Zadania. Seria 7. Homotopia i topologia powierzchni

Topologia I - Zadania
Seria 7 (ostatnia)
Homotopia i topologia powierzchni
8 stycznia 2013
Uwaga. Zadanie 1 jest powtórzeniem Zad. 7 z Serii 6 dla wygody zgromadzenia zadań dotyczących
homotopii w jednym miejscu. Zadania z Serii 6 nr 8, 9 (BCPP 6.4) i 10 (BCPP 6.5) można pominąć na
rzecz dokładniejszego omówienia powierzchni. Z omawiania zadań Serii 6 dot. przestrzeni funkcyjnych
można zrezygnować.
Zad. 1. Przestrzeń (X, TX) nazywa się ściągalna jesli istnieje punkt x0 i odwzorowanie H : X × I → X
takie, że dla każdego x ∈ X, H(x, 0) = x, H(x, 1) = x0. Wykazać, że:
1) Jeśli (Y, TY ) jest homeomorficzna z przestrzenią ściągalną, to jest ściągalna.
2) Przestrzeń jest ściągalna ⇐⇒ jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową.
3) Jeśli przestrzeń (X, TX) jest ściągalna do punktu x0, to jest ściągalna do dowolnego punktu x1 ∈ X.
4) Dowolny gwiaździsty podzbiór R n jest ściągalny.
5) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
6) Retrakt przestrzeni ściągalnej jest przestrzenią ściągalną.
7) Produkt kartezjański przestrzeni ściągalnych jest przestrzenią ściągalną. (Uwaga: podprzestrzeń, ani
przestrzeń ilorazowa przestrzeni ściągalnej nie muszą być ściągalne).
8) Jeśli A ⊂ X jest podzprzestrzenią ściągalną i istnieje odwzorowanie F : X × I → X takie, że dla
każdego x ∈ X, H(x, 0) = x,oraz ∀x∈XH(x, 1) ∈ A, to X jest przestrzenią ściągalną.
Zad. 2. S n \ S k jest homotopijnie równoważna z S n−k−1
Wsk. Zauważyć, że rzut stereograficzny wyznacza homemorfizm S n \ S k R n \ R k a następnie zrzutować
ten zbiór na podprzestrzeń prosotpadła do R k .
Zad. 3. Znaleźć homeomorfizmy następujących przestrzeni:
1) ”Przekłutej płaszczyzny” R 2 \ {p}, gdzie p jest dowolnym punktem.
2) ”Płaszczyzny z dziurą” R 2 \ ¯ B(p; r), gdzie p jest dowolnym punktem i r > 0,
3) ”Płaszczyzny ze szparą” R 2 \[p, q] gdzie [p, q] := {(1−t)p+tq : 0 t 1} jest odcinkiem domkniętym.
4) Walca S 1 × (−1, 1).
i wykazać, że każda z nich jest homotopijnie równoważne z okręgiem S 1 (wskazać homotopijną równoważność
w każdym przypadku osobno).
Zad. 4. Niech C ∗ := C \ {0} oznacza grupę multyplikatywną liczb zespolonych = 0; S 1 C ∗ będzie
jej podgrupą złożoną z liczb o module 1 (czyli okręgiem). Wykazać, że włożenie ι: S 1 ⊂ C ∗ definiuje
izomorfizm grup klas homotopii przekształceń ι∗ : [X, S 1 ] [X, C ∗ ].
Wsk. h(z) := (r(z), |z|), gdzie r(z) := z
|z| . r∗ : [X, C ∗ ] → [X, S 1 ] jest odwrotnością ι∗.
1

Zad. 5 (Homotopie punktowane). Niech w przestrzeni X będzie wyróżniony punkt x0 a w przestrzeni
Y punkt y0, co będziemy oznaczać (X, x0), (Y, y0). Rozważmy zbiór przekształceń ciągłych
Map ((X, x0), (Y, y0)) := {f ∈ Map (X, Y ): f(x0) = y0}.
Homotopią zachowującą punkty wyróżnione (punktowaną homotopią) nazywamy F : X × I → Y takie,
że dla każdego t ∈ [0, 1], H(x0, t) = y0 a zbiór klas równoważności Map ((X, x0), (Y, y0))/ ∼ gdzie ∼ jest
relacją punktowanej homotopii, oznaczamy [(X, x0), (Y, y0)]∗ lub krócej, jeśli jest jasne o jakie punkty
są wyróżnione, [X, Y ]∗. W okręgu S 1 punktem wyróżnionym będzie zawsze 1 ∈ S 1 . Udowodnić, że dla
dowolnej przestrzeni z wyróżnionym punktem (X, x0) istnieje bijekcja [(X, x0), (S 1 , 1)]∗ [X, S 1 ].
Wsk. Dla dowolnego odwzorowania f : X → S 1 definiujemy homotopijne z nim f ′ (x) := f(x)f(x0) −1 dla
ktorego zachodzi f ′ (x0) = 1. Podobnie dla homotopii F : X × I → S 1 definiujemy
F ′ (x, t) := F (x, t)F (x0, t) −1 .
Zad. 6 (Bukiet przestrzeni). Niech X1, X2 będą przestrzeniami topologicznymi z wyróżnionymi punktami
x1 ∈ X1, x2
∈ X2. Zdefiniujemy sumę bukietową tych przestrzeni jako przestrzeń ilorazową
X1 ∨ X2 := X1 X2/ ∼ gdzie (x1, 1) ∼ (x2, 2) a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe. Za-
uważyć, że X1 ∨ X2 jest homeomorficzne z podzbiorem produktu kartezjańskiego
{(y1, y2) ∈ X1 × X2 : y1 = x1 lub y2 = x2}. Udowodnić, że włożenia jk : Xk ⊂ X1 ∨ X2 definiują bijekcję
(izomorfizm grup) (j ∗ 1, j ∗ 2): [X1 ∨ X2, S 1 ] → [X1, S 1 ] × [X2, S 1 ].
Wsk. Zauważyć, że (j ∗ 1, j ∗ 2): [X1 ∨X2, S 1 ]∗
−→ [X1, S 1 ]∗ ×[X2, S 1 ]∗ i i skorzystać z poprzedniego zadania.
Zad. 7. Udowodnić, że ”przekłuta płaszczyzna” R 2 \ {p} jest homotopijnie równoważna z S 1 , a płaszczyzna
przekłuta 2-razy tzn R 2 \ {p1, p2} jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów
S 1 ∨ S 1 := {(z1, z2) ∈ S 1 × S 1 : z1 = 1 lub z2 = 1} . Uogólnić to na płaszczyznę przekłutą n-razy tzn
R 2 \ {p1, . . . , pn}. A co będzie jeśli zamiast płaszczyznę rozpatrywać przekłutą sferę S 2 ?
Zad. 8. Udowodnić, że jeśli m = n to płaszczyzna (odp. sfera) przekłuta n–razy nie jest homotopijnie
równoważna (a więc nie jest homeomorficzna) z płaszczyzną (odp. sferą) przekłutą m–razy.
Wsk. [R 2 \ {p1, . . . , pk}, S 1 ] Z k
Zad. 9. Udowodnić, że dowolne przekształcenie S n → S 1 gdzie n > 1 jest homotopijne ze stałym.
Wsk. Skorzystać z tw. Eilenberga mówiącego, że przekształcenie jest homotopijne ze stałym wtedy i tylko
wtedy gdy posiada logarytm. Rozłozyć sferę na górną i dolną półsferę i uzgodnić logarytm na równiku.
Zad. 10. Niech h: S 1 → S 1 będzie homeomorfizmem. Wykazać, że h jest homotopijne z identycznością
lub ze sprzężeniem zespolonym.
Wsk. Zauważyć, że stopień zlożenia przekształceń S 1 → S 1 jest iloczynem stopni i skorzystać z izomorfizmu
[S 1 , S 1 ] Z.
Zad. 11. Jeśli f : S 1 → S 1 jest takie, że f(−z) = −f(z) dla każdego z ∈ S 1 , to stopień deg(f) jest
nieparzysty, a więc nie jest ono ściągalne.
Wsk. Logarytm na dolnym półokręgu jest wyznaczony przez logarytm na górnym półokręgu (można
założyć, że f(1) = 1)
Zad. 12. [Wstęga Möbiusa] (Por. Seria 2 Zad. 14) Wykazać, że istnieje retrakcja wstęgi Möbiusa (zarówno
otwartej jak i domkniętej) na jej równik i jest ona homotopijną równoważnością. Niech M będzie
domkniętą wstęgą Möbiusa a ∂M jej brzegiem (tzn. obrazem odcinków [−1, 1] × {−1} ∪ [−1, 1] × {1}).
Zauważyć, że brzeg ∂M jest homeomorficzny z okręgiem S 1 a obcięcie [M, S 1 ] → [∂M, S 1 ] Z jest
monomorfizmem, którego obrazem są liczby parzyste. Wywnioskować stąd, że brzeg wstęgi Möbiusa nie
jest jej retraktem.
Wsk. Skorzystać z modelu wstegi Möbiusa z Zad. 2.14 c): określone tam odwzorowanie ilorazowe S 1 ×
[−1, 1] → M3 definiuje homotopię między dwukrotnym nawinięciem okręgu na równik wstęgi Möbiusa i
homeomorfizmem z jej brzegiem.
Zad. 13. [Plaszczyzna rzutowa] Wykazać, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:
1) Przestrzeń ilorazowa [−1, 1] × [−1, 1]/ ∼ gdzie
(t1, t2) ∼ (s1, s2) ⇐⇒ (t1, t2) = (s1, s2) lub (t1, t2) = −(s1, s2) gdzie t1 ∈ {−1, 1} lub t2 ∈ {−1, 1}
2

2) Przestrzeń ilorazowa ¯ B(0, 1)/ ∼ gdzie p1 ∼ p2 ⇐⇒ p1 = p2 lub p1, p2 ∈ S 1 oraz p1 = −p2
3) Przestrzeń ilorazowa S 2 / ∼ gdzie p1 ∼ p2 ⇐⇒ p1 = p2 lub p1 = −p2
(Uwaga: to jest przestrzeń orbit działania grupy Z2 = {−1, 1} na sferze).
Przestrzeń, której różne modele są wyżej opisane nazywamy (rzeczywistą) płaszczyzną rzutową i oznaczamy
RP (2). Zauważyć, że:
1) RP (2) jest przestrzenią zwartą i spójną
2) dowolny punkt ma otoczenie homeomorficzne z R 2 ,
3) Istnieje otwarty podzbiór gęsty U ⊂ RP (2), homeomorficzny z R 2 taki, że RP (2) \ U jest homeomorficzna
z S 1 oraz przestrzeń ilorazowa RP (2)/RP (2) \ U jest homeomorficzna ze sferą S 2 .
Zad. 14. [Płaszczyzna rzutowa cd] Wykazać, że ”przekłuta” płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie równoważna
z okręgiem, a nawet homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa.
Wsk. W modelu 1) lub 2) wyciąć po środku małe domknięte kółko i metodą rozcinania i sklejania pokazać
homeomrofizm ze wstęgą Möbiusa. W modelu 3) wyciąć w sferze S 2 małe otoczenie bieguna północnego
i południowego i skorzystać z Zad. 14 c) Serii 2.
Zad. 15 (Torus). (Por. Seria 2, Zad. 16) Zauważyć, że przekłuty torus jest homotopinie równoważny z
bukietem dwóch okręgów S 1 ∨ S 1 .
Zad. 16 (Butelka Kleina). Butelkę Kleina definiujemy jako przestrzeń ilorazową B := [−1, 1]×[−1, 1]/ ∼
gdzie (1, t) ∼ (−1, −t) oraz (s, 1) ∼ (s, −1). Zauważyć, że: B jest przestrzenią zwartą i spójną i dowolny
jej punkt ma otoczenie homeomorficzne z R 2 . Zauważyć, że przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie
równoważna z bukietem dwóch okręgów S 1 ∨ S 1 .
Zad. 17. Korzystając z poprzednich zadań wykazać, że żadne dwie spośród nastepujących powierzchni:
sfera S 2 , torus T , płaszczyna rzutowa RP (2) nie są homeomorficzne a a butelka Kleina B nie jest
homeomorficzna ze sferą i z płaszczyzną rzutową.
Wsk. Homeomorfizm tych powierzchni pociągałby homeomorfizm przekłutych powierzchni.
Uwaga. Butelka Kleina nie jest także homeomorficzna z torusem, co wynika z ostatniego zadania.
Zad. 18. Sprawdzić, że twierdzenie Jordana nie zachodzi dla torusa i dla płaszczyzny rzutowej i butelki
Kleina tzn. wskazać ich podzbiory homeomorficzne z okręgiem, których dopełnienia są spójne i takie,
które są niespójne.
Zad. 19. Wykazać, że [T, S 1 ] [S 1 , S 1 ] × [S 1 , S 1 ] Z × Z oraz [B, S 1 ] Z. Wywnioskować stąd, że
torus i butelka Kleina nie są homotopijnie równoważne, a więc także nie są homeomorficzne.
3