Zadania. Seria 7. Homotopia i topologia powierzchni

Zad. 5 (Homotopie punktowane). Niech w przestrzeni X będzie wyróżniony punkt x0 a w przestrzeni
Y punkt y0, co będziemy oznaczać (X, x0), (Y, y0). Rozważmy zbiór przekształceń ciągłych
Map ((X, x0), (Y, y0)) := {f ∈ Map (X, Y ): f(x0) = y0}.
Homotopią zachowującą punkty wyróżnione (punktowaną homotopią) nazywamy F : X × I → Y takie,
że dla każdego t ∈ [0, 1], H(x0, t) = y0 a zbiór klas równoważności Map ((X, x0), (Y, y0))/ ∼ gdzie ∼ jest
relacją punktowanej homotopii, oznaczamy [(X, x0), (Y, y0)]∗ lub krócej, jeśli jest jasne o jakie punkty
są wyróżnione, [X, Y ]∗. W okręgu S 1 punktem wyróżnionym będzie zawsze 1 ∈ S 1 . Udowodnić, że dla
dowolnej przestrzeni z wyróżnionym punktem (X, x0) istnieje bijekcja [(X, x0), (S 1 , 1)]∗ [X, S 1 ].
Wsk. Dla dowolnego odwzorowania f : X → S 1 definiujemy homotopijne z nim f ′ (x) := f(x)f(x0) −1 dla
ktorego zachodzi f ′ (x0) = 1. Podobnie dla homotopii F : X × I → S 1 definiujemy
F ′ (x, t) := F (x, t)F (x0, t) −1 .
Zad. 6 (Bukiet przestrzeni). Niech X1, X2 będą przestrzeniami topologicznymi z wyróżnionymi punktami
x1 ∈ X1, x2
∈ X2. Zdefiniujemy sumę bukietową tych przestrzeni jako przestrzeń ilorazową
X1 ∨ X2 := X1 X2/ ∼ gdzie (x1, 1) ∼ (x2, 2) a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe. Za-
uważyć, że X1 ∨ X2 jest homeomorficzne z podzbiorem produktu kartezjańskiego
{(y1, y2) ∈ X1 × X2 : y1 = x1 lub y2 = x2}. Udowodnić, że włożenia jk : Xk ⊂ X1 ∨ X2 definiują bijekcję
(izomorfizm grup) (j ∗ 1, j ∗ 2): [X1 ∨ X2, S 1 ] → [X1, S 1 ] × [X2, S 1 ].
Wsk. Zauważyć, że (j ∗ 1, j ∗ 2): [X1 ∨X2, S 1 ]∗
−→ [X1, S 1 ]∗ ×[X2, S 1 ]∗ i i skorzystać z poprzedniego zadania.
Zad. 7. Udowodnić, że ”przekłuta płaszczyzna” R 2 \ {p} jest homotopijnie równoważna z S 1 , a płaszczyzna
przekłuta 2-razy tzn R 2 \ {p1, p2} jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów
S 1 ∨ S 1 := {(z1, z2) ∈ S 1 × S 1 : z1 = 1 lub z2 = 1} . Uogólnić to na płaszczyznę przekłutą n-razy tzn
R 2 \ {p1, . . . , pn}. A co będzie jeśli zamiast płaszczyznę rozpatrywać przekłutą sferę S 2 ?
Zad. 8. Udowodnić, że jeśli m = n to płaszczyzna (odp. sfera) przekłuta n–razy nie jest homotopijnie
równoważna (a więc nie jest homeomorficzna) z płaszczyzną (odp. sferą) przekłutą m–razy.
Wsk. [R 2 \ {p1, . . . , pk}, S 1 ] Z k
Zad. 9. Udowodnić, że dowolne przekształcenie S n → S 1 gdzie n > 1 jest homotopijne ze stałym.
Wsk. Skorzystać z tw. Eilenberga mówiącego, że przekształcenie jest homotopijne ze stałym wtedy i tylko
wtedy gdy posiada logarytm. Rozłozyć sferę na górną i dolną półsferę i uzgodnić logarytm na równiku.
Zad. 10. Niech h: S 1 → S 1 będzie homeomorfizmem. Wykazać, że h jest homotopijne z identycznością
lub ze sprzężeniem zespolonym.
Wsk. Zauważyć, że stopień zlożenia przekształceń S 1 → S 1 jest iloczynem stopni i skorzystać z izomorfizmu
[S 1 , S 1 ] Z.
Zad. 11. Jeśli f : S 1 → S 1 jest takie, że f(−z) = −f(z) dla każdego z ∈ S 1 , to stopień deg(f) jest
nieparzysty, a więc nie jest ono ściągalne.
Wsk. Logarytm na dolnym półokręgu jest wyznaczony przez logarytm na górnym półokręgu (można
założyć, że f(1) = 1)
Zad. 12. [Wstęga Möbiusa] (Por. Seria 2 Zad. 14) Wykazać, że istnieje retrakcja wstęgi Möbiusa (zarówno
otwartej jak i domkniętej) na jej równik i jest ona homotopijną równoważnością. Niech M będzie
domkniętą wstęgą Möbiusa a ∂M jej brzegiem (tzn. obrazem odcinków [−1, 1] × {−1} ∪ [−1, 1] × {1}).
Zauważyć, że brzeg ∂M jest homeomorficzny z okręgiem S 1 a obcięcie [M, S 1 ] → [∂M, S 1 ] Z jest
monomorfizmem, którego obrazem są liczby parzyste. Wywnioskować stąd, że brzeg wstęgi Möbiusa nie
jest jej retraktem.
Wsk. Skorzystać z modelu wstegi Möbiusa z Zad. 2.14 c): określone tam odwzorowanie ilorazowe S 1 ×
[−1, 1] → M3 definiuje homotopię między dwukrotnym nawinięciem okręgu na równik wstęgi Möbiusa i
homeomorfizmem z jej brzegiem.
Zad. 13. [Plaszczyzna rzutowa] Wykazać, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:
1) Przestrzeń ilorazowa [−1, 1] × [−1, 1]/ ∼ gdzie
(t1, t2) ∼ (s1, s2) ⇐⇒ (t1, t2) = (s1, s2) lub (t1, t2) = −(s1, s2) gdzie t1 ∈ {−1, 1} lub t2 ∈ {−1, 1}
2