Twierdzenia wariacyjne niesymetrycznej termosprężystości

Tutaj przez yń (
„ fc)
=C/jfj(x, £,) oznaczono dylatację w punkcie (x), wywołaną działaniem siły
X{ = d(x — Z))S , umieszczonej w punkcie (£). Rozpatrzmy nasze ciało nie zmieniając
lk
pierwszego układu obciążeń. Stawiamy sobie jednak inne zadanie, mianowicie wyznaczenia
wielkości u> w punkcie (£), wywołanych działaniem pola temperatury,
i
Jako drugi układ obciążeń (układ z „primami") przyjmujemy działanie momentu
masowego Yl = S{x-%)5 !k o wektorze skierowanym w kierunku osi x . Zakładamy dalej,
k
że A^ = 0, 0'=0 oraz że na A jest: M'J=O, co' =0 i że na A, jest: p' =0, m',=0.
u i (
Moment masowy F,'=(5(x—C)^ wywołuje w ciele przemieszczenia K',= K (
, W
(X, C)
oraz obroty cojs^fa 2j). Funkcje te znajdziemy z rozwiązania układu równań (1.8).
Stosując do wyżej omówionych stanów twierdzenie o wzajemności (8.3) otrzymamy
skąd
v f 0(x) Vfj(x, %) dV(x)= J S(x -ą) « ftffl| (x) dK(x),
v v
ffl k(4)-v J 0(x) Vf}(x, ą) dK(x). (8.5)
v
Związki (8.4) i (8.5) stanowią uogólnienie twierdzeń N. M. MAJZIELA [13] na zagadnienia
niesymetrycznej termosprężystości. Przy przejściu do symetrycznej termosprężystości
należy w równaniu (8.3) przyjąć, że t» = (y'j=O, F(=sFj'==0, m,- = m'=0. Równanie Maj-
;
ziela redukuje się do równania (8.4), w którym przemieszczenie t/, (W
(x, t,) wyznacza się
z równań przemieszczeniowych symetrycznej termosprężystości.
9. Uwagi końcowe
Wyprowadzone tu twierdzenia odnoszą się do przestrzennego stanu naprężenia ciała.
Można by je oczywiście formułować dla prostszych stanów naprężenia, na przykład dla
płaskiego stanu odkształcenia (gdy wszelkie wielkości deformacji i naprężeń zależą jedynie
od dwii zmiennych) względnie dla uogólnionego stanu naprężenia (w płytach). Nie czynimy
tu tego ze względu na ograniczoną objętość pracy. Należy jednak zwrócić uwagę
na kilka nader prostych stanów deformacji, dających pewien wgląd w pracę układu.
Pierwsza uwaga odnosi się do nader prostego stanu. Mianowicie załóżmy, że ciało jest
na swej powierzchni zupełnie utwierdzone, a temperatura jest stała w obszarze ciała.
W tym przypadku równania różniczkowe (1.8) stają się jednorodne, przy jednoczesnej
jednorodności wamnków brzegowych (M, = 0, CO ; = 0 na A).
Rozwiązaniem układu równań (1.8) może być jedynie w ;s0, cu.sO w całym obszarze V.
W konsekwencji mamy 7 j;s0, K^SO, xe V. Ze związków (1.4) i (1.5) wynika, że /f,,sO,
x e V, oraz że
fffl--v0d u. (9.1)
W ciele występują stałe naprężenia ściskające (jeśli 0>O). Tensor a n jest w tym przypadku
symetryczny.
Druga uwaga odnosi się do ciała jednospójnego, w którym istnieje pole temperatury
6(x). Zapytujemy się jaki powinien być rozkład temperatury, aby w ciele nie powstały
ani naprężenia a n , ani naprężenia momentowe /ty. Przyrównując do zera wielkości a J: i n Jt
585