Wykłady z Analizy Matematycznej II

Wykłady z 

Analizy Matematycznej II 

Walter Rusin 

28 lutego 2004 

2

Spis treści 

Wstęp 5 

1 Twierdzenia o punktach stałych 7 

1.1 Przestrzenietopologiczne ................... 7 

1.2 TwierdzenieBrouwera ..................... 13 

1.3 Przestrzenie metryczne i twierdzenie Banacha . . . . . . . . 14 

1.4 TwierdzenieKakutaniego ................... 17 

1.5 Zadania ............................. 18 

2 Równania różniczkowe zwyczajne 19 

2.1 Definicja równania różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.2 Podejście geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.3 Równaniaautonomiczne .................... 23 

2.4 Przykłady zagadnień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.5 Badanie równań ruchu † ..................... 27 

2.5.1 Układy potencjalne o jednym stopniu swobody . . . 27 

2.5.2 Układy potencjalne o dwóch stopniach swobody . . . 28 

2.6 Zadania ............................. 29 

3 Istnienie i jednoznaczność rozwiązań 31 

3.1 TwierdzeniePeano ....................... 31 

3.2 TwierdzeniePicarda-Lindelöfa................. 34 

3.3 Zadania ............................. 36 

3 

4 SPIS TREŚCI 

4 Podstawowe klasy równań 39 

4.1 Równania o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . 39 

4.2 Równaniajednorodne ..................... 42 

4.3 Równania w postaci różniczek zupełnych . . . . . . . . . . . 45 

4.4 Zadania ............................. 47 

5 Zależność od danych 49 

5.1 Ciągła zależność od warunku początkowego . . . . . . . . . 49 

5.2 Zależnośćodprawejstrony .................. 51 

5.3 Zadania ............................. 55 

6 Równania liniowe skalarne 57 

6.1 Czynnik całkujący . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

6.2 Równania liniowe skalarne pierwszego rzędu . . . . . . . . . 58 

6.3 RównanieBernoulliego..................... 62 

6.4 Równanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

6.5 Równanie Clairauta † ...................... 63 

6.6 Równanie Lagrange’a-d’Alamberta † .............. 64 

6.7 Zadania ............................. 65 

7 Liniowe równania rzędu drugiego 67 

7.1 Zagadnienie........................... 67 

7.2 Równaniaostałychwspółczynnikach............. 69 

7.3 Zadania ............................. 72 

8 Układy równań liniowych 73 

8.1 Zagadnienie........................... 73 

8.2 Układy o stałych współczynnikach . . . . . . . . . . . . . . 79 

8.3 Równania skalarne wyższego rzędu . . . . . . . . . . . . . . 87 

8.4 Zadania ............................. 89 

9 Stabilność rozwiązań 91 

10 Klasyfikacja punktów krytycznych układów 93

Wstęp 

Zagadnienia przedstawione w niniejszym skrypcie odpowiadają wykładom 

Analizy Matematycznej II prowadzonym przeze mnie wiosną 2004 roku. 

Z uwagi na charakter studiów, materiał zawarty w poszczególnych wykładach 

może wydawać się czasem bardzo okrojony i niekompletny dla osób 

mających styczność z matematyką na innym poziomie. Dotyczy to szczególnie 

rozdziału pierwszego zawierającego minimum niezbędnych pojęć topologicznych. 

Czytając go należy mieć na względzie, że jest to namiastka semestralnego 

wykładu topologii ogólnej, mająca na celu wprowadzenie pojęć 

koniecznych do zrozumienia wybranych twierdzeń o punkcie stałym. Równania 

różniczkowe zwyczajne są bowiem bardzo szeroką dziedziną matematyki, 

korzystającą z wielu metod innych jej obszarów. Starałem się jednak 

w każdym rozdziale wprowadzić niezbędne pojęcia i obiekty potrzebne do 

zrozumienia treści wykładów. Tych z Was, którzy są bardziej dociekliwi i 

zainteresowani matematyką odsyłam zatem do licznych książek poświęconych 

tematyce wykładu. W razie jakichkolwiek wątpliwości zachęcam Was 

do uczęszczania na konsultacje. Matematyka ma raczej to do siebie, że należy 

uczyć się jej systematycznie, choć nie ma na to reguły. 

Na końcu każdego rozdziału zamieściłem zadania. Ponieważ przedmiot 

odbywa się w wymiarze dwóch godzin tygodniowo, polecam ich rozwiązywanie. 

Niektóre z nich oznaczone symbolem † są nieco trudniejsze i wymagają 

lepszego zrozumienia treści. 

Należy pamiętać, że treść skryptu nie musi w 100% odpowiadać treści 

wykładu, zachęcam więc do regularnego uczęszczania na zajęcia... 

O czytelniku zakładam, że dysponuje znajomością podstawowych pojęć 

5 

6 SPIS TREŚCI 

teorii mnogości wprowadzonej podczas kursu mateamtyki na I roku lub kursu 

logiki. W skrypcie stosuję notację standardową, spotykaną w większości 

literatury, proszę pytać jeśli coś jest niejasne.

Rozdział 1 

Twierdzenia o punktach 

stałych 

Teoria punktów stałych odwzorowań odgrywa ważną rolę w wielu działach 

matematyki. Metody te wykorzystywane są w teorii równań różniczkowych 

cząstkowych oraz zwyczajnych, metodach numerycznych. Pojawiają się często 

w bardzo zaskakujących sytuacjach. W rozdziale niniejszym zajmiemy 

się trzema twierdzeniami należącymi do tej klasy. 

1.1 Przestrzenie topologiczne 

Często sam zbiór nie jest interesującym pojęciem. Dopiero wyposażenie tego 

zbioru w pewną strukturę daje możliwość rozwinięcia nowych pojęć. Dla nas 

kluczowe będzie pojęcie przestrzeni topologicznej. 

Definicja 1.1.1 Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X, O) złożoną 

ze zbioru X irodzinyOjego podzbiorów spełniającej warunki 

(O1) ∅,X ∈O 

(O2) jeśli U1,U2 ∈Oto U1 ∩ U2 ∈O 

(O3) Jeśli Uα ∈Oto 

α Uα ∈Ogdzie α ∈ A - pewien zbiór indeksów. 

7 

8 ROZDZIAŁ 1. TWIERDZENIA O PUNKTACH STAŁYCH 

Zbiór X będziemy nazywali przestrzenią, jego elementy punktami przestrzeni, 

a elementy rodziny O będziemy nazywać zbiorami otwartymi w przestrzeni 

X. RodzinęO nazywać będziemy topologią na X. Jeśli dla pewnego 

x ∈ X i zbioru otwartego U ∈Omamy x ∈ U, tomówimy,żeU jest otoczeniem 

punktu x. Dopełnienia zbiorów otwartych w przestrzeni X nazywamy 

zbiorami domkniętymi. 

Definicja 1.1.2 Zbiór F nazwiemy domkniętym w przestrzeni X jeśli X\F 

jest zbiorem otwartym w przestrzeni X. 

Z praw De Morgana wynikają własności dualne do (O1)-(O3). 

(D1) ∅,X są zbiorami domkniętymi 

(D2) jeśli F1,F2 są domknięte to F1 ∪ F2 jest domknięty 

(D3) Jeśli Fα są domknięte to 

α Fα jest domknięty, gdzie α ∈ A - pewien 

zbiór indeksów. 

Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte w przestrzeni X nazywamy 

zbiorami otwarto-domkniętymi. 

Dla dowolnego zbioru A rozważmy rodzinę Dα wszystkich zbiorów domkniętych 

zawierających A. Na mocy własności (D3) ich przecięcie również 

jest zbiorem domkniętym. Jest to najmniejszy w sensie inkluzji taki zbiór. 

Nazwiemy go domknięciem zbioru A i oznaczymy przez cl(A). Dualnie to 

pojęcia domknięcia zbioru można zdefiniować pojęcie wnętrza zbioru jako 

sumę mnogościową wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A. Jest to 

wówczas maksymalny w sensie inkluzji zbiór otwarty zawarty w zbiorze A. 

Wnętrze zbioru A oznaczamy int(A). 

Zauważmy, że najuboższą topologią, jaką można wprowadzić na każdym 

zbiorze jest topologia O = {∅,X}, w której jedynymi otwartymi zbiorami 

są X-cała przestrzeń i ∅ - zbiór pusty. Najbogatszą topologią jest topologia, 

w której O =2 X , czyli w której każdy podzbiór zbioru X jest zbiorem 

otwartym. Taką topologię nazwiemy topologią dyskretną. Dwie topologie O1 

i O2 nazwiemy równoważnymi jeśli zbiór otwarty w przestrzeni (X, O1) jest 

otwarty w przestrzeni (X, O2) oraz odwrtonie.

1.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 9 

W dalszej części mówiąc przestrzeń będziemy mieli na myśli przestrzeń 

topologiczną. Będziemy także opuszczać w notacji topologię pisząc X zamiast 

(X, O) gdy nie będzie to prowadziło do nieporozumień (tzn. gdy X 

jest wyposażone w jedną topologię). Będziemy także mówili, że zbiór U jest 

otwarty zamiast zbiór U jest otwarty w X, gdy nie prowadzi to do nieporozumień. 

Definicja 1.1.3 Rodzinę zbiorów otwartych Uα nazwiemy pokryciem otwartym 

przestrzeni X jeśli zachodzi warunek 

α Uα ⊇ X. 

Definicja 1.1.4 Przestrzenią zwartą nazwiemy przestrzeń, dla której z każdego 

pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone. 

Ważnym pojęciem jest pojęcie podprzestrzeni topologicznej. 

Definicja 1.1.5 Podzbiór P ⊂ X przestrzeni topologicznej z topologią daną 

jako O∩P = {U ∩ P : U ∈O}nazwiemy podprzestrzenią topologiczną z 

topologią dziedziczoną z X. 

Wiele własności dotyczących zbiorów definiuje się przy użyciu pojęcia podprzestrzeni 

np. zbiorem zwartym w X nazwiemy zbiór, który jest zwarty 

jako popdrzestrzeń topologiczna w X. Inaczej, zbiorami zwartymi są zbiory, 

dla których z każdego ich pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie 

skończone. 

Rozważmy teraz dwie przestrzenie topologiczne X i Y .Niechf : X → Y 

będzie odwzorowaniem między nimi. 

Definicja 1.1.6 Przekształcenie f : X → Y nazwiemy ciągłym jeśli dla 

każdego zbioru otwartego U ⊆ Y zbiór f −1 (U) ⊆ X jest otwarty. 

Zauważmy, że wprowadzona przed chwilą definicja przekształcenia ciągłego 

odwołuje się wyłącznie do pojęcia zbioru otwartego. Analogicznie można 

zdefiniować przekształcenie ciągłe w terminach zbiorów domkniętych 

mówiąc, że przekształcenie między dwiema przestrzeniami jest ciągłe gdy 

przeciwobrazy zbiorów domkniętych są domknięte. Od tej pory mówiąc o 


przekształceniach przestrzeni topologicznych mamy na myśli przekształcenia 

ciągłe. 

Wśród przekształceń ciągłych przestrzeni istnieje pewna wyróżniona i 

ważna klasa. 

Definicja 1.1.7 Przekształcenie ciągłe f : X → Y nazwiemy homeomorfizmem, 

jeśli jest ono "1-1" oraz "na" i dodatkowo odwzorowanie f −1 : Y → 

X jest ciągłe. 

Jeśli między przestrzeniami X i Y istnieje homeomorfizm, to przestrzenie 

te nazwiemy homeomorficznymi. Bycie homeomorficznymi jest silną zależnością 

pomiędzy przestrzeniami. Relacja homeomorficzności, będąca relacją 

równoważności dwóch przestrzeni, powoduje że przestrzenie homeomorficzne 

topologicznie są nierozróżnialne. To właśnie w tym sensie prawdziwe jest 

powiedzenie, że "kubek i obrączka są tym samym". Dwie przestrzenie homeomorficzne 

X i Y będziemy oznaczać X ∼ = Y . 

Potrzebny nam będzie w dalszej części jeszcze jeden szczególny rodzaj 

odwzorowań. 

Definicja 1.1.8 Niech dane będzie odwzorowanie f : X → X. Przekształcenie 

f nazwiemy retrakcją przestrzeni X jeśli f ◦f = f. Obraz przekształcenia 

f nazwiemy retraktem przestrzeni X. 

Retrakcja jest zatem czymś na kształt rzutowania w przestrzeni topologicznej. 

Rozważmy teraz dwa odwzorowania ciągłe f,g : X → Y . 

Definicja 1.1.9 Odwzorowanie ciągłe H : X × I → Y nazwiemy homotopią 

pomiędzy przekształceniem f : X → Y i g : X → Y jeśli spełnia ono 

H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x). Of i g powiemy wówczas, że są homotopijne 

w homotopii H. 

Relacja homotopijności przekształceń jest relacją równoważności. Będziemy 

używać także oznaczenia f H ∼ g lub krócej f ∼ g gdy dwa odwzorowania są 

homotopijne. O homotopii należy myśleć jako o ciągłym przejściu od jednego 

przekształcenia do drugiego. Jeśli spojrzeć na wykresy przekształceń

1.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 11 

(zdefiniowane jako Graph(f) ={(x, y) ∈ X × Y : y = f(x)}) to homotopia 

oznacza "przekształcenie" wykresu odwzorowania f do wykresu odwzorowania 

g w sposób ciągły. Dla każdego punktu t ∈ I mamy odwzorowanie ciągłe 

H(·,t):X → Y . Parametr t nazywany jest również czasem homotopii. 

Rozważmy dwa odwzorowania f,g : X → Y , gdzie przestrzeń Y jest wypukła. 

Dowolne dwa odwzorowania w przestrzeń wypukłą są homotopijne. 

Homotopię pomiędzy tymi odwzorowaniami można podać wprost wzorem 

H(x, t) =(1− t) · f(x)+t · g(x). 

Mając zdefiniowane pojęcie homotopii dwóch przekształceń, możemy teraz 

wprowadzić pojęcie homotopijnej równoważności dwóch przestrzeni. 

Definicja 1.1.10 Dwie przestrzenie X i Y nazwiemy homotopijnie równoważnymi, 

jeśli istnieją odwzorowania f : X → Y i g : Y → X takie, że 

g ◦ f ∼ idX i f ◦ g ∼ idY . 

Relację homotopijnej równoważności dwóch przestrzeni oznaczać będziemy 

X Y . Ponieważ homotopijność przekształceń jest relacją równoważności, 

to homotopijna równoważność dwóch przestrzeni także jest realcją równoważności. 

Przestrzeń X, która jest homotopijnie równoważna przestrzeni złożonej 

z jednego punktu, zanurzonej w przestrzeni X, nazywamy ściągalną. 

Ściągalność przestrzeni do punktu x0 ∈ X oznacza, że homotopijne są odwzorowania 

idX : X → X i ∗ : X →{x0}. Homotopię H : X × I → X 

między odwzorowaniami idX i ∗ nazywamy ściągnięciem. 

Zanim sformułujemy pierwsze twierdzenie o punkcie stałym zdefiniujmy 

jeszcze pewną własność, która przysługuje niekedy przestrzeniom. 

Definicja 1.1.11 Przestrzeń X ma własność punktu stałego, jeśli dla każdego 

przekształcenia ciągłego f : X → X istnieje punkt x0 ∈ X taki, że 

zachodzi f(x0) =x0. 

Mając dane dwie przestrzenie X i Y oraz odwzorowanie f : X → Y 

możemy skonstruować pewne specjalne klasy przestrzeni topologicznych, 

mianowicie produkt przestrzeni, przestrzeń ilorazową, sklejenie przestrzeni, 

cylinder przekształcenia, stożek przekształcenia oraz zawieszenie przestrzeni. 


Definicja 1.1.12 Produktem przestrzeni topologicznych nazywać będziemy 

przestrzeń topologiczną X ×Y z topologią wprowadzoną przez dowolne sumy 

mnogościowe i skończone iloczyny mnogościowe zbiorów postaci U1 × U2, 

gdzie U1 ⊆ X i U2 ⊆ Y są otwarte. 

Definicja 1.1.13 Niech ∼ będzie relacją równoważności w przestrzeni topologicznej 

X. Przez przestrzeń ilorazową rozumieć będziemy przestrzeń klas 

abstrakcji relacji ∼ czyli X/∼. 

Mamy dane kanoniczne rzutowanie π : X → X/∼. W przestrzeni X/∼ 

wprowadzamy najbogatszą topologię, w której przekształcenie π jest ciągłe 

tzn. otwarte w X/∼ są te zbiory U, których przeciwobrazy π −1 (U) są otwarte 

w X. Rozważmy teraz odwzorowanie f : X → Y . 

Definicja 1.1.14 Sklejeniem przestrzeni X i Y odwzorowaniem f : X → Y 

nazwiemy przestrzeń X ∪f Y =(X . 

∪ Y )/ (x∼f(x)). 

Sklejenie odwzorowaniem f polega zatem na utożsamieniu punktu w X i 

jego obrazu w Y . 

Definicja 1.1.15 Cylindrem przekształcenia f : X → Y nazwiemy przestrzeń 

Z(f) =(X × I . 

∪ Y )/ (x,1)∼f(x). 

Definicja 1.1.16 Stożkiem przekształcenia f : X → Y nazwiemy przestrzeń 

C(f) =Z(f)/ (x1,1)∼(x2,1). 

Definicja 1.1.17 Zawieszeniem przestrzeni X nazwiemy przestrzeń ΣX = 

(X × I)/ (x1,0)∼(x2,0),(x1,1)∼(x2,1). 

Fakt 1.1.18 C(idS n) ∼ = cl(B n+1 ). 

Potrzebny nam będzie jeszcze jeden fakt, który z uwagi na zaawansowane 

techniki topologii algebraicznej wykorzystywane w jego dowodzie, pozostawimy 

nieudowodniony. 

Fakt 1.1.19 Przestrzeń S n nie jest przestrzenią ściągalną.

1.2. TWIERDZENIE BROUWERA 13 

1.2 Twierdzenie Brouwera 

Mamy teraz prawie wszystkie narzędzia niezbędne do sformułowania i udowodnienia 

twierdzenia Brouwera o punkcie stałym. 

Twierdzenie 1.2.1 Następujące warunki są równoważne: 

a) S n nie jest ściągalne 

b) S n nie jest retraktem cl(B n+1 ) 

c) cl(B n+1 ) ma własność punktu stałego. 

Mianem twierdzenia Brouwera o punkcie stałym nazywamy właśnie c) w 

twierdzeniu 1.2.1. 

Dowód. Pokażmy nie wprost. 

a) ⇒ b) Niech S n będzie retraktem cl(B n+1 ). Istnieje zatem retrakcja 

r : cl(B n+1 ) → S n . Rozważmy teraz odwzorowania idS n : Sn → cl(B n+1 ) - 

włożenie sfery w domkniętą kulę, oraz ∗ : S n → cl(B n+1 ) - przekształcenie 

stałe w dowolny punkt w cl(Bn+1 ). Ponieważ cl(Bn+1 ) jest wypukła, to 

odwzorowania idSn oraz ∗ są homotopijne. Istnieje zatem homotopia H : 

Sn × I → cl(Bn+1 ) od idSn do ∗. Odwzorowanie r ◦ H : Sn × I → Sn jest 

zatem homotopią od przekształcenia identycznościowego na sferze Sn do 

odzworowania stałego w punkt na sferze Sn . To oznacza ściągalność sfery i 

przeczy punktowi a). 

b) ⇒ a) Przypuśćmy, że Sn jest ściągalna. Istnieje zatem homotopia 

H : Sn × I → Sn taka, że H(·, 0) = idSn, H(·, 1) = ∗. Zauważmy, że 

Graph(H) ∼ = C(idSn) ∼ = cl(Bn+1 ). Homotopia H jest zatem ciągłym przekształceniem 

Sn × I → cl(Bn+1 ). Odwracając czas w homotopii H tzn. 

rozważając homotpię H1(x, t) =H(x, 1−t) otrzymamy ciągłe przekształcenie 

cl(Bn+1 ) → Sn × I. Mamy także kanoniczne odwzorowanie rzutowania 

prSn : Sn × I → Sn . Składając mamy prSn ◦ H1 : cl(Bn+1 ) → Sn -odwzorowanie 

ciągłe, będące retrakcją kuli cl(Bn+1 ) na sferę Sn . To przeczy 

punktowi b). 

b) ⇒ c) Przypuśćmy, że cl(Bn+1 ) nie ma własności punktu stałego. 

Istnieje zatem odwzorowanie ciągłe f : cl(Bn+1 ) → cl(Bn+1 ) takie, że 


∀ x∈cl(B n+1 ) f(x) = x. Wybierając więc dowolny punkt x ∈ cl(B n+1 ) przeprowadzamy 

odcinek przez punkt f(x) ∈ cl(B n+1 ) iokreślamyr(x) jako 

przecięcie z S n przedłużenia tego odcinka od punktu f(x). Tak określone 

przekształcenie r : cl(B n+1 ) → S n jest retrakcją kuli cl(B n+1 ) na sferę S n . 

To przeczy punktowi b). 

c) ⇒ b) Przypuśćmy, że istnieje retrakcja r : cl(B n+1 ) → S n . Rozważmy 

przekształcenia a : S n → S n zwane przekształceniem antypodycznym tzn. 

przyporządkowujące x ↦→ −x oraz włożenie i : S n ↩→ cl(B n+1 ). Przekształcenie 

i ◦ a ◦ r : cl(B n+1 ) → cl(B n+1 ) jest ciągłym odwzorowaniem kuli w 

siebie i nie ma punktu stałego, co przeczy punktowi c). 

Twierdzenie Brouwera jest bardzo silnym twierdzeniem. Zauważmy, że 

obowiązuje ono nie tylko dla kul, ale dla wszystkich przestrzeni homeomorficznych 

z kulą. Rozważmy bowiem przestrzeń X ∼ = cl(B n+1 ) iniechodwzorowanie 

h : X → cl(B n+1 ) będzie homeomorfizmem tych przestrzeni. 

Niech f : X → X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni X wsiebie. 

Odwzorowanie h ◦ f ◦ h −1 jest ciągłym odwzorowaniem kuli w siebie i na 

mocy twierdzenia Brouwera ma punkt stały. Istnieje więc x ∗ ∈ cl(B n+1 ) 

taki, że (h ◦ f ◦ h −1 )(x ∗ )=x ∗ . Mamy zatem (h ◦ f)(h −1 (x ∗ )) = x ∗ , czyli 

f(h −1 (x ∗ )) = h −1 (x ∗ ). Określając y ∗ = h −1 (x ∗ ) mamy punkt stały przekształcenia 

f : X → X. 

1.3 Przestrzenie metryczne i twierdzenie Banacha 

Wśród przestrzeni topologicznych na szczególną uwagę zasługują przestrzenie 

metryczne. 

Definicja 1.3.1 Przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, ϱ) złożoną ze 

zbioru X i funkcji ϱ : X × X → R spełniającej następujące warunki 

(M1) ∀x1,x2∈X ϱ(x1,x2) 0 i ϱ(x1,x2) =0⇔ x1 = x2 

(M2) ∀x1,x2∈X ϱ(x1,x2) =ϱ(x2,x1) 

(M3) ∀x1,x2,x3∈X ϱ(x1,x2) ϱ(x1,x3)+ϱ(x2,x3)

1.3. PRZESTRZENIE METRYCZNE I TWIERDZENIE BANACHA 15 

Podobnie jak w przypadku przestrzeni topologicznej będziemy w zapisie 

opuszczać strukturę metryczną i pisać X zamiast (X, ϱ). W przestrzeni metrycznej 

możemy w naturalny sposób zdefiniować kulę. 

Definicja 1.3.2 Kulą otwartą o środku w punkcie x0 ∈ X i promieniu r>0 

nazwiemy zbiór B(x0,r)={x ∈ X : ϱ(x0,x) 0∃δ>0 ϱX(x0,x) n0 ϱ(xm,xn)

1.4. TWIERDZENIE KAKUTANIEGO 17 

1.4 Twierdzenie Kakutaniego 

Niech X i Y będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. 

Definicja 1.4.1 Odwzorowaniem wielowartościowym określamy odwzorowanie 

F : X → 2Y . 

Dla punktu y ∈ Y możemy zdefiniować zbiór F −1 (y) ={x ∈ X : y ∈ 

F (x)}. DlaB⊆Y mamy F −1 (B) ={x ∈ X : F (x) ∩ B = ∅}. Wykresem 

odwzorowania F jest zbiór Graph(F )={(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}. 

Definicja 1.4.2 Powiemy, że odwzorowanie wielowartościowe F : X → 2Y jest górnie-półciągłe w x ∈ X jeśli dla każdego otoczenia V zbioru F (x) istnieje 

otoczenie U punktu x takie, że F (U) ⊆ V . Powiemy, że odwzorowanie 

F jest górnie-półciągłe, jeśli jest górnie-półciągłe w każdym punkcie x ∈ X. 

W dalszych rozważaniach będą nas interesować przekształcenia wielowartościowe 

F : X → 2Y o wartościach w rodzinie niepustych, zwartych i 

wypukłych zbiorów przestrzeni Y . 

W takim przypadku istenieje inna charakteryzacja odwzorowań górniepółciągłych, 

bardziej użyteczna z naszego punktu widzenia. 

Definicja 1.4.3 Odwzorowanie F : X → 2Y jest górnie-półciągłe, jeśli z 

faktów xn → x, yn → y i yn ∈ F (xn) wynika, że y ∈ F (x). 

Z uwagi na zmianę charakteru przestrzeni, gdzie znajduje się obraz odwzorowania 

F zmieni się także pojęcie punktu stałego. Przez punkt stały 

odwzorowania wielowartościowego rozumieć będziemy punkt x∗ , dla którego 

zachodzi x∗ ∈ F (x∗ ). Jeśli każde odwzorowanie wielowartościowe F : X → 

2X ma punkt stały, to powiemy, że X ma własność punktu stałego w sensie 

Kakutaniego. 

Wynik uzyskany przez Kakutaniego wymaga wprowadzenia wielu pojęć i 

narzędzi tzw. PL-topologii, znacznie wykraczających poza program wykładu 

z Analizy Matematycznej II, dlatego zostanie przedstawiony bez dowodu. 

Twierdzenie 1.4.4 (Kakutani) Niech X będzie zwartym, wypukłym podzbiorem 

Rn .WówczasXma własność punktu stałego w sensie Kakutaniego. 


Warto jednak wspomnieć, że twierdzenie Kakutaniego jest pewnym przeniesieniem 

twierdzenia Brouwera na przypadek odwzorowań wielowartościowych. 

Po raz pierwszy twierdzenie Kakutaniego w ekonomii zostało zastosowane 

przez Nash’a w jego teorii gier niekooperacyjnych, stąd waga pracy 

Nash’a i Nagroda Nobla a nie Medal Fields’a 

1.5 Zadania 

1. Podzielić litery alfabetu łacińskiego na klasy homeomorficzności. 

2. Z czym homeomorficzne są ΣS 0 , ΣS 1 ? 

3. Czy brzeg kwadratu na R 2 może być jego retraktem ? 

4. Udowodnij, że wykres dowolnego przekształcenia ciągłego f : I → I 

przecina prostą y = x. 

5. Sprawdź, że topologia dyskretna zdefiniowana w rozdziale 1.1 pokrywa 

się z topologią wprowadzoną przez metrykę dyskretną tzn. metrykę 

mającą własność ∀x1=x2 ϱ(x1,x2) =1. 

6. Załóżmy, że przestrzeń X jest metryzowalna (tzn. topologia w przestrzeni 

X pochodzi od jakiejś metryki). Niech Y będzie przestrzenią 

topologiczną homeomorficzną z X. Udowodnij,żeY również jest metryzowalna. 

7. † Z samolotu lecącego nad Warszawą wyrzucamy plan miasta. Udowodnij, 

że Istnieje dokładnie jeden taki punkt na planie nakrywający 

punkt w mieście, który przedstawia.

Rozdział 2 

Równania różniczkowe 

zwyczajne 

Zajmiemy się teraz pojęciem równania różniczkowego zwyczajnego. Obiekt 

ten pojawia się w sposób naturalny w wielu zagadnieniach. Wykład ten 

prezentuje pewne podstawowe pojęcia teorii równań rózniczkowych zwyczajnych, 

stanowiących pewnwgo rodzaju słownik, którego będziemy używać w 

trakcie kolejnych wykładów. 

2.1 Definicja równania różniczkowego 

Zaczniemy od ogólnej definicji równania różniczkowego zwyczajnego. 

Definicja 2.1.1 Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy 

równanie 

F (t, x, ˙x, ¨x,...,x (n) )=0 (2.1) 

wiążące zmienną niezależną t, zmienne zależne x i ich pochodne ˙x, ¨x, ..., 

x (n) aż do rzędu n. Rozwiązaniem równania (2.1) nazywamy funkcję ϕ(t) 

klasy C n , która podstawiona do równania w miejsce x zmienia to równanie 

w tożsamość. 

19 

20 ROZDZIAŁ 2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 

Wszystkie funkcje występujące w równaniu (2.1) traktujemy jako funkcje 

wektorowe o wartościach w przestrzeni rzeczywistej R m . 

Definicja 2.1.2 Wykres odwzorowania ϕ(t) w przestrzeni R m+1 w zmiennych 

(t, x) nazywamy krzywą całkową równania (2.1). 

Posługiwanie się równaniem różniczkowym w postaci (2.1) jest niewygodne 

i rzadko spotykane w praktyce. Jeśli najwyższa pochodna x (n) (t) 

wchodzi do funkcji F w sposób nietrywialny, to najczęściej lokalnie spełnione 

są założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej i równanie (2.1) można 

rozwikłać względem najwyższej pochodnej 

x (n) (t) =f(t, x, ˙x,...,x (n−1) ) (2.2) 

Równanie rzędu n możemy w łatwy sposób sprowadzić do równania (układu 

równań skalarnych) pierwszego rzędu. W tym celu oznaczmy 

x0(t) =x(t), x1(t) = ˙x(t), ...,xn−1(t) =x (n−1) (t). 

Wprowadźmy nową zmienną ¯x(t) = (x0(t),x1(t),...,xn−1(t)). Równanie 

(2.2) możemy zatem zapisać jako równanie pierwszego rzędu 

˙¯x = g(t, ¯x), (2.3) 

gdzie g(t, ¯x) =(x1(t),x2(t),...,xn−2(t),f(t, x0,x1,...,xn−1)). W dalszej 

części będziemy się zajmować równaniami (układami równań) pierwszego 

rzędu, które można zapisać w postaci 

˙x = f(t, x). (2.4) 

Niech G ⊂ R m+1 będzie zbiorem spójnym, w którym prawa strona równania 

(2.4) jest dobrze określona. Zbiór G nazywać będziemy rozszerzoną 

przestrzenią fazową równania (2.4), a jego rzut D na przestrzeń R m zmiennych 

x nazwiemy przestrzenią fazową tego równania. W zbiorze G istnieje 

zwykle bardzo wiele krzywych całkowych równania (2.4). Krzywe te tworzą 

wieloparametrowe rodziny rozwiązań. Jeśli ϕ(t, c1,c2,...,cm) :R → R m

2.2. PODEJŚCIE GEOMETRYCZNE 21 

jest rodziną funkcji, sparametryzowaną m parametrami c1,c2,...,cm taką, 

że dla każdego (c1,c2,...,cm) ∈ A ⊂ R m funkcja ϕ(t, c1,...,cm) jest krzywą 

całkową równania (2.4) i dla każdego (t0,x0) ∈ G istnieją parametry 

(c 0 1 ,...,c0 m) ∈ A, takie że ϕ(t, c 0 1 ,...,c0 m) jest krzywą całkową przechodzącą 

przez punkt (t0,x0), torodzinęϕ(t, c1,...,cm) nazwiemy rozwiązaniem 

ogólnym równania (2.4). Oprócz pojęcia rozwiązania ogólnego będziemy się 

posługiwać także pojęciem całka ogólna w przypadku, gdy będziemy dysponować 

jedynie uwikłanym przedstawieniem rozwiązania ogólnego tzn. 

Φ(t, x, c1,...,cm) =0. 

2.2 Podejście geometryczne 

W celu zrozumienia geometrycznego sensu rozwiązań równania (2.4) rozpatrzmy 

najpierw to równanie w przypadku skalarnym (m = 1). Niech 

funkcja x(t) będzie rozwiązaniem tego równania. Rozważmy jej wykres jako 

podzbiór (podrozmaitość klasy C 1 ) płaszczyzny (t, x). Jak wiadomo wektor 

styczny do wykresu funkcji x(t) ma postać (1, ˙x(t)) = (1,f(t, x)). Zatem 

równanie (2.4) można odczytać następująco. Na R 2 dane jest pole wektorowe 

(1,f(t, x)). Szukamy krzywej, będącej wykresem funkcji x(t) i takiej, 

że w każdym punkcie (t, x) leżącym na tej krzywej, wektor styczny do niej 

jest równy (1,f(t, x)). Nie ma tu znaczenia, czy znajdujemy się na płaszczyźnie 

R 2 czy w wyżej wymiarowej przestrzeni R m+1 . W ogólności w powyższy 

sposób możemy definiować równania różniczkowe na rozmaitościach 

odpowiedniej klasy gładkości. Mając dane dostatecznie gładkie pole wektorowe 

X ∈ V (M) na rozmaitości M odpowiedniej klasy gładkości i punkt 

p ∈ M możemy znaleźć przynajmniej lokalnie krzywą c :[0,t) → M taką że 

˙c(t) =X(c(t)) i c(0) = p. Rozwiązanie takiego równania nazwiemy potokiem 

pola wektorowego X. W dalszej cześci ograniczymy się jednak do zagadnień 

w przestrzeni euklidesowej. 

Niech dane będzie pole wektorowe w R m+1 . Wybierzmy punkt (t0,x0), 

a następnie poruszymy się w kierunku wektora stycznego (1, ˙x 1 0 ,..., ˙xm 0 ). 

Oznaczmy ten punkt przez (t1,x1), a z niego przejdźmy w kierunku wektora 

stycznego (1, ˙x 1 1 ,..., ˙xm 1 ) itd. W ten sposób otrzymaliśmy jedną krzywą 


całkową. Aby otrzymać inną krzywą, wystartowalibyśmy z innego punktu 

(t0,x ′ 0 ). 

Z tego postępowania można wyciągnąć wniosek, że wybór punktu początkowego 

(t0,x0) pozwolił nam ograniczyć się tylko do jednej krzywej 

całkowej. Prowadzi to do pojęcia warunku początkowego dla równania różniczkowego 

(2.4). 

Definicja 2.2.1 Warunek postaci x(t0) =x0 ograniczający zbiór rozwiązań 

równania pierwszego rzędu (2.4) nazywa się warunkiem początkowym lub warunkiem 

Cauchy’ego. Równanie (2.4) uzupełnione warunkiem początkowym 

nazywamy zagadnieniem Cauchy’ego lub zagadnieniem początkowym. 

Definicja 2.2.2 Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego nazywamy funkcję 

ϕ(t) klasy C 1 na przedziale [t0,t0 + α], spełniającą równanie (2.4) oraz warunek 

początkowy. 

Wróćmy na moment do równań wyższych rzędów. Warto sobie uświadomić, 

że dla równania postaci (2.2) zadanie warunku początkowego wymaga zadania 

wartości nie tylko samej funkcji dla czasu t0, ale także wartości jej 

n − 1 pochodnych. Wynika to wprost z postaci równania pierwszego rzędu, 

do której sprowadziliśmy równanie (2.2). Warunek Cauchy’ego dla tego równania 

ma postać ¯x(t0) =X, gdzie X ∈ R m i mamy x(t0) =X0, ˙x(t0) =X1, 

..., x (n−1) (t0) =Xn−1. Prowadzi to do następującej definicji zagadnienia 

początkowego dla równania rzędu n, będącego całkowitą analogią do przypadku 

równania skalarnego. 

Definicja 2.2.3 Jeśli dane jest równanie różniczkowe rzędu n, postaci (2.2) 

w przestrzeni R m , to zagadnienie Cauchy’ego dla tego równania przyjmuje 

formę 

x (n) = f(t, x, ˙x,...,x (n−1) ), 

x(t0) =x0, ˙x(t0) =x1, ...,x (n−1) (t0) =xn−1, 

gdzie x0,x1,...,xn−1 ∈ R m .

2.3. RÓWNANIA AUTONOMICZNE 23 

2.3 Równania autonomiczne 

Wśród równań różniczkowych na uwagę zasługuje pewna szczególna ich klasa. 

Definicja 2.3.1 Równanie postaci (2.2), w którym prawa strona nie zależy 

jawnie od zmiennej niezależnej, nazywamy równaniem autonomicznym. 

Równanie to ma postać 

˙x = f(x) (2.5) 

Zauważmy, że każde równanie nieautonomiczne w postaci (2.2) możemy 

sprowadzić do równania autonomicznego przez podstawienie t = s, gdzie 

s jest nową zmienną niezależną, a t jest traktowane jako kolejna składowa 

wektora x. Wtedy równanie (2.2) można zapisać w postaci autonomicznej 

¯x = ¯ f(¯x), 

gdzie ¯x =(t, x) i ¯ f =(1,f). Różniczkowanie oznacza różniczkowanie po 

nowym parametrze s. 

Ewolucję równania autonomicznego najwygodniej jest rozpatrywać w 

przestrzeni fazowej takiego równania, czyli w zbiorze wszystkich możliwych 

wartości zmiennej zależnej. Jeśli x ∈ R m to przestrzenią fazową tego równania 

jest podzbiór przestrzeni R m . 

Rozpatrując rozszerzoną przestrzeń fazową R m+1 mamy krzywe całkowe 

będące wykresami konkretnych rozwiązań równania (2.2). Rzutując te 

krzywe na R m mamy krzywe fazowe będące obrazem rozwiązania. 

2.4 Przykłady zagadnień 

Równania różniczkowe zwyczajne spotkac możemy w wielu dziedzinach. 

Najcześciej jednak natkniemy się na nie w fizyce, a szczególnie w mechanice 

klasycznej. Metody równań różniczkowych zwyczajnych używane są także 

w bilogii, chemii. 

Przykład 1. (Przykład zagadnienia prowadzącego do równania różniczkowego) 

Rozważmy proces rozmnażania się bakterii. Zakładamy, że bakterie 


znajdują się w środowisku o stałych parametrach, w związku z czym szybkość 

i sposób ich rozmnażania się jest stały. Wiadomo, że w tych warunkach 

bakterie rozmnażają się przez podział, w którego wyniku z jednej bakterii 

powstaje k nowych. Podział ten następuje co τ minut. Znajdziemy wzór 

opisujący wzrost populacji bakterii. 

Przyjmiemy, że wszystkie bakterie dzielą się w tych samych chwilach: 

t0, t1 = t0 + τ, t2 = t0 +2τ, ... 

Jeśli Ni oznacza liczbę bakterii w chwili ti, to zmianę tej liczby w czasie 

opisuje równanie 

Ni+1 =(1+k)Ni 

(2.6) 

Znając N0 czyli liczbę bakterii w chwili t0, możemy łatwo obliczyć 

Ni =(1+k) i N0. 

Jednak założenie, że bakterie dzielą się dokładnie w tych samych chwilach, 

jest mało realistyczne (liczba τ jest średnim czasem między kolejnymi 

podziałami, otrzymanym z eksperymentalnych badań biologów). Bardziej 

realne jest założenie, że bakterie dzielą się w różnych chwilach, które są 

równomiernie rozłożone w czasie, tzn. liczba podziałów w przedziale czasu 

(t, t +∆t) zależy od ∆t, a nie zależy od t (oczywiście zależy także od 

liczby bakterii). Aby znaleźć prawo opisujące wzrost populacji bakterii przy 

założeniu równomiernego w czasie rozkładu chwil podziału, musimy zrezygnować 

z traktowania N(t) jako liczby bakterii w chwili t (a więc jako 

liczby naturalnej). Przyjmijmy natomiast, że N(t) jest pewną miarą gęstości 

bakterii w środowisku i będziemy ją traktować jako liczbę rzeczywistą 

(po to, żeby w dalszych rozważaniach uznać N(t) za gładkąfunkcję zmiennej 

t). Niech teraz N(t) będzie wielkością populacji w chwili t, aN(t +∆t) 

w chwili t +∆t. Różnica N(t +∆t) − N(t) jest przyrostem populacji w 

przedziale czasu ∆t. Aby wyznaczyć ten przyrost, zauwazmy że co τ minut 

następuje podział określonej bakterii, natomist co τ/N(t) minut następuje 

podział jakiejś bakterii z populacji N(t) bakterii. Oznacza to, że w czasie 

∆t nastąpi 

∆t 

τ/N(t) 

1 

= N(t)∆t (2.7) 

τ

2.4. PRZYKŁADY ZAGADNIEŃ 25 

podziałów. Ponieważ w każdym podziale z jednej bakterii tworzy się k bakterii, 

więc 

N(t +∆t) − N(t) = k 

N(t). (2.8) 

τ 

Jeśli założymy, że N(t) jest funkcją różniczkowalną, to będziemy mogli dokonać 

przejścia granicznego ∆t → 0. Otrzymamy wtedy równanie 

˙N(t) = k 

N(t), (2.9) 

τ 

które opisuje prawo wzrostu populacji bakterii. Mamy zatem przykład jak 

z zagadnienia różnicowego (dyskretnego) przejść na przypadek różniczkowy 

(ciągły). 

Przykład 2.(Wahadło matematyczne) Wahadłem matematycznym nazywamy 

punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej i nierozciągliwej 

nici. Wykonuje on wahania wokół najniżej położonego punktu 

O, zwanego środkiem wahań. Załóżmy, że wahadło wykonuje tylko małe 

wahania i oznaczmy przez z odchylenie od środka wahań. Aby znaleźć przyspieszenie 

a wahadła w punkcie wyhylenia P zauważmy, że siła działająca 

na punkt materialny o masie m jest dana przez składową ciążenia, styczną 

do toru wahań (składowa prostopadła do niej jest równoważona przez 

sprężystość nici, na której wisi wahadło). Wtedy 

ma = −mg sin(x), 

gdzie x jest kątem wychylenia nici od pionu, g - przyspieszeniem w polu 

grawitacyjnym ziemi. Znak − po prwej stronie równania występuje w 

skutek przeciwnych zwrotów wychylenia i działającej na punkt siły. Jeśli 

przyspieszenie wahadła wyrazimy przez drugą pochodną odchylenia z, to 

otrzymamy 

m¨z = −mg sin(x). 

Zauważmy, że jeśli z mierzymy wzdłuż łuku, po którym porusza się punkt 

materialny, to 

z = xl, 


gdzie l jest długością wahadła. Ostatecznie otrzymujemy równanie wahadła 

¨x = − g 

l sin(x). 

Skorzystamy teraz z założenia, że wahadło wykonuje tylko małe drgania i 

możemy zastosować przybliżenie sin(x) ≈ x. Małe drgania wahadła daje się 

zatem opisać równaniem 

¨x = −kx, 

gdzie k = g/l. Zagadnienie początkowe dla tego równania ma postać 

⎧ 

⎪⎨ ¨x = −kx 

x(t0) =x0 

⎪⎩ ˙x(t0) =x1 

Otrzymaliśmy zagadnienie Cauchy’ego drugiego rzędu. 

Przykład z równaniem wahadła podsuwa na myśl inny sposób zadania 

warunków określających rozwiązanie równania różniczkowego. Możemy 

starać się opisać jego ruch podając nie połozenie początkowe i prędkość 

początkową, ale wychylenie w chwili t0 i wychylenie w chwili t1. Wtedy 

odpowiednie zaganienie miałoby postać 

⎧ 

⎪⎨ ¨x = −kx 

x(t0) =x0 

(2.10) 

⎪⎩ x(t1) =x1 

Zagadnienie w postaci (2.10) nazywać będziemy zagadnieniem brzegowym. 

Nazwa ta bierze się stąd, że starając się znaleźć rozwiązanie, podajemy jego 

wartość na dwóch końcach przedziału, na którym poszukujemy rozwiązania. 

Oczywiście postawienie zagadnienia brzegowego nie ogranicza się do równań 

drugiego rzędu (choć dla tych równań jest to bardzo naturalny rodzaj warunku). 

Można ten typ warunku formułować dla równań dowolnego rzędu 

zadając dostatecznie wiele wartości. 

Definicja 2.4.1 Niech dane będzie równanie w postaci (2.4) z funkcją f : 

I × R m → R m ,gdzieI =[a, b] ⊂ R. Zagadnienie brzegowe dla równania

2.5. BADANIE RÓWNAŃ RUCHU † 27 

(2.4) na przedziale [a, b] ma postać 

q(x(a),x(b)) = 0, (2.11) 

gdzie q jest daną funkcją o wartościach w Rm . 

Jeśli q jest funkcją liniową, która nie zależy od x(b) to warunek (2.11) sprowadza 

się do warunku Cauchy’ego. Można więc warunek (2.11) uważać za 

ogólną postać warunku granicznego dla równania (układu) (2.4). Zauważmy, 

że rozwiązywanie zagadnienia początkowego jest na ogół łatwiejsze niż 

zagadnienia brzegowego. W drugim przypadku musimy bowiem wcześniej 

wiedzieć, że rozwiązanie określonej jest na całym odcinku [a, b], co nie zawsze 

jest prawdą. 

2.5 Badanie równań ruchu † 

Równania różniczkowe zwyczajne, tak jak główne idee rachunku różniczkowego 

wywodzą się z zagadnień mechaniki Newtonowskiej. Przyjżyjmy się 

dokładniej pewnym wybranym problemom. 

Zanim to jednak nastąpi wprowdźmy pojęcie potencjału. 

Definicja 2.5.1 Niech dany będzie Newtonowski układ mechaniczny B ze 

stanami opisanymi funkcją x : R → Rm . Jeśli istnieje funkcja V : Rm → R 

taka, że ¨x = −∇V , to układ B nazwiemy układem potencjalnym. Funkcję V 

nazwiemy funkcją potencjału lub potencjałem. 

Układy potencjalne są zatem układami, w których pole sił jest polem gradientowym 

pewnej funkcji skalarnej. Przykładem takiego pola jest w ujęciu 

klasycznym pole grawitacyjne ziemi. 

2.5.1 Układy potencjalne o jednym stopniu swobody 

Definicja 2.5.2 Układem o jednym stopniu swobody nazwiemy układ opisany 

przez jedno równanie różniczkowe 

¨x = f(x), x∈ R (2.12) 


Energią kinetyczną nazywamy formę kwadratową 

T = 1 

2 ˙x2 . 

Energią potencjalną nazywamy 

x 

U(x) =− f(ζ) dζ 

Znak − został tak dobrany, by np. w przypadku rzutu kamieniem jego 

energia potencjalna była tym większa, im wyżej znajduje się kamień. Energią 

całkowitą układu nazwiemy E = T + U. 

Twierdzenie 2.5.3 (Prawo zachowania energii) Energia całkowita dla 

układu poruszającego się zgodnie z równaniem (2.12) nie ulega zmianie. 

Dowód. Wykonajmy rachunek 

dE d 

dU 

= (T + U) = ˙x¨x + ˙x =˙x(¨x − f(x)) = 0. 

dt dt dt 

Dowodzi to zatem, że E = const. 

2.5.2 Układy potencjalne o dwóch stopniach swobody 

Definicja 2.5.4 Przez układ o dwóch stopniach swobody rozumiemy układ 

opisany równaniem różniczkowym 

¨x = f(x), x∈ R 2 

(2.13) 

Zauważmy, że i w tym przypadku zachodzi prawo zachowania energii całkowitej 

2.5.3. Musimy jednak inaczej rozumieć kwadrat prędkości w formie 

energii kinetycznej. Teraz mamy na myśli iloczyn skalarny 〈 ˙x, ˙x〉. 

Dowód. Bezpośredni rachunek daje 

dE 

= 〈 ˙x, ¨x〉 + 〈∇U, ˙x〉 = 〈¨x + ∇U, ˙x〉 =0 

dt 

na mocy równań ruchu. 

Wniosek 2.5.5 Jeśli w chwili początkowej energia całkowita wynosi E, to 

cała trajektoria ruchu leży w obszarze, dla którego U(x) E. Inaczej, punkt 

znajduje się cały czas wewnątrz studni potncjału U(x) E. 

x0

2.6. ZADANIA 29 

2.6 Zadania 

1. Sprawdzić, czy podana rodzina funkcji jest rozwiązaniem wskazanego 

równania różniczkowego 

(a) x(t) =c1 cos 6t + c2 sin 6t ¨x +36x =0 

(b) x(t) =c1e6t + c2e−6t − 1 1 

2t − 36 

(c) x(t) =2+c √ 1 − t2 (1 − t2 )˙x + tx =2t 1 

¨x − 36x =18t +1 

2. Znaleźć równanie różniczkowe (możliwie niskiego rzędu), którego rozwiązaniem 

jest zadana rodzina krzywych: 

(a) x(t) =ect (b) x(t) =sin(t + c) 

(c) (t − c1) 2 + c2x 2 =1 

(d) t = c1x 2 + c2x + c3 

3. Naszkicować przybliżony przebieg krzywych całkowych dla poniższych 

równań, odgadując je z postaci pola wektorowego generowanego przez 

te równania 

(a) ˙x = x − t2 (b) x ˙x + t =0 

(c) ˙x = x−3t 

t+3x 

(d) ˙x = t+x 

t−x 

4. Opisać zbiór wszystkich ekstremów krzywych całkowych równania ˙x = 

f(t, x). 

5. Dane jest równanie różniczkowe ˙x = f(x, t), w którym prawa strona 

spełnia warunek f(x, t) =f(−x, −t). Udowodnić, że jeśli funkcja ϕ(t) 

jest rozwiązaniem tego równania, to także funkcja −ϕ(−t) jest jego 

rozwiązaniem. Znaleźć analogiczną własność rozwiązania, jeśli prawa 

strona spełnia warunki f(x, t) =−f(x, −t) lub f(x, t) =−f(−x, t). 

1 Dla jakich czasów jest określone to rozwiązanie? 


6. † Załóżmy, że łódź płynie przez rzekę reprezentowaną jako pas [−a, a]× 

R w poprzek od −a do a z jednostają prędkością vs. Prędkość nurtu 

rzeki opisana jest funkcją vr(x) =3 1 − 

x 2 

a . Znaleźć zagadnienie 

opisujące tor, po którym będzie poruszać się łódź.

Rozdział 3 

Istnienie i jednoznaczność 

rozwiązań 

W rozdziale tym zajmiemy się zagadnieniem istenienia i jednoznaczności 

rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Odpowiedź na te pytania 

jest istotna w chwili, gdy nie potrafimy podać analitycznej formuły opisującej 

rozwiązanie (o ile istnieje). Często w problemach zadajemy sobie 

pytanie, czy działanie układu jest jedyne możliwe. Twierdzenia zawarte w 

tym rozdziale dadzą nam odpowiedź. 

3.1 Twierdzenie Peano 

Równania różniczkowe zwyczajne są bardzo rozwiniętą dziedziną matematyki. 

Mimo to potrafimy rozwiązywać efektywnie w postaci analitycznej 

tylko nieliczne ich klasy, które poznamy później. Rezygnując więc z pytania 

o możliwość efektywnego rozwiązania danego równania, spróbujmy zadać 

pytanie ogólniejsze, ale łatwiejsze: jakie warunki musi spełniać równanie, 

abyśmy mogli być pewni, że ma ono rozwiązanie (nawet jeśli nie potrafimy 

go określić) i kiedy rozwiązanie jest jednoznaczne? 

Pytanie to będziemy rozważać w możliwie ogólnej sytuacji, tzn. założy- 

31 

32 ROZDZIAŁ 3. ISTNIENIE I JEDNOZNACZNOŚĆ ROZWIĄZAŃ 

my,żemamydanerównaniewpostaci 

˙x = f(t, x) 

w przestrzeni liniowej. Przypomnijmy, ze x = x(t) ∈ Rm ,af jest funkcją 

f : Rm+1 → Rm . 

Twierdzenie 3.1.1 (Peano) Niech K =[t0,t0 + a] ×{x−x0 b} ⊂ 

Rm+1 . Niech F : K → Rm będzie funkcją ciągłą, sup (t,x)∈K F (t, x) = M. 

Wtedy zagadnienie Cauchy’ego znalezienia takiej funkcji x(t), że 

˙x = F (t, x) (3.1) 

i spełniony jest warunek x(t0) =x0, ma rozwiązanie na odcinku [t0,t0 + α], 

α =min(a, b/M). 

Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia 3.1.1, potrzebny będzie nam 

lemat. 

Lemat 3.1.2 Zagadnienie Cauchy’ego (3.1) ma rozwiązanie x(t) różniczkowalne 

na odcinku [t0,t1) lub [t0,t1] wtedy i tylko wtedy, gdy równanie 

całkowe 

x(t) =x0 + 

t 

t0 

F (s, x(s))ds (3.2) 

ma rozwiązanie ciągłe. 

Dowód. (lematu 3.1.2) Przypuśćmy, że funkcja x(t) spełnia warunek (3.2). 

Całkując obie strony równania ˙x = F (t, x) od t0 do t i korzystając z warunku 

x(t0) =x0 otrzymujemy: 

czyli 

x(t) − x(t0) = 

x(t) =x0 + 

t 

t0 

t 

t0 

F (s, x(s))ds, 

F (s, x(s))ds.

3.1. TWIERDZENIE PEANO 33 

Implikacja w drugą stronę wynika automatycznie z różniczkowania (3.2) 

względem t. Zauważmy, że z ciągłości F wynika, że x(t) jest klasy C 1 . 

Dowód. (twierdzenia 3.1.1) Dla dowolnej liczby naturalnej n definiujemy na 

przedziale [t0,t0+a] funkcję xn(t), kolejno na odcinkach [t0+ k 

n 

k =0, 1,...,n− 1 według wzoru 

xn(t) =xn 

 

α, t0+ k+1 

n α], 

xn(t0) =x0 

t0 + k 

n α 

 

+ F t0 + k 

 

α, xn t0 + 

n k 

n α 

 

t − t0 + k 

n α 

 

dla t ∈ (t0 + k 

nα, t0 + k+1 

n α]. Jak się później okaże, definicja ta ma sens 

jeśli xn(t0 + k 

nα) − x0 b. Tak zdefiniowany ciąg funkcji jest aproksymacją 

ewentualnego rozwiązania (o którym jeszcze nie wiemy, że istnieje) 

funkcjami kawałkami liniowymi. 

Przypuśćmy, że istnieje liczba t1 : t0

3.2. TWIERDZENIE PICARDA-LINDELÖFA 35 

Przykład 1. Rozważmy następujące równanie: 

˙x = x β , 0


(b) ˙x = tx + e −x 

3. † Niech funkcja f : R → R będzie ciągła, a funkcja g : R → R niech 

spełnia warunek Lipschitza. Udowodnić, że układ równań 

˙x1 = f(x2)x1, 

˙x2 = g(x2) 

uzupełniony dowolnym warunkiem początkowym, ma co najwyżej jedno 

rozwiązanie w dowolnym przedziale. 

38 ROZDZIAŁ 3. ISTNIENIE I JEDNOZNACZNOŚĆ ROZWIĄZAŃ

Rozdział 4 

Podstawowe klasy równań 

Znamy już twierdzenia, dające nam możliwość orzeczenia, czy dane równanie 

posiada rozwiązanie i czy jest ono jednoznaczne. Należy pamiętać, że 

twierdzenia te są kryteriami dostatecznymi a nie koniecznymi. Zajmiemy 

się teraz pewnymi klasami równań, których rozwiązania jesteśmy w stanie 

bez trudu wyznaczyć analitycznie. Ograniczymy się tylko do przypadku 

skalarnego. 

4.1 Równania o zmiennych rozdzielonych 

Równanie o zmiennych rozdzielonych jest najprostszą sytuacją równania 

różniczkowego zwyczajnego. Poniższa definicja tłumaczy pochodzenie nazwy 

tej klasy równań. 

Definicja 4.1.1 Równanie różniczkowe rzędu pierwszego 

˙x = f(t, x) 

nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych, jeśli funkcja f(t, x) daje 

się przedstawić w postaci iloczynu dwóch funkcji jednej zmiennej, tj. 

f(t, x) =g1(t)g2(x). 

39 

40 ROZDZIAŁ 4. PODSTAWOWE KLASY RÓWNAŃ 

Równanie o zmiennych rozdzielonych można rozwiązać w bardzo łatwy sposób. 

Twierdzenie 4.1.2 Dane jest równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych 

˙x = g1(t)g2(x). (4.1) 

Niech funkcje g1(t) i g2(x) będą ciągłe dla t ∈ (a, b) i x ∈ (c, d) oraz niech 

g2(x) nie ma zer na odcinku (c, d). Wtedy przez każdy punkt (t0,x0) prostokąta 

Q = {(t, x) :t ∈ (a, b),x ∈ (c, d)} przechodzi dokładnie jedna krzywa 

całkowa równania (4.1). Krzywa przechodząca przez punkt (t0,x0) jest dana 

wzorem 

x(t) =G −1 

2 (G1(t) − G1(t0)+G2(x0)), (4.2) 

gdzie G1(t) jest funkcją pierwotną funkcji g1(t), aG2(x) - funkcją pierwotną 

funkcji 1/g2(x). 

Dowód. Podzielmy równanie (4.1) stronami przez g2(x). Otrzymamy 

1 dx 

= g1(t). 

g2(x) dt 

Równość tę możemy zapisać inaczej w postaci 

d 

dt G2(x(t)) = g1(t), (4.3) 

gdzie G2(x) jest funkcją pierwotną dla 1/g2(x). Całkujemy równanie w przedziale 

(t0,t) i otrzymujemy 

G2(x(t)) − G2(x(t0)) = G1(t) − G1(t0), (4.4) 

gdzie G1(t) jest funkcją pierwotną dla g1(t). Zauważmy, że G2 jest funkcją 

monotoniczną, bo G ′ 2 =1/g2 = 0, czyli pochodna G2 ma stały znak. Istnieje 

więc funkcja G −1 

2 , odwrotna do G2. Wobec tego z (4.4) mamy 

x(t) =G −1 

2 (G1(t) − G1(t0)+G2(x0)), 

wykorzystując fakt, że x(t0) =x0.

4.1. RÓWNANIA O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH 41 

Równania o zmiennych rozdzielonych są w pewnym sensie podstawową 

klasą równań, którą można rozwiązać analitycznie. Często w wielu zagadnieniach 

dotyczących różnych dziedzin skomplikowane równania, nie tylko 

zwyczajne, rozwiązuje się postulując istnienie rozwiązania w postaci zmiennych 

rozdzielonych. Pochodzenie nazwy tej klasy równaniń jest naturalne. 

Rozpatrzmy następujący przykład równania zwyczajnego. 

Przykład 1. Rozwiążemy zagadnienie Cauchy’ego 

 

π 

˙x sin t − x cos t =0, x =1. (4.5) 

2 

Przekształćmy równanie (4.5) by otrzymać 

˙x 

x 

cos t 

= . (4.6) 

sin t 

Przekształcenie jest poprawne ze względu na warunek Cauchy’ego jaki rozpatrujemy. 

Całkując równanie (4.6) dostajemy 

ln |x| =ln| sin t| + C1 

co można zapisać jako 

ln |x| =ln(|C2sin t|). 

Z różnowartościowości funkcji ln otrzymujemy 

x(t) =C2 sin t. 

Na mocy warunku x 

π 

2 =1otrzymujemy C2 =1. W ten sposób rozwiązaliśmy 

zagadnienie. Rozwiązaniem jest x(t) =sint 

W trakcie rozwiązywania zagadnienia pojawiła się stała całkowania C1, 

później przekształcona do stałej C2 =ln|C1|, która została ustalona później 

na podstawie warunku Cauchy’ego. W celu uniknięcia uciążliwego wprowadzania 

indeksów będziemy stosować konwencję stałej generycznej tzn. zamiast 

pisać C1 i przekształcać C2 =ln|C1| będziemy pisać C zarówno przed 

jak i po przekształceniu, mając jednak na uwadze ewentualne konsekwencje 

wynikające z danej zamiany. 


4.2 Równania jednorodne 

Często przez odpowiednią zamianę zmiennych jesteśmy w stanie sprowadzić 

jeden typ równania do już nam znanego. Tak będzie w przypadku omawianych 

tu równań jednorodnych. 

Definicja 4.2.1 Funkcja dwóch zmiennych f(x, y) nazywa się funkcją jednorodną 

stopnia n, jeśli f(tx, ty) =t n f(x, y). 

Zanim zaczniemy rozpatrywać równania z funkcjami jednorodnymi, sformułujemy 

nieco ogólniej zapis równania. Zauważmy bowiem, że w przypadku 

pojedynczego równania decyzja, która zmienna jest zmienną zależną, a która 

zmienną niezależną, jest dość arbitralna. Aby podkreślić tę dowolność 

wyboru zmiennej zależnej, równanie 

˙x = f(t, x) 

będziemy zapisywać w postaci równości dwóch różniczek 

dx = f(t, x)dt 

lub też w postaci zachowującej pełną symetrię zmiennych 

M(x, y)dx + N(x, y)dy =0. (4.7) 

W celu zachowania pełnej symetrii zostały zmienione nawet nazwy zmiennych. 

Równanie to można zapisać oczywiście także w postaci 

dy y) 

= −M(x, 

dx N(x, y) . 

Wprowadzenie takiego zapisu może się wydawać zbędne, jednakże w wielu 

sytuacjach okazuje się, że postać ta prowadzi do łatwych całek. 

Definicja 4.2.2 Równanie różniczkowe w postaci (4.7) nazywa się równaniem 

jednorodnym stopnia n, jesli funkcje M(x, y) i N(x, y) są funkcjami 

jednorodnymi stopnia n.

4.2. RÓWNANIA JEDNORODNE 43 

Często można znaleźć łatwiejszą metodę całkowania równań jednorodnych. 

Poniższe twierdzenie prezentuje najogólniejszą metodę ich rozwiązywania. 

Twierdzenie 4.2.3 Dane jest równanie jednorodne stopnia n w postaci 

różniczek 

M(x, y)dx + N(x, y)dy =0. (4.8) 

O funkcjach M(x, y) i N(x, y) zakładamy, że są funkcjami ciągłymi w zbio- 

4.3. RÓWNANIA W POSTACI RÓŻNICZEK ZUPEŁNYCH 45 

Po scałkowaniu otrzymamy 

czyli 

ln |ξ| + 1 

2 ln |1+2u − u2 | =lnC, 

ξ 2 (1 + 2u − u 2 )=C 2 . 

Wracamy do zmiennych (x, y) i otrzymujemy równanie 

(x +1) 2 

 

y − 3 (y − 3)2 

1+2 − 

x +1 (x +1) 2 

 

= C 2 . 

czyli 

Uwaga na stałe generyczne! 

x 2 +2xy − y 2 − 4x +8y = C. 

4.3 Równania w postaci różniczek zupełnych 

Równanie w postaci różniczek (w postaci (4.7)) przypomina zapis różniczki 

zupełnej funkcji dwóch zmiennych. Oczywiście, nie każde takie wyrażenie 

jest w rzeczywistości różniczką zupełną jakiejś funkcji. Analiza dostarcza 

nam jednak prostych sposobów sprawdzenia tego faktu. 

Twierdzenie 4.3.1 Niech będzie dane wyrażenie 

M(x, y)dx + N(x, y)dy (4.10) 

i niech funkcje M(x, y), N(x, y), My(x, y) i Nx(x, y) będą ciągłe w zbiorze 

Q = {(x, y) :x ∈ (a, b),y ∈ (c, d)}. Jeśli w zbiorze Q jest spełniona równość 

My(x, y) =Nx(x, y), (4.11) 

to wyrażenie (4.10) jest różniczką zupełną, czyli różniczką pewnej funkcji 

F (x, y). Wtedy również całka krzywoliniowa 

 

M(x, y)dx + N(x, y)dy, (4.12) 

L 

liczona po drodze L zawartej w Q nie zależy od drogi całkowania. 


Funkcje M(x, y) i N(x, y) możemy potraktować jako składowe pola wektorowego 

V (x, y) =(M(x, y),N(x, y)). Mówimym że pole takie jest potencjalne, 

jeśli istnieje funkcja F (x, y) taka że 

V (x, y) =∇F (x, y). 

Funkcję F nazywamy potencjałem pola. Korzystając z twierdzenia 4.3.1 

można łatwo udowodnić istnienie rozwiązań dla równań w postaci różniczek 

zupełnych. 

Twierdzenie 4.3.2 Załóżmy, że w zbiorze Q = {(x, y) :x ∈ (a, b),y ∈ 

(c, d)} funkcje M(x, y), N(x, y), My(x, y) i Nx(x, y) są ciągłe i spełniają 

równość 

My(x, y) =Nx(x, y) 

oraz jedna z funkcji M(x, y) lub N(x, y) jest różna od zera w kazdym punkcie 

zbioru Q. Wtedy przez każdy punkt (x0,y0) ∈ Q przechodzi dokładnie jedna 

krzywa całkowa równania 

M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 (4.13) 

Dowód. Załóżmy, że N(x, y) = 0. Wtedy równanie (4.13) można przepisać 

w postaci 

M(x, y)+N(x, y) dy 

=0. (4.14) 

dx 

Ponieważ rozważamy różniczkę zupełną, więc istnieje funkcja F (x, y), że 

M(x, y) = ∂F 

, N(x, y) =∂F 

∂x ∂y . 

Wobec tego równanie (4.14) można zapisać jako 

dF (x, y(x)) 

=0. 

dx 

Rozwiązaniem tego równania jest F (x, y(x)) = C. Aby był spełniony warunek 

początkowy należy przyjąć C = F (x0,y0) co jednocześnie gwarantuje 

jednoznaczność rozwiązania (dlaczego?). Zauważmy także, że warunek


N(x, y) = 0gwarantuje spełnienie założeń twierdzenia o funkcji uwikłanej. 

Oznacza to, że równanie F (x, y(x)) = C można rozwikłać zadając funkcję 

y(x) w postaci jawnej. 

Przykład 1. Znajdziemy krzywą całkową równania 

(x + y)dx +(x − y)dy =0, 

przechodzącą przez punkt (1, 1). Całkując to równanie skorzystamy z faktu, 

ze całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania. Całkę łączącą punkt 

(1, 1) z punktem (x, y) obliczymy po łamanej przechodzącej przez punkt 

(x, 1). Mamy 

(x,y) 

(1,1) 

(t + s)dt +(t − s)ds = 

x 

1 

(t +1)dt + 

y 

1 

(x − s)ds = 

= 1 

2 x2 + x − 3 1 

+ xy − 

2 2 y2 − x + 1 1 

= 

2 2 x2 + xy − 1 

2 y2 − 1. 

Oznacza to, że F (x, y) = 1 

2x2 +xy − 1 

2y2 −1. W celu znalezienia rozwiązania 

naszego równania należy rozwikłać równanie F (x, y) =0. Zauwazmy jendak, 

że niemożliwe jest znalezienie rozwiązania w postaci funkcji y(x), bo 

Fy(1, 1) = 0. Ponieważ Fx(1, 1) = 2 więc łatwo można znaleźć rozwiązanie 

w postaci 

 

x(y) =−y ± 2(y2 +1). 

W rozdziale następnym będziemy nadal zajmować się równaniami w postaci 

różniczek zupełnych oraz równaniami, które a priori do tej klasy nie należą, 

ale mogą być na nią zrzutowane. 

4.4 Zadania 

1. Znaleźć rozwiązania zagadnień Cauchy’ego 

(a) y ln ydx + xdy =0, y(1) = 1. 

(b) xdy − ydx =0, y(1) = 0. 


(c) x 1 − y 2 dx + y √ 1 − x 2 dy =0, y(0) = 1. 

2. Scałkować równania 

(a) t ˙x = x cos ln x 

t 

(b) (2x − 4y +6)dx +(x + y − 3)dy =0 

(c) ˙x = x 2 − 2 

t 2 

3. Scałkować równania 

(a) 2xydx +(x2 − y2 )dy =0 

(b) (2 − 9xy2 )xdx +(4y2− 6x2 )ydy =0 

(c) y 

x +(y3 +lnx)dy =0 

4. † Scałkować równania 

 

x (a) y +1 

 

x dx + y − 1 dy =0 

(b) (x 2 y 3 + y)dx +(x 3 y 2 − x)dy =0

Rozdział 5 

Zależność od danych 

Często dysponując jednym rozwiązaniem chcielibyśmy móc orzec co zmieni 

się gdy zmienimy warunki początkowe lub prawą stronę równania. Rozdział 

ten poświęcony jest twierdzeniom opisującym charakter tych właśnie zależności. 

5.1 Ciągła zależność od warunku początkowego 

W wielu zagadnieniach praktycznych mamy do czynienia z warunkiem Cauchy’ego. 

Rozwiązania są wyznaczone przez warunek początkowy. Można zadać 

pytanie czy zmiana punktu początkowego, z którego nasze rozwiązanie 

startuje, wpływa w sposób ciągły na przebieg rozwiązania? 

Twierdzenie 5.1.1 Niech dane będzie zagadnienie Cauchy’ego 

 

˙x = f(t, x) 

x(t0) =x0 

Jeśli funkcja f jest określona na G ⊆ R × R m i lipschitzowska ze względu na 

x ∈ R m , natomiast φ(x0,t)=u(t) jest rozwiązaniem problemu Cauchy’ego 

dla u(t0) =x0, na[t0,t1], aφ(y n ,t)=vn(t) są rozwiązaniami problemu 

cauchy’ego dla y n → x0 określonymi na [t0,t1], tovn(t) → u(t) dla t ∈ 

[t0,t1]. 

49 

50 ROZDZIAŁ 5. ZALEŻNOŚĆ OD DANYCH 

W sformułowaniu twierdzenia można pominąć warunek określoności rozwiązań 

vn(t) na przedziale [t0,t1]. Ich istnienie na całym tym przedziale 

wynika z twierdzeń o przedłużaniu rozwiązań, którymi nie będziemy się 

zajmować. 

Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia 5.1.1, potrzebujemy jeszcze 

jednego pomocniczego narzędzia, które w teorii równań różniczkowych zwyczajnych 

oraz cząstkowych odgrywa bardzo ważną rolę. 

Lemat 5.1.2 (Nierówność Gronwall’a) Niech K>0, C 0, t0 0. Oznaczmy U(t) =C + t 

t0 Kv(s)ds. 

Ponieważ K, v 0, mamy U(t) > 0. Zachodzi także U ′ (t) =Kv(t). Założenie 

(5.1) mówi, że v(t) U(t). Zatem(ln U(t)) ′ = U ′ (t) 

K, co oznacza, 

że 

U(t) 

t 

ln U(t) − ln U(t0) = (ln U(s)) 

t0 

′ ds K(t − t0). 

Stąd v(t) U(t) U(t0)eK(t−t0) .JeśliC = 0 to możemy je zastąpić 

dowolnym innym C1 > 0. Wtedy 

v(t) C1 + 

t 

t0 

Kv(s)ds 

zatem na mocy udowodnionej już części lematu v(t) C1eK(t−t0) . Z dowolności 

C1 otrzymujemy v(t) CeK(t−t0) =0. 

Dowód. (twierdzenia 5.1.1) Załóżmy, że vn jest określona na [t0,t1]. mamy 

wówczas 

vn(t) − u(t) vn(t0) − u(t0) + 

t 

t0 

Lvn(s) − u(s)ds,

5.2. ZALEŻNOŚĆ OD PRAWEJ STRONY 51 

gdzie L jest stałą Lipschitza funkcji f wkierunkux. Funkcja v(t) =vn(t)− 

u(t) spełnia założenia lematu Gronwall’a (5.1.2) zatem 

vn(t) − u(t) e L(t−t0) vn(t0) − u(t0) 

więc vn(t0) − u(t0) →0 implikuje ∀t vn(t) − u(t) →0. 

5.2 Zależność od prawej strony 

Zależność od funkcji występującej po prawej stronie równania rozumie się 

najczęściej w ten sposób, że zakłada się, iż jest ona zalezna od trzech zmiennych 

f = f(t, x, λ), gdzietjest zmienną niezależną, x zmienną zależną, a 

λ jest traktowane jako dodatkowy parametr. Oznacza to rozważanie zagadnienia 

początkowego w postaci 

 

˙x = f(t, x, λ) 

(5.3) 

x(t0) =x0 

Jeśli x(t) jest rozwiązaniem zagadnienia (5.3) to chcąc badać zależność tego 

rozwiązania od warunków początkowych (t0,x0) i parametru λ, będziemy 

traktowali to rozwiązanie jako funkcję wszystkich tych zmiennych, tj. x(t) = 

ϕ(t, t0,x0,λ). Okazuje się, że sytuację tą można znacznie uprościć dokonując 

zamiany zmiennych 

t ↦→ t − t0, x ↦→ x − x0. 

Zagadnienie (5.3) zmieni się wówczas na równoważne 

 

˙x = f(t − t0,x− x0,λ) 

(5.4) 

x(0) = 0 

W tym zapisie zmienne x0,t0 są dodatkowymi parametrami funkcji f.Oznacza 

to, że zależność od warunków początkowych można sprowadzić do zależności 

prawej strony równania od parametru. Możliwa jest także operacja 

odwrtona. Możemy potraktować λ jako zmienną zależną, uzupełniając zagadnienie 

(5.3) równaniem 

˙λ =0, 


z warunkiem początkowym 

λ(t0) =λ0, 

gdzie λ0 jest ustaloną wartością parametru λ (wybraną dowolnie). Przyjmując 

¯x =(x, λ) i ¯ f =(f,0), 

otrzymamy zagadnienie Cauchy’ego 

 

˙¯x = ¯ f(t, ¯x) 

(5.5) 

¯x(t0) =¯x0. 

Stąd widać, że zależność od parametru można sprowadzić do zależności 

od warunku początkowego. Na podstawie twierdzenia 5.1.1 możemy zatem 

wnioskować o ciągłej zależności rozwiązań od parametru, zamieniając zagadnienie 

zależności prawej strony na zagadnienie zależności od warunku 

początkowego. 

W większości wypadków regularność prawej strony równania jest wyższa 

niż tylko lipschitzowskość. Obecnie zajmiemy się tym przypadkiem. 

Twierdzenie 5.2.1 Niech f(t, x, λ) będzie funkcją klasy C1 swoich argumentów 

dla (t, x) ∈ Q ⊂ Rm i λ ∈ G ⊂ Rk , gdzie zbiory Q i G są otwarte. 

Wtedy rozwiązanie x = x(t, t0,x0,λ) zagadnienia początkowego (5.3) jest 

klasy C1 względem zmiennych t, t0,x0,λ w otwartym zbiorze, na którym 

jest określone. Jeśli przez y(t) oznaczymy macierz Jacobiego [ ∂x(t,t0,x0,λ) 

∂λ ], 

to spełnia ona równanie macierzowe 

dy ∂f(t, x, λ) ∂f(t, x, λ) 

= y + (5.6) 

dt ∂x 

∂λ 


y(t0) = ∂x(t0,t0,x0,λ) 

=0. 

∂λ 

Natomiast macierz Jacobiego z(t) =[ ∂x(t,t0,x0,λ) 

] spełnia równanie 

∂x0 

dz 

dt 

∂f(t, x, λ) 

= z (5.7) 

∂x

5.2. ZALEŻNOŚĆ OD PRAWEJ STRONY 53 


z(t0) = ∂x(t0,t0,x0,λ 

= Im×m. 

∂x0 

Dowód. Różniczkowalność w sposób ciągły względem t wynika z twierdzenia 

Picarda-Linedlöfa (twierdzenie 3.2.1). Na podstawie uwag uczynionych 

wczesniej możemy zająć się zależnością rozwiązania od parametru λ. Poniżej 

udowodnimy, że rozwiązanie (5.3) jest klasy C1 jako funkcja tego parametru. 

Dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do rozważania przypadku jednowymiarowego 

(skalarne λ). W przypadku λ będącego wektorem poniższe 

rozumowanie należy przeprowadzić dla każdej ze składowych oddzielnie. 

Niech ϕ(t, λ1) i ϕ(t, λ2) będą dwoma rozwiązaniami równania (5.3) z 

tym samym warunkiem początkowym i różnymi wartościami parametru λ. 

Niech U będzie zwartym podzbiorem Q iniech(t, ϕ(t, λ1)), (t, ϕ(t, λ2)) ∈ U 

dla t ∈ J0 = {t : |t − t0| α}. Rozważmy różnicę 

∆ϕ = ϕ(t, λ2) − ϕ(t, λ1). 

Korzystamy z całkowej postaci równania (5.3) i rozwijamy funkcję f(t, x, λ2) 

w szereg Taylora wokół punktu λ1, skąd 

t 

∂f(τ,ϕ(τ,λ1),λ1) 

∆ϕ(t) = 

+ ɛ1(τ) ∆ϕ(τ)dτ+ 

t0 ∂x 

t 

∂f(τ,ϕ(τ,λ1),λ1) 

+ 

+ ɛ2(τ) (λ2 − λ1)dτ, 

t0 ∂λ 

gdzie ɛ1(τ) =o(λ2 − λ1) i ɛ2(τ) =o(λ2 − λ1). Po podzieleniu obu stron tego 

równania przez (λ2 − λ1) otrzymujemy różnicową wersję równania (5.6) 

∆ϕ(t) 

λ2 − λ1 

t 

∂f(τ,ϕ(τ,λ1),λ1) ∆ϕ(τ) 

= 

+ ɛ1(τ) dτ+ (5.8) 

t0 ∂x 

λ2 − λ1 

t 

∂f(τ,ϕ(τ,λ1),λ1) 

+ 

+ ɛ2(τ) dτ. 

∂λ 

t0 


Ponieważ równanie (5.6) spełnia warunki twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności 

rozwiązań, więc niech y(t, λ) będzie jego rozwiązaniem. Oznaczmy 

u(t) = ∆ϕ(t) 

− y(t, λ1). 

λ2 − λ1 

Odejmijmy od równania (5.8) całkowąwersję równania (5.6) i otrzymujemy 

t 

∂f(τ,ϕ(τ,λ1),λ1) 

u(t) = 

+ ɛ1(τ) u(τ)dτ+ 

∂x 

t0 

t 

(ɛ1(τ)y(τ,λ1)+ɛ2(τ))dτ. 

t0 

Jeśli τ ∈ J0, to funkcja y(τ,λ1) jest ograniczona i 

ζ =sup|ɛ1(τ)y(τ,λ1)+ɛ2(τ)| 

= o(λ2 − λ1). 

τ∈J0 

Zachodzi wtedy oszacowanie 

t 

∂f(τ,ϕ(τ,λ1),λ1 

|u(t)| 

+ ɛ1(τ) 

t0 ∂x 

|u(τ)| + ζ dτ. 

Niech K =supτ∈J0 | ∂f(τ,ϕ(τ,λ1),λ1) 

∂x 

ciągłości ∂f 

∂x i zwartości U. Z lematu Gronwall’a otrzymujemy 

|. StałaK jest skonczona, co wynika z 

|u(t)| ζ 

K (eKα − 1). 

Wynika stąd, że u(t) =o(λ2 − λ1), czyli 

∂ϕ(x, λ) 

= y(t, λ). 

∂λ 

Wobec tego rozwiązanie równania (5.3) jest klasy C1 względem λ, bomacierz 

Jacobiego jego pochodnej względem λ spełnia równanie (5.6) i jest 

ciągła, co wynika z twierdzenia 5.1.1. 

Wynik ten można uogólnić na wyższe klasy regularności prawej strony. 

Wniosek 5.2.2 Jeśli w założeniach twierdzenia 5.2.1 funkcja f(t, x, λ) jest 

klasy Cr ,gdzier1, to rozwiązanie x(t, t0,x0,λ) jest też kalsy Cr .


5.3 Zadania 

1. Znaleźć wskazaną pochodną względem parametru lub warunku początkowego: 

(a) ˙x = x + µ(t + x 2 ), x(0) = 1. Znaleźć ∂x 

∂µ |µ=0 

(b) ˙x =2t + µx 2 , x(0) = µ − 1. Znaleźć ∂x 

∂µ |µ=0 

(c) ˙x = x + x 2 + tx 3 , x(2) = x0. Znaleźć ∂x 

∂x0 |x0=0 

56 ROZDZIAŁ 5. ZALEŻNOŚĆ OD DANYCH

Rozdział 6 

Równania liniowe skalarne 

6.1 Czynnik całkujący 

Równania w postaci różniczek zupełnych nie występują zbyt często. Bywa 

jednak tak, że chociaż wyjściowe równanie nie jest w postaci różniczki zupełnej, 

to po pomnożeniu przez pewną funkcję daje się sprowadzić do takiej 

postaci. Funkcja taka nazywa się czynnikiem całkującym. Jeśli wyrażenie 

Mdx+ Ndy 

pomnożymy przez czynnik całkujący µ(x, y) 

µMdx + µNdy 

i zażądamy żeby nowe wyrażenie było różniczką zupełną 

∂µM 

∂y 

to otrzymamy równanie cząstkowe 

= ∂µN 

∂x 

M ∂µ 

 

∂µ ∂N 

− N = µ 

∂y ∂x ∂x 

57 

 

∂M 

− . (6.1) 

∂y 

58 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA LINIOWE SKALARNE 

Oczywiście rozwiązanie (6.1) nie jest wcale łatwiejsze od rozwiązania wyjściowego 

równania zwyczajnego. Często jednak bywa, że wyrażenie Mdx+ 

Ndy jest bliskie różniczce zupełnej. Wtedy czynnik Nx − My, występujący 

po prawej stronie równania (6.1), może być stały albo może być funkcją tylko 

jednej zmiennej. Sugeruje to często poszukiwanie czynnika całkującego 

w postaci µ(x), µ(y) lub µ = µ(f) gdzie f jest znaną funkcją x i y. 

Przykład 1. Czynnikiem całkującym dla równania 

(1 − x 2 y)dx + x 2 (y − x)dy =0 

jest µ(x) =x −2 . 

Przykład 2. Czynnikiem całkującym dla równania 

jest µ =(xy) −1 . 

xy 2 dx +(x 2 y − x)dy =0 

6.2 Równania liniowe skalarne pierwszego rzędu 

Obecnie zajmiemy się przypadkiem jednego równania liniowego pierwszego 

rzędu. 

Definicja 6.2.1 Równanie postaci 

˙x + p(t)x = q(t) (6.2) 

gdzie p(t) i q(t) są funkcjami zmiennej t ∈ (a, b), nazywamy równaniem 

liniowym. Jeśli q(t) ≡ 0 to równanie to nazywamy równaniem liniowym 

jednorodnym. 

Dla równania (6.2) bardzo łatwo otrzymać twierdzenie o istnieniu i jendoznaczności. 

Twierdzenie 6.2.2 Jeśli funkcje p(t) i q(t) są ciągłe dla t ∈ (a, b), to 

przez każdy punkt zbioru Q =(a, b) × R przechodzi dokładnie jedna krzywa 

całkowa równania (6.2). maksymalnym przedziałem istnienia rozwiązania 

jest przedział (a, b).

6.2. RÓWNANIA LINIOWE SKALARNE PIERWSZEGO RZĘDU 59 

Dowód. Istnienie i jednoznaczność lokalnego rozwiązania wynika z twierdzenia 

Picarda-Lindelöfa, bo wyrażenie q(t)−p(t)x spełnia lokalnie warunek 

Lipschitza. Należy jedynie udowodnić że rozwiązanie lokalne przedłuża się 

na cały odcinek (a, b). Wystarczy w tym celu udowodnić, że rozwiązanie w 

każdym punkcie jest ograniczone. Rozważmy zatem rozwiązanie x(t) przechodzące 

przez punkt (t0,x0). Pokażemy, że jeśli t1 ∈ (a, b) to x(t1) jest 

ograniczone. Rozwiązanie x(t) spełnia równanie całkowe 

t 

t 

x(t) =x0 − p(s)x(s)ds + q(s)ds, 

t0 

t0 

więc mamy oszacowanie 

t1 

t1 

|x(t1)| |x0 + q(s)ds| + K |x(s)|ds, 

t0 

t0 

gdzie K =supt∈[t0,t1] |p(t)|. Ponieważ odcinek [t0,t1] jest zwarty, więc funkcja 

q(t) jest ograniczona dla t ∈ [t0,t1] i 

 

 

 

x0 

t1 

+ q(s)ds 

= c

6.2. RÓWNANIA LINIOWE SKALARNE PIERWSZEGO RZĘDU 61 

Na przedstawiony powyżej wynik można spojrzeć w inny sposób. Zdefiniujmy 

operator L określony na funkcjach różniczkowalnych jako 

L(x) = ˙x + p(t)x. 

Operator ten jest oczywiście liniowy 2 . Używając operatora L równanie jednorodne 

możemy zapisać w postaci 

a niejednorodne jako 

L(x) =0, (6.4) 

L(x) =q(t). (6.5) 

Jeśli popatrzymy na L jako na przekształcenie liniowe to równanie (6.4) 

opisuje jego jądro. Jak wiadomo z algebry liniowej jądro jest podprzestrzenią 

liniową. Widać to choćby z równania (6.3). Rozwiązania równania (6.2.1) 

możemy teraz opisać w terminach operatora L. 

Twierdzenie 6.2.3 Niech będzie dany operator liniowy L(x) = ˙x + p(t)x. 

Wówczas 

1. Jądro operatora L jest przestrzenią jednowymiarową, jej bazą jest wektor 

u(t) =exp− 

t 

t0 p(s)ds 

 

. 

2. Funkcja up(t) = t 

t0 q(τ)exp 

 

− t 

τ p(s)ds 

 

dτ jest szczególnym rozwiązaniem 

równania niejednorodnego L(x) =q(t). 

3. Każde rozwiązanie równania niejednorodnego L(x) =q(t) przedstawia 

się w postaci sumy rozwiązania szczególnego up(t) i pewnego rozwiązaniazjądraoperatoraL. 

2 

Dla osób zaznajomionych z analizą funkcjonalną: jest również ciągły jako operator 

C 1 → C 1 . 


6.3 Równanie Bernoulliego 

Obok równań liniowych istnieją pewne rodzaje równań, które można sprowadzić 

przez odpowiednie podstawienie do równań tejże klasy. Rozważmy 

równanie postaci 

˙x + p(t)x + q(t)x n =0. (6.6) 

Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego. Liczbęnnazywamy wykładnikiem 

Bernoulliego. Dlan =0mamy do czynienia ze zwykłym równaniem 

liniowym. Dla innych wartości wykładnika Bernoulliego równanie 

(6.6) sprowadza się do równania liniowego przez podstawienie 

z = x 1−n . 

Po podzieleniu równania (6.6) stronami przez x n otrzymamy 

˙xx −n + p(t)x 1−n + q(t) =0. (6.7) 

Ponieważ ˙z =(1−n)x −n ˙x to równanie (6.7) względem zmiennej z ma postać 

1 

˙z + p(t)z + q(t) =0, 

1 − n 

czyli jest równaniem liniowym. 

6.4 Równanie Riccatiego 

Innym typem równania, które w pewnych przypadkach daje się sprowadzić 

do równania liniowego, jest równanie postaci 

˙x + p(t)x + q(t)x 2 + r(t) =0. (6.8) 

Równanie w tej postaci nazywa się równaniem Riccatiego i nie istnieje ogólny 

sposób jego analitycznego całkowania. Jeśli jednak zanamy jedno rowiązanie 

szczególne x1(t), to przez podstawienie u = x − x1 możnatorównanie

6.5. RÓWNANIE CLAIRAUTA † 63 

sprowadzić do prostej postaci. Ponieważ ˙u = ˙x − x1, ˙ więc podstawiając tę 

równość do lewej strony równania (6.8) otrzymujemy 

x1 ˙ +˙u + p(t)(x1 + u)+q(t)(x1 + u) 2 + r(t) = 

= x1 ˙ + p(t)x1 + q(t)x 2 1 + r(t)+ ˙u + p(t)u +2q(t)x1u + q(t)u 2 = 

=˙u + p(t)u +2q(t)x1u + q(t)u 2 . 

Stąd wynika, że u(t) spełnia równanie 

˙u + p(t)u +2q(t)x1(t)u + q(t)u 2 =0. 

Jest to równanie Bernoulliego z wykładnikiem 2 i jako takie można je rozwiązać 

analitycznie. Oczywiście powstaje pytanie, w jakim stopniu metoda ta 

jest skuteczna, tzn. jak można znaleźć szczególne rozwiązanie x1(t). Prawda 

jest taka, że rozwiązanie x1(t) należy zgadnąć. Kedy jednak uda nam się 

odgadnąć jedno rozwiązanie, wtedy przedstawiona metoda postępowania 

pozwala znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania. 

6.5 Równanie Clairauta † 

Równanie postaci 

x = t ˙x + f(˙x), (6.9) 

gdzie o ˙x i f zakładamy różniczkowalność w pewnych przedziałach nazywamy 

równaniem Clairauta. Różniczkując obie strony równania (6.9) mamy 

˙x =˙x + t¨x + f ′ (˙x)¨x, 

skąd 

¨x(t + f ′ (˙x)) = 0. 

Należy zatem rozpatrzyć dwa przypadki ¨x =0lub t + f ′ (˙x) =0. Jeżeli 

¨x =0to ˙x = C i po podstawieniu do równania (6.9) mamy 

x = Ct + f(C). 


Jeśli natomiast t + f ′ (˙x) = 0 to rozwiązanie otrzymujemy jako rodzinę 

krzywych parametrycznych w postaci (t, x) danych układem 

traktując ˙x jako parametr. 

t = −f ′ (˙x) 

x = t ˙x + f(˙x) 

6.6 Równanie Lagrange’a-d’Alamberta † 

Równaniem Lagrange’a-d’Alamberta nazywamy równanie w postaci 

x = tf(˙x)+g(˙x), (6.10) 

w którym o funkcjach f i g zakładamy, że są danymi funkcjami klasy C 1 w 

pewnym przedziale oraz f(˙x) ≡ ˙x. Poszukujemy rozwiązań równania (6.10) 

klasy C 2 . Po zróżniczkowaniu stronami mamy 

˙x = f(˙x)+tf ′ (˙x)¨x + g ′ (˙x)¨x. 

Podstawiając ˙x = p i ¨x =˙p mamy przy założeniu tf ′ (p)+g ′ (p) = 0 

p − f(p) 

˙p = 

tf ′ (p)+g ′ . (6.11) 

(p) 

Jeśli licznik p − f(p) jest równy 0 przy wartościach p1,p2,...,pk to przedział 

zmienności p rozbijamy na rozłączne przedziały nie zawierające owych 

punktów. W każdym z nich pochodna ˙p zachowuje stały znak, co oznacza że 

funkcja p jest ściśle monotoniczna. Istnieje zatem funkcja odwrotna t = t(p) 

przy zało- 

różniczkowalna w odpowiednim przedziale. Ponieważ dt 

dp 

=1/ dp 

dt 

żeniu dp 

dt = 0, które mamy spełnione, to traktując równanie (6.11) jako 

równanie funkcji t w zależności od zmiennej p mamy równanie 

dt 

dp − f ′ (p) 

p − f(p) t = g′ (p) 

p − f(p) 

bedące równaniem liniowym.


6.7 Zadania 

1. Rozwiązać równania 

(a) t ˙x − 2x =4t 4 

(b) (2t +1)˙x =4t +2x 

(c) tx + et − t ˙x =0 

(d) (2x + y)dy = ydx +4lnydy 

2. Rozwiązać podane równania, sprowadzając je do postaci liniowej 

(a) xdx =(x2− 2y +1)dy 

(b) t(ex − ˙x) =2 

(c) (t 2 − 1) ˙x sin x +2t cos x =2t − 2t 3 

3. Rozwiązać równania 

(a) t 2 ˙x + tx + t 2 x 2 =4 

(b) 3˙x + x 2 + 2 

t 2 =0 

(c) ˙x − 2tx + x 2 =5− t 2 

66 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA LINIOWE SKALARNE

Rozdział 7 

Liniowe równania rzędu 

drugiego 

7.1 Zagadnienie 

W wielu zagadnieniach, nie tylko fizycznych, mamy do czynienia z równaniami 

rzędów wyższych niż jeden. Przypomnijmy, że druga pochodna pewnej 

wielkości określa szybkość zmiany tej wielkości. W zastosowaniach traktowana 

jest ona jako informacja o przyspieszeniu. Interesować będą nas równania 

liniowe. 

Definicja 7.1.1 Równaniem liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie 

postaci: 

¨x + p(t)˙x + q(t)x = r(t). (7.1) 

Gdy r(t) ≡ 0, wówczas równanie (7.1) nazywamy równaniem jednorodnym, 

w przeciwnym wypadku równanie to nazywamy równaniem niejednorodnym. 

Dowody istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań liniowych drugiego 

rzędu na razie pominiemy. Zostaną one zaprezentowane, gdy będziemy w 

posiadaniu narzędzi z obszaru układów równań liniowych pierwszego rzędu. 

Jak pamiętamy z rozdziału 2, każde równanie rzędu wyższego niż pierwszy 

można rozłożyć na układ równań rzędu pierwszego. 

67 

68 ROZDZIAŁ 7. LINIOWE RÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO 

Podobnie jak w przypadku równań liniowych rzędu pierwszego, również 

w tym przypadku możemy spojrzeć na zagadnienie w sposób geometryczny. 

W rozdziale szóstym doszliśmy do wniosku, że rozwiązanie niejednorodnego 

równania liniowego wyraża się jako warstwa afiniczna rozwiązania zagadnienia 

jednorodnego. Również w tym przypadku dowolne ϕ - rozwiązanie 

równania (7.1) może zostać przedstawione jako suma ϕc - jednego ustalonego 

rozwiązania zagadnienia (7.1) oraz ˜ϕ - dowolnego rozwiązania zagadnienia 

jednorodnego, stowarzyszonego z (7.1) 

¨x + p(t)˙x + q(t)x =0. (7.2) 

Zapisując powyższe wnioski przy użyciu języka algebry liniowej możemy 

stwierdzić że zagadnienie (7.1) jest w istocie poszukiwaniem przeciwobrazu 

elementu r(t) ∈ C0 przy przekształceniu liniowym L(x) =¨x+p(t)˙x+q(t)x. 

Ponieważ porzuciliśmy świat skończenie wymiarowy przenosząc się w 

przestrzenie funkcyjne, które ze swej natury są przestrzeniami o nieskończonej 

liczbie wymiarów, potrzebne jest nam zdefiniowanie pojęcia liniowej 

niezależności układu wektorów będace wygodniejszym w użyciu niż stosowane 

dotychczas. Pojęcie to zostanie wprowadzone w nieco nietypowy sposób. 

Niech x1(t) i x2(t) będą dwoma różnymi rozwiązaniami zagadnienia jednorodnego 

(7.2). Z liniowości wynikać powinno że dla dowolnych skalarów 

c1 i c2 funkcja postaci c1x1(t) +c2x2(t) także jest rozwiązaniem równania 

(7.2). W ogólności stwierdzenie to jest jednak nieprawdziwe. 

Stwierdzenie 7.1.2 Niech x1(t) i x2(t) będą dwoma różnymi rozwiązaniami 

zagadnienia jednorodnego (7.2) określonymi na przedziale [a, b]. Funkcja 

postaci c1x1(t)+c2x2(t) jest rozwiązaniem równania (7.2) wtedy i tylko wtedy, 

gdy 

 

 

x1(t) x2(t) 

∀t∈[a,b] det 

= 0. (7.3) 

˙x1(t) ˙x2(t) 

Dowód. (na razie pomijamy) Warunek 7.3 pozwala nam sformułować 

następującą definicję 

Definicja 7.1.3 Układ funkcji (x1(t),x2(t)) nazwiemy liniowo niezależnym 

gdy spełniony jest warunek 7.3.

7.2. RÓWNANIA O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 69 

Macierz występującą w sformułowaniu warunku 7.3 nazywamy macierzą 

Wrońskiego, jej wyznacznik zaś wrońskianem. 

Rozważając operator L możemy stwierdzić, że zagadnienia (7.1) i (7.2) 

można sformułować jako rozwiązywanie zagadnień L(x) =r(t) i L(x) =0. 

Podobnie do twierdzenia 6.2.3 możemy sformułować następujące twierdzenie. 

Twierdzenie 7.1.4 Niech dany będzie operator liniowy L : C 2 → C 0 zadany 

wzorem L(x) =¨x + p(t)˙x + q(t)x. Wówczas 

1. Jądro operatora L jest dwuwymiarowe, jego bazę stanowią liniowo niezależne 

funkcje x1(t) i x2(t). 

2. Jeśli xc(t) jest rozwiązaniem równania L(x) =r(t), tojegoogólne 

rozwiązanie wyraża się wzorem c1x1(t)+c2x2(t)+xc(t) gdzie c1,c2 ∈ 

R. 

Dowód. (na razie pomijamy) 

7.2 Równania o stałych współczynnikach 

Niestety nie potrafimy rozwiązywać równań liniowych rzędu drugiego w 

ogólności jaką prezentuje postać 7.1. Jesteśmy jednak w stanie podać jego 

rozwiązania w przypadku, gdy funkcje p(t) i q(t) są funkcjami stałymi. 

Do takich równań ograniczymy się w daleszej cześci rozważań. 

Rozpatrzmy równanie w postaci 

¨x + a ˙x + bx = r(t), (7.4) 

gdzie a, b ∈ R. Gdy rozpatrywaliśmy jednorodne równanie liniowe rzędu 

pierwszego, ogólna postać jego rozwiązania miała formę e λt .Sprawdźmy, 

czy podobne rozumowanie będzie miało rację bytu także w obecnej sytuacji. 

Podstawmy x(t) =e λt do równania (7.4). Mamy wówczas 

(λ 2 + aλ + b)e λt =0 


skąd jako wniosek możemy wyciągnąć 

λ 2 + aλ + b =0. (7.5) 

Wielomian stanowiący lewą stronę równania nazywamy wielomianem charakterystycznym 

równania (7.4). Pochodzenie nazwy stanie się jasne w teorii 

układów równań rzedu pierwszego. Rozpatrzmy dwa przypadki. 

1. ∆ = 0. Istnieją wówczas λ1,λ2 - dwa różne pierwiastki równania (7.5). 

Bezpośrednim rachunkiem można w łatwy sposób sprawdzić, że odpowiadające 

im funkcje eλ1t i eλ2t stanowią układ liniowo niezależny. Rozwiązanie 

ogólne zagadnienia niejednorodnego ma zatem postać 

x(t) =xc(t)+c1e λ1t + c2e λ2t 

Można sobie teraz zadać pytanie, co stanie się w wypadku, gdy pierwiastki 

λ1 i λ2 są dwoma sprzeżonymi pierwiastkami zespolonymi1 .Niestanowito 

jednak wielkiego problemu, gdyż można posłużyć się następującym trickiem. 

Jak wiemy każdą liczbę zespolona można zapisać w postaci z = eα+iϕ gdzie 

eα jest moduem a ϕ argumentem. Inaczej z = eα (cos ϕ + i sin ϕ). Stąd,dla 

λ1 = α + iβ oraz sprzeżonego do λ1 pierwiastka λ2, mamy poniżesz wyrażenia. 

e λ1t = e αt (cosβt + i sin βt) 

e λ2t = e αt (cosβt − i sin βt) 

Przekształcając otrzymamy 

e αt cos βt = 1 

2 (eλ1t + e λ2t ) e αt sin βt = 1 

2 (eλ1t − e λ2t ) 

Teraz jesteśmy w stanie rozwiązanie zapisać jako kombinację funkcji rzeczywistych 

x(t) =xc(t)+c1e αt sin βt + c2e αt cos βt. 

Geometrycznie odpowiada to zamianie bazy przestrzeni C traktowanej jako 

przestrzń liniowa nad R z kanonicznej {1,i} na skośną do niej. 

1 Podkreślmy że rozpatrujemy warunek ∆ = 0, w szczególności ∆ < 0.

7.2. RÓWNANIA O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 71 

1. ∆=0. W tym przypadku mamy jeden pierwiastek podwójny λ. Pierwszym 

wektorem rozpinającym jądro operatora tworzącego równanie będzie 

zatem e λt . Poszukujemy drugiego wektora rozpinającego jądro, liniowo niezależnego 

z pierwszym. Posłużymy się metodologią podobną do znajdowania 

rozwiązań równań liniowych niejednorodnych. Załóżmy, ze drugi wektor ma 

postać u(t)e λt . Podstawmy tę postać do równania jednorodnego 

Otrzymamy wówczas 

¨x + a ˙x + bx =0 

üe λt +2˙uλe λt + uλ 2 e λt + aλe λt u + a ˙ue λt + bue λt =0 

Po uporządkowaniu i podzieleniu przez e λt mamy 

ü +(2λ + a) ˙u +(λ 

 

=0 

2 + aλ + b) u =0 

 

=0 

Zerowanie sie obu pokreślonych czynników wynika z założeń narzuconych 

na λ. Drugi czynnik zeruje się, gdyż λ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, 

zerowanie się pierwszego czynnika wynika z faktu, że λ 

jest pierwiastkiem podwójnym. Ostatecznie zatem mamy 

skąd 

ü =0 

u(t) =c1t + c2. 

Drugim szukanym wektorem z bazy jądra operatora L jest (c1t + c2)e λt ,co 

po redukcji o c2e λt iskalowaniuprzez1/c1 daje nam te λt . 

Bezpośredni rachunek pokazuje liniową niezależność układu (e λt ,te λt ). 

Dowolne rozwiązanie zagadnienia niejednorodnego ma zatem postać 

x(t) =xc(t)+c1e λt + c2te λt . 

Dalsze związki prezentowanych tutaj metod z geometrią skończenie wymiarową 

staną się widoczne w momencie, gdy zaczniemy zajmować się układami 

równań pierwszego rzędu. 


7.3 Zadania 

1. Rozwiąż poniższe równania 

(a) ¨x +˙x − 2x =0 

(b) ¨x − 4˙x +5x =0 

(c) ¨x − 2˙x + x =0 

2. Rozwiąż poniższe równania 

(a) ¨x − x =2e t − t 2 

(b) ¨x +˙x − 2x =3te t 

(c) ¨x + x =4sint

Rozdział 8 

Układy równań liniowych 

8.1 Zagadnienie 

Jak stwierdziliśmy w rozdziale drugim, równania różniczkowe rzędów wyższych 

niż jeden można przeformułować na wielowymiarowe zagadnienie niższego 

rzędu. Odbywa się to kosztem wektoryzacji równania, co oznacza że 

zamiast rozwiązywać równanie skalarne, rozwiązujemy układ takich równań. 

Możemy postępowanie to interpretować jako rozwiązywanie pojedyńczego 

równania, którego rozwiązaniem jest funkcja wektorowa. 

W rozdziale tym zajmować się będziemy układami równań liniowych. 

Dalej rozważać będziemy tylko układy pierwszego rzędu (por. rozdział drugi). 

Układ taki ma postać 

˙x = A(t)x + f(t). (8.1) 

Za warunek początkowy przyjmiemy 

x(t0) =x0. (8.2) 

Równanie (8.1) wygląda w zasadzie tak samo jak równanie (6.2) z tą tylko 

różnicą, że w równaniu (8.1) funkcja x(t) jest funkcją o wartościach wektorowych 

w przestrzeni Rm . 

x(t) =(x1(t),x2(t),...,xm(t)). 

73 

74 ROZDZIAŁ 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 

Analogicznie funkcja f(t) jest funkjcą wektorową o wartościach w Rm .Funkcja 

A(t) jest macierzą m × m 

⎡ 

⎢ 

A(t) = ⎢ 

⎣ 

a11(t) 

a21(t) 

. 

a12(t) 

a22(t) 

. 

... 

... 

. .. 

a1m(t) 

a2m(t) 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

am1(t) am2(t) ... amm(t) 

Wiele własności udowodnionych dla zagadnień postaci (6.2) przenosi się na 

zagadnienia rozpatrywane obecnie. 

Twierdzenie 8.1.1 Jeśli funkcje A(t) i f(t) są ciągłe dla t ∈ (a, b), to 

przez każdy punkt zbioru Q =(a, b)×R m przechodzi dokładnie jedna krzywa 

całkowa równania (8.1). Maksymalnym przedziałem istnienia rozwiązania 

jest przedział (a, b). 

Dowód. Dowód twierdzenia przebiega analogicznie do dowodu twierdzenia 

6.2.2. Różnica polega na zastąpieniu modułu |·|normą ·. 

Podobnie jak w przypadku równań skalarnych pewną szczególną rolę odgrywają 

przypadki gdy w zagadnieniu (8.1) funkcja f ≡ 0. Mamy wówczas 

do czynienia z zagadnieniem jednorodnym. Z jednoznaczności rozwiązania 

gwarantowanej przez twierdzenie 8.1.1 wynika następujący wniosek. 

Wniosek 8.1.2 Jeśli x(t) jest rozwiązaniem zagadnienia jednorodnego 

˙x = A(t)x 

i x(t0) =0dla pewnego t0 ∈ (a, b), tox≡ 0. 

Prawdziwe jest także twierdzenie analogiczne to spotkanego wcześniej podczas 

rozważania równań skalarnych, opisujące geometryczną naturę przestrzeni 

rozwiązań. 

Twierdzenie 8.1.3 Prawdziwe są następujące stwierdzenia: 

1. Rozwiązania równania jednorodnego tworzą m-wymiarową przestrzeń 

liniową E.

8.1. ZAGADNIENIE 75 

2. Jeśli xc(t) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, 

a wektory xi(t) i =1, 2,...,m są bazą przestrzeni E, to rozwiązanie 

ogólne równania niejednorodnego ma postać 

gdzie ci ∈ R. 

x(t) =xc(t)+c1x1(t)+...+ cmxm(t), 

Dowód. NiechE będzie zbiorem wszystkich rozwiązań równania jednorodnego. 

Niech x1(t),x2(t) ∈E. Wtedy łatwo sprawdzić, że 

x(t) =c1x1(t)+c2x2(t) ∈E. 

Wobec tego E jest przestrzenią liniową. Udowodnimy teraz, że dim E = m. 

Niech t0 ∈ (a, b) i zdefiniujmy odwzorowanie L : x(t) ↦→ x(t0) =x0 ∈ Rm . 

Odwzorowanie L jest oczywiście liniowe. Ponieważ na mocy twierdzenia 

8.1.1 istnieje rozwiązanie dla dowolnych danych początkowych, to odwzorowanie 

to jest epimorficzne. Dalej, ze względu na wniosek 8.1.2 jądro tego 

odwzorowania składa się tylko z wektora zerowego. Odwzorowanie L jest 

zatem monomorficzne. Ustaliliśmy zatem izomorfizm między E a Rm .Udowodniliśmy 

punkt 1) twierdzenia. Punktu 2) dowodzi się analogicznie jak 

to ma miejsce w przypadku równań skalarnych. 

Załóżmy teraz, że mamy jakąś bazę przestrzeni E, złożonej z rozwiązań 

równania jednorodnego. Baza ta składa się z funkcji x1(t),x2(t),...,xm(t). 

Zbudujmy z tych funkcji macierz X(t), tak aby kolejne xi(t) stanowiły kolumny 

macierzy X(t). Macierz X spełnia równanie macierzowe 

˙X = A(t)X. (8.3) 

Wynika to z faktu, że kolumny macierzy spełniają to równanie. Co więcej, 

można zauważyć że jeśli pewna macierz X spełnia to równanie, wówczas jej 

kolumny także spełniają równanie analogiczne. 

Dla dalszego toku rozumowania niezbędne jest poniższe twierdzenie. 


Twierdzenie 8.1.4 Niech X(t) będzie macierzą m × m spełniającą równanie 

(8.3) w przedziale (a, b). Zdefiniujmy 

∆(t) =detX(t). 

Dla każdego t i każdego t0 z przedziału (a, b) zachodzi 

∆(t) =∆(t0)exp 

t 

t0 

trA(s)ds. 

Dowód. NiechA(t) =[aij(t)] oraz X(t) =[x j 

i (t)]. Z prawa różniczkowania 

wyznacznika mamy 

 

 

˙x 

 

 

˙∆(t) = 

 

 

 

 

1 1 ˙x 2 1 ... ˙x m 1 

x1 2 x2 2 ... xm 

 

x 

 

2 

 

. 

. . .. + ...+ 

 

. 

 

 

1 1 x2 1 ... xm 1 

x1 2 x2 2 ... xm 

 

 

 

2 

 

. 

. . .. . 

. 

 

 

x 1 m x 2 m ... x m m 

˙x 1 m ˙x 2 m ... ˙x m m 

Równanie (8.3 zapisane w postaci składowych macierzy X(t) ma postać 

˙x j 

i = 

m 

k=1 

aikx j 

k . 

Korzystając z tych wyrażeń, otrzymujemy 

 

 

a11x 

 

 

˙∆(t) = 

 

 

 

 

1 1 a11x2 1 ... a11xm x 

1 

1 2 x2 2 ... xm . . 

. .. 

 

 

 

 

2 

 

+...+ 

 

 

. 

 

 

x 1 m x 2 m ... x m m 

czyli 

˙∆(t) =∆(t)trA(t). 

Całkujemy to równanie i otrzymujemy 

∆(t) =∆(t0)exp 

t 

t0 

x1 1 x2 1 ... xm 1 

x1 2 x2 2 ... xm 2 

. 

. . .. . 

ammx1 m ammx2 m ... ammxm 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 

trA(s)ds, 

co należało pokazać. 

Z powyższego twierdzenia nasuwa się od razu następujący wniosek. 

,

8.1. ZAGADNIENIE 77 

Wniosek 8.1.5 Jeśli ∆(t0) = 0w pewnym punkcie t0 ∈ (a, b), to∆(t) = 0 

dla każdego t ∈ (a, b). 

Definicja 8.1.6 macierz kwadratowa X(t) owymiarzem × m spełniająca 

równanie ˙ X = A(t)X nazywa się macierzą fundamentalną układu ˙x = 

A(t)x. Wektoryx1(t),x2(t),...,xm(t) będące jej kolumnami nazwiemy fundamentalnym 

układem rozwiązań. Wyznacznik ∆(t) nazywa się wtdy wyznacznikiem 

Wrońskiego 1 układu funkcji x1(t),x2(t),...,xm(t). 

Zauważmy, że jeśli wyznacznik wrońskiego jest różny od zera w jakimś 

punkcie przedziału, to jest on różny od zera w każdym punkcie tego przedziału. 

Powiemy wówczas, że funkcje tworzące układ fundamentalny są liniowo 

niezależne. Stąd wynika łatwy sposób konstruowania układu fundamentalnego. 

Twierdzenie 8.1.7 Każde liniowe równanie jednorodne postaci ˙x = A(t)x 

ma układ fundamentalny. 

Dowód. Wybieramy m liniowo niezależnych wektorów w Rm : x1 0 ,x20 ,...,xm0 i rozwiązujemy równanie ˙x = A(t)x kolejno z warunkami x(t0) =xi 0 . Otrzymane 

rozwiązania xi (t) tworzą układ fundamentalny. 

Zajmiemy się teraz równaniem niejednorodnym. Podobnie jak w przypadku 

równań skalarnych, także tutaj możliwa jest metoda uzmiennienia 

stałej (wariacji parametru). 

Twierdzenie 8.1.8 Niech dane będzie zagadnienie początkowe dla równania 

niejednorodnego 

˙x = A(t)x + f(t) x(t0) =x0. 

Rozwiązanie tego zagadnienia ma postać 

x(t) =X(t)X −1 (t0)x0 + X(t) 

t 

t0 

X −1 (s)f(s)ds, 

gdzie X(t) jest macierzą fundamentalną układu jednorodnego. 

1 Wyznacznik Wrońskiego określa się także mianem "wrońskian". 


Dowód. Niechx1(t),...,xm(t) będą układem fundamentalnym rozwiązań 

równania jednorodnego. Wtedy każde rozwiązanie zagadnienia jednorodnego 

można zapisać jako kombinację 

x(t) =c1x1(t)+...+ cmxm(t). 

Rozwiązania szukamy więc w postaci 

x(t) =c1(t)x1(t)+...+ cm(t)xm(t). 

Niech X(t) będzie macierzą fundamentalną, której kolumnami są wektory 

xi(t), 

C(t) =(c1(t),c2(t),...,cm(t)). 

Wtedy poszukiwane rozwiązanie można zapisać w prostszej formie jako 

x(t) =X(t)C(t). Po podstawieniu tego wyrażenia do równania mamy 

˙X(t)C(t)+X ˙ C(t) =A(t)X(t)C(t)+f(t). 

Ponieważ X(t) spełnia równanie jednorodne to mamy 

X(t) ˙ C(t) =f(t). 

Macierz fundamentalna jest macierzą nieosobliwą zatem istnieje X−1 (t) i 

ostatnie równanie przyjmuje postać 

˙C(t) =X −1 (t)f(t). 

Całkujemy to równanie, skąd otrzymujemy 

C(t) =C(t0)+ 

t 

t0 

X −1 (s)f(s)ds. 

Jeśli ma być spełniony warunek początkowy, to 

X(t0)C(t0) =x0, 

czyli 

C(t0) =X −1 (t0)x0. 

Wtedy 

C(t) =X −1 t 

(t0)x0 + X 

t0 

−1 (s)f(s)ds. 

Mnożymy ostatnią równość przez X(t) i otrzymujemy tezę twierdzenia.

8.2. UKŁADY O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 79 

8.2 Układy o stałych współczynnikach 

Zajmując się równaniem liniowym skalarnym drugiego rzędu powiedzieliśmy, 

że nie potrafimy rozwiązywać owego zagadnienia w przypadku, gdy 

współczynniki równania nie są stałe. W dalszym ciągu zajmować będziemy 

się zatem układami równań pierwszego rzędu o stałych współczynnikach. 

Dla układów takich istnieją skuteczne metody całkowania. 

Rozważmy układ jednorodny 

˙x = Rx, (8.4) 

gdzie R jest stałą macierzą o wymiarze m × m, oraz warunek początkowy 

x(t0) =x0. (8.5) 

Gdyby równanie (8.4) było równaniem skalarnym, to rozwiązanie zagadnienia 

Cauchy’ego miałoby postać x(t) =x0e R(t−t0) . Będziemy starali się 

pokazać, że identyczny wzrów zachodzi także dla równania wektorowego. 

Zanim jednak to nastąpi musimy zdefiniować obiekt e A gdzie A jest macierzą. 

Definicja 8.2.1 Jeśli A jest macierzą kwadratową m×m, toeA definiujemy 

jako sumę szeregu 

e A = I + A + 1 

2! A2 + 1 

3! A3 + ...+ 1 

n! An + ..., (8.6) 

gdzie An traktujemy jako n-krotne złożenie operatora A ze sobą. 

Jeśli norma operatora A jest ograniczona (w przestrzeniach skończenie wymiarowych, 

czyli takich w których się poruszamy, operatory liniowe jako 

przekształcenia ciągłe mają normę ograniczoną) to z ograniczenia owego 

wynika zbieżność powyższego szeregu. 

Przykład 1. Obliczymy eA dla macierzy 

⎡ ⎤ 

1 1 0 

⎢ ⎥ 

A = ⎣ 0 1 0 ⎦ 

0 0 2 


Rozłóżmy macierz A na sumę A = AD + B gdzie 

⎡ 

1 

⎢ 

AD = ⎣ 0 

0 

1 

⎤ 

0 

⎥ 

0 ⎦ 

⎡ 

0 

⎢ 

B = ⎣ 0 

1 

0 

⎤ 

0 

⎥ 

0 ⎦ 

0 0 2 

0 0 0 

Ponieważ dla macierzy AD i B iloczyn ADB jest przemienny to z wzoru 

(8.6) wynika, że 

e A = e AD+B = e AD e B 

Bezpośredni rachunek połączony z odrobiną spostrzegawczości daje 

e AD ⎡ 

e 

⎢ 

= ⎣ 0 

0 

e 

0 

0 

0 0 e2 ⎤ 

⎥ 

⎦ 

Aby obliczyć pozostałą część, czyli e B , posłużymy się obserwacją że macierz 

B jest w istocie elementem nilpotentnym pierścienia macierzy. Nilpotentność 

oznacza istnienie takiego n ∈ N że B n =0. Rzeczywiście B 2 =0. Bezpo- 

średni rachunek daje 

Ostatecznie mamy 

e B ⎡ 

1 

⎢ 

= ⎣ 0 

1 

1 

⎤ 

0 

⎥ 

0 ⎦ . 

0 0 1 

⎡ 

e A = e AD e B ⎢ 

= ⎣ 

e 

0 

e 

e 

0 

0 

0 0 e2 ⎤ 

⎥ 

⎦ 

Należy tu zwrócić szczególną uwagę na fakt, że na poprawność powyższego 

rozumowania istotny wpływ ma przemienność macierzy AD oraz B. 

Biorąc dwa operatory rzutowe na dwie różne podprzestrzenie liniowe (jest jasne że operatory 

takie nie komutują ze sobą, inaczej nie są ze sobą przemienne) otrzymamy różne 

wyniki biorąc e A e B oraz e B e A . 

Możemy teraz sformułować podstawowe twierdzenie.


Twierdzenie 8.2.2 Macierzą fundamentalną równania (8.5) jest exp(Rt). 

Dowód. Korzystając ze wzoru (8.6) liczymy pochodną macierzy 2 exp(Rt) 

d 

dteRt = d 

1 

dt (I + Rt + 2! R2t2 + ...+ 1 

n! Rntn + ...)= 

= R + R2t2 + 1 

2! R3t2 + ...+ 1 

(n−1)! Rnt (n−1) = 

= R(I + Rt + 1 

2! R2t2 + ...+ 1 

(n−1)! R(n−1) t (n−1) + ...)=ReRt Oznacza to, że X(t) =e Rt spełnia równanie 

˙X = RX. 

Wobec uwag w poprzedniej sekcji, macierz X jest więc macierzą fundamentalną 

układu (8.4). 

Zajmiemy się teraz problemem znajdowania macierzy fundamentalnej 

dla układu zadanego dowolną macierzą. Jeśli R jest macierzą diagonalną, 

tzn. ma postać 

⎡ 

λ1 

⎢ 0 

R = ⎢ 

⎣ . 

0 

λ2 

. 

... 

... 

. .. 

0 

0 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

0 0 ... λm 

to z wzoru (8.6) wynika, że 

e Rt ⎡ 

e 

⎢ 

= ⎢ 

⎣ 

λ1t 0 

0 

e 

... 0 

λ2t . . 

... 

. .. 

0 

. 

0 0 ... eλmt ⎤ 

⎥ 

⎦ 

Jeśli macierz R nie jest w postaci diagonalnej, to posłużymy się znanym 

z algebry liniowej rozkładem Jordanowskim przestrzeni na podprzestrzenie 

niezmiennicze. Wiadomo, że macierz R jest rzeczywista. Będziemy ją 

2 

Uwaga: korzystamy tu z twierdzenia o różniczkowaniu jednostajnie zbieżnego szeregu 

funkcyjnego wyraz po wyrazie! 


traktować jako przekształcenie R : Cm → Cm . Na mocy tw. Jordana istnieje 

nieosobliwe przekształcenie Q, takieżeQ−1RQ = J, przy czym J jest 

macierzą w kanonicznej postaci Jordana 

⎡ 

J1 

⎢ 0 

J = ⎢ 

⎣ . 

0 

J2 

. 

... 

... 

. .. 

0 

0 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

0 0 ... Jj 

gdzie każda z klatek Ji jst klatką diagonalną albo klatką w postaci 

⎡ 

λi 

⎢ 0 

⎢ 

Ji = ⎢ . 

⎢ 

⎣ 0 

1 

λi 

. 

0 

0 

1 

. 

0 

... 

... 

. .. 

... 

0 

0 

. 

1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

0 0 0 ... λi 

(8.7) 

Przestrzeń Cm rozpada się na sumę prostą przestrzeni Hi o tej własności, 

że każda Hi jest niezmiennicza dla J i J ma w Hi wektor własny o wartości 

własnej λi. Z blokowej postaci macierzy J wynika że 

e Jt ⎡ 

e 

⎢ 

= ⎢ 

⎣ 

J1t 0 

0 

e 

... 0 

J2t . . 

... 

. .. 

0 

. 

0 0 ... eJjt ⎤ 

⎥ 

⎦ 

Wystarczy zatem skonstruować e Jit . Jeśli macierz Ji jest diagonalna, to 

wiemy jak konstruować funkcję wykładniczą. Jeśli natomiast Ji ma postać 

(8.7) to postępujemy następująco. Rozkładamy Ji na sumę 

Ji = λiIk + Kk, 

gdzie indeksem k oznaczono wymiar przestrzeni niezmienniczej Hi. Oczywiście 

macierze Ik i Kk są przemienne zatem 

e Jit = e λit Ike Kkt .


Oznacza to, że wystarczy znaleźć e Kkt . Obliczając kolejne potęgi macierzy 

Kk przekonujemy się, że jest ona macierzą nilpotentną. Bezpośrednim 

rachunkiem możliwym do wykonania w warunkach domowego zacisza otrzy- 

mujemy 

e Kkt ⎡ 

1 0 0 ... 0 

⎢ t 1 0 ... 0 

⎢ t 

= ⎢ 

⎣ 

2 

⎤ 

⎥ 

2 t 1 ... 0 ⎥ 

. ⎥ 

. . . .. . ⎥ 

⎦ 

t k−1 

(k−1)! 

t k−2 

(k−2)! 

t k−3 

(k−3)! ... 1 

Stąd zaś otrzymujemy e Jit a następnie exp(Jt). Mając tę ostatnią funkcję i 

przekształcenie Q, które sprowadza R do postaci Jordana, zauważamy że 

R n = QJ n Q −1 

co łatwo pokazać przy użyciu indukcji. Korzystając z tej równości, otrzymujemy 

exp(Rt) =Q exp(Jt)Q −1 , 

skąd można znaleźć macierz fundamentalną exp(Rt). 

Widać, że uciążliwa procedura obliczania szeregów nieskończonych została 

zastąpiona rachunkiem zamiany bazy z kanonicznej na bazę Jordana. 

Powoduje to jednak kłopoty związane ze znaelzieniem macierzy transformacji 

bazy. Jak więc postępować w praktyce chcąc wyznaczyć macierz fundamentalną 

układu (8.4)? 

Mając macierz R, znajdujemy przede wszystkim jej wartości własne. Jak 

wiadomo z kursu alegebry liniowej są to pierwiastki wielomianu charakterystycznego 

det(R − λI) =0 

Każdy pierwiastek tego wielomianu jest wartością własną operatora R i 

odpowiada mu jakiś wektor własny. Nie ma tu jednak wzajemnie jednoznacznej 

odpowiedniości, gdyż pierwiastki mogą być wielokrotne, a odpowiadające 

im wartości własne mogą mieć mniejszą krotność, czyli mniejszą 

liczbę odpowiadających im wektorów własnych. 


Jeśli jakiś λi jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to jest 

jednocześnie wartością własną macierzy R. Oznacza to, że po sprowadzeniu 

macierzy R do postaci Jordana jest kolumna, w której λi występuje w 

miejscu przecięcia diagonali z tą właśnie kolumną, a pozostałe elementy kolumny 

są zerowe. Jeśli macierz Jordana jest diagonalna, to jest to oczywiste. 

Jeśli klatka Jordana ma postać (8.7) to kolumną tą jest pierwsza kolumna 

macierzy J zawierająca element λi. Oznacza to, że wektor x(t) =e λit vi dla 

pewnego stałego wektora vi jest rozwiązaniem (8.4). Po wstawieniu tego 

rozwiązania x(t) do (8.4) otrzymujemy 

skąd po uproszczeniu mamy 

λie λit vi = Re λit vi, 

Rvi = λivi. 

Oznacza to, że wektor vi jest wektorem własnym macierzy R, odpowiadającym 

wartości własnej λi. Powyższa obserwacja pozwala rozwiązać problem 

wyznaczenia macierzy fundamentalnej w przypadku, gdy wszystkie wartości 

własne są parami różne. Mamy wtedy m pierwiastków λ1,λ2,...,λm i 

m odpowiadających im wektorów własnych v1,v2,...,vm . Z kursu algebry 

liniowej wiemy, że wektory vi są liniowo niezależne, więc funkcje 

e λ1t v1,e λ2t v2,...,e λmt vm 

(8.8) 

tworzą bazę przestrzeni rozwiązań równania (8.4) i wyznaczają macierz fundamentalną 

exp(Rt). Należy tylko zauważyć, że dla t =0macierz exp(Rt) 

jest macierzą jednostkową. Jeśli więc wektory (8.8) wyznaczają macierz 

X(t), to aby z tej macierzy znaleźć exp(Rt) - należy przyjąć 

exp(Rt) =X(t)X −1 (0). 

Podobnie przebiega poszukiwanie macierzy fundamentalnej, gdy pierwiastki 

wielomianu charakterystycznego są jednokrotne, ale wśród nich znajdują się 

pierwiastki zespolone. Jeśli λ jest zespoloną wartością własną macierzy R, 

natomiast v odpowiadającym jej wektorem własnym, to funkcja 

x(t) =e λt v


jest oczywiście rozwiązaniem równania (8.4), ale rozwiązaniem zespolonym. 

Aby otrzymać rozwiązania rzeczywiste, uczyńmy następujące spostrzeżenie. 

Ponieważ wielomian charakterystyczny ma współczynniki rzeczywiste, więc 

pierwiastki zespolone występują parami jako sprzężone liczby zespolone. 

Niech λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ będą taką parą wartości własnych macierzy 

R. Niechv1 = u + iw będzie wektorem własnym odpowiadającym wartości 

własnej λ1. 

λ1v1 = Rv1 

gdzie u, w są wektorami rzeczywistymi. Wtedy wektorem własnym odpowiadającym 

wartości własnej λ2 jest wektor v2 = u − iv. Równości 

można zaspisać jako 

Jeśli więc 

λ1v1 = Rv1 

λ2v2 = Rv2 

(αu − βw)+i(αw + βu) =Ru + iRw 

(αu − βw) − i(αw + βu) =Ru − iRw. 

x1(t) =e λ1tv1 , x2(t) =e λ2t v2, 

to 

z1(t) = 1 

2 (x1(t)+x2(t)) = e αt (u cos βt − w sin βt) 

z2(t) = 1 

2i (x1(t) − x2(t)) = e αt (w cos βt + u sin βt) 

są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami rzeczywistymi równania (8.4). 

Przypadek pierwiastków wielokrotnych jest nieco trudniejszy. Zauważmy, 

że wystarczy ograniczyć się tylko do pierwiastków rzeczywistych. W 

przypadku wielokrotnych pierwiastków zespolonych należy przeprowadzić 

modyfikacje rozwiązań opisane powyżej. 

Niech więc λk będzie wartością własną macierzy R o krotności nk. Oczywiście 

λk jest wartością własną macierzy R. Załóżmy jednak, że λk ma νk 


wektorów własnych oraz νk

8.3. RÓWNANIA SKALARNE WYŻSZEGO RZĘDU 87 

jest rozwiązaniem równania (8.4). W algebrze liniowej dowodzi się, że wektory 

spełniające 

(R − λI)v = 0, (R − λI) 2 v =0. 

sąliniowo niezależne od wktoró, które spełniają 

(R − λI)v =0. 

Własność ta przenosi się na wyższe potęgi, co gwarantuje nam możliwość 

znalezienia wystarczającej liczby liniowo niezależnych wektorów a zatem 

wystarczającej liczby liniowo niezależnych rozwiązań równania (8.4). 

8.3 Równania skalarne wyższego rzędu 

Zajmiemy się teraz jednym równaniem liniowym rzędu m 

x (m) + pm−1(t)x (m−1) + ...+ p1(t)˙x + p0(t)x = q(t). (8.10) 

Zagadnienie Cauchy’wgo dla tego równania polega na zadaniu w chwili t0 

wartości funkcji x oraz jej pochodnych do rzędu m − 1 

x(t0) =x 0 0, ˙x(t0) =x 0 1, ...,x (m−1) (t0) =x 0 m−1. 

Jak już zostało wyjaśnione w rozdziale drugim, równanie (8.10) z warunkami 

początkowymi można sprowadzić do zagadnienia początkowego dla układu 

pierwszego rzędu. Wystarczy w tym celu zdefiniować 

xk = x (k) . 

Równanie (8.10) zmienia się wtedy w układ 

⎧ 

˙x0 = x1 

⎪⎨ 

˙x1 = x2 

. 

˙xm−2 ⎪⎩ 

˙xm−1 

= 

= 

xm−1 

−pm−1(t)xm−1 − ...− p0(t)x0 + q(t) 


a warunki początkowe stają się warunkami dla układu xk(t0) =x 0 k .Zamieniwszy 

skalarne zagadnienie wyższego rzędu na wektorowe zagadnienie 

rzędu pierwszego możemy wykorzsytać zdobyte wcześniej umiejętności i 

znajdując układ fundamentalny zagadnienia znaleźć jego rozwiązanie. W 

przypadku stałych współczynników równania postępowanie to można nieco 

uprościć. Niech będzie dane równanie jednorodne rzędu m o stałych współczynnikach 

x (m) + am−1x (m−1) + ...+ a1 ˙x + a0x =0. (8.11) 

Równanie to można sprowadzić do równania pierwszego rzędu 

˙X = RX 

gdzie 

⎛ 

⎜ 

X = ⎜ 

⎝ 

x 

˙x 

. 

x (m−1) 

⎞ 

⎟ , 

⎠ 

⎡ 

⎢ 

R = ⎢ 

⎣ 

0 

0 

. 

1 

0 

. 

0 

1 

. 

... 

... 

. .. 

0 

0 

1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−a0 −a1 −a2 ... −am−1 

Znajdujemy wielomian charakterystyczny macierzy R 

p(λ) =det(λI − R) =λ m m−1 

+ 

i=0 

aiλ i . (8.12) 

Jeśli λ0 jest pierwiastkiem wielomianu p(λ), toe λ0t jest rozwiązaniem równania 

(8.11). Jeśli więc wielomian p(λ) ma m różnych pierwiastków, to mamy 

m liniowo niezależnych rozwiązań dla (8.11). Jak pamiętamy z poprzedniej 

części, komplikacje pojawiają się przy pierwiastkach wielokrotnych. W 

przypadku równania (8.11) rozwiązanie jest jednak łatwiejsze do obliczenia 

(nie trzeba znajdować wektorów własnych). 

Twierdzenie 8.3.1 Jeśli λ0 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego 

(8.12), 1 k m, to funkcje e λ0t ,te λ0t ,...,t k−1 e λ0t są 

liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (8.11).


Dowód. Jeśli λ0 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu p(λ), to 

p(λ0) = dp 

dλ (λ0) = dk−1p dλk−1 (λ0) =0 

Niech 

L(x) ≡ x (m) + sum m−1 

i=0 aix (i) , 

tzn. L(x) jest operatorem po lewej stronie równania (8.11). Zauważmy następująca 

własność tego operatora 

L(e λt )=p(λ)e λt 

Rozważmy funkcję tieλt i poddajmy ją działaniu operatora L 

L(t i e λt )=L( ∂ieλt ∂i 

)= i 

∂λ ∂λi L(eλt )= ∂i 

∂λi (p(λ)eλt ). (8.13) 

Dla i =0, 1,...,k− 1 stosujemy wzór Leibniza do ostatniego wyrazenia w 

(8.13), otrzymujemy wtedy sumę wyrazów postaci 

Ponieważ dla j k − 1 

więc 

−t i−j ∂j p 

∂λ j (λ)eλt , j =0, 1, 2,...,i. 

∂ j p 

∂ j (λ0) =0, 

L(t i e λ0t )=0. 

Funkcje t i e λ0t są zatem rozwiązaniami równania (8.11). Liniowa niezależność 

tych funkcji wynika z liniowej niezależności wielomianów różnych stopni. 

8.4 Zadania 

1. Dla równania ˙x = Ax znaleźć macierz fundamentalną X(t), taką że 

X(0) = I, jeśli macierz A jest dana wzorem: 


 

1 

(a) 

−4 

 

−1 

1 

 

−1 

(b) 

1 

 

8 

1 

⎡ 

2 

⎢ 

(c) ⎣ −1 

1 

0 

⎤ 

−1 

⎥ 

1 ⎦ 

1 1 0 

2. Rozwiązać układ równań sprowadzając do układu rzędu pierwszego 

 

¨x1 − 2¨x2 +˙x2 + x1 − 3x2 =0 

(a) 

4¨x2 − 2¨x1 − ˙x1 − 2x1 +5x2 =0 

 

¨x1 − 2x1 +3x2 =0 

(b) 

¨x2 − x1 +2x2 =0

Wykłady z Analizy Matematycznej II

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?