Komplexní funkce a derivace

4. Komplexní funkce komplexní proměnné
Definice: Zobrazení f : C → C nazýváme komplexní funkcí komplexní proměnné.
Poznámka: Obvykle je dán předpis w = f(z), podle kterého přiřadíme hodnotě z
hodnotu w = f(z).
Je-li w = f(z) funkce komplexní proměnné, pak:
definiční obor Df je množina všech z, kterým je přiřazena hodnota f(z);
obor hodnot Hf je množina {w; w = f(z), z ∈ Df}.
a) Je-li Df ⊂ R, pak mluvíme o komplexní funkci reálné proměnné. Je pak
f(t) = u(t) + jv(t), t ∈ (a, b).
Jedná se o obdobu rovinného vektorového pole, kdy je dvojice (u, v) zapsána jako komplexní
číslo.
Příklad. 1. f(t) = e jt , t ∈ R, t ∈ 〈0, 2π).
2. f(t) = 1 + 2j + t(−1 + 3j), 0 ≤ t ≤ 1, t ∈ R.
b) Je-li Hf ⊂ R, pak mluvíme o reálné funkci komplexní proměnné. Je to obdoba
reálné funkce dvou proměnných.
Příklad. 1. f(z) = |z|, z ∈ C.
2. f(z) = arg z, z ∈ C.
3. f1(z) = Re z, f2(z) = Im z, z ∈ C.
c) Je-li Df ⊂ C a Hf ⊂ C, pak mluvíme o komplexní funkci komplexní proměnné.
Příklad. f(z) = az + b, a = 0 Je Df = C a Hf = C. Je-li w = az + b, pak z = w−b
a ,
tedy Hf = C.
Jestliže definujeme f(∞) = ∞, je Df = C a Hf = C.
V tomto případě můžeme vlastnosti funkce f vyšetřovat jako vlastnosti rovinného
vektorového pole (u, v), kdy
f(z) = f(x + jy) ≡ (u(x, y), v(x, y)), u(z) = Re f(z), v(z) = Im f(z).
Příklad. f(z) = 1
z .
Je pak Df a f(z) = 1
z
= 1
x+jy
u(x, y) =
= x−jy
x 2 +y 2 , tedy
x
x2 −y
, v(x, y) =
+ y2 x2 .
+ y2 Často používáme znázornění pomocí obrazu sítí křivek. Volíme např.:
(1) Re z = a, Im z = b;
(2) |z| = a, arg z = b, a > 0, 0 ≤ b < 2π.
5. Limita a spojitost funkce
Spojitost komplexní funkce definujeme stejně, jako spojitost funkce reálné proměnné.
Mění se jenom geometrický tvar okolí bodu. Zůstávají tudíž v platnosti věty o spojitosti
ve tvaru, jak je známe z M1.
Definice: Funkce f : C → C, resp C → C, je spojitá v bodě z0, jestliže platí:
a) z0 ∈ Df;
b) ke každému okolí U(f(z0)) bodu f(z0) existuje okolí V (z0) bodu z0 takové, že
z ∈ V (z0) ∩ Df ⇒ f(z) ∈ U(f(z0)).
Věta. Funkce f(z) = u(z) + jv(z) je spojitá v bodě z = x + jy právě když jsou spojité
funkce u(z) = u(x, y) a v(z) = v(x, y) v bodě (x, y) ∈ R 2 .
39

Definice: Funkce spojitá v každém bodě množiny G ⊂ Df se nazývá spojitá v množině
G. Funkce spojitá v každém bodě Df se nazývá spojitá.
Věta. Jsou-li funkce f a g spojité, pak jsou spojité i funkce
f + g, f.g, f/g, f(g)
všude, kde jsou definované.
Definice: Bod z0 je hromadným bodem množiny G, jestliže každé jeho okolí U(z0)
obsahuje bod z, pro který platí:
z = z0, z ∈ G ∩ U(z0).
Definice: Funkce f : C → C, resp C → C, má limitu w0 v bodě z0, jestliže platí:
a) z0 je hromadným bodem Df;
b) ke každému okolí U(w0) bodu w0 existuje okolí V (z0) bodu z0 takové, že
Vztah zapisujeme symbolem
z ∈ V (z0) ∩ Df, z = z0 ⇒ f(z) ∈ U(w0).
lim f(z) = w0.
z→z0
Poznámka: Platí věty o limitě součtu, součinu, podílu a složené funkce jako pro funkce
reálné proměnné.
6. Derivace funkce
Poznámka: Většinou budeme uvažovat, že je funkce f definována v oblasti, která je
v komplexní rovině obdobou intervalu v R.
Definice: Množina G ⊂ C se nazývá oblast, jestliže je otevřená a každé dva body lze
spojit lomenou čarou, která leží v G.
Definice: Je-li G ⊂ C oblast, pak říkáme, že funkce f : G → C má v bodě z0 ∈ G
derivaci f ′ (z0) ∈ C, jestliže
Lineární funkci
f ′ (z0) = lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
= lim
h→0
df(z0; h) = f ′ (z0).h, h ∈ C
f(z0 + h) − f(z0)
.
h
nazýváme diferenciálem funkce f(z) v bodě z0.
Cauchyovy-Riemannovy podmínky
Věta. Funkce f(z) = u(z) + jv(z) má derivaci v bodě z0 pravě když platí:
a) funkce u(x, y) a v(x, y) mají diferenciál (spojité parciální derivace) v bodě (x0, y0);
b) je
Je pak
∂u(x0, y0)
∂x
f ′ (z) = ∂u
+ j∂v
∂x ∂x
= ∂v(x0, y0)
,
∂y
∂u
= − j∂u
∂x ∂y
Věta. Pokud mají funkce f a g derivaci, pak:
∂u(x0, y0)
∂y
∂v
= + j∂v
∂y ∂x
(f + g) ′ = f ′ + g ′ ; (fg) ′ = f ′ g + fg ′ ;
40
= − ∂v(x0, y0)
.
∂x
∂v
= − j∂u
∂y ∂y .

7. Holomorfní funkce
(f/g) ′ = (f ′ g − fg ′ )/g 2 ; (f(g)) ′ = f ′ (g).g ′ .
Definice: Funkce f : G → C, kde G ⊂ C je oblast, je holomorfní v bodě z0 ∈ G,
jestliže má derivaci f ′ (z) ve všech bodech nějakého okolí U(z0) bodu z0. Funkce, která je
holomorfní ve všech bodech oblasti G se nazývá holomorfní v oblasti G.
Věta. O derivaci holomorfní funkce. Funkce, která je holomorfní v oblasti G ⊂ C
má v každém bodě oblast G derivace všech řádů.
Věta. Je-li funkce f(z) = u(z) + jv(z) holomorfní v oblasti G, pak jsou funkce u(x, y)
a v(x, y) harmonické v oblasti G, t.j.
∆u = ∂2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 = 0, ∆v = ∂2 v
∂x2 + ∂2v = 0
∂y2 v oblasti G.
Věta. Funkce f(z) = u(z) + jv(z) je holomorfní v oblasti G, pravě když funkce u(x, y)
a v(x, y)
a) jsou harmonické v oblasti G;
b) splňují Cauchyovy-Riemannovy podmínky v oblasti G.
Poznámka: Reálná a imaginární část holomorfní funkce určují jedna druhou jednoznačně
až na aditivní konstantu. Z jedné druhou dostaneme integrováním rovnic z
Cauchyových-Riemannových podmínek. O dvojici (u, v) mluvíme jako o sdružených harmonických
funkcích.
41