x*x ⇒ x*x=0. Därm

x 4 ≠ 0. Eftersom S 3 ⊂ T innehåller T elementen (-x 4 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ), (x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ), (0,x 2 ,0,0) och
(0,0,x 3 ,0). Då har vi att:
(x 1 +x 4 ,0,0,0)= (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )-(-x 4 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )∈T, där x 1 +x 4 ≠ 0 så
x1
(x 1 ,0,0,0)= (x 1 +x 4 ,0,0,0)∈T och
x + x
1
4
(0,0,0,x 1 +x 4 )= (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )-(x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 )∈T, där x 1 +x 4 ≠ 0 så
x4
(0,0,0,x 4 )= (0,0,0,x 1 +x 4 )∈T
x + x
1
4
Men då har vi att (ax 1 ,bx 2 ,cx 3 ,dx 4 )=a(x 1 ,0,0,0)+b(0,x 2 ,0,0)+c(0,0,x 3 ,0)+d(0,0,0,x 4 )∈T, där a,
b, c, d∈R, d.v.s. alla element i R 4 finns i T. Vi har alltså att T=R 4 , så det finns inga
delmängder T sådana att S 3 ⊂ T ⊂ R 4 .
Om x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0 och x 4 =0 så x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,0) har vi eftersom S 3 ⊂ T att (0,x 2 ,x 3 ,0) och
(-x 1 ,0,0,x 1 ) finns i T så:
(x 1 ,0,0,0)= (x 1 ,x 2 ,x 3 ,0)-(0,x 2 ,x 3 ,0)∈T och (0,0,0,x 1 )= (x 1 ,0,0,0)+(-x 1 ,0,0,x 1 )∈T. Eftersom dx 1
i (0,0,0,dx 1 ) med d∈R kan anta varje värde i R kan vi dra samma slutsats som ovan, alltså att
T=R 4 .
På motsvarande sätt kan vi förfara om x 1 =0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0 och x 4 ≠ 0. Om x 2 =0 eller x 3 =0 i det
element vi utgår ifrån i T kan vi alltid välja element (0,x 2 ,0,0) med x 2 ≠ 0 eller element
(0,0,x 3 ,0) med x 3 ≠ 0 i S 3 ⊂ T då vi bildar (ax 1 ,bx 2 ,cx 3 ,dx 4 ).
Fall B: S 1 ⊂ T ⊂ S 3
Låt T vara en delmängd, som uppfyller villkoren 1 och 2, av R 4 . Låt vidare T vara sådan att S 1
är en äkta delmängd av T, d.v.s. T innehåller något element x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ), där någon av x 1 ,
x 2 och x 3 inte är 0. Kan vi visa att (x i ,0,0,-x i ), (0,x j ,0,0) och (0,0,x k ,0), där x i ≠ 0, x j ≠ 0, x k ≠ 0
och i, j, k är 1, 2 eller 3 finns i T har vi att (ax i ,bx j ,cx k ,-ax i )=a(x i ,0,0,-x i )+b(0,x j ,0,0)+
c(0,0,x k ,0)∈T, d.v.s. alla element i S 3 finns i T. Alltså är T= S 3 så det finns inga delmängder T
sådana att S 1 ⊂ T ⊂ S 3 . Vi går nu igenom de fall som kan inträffa beroende på vilket element x
som vi till en början antar ingår i T. Vi utnyttjar, utan att särskilt påpeka det, att om ax∈T, där
a∈R, a ≠ 0 så har vi enligt villkor 1 att x= a
1 ·ax∈T.
a) x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0 och x 3 ≠ 0.
Då har vi att T ∋ (x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 3 ,-y 1 x 1 ,0)=-y 1 (0,x 3 ,x 1 ,0) så (0,x 3 ,x 1 ,0)∈T
så T ∋ (0,x 3 ,x 1 ,0) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 1 ,0,0)=-y 1 (0,x 1 ,0,0) så (0,x 1 ,0,0)∈T.
Men då har vi att (0,0,x 2 1
1 ,0)=x 1 (0,x 3 ,x 1 ,0)-x 3 (0,x 1 ,0,0)∈T så (0,0,x 1 ,0)=
x (0,0,x 1 2 ,0)∈T.
1
x
2
x
3
Vidare har vi (0,x 2 ,0,0)= (0,x1 ,0,0)∈T och (0,0,x 3 ,0)= (0,0,x1 ,0)∈T så (x 1 ,0,0,-x 1 )=
x1
x1
(x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 )-(0,x 2 ,0,0)-(0,0,x 3 ,0)∈T. Därmed är T=S 3 .