Modul 6_inledning.pdf - Stålbyggnadsinstitutet

Att konstruera med stål
Läromedel för konstruktörer
Modul 6
Stabilitet för balkar och stänger
Torsten Höglund

Att konstruera med stål - Läromedel för konstruktörer omfattar:
Modul 1 Allmänna grunder
Ove Lagerqvist, LTU
Modul 2 Material och komponenter
Anders Samuelsson, SSAB Oxelösund och Anders Olsson, Outokumpu Stainless
Modul 3 Konceptuell utformning
Bernt Johansson, LTU och Håkan Sundquist, KTH
Modul 4 Bärverksanalys
Bernt Johansson, LTU
Modul 5 Tvärsnittsbärförmåga
Bernt Johansson, LTU
Modul 6 Stabilitet för stänger och balkar
Torsten Höglund, KTH
Modul 7 Kallformade profiler
Torsten Höglund, KTH och Jan Strömberg, Plannja
Modul 8 Utmattning
Kjell Eriksson, LTU
Modul 9 Brottmekanik
Kjell Eriksson, LTU
Modul 10 Förband
Bert Norlin, KTH och Milan Veljković, LTU
Modul 11 Bärförmåga vid brand
Peter Karlström, SBI
Modul 12 Tillverkning, montering och kontroll
Björn Uppfeldt, SBI
Materialet har tillkommit med bistånd från följande institutioner och företag:
SSAB Tunnplåt AB
www.ssabtunnplat.com
SSAB Oxelösund AB
www.oxelosund.ssab.se
Outokumpu Stainless AB
www.outokumpu.com
Plannja AB
www.plannja.se
Banverket
www.banverket.se
Skanska Sverige AB
www.skanska.se
SBUF-Svenska Byggbranschens
Utvecklingsfond
www.sbuf.se
KTH-Kungliga Tekniska Högskolan
www.kth.se
LTU-Luleå tekniska universitet
www.ltu.se
SBI-Stålbyggnadsinstitutet
www.sbi.se
Björn Wahlströms Fond
i

Förord
När det gäller bärförmågan hos tryckta stänger har förutsättningarna för stabilitet stor
betydelse. Alltsedan Eulers lösning 1744 av problemet med böjknäckning av en stång, har
ett närmast oräkneligt antal stabilitetsproblem undersökts.
Den s k klassiska stabilitetsteorin, som bygger på ideala förhållanden, är en viktig utgångspunkt
för bestämning av bärförmågan och upptar ett stort utrymme i denna modul.
Den kan dock inte direkt användas för bestämning av bärförmågan utan hänsyn måste tas
till inverkan av olika imperfektioner såsom initialkrokighet och egenspänningar. I en
verklig stång finns båda dessa inverkningar samtidigt. En teoretisk behandling av detta
problem kan inte göras med enkla medel utan det blir fråga om numeriska lösningar.
Sådana har genomförts av ett flertal forskare och har resulterat i de beräkningsmetoder
som sammanställts i Eurokoderna.
Materialet i denna modul är i stora delar en sammanställning av ett antal kompendiedelar
utarbetade vid avdelningen för Stålbyggnad, KTH under de senaste 20 åren av
undertecknad, Kurt Lundin och Bert Norlin. Dessa är i sin tur baserade på tidigare
läroböcker och rapporter av Henrik Nylander, Bernt Johansson, undertecknad m fl vid
institutionen för Byggnadsstatik, KTH under 60- och 70-talet. Kapitel 2 Tryckta stänger
överensstämmer i huvudsak med delar av ett kompendium av Bernt Johansson, LTU.
Kapitel 7 Dimensionering enligt Eurokod 3 (SS-EN 1993-1-1) är sammanställt av Bert
Norlin.
Eftersom vissa kurser kan komma att omfatta endast delar av denna modul har vissa
grundläggande förutsättningar m m upprepats i några av kapitlen.
Stockholm i maj 2006
Torsten Höglund
iii

Innehållsförteckning
1 Allmänt om stabilitet ................................................................................. 1
1.1 Begrepp..................................................................................................................1
1.1.1 Koordinataxlar och geometri.........................................................................1
1.1.2 Buckling och knäckning ................................................................................1
1.1.3 Lokal buckling...............................................................................................1
1.1.4 Distorsionsknäckning....................................................................................2
1.1.5 Global knäckning ..........................................................................................2
1.1.6 Kopplade instabiliteter ..................................................................................2
1.2 Stabilitetsteori .......................................................................................................2
1.3 Klassisk teori för knäckning, vippning och buckling - kort sammanfattning ..3
1.3.1 Rak stång .....................................................................................................3
1.3.2 Böjd balk.......................................................................................................4
1.3.3 Plan platta.....................................................................................................4
1.3.4 Cylindriska skal.............................................................................................5
1.4 Karakteristiska egenskaper vid knäckning och buckling. Jämförelse med
försöksresultat ......................................................................................................5
1.4.1 Stänger .........................................................................................................5
1.4.2 Böjd balk.......................................................................................................6
1.4.3 Plana plattor .................................................................................................7
1.4.4 Skal...............................................................................................................7
1.5 Dimensionering med hänsyn till knäckning, vippning och buckling
- översikt ................................................................................................................9
2 Tryckta stänger – inverkan av inspänning, imperfektioner och
skjuvdeformationer ................................................................................. 11
2.1 Instabilitet vid tryckta stänger ...........................................................................11
2.1.1 Böjknäckning av centriskt tryckt stång........................................................12
2.1.2 Inverkan av elastisk inspänning vid upplag.................................................14
2.1.3 Inverkan av krokighet..................................................................................16
2.1.4 Inverkan av egenspänningar ......................................................................18
2.1.5 Inverkan av skjuvdeformationer..................................................................22
3 Förutsättningar för analys av stabilitet hos stänger och balkar ......... 25
3.1 Skjuvcentrum och vridcentrum .........................................................................25
3.1.1 Skjuvcentrum..............................................................................................25
3.1.2 Vridcentrum ................................................................................................26
3.1.4 Skjuvcentrum vid U-tvärsnitt .......................................................................27
3.2 Vridning och välvning.........................................................................................28
3.2.1 Blandad vridning av I-balk ..........................................................................30
3.2.2 I-balk påverkad av vridande moment, normalkraft och böjande moment....31
3.3 Energimetoder.....................................................................................................33
3.3.1 Villkor för instabilitet....................................................................................34
3.3.2 Variationskalkyl...........................................................................................35
4 Klassisk stabilitetsteori - normalkraft.................................................... 37
4.1 Bärförmåga vid centrisk last ..............................................................................37
4.1.1 Böjknäckning, vridknäckning och böjvridknäckning ....................................37
4.1.2 Kritisk last ...................................................................................................38
4.1.3 Härledning av kritisk last ur jämviktsvillkor och elastiska linjens ekvation...38
v

vi
4.1.4 Vridknäckning av stagad stång som kan vridas fritt vid ändarna................ 39
4.1.5 Vridknäckning av stagad stång med gångjärnslagring vid ändarna ........... 40
4.1.6 Randvillkor ................................................................................................. 41
4.2 Potentialförändringen vid böjvridknäckning.................................................... 42
4.2.1 Magasinerad elastisk energi (inre arbete).................................................. 42
4.2.2 Den yttre lastens potentialförändring ......................................................... 44
4.2.3 Tillämpning av energimetoder för några enkla fall av böjknäckning........... 44
4.3 Teoretisk knäckningslast vid godtyckligt tvärsnitt ......................................... 47
4.3.1 Inre potential vid knäckning........................................................................ 48
4.3.2 Den yttre lastens potential vid instabilitet ................................................... 48
4.3.3 Den totala potentialen vid instabilitet.......................................................... 48
4.4 Tillämpning av energimetod vid böjvridknäckning ......................................... 49
4.4.1 Specialfall, dubbelsymmetriskt tvärsnitt ..................................................... 49
4.4.2 Specialfall, enkelsymmetriskt tvärsnitt........................................................ 50
4.4.3 Generellt fall, asymmetriskt tvärsnitt .......................................................... 51
5 Klassisk stabilitetsteori – böjande moment.......................................... 53
5.1 Allmänt om vippning .......................................................................................... 53
5.2 Inverkan av stagning och fall då man inte behöver kontrollera risk för
vippning............................................................................................................... 53
5.3 Inverkan av lastens angreppspunkt.................................................................. 54
5.4 Potentialförändringen vid vippning .................................................................. 55
5.4.1 Samband mellan moment och deformationer ............................................ 55
5.4.2 Magasinerad elastisk energi (inre arbete).................................................. 55
5.4.3 Yttre lastens potentialförändring ................................................................ 55
5.4.4 Upplagsfall vid vippning ............................................................................. 56
5.4.5 Potentialförändring vid vippning ................................................................. 56
5.4.6 Elasticitetsteoretisk lösning för lastfallet två lika stora ändmoment............ 57
6 Normalkraft och moment ........................................................................ 61
6.1 Inledning.............................................................................................................. 61
6.2 Tvärsnittsbärförmåga......................................................................................... 61
6.2.1 Normalkraft och moment kring en huvudtröghetsaxel................................ 61
6.2.2 Normalkraft och moment kring båda huvudtröghetsaxlarna....................... 63
6.3 Böjknäckning av böjd och tryckt stång............................................................ 65
6.3.1 Andra ordningens elasticitetsteori .............................................................. 65
6.3.2 Lösning med elastiska linjens ekvation ...................................................... 66
6.3.3 Approximativ lösning av andra ordningens problem .................................. 67
6.3.4 Dimensionering m h t böjknäckning baserad på andra ordningens teori.... 68
6.3.5 Böjknäckning av böjd och tryckt stång i Eurokoder.................................... 69
6.3.6 Inverkan av momentfördelningen längs stången........................................ 70
6.4 Böjvridknäckning av böjd och tryckt stång ..................................................... 72
6.4.1 Inverkan av momentfördelningen vid böjvridknäckning.............................. 73
7 Dimensionering enligt SS-EN 1993 ........................................................ 75
7.1 Böjknäckning av centriskt tryckt stång............................................................ 75
7.2 Vippning av böjd balk......................................................................................... 77
7.2.1 Principiellt verkningssätt för rent momentbelastad balk, böjning kring
styva axeln ................................................................................................. 77
7.2.2 Typiskt verkningssätt hos balkar som finns i verkligheten.......................... 77
7.2.3 Faktorer som påverkar vippningsbenägenheten ........................................ 78

7.2.4 Den verkliga balkens bärförmåga begränsas av.........................................79
7.2.5 Initialkrokighet i sidled.................................................................................79
7.2.6 Egenspänningar .........................................................................................80
7.2.7 Bärförmåga m h t vippning enligt SS-EN 1993-1-1.....................................81
7.2.8 Vippningskurvor i SS-EN 1993-1-1.............................................................81
7.2.9 Generella kurvor .........................................................................................81
7.2.10 Vippningskurvor för valsade och ekvivalenta svetsade balkar....................82
7.2.11 Förenklad metod för kontroll av vippning mellan sidostagningar ................83
7.2.12 Beräkning av kritiskt moment......................................................................84
7.3 Böjknäckning av böjd och tryckt stång.............................................................89
7.3.1 Principiellt verkningssätt vid böjknäckning..................................................89
7.3.2 Beräkning enligt andra ordningens teori .....................................................89
7.3.3 Beräkning enligt första ordningens teori .....................................................90
7.3.4 Interaktionssamband enligt 6.3.3................................................................90
7.3.5 Interaktionskontroll vid böjknäckning i styva riktningen...............................90
7.3.6 Interaktionskontroll vid böjknäckning i veka riktningen ...............................92
7.3.7 Generell metod för knäckning, vippning, böjknäckning och böjvridknäckning..............................................................................................93
7.4 Vrid- och böjvridknäckning av centriskt tryckt stång......................................93
7.4.1 Principiellt verkningssätt vid vridknäckning.................................................93
7.4.2 Teoretisk vridknäckningslast.......................................................................94
7.4.3 Principiellt verkningssätt vid böjvridknäckning ............................................94
7.4.4 Dimensionering mot vrid- och böjvridknäckning enligt EC3 ........................96
7.5 Böjvridknäckning av böjd och tryckt stång ......................................................96
7.5.1 Analysmetoder vid böjvridknäckning ..........................................................97
7.5.2 Interaktionssamband enligt 6.3.3................................................................97
7.5.3 Böjvridknäckning vid moment endast kring y-axeln ....................................97
7.5.4 Böjvridknäckning vid momentet kring både y- och z-axeln .........................98
8 Referenser .............................................................................................. 101
8.1 Artiklar och litteratur.........................................................................................101
8.2 Normer och standarder.....................................................................................101
vii