Uppgift 6

Uppgift 6
Joakim Östlund
Patrik Lindegrén
Pontus Nyrén
Daniel Holmqvist
Peyman Ziari
20 februari 2004
1

Grundläggande grafteoretiska begrepp
Grafer är en teknik för att modellera förhållanden. En graf består utav en serie
punkter (även kallade noder eller hörn) som kan representera olika saker, och
dessa kan bindas ihop med linjer (s.k. kanter) för att representera förhållandet
mellan noderna. Man kan därför säga att en graf är en mängd noder där vissa
är parvis förenade med kanter. Två noder som sitter ihop med en kant kallas
också för grannar i grafen. Nodmängden i en graf kallas V, och kantmängden
E. En graf kan därav anges som G = (V, E), då grafens struktur är bestämd av
noderna och kanterna.
Olika grafteoretiska begrepp
Nedan följer ett antal grafiska begrepp och exempel:
Vandring: Är en förflyttning från nod till nog längs kanter. En vandring kan
beskrivas genom att man räknar upp passerande noder i ordning, t.ex. 2 - 1- 2
- 5 - 8
Väg: En vandring där en kant ej får passeras mer än en gång.
Stig: En vandring där en nod ej får passeras mer än en gång.
2

Krets: En sluten väg där man börjar och slutar på samma nod.
Cykel: En sluten stig där man börjar och slutar på samma nod.
Delgraf: En del av en graf där det inte finns någon väg till en annan del av
samma graf.
Hamiltonstig: En stig som besöker varje nod i grafen exakt en gång.
3

Hamiltoncykel: En sluten Hamiltonstig. Detta är en bra teknik för att sätta
ihop en effekt rutt då man vill besöka alla platser en gång för att sedan återgå
till starpunkten, t.ex. för en brevbärares runda.
Eulerväg: En väg som går längs varje kant i grafen exakt en gång.
Eulerkrets: En sluten Eulerväg.
4

Nods grad: En nods grad bestäms av antalet utgående kanter.
Komplett graf: Varje nod i grafen är förbunden med varje annan nod i grafen.
Komplementgraf: Består av samma noder som den ursprungliga grafen men
kanter går endast mellan de noder som inte var förbundna i ursprungsgrafen.
Bipartit graf: En graf där noderna är indelade i två olika grupper. Där kanterna
endast förbinder mellan grupperna.
Multipla kanter: Två noder som är förbundna med fler än en kant.
Ögla: En kant som förbinder en nod med sig själv.
Multigrafer: Grafer som innehåller öglor och/eller multipla kanter.
Enkla grafer: Grafer som inte innehåller öglor eller multipla kanter.
Riktad kant: En kant som endast kan passeras i en riktning.
Riktad graf: En graf som endast innehåller riktade kanter.
Oriktad graf: En graf som inte innehåller riktade kanter.
Isomorfa grafer
En graf går att beskriva på två olika sätt: Som en samling hörn och kanter,
eller som en matris. Vanligast är den grafiska modellen med hörn och kanter,
den är även den modellen som är mest intuitiv; men ett snabbt ögonkast är det
oftast lätt att att se hur relationerna mellan olika hörn är strukturerade. Dock
är den modellen inte alltid att föredra, och ibland kan det helt vara omöjlig
att använda, t.ex. vid datorbehandling av en graf. Vid sådana tillfällen används
matrisformen. En enkel form av detta är grannmatrisen, som för varje hörn talar
om vika andra hörn det är ”granne” med.
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 1 0 1 1
3 0 1 0 1
4 0 1 1 0
Figur 1: Tre isomorfa grafer.
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 1 0 1 1
3 0 1 0 1
4 0 1 1 0
1 2 3 4
1 0 1 1 1
2 1 0 0 0
3 1 0 0 1
4 1 0 1 0
Tabell 1: Grannmatriser beskrivande de tre isomorfa graferna.
Även fast de tre graferna, och deras grannmatriser, ser olika ut, beskrver de
samma data. Detta fenomen kallas för isomorfi. För en graf spelar det ingen roll
5

hur hörnen ritas ut, så länge som kanterna går mellan de hörn som ska vara
förbundna med en väg. På samma sätt spelar det ingen roll i vilken ordning man
för in hörnen i grannmatrisen, vilket förklarar varför matris nummer 3 i (tabell
1) ser annorlunda ut än de andra två; hörn 1 och 2 har helt enkelt bytt ”namn”.
Den tyska matematikern Douglas Hofstadter har givit en informell definition
av isomorfi enligt följande:
”Ordet ’isomorfism’ är applicerbart när två komplexa strukturer kan
läggas över varandra, på ett sådant sätt att för varje del i den ena
strukturen så finns det en motsvarande del i den andra strukturen,
där ’motsvarande’ betyder att de två delarna har liknande roller i
sina respektive strukturer”.
En mer formell definition av isomorfi lyder ”För att två grafer A och B skall
vara isomorfiska, krävs det att det finns en bijektion φ mellan hörnen i A och
B, sådan att elementen i grannmatriserna på plats (i, j ) och (φ(i), φ(j )) alltid
är identiska.” Med andra ord, två hörn som är grannar i graf A, ska även vara
grannar i graf B. För att bättre förstå detta koncept kan en definition av ordet
bijektion vara på plats.
En bijektion kan per definition bara finnas mellan två grafer som består av
lika många hörn. Finns det olika antal hörn i graferna är det omöjligt att de
beskriver samma data! En bijektion är i själva verket en kombination av surjektion
och injektion.
En surjektion (se fig. 2) kan inträffa mellan två olika stora grafer, så länge
Figur 2: Surjektion
som graf A är som mest lika stor som graf B, och sker när varje hörn i graf A
motsvarar minst ett hörn i graf B, och det inte finns något hörn i graf B som
inte har ett motsvarande i graf A (det vill säga, A ”täcker” hela B).
En injektion (se fig. 3) kan också inträffa mellan olika stora grafer, och även
här måste A vara mindre än eller lika stor som B. Vid en injektion motsvarar
varje hörn i A ett unikt hörn i B (unikt så tillvida att inget annat hörn i A
motsvarar samma hörn). Vid en injektion kan det finnas hörn i B som inte har
en motsvarighet i A (dock måste alla hörn i A motsvara ett i B).
Kombinerar man dessa två, får man en bijektion (se fig. 4). Vid en bijek-
6

Figur 3: Injektion
Figur 4: Bijektion
tion måste alla hörn i A motsvara ett, och endast ett, unikt hörn i B, och alla
hörn i B måste ha en motsvarighet i A (kom ihåg att ”motsvarar” i det fall
betyder att dom uppfyller samma funktion). Därför kan inte graferna ha olika
många hörn (skulle dom ha det skulle det antingen finnas hörn som inte hade
en motsvarighet i den andra grafen, alt. hörn som motsvarade fler än ett annat).
Träd
Träd är sammanhängande grafer utan cykler. De yttersta noderna i ett träd
kallas för löv. Det finns ett samband mellan antalet noder och antalet kanter i
träd. Sambandet säger att antalet noder |V| är lika med antalet kanter |E| plus
1, dvs:
|V | = |E| + 1
Plockar man bort kanter ur en sammanhängande graf med cykler, så att cyklerna
försvinner, men grafen förblir sammanhängande, har man fått ett s.k.
spännande träd. Det spännande trädet är en delgraf till den ursprungliga grafen.
Ur en graf kan man ibland ta ut flera spännande träd. Beroende på vad
trädet beskriver (sträckor, vikter, etc.), kan det finnas ett eller flera spännande
träd som är de ”effektivaste”, t.ex. ett träd som beskriver den kortaste vägen ur
en labyrint. De träden kallas för minimalt spännande träd. Kanternas ”längd”
eller ”kostnad” kallas vikt.
För att finna det minimalt spännande trädet till en graf kan Kruskals algoritm
användas. Trädet konstrueras genom att en kant åt gången väljs från originalgrafen
tills ett spännande träd har skapats. Den kant som väljs ska vara den lättaste
7

kanten (den kant med lägst vikt) som inte bildar cykler med redan valda kanter.
Rotade Träd
I ett träd kan man utse en nod att vara rot, som kan tolkas som trädets startpunkt.
Ett sådant träd kallas rotat träd (se fig. 5). En nods grannod som ligger
närmare roten kallas dess förälder, och grannoder som ligger längre ifrån roten
kallas dess barn. När ett rotat träd ritas brukar oftast roten ritas högst upp och
sedan ritas barnen upp på nivån under och deras barn på nästa nivå osv.
Det kan sägas att ett rotat träd är balanserat då det består av så få nivåer
som möjligt. Ett rotat träds höjd kan fås fram genom att antalet nivåer räknas.
Figur 5: Rotat träd.
Det finns två vanliga sätt att söka igenom rotade träd, de kallas bredden-först
sökning och djupet-först söking. Vid bredden-först sökning söks noderna igenom
nivå för nivå, från t.ex. vänster till höger. Vid djupet-först sökning söks hela
tiden först nodens barn igenom.
Binära träd
Ett binärt träd (se fig. 6) är ett rotat träd där varje nod kan ha max två
barn. En av de vanligaste användningsområdena för binära träd är att man kan
använda dem till snabba sökbara strukturer.
Figur 6: Binärt träd.
Ett sätt att skriva ut data i ett binärt träd är att gå genom noderna i in-ordning,
då skriver man först ut värdet på den vänstra under-noden, sedan roten, och
sist den högra noden. Det finns ytterligare två sätt att göra det på, pre-ordning,
8

där man först skriver ut roten, och sedan under-noderna från vänster till höger,
samt post-ordning där man först skriver ut under-noderna från vänster till höger,
och avslutar med roten.
Räkneexempel
Man ska lägga ett nytt stadsnätverk i centrala Västerås. På kartan (se fig. 7)
finns nätverkets noder utsatta och alla vägar mellan dem där kabel läggning är
möjligt. Även längden på dessa vägar är utsatta.
Figur 7: Karta över Västerås med nätverksnoder och de möjliga vägarna mellan
dem utsatta.
a) Avgör om det är möjlit att gå på alla markerade vägar som ligger mellan
noderna utan att gå på samma väg två gånger.
Lösning: Nej, figuren är sammanhängande men saknar Euler väg pga.
hörnen inte har en jämn grad.
b) Bestämma den minsta vägen av kabelläggning som krävs för att skapa nätverket
med trädtopologi, dvs det minimalt spännande trädet av kretsen.
Lösning: Man använder sig av Kruskals algoritm för att ta reda på det
minimalt spännande trädet (se fig. 8)
c) Då stadsnätet är lagt får man ett nät med trädtopologi. Rita om det till ett
balanserat binärt träd.
Lösning: Trädet skrivs med så få nivåer som möjligt (se fig. 9)
9

Figur 8: Minimalt spännande träd.
Figur 9: Balanserat binärt träd.
10