x*x ⇒ x*x=0. Därm

Fråga 5
Enligt definitionen av produkten * så gäller för x, y∈R 4 att x * y=-y * x så om x=y så är x * x=-x * x
⇒ x * x=0. Därmed har vi att 0=(0, 0, 0, 0)∈S för varje S ⊆ R 4 .
S 1 = { 0,0,0,0) }
( är en delmängd av R 4 för med 0∈S 1 , a, b∈R så a·0 + b·0 = 0∈S 1 och med
0∈S 1 , y∈R 4 så 0 * y=0∈S 1 .
Vidare är givetvis S 2 = R 4 en delmängd av R 4 .
Studerar vi definitionen av * vidare finner vi att * genererar element där fjärdekoordinaten
med omvänt tecken är lika med förstakoordinaten. Om x är ett element med denna egenskap
4
bevarar * den egenskapen. Med S 3 ={ x = ( x1 , x2,
x3,
x4)
∈ R : x 4
= −x
1
} har vi då ytterligare en
delmängd av R 4 som uppfyller villkoren 1 och 2:
1. (x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ), (z 1 ,z 2 ,z 3 ,-z 1 )∈S 3 , a, b∈R ⇒ a(x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 )+b(z 1 ,z 2 ,z 3 ,-z 1 )=
=(ax 1 +bz 1 , ax 2 +bz 2 , ax 3 +bz 3 , -(ax 1 +bz 1 ))∈S 3
2. (x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 )∈S 3 , (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 )∈R 4 ⇒ (x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ) * (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ) =
(x 3 y 4 +y 3 x 1 , x 1 y 3 -y 1 x 3 +x 3 y 2 -y 3 x 2 , -y 1 x 1 -x 1 y 4 +x 2 y 4 +y 2 x 1 , -(y 3 x 1 +x 3 y 4 ))∈S 3
Finns det fler delmängder T av R 4 så kan de vara av följande slag:
A
T
R 4
B
R 4
S 3
.0
S 3
T
.0
C
R 4
R 4
S
S 3
3
T
.0
D
T .0
Fall A: S 3 ⊂ T ⊂ R 4
Låt T vara en delmängd, som uppfyller villkoren 1 och 2, av R 4 . Låt vidare T vara sådan att S 3
är en äkta delmängd av T, d.v.s. T innehåller något element x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) där x 4 ≠ -x 1 . Vi
kan inte ha x 1 =x 4 =0 för då finns x i S 3 . Låt oss till en början anta att x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0 och

x 4 ≠ 0. Eftersom S 3 ⊂ T innehåller T elementen (-x 4 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ), (x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ), (0,x 2 ,0,0) och
(0,0,x 3 ,0). Då har vi att:
(x 1 +x 4 ,0,0,0)= (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )-(-x 4 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )∈T, där x 1 +x 4 ≠ 0 så
x1
(x 1 ,0,0,0)= (x 1 +x 4 ,0,0,0)∈T och
x + x
1
4
(0,0,0,x 1 +x 4 )= (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )-(x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 )∈T, där x 1 +x 4 ≠ 0 så
x4
(0,0,0,x 4 )= (0,0,0,x 1 +x 4 )∈T
x + x
1
4
Men då har vi att (ax 1 ,bx 2 ,cx 3 ,dx 4 )=a(x 1 ,0,0,0)+b(0,x 2 ,0,0)+c(0,0,x 3 ,0)+d(0,0,0,x 4 )∈T, där a,
b, c, d∈R, d.v.s. alla element i R 4 finns i T. Vi har alltså att T=R 4 , så det finns inga
delmängder T sådana att S 3 ⊂ T ⊂ R 4 .
Om x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0 och x 4 =0 så x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,0) har vi eftersom S 3 ⊂ T att (0,x 2 ,x 3 ,0) och
(-x 1 ,0,0,x 1 ) finns i T så:
(x 1 ,0,0,0)= (x 1 ,x 2 ,x 3 ,0)-(0,x 2 ,x 3 ,0)∈T och (0,0,0,x 1 )= (x 1 ,0,0,0)+(-x 1 ,0,0,x 1 )∈T. Eftersom dx 1
i (0,0,0,dx 1 ) med d∈R kan anta varje värde i R kan vi dra samma slutsats som ovan, alltså att
T=R 4 .
På motsvarande sätt kan vi förfara om x 1 =0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0 och x 4 ≠ 0. Om x 2 =0 eller x 3 =0 i det
element vi utgår ifrån i T kan vi alltid välja element (0,x 2 ,0,0) med x 2 ≠ 0 eller element
(0,0,x 3 ,0) med x 3 ≠ 0 i S 3 ⊂ T då vi bildar (ax 1 ,bx 2 ,cx 3 ,dx 4 ).
Fall B: S 1 ⊂ T ⊂ S 3
Låt T vara en delmängd, som uppfyller villkoren 1 och 2, av R 4 . Låt vidare T vara sådan att S 1
är en äkta delmängd av T, d.v.s. T innehåller något element x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ), där någon av x 1 ,
x 2 och x 3 inte är 0. Kan vi visa att (x i ,0,0,-x i ), (0,x j ,0,0) och (0,0,x k ,0), där x i ≠ 0, x j ≠ 0, x k ≠ 0
och i, j, k är 1, 2 eller 3 finns i T har vi att (ax i ,bx j ,cx k ,-ax i )=a(x i ,0,0,-x i )+b(0,x j ,0,0)+
c(0,0,x k ,0)∈T, d.v.s. alla element i S 3 finns i T. Alltså är T= S 3 så det finns inga delmängder T
sådana att S 1 ⊂ T ⊂ S 3 . Vi går nu igenom de fall som kan inträffa beroende på vilket element x
som vi till en början antar ingår i T. Vi utnyttjar, utan att särskilt påpeka det, att om ax∈T, där
a∈R, a ≠ 0 så har vi enligt villkor 1 att x= a
1 ·ax∈T.
a) x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0 och x 3 ≠ 0.
Då har vi att T ∋ (x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 ) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 3 ,-y 1 x 1 ,0)=-y 1 (0,x 3 ,x 1 ,0) så (0,x 3 ,x 1 ,0)∈T
så T ∋ (0,x 3 ,x 1 ,0) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 1 ,0,0)=-y 1 (0,x 1 ,0,0) så (0,x 1 ,0,0)∈T.
Men då har vi att (0,0,x 2 1
1 ,0)=x 1 (0,x 3 ,x 1 ,0)-x 3 (0,x 1 ,0,0)∈T så (0,0,x 1 ,0)=
x (0,0,x 1 2 ,0)∈T.
1
x
2
x
3
Vidare har vi (0,x 2 ,0,0)= (0,x1 ,0,0)∈T och (0,0,x 3 ,0)= (0,0,x1 ,0)∈T så (x 1 ,0,0,-x 1 )=
x1
x1
(x 1 ,x 2 ,x 3 ,-x 1 )-(0,x 2 ,0,0)-(0,0,x 3 ,0)∈T. Därmed är T=S 3 .

) x 1 =0, x 2 ≠ 0 och x 3 ≠ 0 så x=(0,x 2 ,x 3 ,0).
x
2
T ∋ (0,x 2 ,x 3 ,0) * (y 1 ,0,0,0)=(0,-y 1 x 3 ,0,0)=-y 1 (0,x 3 ,0,0) så (0,x 2 ,0,0)= (0,x3 ,0,0)∈T så
x3
(0,0,x 3 ,0)= (0,x 2 ,x 3 ,0)-(0,x 2 ,0,0)∈T.
T ∋ (0,0,x 3 ,0) * (0,0,0, y 4 )= (x 3 y 4 ,0,0,-x 3 y 4 )= y 4 (x 3 ,0,0,-x 3 ) så (x 3 ,0,0,-x 3 )∈T. Därmed är
T=S 3 .
c) x 1 ≠ 0, x 2 =0 och x 3 ≠ 0, så x=(x 1 ,0,x 3 ,-x 1 ).
T∋ (x 1 ,0,x 3 ,-x 1 ) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 3 ,-y 1 x 1 ,0)=-y 1 (0,x 3 ,x 1 ,0) så (0,x 3 ,x 1 ,0)∈T.
T∋ (0,x 3 ,x 1 ,0) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 1 ,0,0)=-y 1 (0,x 1 ,0,0) så (0,x 1 ,0,0)∈T.
Då har vi (0,0,x 2 1 ,0)= x 1 (0,x 3 ,x 1 ,0)-x 3 (0,x 1 ,0,0)∈T så (0,0,x 1 ,0)∈T.
x
3
Slutligen (x 1 ,0,0,-x 1 )= (x 1 ,0,x 3 ,-x 1 )- (0,0,x1 ,0)∈T. Därmed är T=S 3 .
x
d) x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0 och x 3 =0 så x=(x 1 ,x 2 ,0,-x 1 ).
T∋ (x 1 ,x 2 ,0,-x 1 ) * (y 1 ,0,0,0)= (0,0,-y 1 x 1 ,0)=-y 1 (0,0,x 1 ,0) så (0,0,x 1 ,0)∈T.
T∋ (0,0,x 1 ,0) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 1 ,0,0)=-y 1 (0,x 1 ,0,0) så (0,x 1 ,0,0)∈T.
x
2
Då har vi (x 1 ,0,0,-x 1 )= (x 1 ,x 2 ,0,-x 1 )- (0, x1 ,0,0)∈T. Därmed är T=S 3 .
x
1
1
e) x 1 =0, x 2 =0 och x 3 ≠ 0 så x=(0,0,x 3 ,0).
T∋ (0,0,x 3 ,0) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 3 ,0,0)=-y 1 (0,x 3 ,0,0) så (0,x 3 ,0,0)∈T.
T ∋ (0,0,x 3 ,0) * (0,0,0,y 4 )= (x 3 y 4 ,0,0,-x 3 y 4 )=y 4 (x 3 ,0,0,-x 3 ) så (x 3 ,0,0,-x 3 )∈T. Därmed är
T=S 3 .
f) x 1 =0, x 2 ≠ 0 och x 3 =0 så x=(0,x 2 ,0,0).
T∋ (0,x 2 ,0,0) * (0,0,0,y 4 )= (0,0,x 2 y 4 ,0)=y 4 (0,0,x 2 ,0) så (0,0,x 2 ,0)∈T.
T∋ (0,0,x 2 ,0) * (0,0,0, y 4 )= (x 2 y 4 ,0,0,-x 2 y 4 )=y 4 (x 2 ,0,0,-x 2 ) så (x 2 ,0,0,-x 2 )∈T.
Därmed är T=S 3 .
g) x 1 ≠ 0, x 2 =0 och x 3 =0 så x=(x 1 ,0,0,-x 1 ).
T∋ (x 1 ,0,0,-x 1 ) * (y 1 ,0,0,0)= (0,0,-y 1 x 1 ,0)=-y 1 (0,0,x 1 ,0) så (0,0,x 1 ,0)∈T.
T∋ (0,0,x 1 ,0) * (y 1 ,0,0,0)= (0,-y 1 x 1 ,0,0)=-y 1 (0,x 1 ,0,0) så (0,x 1 ,0,0)∈T. Därmed är T=S 3 .
Fall C: T är en delmängd, som uppfyller villkoren 1 och 2, av R 4 sådan att T innehåller
element i S 3 utöver (0,0,0,0) men också element utanför S 3 . Men då är T ∩ S 3 ⊂ S 3 vilket inte
är möjligt eftersom S 3 inte har några äkta delmängder utöver (0,0,0,0) enligt fall B.
Fall D: T är en delmängd, som uppfyller villkoren 1 och 2, av R 4 sådan att T ∩ S 3 =S 1 =
{( 0,0,0,0) }. Utöver elementet (0,0,0,0) har inga element x i T egenskapen att x 4 =-x 1 , men
elementet x * y∈T har den egenskapen. Finns någon delmängd T så gäller alltså för elementen
x i den att x * y=0.

(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) * (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 )=(0,0,0,0) leder till att y 4 x 3 -y 3 x 4 =0 och att y 3 x 1 -y 3 x 2 +(y 2 -y 1 )x 3 =0.
Om den första ekvationen skall gälla för alla y 3 och y 4 så måste x 3 =x 4 =0. Den andra
ekvationen ger då att x 2 =x 1 , så x * y=0 om och endast om x=(x 1 ,x 2 ,0,0), där x 2 =x 1 . Därmed har
4
vi en fjärde delmängd S 4 =T={ x = x , x , x , x ) ∈ R : x = x , x = x 0}
. Vi kan kontrollera:
(
1 2 3 4
2 1 3 4
=
(x 1 ,x 1 ,0,0), (z 1 ,z 1 ,0,0)∈S 4 , a, b∈R ⇒ a(x 1 ,x 1 ,0,0)+b(z 1 ,z 1 ,0,0)= (ax 1 +bz 1 ,ax 1 +bz 1 ,0,0)∈S 4
och (x 1 ,x 1 ,0,0)∈S 4 , (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 )∈R 4 ⇒ (x 1 ,x 1 ,0,0) * (y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 )=(0,0,0,0)∈S 4 .
Sammanfattningsvis har vi fyra delmängder av R 4 som uppfyller de givna villkoren:
4
4
{( 0,0,0,0) }, { x = ( x1 , x2,
x3,
x4)
∈ R : x 4
= −x
1
}, { x = ( x1 , x2,
x3,
x4)
∈ R : x2
= x1,
x3
= x4
= 0}
och R 4 i sig själv. Vi har också visat att det inte finns några delmängder utöver dessa fyra som
uppfyller de givna villkoren.