7. Zadania przygotowawcze do 2 kolokwium

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%,
pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna
miesięczna wpłata jest
(a) Większa od poprzedniej o 10 zł.
(b) Większa od poprzedniej o 5%.
(c) To samo co w (a) ale pierwsza wpłata jest dokonana na końcu pierwszego miesiąca.
(d) To samo co w (b) ale pierwsza wpłata jest dokonana na końcu pierwszego miesiąca.
2. Obliczyć realną wartość zgromadzonego kapitału w zad. 1 ( w każdym z przypadków
(a), (b), (c), (d)) jeśli stopa inflacji w pierwszym roku wynosiła 2%, w drugim 3% a w
trzecim 2%.
3. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli pierwszego roku wpłacamy
na końcu każdego miesiąca po 200 zl, drugiego roku wpłacamy miesięcznie po 300 zl a
trzeciego roku wpłacamy po 400 zl? Roczne NSP wynosi 5%.
4. Przeciętna płaca w 2020 roku wyniosła 4000 zł miesięcznie. W wyniku negocjacji ustalono,
że płace w każdym roku będą indeksowane wskaźnikiem równym 0,6 stopy inflacji w
roku poprzedzającym. W latach 2020 do 2022 stopa inflacji była odpowiednio równa 2%,
3%, 3%, . Obliczyć
(a) Przeciętną płacę w 2023 r.
(b) Przeciętną roczną stopę inflacji w tych latach.
(c) Realną stopę wzrostu płac.
5. Wpłacamy miesięcznie po 500 zł z dołu przez okres 20 lat, roczna NSP wynosi 6%.
Po 20 latach zamierzamy pobierać rentę ze zgromadzonego kapitału. Obliczyć wysokość
miesięcznej renty jeśli
(a) Zamierzamy ją pobierać przez 10 lat.
(b) Chcemy ją pobierać dożywotnio ( przez czas nieskończony).
(c) Renta ma być wypłacana przez 10 lat ale przy wypłacie renty bank stosuje kapitalizację
ciągłą.
6. Możemy kupić samochód za 20 000 zł płatne gotówką od razu lub w czterech półrocznych
ratach w wysokości 6 000 wpłacanych na konto sprzedawcy. Kapitalizacja miesięczna,
miesięczna stopa oprocentowania jest równa 0,95%. Co jest dla nas lepsze?
7. Dług można spłacić za pomocą 48 miesięcznych płatności po 100 zł na koniec kolejnych
miesięcy lub wpłacając kwotę 4279 zł na koniec miesiąca N. Jeśli roczna NSP wynosi 12%,
kapitalizacja jest miesięczna , ile wynosi N?
8. Przez 15 lat na koniec każdego roku dokonywane były wpłaty na rachunek oprocentowany
wg stopy 6% przez pierwszych 10 lat i 4% w następnych latach. Każda z pierwszych pięciu
wpłat była w wysokości 500 zł a każda z następnych dziesięciu w wysokości 700 zł. Dwa
1

lata po ostatniej wpłacie stopa oprocentowania wzrosła do 5%. Jaką stałą kwotę można
pobierać bez końca z tego rachunku. Zakładamy, że stopa NSP pozostanie na poziomie 5%
a pierwsza wypłata nastąpi dokładnie po 3 latach po ostatniej wpłacie.
9. Firma X stoi przed wyborem jednego z dwoch wariantów realizacji inwestycji.
I. Co miesiąc, przez rok, będzie ponosić koszty w wysokości 75 000 zł.
II. W pierwszym kwartale miesięczne koszty wyniosą po 50 000 zł, w drugim po 60 000
zł, w trzecim i czwartym po 80 000 zł. Który wariant powinna wybrać firma jeśli roczna
stopa procentowa wynosi 4%. Wpłaty są dokonywane na koniec miesiąca, kapitalizacja
miesięczna.
10. Dług 50 mln złotych ma być spłacony równymi ratami kapitałowymi w ciągu 5 lat.
Ułożyć plan spłaty jeśli roczna stopa procentowa wynosi 6%; kapitalizacja roczna.
11. Po ilu latach zostanie spłacony dług w wysokości 200 mln zł równymi ratami 30 mln
zł każda, jeżeli NSP wynosi 8% i kapitalizacja roczna. Wyznaczyć wysokość ostatniej nierównej
spłaty.
Wyjaśnienie. Latwo obliczyć, że nie jest możliwe aby w całkowitej liczbie rat spłacić ten
dług ratami po 30 mln. Jeśli liczbę spłat oznaczymy przez n to ma być n − 1 spłat po 30
mln a ostatnia, n−ta, rata będzie mniejsza. Trzeba obliczyć n i tę ostatnią ratę.
12. Kredyt 200 mln zł ma być spłacany kwartalnie w ciągu 10 lat w równych ratach kapitałowych.
Wyznaczyć wysokość piątej raty łącznej jeśli roczna NSP wynosi 6% a kapitalizacja
jest kwartalna.
13. Dług 20 mln zł oprocentowany na 10% rocznie ma być spłacony w 10 równych ratach
rocznych. Wyznaczyć wartość reszty długu po spłaceniu 5 rat. Jaką część długu zawierać
będzie szósta rata ( tzn. ile wynosi szósta rata kapitałowa).
14. Dług 200 000 zł należy spłacić w ciągu 10 lat, przy rocznej stopie procentowej 6% i
kapitalizacji półrocznej. Wyznaczyć wysokość stałych rat spłacanych:
(a) rocznie,
(b) półrocznie,
(c) kwartalnie.
Wsk. W (c) niech a będzie spłatą kwartalną. Odsetki od wpłaty a wynoszą a0.015 i są
doliczane po drugim kwartale ( po pół roku). Zatem po dwóch wpłatach wartość tych
wpłat wynosi na tę chwilę 2a + a0.015 . Można więc (c) traktować jak (b) z półroczną ratą
równą a2.015.
15. Pożyczka zaciągnięta na 6% rocznie miała być spłacona w 12 równych ratach rocznych.
Ponieważ dłużnik nie zapłacił czterech pierwszych rat, więc przez następne 8 lat musiał
spłacać raty w wysokości 12 mln zł rocznie. Jaka była wysokość pożyczki?
16. Ułożyć plan spłaty długu 100 mln zł w czterech ratach jeśli wiadomo, że T1 = 30, T3 =
20, T4 = 20, A2 = 37.
2

17. Wyznaczyć cenę obligacji 10-letniej o wartości nominalnej 5 000 zł i oprocentowaniu
12% jeśli rynkowa stopa dyskontowa wynosi 15%, odsetki są wypłacane rocznie.
18. Cena 5-letniej obligacji wynosi oprocentowanej na 5% wynosi 20 000 zł. Rynkowa stopa
dyskontowa wynosi 8%. Wyznaczyć wartość nominalną.
19. Wyznaczyć cenę akcji, dla której pierwsza dywidenda wynosiła 10 000 zł, przez kolejne
5 lat wzrastała w tempie 10%, a następnie rosła w tempie 2%. Stopa dyskontowa wynosi
11%.
20. Wyznaczyć cenę akcji, która dała pierwszą dywidendę w wysokości 10 000 zł i w ciągu
pierwszych 5 lat dywidendy rosły w tempie 10%. Po 5 latach dywidendy ustabilizowały się
na stałym poziomie. Stopa dyskontowa wynosi 6%.
21. Firma zrealizowała w końcu 2010 roku inwestycję o łącznych nakładach 60 000 zł.
Eksploatacja inwestycji przyniesie- jak się oczekuje- następujące zyski w kolejnych latach:
10 000, 12 000, 20 000, 18 000 zł.Wykorzystując kryterium NPV ocenić opłaalność tej
inwestycji. Przyjąć stopę dyskontową równą 20%.
22. Pewna inwestycja, wymagająca 50 000 zł nakładów, w kolejnych latach jej eksploatacji
przyniesie zyski 28 000 zł oraz 36 000 zł. Wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu tej
inwestycji.
23. Oszacować metodą interpolacji liniowej wewnętrzną stopę zwrotu dla przedwsięzięcia
o wartości nakładów początkowych 400 000 zł, które przyniosło dochody w okresie 4 lat
równe odpowiednio160 000, 180 000, 100 000 oraz 80 000 zł.
24. Dla przedwsięzięcia z zad.23 oszacować IRR z dokładnością do 0.005.
1. Podstawić do wzorów.
Odpowiedzi
2. Niech K oznacza kapitał obliczony w zad. 1. Odp:
K
1.02·1.03·1.02 .
3. Po pierwszym roku mamy 2455.77, z tego po jeszcze 2 latach mamy 2707.48. Z wplat
po 300 zl mamy po 2 roku 3683.65; po nastepnym roku z tego mamy 3867.83. Z wplat po
400 mamy 4911.54. Ostatecznie : 11486.85.
4. (a) 4000 · (1 + 0.6 · 0.02)(1 + 0.6 · 0.03)(1 + 0.6 · 0.03) = 4195.03.
(b) 3
(1 + 0.02)(1 + 0.03)(1 + 0.03) − 1.
4195.03
(c) Realna płaca w 2003 : = 3876.68. Realna stopa wzrostu płac za te 3 lata:
1.02·1.03·1.03
= −0.03. Roczna stopa realna wzrostu 3
1 − 0.03) − 1 = −0.01.
3876.68−4000
4000
5. Po 20 latach zgromadzimy 231020.44.
(a) 231020.44 · 1.005 120 − A · (1.005 119 + . . . 1.005 + 1) = 0. Stąd A = 2564.80. Jeśli pierwszą
rentę pobieramy po miesiącu od zakończenia wpłat.
3

(b) A = 231020.44 · 0.005 = 1155.1.
(c) Zdyskontujmy rentę. Mamy 231020.44 = A
e0.005 + A
e2·0.005 A
+ · · · + e120·0.005 · 231020.44 = 2566.54.
. Stąd A =
e 0.6 (e 0.005 −1)
e 0.6 −1
6000
6. Dyskontujemy raty: 1.00956 + 6000
1.009512 + 6000
1.009518 + 6000
1.009524 = 3.4780 · 6000 = 20868.42 jeśli
pierwsza rata jest płacona pół roku od chwili zakupu. Opłaca się kupić za gotówkę.
7. Niech K oznacza dług w chwili 0. Dyskontując spłaty mamy K = 100( 1
1
1.0148 ) = 3797.39 Teraz 3797.39 · 1.01N = 4279. Stąd N = 12.
8. 748.49.
1.01
+ 1
1.01 2 + · · · +
9. Mozna obliczyc koszty przeliczajac je na chwile po roku ( mozna tez dyskontowac).
Wariant I, koszty po roku: 75000(q 11 +. . . q +1), gdzie q = 1+ 0.04
12 . Wariant II : 50000(q11 +
q 10 + q 9 ) + 60000(q 8 + q 7 + q 6 ) + 80000(q 5 + · · · + q + 1). Wziąc to co mniejsze.
10. Sporządzić tabelkę. Wszystkie Tn są równe 10 mln.
11. Z równania Sn = 0 obliczamy q n =
30
30−200·0.08
gdzie q = 1.08. Stąd n = 9.9. Bedzie
więc 9 rat po 30. Po 9 ratach S9 = 200 · q9 − 30 q9−1 = 25.17. Ostatnia spłata wynosi więc
q−1
25.17 · 1.08 = 27.18.
12. Każda rata kapitałowa Tn wynosi 5 mln. Po 5 ratach S5 wynosi więc 175 mln. Mozna
sporządzić tabelkę do n = 5. Można też tak: Przy równych ratach kapitalowych, równych
T , Sk = S0 − kT . Zatem S4 = 180. Z5 = S4 · 0.015 = 2.7. Zatem A5 = Z5 + 5 = 7.7 mln.
13. Najpierw rata roczna A. Ze wzoru S10 = 0 obliczamy A = 3.25. S5 = 12.36. Z6 =
12.36 · 0.1 = 1.23. T6 = A − Z6 = 2.01.
14. Przy racie rocznej wziąc q = 1.03 2 . przy polrocznej q = 1.03, przy kwartalnej jak we
wskazówce. Traktujemy to jak spłatę w 20 ratach równych 2A · 1.015. Ze wzoru S20 = 0,
q = 1.03, znaleźć A.
15. Niech S oznacza wielkość pożyczki. Po czterech latach dług urósł do S ·1.06 4 = 1.26·S.
Teraz potraktować to jako dlug o poczatkowej wartości S · 1.26 spłacany w 8 ratach ;
zastosować wzór S8 = 0, q = 1.06 , S0 = 1.26 · S. Wszystkie An są równe 12. Otrzymamy
S = 59.14.
16. T1 + T3 + T4 = 70 więc T2 = 30. Z2 = A2 − T2 = 7. Z2 = S1 · r, S1 = 70. Stąd r = 0.1.
Dokończyc tabelkę.
17. 4247.18.
18. C = 0.05M. M = 22721.62?
19. Dywidendy w ciągu pierwszych 5 lat są równe: 10000, 11000, 12100, 13310, 14641, 16105.1.
Niech D = 16105.1, nastęone dywidendy tworzą ciąg geometryczny z ilorazem 1.02 i pierwszym
wyrazem D · 1.02. Dyskontując to wszystko mamy
P = 10000
1.11
11000 12100 13310 14641 16105.1 D1.02 D1.022
+ + + + + + + + · · · =
1.112 1.113 1.114 1.115 1.116 1.117 1.118 4

= 10000
1.11
Obliczyć.
+ 11000
1.11
= 10000
1.11
20. Podobnie jak zadanie 19.
12100 13310 14641 16105.1 D
+ + + + + (1.02
2 1.113 1.114 1.115 1.116 1.116 1.11
11000 12100 13310 14641 16105.1 D
+ + + + + +
1.112 1.113 1.114 1.115 1.116 1.11
1.022
+ + . . . ) =
1.112 6 ·
1.02
1.11
1 − 1.02
1.11
21. NP V = −60 + 10 12 + 1.2 1.22 + 20
1.23 + 18
1.24 jest ujemne. Inwestycja nieopłacalna.
22. −50 + 28
q
+ 36
q 2 = 0. Rozwiązać, IRR = q − 1.
23. NP V (r) = −400 + 160
1+r
+ 180
(1+r) 2 + 100
(1+r) 3 + 80
(1+r) 4 .
NP V (0.1) = 23.9874, NP V (0.2) = −45.2160.
IRR ≈ i1 − NP V (i1)(i1 − i2)
NP V (i1) − NP V (i2)
IRR jest równe ok. 13.46%.
23.9874 · (−0.1)
= 0.1 − = 0.1346.
23.9874 + 45.2160
24. Ponieważ NP V (0.1) > 0 a NP V (0.2) < 0 to IRR leży między 0.1 a 0.2. Zatem 0.15
różni się od IRR mniej niż 0.05. Odp. IRR ≈ 0.15 czyli 15%. Jeśli chcemy IRR oszacować
dokładniej to obliczamy NP V (0.15) = −13.27 < 0. Zatem IRR leży między 0.1 a 0.15.
Zatem przyjmując IRR = 0.125 (średnią arytmetyczną 0.1 i 0.15) wiemy, że to się rózni
od prawdziwej wartości mniej niż 0.025. W ten sposob można wyznaczyć IRR z dowolną
dokładnością.
5