FAM-Lekcija 3.pdf

FINANSIJSKA I AKTUARSKA
MATEMATIKA
-Eskontovanje Eskontovanje menica
-Složen interesni račun
Zimski semestar 2009/2010.
Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinović
e-mail: mcvetinovic@singidunum.ac.rs
1

Sadržaj Sad aj za a da danas as
Eskontovanje menica 1 čas
Složen interesni račun 2 časa
Vežbe 2 časa
2

Pojam oja eskontovanja
es o to a ja
• U platnom prometu dugovanja i potraživanja (menice, HOV,
krediti, i dr.), često se planirane obaveze ne izvršavaju u
ugovorenim rokovima, već kasnije ili ranije od planiranog.
• Ako se obaveza izvrši u roku, onda se plaća samo obaveza,
• Ako se obaveza izvrši posle dospeća (kasni), ( ) onda se ona
povećava za interes za period zakašnjenja,
• Ako se obaveza izvrši pre dospeća, onda se ona smanjuje za
interes perioda ranije realizacije. Ovo se naziva eskontovanje,
• Interes za koji se obaveza smanjuje naziva se eskont,
• Stopa kojom se računa interes je eskontna stopa,
• Umanjena vrednost obaveze za eskont je eskontovana
vrednost.
3

Eskontovanje menica
i prolongiranje l i j menica i
Menica je hartija od vrednosti čiji su svi bitni elementi i način
postupanja p p j strogo g regulisani g zakonskim propisima p p i služi kao
sredstvo obezbedjenja plaćanja i kao sredstvo plaćanja.
• Nominalni (menični) iznos je iznos na koji glasi menica
• Datum dospeća menice je dan kada poverilac prima nominalni
iznos menice
• Rok dospeća menice je vremenski interval do datuma dospeća
menice
4

Eskontovanje menica
i prolongiranje l i j menica i
• Eskontovanje (diskontovanje) menice predstavlja radnju primaoca
menice kojom on prodaje menicu pre roka dospeća radi
pribavljanja gotovine i rešavanja problema insolventnosti. Njih
najčešće jč šć kupuju k j banke, b k iinvesticioni ti i i fondovi, f d i penzioni, i i fondovi f d i i
osuguravajuća društva.
• Eskontovana vrednost menice: umanjena vrednost menice za
obrač obračunati nati eskont od dana eskontovanja eskonto anja do roka dospeća
• Indosiranje menice je podnošenje menice na eskontovanje, tj
prenošenje prava poverioca na neko drugo lice radi naplaćivanja
potraživanja pre ugovorenog roka
• protest menice je naplata menice putem suda
5

Eskontovanje s o to a je menica e ca
Obračun eskonta (interesa) na nominalnoj vrednosti menice:
• Interes (eskont) izračunat na nominalnu vrednost obaveze
(neumanjenu), prostim kamatnim računom od dana eskontovanja
do dana dospeća obaveze naziva se komercijalni eskont (Ek) • Interesni račun od 100:
K Knpdd
K Kn
d
I = = =
360 D
K n:I=360:pd => k
Kn : nominalna vrednost menice (menična suma)
d : broj dana
E
6

Eskontovanje s o to a je menica e ca
Obračun eskonta (interesa) na eskontovanoj vrednosti menice:
• Interes (eskont) izračunat na aktuelnu vrednost obaveze u
trenutku eskontovanja, tj. na eskontovanu vrednost obaveze,
prostim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana
dospeća obaveze naziva se racionalni eskont (Er) • Interesni račun od 100:
K 0 pd K 0d
I = = =
360 D
K 0:I=360:pd => r
K0 : eskontovana vrednost menice (nominalna vrednost
umanjena za eskont)
d : broj dana
E
7

Eskontovanje s o to a je menica e ca
Obračun eskonta (interesa) na eskontovanoj vrednosti menice:
• Interesni račun od 100:
K 0 pd K 0d
I = = =
360 D
Iz K o=K n-E r dobija se da je
Er
K
E
0
r
Kn
=
⎛ dp ⎞
⎜1+
⎝ 360 ⎠
K Kn
d
=
D + d
8

Primer:
Eskontovanje s o to a je menica e ca
Menična suma je j 300.000 dinara sa datumom dospeća p (valuta) ( )
20 marta. Eskontna stopa je 9%. Menica se podnosi na eskont
10.marta (10 dana ranije).
Izračunati eskontnu sumu menice
Obračun izvršiti
a) komercijalnom metodom
b) racionalnom metodom
9

Rešenje:
• a)
Kn=300.000 n
d=10
p=0,09
=>
Ek
300.
000*
10*
0,
09
=
360
=
750
Eskontovana vrednost = 300.000-750=299.250
Eskontovanje s o to a je menica e ca
10

Rešenje:
• b)
Kn=300.000 n
d=10
p=0,09
K
0
=
K Kn
300 300.
000
=
⎛ dp ⎞ ⎛ 10*
0,
09 ⎞
⎜1+ ⎟ ⎜1+ ⎟
⎝ 360 ⎠ ⎝ 360 ⎠
Dakle, eskontovana vrednost je 299.251,87
Eskontovanje s o to a je menica e ca
=
299.
251,
87
11

Relacije izmedju E k i E r :
• Ek = Er / (1- Knpd/360) • Er = Ek * (1- Knpd/360) Eskontovanje s o to a je menica e ca
12

Reeskont
i prolongiranje l i j menica i
Reeskont: Eskontovana menica da se eskontuje kod drugog
subjekta (banke npr.)
Banka koja daje menicu u reeskont mora istu da iskupi o roku:
isplatom ili zamenom sa novom menicom.
Prolongiranje menice je procedura kojom se jedna menica
zamenjuje drugom sa kasnijim datumom dospeća.
13

Primer:
Reeskont
i prolongiranje l i j menica i
Dužnik želi da plati dug od 600.000 dinara sa rokom 16.05. Dug
izmiruje davanjem jedne menice od 200.000 sa rokom 15.07. , i
druge g menice od 100.000 sa rokom 14.08.
Izračunati na koju sumu treba da glasi treća menica sa rokom
03.09. da bi dužnik isplatio ukupni dug.
Eskontna stopa je 6%
14

=>
Rešenje:
Reeskont
i prolongiranje l i j menica i
Iznos Rok Broj j dana Kam.brojj
200,000 15.07 60 12,000,000
100,000 14.08 90 9,000,000
??? 3.09 110 ???
Kam.broj poznatih menica (K*d) = 21.000.000
D=360/0.06=6.000
Eskont poznatih menica = 21.000.000/6.000 = 3.500 dinara
15

Rešenje:
Reeskont
i prolongiranje l i j menica i
Zbi Zbir meničnih ič ih suma poznatih ih menica i 300 300,000 000
Eskont poznatih menica (3,500)
Eskontovana vrednost poznatih menica 296 296,500 500
Eskontovana vrednost svih menica 600,000 ,
Eskontovana vrednost poznatih menica (296,500)
Eskontovana vrednost nepoznate menice 303,500
16

Rešenje:
Reeskont
i prolongiranje l i j menica i
Na kraju, j računa se eskont nepoznate p menice (račun ( u sto), )
i to:
i=(303.500*110)/(6.000-110)=5.668,08 dinara
Eskontna vrednost nepoznate menice 303,500.00
Ek Eskont tnepoznate t menice i 566808 5,668.08
Menična suma nepoznate menice 309,168.08
17

Rešenje:
K=(200.000+100.000+309.168,08)=609.168,08
( )
i=3.500,00+5.668,08=9.168,08
Kontrola:
K-i = 600.000
Reeskont
i prolongiranje l i j menica i
18

Složeni So e interes te es
• Kod složenog interesa kamate obračunate za prethodni period
se ne podižu već se dodaju postojećem kapitalu
• U sledećem obračunskom periodu kamata se obračunava na
početnu vrednost kapitala uvećanu za kamatu iz prethodnog
perioda
• Naziva se još “interes na interes”
• Kapitalisanje može biti:
pa – per anum
ps – per semestre
pq – per quartale
pm – per menesm
19

Dva načina računanja interesa:
Složeni So e interes te es
• Anticipativno, kada se interes obračunava i unapred odbija od
kapitala početkom svakog obračunskog perioda
• Dekurzivno, kada se kamata računa unazad
20

Pojmovi:
Dekurzivno
računanje č j interesa i t
• K 0: sadašnja vrednost kapitala (vrednost kapitala koja se daje
pod interes)
• K n: krajnja vrednost kapitala (vrednost na koju narasta kapital
dat pod interes)
21

Problem:
Dekurzivno
računanje č j interesa i t
• Na koju će sumu narasti kapital od K 0 dinara dat pod interes na
n godina uz p% (pa) ako je dekurzivno računanje interesa
Rešenje:
Prve godine se prost interes ne podiže već se dodaje kapitalu,
tj:
K 1 = K 0 + K 0 p = K 0(
1+
p)
22

Rešenje:
• Isto i za 2, 3,..., n-tu godinu
K +
2
2 = K 1 + K 1 p = K 1 ( 1+
p ) = K 0 ( 1 p )
K +
......
3
3 = K 2 + K 2 p = K 2(
1+
p)
= K 0(
1 p)
n
Kn = Kn
− 1 + Kn
− 1p
= Kn
− 1(
1+
p)
= K 0(
1+
p)
Dekurzivno
računanje č j interesa i t
23

Faktor akumulacije:
( 1
+
n
n
p ) = r =
I
n
p
Dekurzivno
računanje č j interesa i t
r: složeni dekurzivni činitelj (vrednost jednog dinara uvećanog
za kamatu na kraju jednog obračunskog perioda)
• rn : faktor akumulacije(vrednost jednog dinara uvećanog za
kamatu na kraju n-te godine)
24

Krajnja vrednost kapitala je:
K = K r
n
= K
n 0 0
odakle se može naći interes:
I
=
K
n
−
K
0
=
I
K
n
p
0
( r
Dekurzivno
računanje č j interesa i t
n
−
1)
25

Primer: nedelja štednje
Dekurzivno
računanje č j interesa i t
Koji ćemo imati iznos na računu nakon 10 godina ako kapital
od 50.000 uložimo u banku sada sa 8% kamate (pa)?
Rešenje:
K
10
= K I
0
10
8
=
=
107 107.
946 946,
25
50.
000
*
2,
158925
26

Problem:
Anticipativno
računanje č j interesa i t
Na koliko će narasti početni p kapital p K 0 dat pod p složen interes
(interes na interes) uz interesnu stopu q za n godina ako je
računanje interesa anticipativno?
Rešenje:
Na kraju prvog obračunskog perioda je:
K = K − K q = K 1−
q)
=> K =
0
1
1
K
1(
1 0
1
1 1−
q
27

Rešenje:
Isto i za 2. godinu
Anticipativno
računanje č j interesa i t
1
K = K − K q = K ( 1 − q ) => K = K
1 2 2 2
2 1
1−
q
ili
K
2
=
K
0
1
( 1−
q
)
2
28

Rešenje:
Isto i za n-tu godinu
Anticipativno
računanje č j interesa i t
1
K = K = K ρ
n
= K I
n
n 0 n 0
0 q
gde je
( 1
1
ρρ
=
1 1−
q
−
qq)
)
29

Rešenje:
Isto i za n-tu godinu
gde je
K
n
1
ρρ
=
1 1−
q
=
K
0
( 1
−
1
n
Anticipativno
računanje č j interesa i t
qq)
)
30

Faktor akumulacije:
gde je
K = K ρ = K I
0
0
n
1
ρ =
1−
q
n
Anticipativno
računanje č j interesa i t
n
ρ :faktor akumulacije(krajnja vrednost jednog dinara uložene
pod interes na interes anticipativno uz q%)
n
q
31

Primer:
Anticipativno
računanje č j interesa i t
Kapital p od 5.000 evra uložen je j 5 godina g uz godišnju g j kamatnu
stopu od 6%. Koliki će interes doneti taj kapital ako je
anticipativno računanje interesa?
Rešenje:
K
=
5
=
K
0
( 1
1
− q)
5
=
10 . 000*
1,
36258 =
10.
000
( 1
−
13.
625,
80
1
0.
06)
5
32

Formula za dekurzivno računanje: j
Računanje interesa
m puta t godišnje diš j
nm
nm
p m
K = K ( 1 + p / m ) = K I
nm 0
0 /
• Slično, formula za anticipativno računanje:
nm
⎛ 1 ⎞
K = K
= K I
nm 0⎜⎜
K I
0⎜⎜
0 /
⎝1 −
q / m ⎠
nm
q m
33

Faktor akumulacije
pri i neprekidnom kid ukamaćivanju
k ći j
Može se uočiti da sa češcim kapitalisanjem j ukamaćena vrednost, za
isto vreme, biva sve veća, zatim da je to povećanje sve manje i da nije
teško pretpostaviti da ukamaćena vrednost ima graničnu vrednost za
slučaj da broj kapitalisanja u jednoj godini teži u beskonačno. Reč je
tada o tzv tzv. kontinuelnom kapitalisanju, kapitalisanju pri kojem vremenski interval
izmedu dva kapitalisanja teži nuli (tj., m−
> ∞ ).
Formula:
e
npp
K = K e
n 0
np
je faktor akumulacije pri neprekidnom ukamaćivanju
34

….
Primer:
Faktor akumulacije
pri i neprekidnom kid ukamaćivanju
k ći j
Koristeći podatke iz primera nedelje štednje (“Koji ćemo imati iznos
na računu nakon 10 godina ako kapital uložimo u banku sada sa 8%
kkamate”) t ”) ddobijamo: bij
1.(pa) K10=107.946,25 2. (ps) K10=109.556,20 3 3. ( (pm) ) K K10=110.982,02 110 982 02
4. dnevno, m=365: K10=111.267,29 5. na sat, m=365*24: K10=111.276,63 K
10
= 5.
000*
e
10*
0,
08
= 111.277,05 ,
35

Faktor akumulacije
pri i neprekidnom kid ukamaćivanju
k ći j
Navedena formula za neprekidno kapitalisanje predstavlja
neprekidnu funkciju koja daje krajnje vrednosti kapitala u svakom
vremenskom k ttrenutku. tk
36

Diskontni s o t faktor a to
Kako odrediti sadašnju ili početnu vrednost kapitala (K0) ako je
poznata krajnja vrednost kapitala (Kn)? Znamo da je:
K = K r = K I
n 0 0
pa otuda sledi:
K
K = = =
0
r
n
n
p
K n n K II
n n n
I
n
p
n
p
37

=
1
r
Diskontni s o t faktor a to
−n
Veličina naziva se diskontni ili eskontni faktor,
n
ili faktor sadašnje vrednosti.
Odredjivanje početne vrednosti kapitala kada je data
njegova krajnja vrednost naziva se diskontovanje ili
eskontovanje. j
K 0
K n
0 n
38

Metod diskontovanja-
Diskontni s o t faktor a to
Kolika je sadašnja vrednost naših budućih primanja, ili, koliko
treba da uložite danas da bi dobili neku odredjenu vrednost u
budućnosti?
39

Primer:
Diskontni s o t faktor a to
Nakon 5 godina na vašem računu imate 5.000 evra. Koliko ste
imali novca na početku štednje? Interesna stopa je 6% (pa).
K
= n = K II
5
5 6
r
K0 n
=
5 . 000 * 00.747258 747258 =
33.736,29 736 29
40

Primer:
Isto ali interesna stopa je 6% (ps).
K
= n = K II
2*
5
6/
2
r
n
K0 n
=
5 . 000 * 00.744094 744094 =
Diskontni s o t faktor a to
33.720,47 720 47
41

Isto ali interesna stopa p je j 6% (ps). (p )
K
= n = K II
2*
5
6/
2
r
n
K0 n
=
5 . 000 * 00.744094 744094 =
Diskontni s o t faktor a to
33.720,47 720 47
42

?
PITANJA J
43