<br />
dvs F[x] är ej en koerciv funktion under W 0 normen. Man kan således inte använda sats 6 för att<br />
visa att ett minimum existerar till problemet om man använder denna norm.<br />
34
9. Numeriska och direkta metoder<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Oavsett om man har lyckats att visa att villkoren för variationskalkylens fundamentalsats är uppfyllda<br />
eller ej så kan man försöka att beräkna lösningen till problemet med hjälp av någon lämplig metod. För<br />
att kontrollera om den beräknade lösningen verkligen är ett minimum så kan man till exempel göra<br />
flera beräkningar och jämföra resultaten sinsemellan. Verkar resultaten lika och de ger ett mindre<br />
värde än andra beräkningar kan man anta att de representerar ett minimum. Här följer några<br />
beräkningsmetoder som skulle kunna vara lämpliga att pröva på variationsproblemet med den<br />
snabbaste vägen mellan tre portar och en begränsning på svängfasen.<br />
9.1. Variationsolikheter<br />
Ett sätt att beräkna lösningen på variationsproblemet är genom att skriva om problemet som en<br />
variationsolikhet [Kinderlehrer & Stampaccia, 2000].<br />
Exempel: Om man söker ett minimum x0 till en reell funktion f(x) på intervallet I =[a, b] så kan tre fall<br />
inträffa<br />
1. om a
y C<br />
x ' 0 =∫ y A<br />
Truls Neubeck<br />
x0' 2gy 1 x ' 2 x '−x 0 ' dy 0 .<br />
Som ovan visats så är mängden X ej konvex med en begränsning på krökningsradien vilket gör att<br />
variationsolikheter inte är direkt tillämpbart i detta fall.<br />
9.2. Ritz metod.<br />
Ritz metod är en så kallad direkt metod för att beräkna lösningen på olika variationsproblem med hjälp<br />
av minimerande följder.<br />
Definition 10: En följd {xn} kallas minimerande följd om<br />
Ritz metod minimerar en funktional genom att man<br />
1. Konstruerar en minimerande följd.<br />
2. Visar att följden konvergerar till x0 X.<br />
3. Visar att lim J [x n ] = J [ lim x n ] gäller.<br />
n∞<br />
n ∞<br />
lim J [x n ] = inf J [x] = −∞<br />
n∞<br />
x ∈X<br />
Variationskalkylens fundamentalsats är ett sätt göra det.<br />
Antag att<br />
1, 2, 3,...<br />
är en oändlig följd i X och låt Xn vara det ndimensionella rummet som spänns upp av de n st första<br />
funktionerna , där<br />
då kan varje x Xn kan skrivas på formen<br />
X1 ⊆ X2 ⊆ ... ⊆ Xn ⊆ Xn+1 ⊆ ...⊆ X<br />
11 +...+ nn<br />
där 1,...,n är reella tal. För varje delmängd Xn blir då<br />
J[x] = J[11 +...+ nn].<br />
Man kan nu välja 1,...,n så att J[11 +...+ nn] minimeras med<br />
Då gäller att<br />
n. =<br />
inf J [ x ]<br />
x∈ X n<br />
123...<br />
eftersom varje linjärkombination av {1, 2,..., n} automatiskt är en linjärkombination av {1, 2,...,<br />
n+1}.<br />
36
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Sats 7: Om J[x] är kontinuerlig och om {n} är en följd som är linjärt oberoende och spänner upp X<br />
så<br />
där<br />
lim n = <br />
n∞<br />
= inf J [ x]<br />
x∈ X<br />
Genom att lösa ändliga optimeringsproblem med bivillkor i varje steg kan man konstruera en följd<br />
{xn} som konvergerar mot minimat i en mängd, X. Fördelen med Ritz metod är att om man lyckas<br />
välja bra funktioner, , så konvergerar metoden snabbt.<br />
9.3. Finit differens metod<br />
Ett annat sätt att beräkna lösningen på variationsproblemet är med en finit differens metod. Genom att<br />
låta kurvan bestå av n st räta linjer sammanbundna i punkter som kan variera i xled så kan man få ett<br />
ändligt problem när man ska beräkna det snabbaste <strong>vägval</strong>et. Denna diskretisering ger även en<br />
möjlighet att approximera begränsingen i svängfasen, som i en kontinuerlig modell är uttryckt i x' och<br />
x''. Några problem med denna metod är konvergens och tillförlitlighet hos resultatet.<br />
37
Truls Neubeck<br />
38
10. Diskussion<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Studiet av optimala <strong>vägval</strong> inom <strong>alpin</strong> utförsåkning visar att man kan tjäna upp till ett par tiondelars<br />
sekund genom att i traversfasen mellan två portar åka längs en del av en cykloid jämfört med den raka<br />
vägen så länge ingångsfarten till traversfasen inte överstiger 40 km/h. Även då lutningen förändras<br />
under traversfasen så kommer en ökad ingångshastighet att minska betydelsen av att åka längs<br />
cykloiden, då vinsten av att befinna sig en kort tid i det flackare partiet minskar ju fortare man åker.<br />
Betydelsen av cykloiden som <strong>vägval</strong> är därmed störst i början på åket innan åkaren har fått upp så stor<br />
fart, men tidsvinsten gör ändå att detta är relevant då skillnaderna i tidsresultatet för hela åk kan handla<br />
om hundradelar av en sekund mellan olika åkare.<br />
För att få en enkel men realistisk modell för att länka samman olika traversfaser med en svängfas kan<br />
man använda en begränsning på den kraft Fload som åkaren måste motverka i svängen. Tidigare resultat<br />
av travers och svängfas tillsammans har antagit att lösningen inte förändras globalt om man använder<br />
en begränsing på svängfasen, något som inte är självklart. För att ytterligare undersöka problemet med<br />
travers och svängfas måste man definiera mängden X av möjliga <strong>vägval</strong> så att existensen och helst<br />
entydigheten av ett minimum garanteras.<br />
Entydigheten garanteras av att mängden är konvex. Det är möjligt att villkoret<br />
Fload FloadMAX<br />
är konvext. Men det verkar osannolikt då krökningsradien R ingår i uttrycket för Fload och villkoret<br />
R Rmin<br />
inte är konvext. Existensen av ett minimum garanteras av variationskalkylens fundamentalsats med<br />
villkoren<br />
och<br />
(1) Xf, ={xX∣f(x)} ≠ 0<br />
(2) Xf, är följd kompakt.<br />
Dessa villkor kan gälla trots att förutsättningarna för den alternativa formuleringen av<br />
1, 2<br />
variationskalkylens fundamentalsats inte är uppfyllda för X ⊆W 0 .<br />
Oavsett om man kan visa att ett entydigt minimum existerar eller ej så kan man försöka beräkna<br />
lösningen med någon numerisk metod. Det är då viktigt att kontrollera och uppskatta resultaten för att<br />
se om de är relevanta. Problemet påminner om andra problem med variationsolikheter men det är inte<br />
tillräckligt stora likheter för att man direkt ska kunna gå vidare och utnyttja tidigare resultat. Ritz<br />
metod har fördelen att den konvergerar snabbt om man lyckas välja bra basfunktioner. Det är dock<br />
oklart hur dessa basfunktioner ska väljas i detta fall. Förslagsvis skulle man köra flera olika numeriska<br />
metoder och jämföra lösningarna sinsemellan för att se om de liknar varandra.<br />
39
Truls Neubeck<br />
40
11. Slutsats<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Det optimala <strong>vägval</strong>et för en <strong>alpin</strong> utförsåkare går att undersöka med variationskalkyl. Lösningen är<br />
relevant för traversfasen innan hastigheten uppgår till 40 km/h och ger tidsvinster på upp till ett par<br />
tiondelar av en sekund per port. Om lutningen ändras i traversfasen bör en större del av traversen<br />
utföras i den brantare delen av backen. För att få en någorlunda realistisk modell för travers och<br />
svängfasen tillsammans måste man införa en begränsning på svängfasen. Detta gör att villkoren på<br />
mängden av möjliga <strong>vägval</strong> inte nödvändigtvis garanterar existensen av ett entydigt minimum.<br />
41
Truls Neubeck<br />
42
12. Appendix A<br />
12.1. Mer funktionalanalys<br />
12.1.1. Konvexitet<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
För att vara säker på att ett eventuellt minimum inte bara är lokalt så behöver man begrepp som<br />
beskriver om funktioner och mängder är konvexa.<br />
Definition 11: En funktion f:Xℝ är strikt konvex om det för alla x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2, gäller att<br />
Figur 14: Konvex funktion.<br />
0
0 så att<br />
Truls Neubeck<br />
∥x −a∥ X r ⇒ x ∈ G<br />
Definition 15: En topologi på en mängd X är en uppsättning öppna delmängder G sådan att<br />
• varje union av element i G är ett element i G<br />
• snittet av ändligt många element i G är ett element i G<br />
• mängden, X, och den tomma mängden, ∅, är element i G<br />
Paret är ett topologiskt rum.<br />
Följande definitioner beskriver kompakta mängder. För en kompakt mängd kan man vara säker på att<br />
en funktional är begränsad och antar sina gränser. För att beskriva kompakthet använder man sig av<br />
något som kallas öppna övertäckningar.<br />
Definition 16: En öppen övertäckning av en mängd X är en klass av öppna mängder sådana att X är<br />
innehållen i unionen av mängderna i klassen.<br />
Definition 17: En mängd X kallas kompakt omm varje öppen övertäckning av X innehåller en ändlig<br />
övertäckning.<br />
Definition 18:En mängd X kallas följdkompakt om varje följd i mängden har en konvergent delföljd.<br />
12.1.3. Normerade rum<br />
Definition 19: En följd {xn} kallas Cauchyföljd om<br />
∣xn xm∣ 0 (m, n ∞)<br />
∥xn x∥ 0 (n ∞)<br />
Definition 20: Ett Banachrum är ett fullständigt normerat rum X där alla Cauchyföljder konvergerar i<br />
rummets norm, dvs om {xn} är en Caucyföljd i X så existerar ett x ∈ X sådant att<br />
Exempel. Ett exempel på Banachrum är Lebesquerummen, L p () som består av alla funktioner x som<br />
uppfyller<br />
∥x∥ L p = ∫ <br />
∣xy∣ p 1/ p<br />
dy ∞<br />
Definition 21: Ett linjärt rum, X, där normen ges av den inre produkten enligt<br />
kallas preHilbertrum.<br />
Definition 22: Ett Banachrum där normen ges av<br />
∥x∥ X = 〈 x , x〉<br />
∥x∥ X = 〈 x , x〉<br />
är ett Hilbertrum, dvs ett fullständigt preHilbertrum är ett Hilbertrum.<br />
Exempel. Lebesquerummet, L 2 () är ett Hilbertrum där normen i L 2 () ges av<br />
44
där<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
1/ 2<br />
∥x∥ 2 = 〈x , x〉 2 = ∫ x L L <br />
<br />
2 1/ 2<br />
y dy<br />
〈 x 1 , x 2 〉 L 2 =∫ <br />
x 1 y x 2 y dy .<br />
Exempel. Sobolevrummet W m,p () är en delmängd av ett Lebesquerum, L p (), där normen ges av<br />
∥x∥ W m , p =∫ <br />
Sobolevrummet W 1,2 () är ett Hilbertrum då normen<br />
gör rummet fullständigt.<br />
∣x y∣ p ∣∇ x y∣ p 1/ p<br />
<br />
1/ 2<br />
∥x∥ 1,2 = W 〈x , x〉 1,2 = 〈 x , x〉 2 〈∇ x , ∇ x 〉 2 W L L <br />
Definition 23: Två normer, A och B, är ekvivalenta normer om det existerar c1, c2 ℝ så att<br />
c 1 ∥x∥ A ∥x∥ B c 2 ∥x∥ A<br />
Ekvivalenta normer bevarar konvergens och därmed fullständighet.<br />
Exempel. Den delmängd av Sobolevrummet W 1,2 () som består av funktioner som är noll på randen<br />
1,2<br />
är ett Hilbertrum och betecknas W 0 . Detta rum är fullständigt med den enklare normen<br />
som är ekvivalent med W 1,2 () normen.<br />
12.1.4. Dual och bidual<br />
∥x∥ 1,2 = ∫∣∇ x y∣ W 0 <br />
<br />
2 dy 1/2<br />
Definition 24: Mängden av alla begränsade linjära funktionaler f på ett rum X kallas dualen till X och<br />
betecknas X'.<br />
Dualen X' till ett normerat rum X är alltid ett Banachrum med normen<br />
∥f ∥X ' = sup ∣ f x∣ .<br />
∥x∥X1 Definition 25: Mängden av alla begränsade linjära funktionaler, F, som verkar på X' kallas bidualen<br />
till X och betecknas X''.<br />
Bidualen är ett Banachrum med normen<br />
∥F∥X ' ' = sup ∣F f ∣<br />
∥ f ∥X1 Definition 26: Ett reflexivt rum X är ett rum med en bijektion mellan rummet X och dess bidual X''.<br />
Alla Hilbertrum är reflexiva.<br />
45<br />
.
12.1.5. Svag och *svag topologi.<br />
Truls Neubeck<br />
Definition 27: Låt a vara ett element i X, f1, f2,..., fn vara linjära och begränsade funktionaler i X' och<br />
ℇ< 0. Då kan man definiera en svag omgivning U till a genom<br />
U(a, f1, f2,..., fn ,ℇ) = {x ∈ X ∣ sup<br />
1 in<br />
∣fi(xa)∣ < ℇ}.<br />
Definition 28:Om A är en icketom delmängd av X så är A svagt öppen omm varje a ∈ A har en svag<br />
omgivning U ⊂ A.<br />
De svagt öppna delmängderna definierar en topologi på X som kallas en svag topologi.<br />
Definition 29:I ett normerat rum X gäller att en följd {xn} konvergerar svagt mot x om<br />
f(xn) f(x) då n ∞ ,för alla f ∈ X'.<br />
Sats 8:I alla reflexiva rum har varje begränsad följd en svagt konvergent delföljd<br />
Definition 30: För g ∈ X', x1, x2,...,xn ∈ X och ℇ > 0 så är<br />
en *svag omgivning till g.<br />
V(g, x1, x2,...,xn, ℇ) = {f ∈ X' ∣ sup<br />
1 in<br />
∣f(xi)g(xi)∣ < ℇ}<br />
Definition 31: Låt G' vara en icke tom delmängd av X'. Om det till varje g ∈ G' finns en *svag<br />
omgivning V ⊂ G' så är G' en *svagt öppen mängd.<br />
De *svagt öppna mängderna definierar en topologi på X.<br />
Definition 32: Om {fn} är en följd i X' och f ∈ X' säger man att {fn} konvergerar *svagt mot f omm<br />
fn(x) f(x) då n ∞ ,för alla x ∈ X.<br />
I ett Hilbertrum är svag och *svag konvergens samma sak.<br />
46
13. Appendix B<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Det ickelinjära ekvationssystemet i kapitel 5.5 löstes med progamvaran Octave. De script som kördes<br />
var Variations.m, Varsol.m, F.m och T.m.<br />
13.1. Variations.m<br />
##<br />
## GNU octave script<br />
##<br />
## Script for calculating the variational solution for different<br />
## values of the angles alpha1 and alpha2.<br />
##<br />
## /Truls Neubeck<br />
## Initialize plot window<br />
clearplot;<br />
## sätter origo i övre vänstra hörnet<br />
axis ("ij");<br />
hold on;<br />
## Constants<br />
yc = 8;<br />
xb = 7.5;<br />
yb = 16;<br />
## Global variables<br />
global r2 b2<br />
## första banan för brant till flackt<br />
alpha3 = pi/6;<br />
sinalpha3 = sin(alpha3);<br />
alpha4 = pi/36;<br />
## Lös ekvationssystemet<br />
[xc,r1,tc,vc,r2,vb,a2,b2] = varsol(sinalpha3,sin(alpha4),yc,xb,yb)<br />
## Skapa punkter på kurvorna<br />
t = 0:0.01:tc;<br />
xt = r1*(tsin(t));<br />
yt = r1*(1 cos(t));<br />
v = vc:0.01:vb;<br />
xv = r2*(vsin(v))+a2;<br />
yv = r2*(1cos(v))+b2;<br />
x = [xt,xv];<br />
y = [yt,yv];<br />
## Tid längs cykloid<br />
tid1=sqrt(r1/(9.81*sin(alpha3)))*(tc);<br />
tid2=sqrt(r2/(9.81*sin(alpha4)))*quad("T",vc,vb);<br />
disp(tid1+tid2);<br />
## tid längs den räta linjen<br />
tid3=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha3))))*(2*sqrt(8));<br />
tid4=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha4))))*(2*(sqrt(16)sqrt(8)));<br />
disp(tid3+tid4);<br />
## Plotta kurvan<br />
plot(x,y,";30 till 5;");<br />
## plotta räta linjen<br />
a=0:0.01:7.5;<br />
b=16*a/7.5;<br />
plot(a,b,";raka linjen;");<br />
## Andra banan för flackt till brant<br />
alpha3 = pi/36;<br />
sinalpha3 = sin(alpha3);<br />
alpha4 = pi/6;<br />
47
Truls Neubeck<br />
## Lös ekvationssystemet<br />
[xc,r1,tc,vc,r2,vb,a2,b2] = varsol(sinalpha3,sin(alpha4),yc,xb,yb)<br />
## Skapa punkter på kurvorna<br />
t = 0:0.01:tc;<br />
xt = r1*(tsin(t));<br />
yt = r1*(1 cos(t));<br />
v = vc:0.01:vb;<br />
xv = r2*(vsin(v))+a2;<br />
yv = r2*(1cos(v))+b2;<br />
x = [xt,xv];<br />
y = [yt,yv];<br />
## Tid längs cykloid<br />
tid1=sqrt(r1/(9.81*sin(alpha3)))*(tc);<br />
tid2=sqrt(r2/(9.81*sin(alpha4)))*quad("T",vc,vb);<br />
disp(tid1+tid2);<br />
## tid längs den räta linjen<br />
tid3=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha3))))*(2*sqrt(8));<br />
tid4=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha4))))*(2*(sqrt(16)sqrt(8)));<br />
disp(tid3+tid4);<br />
## Plotta kurvan<br />
plot(x,y,";5 till 30;");<br />
## Show plots<br />
hold off;<br />
## spara fil<br />
gset terminal postscript;<br />
gset output "varierad lutning.ps";<br />
replot<br />
## återställer plot till grafiskt<br />
gset terminal x11;<br />
13.2. Varsol.m<br />
##<br />
## GNU octave script<br />
##<br />
## Function describing the solution to a variational problem in <strong>alpin</strong>e skiing<br />
##<br />
## /Truls Neubeck 20060404<br />
function [xc,r1,tc,vc,r2,vb,a2,b2] = varsol(_sinalpha1,_sinalpha2,_yc,_xb,_yb)<br />
## Global parameters to be passed to F<br />
global sinalpha1 sinalpha2 yc xb yb<br />
sinalpha1 = _sinalpha1;<br />
sinalpha2 = _sinalpha2;<br />
yc = _yc;<br />
xb = _xb;<br />
yb = _yb;<br />
## Starting point x0 = [r1,r2,tc,vc,vb]<br />
x0 = [13,27,1,1,1];<br />
## Solve the system of equations<br />
[x,info] = fsolve('F', x0);<br />
## Display message<br />
perror("fsolve",info)<br />
## Set the return values<br />
r1=x(1);<br />
r2=x(2);<br />
tc=x(3);<br />
vc=x(4);<br />
vb=x(5);<br />
xc=r1*(tcsin(tc));<br />
a2=r1*(tcsin(tc))r2*(vcsin(vc));<br />
b2=yc*(1sinalpha1/sinalpha2);<br />
48
endfunction<br />
13.3. F.m<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
##<br />
## GNU octave script<br />
##<br />
## Utility function for a variational problem in <strong>alpin</strong>e skiing<br />
##<br />
## /Truls Neubeck<br />
## History:<br />
## 20060404: Created<br />
## 20060405: Corrected a mistake in the formula for z(5)<br />
function z = F(x)<br />
## Indata x = [r1,r2,tc,vc,vb]<br />
## The following parameters are passed as global variables<br />
global sinalpha1 sinalpha2 yc xb yb<br />
z(1) = x(1)*(1 cos(x(3))) yc;<br />
z(2) = x(2)*(1 cos(x(4))) yc*sinalpha1/sinalpha2;<br />
z(3) = x(2)*(x(5) sin(x(5))) + x(1)*(x(3)sin(x(3))) \<br />
x(2)*(x(4)sin(x(4))) xb;<br />
z(4) = x(2)*(1 cos(x(5))) + yc*(1 sinalpha1/sinalpha2) yb;<br />
z(5) = sinalpha1^2*(1 cos(x(4))) sinalpha2^2*(1 cos(x(3)));<br />
endfunction<br />
13.4. T.m<br />
##<br />
## GNU octave script<br />
##<br />
## Utility function for a variational problem in <strong>alpin</strong>e skiing<br />
##<br />
## /Truls Neubeck<br />
## History:<br />
## 20060424: Created<br />
function y = T(v)<br />
## The following parameters are passed as global variables<br />
global r2 b2<br />
y = sqrt( (1cos(v)) / (1cos(v)+b2/r2) );<br />
endfunction<br />
49
14. Avslutningsvis<br />
Truls Neubeck<br />
Arbetet med denna uppsats har varit roligt, intressant och ibland svårt. Jag vill särskilt tacka min<br />
handledare Fredrik Ståhl för många givande och lärorika diskussioner under arbetets gång. Tack även<br />
till Anders Holmbom och Lars Hjalmars för era ideer inför denna uppsats. Slutligen vill jag tacka min<br />
familj som har funnits där under hela arbetet.<br />
/Truls.<br />
50
15. Referenser<br />
<strong>Optimala</strong> <strong>vägval</strong> i <strong>alpin</strong> <strong>skidåkning</strong><br />
Andersson N., 1998: Variationskalkyl med tillämpning på <strong>alpin</strong> utförsåkning. Duppsats.<br />
Mitthögskolan.<br />
Blanchard P. & Brüning E., 1992: Variational methods in mathematical physics. A unified approach.<br />
SpringerVerlag. 410s.<br />
Gelfand I.M. & Fomin S.V., 2000: Calculus of variations. Dover publications. 232s.<br />
Grahn R. & Jansson P.Å., 1997: Mekanik, statik och dynamik. Studentlitteratur. 507s.<br />
Hjalmars L., 2006: Personlig kommunikation.<br />
Jentschura U.D. & Fahrbach F., 2004: Physics of skiing: The idealcarving equation and its<br />
applications. Canadian Journal of Physics 82:4. 249261.<br />
Kinderlehrer D. & Stampacchia G., 2000: An introduction to variational inequalities and their<br />
applications. Siam. 313s.<br />
Kline M., 1972: Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford university press.<br />
Lind D. & Sanders S.P., 2004: The physics of skiing, skiing at the triple point. 2 nd edition. Springer.<br />
266s.<br />
Lundgren J., Rönnqvist M. & Värbrand P., 2001: Linjär och ickelinjär optimering. Studentlitteratur.<br />
408s.<br />
Reinisch G., 1991: A physical theory of <strong>alpin</strong>e ski racing. Spektrum der sportwissenschaften 1, 2650.<br />
Reinisch G., Gautier G. & Monjo J.L., 1994: The optimal trajectory in toplevel <strong>alpin</strong>e skiing.<br />
Spektrum der sportwissenschaften 2, 7081.<br />
Sagan H., 1969: Introduction to the calculus of variations, Dover publications, New York. 449s.<br />
Twardokens G., 1996: Reprint from the proffesional skier fall 1996 , “longer line = shorter time”. TPS<br />
archives.<br />
van Brunt B., 2004: The calculus of variations. Springer. 290s.<br />
Zell S., 2005:Alpin skidteknik, ur ett helhetsperspektiv. SISU idrottsböcker. 64s.<br />
51