Några exempel där styrkan beräknas är: - Karlstads universitet

More documents

Recommendations

Info

Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik b) Vad är sannolikheten för att medelvärdet i stickprovet ligger utanför intervallet E ( X ) ± V ( X ) ? Eftersom X är normalfördelad precis som X, är sannolikheten för att X skulle ligga utanför intervallet E ( X ) ± V ( X ) lika stor som att X skulle ligga utanför intervallet E ( X ) ± V ( X ) , d. v. s. utanför intervallet μ ± σ . Denna sannolikhet har vi redan tagit fram i 1b och den är 0,3174. Om man inte upptäcker likheten med 1b går det naturligtvis bra att i stället använda resultatet i 2a och räkna ut sannolikheten att X ligger utanför intervallet μ σ X ± n = 1 000 ± 50 , eller utanför intervallet (950; 1 050). 1− P( 950 ≤ 950 − 1000 X ≤ 1050) = 1− P( ≤ 100 X − σ μ 1050 − μ ≤ ) = 100 1 − P( − 1 ≤ Z ≤ 1) = 1− [ P( Z < 1) − P( Z < − 1)] 4 n 4 = 1− ( 0, 8413 − 0, 1587) = 1 − 0, 6826 = 0, 3174 Uppgift 3 Den förvirrade statistikläraren Ztatistica ”tappar bort” både väntevärde och standardavvikelse för slumpvariabeln X från uppgifterna ovan. a) Antag att Ztatistica trots allt lyckas hålla i minnet att variabeln är normalfördelad. Om hon i detta läge drar ett slumpmässigt stickprov om n=4 observationer från populationen och beräknar diverse intressanta läges- och spridningsmått i stickprovet – hur skulle hon därefter kunna utnyttja denna information på bästa sätt för att försöka ta reda på ungefär hur stort väntevärdet för X är? Hitta på siffror i lämplig storleksordning – sunt förnuft räcker! – för att illustrera din redogörelse ytterligare och förklara också i ord vad Ztatistica faktiskt skulle kunna säga beträffande väntevärdet för X. Om Ztatistica beräknar medelvärde och standardavvikelse i stickprovet, kan hon sedan utnyttja kunskapen om att den underliggande populationen är normalfördelad och ta fram ett konfidentiella för väntevärdet μ. Specifikt: När Ztatistica drar ett litet urval från en normalfördelad population med X − μ okänd standardavvikelse vet hon att t-fördelning med (n-1=3) frihetsgrader. s n följer en Ett (exempelvis) 95%-igt konfidensintervall för μ kan då beräknas som: x ± t0, 975 ( 3) s = n x ± 3, 18 s 4
Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Om vi nu hittar på någorlunda realistiska värden, t. ex. att stickprovsmedelvärdet blir 982 och stickprovsstandardavvikelsen 54, får vi 54 intervallet 982 ± 3, 18 = ( 896, 14; 1067, 86) 2 Ztatistica kan nu påstå att ”Med 95% säkerhet ligger väntevärdet för X mellan 896 och 1068”. b) Den förvirrade statistikläraren Ztatistica är nu om möjligt ännu mer förvirrad. Hon kommer inte ihåg någonting om slumpvariabeln X (mer än att det är just en slumpvariabel!). Kom med en välmotiverad, utförlig beskrivning på hur Ztatistica i detta läge skulle kunna gå tillväga för att få en riktigt hygglig uppfattning om hur stort väntevärdet för X är. Hitta på siffror i lämplig storleksordning – sunt förnuft + relevanta ämneskunskaper krävs – för att illustrera din redogörelse ytterligare och förklara också i ord vad Ztatistica faktiskt skulle kunna säga beträffande väntevärdet för X. Om vi har en slumpvariabel som vi inte vet någonting om, är det en god idé för Ztatistica att dra ett stort slumpmässigt stickprov ur populationen. Eftersom hon vet att stickprovsmedelvärdet är en väntevärdesriktig skattning av väntevärdet µ, kan hon enkelt göra en punktskattning av väntevärdet. Men detta ger ju bara ett värde, som Ztatistica inte alls vet hur nära sanningen det ligger. Här kan hon därför med fördel utnyttja den Centrala gränsvärdessatsen, CGS. CGS säger att ”En summa av oberoende slumpvariabler från samma fördelning följer ungefär en normalfördelning, om antalet variabler som ingår i summan bara är tillräckligt stort”. Eftersom Ztatistica är väl påläst, vet hon vidare att ett stickprovsmedelvärde är just en X 1 X 2 X 3 X n summa av slumpvariabler, X = + + + ... + , och att vi dividerar n n n n respektive observation med ”n” saknar betydelse för formen på fördelningen. Om nu X = X 1 + n X 2 + n X 3 + n ... + X n är ungefär normalfördelad och n Ztatistica vet (eller slår upp i formelsamlingen) att väntevärde och standardavvikelse för X är μ respektive σ kan hon även se att hon kan n beräkna ett 100(1-α)%-igt konfidensintervall för µ som x ± z 1− σ n Fast hur gör hon med den okända standardavvikelsen σ? Jo, eftersom Ztatistica tog ett stort stickprov, om t. ex. n=100 observationer, kan hon skatta σ med stickprovsstandardavvikelsen s och säga att: ”Med cirka 95% (exempelvis) säkerhet ligger väntevärdet µ inom intervallet s s x ± z0, 975 = x ± 1, 96 ”. n 10 α 2
Page 1: Karlstads universitet Avdelningen f
Page 5 and 6: Karlstads universitet Avdelningen f
Page 7 and 8: Karlstads universitet Avdelningen f
Page 9: Karlstads universitet Avdelningen f

Några exempel där styrkan beräknas är: - Karlstads universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?