Uppsala universitet, Institutionen för teoretisk fysik. SY Dugga i ...

Lösning till 1.Rörelsemängden för systemet A+B+C bevaras under hela rörelsenInitialt är totala rörelsemängden lika med nollm A v A +m B v B +m C v C = 0Vi har beteckningarna¯v A =v A î ¯v B =v B î ¯v C =v C îvilket innebär att v A , v B , v C står för respektive hastighets x-komponent.När Civ är på väg mot scootern gällerv A =v 0 , v B = −v 1 +v C = −4v 0 +v C , och rörelsemängdens bevarande germ A v 0 +m B (-4v 0 +v C )+m C v C = 0, där m A = 2m C , m B = 5 4 m C, d v s2m C v 0 + 5 4 m C(-4v 0 +v C )+m C v C = 02v 0 −5v 0 + 5 4 v C+v C = 03v 0 = 9 4 v Cv C = 4 3 v 0Hon hinner ifatt scootern!Lösning till 2.Låt x = 0 vara läge för masscentrum hos klotsen när fjädern är ospänd och sätt även”datum” för tyngdkraftens potential i detta läge. Den potentiella energin blirV(x) = kx 2 /2 + mgxsin α för x 0.För x = - L och x= x 2 (sökt) är kinetiska energin lika med noll.Mekaniska energins bevarande gerkL 2 /2 - mgL = mgx 2mg(x 2 +L)=kL 2 /2x 2 +L=kL 2 /(2mg)Svar: Klotsen glider kL 2 /(2mg) från det ursprungliga läget.Lösning till 3.Använd naturliga koordinater. Rörelsen sker i en cirkelbana med krökningsradieρ = L sin αEftersom farten är konstant lika med v 0 är accelerationenā= ê n v 2 0/ρ = ê n v 2 0/(L sin α)Krafter på klumpen ärmḡ+ ¯N+¯T= (−mg+Nsin a+Tcosα)ê z + (−Ncos α+Tsin α)ê n = ê n mv 2 0/(L sin α)där den sista likheten följer ur lagen om masscentrums rörelse. Vi erhåller−mg+Nsin a+Tcosα = 0 (1)−Ncos α+Tsin α =mv 2 0/(L sin α). (2)Multiplicera (1) med cos α och (2) med sin α och addera så erhålls:−mg cos α+T(cos 2 α + sin 2 α) =mv 2 0/LUtnyttjas ”trigonometriska ettan” fåsT=mg cos α+mv 2 0/LMultiplicera (1) med sin α och (2) med -cos α och addera så erhålls med hjälp avtrigonometriska ettan-mg sin α+N= −mv 2 0 cos α/(L sin α)N=msin α[g−v 2 0 cos α/(L sin 2 α)]v 2 0N= 0 för L= g sin 2 α/ cos αSvar till a) T=mg cos α+mv 2 0/Lb) v 0 = sin α √ gL/ cos αAnmärkning: Facit till b) finns i PH avsnitt F-1.9 Example 3.2