Föreläsningsanteckningar - Fysik
Föreläsningsanteckningar - Fysik
Föreläsningsanteckningar - Fysik
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Foryttningen kan vi i de nya koordinaterna skriva som<br />
Om vi skriver f som en funktion av u 1 ;u 2 och u 3 far vi<br />
dr = h 1 e 1 du 1 + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3 : (26)<br />
df = @f du 1 + @f du 2 + @f du 3 = 1 @f<br />
h 1 du 1 + 1 @f<br />
h 2 du 2 + 1 @f<br />
h 3 du 3<br />
@u 1 @u 2 @u 3 h 1 @u 1 h 2 @u 2 h 3 @u 3<br />
= 1<br />
<br />
@f<br />
e 1 + 1 @f<br />
e 2 + 1 @f<br />
e 3 dr (27)<br />
h 1 @u 1 h 2 @u 2 h 3 @u 3<br />
Da kan vi identiera uttrycket inom parentesen som gradienten i de nya koordinaterna u 1 ;u 2 ;u 3<br />
rf = 1 h 1<br />
@f<br />
@u 1<br />
e 1 + 1 h 2<br />
@f<br />
@u 2<br />
e 2 + 1 h 3<br />
@f<br />
@u 3<br />
e 3 : (28)<br />
Exempel: I cylindriska koordinater blir gradienten<br />
2.2 Divergens<br />
Vi har denierat divergensen som<br />
rf = @f<br />
@ + 1 @f<br />
@ + @f<br />
@z : (29)<br />
1<br />
divv = lim<br />
V!0 V<br />
I<br />
S<br />
v dS: (30)<br />
Vi kan nu berakna divergensen over en lada med sidlangderna h 1 du 1 , h 2 du 2 och h 3 du 3 ivara<br />
kroklinjiga koordinater. Ladan har da tva ytor pa u 1 -ytorna u 1 +du 1 =2och u 1 , du 1 =2. Dessa<br />
ytor har sidlangderna h 2 du 2 och h 3 du 3 . Ytornas areor ar da h 2 h 3 du 2 du 3 dar skalfaktorerna maste<br />
beraknas vid korrekt u 1 -koordinat. Vi far da pa ytan vid u 1 +du 1 =2dar normalvektorn ar n = e 1<br />
att<br />
v ndS = v 1 h 2 h 3 du 2 du 3 ; (31)<br />
och pa ytan vid u 1 , du 1 =2 med normalvektorn n = ,e 1 att<br />
v ndS = ,v 1 h 2 h 3 du 2 du 3 : (32)<br />
Testvolymen V = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 .Omvinu summerar ihop bidragen fran de tva sidorna och<br />
dividerar med volymen<br />
1<br />
[v 1 (u 1 +du 1 =2) h 2 (u 1 +du 1 =2) h 3 (u 1 +du 1 =2) du 2 du 3<br />
h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3<br />
,v 1 (u 1 , du 1 =2) h 2 (u 1 , du 1 =2) h 3 (u 1 , du 1 =2) du 2 du 3 ]=<br />
1 v 1 (u 1 +du 1 =2) h 2 (u 1 +du 1 =2) h 3 (u 1 +du 1 =2) du 2 du 3 , v 1 (u 1 , du 1 =2) h 2 (u 1 , du 1 =2) h 3 (u 1 , du 1 =2)<br />
h 1 h 2 h 3<br />
Pa samma satt kan vi behandla de ovriga sidorna och divergensen blir till slut<br />
rv =<br />
1<br />
h 1 h 2 h 3<br />
@<br />
@u 1<br />
(v 1 h 2 h 3 )+<br />
du 1<br />
@<br />
@u 2<br />
(u 2 h 3 h 1 )+<br />
@<br />
@u 3<br />
(u 3 h 1 h 2 )<br />
Genom att ersatta v med rf kan vi ocksa harleda Laplace-operatorn i de kroklinjiga koordinaterna<br />
r 2 f =<br />
1<br />
h 1 h 2 h 3<br />
@<br />
@u 1<br />
<br />
h2 h 3<br />
h 1<br />
<br />
@f<br />
+ @ h3 h 1<br />
@u 1 @u 2 h 2<br />
3<br />
<br />
@f<br />
+ @ h1 h 2<br />
@u 2 @u 3 h 3<br />
<br />
1 @<br />
<br />
(v 1 h 2 h 3 ) : (33)<br />
h 1 h 2 h 3 @u 1<br />
(34)<br />
<br />
@f<br />
: (35)<br />
@u 3
Change language