Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes

KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce
3.1 Úvod
Definice:
ˇRekneme, že a ∈ R ∗ je limitou funkce f v bodě x0 ∈ R ∗ , jestliže
pro každé okolí U(a) bodu a existuje prstencové okolí P(x0) bodu
x0 takové, že P(x0) ⊂ D(f ) a pro všechna x ∈ P(x0) platí
Píšeme lim
x→x0
Zápis pomocí kvantifikátor ˚u:
lim
x→x0
f (x) ∈ U(a).
f (x) = a, f (x) x→x0
−→ a, f (x) → a pro x → x0.
f (x) = a ⇔ ∀ U(a) ∃ P(x0) ∀ x ∈ R : x ∈ P(x0) ⇒ f (x) ∈ U(a)

lim
x→x0
f (x) = a
⇔ ∀ U(a) ∃ P(x0) ∀ x ∈ R : x ∈ P(x0) ⇒ f (x) ∈ U(a)
x0 ∈ R, a ∈ R ( vlastní limita ve vlastním bodě )
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : ( 0 < |x − x0| < δ ⇒ | f (x) − a | < ε )
x0 ∈ R, a = ±∞ ( nevlastní limita ve vlastním bodě )
∀ K ∈ R ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : ( 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) > K )
∀ K ∈ R ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : ( 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) < K )

lim
x→x0
f (x) = a
⇔ ∀ U(a) ∃ P(x0) ∀ x ∈ R : x ∈ P(x0) ⇒ f (x) ∈ U(a)
x0 = ±∞, a ∈ R ( vlastní limita v nevlastním bodě )
lim f (x) = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ L ∈ R ∀ x ∈ R : ( x > L ⇒ | f (x)−a | < ε )
x→+∞
lim f (x) = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ L ∈ R ∀ x ∈ R : ( x < L ⇒ | f (x)−a | < ε )
x→−∞
x0 = ±∞, a = ±∞ ( nevlastní limita v nevlastním bodě )
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀ K ∈ R ∃ L ∈ R ∀ x ∈ R : ( x > L ⇒ f (x) > K )
x→+∞
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀ K ∈ R ∃ L ∈ R ∀ x ∈ R : ( x < L ⇒ f (x) > K )
x→−∞
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀ K ∈ R ∃ L ∈ R ∀ x ∈ R : ( x > L ⇒ f (x) < K )
x→+∞
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀ K ∈ R ∃ L ∈ R ∀ x ∈ R : ( x < L ⇒ f (x) < K )
x→−∞

Poznámka:
Z definice limita nezávisí na hodnotě funkce v bodě x0, funkce
nemusí být v bodě x0 ani definována. Funkce ale musí být
definována minimálně na nějakém prstencovém okolí bodu x0.
Definice:
ˇRekneme, že a ∈ R ∗ je limitou zprava funkce f v bodě x0 ∈ R,
jestliže pro každé okolí U(a) bodu a existuje takové pravé prstencové
okolí P + (x0) ⊂ D(f ) bodu x0, že pro všechna x ∈ P + (x0)
platí
f (x) ∈ U(a).
Píšeme lim
x→x +
0
f (x) = a apod. , též zkráceně f (x +
0 ) = a .
Limitu zleva definujeme analogicky.

oboustranná limita . . . lim
x→x0
jednostranné limity . . . lim
x→x +
0
f (x)
f (x), lim
x→x −
0
Vlastní limita zprava pomocí kvantifikátor ˚u:
lim
x→x +
0
neboli
lim
x→x +
0
f (x) = a
f (x)
⇔ ∀ U(a) ∃ P + (x0) ∀ x ∈ R : x ∈ P + (x0) ⇒ f (x) ∈ U(a)
f (x) = a
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : 0 < x − x0 < δ
x0 < x < x0+δ
⇒ | f (x)−a | < ε
(Podobně pro vlastní limitu zleva a nevlastní limity zprava a zleva.)

Pˇríklad 3.1, b) : Pomocí definice ukažte, že
1
lim
x→0+ x
+ sin x = +∞. (1)
ˇRešení: Limitu lze počítat, protože (0, ∞) ⊂ D(f ), a tedy funkce
je definována na nějakém pravém prstencovém okolí bodu 0 .
Máme dáno K ∈ R, hledáme δK > 0 takové, že
f (x) > K , kdykoliv 0 < x < δK . (2)
Zˇrejmě f (x) ≥ 1
− 1 > −1
x
pro všechna x > 0.
Tedy pro K ≤ −1 lze volit δK > 0 libovolně.
Je-li K > −1, pak pro 0 < x < δ je f (x) ≥ 1 1
− 1 > − 1.
x δ
1
Zvolíme tedy napˇr. δK tak, že − 1 = K , tj. δK = 1
K + 1 .
δK

Věta 3.1:
Funkce má v bodě x0 ∈ R limitu rovnu a právě tehdy, když má
v x0 limitu zleva i zprava a obě jsou rovny a.
Funkce f (x) = cos 1
x , x = 0, nemá v bodě x 0 = 0 limitu zprava ani zleva;
Dirichletova funkce ( = 1 pro x ∈ Q ; = 0 pro x ∈ Q ) je nemá v žádném bodě.
Definice:
Necht’ M ⊂ D(f ) a x0 ∈ R ∗ je hromadným bodem množiny M.
ˇRekneme, že limita funkce f v bodě x0 ∈ R vzhledem
k množině M je rovna a ∈ R ∗ , jestliže pro každé okolí U(a)
bodu a existuje prstencové okolí P(x0) bodu x0 takové, že pro
všechna x ∈ P(x0) ∩ M platí
f (x) ∈ U(a).

Jednostranné limity funkce f v bodě x0 jsou vlastně její limity
vzhledem k množinám M = D(f ) ∩ (x0, ∞) (limita zprava)
resp. M = D(f ) ∩ (−∞, x0) (limita zleva).
Protože množina pˇrirozených čísel má v R ∗ jediný hromadný
bod +∞, je +∞ také jediný bod, v kterém má smysl
zkoumat limitu jakékoliv funkce f ( pro kterou N ⊂ D(f ) )
vzhledem k množině pˇrirozených čísel.

Definice:
ˇRekneme, že a ∈ R∗ je limitou posloupnosti (an) ∞ n=1 , jestliže
a je limitou funkce f (n) = an (n ∈ N) vzhledem k množině N
v bodě +∞.
Píšeme lim
n→∞ an
n→∞
= a, an −→ a, an → a pro n → ∞.
Věta 3.2 (Heineova):
Funkce f má v bodě x0 ∈ R ∗ limitu rovnu a právě tehdy,
když pro každou posloupnost (yn) ∞ n=1 ⊂ D(f ) \ {x0} takovou, že
lim
n→∞ yn = x0, platí
lim
n→∞ f (yn) = a.
Podobná tvrzení platí i pro limity zleva a zprava.

Definice:
ˇRekneme, že funkce f je spojitá [ spojitá zprava | spojitá zleva ]
v bodě x0 ∈ D(f ), jestliže má v bodě x0 limitu [ limitu zprava |
limitu zleva ] vzhledem k D(f ) rovnou f (x0) nebo x0 je izolovaným
bodem D(f ).
Spojitost funkce pomocí kvantifikátor ˚u:
∀ U(f (x0)) ∃ U(x0) ∀ x ∈ R : x ∈ U(x0) ∩ D(f ) ⇒ f (x) ∈ U(f (x0))
neboli
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D(f ) : |x − x0| < δ ⇒ | f (x) − f (x0) | < ε
(Podobně pro spojitost zprava a zleva.)

Definice:
ˇRekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I, jestlliže
je spojitá v každém jeho vnitˇrním bodě a spojitá z pˇríslušné strany
v těch krajních bodech intervalu I, které k němu patˇrí.
ˇRekneme, že funkce f je spojitá, jestliže je spojitá na každém
podintervalu svého definičního oboru.
Poznámka:
Všechny elementární funkce uvedené ve 2. kapitole jsou spojité.

3.2 Věty o limitách
( nebude-li dále ˇrečeno jinak, je x0, a, b ∈ R ∗ )
Poznámka:
Dále uvedené věty platí analogicky i pro limity vzhledem k množině,
speciálně tedy i pro jednostranné limity.
Věta 3.3:
Limita funkce je určena jednoznačně.
Tedy: Funkce f v bodě x0 bud’ limitu nemá nebo ji tam má
právě jednu.

Věta 3.4 (o zachování znaménka):
Je-li lim
x→x0
Věta 3.5 :
f (x) = a, kde a > 0 [ a < 0 ], pak existuje P(x0) tak, že
f (x) > 0 [ f (x) < 0 ] ∀x ∈ P(x0).
Má-li funkce v bodě x0 vlastní limitu, pak je na nějakém
prstencovém okolí bodu x0 omezená.
Věta 3.6 :
Je-li funkce f monotonní na inervalu ( a, b ) , pak existují
lim f (x) a lim f (x).
x→a+ x→b−

Věta 3.7:
Je-li lim
x→x0
f (x) = a , lim
x→x0
g(x) = b, pak
a) lim (f (x) ± g(x)) = a ± b,
x→x0
b) lim (f (x) · g(x)) = a · b,
x→x0
c) lim
x→x0
f (x)
g(x)
= a
b ,
kdykoliv je výraz na pravé straně definován.
Zˇrejmě: lim
x→x0
f (x) = a ⇔ lim
x→x0
(f (x) − a) = 0.

D ˚usledek 3.8:
Necht’ lim
x→x0
f (x) neexistuje. Pak platí:
a) Jestliže existuje vlastní
lim (f (x) ± g(x)).
x→x0
lim
x→x0
g(x), pak neexistují
b) Jestliže existuje vlastní lim
x→x0
lim (f (x) · g(x)), lim
x→x0
x→x0
D ˚usledek 3.9:
f (x)
g(x) .
g(x) = 0, pak neexistují
Jsou-li funkce f , g spojité v bodě x0 , jsou v x0 spojité i funkce
f + g, f − g, f · g. Je-li navíc g(x0) = 0, pak je v x0 spojitá též
funkce f
g .

Věta 3.10:
1. a) Je-li lim
x→x0
b) Je-li lim
x→x0
2. a) lim
x→x0
f (x) = ±∞, pak lim
x→x0
1
= 0.
f (x)
f (x) = 0 a na nějakém P(x0) je f (x) > 0
[ f (x) < 0 ], pak lim
x→x0
b) Je-li lim
x→x0
1
f (x)
= +∞ [ = −∞ ].
f (x) = 0 právě tehdy, když lim
x→x0
f (x) = a, pak lim
x→x0
|f (x)| = |a|.
|f (x)| = 0.
3. Jestliže lim f (x) = 0 a g je omezená na nějakém P(x0),
x→x0
pak lim f (x)·g(x) = 0.
x→x0

4. a) Je-li f ≤ g ≤ h na nějakém P(x0) a
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
h(x) = a, pak lim
x→x0
g(x) = a.
( tzv. věta o dvou policajtech; o sevˇrení )
b) Je-li |f | ≤ |g| na nějakém P(x0) a lim
x→x0
pak lim f (x) = 0.
x→x0
c) Je-li f ≤ g na nějakém P(x0) a lim
x→x0
pak lim g(x) = +∞.
x→x0
Je-li f ≤ g na nějakém P(x0) a lim
x→x0
pak lim f (x) = −∞.
x→x0
g(x) = 0,
f (x) = +∞
g(x) = −∞
d) Je-li f ≤ g na nějakém P(x0) a lim f (x) = a,
x→x0
lim g(x) = b, pak a ≤ b.
x→x0
(tzv. limitní pˇrechod v nerovnosti)

Věta 3.11 (limita složené funkce):
Jestliže lim
x→x0
z následujících podmínek:
f (x) = a, lim
y→a g(y) = b a platí alespoň jedna
a) f (x) = a na nějakém P(x0),
b) g je spojitá v a,
pak lim
x→x0
g ◦ f (x) = b.
D ˚usledek 3.12 (spojitost složené funkce):
Je-li funkce f spojitá v bodě x0 a funkce g spojitá v bodě f (x0),
pak je funkce g ◦ f spojitá v bodě x0.

Poznámka:
Požadavek splnění podmínky a) nebo b) ve Větě 3.11 nelze
vynechat.
sin x
Napˇr. pro funkce f (x) =
x
a g(y) = |sgn y| platí
lim f (x) = 0 a
x→∞
lim g(y) = 1, ale
y→0
lim (g ◦ f )(x)
x→∞
pro ně neexistuje.
D ˚usledek 3.13:
lim
x→+∞
f (x) = a právě tehdy, když lim f
y→0 +
lim f (x) = a právě tehdy, když lim
x→−∞ y→0−
1
= a,
y
1
f = a.
y

Funkce typu h(x) = f (x) g(x)
Definiční obor: Pro jednoduchost budeme vždy brát
D(h) = D(g) ∩ {x ∈ D(f ) | f (x) > 0}.
Limita: Protože pro a > 0, α ∈ R je
máme
lim
x→x0
Je-li tedy lim
x→x0
a α ln aα
= e = e α ln a = exp (α ln a),
f (x) g(x) = lim
x→x0
g(x) · ln f (x) = A , pak
lim
x→x0
:
exp g(x) · ln f (x) .
f (x) g(x) = exp(A) = e A
( značíme zde e +∞ = +∞, e −∞ = 0 )

Pˇríklad 3.3: Ukažte, že
1
x lim (1 + x) = e.
x→0
ˇRešení: h(x) = (f (x)) g(x) , kde f (x) = 1 + x > 0 na (−1, 1) a
g(x) = 1
x , D(g) = R \ {0}. Funkce h je tedy definovaná napˇr. na
P1(0) a uvedenou limitu má smysl zkoumat.
Máme
Podle Pˇríkladu 3.2
Tedy
1
h(x) = exp
x
lim
x→0
ln(1 + x)
ln(1 + x) = exp
.
x
ln(1 + x)
x
= 1.
1
x 1
lim (1 + x) = e = e.
x→0

Pˇríklad 3.4: Vyšetˇrete limitu lim f (x)
x→0 g(x) , kde
1 −
f (x) = e x4 a
1) g(x) = x 2 , 2) g(x) = x 6 , 3) g(x) = −x 2 , 4) g(x) = −x 3 .
ˇRešení: f > 0 na R \ {0}, tedy limity má smysl zkoumat.
Všechny limity jsou typu | 0 0 |. Pˇritom ln f (x) = − 1
x 4 , a tedy
1) lim f (x)
x→0 g(x) = lim e
x→0 x 2 ·(− 1
x4 ) 1 −
= lim e x
x→0 2 = e −∞ = 0,
2) lim f (x)
x→0 g(x) = lim e
x→0 x 6 ·(− 1
x4 ) 2
−x
= lim e = | e
x→0 0 | = 1,
3) lim f (x)
x→0 g(x) = lim e
x→0 −x 2 ·(− 1
x4 ) = lim e
x→0 1
x2 = | e ∞ | = ∞,
4) lim f (x)
x→0 g(x) = lim e
x→0 −x 3 ·(− 1
x4 ) = lim e
x→0 1
x = ±∞
e – neexistuje.

Pˇrehled některých d ˚uležitých limit funkcí:
• lim
x→0
• lim
x→0
• lim
x→0
sin x
x
e x − 1
x
= 1
ln(x + 1)
x
= 1
= lim
x→1
• lim (1 + x)
x→0 1
x = e
• lim
x→0+ x α =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ln x
= 1
x − 1
0 pro α > 0
1 pro α = 0
∞ pro α < 0
lim
x→∞ x α ⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
∞ pro α > 0
1 pro α = 0
0 pro α < 0

dále α, β > 0 :
• lim
x→∞
• lim
x→∞
( ln x ) α
x β = 0 ( typ
∞
∞ )
x α
( ex ) β = 0 ( typ
∞
∞ )
• lim
x→0+ x β · | ln x | α = 0 ( typ | 0 · ∞ | )
• lim
x→−∞ ( ex ) β · | x | α = 0 ( typ | 0 · ∞ | )

3.3 Limita posloupnosti
Víme:
Číslo a ∈ R je (vlastní) limitou posloupnosti (an) ∞ n=1 , jestliže pro
každé ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že
| an − a | < ε pro vˇsechna n ∈ N, n ≥ n0.
Má-li posloupnost vlastní limitu a, ˇríkáme, že je konvergentní a
že konverguje k a.
Zápis pomocí kvantifikátor ˚u:
lim
n→∞ an = a ∈ R
⇔ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N : ( n ≥ n0 ⇒ | an − a | < ε )

ε1
ε1
✻
ε2 ✻
ε3 ❄ ❄ ❄✻ a
✻ε2
✻ε3
❄✻
❄
❄
✻
ni = n0(εi)
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
n1 n2 n3
✲

Posloupnost (an) ∞ n=1
má (nevlastní) limitu +∞ [ −∞ ], jestliže
ke každému K ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že
an > K [ an < K ] pro vˇsechna n ∈ N, n ≥ n0.
Má-li posloupnost limitu +∞ [ −∞ ], ˇríkáme, že diverguje k +∞
[ diverguje k −∞ ].
Zápis pomocí kvantifikátor ˚u:
lim
n→∞ an = +∞
⇔ ∀ K ∈ R ∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N : ( n ≥ n0 ⇒ an > K )
lim
n→∞ an = −∞
⇔ ∀ K ∈ R ∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N : ( n ≥ n0 ⇒ an < K )

✻✻✻✻
❄
❄
❄
K3
K2
K1
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
ni = n0(Ki)
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
n1 n2 n3
✲

Společná charakterizace posloupností s vlastní nebo nevlastní
limitou pomocí okolí:
limn→∞ an = a ∈ R ∗ , jestliže ke každému okolí U(a) bodu a
existuje n0 ∈ N takové, že an ∈ U(a) pro všechna n ∈ N,
n ≥ n0. Tj.
limn→∞ an = a ∈ R ∗
⇔ ∀ U(a) ∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N : ( n ≥ n0 ⇒ an ∈ U(a) ).
Změna konečně mnoha člen˚u posloupnosti nemá vliv na
existenci a hodnotu její limity.

Definice:
Necht’ (an) ∞ n=1 je posloupnost reálných čísel a (kn) ∞ n=1 je rostoucí
posloupnost pˇrirozených čísel. Pak posloupnost (bn) ∞ n=1 , kde
bn = akn pro n ∈ N, nazýváme vybranou poslopností z posloupnosti
(an) ∞ n=1 ( podposloupností posloupnosti (an) ∞ n=1 ).
Píšeme akn )∞n=1. Věta 3.14:
Posloupnost má limitu a právě tehdy, když každá z ní vybraná
posloupnost má limitu a.

Věta 3.15:
Každá monotonní posloupnost má limitu.
Věta 3.16:
Každá konvergentní posloupnost je omezená.
Věta 3.17 (o zachování znaménka):
Je-li lim
n→∞ an > 0 [ lim
n→∞ an < 0 ], pak existuje n 1 ∈ N takové,
že an > 0 [an < 0 ] pro každé n ≥ n 1.

Věta 3.18 (Bolzano-Weierstrass):
Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní
podposloupnost.
Věta 3.19:
Z každé neomezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat podposloupnost,
která má nevlastní limitu.
Věta 3.20 (Bolzano-Cauchyova podmínka):
Posloupnost (an) ∞
n=1
konverguje právě tehdy, když platí
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n, m ∈ N : ( n, m ≥ n0 ⇒ |an − am| < ε ).

Některé užitečné limity
• lim
n→∞
• lim
n→∞
• lim
n→∞
n√ a = 1 pro a > 0
n√ n = 1
n√ n! = +∞
• lim 1 +
n→∞
1
n = e (Eulerovo číslo)
n
• lim
n→∞
• lim
n→∞
nk =
an a n
n!
⎧
⎨
⎩
0 pro k ∈ R, a > 1
+∞ pro k ∈ R, a ∈ ( 0, 1 )
= 0 pro a ∈ R

Pˇríklad 3.5: Určete lim
n→∞ an
ˇRešení:
a) a > 1
pro a ∈ R .
Máme a = 1 + h, kde h > 0 . Podle binomické věty
a n = (1 + h) n
n n
=
1 + · h + · h
1 2
>0
2 + . . . + h n
.
>0
Odtud
=n
a n > nh.
Protože n → +∞, h → h > 0, je lim nh = +∞.
n→∞
Tedy podle Věty 3.10, 4 c)
lim
n→∞ an = +∞.

) a = 1
Jde o konstantní posloupnost ,
c) 0 < a < 1
1
a
= A > 1, tedy podle a)
lim
n→∞
a podle Věty 3.10, 1 a)
d) a = 0
Jde o konstantní posloupnost ,
lim
n→∞ an = 1.
1
= lim
an n→∞ An =+∞
lim
n→∞ an = 0.
lim
n→∞ an = 0.

e) −1 < a < 0
|a| ∈ (0, 1), tedy podle c)
a podle Věty 3.10, 2 a)
f) a ≤ −1
lim
n→∞ bn = lim
n→∞ a2n
lim
n→∞ |an | = lim
n→∞ |a|n = 0
lim
n→∞ an = 0.
=
lim
n→∞ cn = lim
n→∞ a2n+1 =
Dvě vybrané posloupnosti (bn) ∞ n=1 , (cn) ∞ n=1
(a n ) ∞ n=1
1 pro a = −1,
∞ pro a < −1,
−1 pro a = −1,
−∞ pro a < −1.
mají r˚uzné limity, tedy podle Věty 3.14
lim
n→∞ an neexistuje.
z posloupnosti

Shrnutí:
lim
n→∞ an =
⎧
⎪⎨
+∞ pro a > 1
1 pro a = 1
0 pro |a| < 1
⎪⎩
neexistuje pro a ≤ −1