Experimentella metoder - Atomic Physics!

.
Experimentell metodik
Laboration 1 Produktansatser och linjärisering
Du skall bestämma vilka faktorer, som påverkar svängningstiden för
antingen en konsolbalk eller en fjäder, och Du skall ta fram ett allmängiltigt
analytiskt uttryck för svängningstidens beroende av de olika variablerna.
Du får tillgång till en enkel mätutrustning. För att kunna lösa uppgiften
kommer Du att utnyttja mätningar, linjärisering, dimensionsanalys och
diagramritning.
Redogörelse
Den skriftliga redovisningen kan vara kort och behöver enbart innehålla Dina
beräkningar, diagram och resultat.
Förberedelser
Utför förberedelseuppgifterna till "Experimentell metodik". Lämna lösningar
till handledaren i samband med laborationen.
Läs följande avsnitt i "Appendix 1 och 2" om:
Dimensioner, sid 36 – 42
Linjära samband, sid 45 - 46
Linjärisering, sid 47 - 51
Läs i kompendiet "Börja med MatLab, 2005" om:
Grafik, sid 19-21
Räta linjens ekvation, sid 38
Linjärisering, sid 39 - 40
Förberedelseuppgifter
1.
Atmosfärens temperaturgradient. Atmosfären har en vertikal struktur som
beror på hur temperaturen varierar i höjdled. Närmast jordytan finns
troposfären. Här minskar temperaturen med höjden.
h / km 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T / °C 15,0 8,5 2,0 -4,5 -11,0 -17,5 -24,0 -30,5 -37,0 -43,5 -50,0
a) Använd t.ex. MatLab och rita ett diagram som visar troposfärens
temperatur (T) som funktion av höjden (h) över jordytan.
b)
c)
Bestäm ett samband mellan temperaturen och höjden. Med hur mycket
minskar temperaturen i medeltal per km i luftskikten närmast jordytan?
Rita sambandet enligt b)-uppgiften i samma diagram som mätvärdena.
3

Laboration Experimentell metodik
2.
Glödlampa. I tabellen nedan finns mätvärden som anger belysningen (E) som
funktion av avståndet från en glödlampa (r) .
r / m
2,0 1,8 1,5 1,3 1,0
E / lux 162 200 288 383 648
Tabell 1 Stegfrekvensen (f) och
a) Använd t.ex. MatLab och rita ett diagram som visar belysningen (E) som
funktion av avståndet (r) från lampan.
mankhöjden (h) för några däggdjur
från den Afrikanska savannen
b) Bestäm ett samband mellan belysningen och avståndet.
Djur h / m f / Hz
c) Rita sambandet enligt b)-uppgiften i samma diagram som mätvärdena.
3. Naturlig stegfrekvens. De engelska zoologerna Alexander och Jayes (1983)
Gazell
Vårtsvin
Gnu (kalv)
Antilop
Lejon
Zebra
Gnu (vuxen)
Noshörning
Giraff
0,60
0,62
0,65
0,81
0,88
1,15
1,18
1,41
2,65
1,24
1,28
1,10
0,96
0,81
0,88
0,86
0,67
0,49
antog att alla djur som går borde kunna betraktas som en "omvänd pendel",
med kroppen som kläpp, benet som pendelarm och fotens anläggningspunkt
mot jorden som rotationspunkt. Varje steg innebär då att pendeln först
genomlöper en halv svängningscykel genom att kroppen flyttas framåt. Sedan
fullbordas cykeln genom att rotationspunkten förflyttas när foten lyfts från
marken och flyttas framåt. Om detta är en riktig hypotes, borde djur välja en
naturlig stegfrekvens när de vill gå på ett så energisnålt sätt som möjligt.
Stegfrekvensen borde skala med djurets storlek i enighet med
Elefant 3,10 0,51 egenfrekvensen (f ) för pendeln f ∝
L är pendelns längd.
g L , där g är tyngdaccelerationen och
Pendeln har en intressant egenskap som bygger på energiminimering. För att
få pendeln att svänga med antingen en större eller mindre frekvens än f, dvs.
om djuret av någon anledning måste gå fortare än vad den naturliga
steglängden medger, krävs ett tillskott av energi.
b
L
Utgå från mätvärdena i tabellen och pröva Alexander och Jayes hypotes.
Figur 1 Vinglängden (L) och
4. Flygning. Ett flygplan rör sig med farten v genom luft med densiteten ρ.
vingbredden (b) hos ett flygplan. a) Sök ett uttryck för lyftkraften (F) i förhållande till den totala vinglängden
(L), dvs. Φ = F/L om flygplanets vingar har bredden b.
ΔL
ΔL
m
1/A
Figur 2 Ståltrådens förlängning (∆L)
som funktion av massan (m) och
tvärsnittsarean (A).
4
5.
Svar
b)
En Boeing 747 väger ungefär 148·10 3 kg och har en vingarea på ca 280 m 2 .
På höjden 35 000 feet (10 700 m) är luftens densitet ca 0,37 kg/m 3 och
flyghastigheten ca 250 m/s. Beräkna lyftkraften och bestäm sedan ett
fullständigt uttryck för lyftkraften (F).
Elasticitet . En tunn ståltråd har längden L0,
då den är obelastad. Då vi hänger
en vikt med massan m i ena änden, ökar ståltrådens längd till L. Hitta ett
uttryck för längdändringen ΔL = (L – L0)? Trådens tvärsnittsarea är A och dess
elasticitetsmodul 1 E. Utnyttja diagrammen bredvid för att fullfölja sambandet.
1b) T = -6,5·h + 15,0. Temperaturen minskar med 6,5°C för varje km.
2b) E = 648·r -2
3 Hypotesen verkar rimlig.
4a) φ = k·b·v 2 ·ρ , där k är en dimensionslös konstant.
4b) F = 0,22·b·L·v 2 ·ρ.
5 ΔL = k·L 0·m·g/(E·A), där k är en dimensionslös konstant.
1 Elasticitetsmodulen är en materialkonstant som anger hur materialet beter sig
vid en belastning. Den definieras (1/E) ∝ -(1/L)·(dL/dp), där L är längden och p
kraft per areaenhet. Elasticitetsmodulen är således det inverterade värdet av
kvoten mellan den relativa längdförändringen och tryckförändringen (med
ombytt tecken).

Laborationsuppgifter
Du ska utföra en av de båda uppgifterna på de följande sidorna.
Under arbetets gång kommer Du snabbt underfund med att det inte alltid går
att ändra en variabel i taget. Du kan emellertid få fram samband även om Du
ändrar flera variabler samtidigt. I praktiken är samtidig variation av olika
parametrar mer regel än undantag.
Arbeta så systematiskt Du kan, gör dimensionsanalyser, ta upp samband,
analysera diagram, ge inte upp om Du hamnar i ett blindspår. Ta det som en
utmaning! Var beredd på att handledaren inte alltid ger Dig hela svar utan
bara små ledtrådar. Att fråga kamrater går naturligtvis, men då missar Du
chansen att själv knäcka uppgiften.
Laborationen avslutas med att Du gör ett enda diagram över den mätta
svängningstiden som funktion av samtliga variabler (alla mätpunkter kommer
här till användning). Eventuella dimensionslösa konstanter bestämmer Du
med hjälp av detta diagram.
Svängande stavar
En stav som är fastspänd i ena kortsidan sätts i svängning. Din uppgift är att
undersöka vilka faktorer som påverkar svängningstiden för en svängande stav.
Du skall redovisa ett analytiskt samband som gäller för en godtycklig,
fastspänd stav.
I redovisningen ska det finnas med ett diagram där svängningstiden är ritad
som funktion av hela det analytiska sambandet. Värden från samtliga stavar
ska finnas med i diagrammet. Figur 3 Svängande stav.
Stavuppsättningen framgår av sammanställningen nedan.
Utrustning:
Tidmätningsutrustning
Måttband
Skjutmått
Bänk för inspänning av stavar
Stavar enligt Tabell 2
Tabell 2 Stavar, mått i mm.
Järn Aluminium Mässing
25x5 30x5 40x8
14x3
40x8
40x6
30x5
25x6
25x3
25x8
5

Laboration Experimentell metodik
6
Figur 4 Svängande fjäder.
Svängande fjädrar
En i ena änden fastspänd fjäder belastas med en vikt och sätts i svängning.
Din uppgift är att undersöka hur olika faktorer påverkar svängningstiden för
systemet. Du skall redovisa ett analytiskt samband som gäller för en
godtycklig fjäder med godtycklig belastning.
I redovisningen ska det finnas ett diagram där Du ritar svängningstiden som
funktion av hela det analytiska sambandet. Värden från samtliga fjädrar skall
finnas med i diagrammet.
Fjäderuppsättningen framgår av sammanställningen nedan.
Utrustning:
Stativ för upphängning av fjädrar
Tidmätningsutrustning
Vikter (0,50 kg och 1,00 kg)
Skjutmått
Tabell 3 Fjädrar
Diameter /
mm
Upphängningsanordning för vikter (0,50 kg)
Fjädrar av stål enligt Tabell 3:
Antal
varv
35 3 13
60 3 7
60 3 7
35 4 14
40 4 10
50 4 15
60 4 12
60 5 9
60 5 9
60 5 12
60 5 17
60 6 16
Tråddiameter / mm

Appendix 1
.
Enheter och dimensioner
Hitta samband
Storheter, enheter och dimensioner hänger ihop på ett fundamentalt sätt. Att
en sträcka har dimensionen längd är betydligt mer fundamentalt än att den
mäts i enheten en meter. Olika längdenheter kan jämföras med och
omvandlas i varandra. Olika dimensioner är däremot inte jämförbara.
Storheten “volym” har t.ex. dimensionen (längd) 3 och kan inte jämföras med
eller omvandlas i något som har dimensionen (längd) 1 . Notera dock att vi ofta
anger storleken av en storhet med en dimension genom att ange mätetalet för
en annan dimension. Exempelvis kan vi jämföra volymen (V) av 2 sfärer
genom att jämföra deras radier (r), eftersom (V1/V2) = (r1/r2) 3 .
Naturen har försett oss med några fundamentala dimensioner. Storleken måste
vi uttrycka i någon enhet som vi själva väljer. Avståndet "härifrån" till "dit"
finns oberoende av om vi mäter det eller inte. Avståndet beror inte heller på
om vi väljer att mäta det med långa eller korta steg, med ett måttband eller
med laserteknik. Visserligen kan någon mätmetod vara bättre än andra - men
mätmetoden, enheten osv. påverkar inte avståndet. Vi väljer själva vilken
mätmetod eller enhet vi vill använda, däremot kan vi inte välja vilken
dimension det vi mäter har - dimensionerna finns vare sig vi vill eller ej.
Exempelvis har storheten “jordens radie” dimensionen längd. Om vi mäter
denna storhet kan resultatet bli 6357 km. Storhetsvärdet 6357 kallas mätetal
och måttstocken 1 km kallas enhet. Mellan storheter med samma dimension
använder vi omvandlingsfaktorer om vi vill uttrycka storheten i en annan
enhet.
I det här avsnittet skall vi inleda med en diskussion om enheter för att sedan i
huvudsak ägna oss åt hur dimensionsbegreppet kan användas för att
kontrollera eller härleda samband och i största allmänhet vara ett verktyg och
stöd för alla naturvetare och tekniker.
27

Appendix 1 Enheter och dimensioner
Figur 1 Kölber beskriver i sin bok
"Geometri" från 1584 hur enheten "en
fot" kan kalibreras varje söndag. 16
stora och små män skulle ställa sig i
rad med skorna framför varandra. En
slags tidig medelvärdesbildning med
Enheter
Läran om mätningar kallas metrologi 1 . Metrologin har status som en egen
vetenskap och lägger grunden för all naturvetenskap och teknik. Att mäta är
att jämföra 2 storhetsvärden med varandra. Det storhetsmått som vi använder
som jämförelsevärde kallar vi för enhet. Enheten är ett storhetsvärde vars
mätetal är lika med ett. T.ex. är SI-enheten för storheten massa 1 kg.
Enheter/enhetssystem är viktiga, eftersom enheterna t.ex sätter gränsen för
mätnoggrannheten, påverkar vad och hur vi kan mäta. Det finns många sätt att
bygga upp ett enhetssystem, t.ex. kan vi välja:
en oberoende enhet för varje storhet.
ett mindre antal grundenheter, för ett mindre antal grundstorheter. Vi
härleder sedan alla andra enheter med hjälp av storhetsekvationer.
att inte ha några enheter alls och uttrycka alla storheter som
kombinationer av fysikaliska konstanter.
För att ett enhetssystem skall kunna fungera i praktiken måste vi kunna
absolutbestämma enheterna med precision, noggrannhet och
reproducerbarhet vid olika tidpunkter och i olika laboratorier.
Genom att vi kalibrerar 2 våra normaler mot andra, som vi vet är
noggrannare, får vi tillgång till en egen enhet. En kedja av sådana jämförelser
leder så småningom till en direkt jämförelse med den riktiga enheten.
Kalibrering är en gammal företeelse, exempelvis kan vi i boken "Geometri"
av Kölber från 1584 läsa hur enheten "en fot" skulle kalibreras:
andra ord. "16 män, stora och små, vid kyrkbesök ska ställa sig på rad med
skorna framför varandra, så att den rätta måttstocken kan fastställas".
28
SI-systemet
Vi föredrar ett universellt enhetssystem med en teoretisk anknytning, där
enheternas storlek går att bestämma med stor precision. Mot denna bakgrund
föreslog den italienske fysikern Giovanni Giorgi ett enhetssystem baserat på
bl.a. grundenheterna en meter, ett kilogram och en sekund. År 1948 togs
principerna upp i internationella organ under arbetsnamnet "Giorgisystemet".
Först 1954 hade vi utformat ett nytt enhetssystem som vi 1960 fastställde med
namnet Systéme International d’Unités (SI). Systemet är uppbyggt kring
de tre begreppen
en fysikalisk storhet är ett uttryck eller egenskap hos ett föremål
eller företeelse som vi kan mäta eller beräkna.
enhet - ett jämförelsevärde av storheten.
mätetal - anger hur många gånger den valda enheten innehålls i
storheten.
Varje storhet är oberoende av vilken enhet som väljs. Däremot är mätetalet
beroende av den valda enheten. För att kunna skilja dessa åt har vi infört ett
beteckningssystem 3 : mätetalet för storheten Q betecknas {Q} och enheten
1 Latin: “met” – mäta och grekiska: “logi” - läran om.
2 Arabiska: “qalib” - skomakarens läst.
3 Svensk standard SS 01 61 18: Storheter och enheter - allmänna principer och skrivregler.

[Q]. Vi kan då ange värdet av storheten Q som ett mätetal multiplicerat med
en enhet och skriva
{ Q}
[ Q]
Q ⋅
= (5.1)
Då vi ska ange att en viss massa (m) är 17 kg ska vi skriva m = 17 kg. Om
mätetalet är okänt bör vi tilldela detta en beteckning som är en annan än dess
storhetsbeteckning, dvs. det är fel att skriva m = m·kg men rätt att skriva
m = x·kg. “Enheten för massa” skriver vi på följande vis:
[ m]
= 1⋅ kg
Vi kan då uppfatta fysikaliska formler som ett samband mellan storheter.
Kraftekvationen lyder exempelvis F = k·m·a, där kraften (F), massan (m) och
accelerationen (a) är storheter och k är en enhetslös konstant.
I SI-systemet har vi definierat ett mindre antal grundenheter, i vilka vi
uttrycker systemets alla övriga enheter, Tabell 1 4 . I SI-systemet finns det
också två supplementenheter 5 (Tabell 2). Utifrån dessa definitioner kan vi
avstämma härledda enheter. För att härleda en enhet utgår vi från en
fysikalisk formel i vilken motsvarande storhet ingår. Enheterna för samtliga
övriga storheter, som ingår i formeln, måste vara fastlagda, antingen som
grundenheter eller som tidigare härledda enheter. De härledda enheterna
avstämmer vi sedan genom att fastställa proportionalitetskonstanternas
värden. Dessa konstanter sätter vi ofta, men inte alltid till 1.
En härledd enhet är bildad som en potens (eller en produkt av potenser) av
grund- och supplementenheter enligt fysikaliska lagar (se 0). 19 härledda SIenheter
har givits egna namn 6 . Härledda enheter skall skrivas så att de inte
kan missförstås (se 0). Således bör vi undvika dubbla bråkstreck och produkt
efter divisionstecken. I tveksamma fall skall vi använda parenteser.
Det finns all anledning att utnyttja de s.k. multipelenheterna då vi anger
stora och små tal. Flera språk använder nämligen samma ord för olika
storlekar. I Tabell 3 jämförs svenska, tyska, amerikanska och brittiska
vardagliga ord som t.ex. "one billion", vilket för en amerikan betyder 10 9
medan det för en svensk, tysk och britt betyder 10 12 .
Multipelenheter bildas som vissa tiopotenser av SI-enheter. Motsvarande
benämning får vi genom att sätta prefix (se Tabell 4) framför den aktuella
enhetsbeteckningen. Då prefixen skulle namnges började vi med att utnyttja
grekiska ord för multiplar (10 1 , 10 2 , 10 3 , 10 6 , …) och latinska ord för
bråkdelar (10 –1 , 10 -2 , 10 -3 , 10 -6 , …). Men grekerna hade inget räkneord för
någonting större än tiotusen och romarna hade inget för större än tusen. Vi
tillgrep då lite mindre exakta ord från grekiskan och slutligen utnyttjade vi
även spanskan och de nordiska språken.
(5.2)
4
Enheten i celciustemperaturskalan 1°C är lika med 1 K. De båda skalorna skiljer sig bara i
valet av nollpunkt, så att 0°C = 273,15 K. Definitionen av den termodynamiska
temperaturen är: “En kelvin, är bråkdelen 1/273,16 av den termodynamiska temperaturen
vid vattnets trippelpunkt”.
5
Vid numeriska beräkningar skall supplementenheterna 1 rad och 1 sr sättas lika med 1
(ett).
6
De härledda enheterna med eget namn är: 1 Hz, 1 N, 1 Pa, 1 J, 1 W, 1 C, 1 V, 1 F, 1 Ω,
1 S, 1 Wb, 1 T, 1 H, 1 °C, 1 lm, 1 lx, 1 Bq, 1 Gy samt 1 Sv.
© Nina Reistad 2005 29

Appendix 1 Enheter och dimensioner
30
Enhetssystem
Då vi skriver ett tal måste vi dels hålla reda på själva siffrorna och dels
siffrornas decimalposition. Det är korrekt att säga att ljusets hastighet i
vakuum är c = 299792000 m/s. Det är också korrekt och bättre att säga att
c = 2,99792·10 8 m/s, eftersom det senare skrivsättet är lättare att förstå.
Eftersom de större prefixen är potenser av 3, bör vi använda 10 ±3 , 10 ±6 , 10 ±9 ,
… Vi ska med andra ord skriva 5,98·10 24 kg istället för 59,8·10 23 kg.
En storhetsekvation kan skrivas om i en enhetsekvation. Detta kan
utnyttjas dels för att kontrollera samband och dels för att omvandla enheter.
Tabell 1 SI-systemets grundenheter
Vi har skapat enheter efterhand som vi har haft behov av att
mäta. Ursprungligen knöt vi enheterna till vardagliga
företeelser och kopplade inte ihop dem med varandra.
Areaenheten kunde vara den areal som motsvarade en
tunna utsäde (tunnland). Enheten för längd t.ex. 3 havrekorn
i rad (amerikansk inch) eller storleken av en kroppsdel: en
fot, bredden av en hand eller längden av en tumme. Bruket
av kroppsdelar fanns redan i den gamla egyptiska kulturen.
Gammal egyptisk beskrivning av längdenheter.
Kungens näsa
Följden var ett stort antal olika enheter för samma storhet
och eftersom människor varierar i storlek var enheterna inte
väldefinierade. Ett tidigt försök att åstadkomma en
"riksnormal" är den engelska "yarden" som år 1101
definierades som
"… avståndet mellan kung Henriks nässpets och det
mellersta fingret när kungen höll armen utsträckt".
De tidiga enheterna var varken enhetliga eller beständiga
och mångfalden orsakade (och orsakar)
kommunikationsproblem. T.ex. är "en metrisk hästkraft"
detsamma som 735 W medan "one horsepower" (USA och
UK) motsvarar 745 W. Vi svenskar köper bensin i enheten
"en liter", engelsmännen och amerikanarna gör det i enheten
"en gallon" som i UK betyder 4,5461 och i USA 3,7854 .
Samma förvirring inträder om vi beställer "en pint" öl. Då får
vi 0,56825 i en engelsk pub medan den amerikanska
salongen serverar 0,55060 .
Från planeter till atomer
När vi ville göra enheterna oföränderliga, satte vi vår tillit till
fenomen som vi kunde iaktta i naturen och som vi trodde var
beständiga i tiden. T.ex. knöt vi längdenheten till jordradien
och tidsenheten till astronomiska rörelsefenomen. Efterhand
som mättekniken utvecklades upptäckte vi att dessa
fenomen på intet sätt är oföränderliga. Redan år 1870
förklarade den engelske fysikern James Clerk Maxwell (1831
- 1879) att:
"Om vi vill skaffa oss absoluta, oföränderliga enheter för
längd, tid och massa, så bör vi inte vara beroende av våra
planeters rörelser eller massa utan hålla oss till våglängd,
frekvens och massa hos oförgängliga, oföränderliga och
fullständigt likartade atomer."
Nuförtiden försöker vi basera våra enheter på just atomära
fenomen. Tidsenheten är t.ex. knuten till egenskaper hos
Cs-atomen. Massenheten "ett kilogram" saknar dock
fortfarande en förankring till atomerna och finns fortfarande i
sinnevärlden som en väl bevakad platina-iridiumklump.
År 1101 definierade kung Henrik I den engelska enheten
"en yard" som: "avståndet mellan kungens nässpets och det
mellersta fingret då han höll armen utsträckt".

Storhet Beteckning Enhet Benämning
Längd 1 m en meter
Massa m 1 kg ett kilogram
Tid t 1 s en sekund
Elektrisk ström I 1 A en ampere
Temperatur T, Θ 1 K en kelvin
Substansmängd n 1 mol en mol
Ljusstyrka I 1 cd en candela
Tabell 2 SI-systemets supplementenheter
Storhet Beteckning Enhet Benämning
Plan vinkel α, β, γ 1 rad en radian
Rymdvinkel ω 1 sr en steradian
Tabell 3 Jämförelse mellan olika språk
Storlek Sverige Tyskland UK USA
10 6 en million eine Million one million one million
10 9 en milljard eine Milliarde one milliard one billion
10 12 en billjon eine Billion one billion one trillion
10 18 en triljon one trillion
Tabell 4 Prefixen och deras ursprung
Prefix Beteckning Storlek Ursprung
yetta Y 10 24 1000000000000000000000000
zetta Z 10 21 1000000000000000000000
exa E 10 18
peta P 10 15
tera T 10 12
giga G 10 9
mega M 10 6
kilo k 10 3
hekto h 10 2
deka da 10 1
deci d 10 -1
centi c 10 -2
milli m 10 -3
mikro μ 10 -6
nano n 10 -9
piko p 10 -12
femto f 10 -15
atto a 10 -18
1000000000000000000 gr: exa - sex
1000000000000000 gr: peute - fem
1000000000000 gr: teras - monster
1000000000 gr: gigas - jätte
1000000 gr: megas - stort
1000 gr: chilioi - tusen
100 gr: hekaton - hundra
10 gr: deka - tio
0,1 la: decem - tio
0,01 la: centum - hundra
0,001 la: mille - tusen
0,000001 gr: mikros - liten
0,000000001 gr: nanos - dvärg
0,000000000001 sp: piko - liten bit
0,000000000000001 nord: femten/ton
0,000000000000000001 nord: atten - arton
zepto z 10 -21 0,000000000000000000001
yocto y 10 -24 0,000000000000000000000001
© Nina Reistad 2005 31

Appendix 1 Enheter och dimensioner
Figur 2 SI-systemets grundenheter.
Årtalen anger det år då definitionen
antogs av CGPM (Conférence des
Poids et Mesures). Notera att endast
temperatur-, tid- och massenheten är
oberoende av de övriga
grundenheterna. Kopplingen mellan
enheterna anges med pilar i figuren.
a
Figur 3 Såväl kvadratens som
cirkelns area är proportionella mot
(längd) 2 .
32
a
1971
1983
1948
1967
Exempel 1 Avstämning av kraftenheten
Enheten för kraft definieras genom att utgå ifrån sambandet F = k⋅m⋅a, därefter
avstäms enheten genom att välja konstanten
2
[ F]
= 1⋅[
m]
⋅[
] = 1⋅
kg ⋅1
m/s
k ≡ 1 ⇒
a ⋅
Exempel 2 Avstämning av areaenheten
Hur har enheten en kvadratmeter uppkommit? Både kvadratens och cirkelns area
måste av dimensionsskäl vara proportionell mot längd i kvadrat. Vi kan välja att
antingen utgå från kvadraten eller cirkeln då vi avstämmer areaenheten.
Utgår vi ifrån kvadraten får vi:
2
Akvadrat = kkvadrat
⋅ a
Väljer vi nu kkvadrat = 1 får vi areaenheten en kvadratmeter ur
2
Akvadrat = a
vilket innebär att cirkelns area uttryckt i enheten en kvadratmeter är
A cirkel
Temperatur
1 K
2
= π ⋅ a
Hade vi istället utgått ifrån cirkelns area, dvs.
2
Acirkel = kcirkel
⋅ a
och istället avstämt enheten en cirkelmeter, dvs. valt kcirkel = 1, hade vi fått
enheten för area ur
2
Acirkel = a
vilket hade inneburit att kvadratens area uttryck i enheten en cirkelmeter blivit
1
= a
π
Akvadrat ⋅
2
Tid
1 s
Massa
1 kg
Substans-
mängd
1 mol
Längd
1 m
Elektrisk
ström
1 A
Ljusstyrka
1 cd

Exempel 3 Härledning av enheten för hastighet
Sambandet mellan storheterna hastighet (v), förflyttning (s) och tidsintervall (t) är
s
v =
t
Den härledda SI-enheten för hastighet är därför
[] v
[] s
[]
= t
=
1m
= 1m/s
1s
Exempel 4 Skrivregler för härledda enheter
Enheten för värmeövergångstalet är
[] h
=
[ P]
1W
=
[ A]
⋅[
T ] 2
1m
⋅1
K
Om denna enhet skrivs 1 W/m 2 ·K kan detta tolkas på 2 olika sätt
1 W/m
2
2 ( m ⋅ K)
⎪⎧
1W/
⋅ K = ⎨
⎪⎩ 1W
⋅ K/m
Därför bör vi skriva 1 W/(m 2 ·K) eller 1 W·m -2 ·K -1 .
2
Exempel 5 Omskrivning av en storhets- i en enhetsekvation
Storheten effekt (P) definieras som arbete (W) per tidsenhet (t). Storhetsekvationen
W
P =
t
kan skrivas om i enhetsekvationen
[ P ]
[ W ]
1J
= ⇔ 1 W =
[] t 1s
Exempel 6 Omvandling av enheter
På de flesta amerikanska vägar är hastighetsbegränsningen 55 mph. Vi omvandlar
detta till enheten 1 km/h och 1 m/s på följande sätt
mile 1609,
344⋅
m 88514⋅10
v = 55⋅
= 55⋅
=
h
1⋅
h
1⋅
h
88,
5⋅
km 88,
5⋅10
⋅ m
= =
= 24,
6⋅
m/s
1⋅
h 60⋅
60⋅
s
3
−3
⋅ km
© Nina Reistad 2005 33

Appendix 1 Enheter och dimensioner
Figur 4 Great Western var dåtidens
största fartyg, men det kostade en
smärre förmögenhet att driva det.
34
Dimensioner
Dimensionsbegreppet har sitt ursprung i de grekernas intresse för geometri 7 .
Grekerna funderade bl.a. på hur man kan bestämma areor och volymer. I
första hand var de intresserade av att bestämma landareor samt
skördevolymer. Det blev viktigt att veta hur många mätningar som behövdes
för att bestämma en area eller volym. Begreppet dimension har sitt ursprung i
denna önskan. Grekerna menade ungefär ”antalet oberoende mätningar” 8 .
Principen bakom dimensionsanalysen var troligtvis känd redan i början av
1830-talet, då en ingenjör Isambard Kingdom Brunel (1806 - 1859) använde
enkla men grova dimensionsargument vid ett offentligt möte för att avfärda en
kritiker som menade att han hade bevisat att det av Brunels projekterade
ångfartyget "Great Wester" inte skulle kunna lasta tillräckligt med kol för att
korsa Atlanten. Lord Rayleigh, bl.a. känd för sina pionjärarbeten i flygteknik,
tilldelas normalt äran av att ha formaliserat den "teknik" som numera kallas
för "dimensionsanalys". Dimensionsanalysen har sedan mitten av 1850-talet
varit ett basverktyg för såväl ingenjörer som tillämpade matematiker. Under
1900-talet har tekniken utvecklats till ett standardverktyg inom flera andra
naturvetenskaper, t.ex. biologi, ekologi och medicin.
De flesta av oss blir inte medvetna om dimensionsbegreppet förrän vi har
använt det i dimensionsanalyser, då tvingas vi balansera våra ekvationer med
avseende på dimensionerna. Detta hjälper oss då vi ska tänka och förebygger
fel. Motsatsen gäller också; alla ekvationer måste vara balanserade med
avseende på dimensionerna, vilket vi kan utnyttja för att gissa oss till
samband som kan vara svåra att upptäcka på annat vis.
Sammanfattningsvis kan vi säga att dimensionsbegreppet kan användas dels
som ett verktyg för att kontrollera, och dels för att härleda samband och
formler. Styrkan med dimensionsbegreppet är att det dels kan visa på
lösningar på problem som annars hade varit omöjliga och dels visa på
fysikaliska samband som inte är uppenbara.
Exempel 7 Mental dimensionsanalys
Anta att vi behöver räkna ut den tillryggalagda sträckan vid en likformigt
accelererad rörelse. Vi kommer inte ihåg sambandet mellan sträckan (s), tiden (t),
utgångshastigheten (v0) och accelerationen (a), men tror att det var någonting i stil
med s = v0·t + a/2? Vi kan givetvis kontrollera sambandet i någon formelsamling
utan tryckfel. Men det går fortare om vi genomför en mental dimensionsanalys:
sträckan (s) har dimensionen "längd", hastigheten (v0) "längd per tidsenhet" och
accelerationen (a) "längd per tidsenhet i kvadrat". Produkten v0·t har också
dimensionen "längd". Eftersom det inte går att addera äpplen med päron måste den
sista termen också ha dimensionen "längd". Det får vi om vi multiplicerar
accelerationen med tiden i kvadrat. Dvs. sambandet är s = v0·t + a·t 2 /2. Nu kan vi
argumentera mot det här tillvägagångssättet, målsättningen för all vetenskap är att
förstå de bakomliggande fysikaliska principerna. I dimensionsanalysen har vi inte
den målsättningen, åtminstone inte till att börja med.
7
Grekiska: “ge” - jord; “metron” - mäta; “geometri” – "jordmätning, att mäta jord…".
8
Latin: “di” - oberoende; “metiori” - mätning; “dimensio” – "antalet oberoende
mätningar…".

Dimensionerna i SI-systemet
En storhets "dimension" är inte samma sak som storheten själv. T.ex. säger
Newtons 2: a lag att kraften (F) är lika med massan (m) multiplicerat med
accelerationen (a) och vi skriver F = m·a. De kursiverade symbolerna F, m
och a betyder mätetal multiplicerat med enhet. Dimensionen av t.ex. m
representeras med en stor bokstav, M. Vi använder en rak istället för
kursiverad stil för att göra det tydligt att vi inte menar en variabel som kan
ersättas med ett mätvärde. M är ett påstående som talar om vilken fysikalisk
egenskap storheten m har. M säger ingenting om hur stor m är. På samma sätt
har t.ex. storheten hastighet (v) dimensionen längd (L) per tidsenhet (T -1 ),
vilket ger L·T -1 . Storheten acceleration (a), dvs. hastighetsförändring per
tidsenhet har således dimensionen hastighet/tid 2 eller L·T -2 . I Tabell 5 anges
dimensionerna för alla grundstorheterna i SI-systemet.
Allt det här kan skrivas i en mer kompakt form, dim(x) betyder "dimensionen
av storheten x" och således är dim(m) = M och dim(a) = L·T -2 . I en ekvation
som relaterar flera variabler med varandra är egentligen likhetstecknet ett verb
som säger att uttrycket på vänster sida om likhetstecknet är identiskt med
uttrycket på höger sida. Om detta är sant för dimensionerna är det också sant
för storheterna och således om Newton säger F = m·a då gäller också att
dim(F) = dim(m)·dim(a). Dvs. storheten kraft har dimensionen M·L·T -2 .
Exempel 8 Elasticitetsmodul
Elasticitetsmodulen är en materialkonstant som anger hur materialet beter sig vid en
belastning. Elasticitetsmodulen kan uttryckas
F L0
E = ⋅
A ΔL
Det betyder att elasticitetsmodul har dimensionen
dim( F)
dim( L
dim( E ) = ⋅
dim( A)
dim( ΔL)
−2
0) M ⋅ L ⋅ T L -1
−2
= ⋅ = M ⋅ L ⋅ T
2
L
Kontroll av samband
Den största praktiska betydelsen av dimensionsbegreppet är att det ger ett
enkelt verktyg för att kontrollera och/eller komma ihåg formler. Man måste
dock vara uppmärksam på att:
Vissa konstanter och storheter är dimensionslösa.
Flera storheter kan ha samma dimension 9 .
Det är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor att dimensionerna är riktiga.
9 Exempelvis har storheterna “arbete” och “vridmoment” samma dimension.
L
Tabell 5 SI-systemets dimensioner
Storhet Enhet Dimension
Längd 1 m L
Massa m 1 kg M
Tid t 1 s T
Elektrisk ström I 1 A I
1 K
Temperatur T, Θ Θ
Substansmängd n 1 mol N
Ljusstyrka I 1 cd J
Det finns goda möjligheter till förväxlingar,
exempelvis används beteckningen “I ” för
storheterna ‘elektrisk ström’ och
‘ljusstyrka’, medan beteckningen “I ”
används för ‘dim(elektrisk ström) = dim(I);
beteckningen “T” eller “Θ” används för
storheten ‘termodynamisk temperatur
medan dim(Termodynamisk temperatur) =
dim(T) = Θ eller dim(Termodynamisk
temperatur) = dim(Θ) = Θ osv.
© Nina Reistad 2005 35

Appendix 1 Enheter och dimensioner
r
Figur 5 Vinkelenheten en radian
definieras som förhållandet mellan
bågens längd och radie.
36
θ
b
Exempel 9 Dimensionslösa storheter
En plan vinkel (θ) uttrycks i enheten “en radian” 10 och definieras som förhållandet
mellan båglängden (b) och radien (r) enligt θ ≡ b r (). Vinkelstorheten är
dimensionslös, vilket vi kan kontrollera:
( b)
() r
dim L
dim ( θ ) ≡ = = 1
dim L
Exempel 10 Två storheter med samma dimension
Arbete är en skalär storhet som definieras via skalärprodukten W ≡ F ⋅ x , varför
−2
2 -2
( W ) = dim(
F ) ⋅ dim(
x)
= ( M ⋅ L ⋅ T ) ⋅ ( L)
ML T
dim =
Vridmoment är en vektor som definieras via τ ≡ x × F varför
−2
2 -2
( τ ) = dim(
x)
⋅ dim(
F ) = ( L)
⋅ ( M ⋅ L ⋅ T ) ML T
dim =
Arbete och vridmoment är två storheter med samma dimension. Det går inte att
skilja på en skalär och en vektorstorhet - dimensionerna är knutna till storhetens
belopp.
Exempel 11 Kontroll av samband
Perioden för en konisk pendel ges av uttrycket
T = 2 ⋅π
⋅
⋅ cosθ
g
Vi kan kontrollera formeln genom att betrakta dimensionerna för vänster (VL)
respektive höger led (HL):
dim
dim
( VL)
= dim(
T )
( HL)
⎛ cos ⎞
dim⎜
⋅ θ
= 2 ⋅π
⋅ ⎟
⎜
⎟
⎝
g
⎠
= dim
= T
⎛ ⋅ cosθ
⎞
⎜
⎝
g ⎟
⎠
⎛ L ⋅1
1/
2
⎞
−2
⎝ L ⋅ T ⎠
( 2 ⋅π
) ⋅ dim⎜
⎟ = 1⋅
⎜ ⎟ = T
Formeln är således dimensionsriktig. Dimensionerna hade stämt även om vi hade
utelämnat faktorerna 2·π och cos(θ). Dimensionskontrollen utvisar om ett samband
är fel, men den kan inte bekräfta att ett samband är rätt.
10 Latin: “radius” - hjuleker.

Härledning av samband
Via en dimensionsanalys kan vi inte bara kontrollera en formel utan ofta även
gissa sambandet, så när som på någon dimensionslös konstant/storhet. Det
finns två “recept” på hur vi gör i praktiken:
Produktansats
π-gruppsmetoden
Eftersom många (om inte de flesta) fysikaliska samband är multiplicita
samtidigt som det är både arbetsbesparande och enklare att göra en
produktansats begränsar vi den fortsatta framställningen till produktansatser.
I praktiken arbetar vi enligt följande recept:
Rita en figur och försök förstå problemet.
Identifiera vilka storheter som bör finnas med.
Gör en produktansats.
Genomför en dimensionsanalys.
Genomför eventuellt ett eller flera experiment.
Vi ska studera den här tekniken i 3 exempel. Det första är tänkt att illustrera
hur vi med hjälp av dimensionsanalys kan resonera informellt, medan 0 är
mer metodisk.
Exempel 12 Dimensionsresonemang
Anta att du och dina vänner skall på campingsemester med er nya husvagn. Det
blåser och du oroar dig för de krafter som vinden kan utöva på husvagnen. Du vill
därför försäkra dig om att det trots stormvarning är säkert att ge dig iväg. Du är
övertygad om att kraften på vagnen måste bero på vindhastigheten och husvagnens
area. Du gissar att kraften (F) är en funktion av vindhastigheten (v) och arean (A)
a b
enligt sambandet F ∝ A ⋅ v , där a och b är okända exponenter. Ekvationen måste
vara dimensionsmässigt rätt,
a b
dim( F)
= dim( A)
⋅ dim( v)
−2
M⋅
L⋅
T =
( ) ( ) b
a 2 −1
L ⋅ L⋅
T
Du inser genast att någonting är fel, dimensionen "massa" finns på vänster sida om
likhetstecknet men inte på höger. Oberoende av värdena på a och b kan aldrig
ekvationen bli dimensionsmässigt riktig. Du tvingas tänka en gång till och kommer
på att luftens densitet (ρ), som har dimensionen M·L -3 kanske har med kraften att
a b c
göra. Du gör en ny gissning F ∝ A ⋅ v ⋅ ρ . Nu blir dimensionsekvationen
M⋅
L⋅
T
−2
=
( ) ( ) ( ) c
b
a 2 −1
−3
L ⋅ L⋅
T ⋅ M⋅
L
som blir dimensionsmässigt riktig om a = 1, b = 2 och c = 1. Utan någon teori från
fysiken har du via dimensionsanalys kommit fram till att kraften på din husvagn ges
av F = k·A·v 2 ·ρ, där k är en dimensionslös konstant som du måste bestämma
experimentellt.
© Nina Reistad 2005 37

Appendix 1 Enheter och dimensioner
Exempel 13 Produktansats
Den matematiska pendeln definieras av en liten punktformig klump med massan m,
som hänger i ett viktlöst snöre med längden . Klumpen svänger fram och tillbaka i
ett plan. Sök ett uttryck för klumpens period (T).
θ
Lösning Vi börjar med att rita en figur (). Därefter försöker vi gissa vilka storheter
som kan tänkas ingå i sambandet? I praktiken är det enklast att göra en tabell (se
m
Tabell 6). Vi har 4 storheter och 3 ingående dimensioner. Det innebär att vi kanske
har 4 obekanta men att vi bara kommer att kunna åstadkomma 3 ekvationer. Vi kan
redan nu konstatera att den fortsatta analysen inte kommer att resultera i ett
fullständigt samband. Det kommer att krävas någon form av mätningar.
Figur 6 Den matematiska plana
pendeln. Anta att sambandet mellan variablerna är en produkt, dvs. gissa följande:
Tabell 6 Perioden för den plana pendeln,
storheter.
Storhet Enhet Dimension
Svängningstid T 1 s T
Massa m 1 kg M
Längd 1 m L
Tyngdacceleration g
38
1 m/s 2
L·T -2
⎪⎧
x y z
T = konstant ⋅ m ⋅
⋅ g
⎨
⎪⎩ dim(
konstant)
= 1
Vi kan pröva produktansatsen genom en dimensionsanalys. Det betyder att vi gör
en omskrivning av storhetsekvationen i dimensioner, dvs.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z
y
x
T = dim konstant ⋅ dim m ⋅ dim dim g
dim ⋅
⇒ T = 1⋅
M ⋅ L ⋅
−2
z
x y+
z −2
z
( L ⋅ T ) ⇔ T = 1⋅
M ⋅ L ⋅ T
x y
⋅
Dimensionerna i höger och vänster led måste vara lika, varför vi får ett
ekvationssystem med 3 variabler. Samma
massdimension,
M :
längddimension,
L :
tidsdimension,
T :
0 = x
0 = y + z
1 = −2⋅
z
Ekvationssystemet har lösningen x = 0, y = 1/2 och z = -1/2. Det innebär att
produkten kan skrivas T = konstant ⋅ g . Det krävs bara en mätning av perioden
och samhörande längd (t.ex: g = 9,81 m/s 2 , = 0,5 m och T = 1,42 s) för att få fram
det slutliga sambandet:
sambandet är med andra ord
konstant = T ⋅ g = 1,
42 ⋅ 9,
81 0,
5 ≈ 6,
3 . Det sökta
T
= 6 , 3
⋅
g
Notera att massoberoendet följde direkt ur dimensionsanalysen och att vi fick
längd- och accelerationsberoendet utan att det krävdes något experiment. Det räckte
med en mätning av två samhörande variabler. En teoretisk härledning ger att
konstantens värde är 2π, dvs. sambandet T = 2 ⋅π
⋅ g , om utslagsvinkeln är liten,
så att vi kan sätta sin θ ≈ θ .

Exempel 14 Gränshastigheter för fröer
Många växter sprider sina fröer och frukter med vinden. Hur väl de lyckas sprida
sin avkomma beror på hur länge fröet eller frukten kan ”stanna i luften”. Lång tid i
luften betyder längre tid att färdas från moderplantan. Det är därför vanligt med
”luddiga” beklädnader och olika typer av ”vingar”. Genomför en dimensionsanalys
och sök ett uttryck för ett frös gränshastighet, dvs. den hastighet fröet uppnår när
tyngdkraften balanseras av luftmotståndet.
Lösning Vi börjar med att gissa vilka storheter som kan tänkas påverka
gränshastigheten. Dessa sammanfattar vi i en tabell (se Tabell 7). Vi har 5 variabler
och 3 ingående dimensioner. Det betyder att dimensionsanalysen måste
kompletteras med någon form av mätserie.
Vi ansätter att sambandet är en produkt, dvs. gissar följande:
a
b
c
( konstant)
1
v = konstant ⋅ m ⋅ g ⋅ A ⋅ ρ , där dim =
g
d
Vi prövar produktansatsen genom en dimensionsanalys. Det betyder att vi gör en
omskrivning av storhetsekvationen i dimensioner, dvs.
L ⋅T
-1
= 1⋅
M
-2 b 2 c −3
d a+
d b+
2⋅c−3⋅d
−2
b
( L ⋅T
) ⋅ ( L ) ⋅ ( M ⋅ L ) = M ⋅ L ⋅T
a ⋅
⋅
-1
= -2
⋅b
Figur 7 Några vindburna fröer.
Tabell 7 Gränshastigheten för fröer.
Storhet Enhet Dimension
Gränshastigeht vg 1m/s
Dimensionerna i höger och vänster led måste vara lika, varför vi får ett Massa m 1 kg M
ekvationssystem med 3 variabler. Samma
1 m/s 2
L·T -2
Tyngdacceleration g
1 m 2
L 2
Area A
längddimension, L : 1 = b + 2⋅
c − 3⋅
d
1 kg/m
massdimension,
M : 0 = a + d
3 M·L -3
Densitet ρ
tidsdimension,
T :
Lösningen är d = -a, b = ½ och c = (1/4) - (3/2)·a, vilket innebär att
v
g
a
1/
2
( 1/
4)
−(
3 / 2)
⋅a
= konstant ⋅ m ⋅ g ⋅ A ⋅ ρ
Dimensionsanalysen ger inte hela sambandet. Vi måste genomföra en mätning för
att bestämma parametern a. I princip kan vi välja att mäta vg som funktion av m, g,
A eller ρ. I praktiken är det dock omöjligt att variera g. Fröerna faller i luft vid
normalt tryck och temperatur. Att variera densiteten är visserligen möjligt men
besvärligt. Enklast är att mäta vg som funktion av m. Vi ansätter då
g
1/
2
−a
( 1/
4)
−(
3/
2)
⋅a
a
v = k ⋅ m , där k = konstant ⋅ g ⋅ A ⋅ ρ
Notera att k inte är dimensionslös. Vi linjäriserar sambandet
( ) = lg k + a lg m
lg ⋅
v g
I ett diagram där vi avsätter lg(vg) som funktion av lg(m) får vi en rät linje vars
riktningskoefficient är a. I en studie från 1986 mäter Augspurger gränshastigheten
för att antal fröer från tropiska träd i Panama. Diagrammet visar lg(vg/(m/s)) som
funktion av lg(m/mg). Den räta linjen i diagrammet har riktningskoefficienten 0,5.
Det betyder att a = 0,5 och det sökta sambandet är
vg = konstant ⋅
m ⋅ g
A⋅
ρ
−a
L·T -1
•••• •
14
12
•
10
8
6
•
4
• •
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
m / mg
Figur 8 Gränshastigheten (vg) som
funktion av massan (m) för några
vindburna fröer.
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
• •• • •
•
•
•
•• • •
•
-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0
lg(m/mg)
Figur 9 Gränshastigheten (v g) som
funktion av massan (m) för några
vindburna fröer i ett logaritmiskt
diagram. Den räta linjen har
riktningskoefficienten 0,5.
© Nina Reistad 2005 39

Appendix 1 Enheter och dimensioner
Figur 10 I Landet Lilleput möter
Gulliver varelser som är 12 gånger
mindre än Gulliver själv.
Figur 11 Dumbo behöver sina stora
öron för att inte bli överhettad.
40
Exempel 15 Lilleput – dvärgarnas land
I boken om Gullivers äventyr beskrivs invånarna i Lilleput som 12 gånger mindre
än Gulliver. Efter noggranna överväganden bestämde ministrarna att Gulliver skulle
få 12 3 = 1728 normalransoner mat. Var detta riktigt?
Lösning Om en lilleputian har längden L är Gullivers längd 12·L. Matbehovet
bestäms av ytan och en lilleputians kroppsyta (AL) är proportionell mot dess längd i
kvadrat, dvs. AL ∝ L 2 . Gullivers kroppsyta (AG) är då AG ∝ (12·L) 2 = 144·L 2 .
Lilleputianerna gjorde det felaktiga antagandet att matbehovet är proportionellt mot
kroppsvolymen (massan), dvs. VL ∝ L 3 och VG ∝ (12·L) 3 = 1728·L 3 = 1728·VL.
Matbehovet bestäms av Gullivers yta. Han kan därför nöja sig med 12 2 = 144
normalransoner.
Exempel 16 Hur litet kan ett djur bli?
Den värmemängd som ett djur kan tillgodogöra från födan beror på djurets massa
(m), dvs. den varierar med längd i kubik (L 3 ). Den värmemängd som kan föras bort
från kroppen beror å andra sidan på arean, dvs. är proportionell mot längd i kvadrat
(L 2 ). Värmeproduktionen måste balanseras av värmeförlusten. Förminskar vi ett
djur med en faktor 10 minskar den värmeavgivande ytan bara med en faktor 100
medan värmeproduktionen minskar med en faktor 1000. Det lilla djuret kan delvis
kompensera för detta genom att äta mer eller genom att effektivisera
ämnesomsättningen. Avkylningen kan också minskas genom att det lilla djuret
söker upp en skyddande håla. Men dessa möjligheter att påverka värmebalansen
kan inte tänjas obegränsat. Det blir till slut omöjligt att upprätthålla en konstant
kroppstemperatur. Varmblodiga djur kan därför inte vara hur små som helst, om de
ska klara att leva utomhus under kalla vintrar. Dvärgnäbbmusen (Sorex
minutissimus) som finns bl.a. i Norrbotten väger som fullvuxen bara ca 3 g. Den
ligger nära gränsen för djur som kan överleva i Sverige.
Litteratur
Abbott, A., Flatland, a romance of many
dimensions., Barnes & Noble Books,
1983.
Buckingham, E., Phys. Rev., 4, 345, 1914.
Dahl, K., Den fantastiska matematiken,
Fisher&C0, 1991.
Friesen, von S., Om mått och män., Bra
Bok, 1987.
Jönsson., B. och Reistad., N.,
Experimentell Fysik., Studentlitt.
1987.
Pennycuick., C. J., Newton Rules Biology:
A physical approach to biological
problems., Oxford Univ. Press., 1992.
Svensk standard SS 01 61 18: Storheter
och enheter - allmänna principer och
skrivregler.
Symbols, units, nomeclature and
fundamental constants in physics.,
Doc. I.U.P.A.P.-25, SUNAMCO 87-1.

Appendix 2
.
Mätvärdesanalys
Linjärisering och annan list
En definition av vetenskapen fysik skulle kunna vara: ”Fysik är en samling
modeller av naturen, byggda på, och i överensstämmelse med, tidigare
experimentella resultat”. Modellerna ska dessutom kunna förutsäga resultatet
av nya mätningar. Experiment och vår förmåga att analysera dem har m.a.o.
en central betydelse. Lösryckta experimentella resultat, liksom helt fristående
teoretiska funderingar är i allmänhet av mindre intresse – det verkligt
spännande och produktiva ligger i samspelet mellan experimentella resultat
och teoretiska modeller.
Målsättningen med ett experiment är ofta att försöka hitta samband mellan
storheter. Detta kan leda till en modell, en teori eller varför inte en naturlag.
Genom växelverkan och jämförelser mellan modeller och experiment ökar vår
kunskap. I flera fall har vi en modell som vi inte riktigt kan använda i
praktiken, men som kan vara av värde som en utgångspunkt i våra försök att
med matematik beskriva naturen. T.ex. finns det en modell för ett föremåls
fria fall i vakuum. I praktiken faller ganska få föremål i vakuum utan påverkas
av ett luftmotstånd. Det finns modeller för hur luftmotståndet påverkar olika
föremål. Men dessa modeller är begränsade till föremål med vissa bestämda
former. Det är t.ex. omöjligt att beskriva hur en fallskärm fungerar i praktiken
eftersom det inte är möjligt att beskriva hopparens och skärmens form med
någon större matematisk precision. Det är nödvändigt att genomföra
experiment och således utföra ett antal "provhopp" innan fallskärmen börjar
produceras och säljas. Utifrån resultaten av sådana prov kan vi skapa
semiempiriska modeller. Vi ska studera hur vi kan systematisera våra
experimentella observationer för att finna samband mellan storheter, dvs.
börja bygga modeller av naturen. Som en naturlig början väljer vi att studera
linjära samband.
Diagram i olika former är ett av de mest kraftfulla verktyg vi har för att hitta
samband. Vi har en säregen förmåga att känna igen mönster och ett diagram
kan avslöja information som annars inte hade framträtt. Diagrammet är också
ett utmärkt sätt att sammanfatta och presentera experimentella resultat. Till de
viktigaste egenskaperna hos ett diagram hör
Mätintervallet blir tydligt.
Osäkerheten i mätvärdena framträder.
Eventuella samband mellan storheter framträder.
Mätvärden som avviker från de övriga kan lätt identifieras.
Datorbaserade verktyg som t.ex. MatLab eller ett kalkylblad som Excel gör
det numera mycket enkelt att rita diagram.
41

Oxygen concentration / (at. %)
Appendix 2 Mätvärdesanalys
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U
(10 -3 ·V)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U·10 3
(V)
Figur 1 Ovanstående
axelbeteckningar ska inte användas
eftersom det inte är entydigt vad som
menas.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U / mV
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U / (10 -3 ·V)
Figur 2 Ovanstående
axelbeteckningar bör användas,
eftersom de inte kan misstolkas.
Depth / (nm)
Figur 3 Exempel på hur felgränser i
såväl x- som y-led kan markeras.
Diagrammet visar
syrekoncentrationen som funktion av
djup i en 240 nm tjock Cr-film (Från
Jiang et al. 1989).
Figur 4 I valet av skalor väljer vi hur
vi vill visa verkligheten.
42
Diagram
I diagram ska vi tilldela axlarna beteckningar. Det finns minst 2 parallella
skrivsätt, vilket har lett till missförstånd speciellt då det i beteckningen också
ingår tiopotenser. Vi ska inte skriva på det vis som visas i , eftersom det inte
är entydigt vad vi menar. Enligt de nuvarande normerna bör vi utgå från SIsystemets
skrivsätt
U = 7, 0 ⋅ mV
(1)
Vi ska tolka storhetsvärdet som ett mätetal multiplicerat med en enhet. Det
betyder att vi kan dividera båda leden i ekvationen ovan med 1 mV, vilket ger
7,
0
mV =
U
Beteckningen på diagramaxeln bör vara storheten dividerat med enheten,
dvs. U/mV eller U/(10 -3 ·V). Dvs. då vi läser av värdet 7,0 på axeln skall detta
tolkas som U/mV = 7,0 eller U/(10 -3 ·V) = 7,0.
I diagrammet avsätter vi mätvärdena med symboler. Vi ska givetvis välja
dessa så att det är lätt att avläsa värdena i diagrammet. Naturvetare och
tekniker använder därför i huvudsak plustecken ( + ) som är parallella med
axlarna (symbolen X är inte lika lämplig). Ibland förekommer också väl
markerade runda punkter ( • ).
För att visa mätvärdenas osäkerhet markerar vi mätpunkterna med felstaplar
i diagrammet. Felstaplarna anger mätvärdets felgränser. I vissa fall finns det
en osäkerhet i såväl x- som y-led (se ).
Vi bör välja graderingen på axlarna så att hela diagramytan utnyttjas. Genom
att välja axlar och skalor på lämpligt sätt kan det framträda information ur
diagrammet som kanske inte annars hade varit tydlig. I valet av skalor och
axlar väljer vi hur vi vill visa informationen (Error! Reference source not
found.), vilket vi ska se flera exempel på i det här avsnittet.
(2)

Linjära samband
Linjära samband är mycket vanliga. Till de allmänt kända fysikaliska
sambanden som är linjära hör exempelvis Newtons 2: a lag (F = m·a) och
barometerformeln (p = p0 + ρ·g·h).
Vi hittar linjära samband genom att först experimentellt bestämma
samhörande mätvärden (t.ex. F och a samt p och h) och sedan i ett diagram
pröva om sambandet är linjärt. Därefter kan vi fastställa
riktningskoefficienterna och konstanter (t.ex. p0).
Anta att vi mäter ett antal (n stycken) samhörande värden x och y
( x y ) , ( x , y ) ,... ( x , y ) ,... ( x , y )
1 , 1 2 2 i i n n
(3)
Om sambandet mellan x och y är linjärt gäller
y = k ⋅ x + m
(4)
Vi kan enkelt pröva om det finns ett linjärt samband mellan storheterna x och
y genom att i ett diagram avsätta y som funktion av x. Vi vill bestämma
konstanterna k och m så att mätvärdena (xi, yi) ligger så nära den räta linjen
y = k·x + m som möjligt. Experimentella mätresultat är aldrig ”exakta” utan är
alltid behäftade med experimentella osäkerheter. Vi ska studera två olika sätt
att bestämma konstanterna k och m utifrån ett antal mätvärden:
Grafisk metod.
Numerisk metod baserad på minsta kvadratprincipen.
Vi ska inledningsvis i den ”grafiska metoden” lita på vår egen subjektiva
förmåga att rita en linje som ansluter ”så bra som möjligt” till våra
experimentella mätvärden. Sedan ska vi förfina vår metod genom att istället
använda ett objektivt mått på en bra anpassning.
Grafisk bestämning av den räta linjens ekvation
För att grafiskt bestämma riktningskoefficienten (k) avläser vi två punkter på
linjen, (xa, ya) samt (xb, yb), (). Riktningskoefficienten får vi ur
k
y
−
−
y
b a
= (5)
xb
xa
Konstanten (m) bestämmer vi antingen genom att avläsa linjens
skärningspunkt på y-axeln, dvs. y(x=0) eller genom att avläsa en godtycklig
punkt (xc, yc) på linjen och beräkna
m ⋅
= yc
− k xc
(6)
Det är vanligt att inte använda punkten c utan istället någon av punkterna a
eller b vid beräkningen av m.
y
D
DD
D
D
D
D D D
"Tänkt linje": y=kx+m
DD (x
2
, y )
2
(x , y )
i i
(x , y )
n n
(x , y )
1 1
x
Figur 5 Mätvärdena (x 1,y 1), (x 2,y 2),
…, (xi,y i), … (x n,y n), tillsammans med
den räta linjen y = k⋅x+m.
y
D
DD
D
D
D
y = kx + m
DD D D D
(x , y )
a a
(x , y )
c c
(x , y )
b b
x
Figur 6 Grafisk bestämning av räta
linjens ekvation.
© Nina Reistad 2005 43

Appendix 2 Mätvärdesanalys
Tabell 1 Mätvärden från laborationen
“Kretsprocesser”.
N/varv t / s T / ºC
0 0 22,4
1 100 24,4
2 194 26,1
3 284 27,8
4 372 29,5
5 458 31,3
6 541 32,9
7 623 34,6
8 703 36,2
9 782 37,7
10 860 39,2
+ + + + + + + + + + +
45
40
35
30
25
20
m=22
15
0 200 400 600 800 1000
t / s
o (38-25)
(800-120) s
C
o punkt b
punkt a
C
Figur 7 Temperaturen (T) i
värmepumpens varma reservoar som
funktion av tiden (t).
Tabell 2 Benlängd och naturlig
stegfrekvens för 8 individer.
1,2
1,1
1,0
Individ L0 / m T / s
1 0,995 1,20
2 0,990 1,12
3 0,930 1,08
4 0,880 1,21
5 0,820 0,95
6 0,900 0,93
7 0,950 1,06
8 0,820 0,96
•
•
••
•
•
0,9
0,9 1,0 1,1
T / s exp
1,2 1, 3
Figur 8 Pendelns period (T teo) som
funktion av den naturliga stegperioden
(Texp). Den heldragna linjen är
Tteo = 0,23·T exp + 0,85. Den tunnare
linjen har riktningskoefficienten 1.
44
•
Exempel 1 Laborationen “Kretsprocesser”
På laborationen ”Kretsprocesser” bestämde några teknologer samhörande värden
av energimätarens varv (n) (ett mått på energiförbrukningen), tiden (t) och
temperaturen i en värmepumps varma reservoar (T) (se Tabell 1).
Vi vill pröva om det finns ett linjärt samband mellan tiden (t) och temperaturen
(T) och avsätter därför motsvarande mätvärden i ett diagram (). Diagrammet visar
att sambandet mellan temperaturen (T) och tiden (t) som pumpen har varit igång
med god approximation kan skrivas i linjär form, dvs.
T = k ⋅t
+ m
För att bestämma k och m drar vi i en rät linje så nära mätvärdena som möjligt. Vi
bestämmer sedan riktningskoefficienten (k) genom att utnyttja triangeln i , dvs. vi
avläser 2 punkter på linjen, t.ex.
( t T ) = ( 120⋅
s,
25⋅
° C)
och ( t , T ) = ( 800⋅
s,
38⋅
° C)
a , a
b b
Riktningskoefficienten blir
k =
( Tb
−Ta
)
( t − t )
b
a
=
( 38 − 25)
⋅°
( 800 -120)
⋅
C 13⋅
° C
= = 0,
0191⋅
° C/s
s 680⋅
s
Konstanten (m) får vi genom att avläsa linjens skärningspunkt med y-axeln, vilket
i praktiken motsvarar den temperaturer som rådde då värmepumpen startades,
vårt fall är m = 22°C.
Exempel 2 Jämförelse med en modell
Biologiska system har en tendens till självoptimering. Ett exempel på detta är hur
gående människor anpassar sin stegfrekvens så att energikostnaderna blir så små
som möjligt. För att förstå varför utgår vi från perioden för en pendel
T = 2 ⋅π
⋅
L
g
Nu kan vi inte betrakta benen som matematisk pendel. Benens massa är t.ex. inte
koncentrerad till en punkt. För att ta hänsyn till detta inför vi en ”effektiv”
benlängd L = a·L0, där a = 1/3 för en normal vuxen människa. I Tabell 2 finns
resultat från mätningar av benlängden (L0) och den naturliga stegperioden (T) för
8 friska studenter. Använd mätvärdena och pröva om modellen är rimlig.
Lösning Vi börjar med att beräkna värden på stegperioden enligt formeln för
pendelns period (Tteo). Därefter ritar vi ett diagram () där vi avsätter den
teoretiska perioden (Tteo) som funktion av den experimentella perioden (Texp). Vi
drar en rät linje så nära punkterna som möjligt och bestämmer linjens ekvation
0, 23 exp 0,
85 + ⋅ = T
Tteo Om modellen exakt överensstämmer med de experimentella resultaten blir
riktningskoefficienten 1. För individer med korta ben ger modellen lite för små
värden på stegperioden och för individer med långa ben överskattar modellen
stegperioden. Men denna avvikelse är i storleksordningen 5 %, vilket innebär att
modellen är mycket bra.

Linjärisering
Många samband mellan storheter är inte linjära. Då måste vi börja med att
skriva om sambandet så att det blir linjärt, dvs. välja nya variabler. De nya
variablerna kommer att vara funktioner av de gamla. Detta kallas för att
linjärisera. Tabell 3 Belysningens
avståndsberoende.
Linjärisering kan gå till på flera olika sätt,
R / m E / lux
Utgå ifrån en intelligent gissning.
Utnyttja logaritmfunktioner.
Andra metoder.
Vi ska illustrera den här tekniken via några exempel.
Exempel 3 Linjärisering baserad på en intelligent gissning.
Vi vill bestämma hur belysningen (E) varierar med avståndet (r) från en
glödlampa. Vi mätte de båda storheterna med hjälp av en luxmeter och en linjal.
I Tabell 3 återfinns de samhörande mätvärdena.
Belysningen avtar med avståndet från glödlampan (rimligt?). Vi vill nu hitta ett
funktionssamband mellan belysningen (E) och avståndet (r) från glödlampan. Vi
börjar med att avsätta E som funktion av r i ett diagram (Figur 9). Funktionen är
misstänkt lik E ~ 1/r n . Vi börjar därför med att gissa att n = 1, dvs.
E = kontant·r -1 . För att pröva vår hypotes avsätter vi E som funktion av r -1 (Figur
10). Om vårt antagande är riktigt borde vi få en rät linje vars riktningskoefficient
är lika med konstanten i ovanstående samband. Diagrammet visar att vår hypotes
var felaktig. Vi gör en ny gissning och antar istället att sambandet är
1
E = k ⋅
2
r
där k är en konstant. För att pröva vår nya hypotes avsätter vi E som funktion av
r -2 i ett nytt diagram (Figur 11). Antagandet ser ut att vara riktigt och vi kan nu
bestämma konstantens värde. Vi börjar med att dra en rät linje så nära
mätvärdena som möjligt (Figur 11). Därefter avläser vi 2 punkter på linjen, t.ex.
⎛
⎜
⎜
r
⎝
−2
⎜ 1 ⎟
−
( 3,
8⋅
m , 200⋅
lux)
och , E = ( 15,
0⋅
m , 720⋅
lux)
1 2
, E
2 a ⎟ =
⎜ 2 b ⎟
a
⎞
⎟
⎟
⎠
Riktningskoefficienten blir
( Eb
− Ea
) ( 720 − 200)
=
⎞ ( 15,0 -3,8)
⋅
k =
⎛
⎜
1 1
− ⎟
⎜ 2 2 ⎟
⎝ rb
ra
⎠
Funktionen är
⎛
⎜ r
⎝
b
⎞
⎟
⎠
⋅lux
= 46⋅
lux ⋅ m
−2
m
1
2
E = k ⋅ ; där k = 46 lux ⋅ m
2
r
2
0,25 764
0,30 550
0,35 417
0,40 328
0,50 219
0,60 158
0,70 119
1000
800
600
400
200
0
Figur 9 Belysningen (E ) som
funktion av avståndet (r ).
1000
800
600
400
200
0
+
+
+ +
+ + + +
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
r / m
+
+
+
+
+
+
0 1 2 3 4 5
r -1 / m -1
Figur 10 Belysningen (E ) som
funktion av avståndet (r -1 ).
1000
800
600
400
200
0
punkt a
+
+
++
+
+
punkt b
+
(15,0-3,8) m -2
+
+
+
0 5 10 15 20
r -2 / m -2
Figur 11 Belysningen (E ) som
funktion av avståndet (r -2 ).
© Nina Reistad 2005 45

Appendix 2 Mätvärdesanalys
Figur 12 Babianskallar av olika
åldrar. 1: nyfödd, 2: ungdom, 3: vuxen
hona, 4: vuxen hane.
Figur 13 Kraniets längd som
funktion av skallens längd för en
grupp babianer. Data: Huxley 1932.
46
Potensfunktioner
Metoden att gissa exponenter kan bli tidsödande, besvärlig och felaktig om
exponenterna är stora och/eller icke-heltaliga. Det krävs en bättre metodik.
En potensfunktion kan allmänt skrivas
b
u = a ⋅t
(7)
där a och b är konstanter. Vi kan linjärisera ovanstående funktion genom att
logaritmera sambandet.
b
log u = log( a ⋅t
) = log a + b ⋅log
t
Jämför ekvationen ovan med ekvationen för en rät linje
log
u = log
a + b
⋅log
t
(9)
y m k x
Det betyder att om vi avsätter log(u) som funktion av log(t) får vi en rät linje
ur vilken konstanterna a och b kan bestämmas.
Exempel 4 Babianers tillväxt
Då djur som babianer växer förändras också kroppsformen. I figuren bredvid
visas några babianskallar i olika åldrar. Det är tydligt att ansiktet växer mer än
kraniets övriga delar. Diagrammet visar sambandet mellan ansiktets (y) och
kraniets längd (x). Bestäm ett samband mellan x och y.
Lösning Diagrammet ger ansatsen
b
y = a ⋅ x
Vi linjäriserar enligt lg y = lg a + b ⋅ lg x . Två punkter i diagrammet ger
2,
20 −1,
40
b =
= 3,
81
2,
09 −1,
88
1−b
lg( a/mm
) = 2,
20 − 3
−5,
762
, 81
-2,81
⋅
2,
09
=
−5,
762
-2,81
Parametern a = 10 mm = 1,73⋅10
mm .
-6
(8)

Exempel 5 Linjärisering med hjälp av logaritmer
Anta att sambandet mellan belysningen (E) och avståndet (r) från glödlampan (0)
kan skrivas E = a·r b . Vi vill dels pröva antagandet och dels bestämma
konstanterna a och b. Omskrivning av sambandet ovan ger lgE = lga + b⋅lgy. Vi
beräknar nu lg(E /lux) samt lg(r /m) och utökar Tabell 3, se Tabell 4. Under
förutsättning att sambandet är en potensfunktion (dvs. E = a·r b ) får vi alltid en rät
linje om vi avsätter lg(E /lux) som funktion av lg(r /m), se .
För att bestämma konstanterna a och b börjar med att i diagrammet (Figur 14) dra
en linje som ligger så nära mätvärdena som möjligt. Därefter avläser vi två
punkter på linjen som inte ligger för nära varandra,
⎧lg
Punkt 1:
⎨
⎩lg
( r1
/ m)
=
( E / lux)
För riktningskoefficienten gäller
lg
b =
1
−0,
11 ⎧lg
Punkt 2 : ⎨
= 2,
0 ⎩lg
( E / lux)
− lg(
E1
/ lux)
2,
8 − 2,
0
=
lg(
r / m)
− lg(
r / m)
( − 0,
56)
− ( − 0,
11)
( r2
/ m)
=
( E / lux)
2 = −
2
1
2
−0,
56
=
1,
78
−b
Parametern a får vi ur sambandet ( a / lux ⋅ m ) = lg(
E / lux)
− b ⋅ lg(
r / m)
Dvs.
lg
−b
( a / lux ⋅ m ) = 2,
0 − ( −1,
78)(
⋅ − 0,
11)
= 1,
80
a lg
= 10
−b
lux ⋅ m
-b ( a / lux⋅m
) 1,
80
= 10 = 63,
7
2,
8
lg 1
1
Sambandet mellan belysningen (E) och avståndet från lampan (r) är
⎪⎧
1,8
b a= 64 lux ⋅m
E = a ⋅ r ; där ⎨
⎪⎩ b = −1,
80
Det finns inget origo i en logaritmisk skala. Det innebär att linjens
skärningspunkt med y-axeln inte betyder någonting. Vi måste bestämma
konstanten (lg(a)) genom att avläsa en valfri punkt i diagrammet (i exemplet ovan
(r1, E1) = (-0,11, 2,0)).
Notera beteckningarna i tabellhuvudet samt på diagramaxlarna. Det går inte att
“logaritmera en meter”, dvs. alla argument skall vara enhetslösa 1 . Vi måste
“dividera bort” enheten från storheten innan vi logaritmerar. Om vi utgår från att
storhet = mätetal·enhet gäller,
E
2,
0 lux 1
⎛ E
2,
0 lg 1 ⎞
E 1 = ⋅ ⇔ = ⇔ ⎜ ⎟ = lg
lux ⎝ lux ⎠
( 2,
0)
= 0,
30
1 Gäller alla standardfunktioner, sin(argument), cos(argument), e argument , …
,
Tabell 4 Belysningens
avståndsberoende.
r / m E / lux lg(r/m) lg(E/lux)
0,25 764 -0,60 2,89
0,30 550 -0,52 2,74
0,35 417 -0,46 2,62
0,40 328 -0,40 2,52
0,50 219 -0,30 2,34
0,60 158 -0,22 2,20
0,70 119 -0,16 2,08
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
+ + + +
punkt 2
+ + + +
2,0
-(0,56) -(- 0,11)
1,8
-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2 -0,1
10 log(r / m)
punkt 1
Figur 14 Linjärisering av
belysningens avståndsberoende.
© Nina Reistad 2005 47

Wtot
ln(W /J)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Appendix 2 Mätvärdesanalys
Tabell 5 Dämpad svängning.
t / s y / m v / (m/s) W / J ln(W / J)
0,00 0,28 0,00 0,559 -0,582
0,19 0,21 -0,67 0,539 -0,618
0,51 -0,08 -0,93 0,478 -0,738
0,94 -0,23 0,36 0,442 -0,817
1,37 0,10 0,79 0,383 -0,959
1,80 0,20 -0,40 0,365 -1,008
2,22 -0,10 -0,68 0,302 -1,196
2,65 -0,17 0,40 0,286 -1,252
3,07 0,10 0,59 0,245 -1,405
3,49 0,15 -0,38 0,232 -1,459
3,91 -0,09 -0,52 0,193 -1,646
4,33 -0,13 0,35 0,182 -1,705
4,75 0,09 0,47 0,168 -1,783
5,16 0,12 -0,32 0,153 -1,872
5,58 -0,08 -0,42 0,134 -2,011
5,60 -0,11 0,29 0,128 -2,053
6,41 0,07 0,37 0,103 -2,269
6,83 0,10 -0,26 0,105 -2,253
7,25 -0,06 -0,34 0,084 -2,483
7,66 -0,09 0,24 0,087 -2,447
8,08 0,06 0,30 0,069 -2,674
8,50 0,08 -0,22 0,068 -2,695
8,91 -0,05 -0,27 0,054 -2,914
9,33 -0,07 0,19 0,053 -2,938
9,75 0,05 0,24 0,044 -3,111
0
0 2 4 6 8 10
t /s
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
Figur 15 Energin (W) som funktion
av tiden (t) för en dämpad svängning.
−3.5
0 2 4 6 8 10
t /s
48
• ← punkt 1 = (2,0 s; −1,1)
punkt 2 = (8,0 s; −2,6) →
Figur 16 Energins (W) tidsberoende
(t).
•
Exponentialfunktioner
En exponentialfunktion kan allmänt skrivas
där a och b är konstanter. Vi linjäriserar funktionen
u
b⋅t
= a ⋅ e
(10)
b⋅t
( a ⋅ e ) = ln a + b ⋅ t ⋅ ln e = ln a + b ⋅t
ln u = ln
(11)
Jämför ekvationen ovan med ekvationen för en rät linje
ln u = ln a + b
⋅t
(12)
y m k⋅
x
I ett diagram med ln(u) som funktion av t får vi en rät linje ur vilken
konstanterna a och b kan bestämmas, exempelvis är linjens
riktningskoefficient (k) lika med exponenten (b).
Exempel 6-1 Linjärisering av exponentialfunktioner
En fjäder med fjäderkonstanten 378 N/m är belastad med massan 1,0 kg. Vi sätter
massan i svängning och mäter dess läge (y) och hastighet (v) som funktion av
tiden (t). Använd mätvärdena i Tabell 5 och bestäm systemets
sönderfallskonstant.
Lösning Vi börjar med att för varje tidpunkt (t) beräkna systemets totala energi
(W)
1 2 1
W = ⋅ k ⋅ y + ⋅ m ⋅ v
2 2
2
Därefter ritar vi ett diagram där vi avsätter den totala energin som funktion av
tiden (Figur 15). Energin för en dämpad svängning avtar exponentiellt med tiden
enligt
−γ
⋅t
W = W0
⋅ e
Vi vill bestämma sönderfallskonstanten (γ ) och linjäriserar därför sambandet
ln W = lnW0
− γ ⋅t
Vi beräknar ln(W ) och utökar tabellen (Tabell 5). Därefter avsätter vi ln(W / J)
som funktion av t /s i ett diagram (Figur 16). I diagrammet drar vi en rät linje som
ansluter så nära mätvärdena som möjligt. För att bestämma riktningskoefficienten
avläser vi två punkter i diagrammet, (2,0 s; -1,1) och (8,0 s; -2,6).
Sönderfallskonstanten får vi nu enligt
γ
( − , 6)
− ( −1,
1)
( 8,
0 − 2,
0)
s
2 −1,
5 -1
−1
= = s = −0,
25 s
6
Riktningskoefficienten är negativ, vilket visar att energin minskar med tiden.
Sönderfallskonstanten är således 0,25 s -1 .

Sammanfattning
Några vanliga funktioner och deras linjärisering
y = k ⋅ x + m x y k m
u = a ⋅ t
b
u = a ⋅ e
b⋅t
u = a ⋅10
u =
u =
b⋅t
1
( a + b ⋅ t)
t
( a + b ⋅ t)
Linjära samband
lg t
ln t
t
t
t
t
t
1
t
u
lg b b
ln u
lg u
ln u
lg u
ln u
b ⋅ lg e
b
b
b ⋅ ln10
u = a ⋅ t
lg a
1
b a
u
1
a b
u
ln a
lg a
ln a
y = k ⋅ x + m Grafisk teknik Numerisk teknik (mkm)
Riktningskoefficient
yb
− ya
k =
xb
− xa
Konstant m = yc
− k ⋅ xc
Litteratur
Cooke, C., An introduction to
Experimental Physics., UCL Press,
1996.
Kirkup, L., Experimental Metods: an
introduction to the analysis and
presentation of data., John Wiley &
Sons., 1994.
Squires, G. L., Practical Physics: 2/e.,
McGraw-Hill Lim., 1976.
Jiang, H., Whitlow, H.J., Östling, M.,
Neimi, E., d’Heurle, F.M. and
Petersson. C.S., J. Appl. Phys. 65,
567, 1989.
k
n
∑
i
i=
1
=
n
∑
x
x
i
i=
1
m = y − k ⋅
⋅
( y − y )
⋅
i
( x − x )
i
x
© Nina Reistad 2005 49