x*x ⇒ x*x=0. Därm

(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) * (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 )=(0,0,0,0) leder till att y 4 x 3 -y 3 x 4 =0 och att y 3 x 1 -y 3 x 2 +(y 2 -y 1 )x 3 =0.
Om den första ekvationen skall gälla för alla y 3 och y 4 så måste x 3 =x 4 =0. Den andra
ekvationen ger då att x 2 =x 1 , så x * y=0 om och endast om x=(x 1 ,x 2 ,0,0), där x 2 =x 1 . Därmed har
4
vi en fjärde delmängd S 4 =T={ x = x , x , x , x ) ∈ R : x = x , x = x 0}
. Vi kan kontrollera:
(
1 2 3 4
2 1 3 4
=
(x 1 ,x 1 ,0,0), (z 1 ,z 1 ,0,0)∈S 4 , a, b∈R ⇒ a(x 1 ,x 1 ,0,0)+b(z 1 ,z 1 ,0,0)= (ax 1 +bz 1 ,ax 1 +bz 1 ,0,0)∈S 4
och (x 1 ,x 1 ,0,0)∈S 4 , (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 )∈R 4 ⇒ (x 1 ,x 1 ,0,0) * (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 )=(0,0,0,0)∈S 4 .
Sammanfattningsvis har vi fyra delmängder av R 4 som uppfyller de givna villkoren:
4
4
{( 0,0,0,0) }, { x = ( x1 , x2,
x3,
x4)
∈ R : x 4
= −x
1
}, { x = ( x1 , x2,
x3,
x4)
∈ R : x2
= x1,
x3
= x4
= 0}
och R 4 i sig själv. Vi har också visat att det inte finns några delmängder utöver dessa fyra som
uppfyller de givna villkoren.