Uppsala universitet, Institutionen för teoretisk fysik. SY Dugga i ...

Uppsala universitet, Institutionen för teoretisk fysik. SYDugga i Mekanik I för kemiteknik 021120 kl 9-12. Hjälpmedel: PhysicsHandbook(ev kopia av mekanikkapitel med handskrivna anteckningar),Mathematics Handbook, Räknedosa.I uppgifterna 2 och 3 är tyngdaccelerationen g.1. Astronauten Civ skall hämta in en rymdsond (B i figuren) till rymdskeppet UUTH II föröversyn. Med hjälp av en ”astronaut scooter” (A i figuren), vilken är försedd med en litenjetmotor, tar sig Civ till rymdsonden och bromsar in så att hon och scootern får hastighetennoll relativt sonden. Hon stannar på ett avstånd från sonden för att minimera risken förkollision. Alla tre, Civ, scootern och sonden är i ett område där totala gravitationskraftensinverkan (från omgivande himlakroppar) är försumbar. Civ tar sig till sonden genom att göraett avstamp från scootern (A), varvid A får hastigheten v 0 î relativt sonden B. När hon precisfått tag i sonden (”landat”) upptäcker hon att bogserlinan glömts kvar. Hon sparkar sig dåifrån B i riktning mot den bortglidande scootern A, så att sonden får hastigheten -v 1 î relativtCiv. Undersök om Civ kommer att hinna ifatt scootern (A) genom att beräkna Civs hastighetoch jämföra med scooterns hastighet v 0 î. Numeriska data : m A = 200 kg, m B = 125 kg ,m C = 100 kg, v 0 = 0.20 m/s, v 1 = 0.80 m/s, d v s m A = 2m C , m B = 5 4 m C, v 1 =4v 0 . (5 p)2. Ett glatt lutande plan med lutningsvinkel αavslutas i sin nedre ände med en solid vägg, i vilkenär fäst en kraftig katapultfjäder med fjäderkonstant k(och som går parallellt med det lutande planet). En klotsmed massan m läggs på det lutande planet och trycks motfjädern en sträcka L från det läge när fjädern är ospänd ochsläpps från vila (utan begynnelsehastighet). Klotsen startarsåledes från x= - L, om x-axeln är riktad enligt figur och om x=0väljs som läget för klotsens masscentrum när fjädern är ospänd.Beräkna hur långt klotsen glider uppåt på det lutande planet innan denvänder. Notera, att det inte verkar någon fjäderkraft på klotsenför x>0. (5 p).3. En liten klump med massan m är fäst i en lina med längden L.Klumpen kan röra sig på utsidan av en glatt kon med vertikalsymmetriaxel och öppningsvinkel 2α. Klumpen, som kan ansesha konstant fart v 0 , rör sig alltså i en horisontell cirkelbana.a) Bestäm kraften i linan! (4p)b) Genom att rätt anpassa v 0 kan man erhålla en situation så attnormaltrycket från konen på klumpen är noll.Bestäm v 0 så attnormaltrycket från konen på klumpen är noll. (1 p)1

Lösning till 1.Rörelsemängden för systemet A+B+C bevaras under hela rörelsenInitialt är totala rörelsemängden lika med nollm A v A +m B v B +m C v C = 0Vi har beteckningarna¯v A =v A î ¯v B =v B î ¯v C =v C îvilket innebär att v A , v B , v C står för respektive hastighets x-komponent.När Civ är på väg mot scootern gällerv A =v 0 , v B = −v 1 +v C = −4v 0 +v C , och rörelsemängdens bevarande germ A v 0 +m B (-4v 0 +v C )+m C v C = 0, där m A = 2m C , m B = 5 4 m C, d v s2m C v 0 + 5 4 m C(-4v 0 +v C )+m C v C = 02v 0 −5v 0 + 5 4 v C+v C = 03v 0 = 9 4 v Cv C = 4 3 v 0Hon hinner ifatt scootern!Lösning till 2.Låt x = 0 vara läge för masscentrum hos klotsen när fjädern är ospänd och sätt även”datum” för tyngdkraftens potential i detta läge. Den potentiella energin blirV(x) = kx 2 /2 + mgxsin α för x 0.För x = - L och x= x 2 (sökt) är kinetiska energin lika med noll.Mekaniska energins bevarande gerkL 2 /2 - mgL = mgx 2mg(x 2 +L)=kL 2 /2x 2 +L=kL 2 /(2mg)Svar: Klotsen glider kL 2 /(2mg) från det ursprungliga läget.Lösning till 3.Använd naturliga koordinater. Rörelsen sker i en cirkelbana med krökningsradieρ = L sin αEftersom farten är konstant lika med v 0 är accelerationenā= ê n v 2 0/ρ = ê n v 2 0/(L sin α)Krafter på klumpen ärmḡ+ ¯N+¯T= (−mg+Nsin a+Tcosα)ê z + (−Ncos α+Tsin α)ê n = ê n mv 2 0/(L sin α)där den sista likheten följer ur lagen om masscentrums rörelse. Vi erhåller−mg+Nsin a+Tcosα = 0 (1)−Ncos α+Tsin α =mv 2 0/(L sin α). (2)Multiplicera (1) med cos α och (2) med sin α och addera så erhålls:−mg cos α+T(cos 2 α + sin 2 α) =mv 2 0/LUtnyttjas ”trigonometriska ettan” fåsT=mg cos α+mv 2 0/LMultiplicera (1) med sin α och (2) med -cos α och addera så erhålls med hjälp avtrigonometriska ettan-mg sin α+N= −mv 2 0 cos α/(L sin α)N=msin α[g−v 2 0 cos α/(L sin 2 α)]v 2 0N= 0 för L= g sin 2 α/ cos αSvar till a) T=mg cos α+mv 2 0/Lb) v 0 = sin α √ gL/ cos αAnmärkning: Facit till b) finns i PH avsnitt F-1.9 Example 3.2