FÃ¶relÃ¤sningsanteckningar - Fysik

More documents

Recommendations

Info

av ett skalart falt, sa far vi ett vektorfalt och om vi sedan multiplicerar med ytterligare ett skalart falt, sa har vi fortfarande ett vektorfalt, alltsa bor raknereglen galla. Pa liknande satt kan vi resonera oss fram till och r (fg)=frg + grf (55) r(fu) =rf u + fr u; (56) r(fu) =rf u + fr u: (57) De mer komplexa sambanden nedan ar dock svarare att harleda. I princip kan man visa dem genom att skriva ut ekvationerna komponentvis, men en eektivare metod ar att anvanda den indexnotation som beskrivs i Matthews. Indexnotationen ar ett eektivt verktyg i stora delar av den teoretiska fysiken. r(A B) =B (rA) , A (rB) (58) r(A B) =(B r) A , (rA) B , (A r) B +(rB) A (59) r (A B) =(A r) B +(B r) A + A (r B)+B (r A) : (60) Har skall vi tolka A rsom @ A r= A x @x + A @ y @y + A @ z @z (61) 4.2 Kombinationer med tva vektoroperatorer Man kan ocksa kombinera tva vektoroperatorer med ett falt. Ett enkelt och vanligt exempel pa detta ar att vi vill berakna rotationen ett ett vektorfalt av formen r. Detta ger oss i kartesiska koordinater rr = r 2 = @ @ @ @ @ @ = @x @x @2 @y @y @z @z @x + @2 2 @y + @2 2 @z : (62) 2 Operatorn r 2 kallas for Laplace-operatorn. Analogt kan man deniera Laplace-operatorn for ett vektorfalt r 2 u = , r 2 u x ; r 2 u y ; r 2 u z ; (63) men denna kan ocksa beraknasurekvationen r 2 A = r (rA) ,r(rA) : (64) Lagg har marke till att det nns enkla uttryck for Laplace-operatorn for ett skalart falt i kroklinjiga koordinater (se ovan), men inget sadant uttryck existerar for Laplace-operatorn for ett vektorfalt, utan om vi vill applicera Laplace-operatorn pa ett vektorfalt, sa maste vi ga tillbaka till ekv. (64). Tva viktiga samband, vilka dessutom ar enkla att harleda, ar rrf =0 (65) och r(rF) =0: (66) 5 Satser analoga med Gauss och Stokes satser 5.1 Satser analoga med Gauss sats Det nns ett par satser som ar mycket nara beslaktade med Gauss sats, vilka vi ibland behover anvanda. Dessa satser kan harledas fran Gauss sats. 6
Ansatt u = af, dar a ar en konstant vektor och f ar ett skalart falt. Da galler att ru = r(fu) =fr a + a rf = a rf. Omvisatter in detta i Gauss sats har vi: Z V a rfdV = Da a ar konstant kan vi ta ut a ur integralen och skriva a Z V Z rfdV , I I S S afndS: (67) fndS =0: (68) Da a ar en godtycklig vektor, sa maste uttrycket inom parentesen vara 0. Alltsa harvi V rfdV = I S fndS: (69) Ansatt u = a v, dar a ar en konstant vektor och v ar ett vektorfalt. Da galler att ru = r(a v) =(ra) v , (r v) a = ,(r v) a eftersom a ar konstant. Om vi satter in detta i Gauss sats far vi Z V , (r v) adV = I S a v ndS = I S v n adS: (70) Som ovan kan vi nu bryta ut a ur integralerna. Eftersom a ar godtycklig maste likheten mellan integralerna galla oberoende av a och vifar Z V ,r vdV = 5.2 Satser analoga med Stokes sats I S v ndS: (71) Det nns ocksa ett par satser som ar analoga med Stokes sats, vilka latt kan harledas med hjalp av raknereglerna for vektoroperatorer. Ansatt u = af, dar a ar en konstantvektor och f ar ett skalart falt. Dagaller att ru = raf = rf a + fr a = rf a, eftersom a ar en konstant vektor. Stokes sats ger da Vansterledet kan vi skriva om som Z S Z S rf a ndS = rf a ndS = och genom att a ar en godtycklig vektor sa maste det galla att Z S Z S ,rfndS = Man kan ocksa utgaende fran Stokes sats visa att Z S I , (n r) vdS = C af dr: (72) ,rfn adS; (73) I C I fdr: (74) C v dr: (75) 7
Page 1 and 2: Forelasning 10/9 Kroklinjiga koordi
Page 3 and 4: Foryttningen kan vi i de nya koordi
Page 5: 3 Sfariska koordinater Med sfariska

FÃ¶relÃ¤sningsanteckningar - Fysik

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?