Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor — modellering ...

Forskningsrapport 2007:02
Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor —
modellering, analys, inledande parameterstudie,
samt indatagenerering
E L E N A KABO & ANDERS EKBERG
Institutionen för Tillämpad mekanik
C H A L M E R S T E K N I S K A H Ö G S K O L A
Göteborg 2007

Forskningsrapport 2007:02
Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor —
modellering, analys, inledande parameterstudie,
samt indatagenerering
ELENA KABO & ANDERS EKBERG
Institutionen för Tillämpad mekanik
Avdelningen för Material- och beräkningsmekanik
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA
Göteborg, Sverige, 2007

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor — modellering,
analys, inledande parameterstudie, samt indatagenerering
ELENA KABO & ANDERS EKBERG
© ELENA KABO & ANDERS EKBERG, 2007
Forskningsrapport 2007:02
ISSN 1652-8549
Institutionen för Tillämpad mekanik
Avdelningen för Material- och beräkningsmekanik
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA
SE-412 96 Göteborg
Sverige
Telephone +46 (0)31 772 1000

Numerisk prediktering av uppkomst av
solkurvor – modellering, analys,
inledande parameterstudie, samt
indatagenerering
Elena Kabo ∗ & Anders Ekberg †
CHARMEC
7 maj 2007
Rapporten beskriver en numerisk modell utvecklad inom det gemensamma
CHARMEC/SP-projektet SP7 – Lateral spårstabilitet för att analysera risken
för uppkomst av solkurvor.
Rapporten diskuterar hur beräkningsresultat framtagna med modellen kan
analyseras, tolkas och översättas till kriterier för att bedöma när solkurvor
uppkommer. För att demonstrera modellens förmåga har en inledande parameterstudie
genomförts. Resultat från denna presenteras.
1 Bakgrund
Denna rapport beskriver en del av forskningen inom det gemensamma CHARMEC/SPprojektet
SP7 – Lateral spårstabilitet. En beskrivning av detta projekt i allmänhet, samt
solkurveanalys i synnerhet finns i projektets slutrapport [1], samt i de referenser som
anges där.
2 Numerisk modell
Solkurvor är ett mycket komplext fysikaliskt problem. För att kunna analysera det numeriskt
har en modell byggts upp i det kommersiella finita elementprogrammet Abaqus.
Abaqus inkluderar en grafisk pre-processor (Abaqus/CAE). Dock visade det sig arbetsamt
att använda denna för att skapa de modeller som är av intresse för solkurveanalys.
∗ elena.kabo@chalmers.se
† anders.ekberg@chalmers.se
1

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 1: Geometrisk spårmodell, samt beräknad knäckningsmod för referensspåret med
100 sliprar.
Istället utvecklades ett Python-skript Presol vilket genererar indata-filer motsvarande
spåravsnitt med specificerade egenskaper.
En manual till Presol finns publicerad, se referens [2].
2.1 Geometrisk modell
Den geometriska spårmodellen består i den aktuella studien av etthundra sliprar med ett
sliperavstånd av sextiofem centimeter. De analyser som redovisas här inkluderar såväl
rakspår som spår i kurva.
Räler och sliprar diskretiseras för finita elementanalys och kopplas med hjälp av fjäderelement.
Störning av spårgeometrin förs in genom att en knäckningsanalys utförs och en
störning motsvarande den första knäckningsmoden påförs. Detta sker beräkningsmässigt
genom att Presol läser in Abaqus resultatfil från knäckningsanalysen. Deformationer
av rälnoderna motsvarande första egenmoden extraheras och skalas (i knäckningsanalysen
är de normerade så att största utböjningen är 1). De skalade egenmodsdeformationerna
förs sedan på initialt i den störda modellen genom att räl- och sliperkoordinater förskjuts.
Den geometriska spårmodellen visas i figur 1.
2.2 Mekaniska egenskaper och laster
Egenskaper motsvarande en nominell UIC60 rälprofil på betongsliper har använts i denna
studie. Ballasten har i knäckningsanalysen representerats av linjära fjädrar med styvheterna
kx = 5.25, ky = 26.3, kz = 100.0 [MN/m] och kxy = kyz = kxz = 16.6 [N/rad].
I Riks-analysen (se nedan) används ett ballastelement som tidigare tagits fram inom
detta forskningsprojektet. Detta element beskrivs i referens [3]. De materialparametrar
som använts anges i tabell 1.
2

lateral styvhet
[MN/m]
Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
vertikal styvhet
[MN/m]
longitudinell
styvhet [MN/m]
skalfaktor för
flytgräns
5.0 100.0 3.5 1
Tabell 1: Materialparametrar i den användardefinierade ballastmodellen
Den enda last som analyserats är temperaturbelastning, vilken relaterar till en axialkraft
i rälen via temperaturutvidgningskoefficienten α = 11.7 · 10 −6 [C −1 ].
3 Analys av resultat
En linjär knäckningsanalys ger en kritisk temperatur av cirka 132 °C för referensfallet.
Detta är naturligtvis ett resultat som är oanvändbart i praktiken. Anledningen till den
höga kritiska temperaturen är den ideala spårgeometrin. Matematiskt relaterar en linjär
knäckningsanalys till egenvärdet hos strukturens styvhetsmatris vilket förhindrar en
ordentlig analys av inverkan av initiala deformationer, ytterligare laster (t.ex. fordonslaster),
m.m. För att komma runt detta måste en icke-linjär gränslastanalys genomföras.
I denna studie används en så kallad Riks-analys. Här behandlas magnituden av temperaturlasten
som en obekant och är alltså inte den variabel som primärt styr analysen.
Iterationen för att finna den numeriska lösningen styrs istället av en hjälpvariabel som
i Abaqus benämns båglängd (arc length). Resultaten i form av förskjutningar, krafter,
m.m. ges som funktioner av denna båglängd. För att relatera till en given temperatur
måste därför båglängden kopplas till temperaturen i en båglängds–temperaturplot.
Det resultat som söks i undersökningarna är gränslasten då de laterala deformationerna
börjar att accelerera under ytterligare temperaturlast. Genom att plotta ett antal
storheter visade det sig att denna gränslast var tydligast då sektionskrafterna i den mest
förskjutna sliperns yttersta nod plottades. Man bör notera att denna sektionskrafts relation
till t.ex. ballasttrycket mot sliperns kortända är oklar eftersom den beräknas i en
nod till vilken en fjäder är kopplad.
I figur 2 visas ett exempel på sektionskraften i den yttersta noden hos den mest förskjutna
slipern (nod nummer 2383), samt den yttersta noden i grannslipern (nod nummer
2372). Man ser tydligt en knyck som motsvarar ett mjuknande i sidomotståndet. Detta
inträffar dock vid något olika temperaturer för de två sliprarna. Vår tolkning är att detta
beror på att ballasten vid den mest förskjutna slipern mjuknar först. Detta leder till
att den närliggande slipern får ta mer last. Då lasten uppgår till ballastens “flytgräns”
kommer även denna slipers sidostyvhet att minska.
Genom att plotta rältemperaturen mot båglängden, se figur 3 kan man relatera “knycken”
i kurvan till en temperatur då sidostyvheten minskar. I det exempel som visas i
figur 2 är dessa temperaturer 38.5 °C (nod 2383), respektive 40.4 °C (nod 2372). I denna
rapport har den temperatur som motsvarar mjuknande i sidomotståndet för den mest
deformerade slipern, betecknats kritisk temperatur.
En graf av sliperförskjutningen mot båglängden visas i figur 3. Som nämndes ovan
är “knycken” i förskjutningskurvorna inte lika markant som den för sektionskrafterna, se
3

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 2: Sektionskrafter [N] som funktion av båglängd i den yttersta noden hos den mest
förskjutna slipern (N2383), samt i den yttersta noden i grannslipern (N2372).
Knycken på kurvan motsvarar ett mjuknande i sidomotståndet. Till vänstern
definitionen av positiv riktning hos sektionskrafterna SF1, SF2 och SF3.
Figur 3: Temperatur [°C] och förskjutning [m] som funktion av båglängd för referensfall.
4

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 4: Sektionskrafter [N] som funktion av båglängd för 5 mm och 10 mm initiala
utböjningsamplituder. Temperaturer och förskjutningar motsvarande de fyra
båglängderna A1,A2,A3,A4 redovisas i tabell 2.
figur 2. Man kan notera att den kritiska temperaturen motsvarar en förskjutning av cirka
4.4 mm.
4 Inledande parameterstudie
I studien nedan har några utvalda parametrar studerats för att ge mer kunskap om deras
kvantitativa effekter. Parameterstudien berör bara enstaka parametrar. Övriga parametrar
sattes till standardvärden från referensfallet. Ingen analys av samverkanseffekter har
gjorts. För varje analyserat fall kördes först en egenvärdesanalys och sedan en Riks-analys.
4.1 Initialdeformationer
Som nämnts ovan bestäms initialdeformationerna genom att beräkna den första knäckmoden.
Denna visas i figur 1. Första knäckmoden skalas sedan och läggs på som störning
hos rälnoderna. Här har två skalningar införts, en där största utböjningsamplituden är
5 mm (referensfall) och en där den är 10 mm.
5

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Sektionskrafterna som funktioner av båglängden (se förklaring ovan) redovisas i figur
4. Kritiska temperaturer motsvarande “knycken” på sektionskraftskurvan visas i tabell 2
tillsammans med motsvarande förskjutning.
beteckning nod utböjningsamplitud [mm] båglängd temperatur [°C] förskjutning [mm]
A1 2383 10 18.4 26.0 4.3
A2 2372 10 20.9 26.5 4.5
A3 2383 5 36.4 38.5 4.4
A4 2372 5 39.9 40.4 4.4
Tabell 2: Kritiska temperaturer och förskjutningar för 5 och 10 mm utböjningsamplituder.
4.2 Kurvor
En analys av ett spåravsnitt med kurvradie 500 m har genomförts. Resultaten blev en
kritiska temperatur av 22.9 °C, vilket motsvarar en förskjutning av 4.7 mm av nod 2417.
Sektionskrafter under ökande last redovisas i figur 5.
4.3 Hängande sliper
Inverkan av en s.k. hängande sliper har analyserats genom att sätta ballaststyvheten hos
en sliper till nära noll. Resultat, i form av sektionskrafter, visas i figur 6. Detta resultat
är svårare att tolka enligt den föreslagna metoden där kritisk temperatur bestäms av
“knycken” på sektionskraftens utvecklingskurva. Dels beror detta på att sektionskraften
längst ut på den hängande slipern (vilken även blir den sliper som förskjuts mest) inte
kan användas då den är (nära) noll. Den kritiska temperaturen 35.9 °C vid förskjutning
av 4.7 mm av nod 2372 längst ut på den närliggande slipern baseras på den redovisade
sektionskraften i lateral riktning (SF1 i figur 2). Man kan även notera att “knycken” är
relativt diffus. Observera även den annorlunda formen hos knäckningsmoden.
4.4 Reducerad ballaststyvhet
Ett försök att se inverkan av ballaststyvheten har gjorts genom reducering av både laterala,
longitudinella och vertikala styvheter med 25 % i den användardefinierade ballastmodellen,
se tabell 1. Detta resulterar i en kritisk temperatur 37.8 °C, motsvarande en
förskjutning av 5.7 mm i nod 2328, se figur 7.
4.5 Reducerad skalfaktor för ballastens flytgräns
Skalfaktorn för ballastens flytgräns, se tabell 1, reduceras med 25 %. Detta resulterar
i en kritisk temperatur av 37.0 °C, vilket motsvarar en förskjutning av 4.4 mm av nod
2383. Observera att egenmoden skiljer sig från referensfallet, se figur 8.
6

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 5: Knäckmod, samt sektionskrafter [N] som funktion av båglängd för kurvradie
500 m.
7

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 6: Knäckmod, samt sektionskrafter [N] som funktion av båglängd för fall med hängande
sliper.
8

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 7: Knäckmod, samt sektionskrafter [N] som funktion av båglängd då ballaststyvheter
reducerats med 25% jämfört med referensfallet.
9

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 8: Knäckningsmod, samt sektionskrafter [N] som funktion av båglängd då skalfaktorn
för ballastens flytgräns reducerats med 25% jämfört med referensfall.
10

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 9: Sektionskraft [N] i sliperns längsriktning som funktion av temperatur [°C] för
samtliga studerade fall.
5 Sammanfattning och fortsatt arbete
5.1 Sammanfattning av resultat från parameterstudie
En inledande studie av hur ett antal parametrar påverkar den laterala spårstyvheten har
genomförts. Resultaten från denna visar på att inverkan av initialdeformationer, kurvor,
ballastens styvhet och flytspänning, samt inverkan av hängande sliprar. I figur 9
visas sektionskraft i sliperns längsriktning (SF1 i figur 2) hos den mest förskjutna slipern
som funktion av temperaturen för samtliga studerade fall. I figur 10 visas motsvarande
förskjutningar som funktion av temperatur. Sektionskraften som funktion av förskjutningen
visas i figur 11. Här syns tydligt att “knycken” i sektionskrafts kurvan motsvarar
ett strukturmjuknande.
Kritiska temperaturer för samtliga fall sammanfattas i tabell 3.
11

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 10: Lateral spårförskjutning [m] av den mest förskjutna slipern som funktion av
temperatur [°C] för samtliga studerade fall.
12

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Figur 11: Sektionskraft [N] som funktion av lateral spårförskjutning [m] av den mest
förskjutna slipern som funktion av temperatur för samtliga studerade fall.
13

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
Tkrit
dkrit
Referensfall 38,5 °C 4,4 mm
Initialdeformation, 10 mm amplitud 26,0 °C 4,3 mm
Kurvradie 500 m 22,9 °C 4,7 mm
Hängande sliper 35,9 °C 4,7 mm
Ballaststyvhet -25% 37,8 °C 5,7 mm
Flytgräns ballast -25% 37,0 °C 4,4 mm
Tabell 3: Sammanfattning av resultat i form av kritiska temperaturer och motsvarande
förskjutningar från inledande parameterstudie
De kritiska temperaturerna och grafen över sektionskraft som funktion av temperatur,
indikerar en rangordning av de studerade fallen i ökad “allvarlighetsgrad” som anges
i vänstra kolumnen i tabell 4. Grafen över förskjutning som funktion av temperatur
indikerar på att ordningen istället bör vara som i högra kolumnen av tabell 4.
Sektionskraft och kritisk temperatur Lateral spårförskjutning
Referensfall ökad Referensfall
Ballaststyvhet -25% Flytgräns ballast -25%
Flytgräns ballast -25% ⇓ Hängande sliper
Hängande sliper Ballaststyvhet -25%
Initialdeformation, 10 mm amplitud allvarlighet Initialdeformation, 10 mm amplitud
Kurvradie 500 m Kurvradie 500 m
Tabell 4: Rangordning i stigande “allvarlighetsgrad” klassad enligt å ena sidan magnitud
hos sektionskraft och kritisk temperatur (strukturmjuknande) och å andra sidan
förskjutningens magnitud. “Referensfall” innebär en initial spårförskjutning med
5 mm amplitud.
Vilken som är den korrekta rankingen mellan de tre fall som skiljer sig åt är svårt att
uttala sig om. Som nämnts ovan är fallet med en hängande sliper svårt att utvärdera
rättvist mot de övriga fallen. När det gäller ballastens flytgräns, respektive styvhet så
ger de olika effekt. En sänkt flytgräns ger ingen effekt upp till den punkt då belastningen
överstiger flytgränsen. Detta visar sig i figur 10 i att förskjutningskurvan initialt
följer referensfallet. En sänkt ballaststyvhet ger däremot en större förskjutning redan
från början. Däremot får det en mindre inverkan på sektionskraften: den kraft som temperaturutvidgningen
av rälen inducerar måste tas upp oavsett vilken styvhet ballasten
har. Den marginella höjning av sektionskraften man ser initialt i figur 9 beror sannolikt
på att den minskade styvheten leder till att kraftens fördelning över närliggande sliprar
minskar.
14

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
5.2 Preliminärt kriterium för uppkomst av solkurvor
Baserat på parameterstudien ovan kan man tänka sig två kriterier för när solkurvor kan
anses ha uppkommit:
1. När sidostyvheten hos den mest förskjutna slipern minskar. Detta kan, i någon
mening, ses som en gränslast.
2. När den laterala förkjutningen överstiger ett (a priori) givet värde. Även om detta
tillstånd inte definitionsmässigt motsvarar en gränslast kommer spårläget att bli
så dåligt att trafikering av spåret kommer att orsaka höga lateralkrafter vilka i sin
tur ökar deformationerna
Ett pragmatiskt angreppssätt är att använda dessa kriterier parallellt. Olika scenarier
kan då analyseras och jämföras och acceptabla förhållanden definieras.
5.3 Sammanfattning av studien och förslag på fortsatt arbete
En numerisk modell för prediktering av solkurvor har tagits fram liksom ett skript för att
underlätta genererandet av indata till numeriska analyser. Själva finita element-analysen
har utförts i det kommersiella finita elementprogrammet Abaqus.
En första parameterstudie har genomförts. Studien visar att en linjär knäckningsanalys
är oanvändbar för att definiera tillåtna rältemperaturer. Istället måste en icke-linjär
analys genomföras. Resultaten av denna analys kan sedan analyseras med avseende på
strukturmjuknande och laterala deformationer för att definiera kritiska temperaturer.
Rutiner för att genomföra och utvärdera sådana analyser har tagits fram. Resultaten
från den preliminära parameterstudien visar på känsligheten för variationer i nyckelparametrar.
Därutöver har det framtagna analyspaketet visat sig vara mycket kraftfullt.
Generering av numerisk modell och simuleringar tar några minuter.
Det bör nämnas att den tid som fanns till förfogande för en parameterstudie var begränsad.
Studien skall därför mest ses som en demonstration av de möjligheter som finns.
Notera även att simuleringarna utfördes med en hög initialförskjutning (5 mm amplitud)
för att få tydliga effekter.
I en fortsättning bör parameterstudien utökas till fler nivåer. Därutöver bör inverkan av
ett antal viktiga faktorer såsom laterala laster, veka och styva spåravsnitt, m.m. undersökas.
Detta innebär att indatagenererings-skriptet Presol delvis måste kompletteras.
Slutligen bör samverkan mellan de utvalda parametrarna studeras. En sådan studie ger,
tillsammans med de resultat som presenteras här, ett mycket gott underlag för utformandet
av föreskrifter och strategier för att motverka uppkomsten av solkurvor.
Referenser
[1] Erland Johnson, Gunnar Kjell, Lars Jacobsson & Robert Lillbacka,
Anders Ekberg & Elena Kabo: Lateral spårstabilitet – slutrapport, Chalmers
Applied Mechanics, 2007, 31 pp
15

Numerisk prediktering av uppkomst av solkurvor
[2] Anders Ekberg & Elena Kabo: PRESOL – pre-processor för solkurveanalys,
Chalmers Tillämpad mekanik, 2007, 11 pp
[3] Lars Jacobsson: A plasticity model for ballast resistance, SP Report 2005:27,
Building Technology and Mechanics, SP Swedish National and Testing and Research
Institute, Borås 2005, 35 pp
16