ISPITIVANJE ODNOSA MEĐU POJAVAMA Dijagram rasipanja

yi
Doc. dr. Snježana Pivac
Poslovna statistika
ISPITIVANJE ODNOSA MEĐU POJAVAMA
Dijagram rasipanja
yi
• Poslovna i makroekonomska statistika često, uz analizu kretanja jedne
ekonomske pojave, imaju potrebu istražiti ovisnosti dviju ili više pojava,
odnosno numeričkih nizova, zajedno.
• Prvi korak:
Dijagram rasipanja u pravokutno
m koordinatnom sustavu točkama ( i , i ) y x prikazuje parove vrijednosti
dviju promatranih numeričkih varijabli.
xi
(a) pozitivna funckionalna
veza
xi
(a) negativna funckionalna
veza
yi
yi
(b) pozitivna statistička
veza
Veza između promatranih varijabli ne mora uvijek odgovarati jednadžbi
pravca.
xi
(b) negativna statistička
veza
xi
1

Primjer
Dijagram rasipanja vrijednosti proizvodnje u tekućim cijenama (u 000 kn) i broj
zaposlenih (u tis.) na nekom području za nekoliko vremenskih razdoblja
Vrijednost proizvodnje (u 000 kn) yi
yi
(a) pozitivna funckionalna
krivolinijska veza
320
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
100 110 120 130 140 150 160
Izvor: Podaci su simulirani
yi
xi
yi
(a) nema veze među pojavama
Broj zaposlenih (u 000) xi
• Raspored točaka dijagrama rasipanja upućuje na pozitivnu statističku vezu između
vrijednosti proizvodnje i broja zaposlenih. Između točaka može se zamisliti linija
pravca, ali sve točke ne leže na toj liniji već postoje pozitivna i/ili negativna
xi
(b) pozitivna statistička
krivolinijska veza
xi
2

odstupanja. Dakle, u ovom slučaju, porast broja zaposlenih na promatranom području
prati porast vrijednosti proizvodnje.
Koeficijent linearne korelacije
Pod pojmom korelacija podrazumijeva se međuzavisnost ili povezanost slučajnih
varijabli.
Po smjeru korelacija može biti:
• pozitivna i
• negativna.
Pozitivna korelacija je prisutna kada rast vrijednosti jedne varijable prati rast
vrijednosti druge promatrane varijable, odnosno kada pad jedne prati pad vrijednosti druge
varijable.
Negativna korelacija prisutna je kada rast jedne varijable prati pad druge varijable i
obratno.
Pearsonov koeficijent linearne korelacije (r) -najpoznatija mjera linearne korelacije
između slučajnih varijabli:
r =
ili
r
n
∑( X − X ) ⋅ ( Y −Y
)
i=
1
i
n
2
n
i
i=
1 i=
1
∑( X − X ) ⋅ ∑( Y −Y
)
n
∑ X iYi
− n ⋅ X ⋅Y
i = =1 ,
n ⋅σ
⋅σ
x
y
i
i
2
,
gdje su σ x i σ y jednostavne standardne devijacije promatranih varijabli:
n
2
∑ xi
i=
1
x =
∑ yi
2
i=
1 2
σ − X i σ y = − Y .
n
n
Kreće se u intervalu:
−1 ≤ r ≤
Ako je:
1
r = −1;
r = 1 ⇒ funkcionalna negativna/pozitivna korelacija,
−1 < r ≤ −0,
8 ; 0 , 8 ≤ r < 1 ⇒ jaka negativna/pozitivna korelacija,
n
2
− 0, 8 < r ≤ −0,
5 ; 0 , 5 ≤ r < 0,
8 ⇒ srednje jaka negativna/pozitivna korelacija,
− 0 , 5 < r < 0 ; 0 < r < 0,
5 ⇒ slaba negativna/pozitivna korelacija,
r = 0 ⇒ nema korelacije.
Primjer
Iz osnovnog skupa od 1744 industrijskih poduzeća u Splitsko-dalmatinskoj županiji
nakon odbacivanja podataka o poduzećima s 0 zaposlenih i negativnim poslovanjem, te
"outliersa" po različitim financijskim pokazateljima, u analizi je ostao uzorak veličine 316
poduzeća.
3

Zadatak je izračunati linearnu korelaciju između odabranih varijabli za poduzeća u
uzorku:
• broja zaposlenih,
• ukupnog prihoda,
• neto dobiti i
• vlastitog kapitala.
Correlations
Broj
zaposlenih
Ukupni
prihodi
Neto dobit
Broj
zaposlenih
Ukupni
prihodi
Neto dobit Vlastiti
kapital
Pear. Corr. 1 .954** .868** .302**
Sig. . .000 .000 .000
N 316 316 316 316
Pear. Corr. .954** 1 .959** .311**
Sig. .000 . .000 .000
N 316 316 316 316
Pear. Corr. .868** .959** 1 .146**
Sig. .000 .000 . .009
N 316 316 316 316
Vlastiti Pear. Corr. .302** .311** .146** 1
kapital
Sig. .000 .000 .009 .
N 316 316 316 316
** Correlation is significant at the 0.01 level (1%).
Korelacija ranga
• Ako se želi istražiti međuovisnost pojava koje su izražene
modalitetima redoslijednog obilježja, odnosno ako su im modaliteti
pridruženi na temelju ordinarne skale računa se korelacija ranga.
• Spearmanov koeficijent korelacjie ranga (rS):
N
2
6⋅
∑ di
i=
1
rS
= 1 − , 3
N − N
gdje je:
N - broj parova vrijednosti varijabli X i Y,
di = r(
xi
) − r(
yi
) - razlika rangova vrijednosti varijabli X i Y.
• Spearmanov koeficijent korelacije ranga može poprimiti vrijednosti u intervalu:
−1 ≤ S ≤ 1 r
• Kada ovaj koeficijent poprimi vrijednosti -1 i 1, riječ je o potpunoj korelaciji ranga
među varijablama.
4

• Vrijednost ovog koeficijenta 0 znači da nema nikakve korelacije ranga među
pojavama.
• Najčešće se vrijednost Spearmanovog koeficijenta kreće u rasponu −1 < r s < 1.
Primjer
Zadani su podaci za 12 studenata fakulteta "E" o bodovima na testu iz predmeta:
Matematika i Statistika.
Zadatak je izračunati Spearmanov koeficijent korelacije ranga uspjeha na
testovima.
Bodovi na testu iz Matematike i Statistike odabranih studenata fakulteta "E"
Studenti
Bodovi na testu
iz Matematike
(xi)
Bodovi na
testu iz
Statistike (yi)
Rang
r(xi)
Rang
r(yi)
Razlika
rangova
di
2
di
A 50* 45* 6,5 5 1,5 2,25
B 64 70 9 11 -2 4
C 43 45* 5 5 0 0
D 80 75 12 12 0 0
E 21 38 2 2 0 0
F 57 60 8 8 0 0
G 50* 45* 6,5 5 1,5 2,25
H 37 50 4 7 -3 9
I 10 25 1 1 0 0
J 75 68 11 10 1 1
K 65 63 10 9 1 1
L 35 40 3 3 0 0
Ukupno: - - - 0 19,5
Izvor: Podaci su simulirani.
r
S
=
N
6 ⋅ ∑d
i
i=
1 6 ⋅19,
5
− = 1−
= 0,
931818
3
N − N 12 −12
1 3
2
Spearmanov koeficijent korelacije ranga je pozitivan i iznosi 0.93. Može se zaključiti da u
ovom primjeru između uspjeha na testu iz Matematike i Statistike postoji visoka korelacija
ranga. Odnosno, ako je student postigao dobar rezultat na testu iz Matematike, može se
očekivati da će postići dobar rezultat i na testu iz Statistike i obrnuto.
5