Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT

Matematika pro Kybernetiku 

Lecture Notes 

Jan Hamhalter 

http://math.feld.cvut.cz/hamhalte 

katedra matematiky, FEL ČVUT 

20. prosince 2010 

Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 1 / 369

Hlavní témata 

Funkce komplexní proměnné 

Fourierova transformace, Laplaceova transformace, 

Z -transformace 

Základy teorie stochastických proces˚u (spektrální teorie, 

Markovovy ˇretězce) 


Literatura 

J.Hamhalter, J.Tišer: Funkce komplexní proměnné. Skripta 

FEL ČVUT, 2001. 

H.A.Priestly: Introduction to Complex Analysis, Oxford 

University Press, 2003. 

J.Veit: Integrální transformace, XIV, SNTL, Praha 1979. 

M.Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, 

Skripta FEL ČVUT, 2007. 

Z.Prášková a P.Lachout: Základy náhodných proces˚u I, 

MFF UK, 2005. 


1. Komplexní čísla a geometrie komplexní 

roviny 

Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou 

hledat koˇreny polynom˚u 

Geronimo Cardano (1501-1576) - vzorce pro ˇrešení 

kvadratické a kubické rovnice 

René Descartes (1596-1615) - pojem imaginární ˇrešení 

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) - korektní zavedení 

komplexních čísel, komplexní rovina 

William Rowan Hamilton (1805-1856) - komplexní čísla 

jako dvojice čísel reálných, zavedl i kvaterniony 


Chceme model rozšiˇrující množinu reálných čísel R a 

obsahující element (imaginární jednotku) j tak, že j 2 = −1. 

1.1. Definice. Symbolem C označíme množinu uspoˇrádaných 

dvojic {(x, y) | x, y ∈ R} s následujícími operacemi: 

• Sčítání: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) 

• Násobení: (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) 

C ... množina komplexních čísel 

(1, 0) · (x, y) = (x, y), 

(0, 1) · (x, y) = (−y, x) a tedy pro j ∼ (0, 1) platí 

j 2 = (−1, 0) ∼ −1. 

Obecně: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) ∼ x + jy. 


• komplexní čísla se násobí jako dvojčleny s využitím j 2 = −1. 

Terminologie a značení 

z = x + j y, x, y ∈ R 

x = Re z ... reálná část, y = Im z ... imaginární část 

z = x − j y .... číslo komplexně sdružené 

|z| = x 2 + y 2 = √ z z ... absolutní hodnota (modul) 

Algebraické zákony: 

z1 z2 = z2 z1, z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3, 

z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3 . 

Pravidla pro konjugaci: 

(i) z = z, (ii) z w = z w (iii) Re z = z+z 

2 (iv) Im z = z−z 

2 j 

(v) |z| = |z|. 


Komplexní (Gaussova) rovina 

Re z = |z| · cos ϕ Im z = |z| · sin ϕ. 

Argument: z = 0 

Arg z = {ϕ ∈ R | z = |z| · (cos ϕ + j sin ϕ) } . 

Hlavní hodnota argumentu: z = 0 

arg z ∈ Arg z , arg z ∈ (−π, π > . 

Pˇríklad: z1 = 1 + j, z2 = 1 

|z1| = √ 2, cos ϕ = 

|z2| = √ 2, cos ϕ = 1 

2 

√ 2 (1 − j √ 3). 

√ 

2 

2 = sin ϕ ⇒ arg z1 = π 

4 . 

√ 

3 

, sin ϕ = − 2 ⇒ arg z2 = − π 

3 . 


Geometrický význam sčítání: 

... posun v rovině o vektor a. 

Geometrický význam násobení: 

a ∈ C z → z + a 

z1 · z2 = |z1| · (cos ϕ1 + j sin ϕ1) · |z2| · (cos ϕ2 + j sin ϕ2) = 

|z1|·|z2|[cos ϕ1 cos ϕ2−sin ϕ1 sin ϕ2+j(cos ϕ1 sin ϕ2+sin ϕ1 cos ϕ2)] 

Tedy 

= |z1| · |z2|[cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)] . 

|z1 · z2| = |z1| · |z2| 

arg z1 + arg z2 ∈ Arg(z1 · z2) . 

z → z a , kde a = |a|(cos ϕ + j sin ϕ) 

... otočení o úhel ϕ kolem počátku a pak stejnolehlost se 

stˇredem v počátku a koeficientem |a|. 


Pˇríklad: Je dán trojúhelník s vrcholy 1 + j, j, −1 + 2j. Otočte 

tento trojúhelník o pravý úhel vzhledem k počátku 

otočené vrcholy: j(1 + j) = −1 + j, j 2 = −1, j(−1 + 2j) = −2 − j 

další varianta: 1 − j, 1, 2 + j. 

• Dělení - inverzní operace k násobení 

z1 

z2 

= z1z2 

. 

|z2| 2 

• Geometrická interpretace dělení: 

z → z 

a 

a = |a|(cos ϕ + j sin ϕ), a = 0 

... otočení o úhel −ϕ a stejnolehlost s koeficientem 1 

|a| . 

Pˇríklad: 

1 

x + jy 

x − jy 

= 

x 2 = 

+ y 2 

x 

x 2 + y 

y 

− j 

2 x 2 . 

+ y 2 


1.2. Věta. (Moivrova věta) Pro z = |z|(cos ϕ + j sin ϕ) platí 

Pˇríklad: 

z n = |z| n (cos nϕ + j sin nϕ) . 

(1 + j) n = √ 2 n (cos n π 

4 

• Binomická rovnice: z n = a 

π 

+ j sin n ) . 

4 

|z| n (cos nϕ + j sin nϕ) = |a|(cos ψ + j sin ψ) 

|z| = n |a| , nϕ = ψ + 2kπ , 

ψ + 2kπ 

ϕ = 

n 

Stačí vzít k = 0, 1, . . . , n − 1. 

... vrcholy pravidelného n-úhelníka na kružnici |z| = n |a|. 


Pˇríklad: Nalezněte 4 1 − j. Tj. ˇrešíme rovnici z 4 = a, a = 1 − j. 

|a| = √ 2 , ψ = − π 

4 

úhly: − π 

16 

, 7π 

16 

, 15π 

16 

, 23π 

16 

z1 = 8√ 2(cos π π 

− j sin 

16 16 ) 

z2 = 8√ 2(cos 7π 7π 

+ j sin 

16 16 ) 

z3 = −z1 

z4 = −z2 . 

"Odmocniny v komplexním oboru jsou víceznačné funkce" 


Vzdálenost bod˚u z1, z2: |z1 − z2|. 

Nerovnosti 

1 | Re z|, | Im z| ≤ |z| 

2 |z + w| ≤ |z| + |w| (trojúhelníková nerovnost) 

3 |z + w| ≥ | |z| − |w| | 

4 |z| ≤ | Re z| + | Im z|. 

D˚ukaz (2) 

|z + w| 2 = (z + w)(z + w) = |z| 2 + |w| 2 + (wz + zw) = 

(3) 

= |z| 2 + |w| 2 + 2 Re(zw) ≤ |z| 2 + |w| 2 + 2 |z||w| = 

= (|z| + |w|) 2 . 

|z| = |z + w − w| ≤ |z + w| + |w| 

|w| = |z + w − z| ≤ |z + w| + |z| 


(4) 

|z| 2 = | Re z| 2 + | Im z| 2 ≤ | Re z| 2 + | Im z| 2 + 2| Re z|| Im z| 

= (| Re z| + | Im z|) 2 

———————————————————– 

Poznámka: C nemá uspoˇrádání ! 

———————————————————– 

Cvičení – d˚uležité geometrické útvary v rovině a jejich popis 

• |z − a| = r, r > 0, a ∈ C 

• |z − a| ≥ r, r > 0, a ∈ C 

• [z1, z2] = {z1 + t(z2 − z1) | t ∈< 0, 1 >} úsečka 

• Re z ≥ 5 

• π 

3π 

4 ≤ arg z ≤ 4 

• a = b, |z − a| = |z − b| ... osa úsečky [a, b]. 


Rovnice kružnice: 

Azz + az + az + C = 0 , 

kde A = 0, C jsou reálná čísla, a je komplexní a aa − AC > 0. 

Ekvivalentní zápis: 

 

 

 

a 

z + 

A 

= 

 

aa − AC 

. 

(výpočet tabule) 

Rovnice pˇrímky: 

A 2 

az + az + C = 0 , 

kde a = 0 je komplexní a C je reálné číslo 


Apolloniovy kružnice: α = α1 + jα2, β = β1 + jβ2, α = β, 

λ > 0, λ = 1. 

|z − α| 

= λ . 

|z − β| 

Konstantní poměr vzdáleností k daným bod˚um. Výpočet v 

kartézských souˇradnicích pro z = x + jy. 

|z − α| 2 = λ 2 |z − β| 2 

(x − α1) 2 + (y − α2) 2 = λ 2 (x − β1) 2 + λ 2 (y − β2) 2 

Po zjednodušení: 

 

x − α1 − λ2β1 1 − λ2 2 

+ y − α2 − λ2β2 1 − λ2 2 = r 2 


Stˇred: a = α1−λ2β1 1−λ2 + j α2−λ2β2 1−λ2 Fakt: α, β, a leží na jedné pˇrímce: 

= a1 + ja2 

 

λ2 (β1 − α1) 

[α1 − a1, α2 − a2] = 

1 − λ2 , λ2 (β2 − α2) 

1 − λ2 

 

β1 − α1 

[β1 − a1, β2 − a2] = 

1 − λ2 , β2 − α2 

1 − λ2 

—————————————————————— 

Zobecněná kružnice (circline) = kružnice nebo pˇrímka 


Pˇríklad: Určete parametry kružnice 

|z + 1| = λ|z| λ = 1, λ > 0 . 

−1, 0 jsou ˇrídící body, a proto jeden pr˚uměr leží na reálné ose; 

periferní body z1 z2 jsou ˇrešením rovnice 

z1 = 1 

λ−1 ; z2 = 1 

−λ−1 . 

stˇred: 1 1 

2 ( λ−1 

 

 

 

+ 1 

−λ−1 

poloměr: 1 

2 

1 1 

λ−1 + λ+1 

1 ) = 

 

 

1 

= 

2 

z + 1 = ±λz 

λ 2 −1 

2λ 

λ2−1 

 

 

 

= |λ| 

|λ 2 −1| . 


inverzní body v˚uči pˇrímce jsou body osově sdružené 

inverzní body v˚uči kružnici |z − a| = r : 

body α, β ležící na polopˇrímce procházející stˇredem kružnice, 

pro které platí 

|α − a| · |β − a| = r 2 . 


K = {z | |z − a| = r} 

Kruhová inverze v˚uči K je zobrazení 

f (z) = a + 

r 2 

z − a . 

Kruhová inverze najde k danému bodu bod inverzní. 

• transformace z → 1/z realizuje kruhovou inverzi v˚uči 

jednotkové kružnici. 


Rozšíˇrená rovina komplexních čísel a Riemannova sféra 

Riemannova sféra 

neboli 

S : x 2 + y 2 + (u − 1/2) 2 = 1 

4 

x 2 + y 2 + u 2 = u . 

Φ(z) ... stereografická projekce C na S \ N, kde N = [0, 0, 1]. 

Pro z = x + jy je Φ(z) pr˚usečík pˇrímky spojujícící z a N se 

sférou S. Φ je vzájemně je dnoznačné zobrazení C na S \ {N}. 


Analytické výjádˇrení sterografické projekce: 

pˇrímka: 

[0, 0, 1] + t[(x, y, 0) − (0, 0, 1)] = [tx, ty, 1 − t] . 

dosazeno do rovnice sféry: 

t 2 x 2 + t 2 y 2 + (1 − t) 2 = 1 − t 

t 2 (1 + x 2 + y 2 1 

) − t = 0 ⇒ t = 

1 + x 2 + y 2 

 

x 

Φ(x + jy) = 

1 + x 2 y 

, 

+ y 2 1 + x 2 x 

, 

+ y 2 2 + y 2 

1 + x 2 + y 2 

 

. 


• Co odpovídá rovnoběžkám ? 

Kružnice se stˇredem v počátku 

• Co odpovídá kulovému vrchlíku ? 

Vnějšek kruhu se stˇredem v počátku. 

Jaké útvary v C se zobrazí na kružnice na S ? 


Každá kružnice je pr˚unik S s rovinou 

ax + by + cu = d 

Složky Φ musí vyhovovat této rovnici, tj. 

ax 

1 + x 2 + 

+ y 2 

c = d .... rovnice kružnice 

by 

1 + x 2 + y 2 + c(x 2 + y 2 ) 

1 + x 2 = d . 

+ y 2 

⇒ (c − d)(x 2 + y 2 ) + ax + by = d 

c = d ... rovnice pˇrímky (právě když jdeme pˇres severní pól) 

kružnice na S ←→ zobecněné kružnice v C. 


Klaudios Ptolemaios (100-160 n.l.) 

Ptolemaiova věta 

Každá kružnice na kulové ploše, jež neprochází jejím severním 

pólem, se pˇri stereografické projekci zobrazí na kružnici. 



M.Kˇrížek, L.Somer, A.Šolcová: Deset matematických vět o 

pražském orloji, Pokroky Matematiky Fyziky a Astronomie, 

54-2009, 281-300. 


poloměr sféry: asi 40 cm 

zajímavé kružnice: ekliptika, obratník raka, obratník kozoroha, 

obzorník, den a noc, .... 


Zavedení nekonečna v komplexním oboru: 

Na sféˇre se blížíme k N ⇐⇒ |z| → ∞. 

N ∼ ∞ S ∼ C ∪ {∞} = ˜C ... rozšíˇrená komplexní rovina 

Rozšíˇrená aritmetika: pro a ∈ C. 

−∞ = ∞ , a ± ∞ = ∞ , a a 

∞ = 0 , 0 = ∞ pro a = 0. 


2. Základní pojmy analýzy v C 

• Základem analýzy je pojem limity, k tomu potˇrebujeme pojem 

okolí bodu z ∈ C. 

U(z) = U(z, ε) = {w ∈ C | |w − z| < ε} . 

... ε-okolí bodu z, (ε > 0). 

... prstencové okolí bodu z. 

... okolí nekonečna. 

U(z, ε) \ {z} 

U(∞, ε) = {w ∈ C | |w| > ε} . 


2.1. Definice. Posloupnost (zn) ⊂ C má limitu z ∈ ˜ C, jestliže 

pro každé okolí U(z) platí, že pouze konečně mnoho člen˚u 

posloupnosti (zn) neleží v U(z). 

2.2. Tvrzení. 

1 limn→∞ zn = z ∈ C právě tehdy když limn→∞ Re zn = Re z 

a současně limn→∞ Im zn = Im z. 

2 limn→∞ zn = ∞ právě tehdy když limn→∞ |zn| = ∞. 

D˚ukaz: (1) limn→∞ zn = z ∈ C ⇔ limn→∞ |z − zn| = 0. 

| Re(z − zn)|, | Im(z − zn) ≤ |z − zn| ≤ | Re(z − zn)| + | Im(z − zn)| 


Pˇríklad • zn = (1 + 1 

n )n + j cos 1 

n 

limn→∞ zn = limn→∞(1 + 1 

n )n + j limn→∞ cos 1 

n = e + j 

• limn→∞(−1) n n = ∞. Tato limita neexistuje v oboru reálných 

čísel !! 


2.3. Definice. 

1 Necht’ G ⊂ C. ˇRekneme, že množina G je otevˇrená jestliže 

s každým svým bodem z ∈ G obsahuje i jisté jeho okolí 

U(z, ε) ⊂ G. 

2 Bod z ∈ C se nazývá hraničním bodem množiny M, jestliže 

pro každé jeho okolí U(z, ε) platí 

U(z, ε) ∩ M = ∅ a současně U(z, ε) ∩ (C \ M) = ∅ . 

3 Množina všech hraničních bod˚u množiny M se nazývá 

hranice množiny M a značí se ∂M. 

4 Uzávěr M množiny M je definován jako M ∪ ∂M. Množiny, 

pro které platí, že M = M se nazývají uzavˇrené. 

• M je uzavˇrená ⇔ C \ M je otevˇrená ⇔ M ⊃ ∂M. 

• ∅ je otevˇrená množina 


"Souvislý celek nelze roztrhnout na dvě části" 

2.4. Definice. Množina D neni souvislá, jestliže existují dvě 

disjunktní otevˇrené množiny G a H takové, že 

1 D ⊂ G ∪ H (pokrýváme) 

2 G ∩ D = ∅ a H ∩ D = ∅. (efektivní pokrytí) 

V opačném pˇrípadě nazýváme množinu D souvislou. 


2.5. Tvrzení. Úsečka [a, b] je souvislá množina. 

D˚ukaz: pˇrednáška – tabule 

2.6. Definice. Souvislá otevˇrená množina se nazývá oblast. 

2.7. Věta. Necht’ G ⊂ C je otevˇrená neprázdná množina. Pak 

následující tvrzení jsou ekvivalentní. 

1 Každé dva body z G lze spojit lomenou čarou ležící v G. 

2 G je oblast. 

D˚ukaz: pˇrednáška – tabule, skripta 


2.8. Definice. Množina G ⊂ C se nazývá konvexní, jestliže lze 

každé dva body z G spojit úsečkou ležící v G. 

2.9. Tvrzení. Otevˇrená konvexní množina je oblast. 

• Opačné tvrzení neplatí !!! 

Budeme zacházet s oblastmi, které "nemají díry". 


2.10. Definice. Oblast G ⊂ C se nazývá jednoduše souvislá, 

jestliže její steregrafická projekce Φ(G) na Riemannovu sféru 

má souvislý doplněk. 

2.11. Tvrzení. Omezená oblast G ⊂ C je jednoduše souvislá 

právě tehdy když C \ G je souvislá množina. 


2.12. Tvrzení. Otevˇrená konvexní množina G je jednoduše 

souvislá. 

D˚ukaz: Lze pˇredpokládat, že 0 ∈ G. Dva body v doplňku Φ(G) 

lze spojit poledníky procházejícími pˇres severní pól. Detaily - 

pˇrednáška – tabule. 


3. Holomorfní funkce 

3.1. Funkce komplexní proměnné 

3.1. Definice. f : D(f ) → C, D(f ) ⊂ C je komplexní funkce. 

možné interpretace: 

• f (x + jy) = u(x, y) + j v(x, y), x, y ∈ R 

dvojice reálných funkcí – vektorové pole. 

Re f = u, Im f = v. 

• z → f (z) .... jistá transformace roviny 


Pˇríklad: f (z) = z 2 . 

(x + jy) 2 = x 2 − y 2 + j2xy 

u(x, y) = x 2 − y 2 ; v(x, y) = 2xy 



geometricky: 

|z|(cos ϕ + j sin ϕ) → |z| 2 (cos 2ϕ + j sin 2ϕ) . 

napˇríklad: 1. kvadrant → horní polorovina; 

horní polorovina → C \ R + . 

Deformace souˇradnicové sítě: 

Re z = c → {(c 2 − t 2 ) + j2ct | t ∈ R}. 

c = 0 .... R − 

c = 0 ... parabola. 


3.2. Definice. Necht’ f : C → C je komplexní funkce a 

z0 ∈ C ∪ {∞}. ˇRekneme, že f má limitu A ∈ C ∪ {∞} v bodě z0, 

jestliže pro každé okolí U(A, ε) existuje okolí U(z0, δ) takové, že 

každý bod z ∈ U(z0, δ) \ {z0} se zobrazí do U(A, ε). 

ˇRekneme, že f je spojitá v bodě z0 ∈ C, jestliže 

Pˇríklady: 

1) limz→0 z 

z neexistuje. 

lim f (z) = f (z0) . 

z→z0 2) limz→∞ z2 = ∞. 

= ∞ !! Na rozdíl od reálného oboru !! 

3) limz→0 1 

z 

Funkce f (z) = arg z je spojitá v C \ R − . Pˇrechodem pˇres 

zápornou část reálné osy zaznamenáme skok 2π. 


3.2. Diferencovatelnost komplexních funkcí 

3.3. Definice. Komplexní funkce f (z) má v bodě z ∈ C 

derivaci, jestliže existuje vlastní limita 

f (z + h) − f (z) 

lim 

. 

h→0 h 

Hodnota této limity se označuje f ′ (z). 

Dvourozměrnost limity má silné d˚usledky 

Pro derivování platí běžná pravidla se stejným d˚ukazem jako v 

reálném oboru. 


1 (f + g) ′ (z) = f ′ (z) + g ′ (z). 

2 (fg) ′ (z) = f ′ (z)g(z) + g ′ (z)f (z). 

3 ( f 

g )′ (z) = f ′ (z)g(z)−f (z)g ′ (z) 

g2 je-li g(z) = 0. 

(z) 

4 [f (g(z))] ′ = f ′ (g(z))g ′ (z). 

5 Je-li g inverzní funkce k funkci f , pak 

g ′ (z) = 

1 

f ′ (g(z)) , 

za pˇredpokladu, že derivace f ′ (g(z)) existuje a je nenulová 


Pˇríklad: Určete f ′ (z) pro f (z) = z n , n ∈ N. 

f ′ (z) = nz n−1 . 

Ověˇríme indukcí: n = 1 ... f ′ (z) = 1 

Necht’ hypotéza platí pro n. Pak 

(z n+1 ) ′ = (z · z n ) ′ = z n + z · n · z n−1 = (n + 1)z n . 

Pˇríklad: f (z) = Re z. 

f (z + h) − f (z) 

h 

= Re h 

h 

Limita pro h → 0 tohoto výrazu neexistuje (testujte limity po 

osách). f (z) je pˇríklad spojité funkce, která nemá derivaci v 

žádném bodě. Najdete takto snadno pˇríklad reálné funkce s 

týmiž vlastnostmi ? 


3.4. Věta. Necht’ f je diferencovatelná v bodě z = x + jy. Pak 

reálná složka u i imaginární složka v funkce f mají parciální derivace 

v bodě (x, y). Tyto parciální derivace splňují následující 

Cauchy-Riemannovy podmínky: 

∂u 

∂x 

Navíc platí, že 

∂v 

(x, y) = (x, y) , 

∂y 

f ′ (z) = ∂u 

∂x 

∂u 

∂y 

(x, y) = −∂v (x, y) . 

∂x 

∂v 

(x, y) + j (x, y) . 

∂x 


D˚ukaz: f ′ f (z+h)−f (z) 

(z) = limh→0 h 

Jdeme po reálné ose: 

f ′ u(x + h, y) − u(x, y) v(x + h, y) − v(x, y) 

(z) = lim 

+ j 

h→0,h∈R h 

h 

= ∂u 

∂x 

∂v 

(x, y) + j (x, y) . 

∂x 

Jdeme po imaginární ose: 

f ′ u(x, y + h) − u(x, y) v(x, y + h) − v(x, y) 

(z) = lim 

+ j 

h→0,h∈R j h 

j h 

= 1 

j 

∂u ∂v 

(x, y) + (x, y) . 

∂y ∂y 

=⇒ ∂u 

∂x 

+ j ∂v 

∂x 

. 

= −j ∂u 

∂y 

=⇒ Cauchy-Riemannovy podmínky. 

+ ∂v 

∂y . 


Pˇríklad: f (z) = z, f (z) = x − jy, ∂u 

∂x 

Tedy f nemá derivaci v žádném bodě. 

= 1; ∂v 

∂y 

= −1. 

Pˇríklad: f (z) = 1 pro Re z = 0 ∧ Im z = 0; f (z) = 0 jinak. 

Parciální derivace u a v jsou v bodě (0, 0) nulové, nicméně 

neexistuje. 

f (h) − f (0) f (h) 

lim 

= lim 

h→0 h h→0 h 

3.5. Věta. Komplexní funkce f (z) má v bodě z = x + jy derivaci 

právě tehdy když její složky u a v splňují Cauchy-Riemannovy 

podmínky a mají obě totální diferenciál v bodě (x, y). 

Spojitost parciálních derivací + Cauchy-Riemannovy podmínky 

⇒ existence derivace. 


3.3. Holomorfní funkce 

3.6. Definice. Funkce f je holomorfní v otevˇrené množině 

G ⊂ C, jestliže má derivaci v každém bodě množiny G. 

Funkce f je holomorfní v bodě z0, je-li holomorfní v nějakém 

okolí bodu z0. 

————————————————————————– 

3.7. Tvrzení. Je-li f holomorfní v otevˇrené množině G, pak je v 

G spojitá. 

D˚ukaz zcela stejný jako v reálném pˇrípadě. 

3.8. Věta. Má-li funkce f nulovou derivaci v oblasti G, pak je 

konstantní. 

D˚ukaz: nulovost derivace ⇒ nulovost parciálních derivací 

složek+ věta o stˇrední hodnotě ⇒ f je konstantní. 


Další význam derivace - zachování úhl˚u, konformita. 

ϕ :< a, b >→ C ... parametrizace kˇrivky C. 

t ∈< a, b >. 

Tečna ke kˇrivce v bodě ϕ(t) ... z = ϕ(t) + sϕ ′ (t); s ∈ R. 

úhel kˇrivek v bodě ϕ1(t) = ϕ2(s) = úhel tečen ... 

arg ϕ ′ 1 (t) − arg ϕ′ 2 (s), ϕ1(t) = ϕ2(s) 

Co se děje v transformaci z → f (z) s úhly? 


3.9. Věta. Věta o zachování úhlu Necht’ f je holomorfní v 

oblasti G. Pˇredpokládejme, že ϕ1 a ϕ2 jsou parametrizace dvou 

kˇrivek C1 a C2 ležících v G, které se protínají v bodě 

z = ϕ1(t) = ϕ2(s). Necht’ f ′ (z) = 0. Pak f zachová úhel mezi 

kˇrivkami C1 a C2. 

D˚ukaz: 

(f ◦ ϕ1) ′ (t) 

(f ◦ ϕ2) ′ (s) = f ′ (z)ϕ ′ 1 (t) 

f ′ (z)ϕ ′ 2 (s) = ϕ′ 1 (t) 

ϕ ′ 2 (s) 

Z toho vyplývá: 

arg(f ◦ ϕ1) ′ (t) − arg(f ◦ ϕ2) ′ (s) = arg ϕ ′ 1 (t) − arg ϕ′ 2 (t) mod 2π . 


Pˇríklad: f (z) = z 2 . Uvažujme dvě kolmé pˇrímky 

p1 = {1 + jt | t ∈ R} , t = 1 

p2 = {s + j | s ∈ R} , s = 1 

f (p1) = {1 − t 2 + 2jt | t ∈ R} . 

f (p2) = {s 2 − 1 + 2js | s ∈ R} . 

vektory tečen jsou kolmé: 

(−2t, 2) tj. pro t = 1 (−2, 2) 

(2s, 2) tj. pro s = 1 (2, 2). 

Pro z = 0 je f ′ (z) = 0 a úhly se nezachovají. 


3.10. Definice. Holomorfní funkce v otevˇrené množině G se 

nazývá konformní, jestliže f ′ (z) = 0 pro všechna z ∈ G. 

3.11. Tvrzení. Složení dvou konformních zobrazení je 

konformní zobrazení. Inverze k prostému konformnímu 

zobrazení je konformní. 

založeno na skutečnosti, že (f ◦ g) ′ (z) = f ′ (g(z)) · g ′ (z) a 

(f −1 ) ′ 1 (z) = 

f ′ (f −1 (z)) . 


Holomorfní a harmonické funkce 

Pˇredpokládejme, že 

f (z) = u(x, y) + jv(x, y) . 

f je holomorfní v G a u, v mají spojité parciální derivace 

druhého ˇrádu v G. Vezměme Cauchy-Riemannovy podmínky: 

∂u 

∂x 

= ∂v 

∂y ; 

∂u 

∂y 

= −∂v 

∂x 

První identitu derivujme podle x a druhou podle y. Dostaneme 

∂2u ∂x 2 = ∂2v ∂x∂y ; 

Tedy u splňuje Laplaceovu rovnici 

v G. 

∂ 2 u 

∂x 2 + ∂2u ∂y 

∂2u ∂y 2 = − ∂2v ∂y∂x . 

2 = 0 


Taktéž v splňuje Laplaceovu rovnici. 

Funkce splňující Laplaceovu rovnici se nazývají harmonické. 

Závěr: Reálná a imaginární složka holomorfní funkce je 

harmonická. 


3.4. Elementární funkce 

Afinní funkce 

f (z) = az + b, a = 0, b ∈ C . 

složení rotace, stejnolehlosti a posunu. 

f ′ (z) = a 

f je holomorfní v C, f (∞) = ∞. 


Polynomy 

polynom stupně n: 

f (z) = a0z n + a1z n−1 + · · · + an−1z + an , a0 = 0 

Holomorfní funkce v C, konformní až na konečně mnoho bod˚u. 

3.12. Věta. Základní věta algebry 

Každý polynom stupně alespoň jedna má alespoň jeden 

komplexní koˇren. 


Lineární lomené zobrazení (Möbiova transformace) 

Nebo-li 

f (z) = 

az + b 

cz + d 

f (z) = a 

c + 

ad − bc = 0 , c = 0 . 

1 

c 2 (bc − ad) 

z + d 

c 

Tedy f je složení afinních zobrazení, kruhové inverze v˚uči 

jednotkovému kruhu a osové souměrnosti dle reálné osy. 


• složením lineárních lomených zobrazení je lineární lomené 

zobrazení 

• linerní lomené zobrazení je prosté, jeho inverze je opět 

lineární lomené zobrazení 

Dodefinování v rozšíˇrené komplexní rovině: 

f (∞) = a 

c 

f (− d 

) = ∞ . 

c 

Pˇríklad: Nalezněte Möbiouvu transformaci, která zobrazí 

polorovinu Im z > 0 na otevˇrený jednotkový kruh. 

ˇRešení: 

Im z > 0 ⇔ |z − j| < |z + j| ⇔ |z−j| 

|z+j| < 1 

Tedy f (z) = z−j 

z+j . 


D˚uležitý princip: 

3.13. Věta. Lineární lomené zobrazení zachová zobecněné 

kružnice a body inverzní v˚uči nim. 

Rozšíˇrení definice : stˇred kružnice je sdružený s ∞. Princip 

platí i pro tuto dvojici. 


Pˇríklad: f (z) = j 1+z 

1−z . Určete obraz jednotkové kružnice. 

1 ∈ K → ∞ a tedy obraz je pˇrímka. (Stačí tedy vzít obraz dvou 

bod˚u) 

∞ → −j, 

0 → j 

implikuje, že j a −j jsou sdružené a tedy obraz je jejich osa – 

reálná osa. 


Racionální funkce 

kde p a q jsou polynomy. 

f (z) = p(z) 

q(z) , 

f je holomorfní a konformní v C až na koˇreny polynomu q. 


Exponenciální funkce 

e z = e Re z (cos(Im z) + j sin(Im z)) , z ∈ C . 

u(x, y) = e x cos y v(x, y) = e x sin y . 



Cauchy-Riemannovy podmínky + spojitost derivací – e z je 

holomorfní v C. 

e z ′ = ∂u 

∂x 

e z = 0 ⇒ e z je konformní v C. 

+ j ∂v 

∂x = ex cos y + je x sin y = e z . 

e z ′ = e z 


Eulerova identita: 

e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ , ϕ ∈ R . 


Některé vlastnosti exponenciální funkce: 

1 |ez | = eRe z 

2 e z 1 · e z 2 = e z 1+z 2 

3 e z+2πj = e z · e 2πj = e z . Perioda 2πj!! 


Pˇríklad: ˇRešte rovnici e a = z, kde z ∈ C \ {0}. 

e a = |z| · (cos(arg z) + j sin(arg z)) . 

=⇒ Re a = ln |z| Im a = arg z + 2kπ , k ∈ Z . 

Množina ˇrešení je 

{ln |z| + j(arg z + 2kπ) | k ∈ Z} . 


Deformace souˇradnicové sítě: 

... kružnice s poloměrem e c . 

vc = {z ∈ C | Re z = c} . 

e z = e c+jy = e c · e jy , y ∈ R 

hc = {z ∈ C | Im z = c} 

e z = e x+jc = e x · e jc , x ∈ R 

... polopˇrímka bez počátku, úhel c. 

Pˇríklad: Na co zobrazí e z následující množiny? 

a) {z | − π ≤ Im z ≤ π} 

b) {z | − π ≤ Re z ≤ π} 

c) {z | 0 ≤ Re z ≤ ln π}. 


Logaritmus 

z = 0 

Ln z = {ln |z| + j arg z + 2kπj | k ∈ Z} . 

Hlavní větev logaritmu 

z = 0 

ln z = ln |z| + j arg z . 

Hlavní větev logaritmu je inverzní funkcí k e z na množině 

{z ∈ C | − π < Im z ≤ π}. 


Pˇríklady: 

Ln 1 = {2kπj | k ∈ Z}, 

ln 1 = 0, 

ln(1 + j) = ln √ 2 + jπ/4, 

ln(−1) = πj. 

• ln z je spojitá funkce na množině D = C \ {−t | t ∈ R, t > 0}. 


Zkoumejme diferencovatelnost ln z na množině D. 

Necht’ z ∈ D. Vyšetˇrujeme výraz 

ln(z + h) − ln z 

h 

Substituce ln z = w, v = ln(z + h) − ln z. Pak h = e v+w − e w . 

Jestliže h → 0, pak v → 0. 

limv→0 

Tedy 


h 

= 

. 

v 

ev+w 1 

= 

− ew ew v 

ev − 1 

v 

e v −1 = 1 (Použít derivaci ez v bodě 0 !!!) 


lim 

h→0 h 

= 1 1 

= 

ew z . 

Závěr: ln z je funkce holomorfní na D, pˇričemž 

(ln z) ′ = 1 

z 


Goniometrické a hyperbolické funkce 

Osbornova pravidla: 

cos z = ejz + e−jz 2 

sin z = ejz − e−jz 2j 

cosh z = ez +e −z 

2 

sinh z = ez −e −z 

2 

cos jz = cosh z sin jz = j sinh z . 

Reálné a imaginární složky: (x, y ∈ R) 

cos(x + jy) = cos x cosh y − j sin x sinh y 

sin(x + jy) = sin x cosh y + j cos x sinh y 

výpočet ze vzorce, součtové vzorce, .... 

Identity platí stejně. 


sin z = 0 ⇔ z = kπ, k ∈ Z. 

tg z = 

cotg z = 

sin z 

cos z 

cos z 

sin z 

z ∈ {π/2 + kπ | k ∈ Z} 

z ∈ {kπ | k ∈ Z} . 

Pro derivace platí stejné vzorce jako v reálném oboru. 

Napˇr: 

sin ′ z = 

e jz − e −jz 

2j 

′ 

= jejz + je −jz 

2j 

= ejz + e −jz 

2 

= cos z . 


Cyklometrické funkce 

mnohoznačné funkce: 

Dají se logaritmicky vyjádˇrit: 

Výpočet: 

Arcsin z = {a ∈ C | sin a = z} 

Arccos z = {a ∈ C | cos a = z} 

Arcsin z = {−ja | a ∈ Ln(jz + w), w ∈ 

substituce: p = e ja . 

e ja − e −ja 

2j 

= z . 

p − 1 

p = 2jz ⇐⇒ p2 − 2jzp − 1 = 0 

p1,2 = 2jz ± √ −4z2 + 4 

2 

 

1 − z 2 } 

 

= jz ± 1 − z2 . 


Pˇríklad: Rovnice tg a = z má ˇrešení právě tehdy když 

z ∈ {j, −j}. Množinou ˇrešení je 

Výpočet: 

Substituce: e 2ja = p 

z = j. Pak 

1 1 + jz 

Ln 

2j 1 − jz . 

sin a 

cos a = eja − e−ja j(eja + e−ja ) = e2ja − 1 

j(e2ja + 1) 

p − 1 = jz(p + 1) ⇐⇒ p = 

e 2ja = 

1 + jz 

1 − jz . 

a ∈ 1 1 + jz 

Ln 

2j 1 − jz . 

1 + jz 

, z = −j 

1 − jz 


M˚užeme definovat větve: 

arctg z = 1 1 + jz 

ln 

2j 1 − jz . 

Tato funkce je diferencovatelná právě tehdy když 1+jz 

1−jz ∈ R− . 

Domácí cvičení: 

⇐⇒ z ∈ {jt | |t| ≥ 1} . 

Derivace této funkce: 

(arctg z) ′ = 1 1 − jz j(1 − jz) − (1 + jz)(−j) 

· 

2j 1 + jz (1 − jz) 2 

= ... 

= 

1 

(1 + jz)(1 − jz) = 

1 

z 2 + 1 . 


4. Integrální reprezentace holomorfní funkce 

4.1. Kˇrivkový integrál a primitivní funkce 

Motivace: hledáme primitivní funkci 

4.1. Definice. Množina C se nazývá oblouk, jestliže existuje 

spojité zobrazení 

ϕ :< a, b >→ C 

intervalu < a, b > na množinu C splňující následující 

podmínky: 

1 ϕ je prosté zobrazení 

2 ϕ má spojitou a nenulovou derivaci na (a, b). V krajních 

bodech existují jednostranné drivace. 


4.2. Definice. Množina C ⊂ C se nazývá kˇrivka, jestliže 

existuje spojité zobrazení 

ϕ :< a, b >→ C 

takové, že < a, b > lze rozdělit na konečně mnoho podinterval˚u 

tak, že na každém dílčím intervalu má ϕ vlastnosti (i) a (ii) v 

definici oblouku. Navíc žádame, aby ϕ bylo prosté zobrazení až 

na konečně mnoho bod˚u. 

Zobrazení ϕ se nazývá parametrizací oblouku nabo kˇrivky C. 

Kˇrivka se nazývá uzavˇrená, jestliže ϕ(a) = ϕ(b). Kˇrivka se 

nazývá jednoduchá, jestliže ϕ(t) = ϕ(s) pro všechna s = t s 

výjimkou počátečního a koncového bodu. 


Tečný vektor ... ϕ ′ (t) 

Délka kˇrivky ... l(C) = b 

a |ϕ′ (t)| dt. 

Orientace ... zp˚usob probíhání kˇrivky, kladná a záporná. 

Pˇríklady: 

1. [a, b] 

ϕ(t) = a + t(b − a) , t ∈ [0, 1] . 

ϕ ′ (t) = b − a . 

2. Elipsa se stˇredem 1 + j, poloosy a = 1, b = 2, osy 

rovnoběžné se souˇradnou soustavou. 

ϕ(t) = 1 + j + cos t + 2j sin t t ∈< 0, 2π > . 

ϕ ′ (t) = − sin t + 2j cos t . 


3. Elipsa, stejné parametry, osy rovnoběžné s osami kvadrant˚u. 

ϕ(t) = 1 + j + e jπ/4 (cos t + 2j sin t) t ∈< 0, 2π > 

ϕ ′ (t) = e jπ/4 (− sin t + 2j cos t) . 

4.3. Definice. Uzavˇrená jednoduchá kˇrivka se nazývá 

Jordanova kˇrivka. 

4.4. Věta. Jordanova věta Je-li C Jordanova kˇrivka pak C \ C 

je sjednocením omezené oblasti a neomezené oblasti. 

Int(C) ... omezená oblast, vnitˇrek kˇrivky 

Ext(C) ... neomezená oblast, vnějšek kˇrivky 


4.5. Definice. Necht’ C je kˇrivka s parametrizací 

ϕ :< a, b >→ C a necht’ f : C → C je funkce spojitá v bodech 

kˇrivky C. Kˇrivkový integrál funkce f podél kˇrivky C je (komplexní 

číslo) 

 

b 

f (z) dz = f (ϕ(t))ϕ ′ (t) dt . 

C 

a 

———————————————————– 

Pˇríklad: 

C (z − z0) k dz, kde k ∈ Z a C je kladně orientovaná 

kružnice se stˇredem v bodě z0 a poloměrem r > 0. 

ϕ(t) = z0 + r e jt , t ∈< 0, 2 π > . 

ϕ ′ (t) = r j e jt . 


C 

(z − z0) k dz = 

2π 

Je-li k = −1 je výsledek 2πj. 

Je-li k = −1 pokračujeme: 

 

C 

0 

r k e j kt j r e j t dt = r k+1 j 

= j r k+1 

 

ej (k+1)t 2π 

= 0 . 

j (k + 1) 0 

(z − z0) k dz = 

 

2πj k = −1 

0 k = −1 . 

2π 

0 

e j(k+1)t dt 


Kˇrivkový integrál je stejný pro všechny parametrizace dávající 

stejnou orientaci. (Nedokazuje se - viz skripta) 

Značení: 

−C – kˇrivka s opačnou orientací 

C1 + C2 – napojení navazujících kˇrivek C1 a C2. 

Vlastnosti kˇrivkového integrálu: 

 

 

 

C f (z) + g(z) dz = C f (z) dz + C g(z) dz 

 

C α f (z) dz = αC 

f (z) dz α ∈ C 

 

−C f (z) dz = −C 

f (z) dz 

 

C f (z) dz = 

1+C2 

C f (z) dz + 

1 

C f (z) dz. 

2 


Technické pˇríklady: 

1. 

C 1/z dz , C je úsečka C = [j, 1]. 

 

C 

1/z dz = 

1 

= (1 − j) 

= −j 

ϕ(t) = t + (1 − t)j , t ∈< 0, 1 > . 

0 

1 

1 

0 

ϕ ′ (t) = 1 − j . 

1 

·(1−j) dt = (1−j) 

t + (1 − t)j 

0 

−j 

2t2 dt + 

− 2t + 1 

1 

2t2 1 

dt + 

− 2t + 1 2 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

t − (1 − t)j 

t2 dt = 

+ (1 − t) 2 

2t 

2t2 dt = 

− 2t + 1 

4t − 2 

2t 2 − 2t + 1 dt 


2t 2 − 2t + 1 = 1 1 

[4(t − 

2 2 )2 + 1] 

Pokračování výpočtu: 

1 

1 

−j 

0 2t2 1 

dt + 

− 2t + 1 2 

 

= −j arctg 2 t − 1 

1 + 

2 

1 

2 

0 

1 

0 

4t − 2 

2t 2 − 2t + 1 dt 

 

ln |2 t 2 − 2t + 1| 

1 

0 

= −j π 

2 . 


2. 

C z2 dz , kde C je kladně orientovaná kˇrivka – sjednocení 

intervalu < −R, R > (R > 0) na reálné ose a horní 

polokružnice se stˇredem v počátku a poloměrem R. 

ϕ1(t) = t , t ∈< −R, R > . 

R 

t 

−R 

2 

t3 R 

dt = = 

3 −R 

2 

3 R3 . 

ϕ2(t) = R e jt 

π 

R 2 e 2jt j R e jt dt = 

0 

 

C 

t ∈< 0, π > . 

 

1 

3 R3e 3jt 

π = − 2 

3 R3 . 

z 2 dz = 0 

Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 87 / 369 

0

4.6. Věta. Odhad modulu kˇrivkového integrálu Necht’ C je 

kˇrivka a f (z) funkce spojitá v bodech kˇrivky C. Pak 

 

 

 

 

f (z) dz 

≤ max |f (z)| · l(C) . 

z∈C 

D˚ukaz - pˇrednáška 

C 

C 

Pˇríklad: Odhadněte velikost 

C 1/z dz, kde C je kružnice 

|z − 1| = 2. 

 

 

 

 

1/z dz 

1 

≤ max · 4π ≤ 4π . 

z∈C |z| 


Pˇríklad: Určete limitu 

 

lim e 

R→∞ CR −az2 

dz , 

kde a > 0, CR je úsečka [R, R + jp], kde R, p > 0. 

z ∈ CR ⇒ z = R + jy, y ∈< 0, p >. 

|e −az2 

| = |e −a(R2 +2jRy−y 2 ) −aR 

| = e 2 ay 2 

e ≤ e −aR2 

e ap2 

. 

 

 

 

 

C R 

e −az2 

 

 

dz 

 

≤ e−aR2e 

ap2 

· p → 0 pro R → ∞ . 

ˇRešení: 


Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí (fn(z)) k funkci 

f (z) na množině M ⊂ C znamená 

lim 

n→∞ sup |fn(z) − f (z)| = 0 . 

z∈M 

4.7. Tvrzení. Jestliže (fn(z)) je posloupnost spojitých funkcí 

stejnoměrně konvergujících k funkci f na kˇrivce C, pak 

 

 

lim 

n→∞ 

fn(z) dz = f (z) dz . 

D˚ukaz: 

 

 

 

 

C 

C 

 

fn(z) dz − 

C 

 

 

f (z) dz 

= 

 

 

 

 

C 

C 

 

 

fn(z) − f (z) dz 

≤ 

≤ sup |fn(z) − f (z)| · l(C) → 0 , n → ∞ . 

z∈C 


4.8. Tvrzení. Necht’ f je funkce spojitá v bodě z0 ∈ C. Pak 

 

1 

lim 

f (z) dz = f (z0) . 

h→0 h 

D˚ukaz: 

 

 

 

1 

h 

[z 0,z 0+h] 

[z 0,z 0+h] 

 

 

f (z) dz − f (z0) 

= 

 

1 

 

1 

 

f (z0 + th)h dt − f (z0) 

h 

 

0 

= 

 

 

1 

 

= 

[f (z0 + th) − f (z0)] dt 

 

0 

f je spojitá v bodě z0 =⇒ pro každé pˇredepsané ε je 

|f (z0 + th) − f (z0)| < ε 

pro dostatečně malá |h|. Tedy i 

 

 

 

 

1 

 

f (z) dz − f (z0) 

h 

≤ ε 

[z 0,z 0+h] 


Primitivní funkce je v reálném pˇrípadě konstruována jako 

neurčitý integrál F(x) = x 

c f (t) dt. Každá spojitá reálná funkce 

má funkci primitivní. 

V komplexním oboru je situace složitější - více možností kˇrivek 

vedoucích k danému bodu. 

4.9. Definice. Necht’ G ⊂ C je otevˇrená množina. Funkce F(z) 

se nazývá funkce primitivní k funkci f (z) na množině G, jestliže 

F ′ (z) = f (z) pro každé z ∈ G . 

4.10. Definice. Kˇrivkový integrál funkce f na oblasti G nezávisí 

na cestě, jestliže 

 

 

f (z) dz = f (z) dz 

C 1 

pro všechny kˇrivky C1, C2 ⊂ G se stejným koncovým a 

počátečním bodem. 


C 2

Nezávislost na cestě odpovídá konzervativnímu poli ve fyzice. 

4.11. Tvrzení. Kˇrivkový integrál funkce f v oblasti G nezávisí 

na cestě právě tehdy když 

 

f (z) dz = 0 

pro každou uzavˇrenou kˇrivku C ležící v G. 

C 

4.12. Věta. Newtova-Leibnitzova formule. Necht’ F (z) je primitivní 

funkce k funkci f (z) na oblasti G. Necht’ C je kˇrivka ležící v 

G s počátečním bodem z1 a koncovým bodem z2. Pak platí 

 

f (z) dz = F(z2) − F(z1) . 

C 


D˚ukaz: ϕ :< a, b >→ C parametrizace kˇrivky C. 

 

C 

f (z) dz = 

b 

a 

f (ϕ(t))ϕ ′ (t) dt = 

= [F(ϕ(t))] b a = F (ϕ(b)) − F(ϕ(a)) = F(z2) − F(z1) . 

D ˚usledek: Má-li f primitivní funkci, pak její kˇrivkový integrál 

nezávisí na cestě. 

• Re z je pˇríklad funkce spojité v C, která nemá primitivní funkci 

nebot’ napˇr. 

C Re z dz = j = 0, kde C je hranice jednotkového 

čtverce s vrcholy 0, 1, 1 + j, j. 

——————————————————————- 


Pˇríklad: 

C 1/z dz, C... [j, 1]. 

 

C 

1/z dz = ln 1 − ln j = −j π 

2 . 

4.13. Věta. Necht’ G je oblast a f (z) spojitá funkce na G. Následující 

tvrzení jsou ekvivalentní 

1 f (z) má primitivní funkci na oblasti G. 

2 Kˇrivkový integrál funkce f (z) nezávisí na cestě. 

 

3 

C f (z) dz = 0 pro každou uzavˇrenou (Jordanovu) kˇrivku C 

ležící v G. 

D˚ukaz: pˇrednáška, skripta 


Pˇríklad: 

C z2 dz , kde C je kladně orientovaná kˇrivka – 

sjednocení intervalu < −R, R > (R > 0) na reálné ose a horní 

polokružnice se stˇredem v počátku a poloměrem R. 

z 2 má v C primitivní funkci a tudíž integrál je nulový. 

4.14. Věta. Funkce f (z) má v konvexní oblasti G primitivní 

funkci právě tehdy když 

C f (z) dz = 0 pro každý obvod trojúhelníka 

C ležícího v G. 


4.2. Cauchyova věta 

Cauchy 1814 – za pˇredpokladu spojitosti derivace, použil 

vpodstatě Greenovu větu – pˇrístup ze skript 

Goursant v pozdním 19 století – obecný pˇrípad 

4.15. Věta. Cauchyova věta. Necht’ f je holomorfní funkce v jednoduše 

souvislé oblasti. Pak 

 

f (z) dz = 0 

pro každou uzavˇrenou kˇrivku C ⊂ G. 

C 

D ˚usledek: Každá holomorfní funkce má v jednoduše souvislé 

oblasti primitivní funkci. 


D˚ukaz Cauchyovy věty proveden po částech: 

1. Nulovost integrálu, je-li kˇrivka obvodem trojúhelníka – 

pˇrednáška, tabule. 

2. Cauchyova věta pro konvexní oblast – pˇrednáška, tabule. 

3. Obecný pˇrípad – nedokazuje se 

Pˇríklad: 

C 

z 

(z − 1) 3 (z2 dz = 0 , 

+ z + 1) 

kde C je jakákoliv Jordanova kˇrivka mající body 1, − 1 

své vnější oblasti. 

2 ± 

√ 3j 

2 ve 


V Cauchyově větě je d˚uležité aby se vnitˇrní oblast kˇrivky 

dala "zabalit" do jednoduše souvislé množiny. 

Pˇredpoklad jednoduché souvislosti je v Cauchyově větě 

podstatný – integrál funkce 1 

z pˇres jednotkovou kružnici je 

roven 2πj. 

Pˇríklad: Aplikace Cauchyovy věty na výpočet Fourierova 

obrazu gaussovské funkce. 

Spočtěte integrál ∞ 

e 

−∞ 

−t2 

e −j pt dt , 

kde p je reálný parametr, pomocí Laplaceova integrálu 

∞ 

e −t2 

dt = √ π . 

−∞ 


∞ 

e −t2 

e −jpt ∞ 

dt = 

−∞ 

Substituce u = t + jp 

2 . 

Ukážeme, že 

což dá výsledek 

−∞ 

∞+ jp 

2 

jp 

−(t+ 

e 2 )2− p2 

p2 

− 4 dt = e 4 

∞ 

−∞ 

jp 

−(t+ 

e 2 )2 

dt . 

p2 

− 

= e 4 

jp 

∞+ 2 

−∞+ jp 

2 

e −u2 

du . 

−∞+ jp 

2 

∞ 

−∞ 

e −u2 

∞ 

du = e −t2 

dt , 

−∞ 

e −t2 

e −j pt dt = √ p2 

− 

π e 4 . 


Pˇredpokládejme, že p > 0. 

Vezměme kladně orientovaný obvod obdélníka s vrcholy −R, 

R, R + jp, −R + jp jako kˇrivku CR a uplatněme Cauchyovu větu 

na funkci f (z) = e−z2 . Dostaneme 

 

e −z2 

dz = 0 . 

C R 

Horizontální úsečky C1, C3, vertikální C2, C4. Na základě 

pˇredchozího pˇríkladu máme pro i = 2, 4: 

 

lim f (z) dz = 0 . 

R→∞ 

Limitním pˇrechodem R → ∞ v identitě 

4 

 

f (z) dz = 0 

dostaneme 

∞ 

e −t2 

−∞ 

i=1 

C i 

C i 

∞+jp/2 

dt − e 

−∞+jp/2 

−t2 

dt = 0 . 


4.16. Věta. Princip deformace. Pˇredpokládejme, že C1 a C2 

jsou Jordanovy kˇrivky s kladnou orientací takové, že 

Int C1 ∪ C1 ⊂ Int C2 . 

Necht’ z0 ∈ Int C1. Pˇredpokládejme, že f je holomorfní v 

každém bodě množiny Int C2 ∪ C2 kromě bodu z0. Pak 

 

 

f (z) dz = f (z) dz . 

D˚ukaz: pˇrednáška 

C 1 

C 2 


Pˇríklad: Ukažte, že 

 

C 

1 

dz = 2πj , 

z − z0 

kde C je kladně orientovaná Jordanova kˇrivka mající z0 ve své 

vnitˇrní oblasti. 

ˇRešení: Princip deformace zredukuje na kružnici a využije se 

pˇredchozí pˇríklad. 


2 

4z2 dz, kde C je kladně orientovaná kružnice 

−1 

Pˇríklad: 

C 

|z| = 2. 

2 

4z2 − 1 = 

1 

2z − 1 − 

1 

2z + 1 . 

 

 

 

1 

1 

1 

dz = dz = 

C 2z − 1 K 2z − 1 K 2(z − 1 

1 

dz = 2πj 

2 ) 2 

K ... |z − 1 1 

2 | = 2 . 

 

C 

L ... |z + 1 1 

2 | = 2 

Závěr: 

C 

1 

dz = 

2z + 1 

2 

4z2 dz = 0 

−1 

 

L 

1 

1 

dz = 2πj = πj . 

2(z + 1/2) 2 

= πj . 


4.3. Cauchy ˚uv integrální vzorec a jeho d ˚usledky 

4.17. Věta. Cauchy˚uv integrální vzorec 

Necht’ funkce f (z) je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti 

G ⊂ C. Pro každou kladně orientovanou Jordanovu kˇrivku C 

ležící v G a pro každý bod z0 ∈ Int C platí 

1 

2πj 

 

C 

f (z) 

dz = f (z0) . 

z − z0 

možnost rekonstrukce všech hodnot z hraniční kˇrivky. 

D˚ukaz: pˇrednáška, skripta. 


Pˇríklady: 

1. f (z) = 1 

C 

1 

dz = 2πj 

z − z0 

je-li C kladně orientovaná Jordanova kˇrivka mající bod z0 ve 

svém vnitˇrku. 

2. 

C 

cos z 

dz , 

(z − 1)(z − 5) 2 

kde C je kladně orientovaná Jordanova kˇrivka obsahující bod 1 

ve svém vnitˇrku a bod 5 ve svém vnějšku. 

 

C 

f (z) = 

cos z 

(z − 5) 2 , z0 = 1 . 

cos z 

cos 1 πj cos 1 

dz = 2πj = . 

(z − 1)(z − 5) 2 16 8 


4.18. Definice. Funkce holomorfní v C se nazývá celistvá. 

4.19. Věta. Liouvillova věta 

Omezená celistvá funkce je konstantní. 

D˚ukaz – pˇrednáška 

4.20. Věta. Základní věta algebry 

Každý polynom stupně alespoň jedna má alespoň jeden komplexní 

koˇren. 

D˚ukaz: P(z) polynom stupně alespoň jedna. 

Sporem: Je-li P(z) nenulové pro všechna z ∈ C, pak 1 

P(z) je 

omezená celistvá funkce a tedy konstantní funkce, což je spor. 


5. Reprezentace holomorfní funkce 

mocninnou ˇradou 

5.1. Mocninné ˇrady 

Cíl – rozvoj v Taylorovu ˇradu, "digitalizace funkce" 

5.1. Definice. ˇRada tvaru 

∞ 

an (z − z0) n = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0) 2 + · · · 

n=0 

se nazývá mocninná ˇrada se stˇredem v bodě z0 a koeficienty 

an. Částečné součty ˇrady jsou funkce 

Sm(z) = 

m 

an (z − z0) n . 

n=0 


• Mocninná ˇrada konverguje bodově k funkci f (z) na množině 

M ⊂ C jestliže pro všechna z ∈ M 

|Sm(z) − f (z)| → 0 pro m → ∞ . 

• Mocninná ˇrada konverguje stejnoměrně k funkci f (z) na 

množině M ⊂ C jestliže 

sup |Sm(z) − f (z)| → 0 pro m → ∞ . 

z∈M 

Funkce, která je součtem mocninné ˇrady je "nekonečný 

polynom". 


Pˇríklady 

• geometrická ˇrada 

∞ 

z n = 1 + z + z 2 + · · · 

n=0 

Konverguje právě tehdy když |z| < 1 se součtem 

1 + z + z 2 + · · · = 1 

1 − z . 

Otázka stejnoměrné konvergence: 

Sm(z) = 

m 

z n = 

n=0 

1 − zm+1 

1 − z 

Na M = {z | |z| < 1} nemáme stejnoměrnou konvergenci 

nebot’: 

 

 

sup |Sm(z)−S(z)| = sup 

1 − z 

 

z∈M 

z∈M 

m+1 

 

1 

− 

|z| 

1 − z 1 − z = sup 

z∈M 

m+1 

= ∞ . 

|1 − z| 


.

Avšak pro Mϱ = {z ∈ C | |z| < ϱ}, 0 < ϱ < 1, máme 

stejnoměrnou konvergenci nebot’: 

sup 

z∈M 

 

 

 

z 

 

m+1 

 

 

 

1 − z 

ϱm+1 

≤ → 0 pro m → ∞ . 

1 − ϱ 


Pˇríklady: 

• ∞ 

n=0 

n zn 

Odmocninové kritérium 

lim 

n→∞ 

n√ n|z| = |z| . 

ˇRada absolutně konverguje právě pro |z| < 1. 

• 

Podílové kritérium: 

lim 

n→∞ 

|z| n+1 

(n + 1)! 

∞ 

n=0 

z n 

n! 

n! 

· = lim 

|z| n n→∞ 

ˇRada konverguje absolutně v C. 

1 

|z| = 0 . 

n + 1 


5.2. Tvrzení. Konverguje-li ˇrada ∞ 

n=0 an (z − z0) n pro w ∈ C 

pak konverguje absolutně na množině 

{z ∈ C | |z − z0| < |w − z0|} . 

D˚ukaz: z0 = 0. 

Z konvergence pro z = w vyplývá omezenost člen˚u ˇrady, tedy 

existuje konstanta M ≥ 0 tak, že pro všechna n ∈ N, 

|an| |w| n ≤ M . 

Pro z ∈ C s |z| < |w| volme ϱ tak, že |z| < ϱ < |w|. Pak 

m˚užeme odhadnout 

|anz n | = |an| · |z| n ≤ |an| ϱ n = |an||w| 

n ϱn ϱn 

≤ M . 

n n 

|w| 

∞ ϱn 

n=0 M |w| n < ∞, a proto ∞ n=0 |an| |z| n < ∞. 


|w|

5.3. Definice. Poloměr konvergence R mocninné ˇrady 

∞ 

n=0 an (z − z0) n je definován jako 

R = sup{r ≥ 0 | 

∞ 

|an| · r n < ∞} . 

n=0 

D˚usledek Tvrzení 5.2: Je-li R poloměr konvergence mocninné 

ˇrady ∞ 

n=0 an (z − z0) n , pak tato ˇrada 

1 Konverguje absolutně pro všechna z s |z − z0| < R. 

2 Nekonverguje pro žádné z s |z − z0| > R. 


Pˇríklady: 

 

1 ∞ 

n=0 zn , R = 1. 

 

2 ∞ 

n=0 n zn , R = 1. 

 

3 ∞ 

n=0 zn 

n! , R = ∞ 

 

4 ∞ 

n=0 n!zn Podílové kritérium: 

R = 0. 

(n + 1)! |z| n+1 

n! |z| n 

= (n + 1) |z| → ∞ pro z = 0 . 


• ∞ 

n=0 anz n , kde 

an = 

 

m n = 2 m 

0 jinak 

Pomocná ˇrada : ∞ m=1 mz2m . Odmocninové kritérium: 

 

lim 

m→∞ 

m 

m |z2m | = lim 

m→∞ 

m√ m · |z| 2 m 

m = 

=⇒ R = 1 . 

 

0 |z| < 1 

∞ |z| > 1 


5.4. Tvrzení. Necht’ (cn) je posloupnost nezáporných čísel, pro 

kterou platí, že 

lim n√ 

cn = 1 . 

n→∞ 

Potom ˇrady 

∞ 

n=0 

anz n 

mají stejný poloměr konvergence. 

a 

∞ 

n=0 

cn an z n 


D˚ukaz: R poloměr konvergence pro ∞ 

n=0 anz n . 

lim 

n→∞ 

n√ cn = 1 =⇒ 

pro každé ε > 0 je n√ cn ≤ 1 + ε až na konečně mnoho n . 

pro každé ε > 0 je cn ≤ (1 + ε) n až na konečně mnoho n . 

Volme 0 < q < R a 

Až na konečně mnoho n platí: 

|z| < q 

(< R) . 

1 + ε 

|cn an z n | ≤ (1 + ε) n |an| |z| n < (1 + ε) n |an| · 

q n 

(1 + ε) n = |an| q n . 

Ovšem ∞ 

n=0 |an| q n < ∞ . Pˇrechodem ε → 0+, q → R− 

máme: 

∞ 

n=0 cn an z n konverguje absolutně pro |z| < R. 


Tedy R ≤ R ′ , kde R ′ je poloměr konvergence ˇrady 

∞ 

n=0 cn an z n . 

Bez újmy na obecnosti m˚užeme pˇredpokládat, že cn jsou 

kladné. Jelikož limn→∞ n 

 

1 

pronásobit koeficienty 1 

cn 

cn = 1, m˚užeme ˇradu ∞ n=0 cn an zn a dle pˇredchozích argument˚u získat 

opačnou nerovnost mezi poloměry konvergence. 

5.5. D ˚usledek. ˇRady ∞ n=0 an zn a ∞ n=1 np an zn , kde p ∈ Z, 

mají stejný poloměr konvergence, nebot’ 

lim 

n→∞ 

n√ n p = 1 . 

ˇRady se stejným poloměrem: ∞ n=0 zn , ∞ n=0 n zn , ∞ n=0 n2z n , 

∞ 

n=1 1 

n zn , ∞ 

n=1 1 

n 2 z n 


Problematika stejnoměrné konvergence: 

5.6. Věta. Weierstrasseovo kritérium 

Platí-li pro posloupnost funkcí fn(z), že 

kde 

|fn(z)| ≤ an 

pro všechna z ∈ M , 

∞ 

an < ∞ , 

n=0 

pak ˇrada ∞ 

n=0 fn(z) konverguje stejnoměrně na množině M. 

D˚ukaz: Bodová konvergence plyne ze srovnávacího kritéria. 

 

 

∞ 

 

fn(z) − 

n=0 

pro N → ∞. 

N 

 

 

fn(z) 

≤ 

 

 

 

 

n=0 

∞ 

n=N+1 

 

 

fn(z) 

≤ 

∞ 

n=N+1 

an → 0 


5.7. Věta. Pokud má mocninná ˇrada ∞ 

n=0 an (z − z0) n 

poloměr konvergence R > 0, pak konverguje stejnoměrně na 

každém kruhu {z | |z − z0| < ϱ}, kde ϱ < R. 

D˚ukaz: Pro z ∈ {z | |z − z0| < ϱ} máme 

|an(z − z0) n | ≤ |an| ϱ n 

∞ 

|an|ϱ n < ∞ 

n=0 

Aplikujeme Weirstrasseovo kritérium. 


Jaké jsou vlastnosti funkce 

f (z) = 

∞ 

an(z − z0) n ? 

n=0 

5.8. Věta. Necht’ R > 0 je poloměr konvergence mocninné ˇrady 

∞ 

n=0 an (z − z0) n . Funkce 

f (z) = 

∞ 

an (z − z0) n 

n=0 

je holomorfní v kruhu |z − z0| < R a platí pro ni, že 

f ′ (z) = 

∞ 

n an (z−z0) n−1 = a1+2 a2(z−z0) 2 +3 a3 (z−z0) 2 +· · · . 

n=1 

"Derivace ˇrady člen po členu" 


(1) 

(2)

D˚ukaz: ˇRady v (1) a (2) mají stejný poloměr konvergence (viz 

výše). 

z0 = 0, |z| < R 

 

∞ 

= 

 

n=0 

an 

 

 

 

f (z + h) − f (z) 

h 

(z + h) n − z n 

h 

− 

∞ 

n an (z − z0) n−1 

 

 

 

 

n=1 

−nz n−1 

 

 

≤ 

∞ 

 

 

|an|· 

(z + h) 

 

n − zn h 

n=0 

−nz n−1 


Volme δ ∈ (0, R − |z|) a |h| < δ. (Binomická formule). 

 

 

 

(z + h) 

 

n − zn − nz 

h 

n−1 

 

 

 

= 

 

 

 

1 

h 

≤ |h| 

n 

k=2 

 

n 

|z| 

k 

n−k |h| k−2 ≤ |h| 

δ2 n 

 

n 

z 

k 

n−k h k 

 

 

 

≤ 

k=2 

n 

k=2 

≤ |h| 

δ2 [ |z| + δ]n . 

Použitím tohoto odhadu dostáváme: 

 

 

∞ 

 

f (z + h) − f (z) 

 

− n an z 

h 

n−1 

 

 

 

 

n=1 

≤ |h| 

δ 2 

 

n 

|z| 

k 

n−k δ k ≤ 

∞ 

|an|·[ |z|+δ] n → 0 pro h → 0 

n=2 


Pˇríklady: 

1 

1 − z = 

1 

= 

(1 − z) 2 

n=2 

∞ 

z n , 

n=0 

∞ 

n z n−1 , 

n=1 

2 

= n (n − 1) z 

(1 − z) 3 n−2 . 


5.9. Věta. Funkce f (z) = ∞ 

n=0 an (z − z0) n má na kruhu 

konvergence |z − z0| < R mocninné ˇrady ∞ 

n=0 an (z − z0) n 

derivace všech ˇrád˚u, pˇričemž platí, že 

f (k) (z) = 

Speciálně, 

∞ 

an n (n − 1) · · · (n − k + 1) (z − z0) n−k . 

n=k 

f (k) (z0) = ak · k! . 


D˚usledky: 

Koeficienty ˇrady jsou určeny hodnotami součtu na libovolně 

malém okolí bodu z0. 

Princip neurčitých koeficient˚u: 

∞ 

an (z − z0) n = 

n=0 

na jistém okolí bodu z0 implikuje 

∞ 

bn(z − z0) n 

n=0 

an = bn pro všechna n . 


5.10. Věta. Integrace člen po členu 

Má-li ˇrada ∞ n=0 an (z − z0) n poloměr konvergence R > 0, pak 

funkce 

∞ an 

n+1 

F(z) = (z − z0) 

n + 1 

n=0 

je primitivní funkce k funkci 

f (z) = 

∞ 

an (z − z0) n 

n=0 

na množině {z | |z − z0| < R}. 


Pˇríklad: Nalezněte součet ˇrady 

ˇRešení: 

n=0 

f (z) = 

f (z) = z 

∞ 

n 2 z n 

n=0 

∞ 

n 2 z n−1 

n=0 

∞ 

n 2 z n−1 

∞ 

= 

n=0 

∞ 

n z n ∞ 

= z n z n−1 

∞ 

= z 

n=0 

n=0 

n=0 

z n 

n z n 

′ 

. 

′ 

= z 

 

z 

f (z) = z 

(1 − z) 2 

′ 

= z + z2 

′ 

1 

= 

1 − z 

. 

(1 − z) 3 

z 

(1 − z) 2 


5.11. Věta. Integrální vyjádˇrení koeficient˚u 


f (z) = 

∞ 

an (z − z0) n 

n=0 

a R > 0 je poloměr konvergence ˇrady ∞ n=0 an (z − z0) n . Pro 

jakoukoliv Jordanovu kˇrivku C ⊂ {z | |z − z0| < R} , obsahující 

bod z0 ve své vnitˇrní oblasti platí 

an = 1 

2πj 

 

C 

f (z) 

dz . 

(z − z0) n+1 


D ˚ukaz: 

 

C 

 

f (z) 

dz = 

(z − z0) n+1 

C 

∞ 

ak (z − z0) k−n−1 dz = 

k=0 

Díky stejnoměrné konvergenci na každém kruhu 

|z − z0| < ϱ < R máme 

= 

∞ 

k=0 

ak 

 

C 

=⇒ an = 1 

2πj 

(z − z0) k−n−1 dz = an · 2πj . 

 

C 

f (z) 

dz . 

(z − z0) n+1 


5.12. Věta. Jednoznačnost analytické funkce 

Funkce f (z) je dána součtem mocninné ˇrady 

∞ 

f (z) = an (z − z0) n 

n=0 

s kladným poloměrem konvegence R. Necht’ existuje 

posloupnost (zk) neobsahující z0 tak, že f (zk) = 0 pro všechna 

k a limk→∞ zk = z0. Pak f je nulová funkce. 

D˚ukaz: indukcí dokážeme, že an = 0 pro všechna n. 

1. a0 = f (z0) = limk→∞ f (zk) = 0. 

2. a0 = a1 = · · · = an−1 = 0. 

f (z) = an(z − z0) n + an+1(z − z0) n+1 + · · · = 

g(zk) = 0 a tedy an = 0. 

= (z − z0) n [an + an+1(z − z0) + · · · ] 

 

g(z) 


5.2. Taylorovy ˇrady 

5.13. Definice. Necht’ f (z) je funkce mající všechny derivace v 

z0. Taylorova ˇrada funkce f (z) v bodě z0 je mocninná ˇrada 

∞ 

n=0 

f (n) (z0) 

n! 

(z − z0) n . 

5.14. Věta. Existence Taylorova rozvoje 

Necht’ f (z) je holomorfní funkce v oblasti G. Necht’ K je 

kružnice se stˇredem v bodě z0 taková, že Int K ∪ K ⊂ G. Pak 

existuje mocninná ˇrada ∞ 

n=0 an (z − z0) n konvergující v Int K 

tak, že 

pro všechna z ∈ Int K . 

f (z) = 

∞ 

an (z − z0) n 

n=0 


5.15. D ˚usledek. Holomorfní funkce má v otevˇrené množině 

derivace všech ˇrád˚u ! 

D˚ukaz: r ... poloměr kružnice K 

Volme 0 < ϱ < r a označme Kϱ = {z | |z − z0| = ϱ}. Vyjdeme z 

Cauchyova vzorce pro z ∈ Int Kϱ 

|w − z0| = ϱ: 

1 

w − z = 

f (z) = 1 

 

2πj Kϱ 

1 

w − z0 + z0 − z = 

f (w) 

dw . 

w − z 

1 

· 

w − z0 

|z − z0| |z − z0| 

= < 1 . 

|w − z0| ϱ 

1 

1 − z−z 0 

w−z 0 


.

Tedy 

1 

w − z = 

∞ 1 (z − z0) 

· 

w − z0 

n 

= 

(w − z0) n 

n=0 

Omezenost f : |f (w)| ≤ M na Kϱ. 

 

 

 

(z − z0) n 

f (w) 

(w − z0) n+1 

 

 

 

 

≤ M · |z − z0| n 

ϱ n+1 

∞ 

 

|z − z0| 

n=0 

ϱ 

n 

∞ 

n=0 

(z − z0) n 

(w − z0) n+1 

 

1 |z − z0| 

= M · 

ϱ ϱ 

< ∞ . 


n

Weierstrasseovo kritérium implikuje stejnoměrnou konvergenci, 

a tedy záměnu integrálu a ˇrady 

f (z) = 1 

 

2πj Kϱ 

= 1 

2πj 

 

f (w) 1 

dw = 

w − z 2πj Kϱ 

∞ 

 

n=0 

Kϱ 

∞ 

n=0 

f (w) 

(w − z0) n+1 (z−z0) n dw = 

 

f (w) 

dw · (z − z0) 

(w − z0) n+1 n . 

=⇒ existence rozvoje s koeficienty 

an = 1 

 

f (w) 

dw 

2πj (w − z0) n+1 

Kϱ 

Zbytek věta o jednoznačnosti 


Zobecněný Cauchy ˚uv vzorec: 

Je-li f (z) holomorfní v otevˇrené množině G, z0 ∈ Int C ∪ C ⊂ G, 

kde C je kladně orientovaná Jordanova kˇrivka, pak 

f (n) (z0) = n! 

 

f (w) 

dw . 

2πj C (w − z0) n+1 

5.16. Věta. Věta o jednoznačnosti 

Je-li f (z) holomorfní funkce v oblasti G a existuje-li prostá poslupnost 

(zk) ⊂ G s limk→∞ zk = a ∈ G taková, že f (zk) = 0 pro 

všechna k, pak 

D˚ukaz – pˇrednáška, skripta 

f (z) = 0 pro všechna z ∈ G . 


Klasické Taylorovy ˇrady a techniky rozvoje: 

5.17. Pˇríklad. 

v bodě z0 = a. 

1 

z − a = 

f (z) = 

1 

1 

= 

z − z0 + z0 − a 

1 

, k ∈ N, 

(z − a) k 

z0 − a · 

1 

1 + z−z 0 

z 0−a 

Pro |z − z0| < |z0 − a|. Postupná derivace: 

=⇒ f (z) = 

n=k−1 

= 

∞ 

n (z − z0) n 

(−1) 

(z0 − a) 

n=0 

n+1 . 

(k−1) 

1 

= 

z − a 

(−1)k−1 (k − 1)! 

(z − a) k 

∞ (−1) n−k+1 − 1) · · · (n − k + 2) 

·n(n (z−z0) 

(z0 − a) n+1 (k − 1)! 

n−k+1 . 



f (n) (0) = 1 pro všechna n. 

f (z) = e z 

e z = 

∞ 

n=0 

z n 

n! 

z0 = 0 

z ∈ C 

5.19. Pˇríklad. Goniometrické funkce: 

∞ 

sin z = (−1) n z2n+1 (2n + 1)! 

z ∈ C. 

n=0 

cos z = 

∞ 

(−1) 

n=0 

n z2n 

(2n)! 


f (z) = ln z, z0 = 1. 

f ′ (z) = 1 

z = 

Integrace člen po členu: 

f (z) = 

∞ 

n=0 

f (1) = 0 ⇒ c = 0. 

∞ 

ln z = 

1 

(z − 1) + 1 = 

(−1) n 

n + 1 (z − 1)n+1 + c = 

n=1 

(−1) n−1 

n 

(z − 1) n 

∞ 

(−1) n (z − 1) n 

n=0 

∞ 

n=1 

(−1) n−1 

n 

|z − 1| < 1 . 

(z − 1) n + c 



f (z) = arctg z , z0 = 0 . 

f ′ (z) = 

1 

∞ 

= (−1) 

1 + z2 n z 2n 

f (0) = 0 ⇒ c = 0. 

f (z) = 

arctg z = 

n=0 

n=0 

n=0 

∞ 

n z2n+1 

(−1) + c . 

2n + 1 

∞ 

n z2n+1 

(−1) 

2n + 1 

|z| < 1 . 

|z| < 1 . 


Leibnizova formule 

(f (z)g(z)) (n) = 

D˚ukaz indukcí: 1. n = 1 OK 

n 

k=0 

 

n 

f 

k 

(k) (z)g (n−k) (z) 


2. Platí pro n pak platí pro n + 1. 

= 

n 

k=0 

= 

[f (z)g(z)] (n+1) 

n 

= 

n 

k=0 

 

n 

k 

k=0 

 

n 

f 

k 

(k) g (n−k) ′ 

(z) = 

 

n 

[f 

k 

(k) (z) g (n−k+1) (z) + f (k+1) (z)g (n−k) (z)] = 

f (k) (z)g (n−k+1) n+1 

 

n 

(z)+ 

f 

k − 1 

(k) (z)g (n−k+1) (z) = 

= f (z)g (n+1) (z) + 

k=1 

n 

 

n n 

[ + 

k k − 1 

 

=( n+1 

k ) 

k=1 

+f (n+1) (z)g(z) . 

]f (k) (z)g (n−k+1) (z)+ 


5.21. Věta. Násobení mocninných ˇrad 

Necht’ pro bod z0 mají funkce f (z) a g(z) v okolí bodu z0 

Taylorovy rozvoje 

f (z) = 

∞ 

an (z − z0) n 

n=0 

g(z) = 

∞ 

bn(z − z0) n . 

n=0 

Pak funkce h(z) = f (z)g(z) má v daném okolí bodu z0 Taylor˚uv 

rozvoj 

∞ 

h(z) = cn (z − z0) n , 

kde 

cn = 

n=0 

n 

k=0 

ak bn−k . 


D˚ukaz: 

cn = 1 

n! h(n) (z0) = 1 

n! 

= 1 

n! 

n 

k=0 

n 

k=0 

 

n 

f 

k 

(k) (z0)g (n−k) (z0) = 

n! 

k!(n − k)! · k!ak(n − k)!bn−k = 

Mocninné ˇrady násobíme jako polynomy 

n 

k=0 

akbn−k 

Pˇríklad: Napište počáteční členy Taylorova rozvoje funkce 

f (z) = e−(z−1)2 · ln z pro z0 = 1. 

 

1−(z−1) 2 + 

 

(z − 1)4 

+· · · (z−1)− 

4! 

(z − 1)2 

+ 

2 

(z − 1)3 

= (z − 1) − (z − 1) 2 /2 − 2/3(z − 1) 3 + · · · 

− 

3 

(z − 1)4 

+· 

4 


6. Reprezentace holomorfní funkce 

Laurentovou ˇradou 

6.1. Laurentovy ˇrady 

Motivace: 

f (z) = 1 

1−z . 

Pro |z| < 1 je f (z) = ∞ 

n=0 zn . Co pro |z| > 1 ? 

f (z) = 1 

1 − z 

1 

= 

z · 

1 

1/z − 1 

= − 

∞ 1 

. 

zn+1 n=0 


6.1. Definice. ˇRada tvaru 

∞ 

n=−∞ 

an(z−z0) n = · · · 

a−2 a−1 

+ +a0+a1(z−z0)+a2(z−z0) 

(z − z0) 2 z − z0 

2 +· 

kde (an) ∞ n=−∞ je posloupnost komplexních čísel a z0 ∈ C se 

nazývá Laurentova ˇrada se stˇredem v bodě z0 a koeficienty 

(an) ∞ n=−∞. 


ˇRada ∞ n=0 an(z − z0) n se nazývá regulární část Laurentovy 

ˇrady, 

ˇrada −1 n=−∞ an(z − z0) n se nazývá hlavní část Laurentovy 

ˇrady 

Laurentova ˇrada konverguje v daném bodě z ∈ C konverguje-li 

současně v tomto bodě její hlavní i regulární část. Její součet je 

pˇritom definován jako součet regulární a hlavní části, tj. 

∞ 

n=−∞ 

an(z − z0) n = 

∞ 

a−n(z − z0) −n ∞ 

+ an(z − z0) n . 

n=1 

n=0 


6.2. Definice. ˇRada 

∞ 

n=−∞ 

an 

z n 

se nazývá Laurentova ˇrada se stˇredem v bodě ∞. 

ˇRada −1 n=−∞ an 

zn se nazývá hlavní část. 

ˇRada ∞ n=0 an 

zn se nazývá regulární část. 


Otázka konvergence ˇrady ∞ 

n=−∞ an(z − z0) n : 

1. regulární část: ∞ 

n=0 an (z − z0) n ... mocninná ˇrada se 

stˇredem z0 a poloměrem konvergence R2. 

2. hlavní část ∞ 

n=1 a−n(z − z0) −n = a −1 

z−z 0 + a −2 

(z−z 0) 2 + · · · 

Substituce: w = 1 

z−z 0 . 

a−1w + a−2w 2 + · · · 

– mocninná ˇrada s poloměrem konvergence R. 

R1 = 1 

R ... poloměr konvergence hlavní části. 

Hlavní část konverguje absolutně pro |z − z0| > R1. 

Zobecněné mezikruží: 0 ≤ R1, R2 ≤ ∞ 

P(z0, R1, R2) = {z ∈ C | R1 < |z − z0| < R2} 


6.3. Věta. Necht’ ∞ 

n=−∞ an(z − z0) n je Laurentova ˇrada s 

poloměrem konvergence hlavní části R1 a regulární části R2. 

Je-li R1 < R2 pak Laurentova ˇrada konverguje absolutně v 

mezikruží P(z0, R1, R2) a nekonverguje v žádném bodě mimo 

uzávěr tohoto mezikruží. 

Pˇríklady: 1. 

regulární část: 

lim 

n→∞ 

∞ 

n=−∞ 

2 −|n| (z − 1) n . 

∞ 

2 −n (z − 1) n . 

n=0 

n√ 2 −n |z − 1| = 1/2|z − 1| < 1 =⇒ |z − 1| < 2 . 


hlavní část: 

lim 

n→∞ 

−1 

n=−∞ 

2 −|n| (z − 1) n = 

∞ 

2 −n 1 

(z − 1) 

n=1 

n√ 1 1 1 

2−n = 

|z − 1| 2 |z − 1| 

Závěr: mezikruží konvergence P(1, 1 

2 , 2). 

2. 

−1 

n=−∞ 

2 n z n + 

n . 

< 1 =⇒ |z − 1| > 1 

2 . 

∞ 

3 n z n . 

n=0 

R1 = 1 

2 , R2 = 1 

3 . 

Závěr: Nekonverguje v žádném bodě. 


3. 

Konverguje v P(0, 1, ∞). 

−1 

n=−∞ 

Otázka stejnoměrné konvergence: 

6.4. Věta. Konverguje-li Laurentova ˇrada v mezikruží 

P(z0, R1, R2), kde R1 < R2, pak konverguje stejnoměrně v 

každém mezikruží P(z0, ϱ1, ϱ2), kde R1 < ϱ1 < ϱ2 < R2. 


z n 


Funkce f (z) = ∞ n=−∞ an (z − z0) n je holomorfní v oblasti 

P(z0, R1, R2). Existují totiž dvě holomorfní funkce g, h tak, že 

 

1 

f (z) = g(z − z0) + h . 

z − z0 

Opačná otázka: Má funkce holomorfní v mezikruží rozvoj v 

Laurentovu ˇradu? 


6.5. Věta. Cauchy˚uv vzorec pro mezikruží 

Necht’ C1, C2 jsou kladně orientované Jordanovy kˇrivky takové, 

že C1 ⊂ Int C2. Necht’ f je funkce holomorfní v otevˇrené 

množině O ⊃ Int C2 \ Int C1. Pak pro každé z ∈ Int C2 \ Int C1 je 

f (z) = 1 

2πj 

 

C 2 

D˚ukaz: Pˇrednáška, skripta. 

 

f (w) 

dw − 

w − z C1 f (w) 

w − z dw 


 

.

6.6. Věta. Rozvoj v Laurantovu ˇradu 

Necht’ f (z) je funkce holomorfní v mezikruží P(z0, r, R), kde 

0 ≤ r < R ≤ ∞. Pak existuje právě jedna Laurantova ˇrada 

∞ 

n=−∞ an (z − z0) n tak, že 

Pˇritom 

f (z) = 

∞ 

n=−∞ 

an (z − z0) n 

z ∈ P(z0, r, R) . 

an = 1 

 

f (w) 

dw n ∈ Z , 

2πj C (w − z0) n+1 

kde C je libovolná kladně orientovaná Jordanova kˇrivka ležící v 

P(z0, r, R) a z0 ∈ IntC. 


D˚ukaz: 1. Existence rozvoje 

z0 = 0, z ∈ P(0, r, R). 

volme ϱ1, ϱ2 s r < ϱ1 < |z| < ϱ2 < R. 

C1 ... |z| = ϱ1 

C2 ... |z| = ϱ2 

kladná orientace 

w ∈ C1: 

f (z) = 1 

2πj 

f (w) 

w − z 

 

C 2 

 

f (w) 

dw − 

w − z C1 f (w) 

= 

z( w = −f (w) 

− 1) 

z 

f (w) 

w − z dw 

 

. 

∞ 

n=0 

w n 

. 

zn+1 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 157 / 369

Odhad hodnoty 

|f (w)| |w|n 

≤ (max 

|z| n+1 

w∈C 1 

|f (w)|) 1 

|z| 

ϱn 1 

|z| n 

Jelikož ϱ1 |z| < 1 dá horní odhad konvergentní číselnou ˇradu. 

Tedy ∞ 

0 

w n 

f (w) 

zn+1 konverguje stejnoměrně pro w ∈ C1. 

 

∞ 

 

f (w) 

dw = − 

w − z 

f (w)w n 

dw · 1 

. 

zn+1 C 1 

n=0 

Rozvoj pro C2 vede na regulární část - viz věta o Taylorově 

rozvoji. 

C 1 


Jednoznačnost a integrální vyjádˇrení koeficient˚u: 

 

C 

f (w) = 

f (w) 

= 

w n+1 

∞ 

k=−∞ 

∞ 

k=−∞ 

f (w) 

dw = 

w n+1 

 

C 

ak w k | · 

1 

w n+1 

ak w k−n−1 

| 

∞ 

k=−∞ 

ak 

 

C 

f (w) 

w n+1 dw = 2πj an . 

C 

dw . 

w k−n−1 dw . 


Pˇríklady: 

f (z) = 

1 

z − 2 

f (z) = − 

1 

(z − 2)(z − 3) , z0 = 0 , v P(0, 2, 3) . 

1 

z − 3 

= 1 

z 

∞ 

n=0 

f (z) = 1 1 

− 

z − 3 z − 2 . 

= −1 

3 

1 

1 − 2 

z 

z n 

3 

= 

n+1 − 

1 

1 − z 

3 

∞ 

n=0 

−1 

n=−∞ 

= − 

2n = 

zn+1 ∞ 

n=0 

zn . 

3n+1 −1 

n=−∞ 

2 −n−1 z n . 

2 −n−1 z n , 2 < |z| < 3 . 


f (z) = 

Derivace člen po členu: 

1 

(z − 2) 2 , z0 = 0 , |z| > 2 . 

1 

z − 2 = 

∞ 

n=0 

2 n 

z n+1 

∞ 1 

− = (−n − 1) 

(z − 2) 2 2n 

1 

= 

(z − 2) 2 

f (z) = 

−2 

n=−∞ 

n=0 

∞ 

(n + 1) 2n 

n=0 

z n+2 

z n+2 

(−n − 1)2 −n−2 z n . 


f (z) = z 2 e 1/z , z0 = ∞ , 

f (z) = z 2 

∞ 1 

zn 1 

n! = z2 ∞ 1 1 

+ z + 

(n + 2)! z 

n=0 

n=0 


n .

Integrace: 

c = 0 

f (z) = 

 

f (z) = ln 1 + 1 

 

, z0 = ∞ 

z 

g(z) = ln(1 + z) , z0 = 0 

g ′ (z) = 1 

1 + z = 

∞ 

(−1) n z n 

g(z) = 

n=0 

∞ 

n 1 

(−1) 

n + 1 

n=0 

n=0 

∞ 

n zn+1 

(−1) + c 

n + 1 

1 

· , |z| > 1 . 

zn+1 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 163 / 369

6.2. Singularity 

6.7. Definice. Necht’ f je funkce holomorfní v prstencovém 

okolí bodu z0 ∈ C ∪ ∞. Bod z0 není v definičním oboru funkce 

f . Pak se bod z0 nazývá izolovaným singulárním bodem 

(singularitou) funkce f . ˇRekneme, že z0 je 

1 odstranitelná singularita funkce f , jestliže existuje vlastní 

limita f v bodě z0; 

2 pól funkce f , jestliže limz→z 0 f (z) = ∞; 

3 podstatná singularita funkce f jestliže f nemá limitu v bodě 

z0. 

Pˇríklad: 

sin z 

z ...0, ∞; e1/z ...0, ∞ 


6.8. Věta. Necht’ f je funkce holomorfní a omezená na 

prstencovém okolí bodu z0. Pak z0 je odstranitelná singularita 

funkce f . Navíc, dodefinujeme-li funkci f v bodě z0 její limitou, 

stane se f holomorfní v bodě z0. 

Nemá analogii v reálném oboru ... sin(1/x), sin x, sgn x, 

D˚ukaz: 

C 

f (z) = 

∞ 

n=−∞ 

an (z − z0) n . 

Pro n = 1, 2, . . . 

a−n = 1 

 

 

f (w) 

1 

dw = 

2πj (w − z0) −n+1 2πj 

C je kružnice o poloměru r a stˇredu z0. 

C 

x 2 

|x| . 

f (w)(w − z0) n−1 dw . 


Omezenost f znamená: 

na jistém okolí bodu z0. Tedy 

|f (w)(w − z0) n−1 | ≤ M 

|a−n| ≤ 1 

M · 2πr = Mr . 

2π 

Protože r m˚uže být libovolně malé, máme 

|a−n| = 0 

pro všechna n = 1, 2 . . .. Tedy hlavní část Laurentova rozvoje je 

nulová. 


Póly mají jemnější klasifikaci vystihující rychlost konvergence k 

∞. Souvisí s ˇrádem koˇrene holomorfní funkce. 

6.9. Tvrzení. Necht’ f je funkce holomorfní v bodě z0, která 

není identicky rovna nule na žádném okolí bodu 0. Pak existuje 

(jediné) číslo k = 0, 1, . . . tak, že 

f (z0) = · · · = f (k−1) (z0) = 0 , f (k) (z0) = 0 . 

Číslo k se nazývá násobnost (ˇrád, stupeň) koˇrene z0 funkce f 

Poznámka: k = 0 neni koˇrenem, 

k = ∞ znamená nulovost na celém okolí. Tvrzení vyplývá ze 

skutečnosti, že nulovost všech derivací znamená nulovost 

Taylorova rozvoje. 


z0 je koˇrenem násobnosti k ⇐⇒ 

f (z) = f (k) (z0) 

(z−z0) 

k! 

k + f (k+1) (z0) 

(k + 1)! (z−z0) k+1 +· · · = (z−z0) k g(z) , 

kde g(z) je holomorfní v bodě z0 a g(z0) = 0. 

Je-li z0 pól funkce f (z), pak f (z) = 0 pro všechna z ∈ P, kde P 

je nějaké prstencové okolí bodu z0. Funkce h(z) = 1 

f (z) je 

holomorfní v tomto prstencovém okolí a platí, že 

limz→z 0 h(z) = 0. z0 je tedy odstranitelná singularita funkce 

h(z). Dodefinováním h(z0) = 0 se z0 stane koˇrenem funkce h. 

ˇRád (stupeň, násobnost) pólu z0 funkce f (z) je definován jako 

stupeň koˇrene z0 funkce h(z). 


z0 je pólem násobnosti k ⇐⇒ 1 

f (z) = (z − z0) k g(z), kde g(z) je 

holomorfní a nenulová v bodě z0. 

6.10. Tvrzení. Bod z0 ∈ C je pólem násobnosti k právě tehdy 

když 

f (z) = h(z) 

, 

(z − z0) k 

kde h(z) je holomorfní a nenulová v bodě z0. 

Každý pól má sv˚uj ˇrád – konvergence k ∞ je "kvantovaná" a ne 

libovolná jako v reálném oboru 


Pˇríklady 

f (z) = 

1 

. 

z(z − 2) 2 

jednoduchý pól 0 a dvojnásobný pól 2. 


0 je pól násobnosti 5 

1 ... pól násobnosti 2 

z − sin z 

f (z) = 

z8 . 

f (z) = ez−1 − 1 

(z − 1) 3 


6.11. Definice. Necht’ f je holomorfní v prstencovém okolí 

nekonečna. ˇRekneme, že ∞ je pól funkce f ˇrádu k jestliže 

f (z) = z k g(z) , 

kde g je holomorfní funkce s vlastní nenulovou limitou v ∞. 

∞ je pól násobnosti k ⇐⇒ 0 je pól ˇrádu k funkce g(z) = f (1/z). 

Pˇríklad: ∞ je pól násobnosti 2 funkce f (z) = z 2 e 1/z . 


6.12. Věta. Necht’ ∞ n=−∞ an (z−z0) n (resp. ∞ n=−∞ an 

zn ) je Laurent˚uv 

rozvoj funkce f v prstencovém okolí bodu z0 ∈ C ∪ ∞. 

1 f má v bodě z0 odstranitelnou singularitu právě tehdy když 

an = 0 pro všechna n < 0. 

2 f má v bodě z0 pól násobnosti k právě tehdy když a−k = 0 

a an = 0 pro všechna n < −k. 

3 f má v bodě z0 podstatnou singularitu právě tehdy když 

nekonečně mnoho koeficient˚u v hlavní části Laurentovy 

ˇrady je nenulových. 


D˚ukaz (2) 

f (z) = g(z) 

(z − z0) k 

kde g je holomorfní a nenulová v z0. 

= 

g(z) = 

f (z) = 

∞ 

bn(z − z0) n , b0 = 0 

n=0 

1 

(z − z0) k 

∞ 

bn(z − z0) n = 

n=0 

b0 b1 

+ 

(z − z0) k (z − z0) k−1 + · · · + bk + bk+1(z − z0) + · · · 


Pˇríklady: 

dvojnásobný pól 

f (z) = 

sin z 1 1 

= − 

z3 z2 3! 

f (z) = e 1/z = 

∞ 

n=0 

z2 

+ + · · · 

5! 

1 

n!z n 

0... podstatná singularita , ∞ ... odstranitelná singularita. 

f (z) = sin z = 

∞ je podstatná singularita 

∞ je pól násobnosti 2 

∞ 

n=0 

z 2n+1 

(2n + 1)! 

f (z) = z 2 e 1/z = z 2 ∞ 1 1 

+ z + 

(n + 2)! zn n=0 


6.3. Reziduum 

Motivace: integrální vyjádˇrení koeficient˚u Laurentovy ˇrady: 

an = 1 

 

f (z) 

dz 

2πj (z − z0) n+1 

dá ve speciálním pˇrípadě 

C 

a−1 = 1 

2πj 

 

C 

f (z) dz 


Laurentovým rozvojem se stˇredem v dané singularitě rozumíme 

Laurent˚uv rozvoj v nějakém prstencovém okolí singularity. 

6.13. Definice. Necht’ z0 ∈ C (resp.z0 = ∞) je singularita 

funkce f (z). Koeficient a−1 (resp. −a1) Laurenotva rozvoje f v 

bodě z0 se nazývá reziduum funkce f v bodě z0. Značení: resz 0 f . 


Pˇríklady: 

res0 

sin z 

= 0 

z3 sin z 1 1 

= − 

z3 z2 3! 

n=0 

+ z2 

5! 

res∞ z 2 e 1/z = − 1 

3! . 

z 2 e 1/z = z 2 ∞ 1 1 

+ z + 

(n + 2)! zn Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 178 / 369

Reziduum — co zbyde po integraci kolem bodu. Napˇríklad, je-li 

C dostatečně velká záporně orientovaná kružnice se stˇredem v 

nule je pro singularitu ∞: 

 

C 

f (z) dz = 

∞ 

 

n=0 

C 

 

an a1 

dz = 

zn C z dz = −a12πj = 2πjres∞ f (z) . 


Některé metody výpočtu rezidua (mimo Laurent˚uv rozvoj) 

6.14. Tvrzení. Necht’ z0 ∈ C je k-násobný pól funkce f . Pak 

1 d 

resz f = lim 

0 

z→z0 (k − 1)! 

k−1 

d zk−1 

(z − z0) k 

f (z) . 

D˚ukaz: 

f (z) = 

a−k 

+ 

(z − z0) k a−k+1 

a−1 

+ · · · + + a0 + · · · 

(z − z0) k−1 z − z0 

(z−z0) k f (z) = a−k+a−k+1(z−z0)+· · ·+a−1(z−z0) k−1 +a0(z−z0) k +· · 

d k−1 

d zk−1 

(z − z0) k 

f (z) = (k − 1)!a−1 + k!a0(z − z0) + · · · . 

Limitou z → z0 jde poslední výraz k (k − 1)!a−1. 


Pˇríklad: 

res2j 

z + 2 

(z − 2j) 2 = lim 

(z + 1) z→2j 

d 

d z 

Speciálně pro jednonásobný pól platí 

 

z + 2 

= lim 

z + 1 z→2j 

resz f = lim (z − z0) f (z) . 

0 

z→z0 

−1 3 + 4j 

= 

(z + 1) 2 25 . 

6.15. Tvrzení. Necht’ f a g jsou funkce holomorfní v z0 ∈ C. 

Necht’ z0 je jednonásobný koˇren funkce g 

(tj. g(z0) = 0, g ′ (z0) = 0). Pak 

resz 0 

f (z) f (z0) 

= 

g(z) g ′ (z0) . 


Pˇríklady: 

reskπ f (z) = reskπ 

f (z) = z3 + 1 

sin z 

res0 f = 1 

= 1 . 

cos 0 

f (z) = cotg z 

cos z 

sin z 

= cos kπ 

cos kπ 

= 1 . 


6.16. Tvrzení. Necht’ f je holomorfní v bodě z0 ∈ C a g má v 

bodě z0 jednonásobný pól. Pak 


Pˇríklad: 

resz 0 f (z)g(z) = f (z0)resz 0 g(z) . 

reskπ z 3 cotg z = (k 3 π 3 )reskπ cotg z = k 3 π 3 . 

Pˇrípad ∞. Má-li f odstranitelnou singularitu v ∞, pak 

f (∞) = lim 

z→∞ f (z) = a0 . 


6.17. Tvrzení. 

1 Necht’ f má v ∞ odstranitelnou singularitu. Pak 

res∞ f = lim 

z→∞ z[f (∞) − f (z)] 

res∞ f = lim 

z→∞ z 2 f ′ (z) 

2 Má-li f v ∞ pól ˇrádu k, pak 

res∞ f = (−1)k 

(k + 1)! lim 

 

z→∞ 

Pˇríklad: 

z 

 

k+2 d k+1 

f (z) 

d zk+1 res∞ e 1/z = lim 

z→∞ z[1 − e 1/z ] = −1 . 

res∞ e 1/z = lim 

z→∞ z 2 (e 1/z ) ′ = −1 . 

res∞ 

e 1/z 

2z 

e1/z 

= lim −z 

z→∞ 2z 

= −1 

2 . 


7. Reziduová věta a její aplikace 

6.1. Reziduová věta 

Motto: Jacques Hadamard (1865-1963): "Nejkratší cesta mezi 

dvěma pravdami v reálném oboru vede pˇres obor komplexní." 

7.1. Věta. Reziduová věta 

Necht’ G je oblast a f (z) funkce holomorfní v množině 

G \ {z1, z2, . . . , zn}. Nechtˇ C je kladně orientovaná Jordanova 

kˇrivka ležící v G a mající ve svém vnitˇrku body z1, z2, . . . , zk, 

k ≤ n. Pˇredpokládejme dále, že G obsahuje vnitˇrní oblast kˇrivky 

C. Potom 

 

k 

f (z) dz = 2πj resz f . i 

C 


i=1

Cauchy˚uv vzorec i Cauchyova věta se dají chápat jako 

d˚usledek Reziduové věty. 

Víme již, že reziduová věta platí pro jednu singularitu. 

D˚ukaz: Hi(z) ... součet hlavní části Laurentova rozvoje v bodě 

zi. Jedná se o funkci holomorfní v C \ {zi}. Položme 

g(z) = f (z) − H1(z) − H2(z) − · · · − Hk(z) . 

g je (po dodefinování) v bodech zi holomorfní v G. Dle 

Cauchyovy věty: 

 

0 = 

C 

 

g(z) dz = 

 

= 

C 

C 

f (z) dz − 

f (z) dz − 2πj 

k 

 

i=1 

C 

k 

resz f (z) . i 

i=1 

Hi(z) dz = 


7.2. D ˚usledek. Je-li funkce f (z) holomorfní v C až na konečně 

mnoho bod˚u z1, z2, . . . , zk ∈ C, pak 

k 

resz f + res∞ f = 0 . 

i 

i=1 

D˚ukaz: Pro kladně orientovanou Jordanovu kˇrivku C mající 

body z1, z2, . . . , zk ve svém vnitˇrku platí 

 

C 

f (z) dz = 2πj 

k 

resz f k 

i=1 

 

− f (z) dz = 2πj res∞ f . 

C 


Pˇríklady: 

C 

1 

(z2 dz , 

− 1)(z − 3) 2 

kde C je kladně orientovaná asteroida x 2/3 + y 2/3 = 2 2/3 . 

Singularity uvnitˇr — 1, −1, jednoduché póly. 

C 

res1 

1 

(z2 = 

− 1)(z − 3) 2 

1 1 

= 

2 · (−2) 2 8 . 

1 

res−1 

(z2 1 

1 

= 

= − 

− 1)(z − 3) 2 (−2) · (−4) 2 32 . 

 

1 

(z2 

1 1 

dz = 2πj − = 

− 1)(z − 3) 2 8 32 

3π 

16 j. 


C 

1 

dz , 

1 + z100 kde C je kladně orientovaná kružnice |z| = 2. 

Celkem sto singularit z1, z2, . . . , z100. (Tvoˇrí vrcholy 

pravidelného stoúhelníka na jednotkové kružnici.) 

100 

resz f = −res∞ f . 

k 

k=1 

res∞ f (z) = lim 

 

C 

z→∞ − 

z 

= 0 . 

1 + z100 1 

dz = 0 . 

1 + z100 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 189 / 369

C 

sin 

z 

dz , 

z + 1 

kde C je kladně orientovaná kružnice |z| = 2. 

sin 

 

z 

= sin 1 − 

z + 1 1 

 

= sin 1 cos 

z + 1 

cos 

sin 

1 

z + 1 = 

1 

z + 1 = 

k=0 

1 

− cos 1 sin 

z + 1 

1 

z + 1 . 

∞ 

k (z + 1)−2k 

1 

(−1) =⇒ res−1 cos = 0 . 

(2k)! 

z + 1 

∞ 

k (z + 1)−2k−1 

(−1) 

(2k + 1)! =⇒ res−1 

1 

sin = 1 . 

z + 1 

k=0 

Závěr: 

C 

sin 

z 

dz = −2πj cos 1. 

z + 1 


6.2. Výpočet určitých integrál ˚u 

a) Integrály racionálních funkcí ∞ P(x) 

−∞ Q(x) dx 

P, Q ... polynomy s reálnými koeficienty, 

st Q > st P + 1, Q nemá reálné koˇreny. 

CR (R > 0)... kladně orientovaná kˇrivka skládající se z úsečky 

LR = [−R, R] a oblouku kružnice 

KR = {z ∈ C | |z| = R, Im z ≥ 0}. 

f (z) = P(z) 

Q(z) 

R zvolme tak, aby všechny singularity funkce f v polorovině 

Im z > 0 ležely uvnitˇr kˇrivky CR. Podle reziduové věty 

 

 

f (z) dz = 2πj 

resz f (z) . 

C 

{z | Q(z)=0,Im z>0} 


L R 

 

Ukážeme, že 

K R 

C R 

f (z) dz = 

 

f (z) dz = 

R 

−R 

L R 

 

f (z) dz + f (z) dz . 

KR f (x) dx −→ (R→∞) 

 

lim f (z) dz = 0 . 

R→∞ KR z∈K R 

∞ 

−∞ 

P(x) 

dx . 

Q(x) 

Existuje okolí nekonečna, U, tak, že 

 

 

 

z 

 

2 

P(z) 

 

Q(z) ≤ M tj. 

 

 

 

P(z) 

 

M 

Q(z) 

≤ , 

|z| 2 

z ∈ U. 

 

 

 

 

 

 

f (z) dz 

≤ délka(KR) · max |f (z)| ≤ πR · M πM 

= → 0 

R2 R 

pro R → ∞. 


Závěr: 

∞ 

−∞ 

Pˇríklad: ∞ 

P(x) 

dx = 2πj 

Q(x) 

−∞ 

 

{z | Q(z)=0,Im z>0} 

resz 

x 2 

(x 2 + a2 dx , a > 0 . 

) 2 

 

P(z) 

resaj = lim (z − aj) 

Q(z) z→aj 

2 z2 (z2 + a2 ) 2 

∞ 

−∞ 

′ 

2ajz 1 

= lim = 

z→aj (z + aj) 3 4aj 

x 2 

(x 2 + a2 dx = 2πj resaj 

) 2 

P(z) 

Q(z) . 

 

z 

= lim 

z→aj 

2 

(z + aj) 2 

P(z) 1 

= 2πj 

Q(z) 4aj 

= π 

2a . 


′ 

=

) Integrály z goniometrických funkcí 2π 

0 R(cos x, sin x) dx. 

R(x, y) ... racionální funkce definovaná na jednotkové kružnici. 

2π 

 

z2 + 1 

R(cos x, sin x) dx = R , 

2z 

z2 

− 1 dz 

2jz jz , 

0 

kde C je kladně orientovaná jednotková kružnice. 

Odvození : pˇrednáška, skripta 

——————————————————————————- 

Pˇríklad: 

2π 

0 

C 

dx 

, a > b > 0 . 

a + b cos x 


Položme 

F(z) = 

1 

a + b z2 +1 

2z 

· 1 

jz 

= 2 

j 

1 

bz2 + 2az + b . 

Funkce F(z) má singularity v koˇrenech polynomu 

tj. v bodech 

bz 2 + 2az + b 

z1 = −a + √ a2 − b2 , z2 = 

b 

−a − √ a2 − b2 . 

b 

|z1| < 1, |z2| > 1 (Nebot’ z1z2 = b 

b = 1) 

2π 

0 

dx 

a + b cos x = 2πj resz 1 

= 4π 

b · 

2 

jb(z − z1)(z − z2) = 

1 

√ 

2 a2−b2 b 

= 

2π 

√ a 2 − b 2 . 

4π 

b(z1 − z2) = 


c) integrály typu ∞ 

−∞ R(x) ejx dx 

kde R(x) je racionální funkce s reálnými koeficienty, nemá póly 

na reálné ose, limz→∞ R(z) = 0. 

Dle Eulerovy identity: 

∞ 

R(x)e jx ∞ 

∞ 

dx = R(x) cos x dx + j R(x) sin x dx. 

−∞ 

−∞ 

7.3. Věta. Jordanovo lemma 

Necht’ Kr je polokružnice {z ∈ C | |z| = r, Im z ≥ 0}. 

Pˇredpokládejme, že f (z) je spojitá funkce definovaná na 

pr˚uniku jistého okolí nekonečna s horní polorovinou. Označme 

−∞ 

M(r) = max |f (z)|. 

z∈Kr 

 

Jestliže limr→∞ M(r) = 0, pak limr→∞ Kr f (z)ejz dz = 0. 


D˚ukaz: 

Kr 

f (z)e jz π 

dz = f (re jt )e jrejt 

· jre jt dt . 

Protože |f (z)| ≤ M(r) na Kr m˚užeme odhadnout 

 

 

 

f (z)e jz 

 

dz 

 

Kr 

0 

π 

≤ rM(r) · |e 

0 

jrejt 

| dt . (3) 

Pro z = x + jy, x, y ∈ R máme ejz = ejx−y , |ejz | = e−y . Pro 

z = rejt 

 

dá výše uvedená identita 

Dle (3) dostaneme 

 

 

 

f (z)e jz 

 

dz 

 

Kr 

e jrejt = e −r sin t . 

π 

≤ rM(r) · 

0 

e −r sin t dt. 


Pro t ∈< 0, π 

2 

(konkávita). 

> platí nerovnost 

sin t ≥ 2 

t . 

π 

Díky symetrii funkce sinus k bodu π/2 máme 

π 

0 

e −r sin t dt = 2 

π 

2 

0 

e −r sin t dt . 


Platí tedy 

π 

2 

0 

Závěr: 

 

 

 

 

e −r sin t dt ≤ 2 

π 

2 

0 

2 

−r 

e π t dt < 2 

Kr 

f (z)e jz 

 

dz 

 

≤ rM(r)π 

r 

∞ 

0 

2 

−r 

e π t dt = 2 1 

2 

π 

= πM(r) → 0 pro r → ∞. 

π 

= 

r r . 


Pro racionální funkci R(z) s limz→∞ R(z) = 0 platí Jordanovo 

lemma, a proto m˚užeme postupovat stejně jako v bodě (a). 

Tímto získáme 

∞ 

R(x) e jx dx = 2πj 

−∞ 

 

{z∈C | z je pól R(z),Im z>0} 

resz R(z) e jz . 


Pˇríklad: 

∞ 

−∞ 

= 2πj res2j 

∞ 

−∞ 

ejx x 2 dx . 

+ 4 

ejx x 2 ∞ 

dx = 

+ 4 −∞ 

ejz z2 e−2 

= 2πj 

+ 4 2 · 2j 

cos x 

x 2 dx = 

+ 4 

= π 

2 e−2 . 


d) Obcházení jednoduchých pól ˚u 

7.4. Tvrzení. Pˇredpokládejme, že funkce f (z) má jednoduchý 

pól v bodě z0 ∈ C. Necht’ C je oblouk kružnice o stˇredu z0 a 

poloměru ϱ parametrizovaný funkcí 

ϕ(t) = z0 + ϱe jt 

t ∈< ϕ, ϕ + α > , 

kde 0 ≤ ϕ < ϕ + α < 2π. Pak 

 

lim f (z) dz = jα resz f (z). 0 

ϱ→0+ 

C 


D˚ukaz: Skutečnost, že f má v bodě z0 jednoduchý pól 

znamená , že f (z) je možno vyjádˇrit: 

f (z) = resz f (z) 0 

+ g(z), 

z − z0 

kde g je funkce holomorfní v z0. Je tedy 

Pˇritom 

 

C 

C 

 

f (z) dz = 

C 

resz 0 f (z) 

z − z0 

 

dz + 

C 

g(z) dz . (4) 

ϕ+α 

resz f (z) 

resz f (z) 

0 0 

dz = 

z − z0 

ϕ ϱejt · jϱe jt dt = 

ϕ+α 

= jresz f (z) dt = jα resz f (z). 

0 0 

ϕ 

Funkce g je omezená v jistém okolí bodu z0. Pro ϱ → 0+ 

konverguje délka kˇrivky k nule. 

 

 

=⇒ 

g(z) dz 

≤ αϱ · max |g(z)| → 0, 

C 

pro ϱ → 0 + . 

C 


Závěr: 

Pˇríklad: Newton˚uv integrál 

(detaily pˇrednáška) 

∞ 

 

lim f (z) dz = jα resz f (z). 0 

ϱ→0+ C 

−∞ 

sin x 

x 

dx = π . 

Integrujeme pˇres velké polokružnice (Jordanovo lemma) a malé 

polokružnice kolem bodu 0 (pˇredchozí tvrzení) 

∞ 

−∞ 

e jz 

z 

dz = πj res0 

e jz 

z 

= πj . 


8.1. Fourierovy ˇrady 

8. Fourierova transformace 

• zpracování periodické funkce, spektrální rozklad 

pˇredpoklady: 

1 

f (t) :< a, a + T >→ C , T > 0 

nebo f je periodická funkce s periodou T . 

2 f je integrovatelná tj. 

a+T 

a 

|f (t)| dt < ∞ . 


Fourierova ˇrada v komplexním tvaru funkce f je ˇrada 

∞ 

cne jnωt = 

kde 

n=−∞ 

= · · · + c−2e −2jωt + c−1e −jωt + c0 + c1e jωt + c2e 2jωt + · · · 

ω = 2π 

T , cn = 1 

a+T 

f (t) e 

T a 

−jnωt dt . 

Fourierovy koeficienty funkce f , cn, (n ∈ Z) "poměˇrují" f (t) s 

periodickým pohybem e jnωt , tj. násobnými harmonickými 

kmitočty. 


Princip: Spojité funkce integrovatelné s kvadrátem se stejnými 

Fourierovými koeficienty jsou stejné. Fourierovy koeficienty 

kódují funkce, charakterizují je ve frekvenční oblasti. 

D˚ukaz tohoto faktu je obtížnější. 


Je-li f je reálná funkce, pak c−n = cn pro všechna n ∈ N. 

D˚ukaz: f (t) je reálné: 

T cn = 

T c−n = 

a tedy c−n = cn. 

a+T 

a 

a+T 

a 

f (t) e −jnωt dt = 

−j 

+j 

a+T 

a 

f (t) e jnωt dt = 

a+T 

a 

a+T 

a 

f (t) sin nωt dt 

a+T 

a 


f (t) cos nωt dt 



Je-li f reálná funkce, pak m˚užeme sloučit dva komplexně 

sdružené členy dohromady a dostat tak čistě reálnou ˇradu: 

n ≥ 1 

cn e jnωt + c−n e −jnωt = 

cn(cos nωt + j sin nωt) + c−n (cos nωt − j sin nωt) = 

= (cn + c−n) cos nωt + (j cn − jc−n) sin nωt = 

= 2 Re cn cos nωt − 2 Im cn sin nωt . 


Označme 

an = 2 Re cn = 2 

T 

bn = −2 Im cn = 2 

T 

a+T 

a 

a+T 

a 



kosínově-sínový tvar: 

a0 

2 + 

∞ 

an cos nωt + bn sin nωt , 

Amplituda: 

n=1 

An = 

 

a 2 n + b 2 n . 

Transformační vztahy mezi koeficienty: n ≥ 1 

an = 2 Re cn cn = an 

2 

bn = −2 Im cn . c−n = an 

2 

− j bn 

2 

+ j bn 

2 


D˚uležité je, že Fourierovy koeficienty umožní zrekonstruovat 

funkci (jsou vlastně souˇradnicemi v˚uči nekonečné bázi). 

V některých pˇrípadech je funkce pˇrímo rovna součtu své 

Fourierovy ˇrady. 

8.1. Věta. Dirichletova věta 

Je-li reálná funkce f (t) s periodou T po částech spojitá a má po 

částech spojitou derivaci, pak 

f (t+) + f (t−) 

2 

pro všechna t ∈ R. 

= a0 

2 + 

∞ 

an cos nωt + bn sin nωt , 

n=1 


8.2. Pˇrímá a zpětná Fourieova transformace 

motivace: spektrální rozklad obecné neperiodické funkce v 

nekonečné časové oblasti, nediskrétní škála frekvencí, koreluje 

funkci s harmonickými funkcemi g(t) = e jωt , ω ∈ R. 

8.2. Definice. Necht’ f (t) je komplexní funkce definovaná na R. 

Funkce 

∞ 

ˆf (p) = f (t)e −jpt dt , p ∈ R 

−∞ 

se nazývá Fourierova transformace funkce f . 

Funkce 

∞ 

ˇ 1 

f (p) = f (t)e 

2 π 

jpt dt p ∈ R , 

−∞ 

se nazývá inverzní Fourierova transformace funkce f . 


Za definiční obor se považuje množina všech p ∈ R, pro které 

existují pˇríslušné integrály.) 

Konvence: ∞ 

−∞ 

f (t) dt = lim 

R→∞ 

hlavní hodnota integrálu 

R 

−R 

f (t) dt . 


Poznámka: 

ˆ f (p) = 2π ˇ f (−p) 

Značení a terminologie: F : f → ˆ f , F −1 : f → ˇ f 

Fourierova transformace a inverzní Fourierova transformace. 

Ff , f (t) . = ˆ f (p), F{f (t)} = ˆ f (p) . 

Postačující podmínka pro existenci Fourierovy transformace: 

∞ 

|f (t)| dt < ∞ . 

−∞ 

Pak totiž: ∞ 

−∞ |f (t) e−jpt | dt = ∞ 

−∞ |f (t)| dt < ∞ . 

Značení: L1 (R) = {f : R → C | ∞ 

−∞ 

|f (t)| dt < ∞} . 


8.3. Pˇríklad. Obraz bránové funkce a > 0 

 

1 t ∈< −a, a > 

fa(t) = 

0 jinde 

∞ 

ˆfa(p) = fa(t) e −jpt dt = 

−∞ 

 

e−jpt = 

−jp 

a 

e −jpt dt 

−a 

t=a = 

t=−a 

ejap − e−jap jp 

sin ap 

= 2 

p 



ˇfa(p) = 1 

2 π ˆfa(−p) = 1 sin(−ap) 

= 

π −p 

1 sin ap 

π p 

8.5. Pˇríklad. Obraz gaussovské funkce 

Víme již, že ∞ 

f (t) = e −at2 

, a > 0 . 

e 

−∞ 

−t2 

e −jtp dt = √ p2 

− 

πe 4 . 

Na základě toho (substituce u = √ at): 

∞ 

−∞ 

e −at2 

e −jtp dt = 1/ √ ∞ 

a e 

−∞ 

−u2 

e −jup/√a du = 

 

π p2 

e− 4a . 

a 


8.6. Pˇríklad. Vybíjení kondenzátoru: 

α > 0 

 

e 

f (t) = 

−αt 0 

t ≥ 0 

jinak 

∞ 

ˆf (p) = 

0 

e −α t e −jpt dt = 

∞ 

e 

0 

−(α+jp)t dt = 

 

−1 

= 

α + jp e−(α+jp)t 

∞ 0 

= 1 

α + jp . 


Fourierovy obrazy racionálních funkcí - aplikace reziduové 

věty 

Pˇredpoklady: P a Q jsou polynomy, st Q > st P a Q nemá 

reálné koˇreny: 

∞ P(t) 

Q(t) ejt 

 

P(z) 

dt = 2πj 

resz 

Q(z) ejz 

 

−∞ 

{z | Q(z)=0 ,Im z>0} 

Pˇri výpočtu Fourierovy transformace racionální funkce P(t) 

Q(t) 

potˇrebujeme integrál 

∞ 

−∞ 

P(t) 

Q(t) e−jpt dt 

Ten se dá substitucí pˇrevést na integrál výše: 


Substituce pro p = 0: 

u = −pt, du = −p dt. 

Pak 

Označíme-li 

máme: 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

P(t) 

Q(t) e−jpt ∞ 

dt = 

−∞ 

P(t) 

Q(t) e−jpt dt = 2πj 

|p| 

R(z) = 

P(− z 

p ) 

Q(− z 

p ) 

 

P(− u 

p ) 

Q(− u 

p 

{z | Q(−z/p)=0 ,Im z>0} 

du 

eju 

) |p| 

resz R(z)e jz . 



p = 0 

R(z) = 

f (t) = 1 

t 2 + 1 . 

1 

z2 (−p) 2 + 1 = 

p 2 

p2 

z2 . 

+ p2 ˆ 2πj 

f (p) = 

|p| resj|p| z2 + p2 ejz 2πj p2 

= · 

|p| 

e−|p| 

2j|p| = πe−|p| . 

Pro p = 0 dopočítáme ze spojitosti obrazu, nebo z definice: 

∞ 

−∞ 

1 

t 2 + 1 dt = [arctg t]∞ −∞ = π . 


Souvislost Fourierovy transformace a Fourierovy ˇrady 

Pˇredpokládejme, že f (t) je periodická funkce s periodou T > 0 

taková, že 

a+T 

a 

|f (t)| dt < ∞ . 

Označme 1 charakteristickou funkci intervalu 

< a, a + T > a 

fT = 1 · f (t) . 

Pro Fourier˚uv koeficient, cn, funkce f (t) platí 

cn = 1 

T 

a+T 

a 

f (t) e −jnωt dt = 1 

T ˆ fT (nω) 



8.8. Věta. Věta o inverzní Fourierově transformaci 

Necht’ f ∈ L 1 (R). 

1 Je-li f spojitá na R a ˆ f ∈ L 1 (R) pak 

pro všechna t ∈ R . 

f (t) = 1 

∞ 

ˆ jpt 

f (p) e dp 

2π −∞ 

2 Je-li f a f ′ po částech spojitá funkce na R pak 

f (t+) + f (t−) 

2 

pro všechna t ∈ R . 

= 1 

∞ 

ˆ jpt 

f (p) e dp 

2π −∞ 


Význam: 

f (t) = 1 

∞ 

ˆ jωt 

f (ω) e dω 

2π −∞ 

ω1 < ω2 < · · · < ωn 

aproximující součty tohoto integrálu: 

1 

2π 

n−1 

ˆf (ωi)(ωi+1 − ωi) e jωi t 

i=1 

jsou kombinací harmonických funkcí ωi(t) = e jω i t . 

| ˆ f (ω)| udává amplitudu. 

8.9. D ˚usledek. Dvě spojité funkce z L 1 (R) jsou stejné, mají-li 

stejnou Fourierovu transformaci. 

D˚ukaz: f , g ∈ L 1 (R) spojité ˆ f = ˆg. Pro h = f − g máme 

ˆh = 0 , 

a tedy h = 0 



Podle Pˇríkladu 8.3 máme 

g(t) = 1 

∞ sin p 

2 

2 π −∞ p ej pt dp. 

⎧ 

⎪⎨ 1 je-li t ∈ (−1, 1) 

g(t) = 1/2 

⎪⎩ 

0 

je-li t = 1, −1 

jinak 

Jinými slovy inverzní obraz funkce h(p) = 2 

Speciální pˇrípad t = 0 vede na Newton˚uv integrál. 

sin p 

p je funkce g(t). 


8.11. Věta. Základní gramatika Fourierovy transformace 

1 F{f (t − a)} = e−jpa ˆf (p) 

(posun ve vzoru) 

2 F{f (at)} = 1 

|a| ˆf ( p 

a 

) , a = 0 

(změna měˇrítka, scaling) 

3 F{f (−t)} = ˆ f (p) 

(pravidlo konjugace) 

4 F{e jat f (t)} = ˆ f (p − a) 

(posun obrazu, modulace vzoru) 


D˚ukaz: 

1 F{f (t − a)} = e −jpa ˆ f (p) : 

2 

Substituce 

∞ 

= 

−∞ 

∞ 

F{f (t − a)}(p) = f (t − a) e −jpt dt 

−∞ 

u = t − a 

f (u)e −jp(u+a) du = e −jpa 

∞ 

∞ 

F{f (at)}(p) = f (at) e −jpt dt = 

−∞ 

−∞ 

−∞ 

f (u)e −jpu du = 

= e −jpa ˆ f (p) . 

substituce u = a t , du = a dt 

= 1 

∞ 

u 

−jp 

f (u) e a du = 

|a| 

1 

|a| ˆf ( p 

) . 

a 


3 

4 

∞ 

F{f (−t)}(p) = f (−t) e −jpt dt = 

∞ 

−∞ 

substituce u = −t 

∞ 

= f (u) e jpu ∞ 

du = f (u) e−jpu du = 

−∞ 

f (t) e 

−∞ 

jat e −jpt dt = 

∞ 

−∞ 

∞ 

= f (u) e−jpu du = ˆf (p) . 

−∞ 

f (t) e 

−∞ 

−j(p−a) t dt = ˆf (p − a) . 




sin t e −t2 

1 

− 

e 2 (t−1)2 . −jp 

= e √ 1 

− 

2 π e 2 p2 

= ejt − e −jt 

2 j 

e −t2 

. 1 √ (p−1)2 (p+1)2 

− − 

= π e 4 − e 4 

2 j 

8.14. Pˇríklad. Pˇredpokládejme, že platí věta o inverzní 

Fourierově transformaci. Jaké reálné funkce mají reálný 

Fourier˚uv obraz ? 

ˇRešení: ˆ f (p) = ˆ f (p) a tedy f (−t) = f (t). Jsou to pouze sudé 

funkce. 


8.15. Pˇríklad. Nalezněte obraz funkce g(t) = f (2t − 3) pomocí 

obrazu funkce f (t). 

ˇRešení: 

f (t) → f (t − 3) → f (2t − 3) 

ˆ f (p) → e −3j pˆ f (p) → 

1 3 

e− 2 

2 jpˆ p 

f ( 

2 ) 


8.16. Věta. Riemannovo-Lebesgueovo lemma 

Je-li f ∈ L 1 (R), pak ˆ f je spojitá funkce a 

lim ˆf (p) = 0 . 

p→±∞ 


8.17. Věta. Obraz derivace 

Necht’ f (t) je spojitě diferencovatelná funkce a 

f , f ′ ∈ L 1 (R). Pak 

D˚ukaz: 

F{f ′ (t)}(p) = jp ˆ f (p) . 

f ′ ∈ L1 (R) =⇒ ∞ 

0 f ′ (t) dt = limt→∞ f (t) − f (0) . 

Tedy existuje limita limt→±∞ f (t). Tato limita musí být nula 

nebot’ f ∈ L1 (R). 

Nyní použijeme metodu per-partes: 

∞ 

f 

−∞ 

′ (t) e −jp t t=∞ −j p t 

dt = f (t) e 

∞ 

+ j p f (t) e 

t=−∞ −∞ 

−jp t dt = 

= j p ˆ f (p) . 


8.18. Pˇríklad. f (t) = e−a t2 , a > 0. Pak 

f ′ (t) = −2 a t e −a t2 

. π p2 

= j p e− 4a . 

a 

D ˚usledek: 

f , f ′ , . . . , f (k) spojité funkce z L 1 (R) =⇒ 

f (k) (t) . = (j p) k ˆ f (p) 

a dle Riemannova-Lebesgueova lemmatu 

lim 

|p|→∞ pkˆf (p) → 0 . 


8.19. Věta. Derivace obrazu 

Necht’ f (t) ∈ L 1 (R) a tf (t) ∈ L 1 (R). Pak 

F{t f (t)}(p) = j d 

dp ˆ f (p) . 

8.20. Pˇríklad. Spočtěte Fourierovu transformaci funkce 

ˇRešení: 

t2 

− 

t e 2 

t2 

− 

f (t) = t e 2 

. 

= j d √ −p 

2π e 

dp 

2 

2 = −j √ p2 

− 

2π p e 2 . 


Konvoluce je operace na množině integrovatelných funkcí. 

Motivace: Co odpovídá ve Fourierově transformaci součinu 

funkcí? 

8.21. Definice. Necht’ f , g ∈ L 1 (R). Konvoluce funkcí f a g je 

funkce h = f ∗ g daná vztahem 

∞ 

(f ∗ g)(t) = f (s)g(t − s) ds . 

−∞ 

8.22. Pˇríklad. h = fa ∗ fa, kde fa je bránová funkce. 

∞ 

h(t) = fa(s) fa(t − s) ds . 

−∞ 


Integrujeme 1 pˇres pr˚unik interval˚u 

< −a, a > ∩ < t − a, t + a > . 

⎧ 

0 t < −2a 

⎪⎨ 

t + 2a t ∈< −2a, 0 > 

h(t) = 

2 a − t t ∈< 0, 2 a > 

⎪⎩ 

0 t > 2 a 


8.23. Věta. Obraz konvoluce 

Necht’ f , g ∈ L 1 (R). Pak pro h = f ∗ g platí 

ˆh(p) = ˆ f (p) ˆg(p) . 

D˚ukaz: Založen na záměně poˇradí integrace 

h(t) 

∞ 

∞ 

 

f (s) g(t − s) ds e 

−∞ −∞ 

−jp t dt = 

∞ ∞ 

= 

g(t − s) e 

−∞ −∞ 

−j p (t−s) 

dt 

 

posun u=t−s 

∞ 

= g(u) e 

−∞ 

−jp u ∞ 

du · 

 

ˆg(p) 

 

−∞ 

f (s) e −j p s ds = 

f (s) e −jp s 

ds 

 

ˆ f (p) 


8.24. Pˇríklad. Trojúhelník: 

⎧ 

0 t < −2a 

⎪⎨ 

t + 2a t ∈< −2a, 0 > 

f (t) = 

2 a − t t ∈< 0, 2 a > 

⎪⎩ 

0 t > 2 a 

Platí f (t) = fa(t) ∗ fa(t) 

Podle věty o obrazu konvoluce: 

ˆ f (p) = 

 

2 

2 sin ap 

= 

p 

4 sin2 ap 

p2 . 


8.25. Pˇríklad. Určete konvoluci e−at2 ∗ e−bt2 a, b > 0. 

Fourierova transformace: 

 

π p2 π p2 

e− 4a · e− 4b = 

a b π p2 

− √ e 4 

ab (1/a+1/b) . 

Inverze: 

π 

ab 

) t2 

e−( a+b 

a + b 


8.26. Pˇríklad. ˇRešte diferenciální rovnici 

Fourierova transformace 

y ′′ (t) − y(t) = e −t2 

−p 2ˆy(p) − ˆy(p) = F{e −t2 

}(p) . 

−y(t) = 

 

e −t2 

∗ F −1 

 

1 

. 

1 + p 2 

 

(t) . 

F −1 

 

1 

1 + p2 

(t) = 1 

2 e−|t| . 

∞ 

y(t) = −1/2 e −|t−s| e −s2 

ds . 

−∞ 


Fourierova transformace je základem obor˚u: 

teorie signál˚u 

harmonická analýza 

kvantová mechanika 

waveletová analýza 

parciální diferenciální rovnice 

atd. 


9. Laplaceova transformace 

9.1. Pˇrímá Laplaceova transformace 

9.1. Definice. Pˇredpokládejme, že f (t) je komplexní funkce 

definovaná na intervalu < 0, ∞). Laplaceova transformace 

funkce f je komplexní funkce F(p) daná vztahem 

∞ 

F(p) = f (t) e −p t dt . 

0 

Za definiční obor Laplaceova obrazu považujeme množinu 

všech komplexních p s Re p > 0, pro která existuje výše 

uvedený integrál. 

• LT zpracuje na rozdíl od FT i nestabilní systémy. 

• LT je motivována LTI systémy. 


Konvence: 

1(t) = 

Často ztotožňujeme f a 1(t)f (t). 

 

1 t ≥ 0 

0 t < 0 . 

. 

Značení: F = Lf , f = F, L{f (t)} = F(p) 

Pˇrímá Laplaceova transformace je zobrazení f → Lf . 

9.2. Definice. Funkce f (t) definovaná na kladné části reálné 

osy se nazývá funkce tˇrídy L0 (též pˇredmět standardního 

typu), jestliže 

1 f je po částech spojitá, 

2 f je nejvýše exponenciálního r˚ustu, tj. existují konstanty 

a, M ≥ 0 tak, že 

a t 

|f (t)| ≤ M e 

pro všechna t ≥ 0 . 


• Pˇríklady funkcí tˇrídy L0: omezené po částech spojité funkce, 

polynomy, kvazipolynomy (součiny polynom˚u a 

exponenciálních funkcí). 

• Laplaceova transformace je definována pro širší tˇrídu funkcí 

než transformace Fourierova. 



∞ 

F(p) = 

Vzhledem k tomu, že 

0 

e (1+j) t e −p t dt = 

f (t) = e (1+j) t . 

∞ 

|e (1+j−p) t (1−Re p) t 

| = e 

0 

e (1+j−p) t 

e (1+j−p) t 

dt = 

∞ . 

1 + j − p 

limita v ∞ existuje (a je rovna nule) právě když Re p > 1. Tedy 

F(p) = 

1 

p − 1 − j 

Re p > 1 . 


0

Zobecnění: Pro a ∈ C. 

e a t . = 1 

p − a 

Re p > Re a 

9.4. Věta. Pˇredpokládejme, že f (t) ∈ L0 má Laplace˚uv obraz 

F (p). Pak platí následující tvrzení: 

1 Existuje α ≥ 0 tak, že F(p) je holomorfní v polorovině 

{p ∈ C | Re p > α} 

2 limRe p→∞ F(p) = 0. 


D˚ukaz: (ii) 

Vezměme p s Re p > α. 

 

∞ 

 

f (t) e 

0 

−pt 

 

dt 

≤ 

∞ 

0 

 

e(α−Re 

p) t 

= M 

α − Re p 

|f (t)| ≤ M e αt . 

M e αt e − Re p t dt = 

t=∞ 

t=0 

= 

M 

→ 0 

Re p − α 

pro Re p → ∞ . 

9.5. D ˚usledek. Je-li f (t) ∈ L0 s Laplaceovým obrazem F(p), 

pak existují konstanty M, α ≥ 0 takové, že 

pro všechna p s Re p > α. 

|F(p)| ≤ 

M 

Re p − α , 


Další d˚uležité obrazy: 

sin ωt 

cos ωt 

t n 

. 

= 

. 

= 

. = 

ω 

p2 + ω2 p 

p2 + ω2 n! 

pn+1 Základní gramatika Laplaceovy transformace: 

f (t) 

e at f (t) 

f (ωt) 

tf (t) 

. 

= 

. 

= 

F(p) 

F(p − a) , a ∈ R 

. 

= 1 

. 

= 

p 

F( ) , 

ω ω 

−F 

ω > 0 

′ (p) 


Pravidla o translaci: 

f (t) 

1(t − a) f (t − a) 

1(t − a) f (t) 

. 

= F (p) 

. 

= e −ap F(p) , a > 0 

. 

= e −ap L{f (t + a)} 

9.6. Pˇríklad. Spočtěte obraz konečného impulsu 

 

1 t ∈< a, 2a > 

f (t) = 

0 jinak. 

ˇRešení: 

f (t) = 1(t − a) − 1(t − 2a) . −ap 1 1 

= e − e−2ap 

p p . 


9.7. Věta. Obraz periodické funkce 

Je-li f ∈ L0 periodická funkce s periodou T > 0, pak Laplace˚uv 

obraz funkce f je funkce 

F(p) = 

D˚ukaz: 

∞ 

F(p) = f (t) e −pt dt = 

0 

Substituce t = nT + x, dt = dx: 

= 

T 

0 f (t) e−pt dt 

1 − e−pT . 

∞ 

(n+1)T 

f (t) e −pt dt = 

n=0 

∞ 

T 

f (nT +x) e 

n=0 

0 

−p(nT +x) ∞ 

dx = e 

n=0 

−pnT 

T 

T 

= f (x) e 

0 

0 

−px ∞ 

dx · (e 

n=0 

−pT ) n = 

T 

0 f (x) e−px dx 

1 − e−pT . 

nT 

f (x) e −px dx = 


9.8. Pˇríklad. Nalezněte obraz periodického prodloužení funkce 

 

1 t ∈< a, 2a > 

f (t) = 

0 jinak 

s periodou T = 2a. 

ˇRešení: T = 2a 

1(t − a) − 1(t − 2a) . −pa 1 1 

= e − e−2pa 

p p . 

F(p) = 1 

p · (e−ap − e−2ap ) 

1 − e−2ap = 1 

p · 

e−ap (1 − e−ap ) 

(1 − e−ap )(1 + e−ap ) = 

= 1 

p · 

e−ap 1 

= 

1 + e−ap p · 

1 

1 + e ap 


V některých pˇrípadech se dá Laplaceova transformace 

mocninné ˇrady počítat člen po členu. 

9.9. Věta. “Laplacování člen po členu" 

Pˇredpokládejme, že f (t) ∈ L0 a jsou splněny následující dvě 

podmínky 

1 

pro všechna t ≥ 0 . 

2 ˇRada 

f (t) = 

∞ 

∞ 

n=0 

an t n 

n! 

an 

p 

n=0 

n+1 

konverguje v jistém okolí nekonečna. 

Pak pro Laplace˚uv obraz F (p) funkce f (t) platí 

∞ n! 

F(p) = an . 

pn+1 n=0 



n=0 

sin t 

f (t) = . 

t 

∞ (−1) 

f (t) = 

n t2n (2n + 1)! . 

n=0 

Zkoumejme konvergenci ˇrady 

∞ (−1) n ∞ 

(2n)! 

(−1) 

= 

(2n + 1)! p2n+1 n 

. 

(2n + 1) p2n+1 n=0 

Tato ˇrada má stejný (vnitˇrní) poloměr konvergence jako ˇrada 

∞ 1 

, 

p2n+1 n=0 

která konverguje pro |p| > 1. Pro Laplace˚uv obraz F(p) máme 

∞ (−1) 

F (p) = 

n 

(2n + 1) p2n+1 pro Re p > 1 . 

n=0 


9.2. Inverzní Laplaceova transformace 

• Nutná podmínka pro existenci vzoru v L0 je holomorfnost v 

jisté pravé polorovině a nulová limita funkce pro Re p → ∞. Do 

této kategorie spadají racionální funkce. 

9.11. Tvrzení. Je-li F (p) = P(p) 

Q(p) , kde P and Q jsou polynomy, 

st Q > st P, pak F je Laplaceovým obrazem funkce z L0. 

algoritmus: rozklad na částečné zlomky 

e at t n−1 

(n − 1)! 

. 

= 

1 

. 

(p − a) n 



rozklad na částečné zlomky: 

Po výpočtu 

F(p) = 

F(p) = 

F(p) = 2(p2 − 1) 

(p2 . 

+ 1) 2 

A B 

+ 

(p + j) 2 (p + j) + 

C D 

+ 

(p − j) 2 (p − j) . 

1 

+ 

(p + j) 2 

1 

(p − j) 2 

. 

= e −jt t + e j t t = 2t cos t . 



F(p) = A 

p + j + 

F(p) = 

1 

(p2 . 

+ 1) 2 

B C 

+ 

(p + j) 2 p − j + 

±j je pólem druhého ˇrádu funkce F(p). 

A = res−j F(p) = lim 

p→−j [F(p) (p + j) 2 ] ′ = 

lim 

p→−j 

 

1 

(p − j) 2 

′ 

C = A = − j 

4 . 

D 

. 

(p − j) 2 

= 

−2 j 

= 

(−j − j) 3 4 . 


Vzor: 

B = lim 

p→−j F(p)(p + j) 2 = 

D = B . 

1 

= −1 

(−j − j) 2 4 . 

f (t) = − 1 

4 t e−jt − 1 

4 t ej t + j 

4 e−j t − j 

4 ejt = 

= − 1 1 

t cos t + sin t . 

2 2 


Obecnější než racionální funkce jsou funkce holomorfní v okolí 

nekonečna mající v nekonečnu nulovou limitu. 

9.14. Věta. Věta o rozkladu 

Necht’ F (p) je holomorfní funkce v okolí nekonečna s Laurentovým 

rozvojem 

F(p) = 

∞ 

n=1 

an 

. 

pn Pak F(p) je Laplaceovým obrazem funkce 

f (t) = 

∞ 

n=1 

an 

(n − 1)! tn−1 . 



F(p) = 1 1 

− 

p 1! 

F(p) = 1 1 

e− p . 

p 

1 1 

+ − · · · = 

p2 2!p3 f (t) = 

∞ 

k=0 

(−1) k 

k! 

∞ 

k=0 

t k 

k! . 

(−1) k 

k! 

1 

. 

pk+1 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 259 / 369

Integrální formule a metoda reziduí 

odvození integrálního vyjádˇrení: 

Pˇredpoklady: 

f (t) ∈ L0, f ′ (t) po částech spojitá, 

f (t) = 0 pro t < 0. Existuje α > 0 tak, že 

Pro x > α je 

|f (t)| ≤ M e α t , t ≥ 0 . 

f (t) e −x t ∈ L 1 (R) . 

Zvolme pevně p = x + j y, kde x > α , y ∈ R. 

Počítejme hodnotu Laplaceovy transformace v bodě p: 

∞ 

Lf (p) = F(x + j y) = (f (t) e −x t ) e −j y t dt . 

Jinými slovy 

F(x + j y) = F{f (t)e −xt }(y) . 

0 


M˚užeme použít větu o inverzní Fourierově transformaci 

aplikovanou na funkci 

−x t 

f (t) e 

V bodech spojitosti funkce f (t) máme: 

f (t) e −x t = 1 

∞ 

F(x + j y) e 

2π 

j y t dy t > 0 . 

Odtud 

−∞ 

f (t) = 1 

∞ 

e 

2π −∞ 

x t e j y t F(x + j y) dy . 

Tento integrál se dá interpretovat jako kˇrivkový integrál pˇres 

pˇrímku: Zvolme nejdˇríve úsečku, CR, s krajními body 

Parametrizace této úsečky je 

x − j R , x + j R , R > 0 . 

ϕ(y) = x + j y , ϕ ′ (y) = j; y ∈< −R, R > . 


Tedy 

 

C R 

F(p)e p t dp = 

R 

−R 

F(x + j y) e x t e j y t j dy . 

 

1 

F(p) e 

2πj CR p t dp = 1 

R 

F(x + jy) e 

2π −R 

xt+j yt dy . 

Limitou pro R → ∞ dostaneme 

Riemann˚uv–Mellin˚uv vzorec 

f (t) = 1 

2πj 

 

Lx 

F(p) e p t dp . 

Lx ... Bromwichova linie. Pˇrímka daná parametrizací 

ϕ(t) = x + j t t ∈ (−∞, ∞) . 


Též používáme zápis 

f (t) = 1 

∞j+x 

F(p) e 

2π j −∞j+x 

p t dp 

Všimněme si, že na x, x > α nezáleží. 


Jak vypočítat integrál ∞j+a 

−∞j+a F(p) ep t dp, a > 0 ? 

Pˇredpokládejme, že uvedený integrál existuje. 

Technické pˇredpoklady: 

1 Laplace˚uv obraz, F(p), se dá rozšíˇrit na funkci holomorfní 

v C vyjma spočetně mnoha izolovaných singulárních bod˚u 

p1, p2, . . . ležících v polorovině 

{p ∈ C | Re p < a} 

2 Existuje posloupnost polokružnic 

Kn = {p ∈ C | |p − a| = Rn, Re p ≤ a} 

s poloměry Rn → ∞ tak, že 

 

F(p) e p t dp → 0 pro n → ∞ . 

Kn 


Technické pˇredpoklady implikují pomocí reziduové věty, že 

∞j+a 

F(p) e p t dp = 2πj 

respn F(p) e p t . 

−∞j+a 

Metoda reziduí: 

f (t) = 

n 

n 

p t 

respn F(p) e 

Dá se použít u některých d˚uležitých funkcí jako racionální 

funkce, a obrazy periodických funkcí. Dá odhad vzoru, ve 

všech pˇrípadech je možno výsledek ověˇrit zkouškou. 


Testovací pˇríklady: 



f (t) = resja 

f (t) = res0 

F(p) = 

F(p) = 1 

p 2 

ep t 

= lim 

p2 p→0 (ep t ) ′ = te 0 = t . 

p 

p 2 + a 2 

p 

p 2 + a 2 ep t + res−ja 

a > 0 . 

p 

p 2 + a 2 ep t = 

= aj 

2 aj ej a t + −aj 

−2 aj e−j a t = 1 

2 eaj t + 1 

2 e−aj t = cos at . 


9.18. Poznámka. Pokud je singularita pn pólem prvního ˇrádu 

funkce F(p), pak 


respn F(p) e p t = (respn F(p)) · e pn t . 

F(p) = 

1 

(p − 1)(p − 2)(p − 3) . 

f (t) = e t res1 F(p) + e 2t res2 F(p) + e 3t res3 F(p) = 

= et 

2 − e2t + 1 

2 e3t . 



F(p) = 

1 

(p − 1) 2 (p − 2)(p − 3) 

e 

res1 

pt 

(p − 1) 2 

e 

= lim 

(p − 2)(p − 3) p→1 

pt ′ 

= 

(p − 2)(p − 3) 

 

t e 

= lim 

p→1 

pt 

(p − 2)(p − 3) − 

2p − 5 

(p − 2) 2 

ept = 

(p − 3) 2 

3 

4 et + t 1 

2 et . 

Ostatní singularity jsou jednoduché póly a tedy 

f (t) = 3 

4 et + t 1 

2 et − e 2t + 1 

4 e3t . 



F(p) = 

singularity ±j, póly druhého ˇrádu 

resj 

Podobně 

Závěr: 

ept (p2 

e 

= lim 

+ 1) 2 p→j 

pt 

(p + j) 2 

′ 

1 

(p2 . 

+ 1) 2 

= 

te 

= lim 

p→j 

pt (p + j) 2 − ept2(p + j) 

(p + j) 4 

= −t ejt 

4 

res−j 

ept (p2 −te−jt 

= 

+ 1) 2 4 

f (t) = − 1 1 

t cos t + 

2 2 

+ 1 

4 je−jt . 

sin t . 

− jejt 

4 . 



F(p) = 

1 

p(1 + e p ) . 

Singularity: 0, e p = −1, tj. pn = (2n + 1)jπ, n ∈ Z 

Aplikujeme metodu reziduí: 

res0 

Pro pn = (2n + 1) πj 

respn 

e pt 

p(1 + e p ) 

e pt 

p(1 + e p ) = 

= etpn 

pn e pn 

 

=−1 

1 1 

= 

1 + e0 2 . 

et(2n+1) πj 

= − 

(2n + 1)πj . 


f (t) = 1 

2 − 

= 1 

2 − 

∞ 

n=−∞ 

∞ 

n=−∞ 

et (2n+1)π j 

(2n + 1)π j = 

cos[(2n + 1) π t] + j sin[(2n + 1) π t] 

(2n + 1)πj 

= 1 2 

− 

2 π 

∞ 

n=0 

Dostáváme takto periodickou funkci s periodou 

= 2. 

T = 2π 

π 

= 

sin[(2n + 1)π t] 

(2n + 1) 


.

Na základě této informace jsme dokonce schopni explicitně 

stanovit danou funkci. 

Tedy 

G(p) = 

1 

p(1 + ep G(p) 

= 

) 1 − e−2p 1 − e−2p 

p(1 + ep ) = (1 − e−p )(1 + e−p ) 

p(1 + e−p )ep = 

= 1 

p e−p − 1 

p e−2p . = 1(t − 1) − 1(t − 2) . 

Budeme se ted’ věnovat zobecnění této metody. 


Metoda odštěpení pol˚u 

Motivace: 

kvazipolynom: p(t) e at . . . p(t) je polynom, a ∈ C. 

Laplace˚uv vzor Laplace˚uv obraz 

součet kvazipolynom˚u racionální funkce P(p) 

Q(p) 

součet funkcí "kvazipolynom·1(t − a)” součet funkcí tvaru P(p) 

Q(p) e−ap , a ≥ 0. 

konečné impulsy dané kvazipolynomy součet funkcí tvaru P(p) 

Q(p) e−ap , a ≥ 0. 

periodické funkce z kvazipolynom˚u součet funkcí P(p) e 

Q(p) 

−ap 

1−e−pT , a ≥ 0, T > 0 

součet všech funkcí výše součty součet všech funkcí výše 


Takovéto funkce vznikají pˇri ˇrešení systém˚u diferenciálních a 

integro-diferenciálních rovnic, popisují lineární dynamické 

systémy. Typická situace: 

Y (p) 

 

= F(p) 

 

· X(p) 

 

L−obraz výstupu pˇrenosová funkce L−obraz vstupu 

Pˇrenosová funkce je obvykle ryze lomená funkce, jejíž 

singularity mají zápornou reálnou část. 


To nás vede k úloze nalézt vzor k funkci typu 

F(p) = P(p) e 

Q(p) 

−ap 

, a ≥ 0, T > 0 

1 − e−pT Je možno použít metodu reziduí pro pˇrípad a = 0 a pak posun 

pro obecné a, singularity jsou dvojího typu: 


1 Koˇreny polynomu Q(p). 

Je-li p1 koˇren polynomu Q, pak je pólem ˇrádu l funkce 

F(p). Výpočet rezidua vede k funkci typu 

pl−1(t)e p 1 t , kde pl−1 je polynom stupně l − 1 . 

Vyplyne z konkrétních výpočt˚u. 

2 Koˇreny rovnice e −Tp = 1, tj. body 

2πnj 

T 

n = 0, ±1, ±2, . . . 

Nekonečně těchto bod˚u není koˇrenem polynomu Q. V 

těchto bodech má F (p) jednonásobné poly. Výpočtem 

reziduí pak dostaneme funkce typu 

cn e 2nπj 

T t , cn ∈ C . 

Součet těchto funkcí je periodická funkce s periodou T > 0 

(Dostaneme ji ve formě Fourierovy ˇrady). 


Závěr: Vzor f (t) je tvaru 

f (t) = h(t) 

 

+ g(t) 

 

součet kvazipolynom˚u, neustálená složka periodická funkce s periodou T 



vzor f (t) 

g(t) je funkce s periodou 3. 

res2 

F(p) = 1 

p − 2 · 

1 

. 

1 − e−3p 1 

p − 2 · 

f (t) = A e 2t + g(t) . 

1 

1 − e −3p ept = 

1 

e2t 

1 − e−6 1 

A = . 

1 − e−6 F(p) = 1 

p − 2 · 

1 A G(p) 

= + 

1 − e−3p p − 2 1 − e−3p G(p) je obraz konečného impulzu délky 3 generující funkci g(t). 

Pronásobením funkcí 

(1 − e −3p ) 

dostáváme 


G(p) = 1 

p − 2 − A(1 − e−3p ) 

p − 2 

. 

= 

g(t) = (1 − A)e 2t 

g(t) = −0, 002458 e 2t 

Dále se periodicky opakuje. 

Napˇr. 

. 

= e 2t − A e 2t + A e 2(t−3) 1(t − 3) . 

t ∈< 0, 3) 

t ∈< 0, 3) 

f (100) = Ae 200 + g(100) = Ae 200 + g(99 + 1) = 

= Ae 200 + (1 − A)e 2 . 



0.. dvojnásobný pól 

F(p) = 

res0 F (p)e pt 

pept = lim 

p→0 1 − e−p ′ 

= 

kde g(t) má periodu 1. 

1 

p(1 − e −p ) . 

= lim 

p→0 e pt (1 + tp)(1 − e−p ) − pe −p 

(1 − e −p ) 2 

(2 krát L’Hospitalovo pravidlo) 

f (t) = 

2t + 1 

2 

+ g(t) , 

= 

= 2t + 1 

2 


.

Fourierovo vyjádˇrení g(t): n = 0 

g(t) = 

res2nπj F(p)e pt = e2nπtj 

2nπj 

n∈Z,n=0 

e 2nπtj 

2nπj 

= 1 

π 

∞ 

n=1 

sin 2nπt 

n 


.

Explicitní vyjádˇrení: 

F(p) = 

1 

p(1 − e −p ) 

1 1 G(p) 

= + + 

p2 2p 1 − e−p G(p) = 1 1 

− 

p p2 (1 − e−p ) − 1 

2p (1 − e−p ) . = 

f (t) = t + 1 

2 

Tedy 

. 

= 1 − t + (t − 1)1(t − 1) − 1 

2 

1 

+ 1(t − 1) . 

2 

g(t) = 1 

− t 

2 

t ∈< 0, 1) . 

f (t) = t + 1 1 

+ − t = 1 

2 2 

t ∈< 0, 1) . 

1 1 

+ g(t − 1) = t + + − (t − 1) = 2 

2 2 

t ∈< 1, 2) . 

f (t) = n t ∈< n − 1, n) . 


9.25. Pˇríklad. Určete analyticky inverzní Laplace˚uv obraz 

funkce 

1 

F(p) = 

(p + 1) (p + 2) (1 − e−p ) . 

Perioda je 1. 

res−1 e pt F(p) = e−t 

1 − e = A e−t ; A = 1 

1 − e 

res−2 e pt F(p) = − e−2t 

1 − e 2 = B e−2 t ; B = −1 

1 − e 2 

1 

(p + 1) (p + 2) (1 − e−p A B G(p) 

= + + 

) p + 1 p + 2 1 − e−p Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 283 / 369

Odtud 

G(p) = 

= 

1 

(p + 1) (p + 2) − A (1 − e−p ) 

− 

p + 1 

B (1 − e−p ) 

p + 2 

−1 1 

+ 

p + 2 p + 1 − A (1 − e−p ) 

− 

p + 1 

B (1 − e−p ) 

p + 2 

Pro t ∈< 0, 1) je periodická část 

g(t) = −e −2 t + e −t − A e −t − B e −2 t = (1 − A) e −t −2 t 

− (1 + B) e 

Závěr: 

f (t) = A e −t + B e −2 t + g(t) . 

Predikce: pro velké t je f (t) skoro periodická funkce. 


10.1. Pˇrímá Z -transformace 

10. Z -transformace 

Motivace: zpracování diskrétního signálu, vzorkování, 

umožňuje použít analytické operace na diskrétní objekty. 

Z : (an) ∞ n=0 

↦→ F(z) = 

∞ 

n=0 

an 

. 

zn Otázka: Pro jaké posloupnosti (an) ∞ n=0 konverguje ˇrada 

∞ n=0 an 

zn v jistém okolí nekonečna? 


10.1. Tvrzení. ˇRada 

∞ 

n=0 

konverguje v nějakém okolí nekonečna právě tehdy když existují 

konstanty M ≥ 0 a c ∈ R tak, že 

|an| ≤ M e cn 

an 

z n 

pro všechna n . (5) 

D˚ukaz: Pˇredpokládejme, že ∞ n=0 an 

zn konverguje ve vnějšku 

kruhu {z ∈ C | |z| > R ′ }. Její součet 

F(z) = 

∞ 

n=0 

an 

. 

zn je na této oblasti holomorfní funkce. 

Zvolme kladně orientovanou kružnici C se stˇredem v počátku, 

ležící v {z ∈ C | |z| > R ′ }, tj. s poloměrem R > R ′ > 0. 


Podle integrálního vyjádˇrení koeficient˚u Laurentovy ˇrady (tady 

je tˇreba ˇradu ∞ n=0 an 

zn interpretovat jako ˇradu se stˇredem v 

počátku) máme 

 

 

|an| = 

1 F(z) 

 

dz 

2π j C z−n+1 ≤ 

≤ 1 

2π · 

1 

R 

Tedy 

1−n · max 

z∈C 

|an| ≤ Me n ln R . 

|F(z)| · 2π R = 

= R n · max 

z∈C |F(z)| . 

 

=M 


Opačná implikace, pˇredpokádejme, že platí odhad (5): 

ˇRada 

|an| 

|z| n ≤ M (ec ) n 

|z| 

∞ 

n=0 

M (ec ) n 

|z| n 

n . 

je pro |z| > ec geometrická ˇrada s absolutní hodnotou 

kvocientu 

ec < 1 . 

|z| 

Dle srovnávacího kritéria konverguje ˇrada 

∞ 

n=0 

an 

z n pro všechna z s |z| > ec . 


Značení: 

Z0 ... množina všech komplexních posloupností (an) ∞ n=0 , které 

jsou nejvýše exponenciálního r˚ustu. Tj. 

kde M ≥ 0, c ∈ R. 

|an| ≤ M e cn 

pro všechna n , 

Ekvivalentně, pro (an) ∞ n=0 ∈ Z0 existuje M ≥ 0 a a > 0 tak, že 

|an| ≤ M a n 

pro všechna n . 


Každá omezená posloupnost je v Z0 

Každá posloupnost (p(n)) ∞ n=0 , kde p je polynom, je v Z0: 

Tedy napˇríklad 

lim 

n→∞ 

p(n) 

= 0 . 

en |p(n)| ≤ e n 

pro dostatečně velká n. 

Vzorkování kvazipolynomu je v Z0. 

(nn ) ∞ n=0 ∈ Z0 

n 

lim 

n→∞ 

n 

= lim 

ecn n→∞ en(ln n−c) = ∞ . 

(n!) ∞ n=0 ∈ Z0. 

Podílové kritérium pro ˇradu ∞ n=0 n! 

zn : 

(n + 1)! |z|n 

· 

|z| n+1 n! 

= n + 1 

|z| 

Nekonverguje v žádném bodě. 

→ ∞ , n → ∞ . 


10.2. Definice. Z-obraz posloupnosti (an) ∞ n=0 ∈ Z0 je funkce 

Značení: 

F(z) = 

∞ 

n=0 

an 

. 

zn Z (an) ∞ n=0 = F(z) , (an) ∞ n=0 

. 

= F(z) 

K0 ... funkce holomorfní v okolí ∞ mající v ∞ vlastní limitu. 

10.3. Věta. Z -transformace je prosté zobrazení množiny Z0 na 

množinu K0. 

D˚ukaz: Věta o Laurentově rozvoji. 



z = 0 . 


(an) ∞ n=0 

(an) ∞ n=0 

= (1, 2, 0, 4, 0, 0, . . .) . 

F(z) = 1 + 2 

z 

4 

+ . 

z3 = (0, 0, . . . , 1 

index m 

, 0, 0, . . .) = (δmn) ∞ n=0 . 

F(z) = 1 

z m 




|z| > 1. 

F(z) = 

(an) ∞ n=0 = 

F(z) = 

n=0 

∞ 1 

n! n=0 

∞ 1 1 1 

= e 

n! zn n=0 

z = 0 . 

(an) ∞ n=0 = (c)∞ n=0 . 

∞ c 1 

= c 

zn 1 − 1/z 

z . 

= cz 

z − 1 , 



|z| > 1. 

F(z) = 1 

z 

(an) ∞ n=0 

+ 1 

z 

= (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) . 

1 

+ + · · · = 

3 z5 1 

z = 

1 − 1/z2 z 

z 2 − 1 . 


10.9. Pˇríklad. Víme, že se posloupnost (an) ∞ n=0 zobrazí na 

funkci F(z). Jaká posloupnost se zobrazí na funkci F(z 2 )? 

Tedy 

má Z -obraz F(z 2 ). 

F(z) = 

F (z 2 ) = 

∞ 

n=0 

∞ 

n=0 

an 

z n 

an 

z 2n 

(a0, 0, a1, 0, a2, 0, . . .) 



|z| > |a|. 

(an) ∞ n=0 = (an ) ∞ n=0 , a ∈ C 

F(z) = 

∞ 

n=0 

an z 

= 

zn z − a . 


10.11. Věta. Základní gramatika Z -transformace 

Pˇredpokládejme, že (an) ∞ n=0 ∈ Z0 a (bn) ∞ n=0 ∈ Z0, pˇričemž 

Pak platí 

1 (Linearita) 

Z (an) ∞ n=0 

= F(z) . 

Z (c1 an + c2 bn) ∞ n=0 = c1Z (an) ∞ n=0 + c2 Z (bn) ∞ n=0 

pro libovolná c1, c2 ∈ C. 

2 (Multiplikace) 

pro všechna a = 0. 

3 (Derivace obrazu) 

Z (a n an) ∞ n=0 

= F 

 

z 

, 

a 

Z (n an) ∞ n=0 = −zF ′ (z) . 


D˚ukaz: 

1 

2 

3 

Z (c1 an + c2 bn) ∞ n=0 = 

∞ 

= c1 

n=0 

an 

+ c2 

zn Z (a n an) ∞ n=0 = 

∞ 

n=0 

∞ 

n=0 

F ′ 

∞ 

(z) = 

n=0 

−zF ′ (z) = 

∞ 

n=0 

c1 an + c2 bn 

z n 

= 

bn 

z n = c1Z (an) ∞ n=0 + c2Z (bn) ∞ n=0 . 

an an 

= 

zn an 

zn ′ 

= 

∞ 

n=0 

∞ 

n=0 

n=0 

an 

( z 

 

z 

= F . 

a 

)n a 

∞ 1 

−nan . 

zn+1 nan 

z n = Z (n an) ∞ n=0 . 



(c + 2 a n ) ∞ n=0 

Z (c + 2 a n ) ∞ n=0 = Z (c)∞ n=0 + 2Z (an ) ∞ n=0 = 


F(z) = 1 

 

z 

2j z − e 

= cz z 

+ 2 

z − 1 z − a 

(sin ωn) ∞ n=0 . 

sin nω = 1 

2j (ejωn − e −jωn ) . 

jω − 

z 

z − e−jω 

|z| > max(1, |a|) 

= 1 z 

2j 

2 − ze−jω − z2 + zejω = 

z 2 − 2z cos ω + 1 

z sin ω 

z 2 − 2z cos ω + 1 


=


Z (a n sin nω) ∞ n=0 = 


Z (n) ∞ n=0 

2 z 

a 

(a n sin nω) ∞ n=0 

z 

a sin ω 

− 2 z 

a cos ω + 1 

(n) ∞ n=0 . 

′ 

z 

= −z 

z − 1 

= 

= 

= 

az sin ω 

z2 . 

− 2az cos ω + a2 z 

(z − 1) 2 



Z (n 2 ) ∞ n=0 

 

= −z 

z 

(z − 1) 2 

(n 2 ) ∞ n=0 

′ 

= −z (z − 1)2 − z2(z − 1) 

(z − 1) 4 

Takto je možno získat obraz každého polynomu. 


F(z) = 

( z 

a 

(a n n) ∞ n=0 

z 

a 

− 1)2 = 

az 

. 

(z − a) 2 

= z2 + z 

. 

(z − 1) 3 


10.18. Věta. Posun doprava 

Necht’ (an) ∞ n=0 ∈ Z0 a k je nezáporné celé číslo. Definujme 

posloupnost (bn) ∞ n=0 vztahem 

Pak 

bn = 

 

an−k jestliže n ≥ k 

0 jestliže n < k . 

Z (bn) ∞ n=0 

kde F(z) je obraz (an) ∞ n=0 . 

Též: 

(an−k1(n − k)) ∞ n=0 

k 

1 

= F(z) , 

zk . 

= 1 

F (z) . 

zk 

( 0, . . . 0, a0, a1, . . .) . = 1 

F(z) . 

zk Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 302 / 369

D˚ukaz: 

Z (bn) ∞ n=0 

= a0 

z 


z 

+ · · · 

zk+2 = 1 

zk (a0 + a1 a2 1 

+ + · · · ) = F(z) . 

z z2 zk a1 a2 

+ + 

k k+1 

(0, 0, 0, 1, 1, 1, · · · ) 

(1) ∞ n=0 

. 

= z 

z − 1 

(0, 0, 0, 1, 1, 1, · · · ) . = 1 

z3 z 

z − 1 . 


10.20. Věta. Translace vlevo 

Pˇredpokládejme, že (an) ∞ n=0 ∈ Z0 má Z −obraz F(z) a k je celé 

nezáporné číslo. Definujme posloupnost (bn) ∞ n=0 rovností 

Pak 

bn = an+k 

Z (bn) ∞ n=0 = zk 

n = 0, 1, . . . 

k−1 an 

F(z) − 

zn 

. 

(ak, ak+1, . . .) . = z k 

 

F(z) − a0 − a1 

z 

n=0 

a2 ak−1 

− − · · · − 

z2 zk−1 


D˚ukaz: 

z k 

 

F(z) − 

Z (bn) ∞ n=0 = ak + ak+1 

z 

k−1 

n=0 

= z k 

 

ak ak+1 

+ 

zk z 


F(z) = z 5 

 

an 

zn 

= z k 

 

∞ 

an 

n=0 

k+1 + ak+2 

− 

zn 

+ · · · 

zk+2 ak+2 

+ + · · · 

z2 k−1 

n=0 

(sin 5ω, sin 6ω, . . .) 

z sin ω 

z 2 − 2z cos ω + 1 

−sin ω 

z 

an 

zk 

= 

= ak + ak+1 

z 

−sin 2ω 

z 

ak+2 

+ + · · · 

z2 3ω 4ω 

−sin −sin 

2 z3 z4 



((n + 3) 2 ) ∞ n=0 

(n 2 ) ∞ n=0 

. 

= z2 + z 

(z − 1) 

F(z) = z 3 

 

z2 + z 1 4 

− 0 − − 

(z − 1) 3 z z2 

= 

3 . 

= z5 + z 4 

(z − 1) 3 − z2 − 4z . 


Diference posloupnosti (an) ∞ n=0 ∈ Z0 je definována rovností 

Diference vyšších čád˚u: 

Pˇríklady: 

∆(an) ∞ n=0 = (an+1 − an) ∞ n=0 . 

∆ k (an) ∞ n=0 = ∆∆k−1 (an) ∞ n=0 . 

∆ 2 (an) ∞ n=0 = ∆(an+1−an) ∞ n=0 = (an+2−an+1−(an+1−an)) ∞ n=0 = 

∆(n) ∞ n=0 = (1)∞ n=0 . 

∆ 2 (n) ∞ n=0 = (0)∞ n=0 . 

(an+2 − 2an+1 + an) ∞ n=0 


10.23. Tvrzení. Necht’ (an) ∞ n=0 ∈ Z0 se Z -obrazem F(z). Pak 

D˚ukaz: 

Z (∆an) ∞ n=0 = (z − 1)F (z) − za0 . 

(an+1) ∞ n=0 = (a1, a2, . . .) . = z[F(z) − a0] . 

∆(an) ∞ n=0 

. 

= zF (z) − za0 − F (z) . 


10.24. Definice. Pˇredpokládejme, že 

(an) ∞ n=0 , (bn) ∞ n=0 ∈ Z0. 

Konvoluce těchto posloupností je posloupnost 

definovaná vztahem 


cn = 

(cn) ∞ n=0 = (an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 , 

n 

k=0 

ak bn−k 

c0 = a0 b0 

c1 = a0 b1 + a1 b0 

n = 0, 1, . . . . 

c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 

(1) ∞ n=0 ∗ (1)∞ n=0 = (n + 1)∞ n=0 



(1) ∞ n=0 ∗ (en ) ∞ n=0 = (1, 1 + e, 1 + e + e2 , . . .) 

10.27. Pˇríklad. Co je konvoluce s posloupností (0, 1, 0, 0, . . .)? 

(0, 1, 0, 0, . . .) ∗ (a0, a1, a2, . . .) = (0, a0, a1, . . .) 

10.28. Pˇríklad. Co je konvoluce s posloupností 

(0, 0, . . . , 0, 

1, 0, . . .) = (δkn) 

 

k 

∞ n=0 ? 

(δkn) ∞ n=0 ∗ (an) ∞ n=0 

Posun doprava o k-pozic. 

= (0, 0, . . . , 0, 

a0, a1, . . .) 

 

k 


10.29. Věta. Věta o konvoluci 

Pˇredpokládejme, že (an) ∞ n=0 , (bn) ∞ n=0 

Z (an) ∞ n=0 = F(z), Z (bn) ∞ n=0 = G(z). 

Pak 

D˚ukaz: 

F(z)G(z) = 

∈ Z0, 

Z [(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 ] = F(z) · G(z) . 

∞ 

k=0 

= 

ak 

· 

zk ∞ 

m=0 

∞ 

 

n 

n=0 

k=0 

bm 

= 

zm akbn−k 

1 

z n = Z [(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 ] 




(n + 1) ∞ n=0 = (1)∞ n=0 ∗ (1)∞ n=0 

(1) ∞ n=0 ∗ (en ) ∞ n=0 

. 

= z 

z − 1 

z 

z − e = 

2 . z 

= 

z − 1 

z 2 

(z − 1)(z − e) . 

10.32. Pˇríklad. Určete posloupnost (an) ∞ n=0 , pro kterou platí 

Z (an) ∞ n=0 

(an) ∞ n=0 ∗ (2n ) ∞ n=0 = (4n ) ∞ n=0 . 

Z (an) ∞ n=0 · 

z z 

= 

z − 2 z − 4 

z − 2 2 

= = 1 + 

z − 4 z − 4 

. 

= (δn0 + 2 · 1(n − 1)4 n−1 ) ∞ n=0 = (1, 2, 8, 32, . . .) . 


10.33. Pˇríklad. Pro jakou posloupnost (an) ∞ n=0 platí, že 

pro všechna (bn) ∞ n=0 ∈ Z0. 

(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 = (bn) ∞ n=0 

F(z) · G(z) = G(z) 

(an) ∞ n=0 

F(z) = 1 

= (1, 0, 0, . . .) . 

D˚usledek: Konvolutivní součin je komutativní, asociativní a má 

jednotkový prvek. 


Význam konvoluce 

vstup ↦→ výstup 

L : Z0 ↦→ Z0 

1 L je translačně invariantní, tj. jestliže 

L(an) ∞ n=0 = (bn) ∞ n=0 , pak 

2 L je lineární, tj 

L(1(n − k)an−k) ∞ n=0 = (1(n − k)bn−k) ∞ n=0 . 

L(c1(an) ∞ n=0 +c2(bn) ∞ n=0 +· · · ) = c1L(an) ∞ n=0 +c2L(bn) ∞ n=0 +· · · 


L(1, 0, . . .) = (b0, b1, . . .) 


vstup: 

výstup: 

a0(1, 0, 0, . . .) + a1(0, 1, 0, 0, . . .) + . . . 

a0 · (b0, b1, b2, b3, . . .) + 

a1 · (0, b0, b1, b2 . . .) + 

a2 · (0, 0, b0, b1, . . .) + 

. . . . . . . . . 

(a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b0, . . . ) 

Závěr: 

Odezva na (an) ∞ n=0 je 

(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 = (an) ∞ n=0 ∗ L(1, 0, 0, . . .) nebo-li 

L(an) ∞ n=0 = (an) ∞ n=0 

∗ L(1, 0, 0, . . .) . 


10.34. Tvrzení. Je-li Z (an) ∞ n=0 = F(z), pak 

D˚ukaz: 

n 

k=0 

ak 


∞ 

 

n 

Z 

k=0 

 

n 

Z 

k=0 

ak 

∞ 

n=0 

= zF (z) 

= (an) 

n=0 

∞ n=0 ∗ (1)∞n=0 

k = z 

z − 1 · 

z 

(z − 1) 2 

z − 1 . 

. 

= z 

F(z) . 

z − 1 

. 

= 

z 2 

(z − 1) 3 


10.2. Inverzní Z -transformace 

Z −1 : K0 ↦→ Z0 

F(z) ↦→ (an) ∞ n=0 

F(z) = 

∞ 

n=0 

Metody výpočtu: 

• rozvoj v Laurentovu ˇradu 

• integrální forma, reziduová věta 

an = 1 

2πj 

 

C 

an 

. 

zn F(z)z n−1 dz 

kde C je kladně orientovaná kružnice se stˇredem v počátku, 

ležící v oblasti, kde je obraz holomorfní 


Podle reziduové věty: 

an = 

resz (F(z) z i n−1 ) . 

Suma pˇres singularity ležící uvnitˇr C. 

• pˇrímé vzorce 

z i 

a0 = lim 

z→∞ F(z) 

a1 = lim z(F(z) − a0) 

z→∞ 

a2 = lim z 

z→∞ 2 

 

F(z) − a0 − a1 

 

z 

an+1 = (−1) n+1 z 

lim 

z→∞ 

n+2 

(n + 1)! [znF(z)] (n+1) . 


• známé obrazy 

• konvoluce 


sin 1 

z = 

∞ 

n=0 

F(z) = sin 1 

z 

(−1) n 

1 1 

. 

(2n + 1)! z2n+1 a2n+1 = (−1) n 1 

(2n + 1)! 

a2n = 0 



F(z) = 

1 

(z − 1)(z − e) 

F(z) = 1 

 

1 1 

− 

1 − e z − 1 z − e 

1 1 

= 

z − 1 z · 

1 1 

= 

z − e z · 

z 

z − 1 

z 

z − e 

. 

= (0, 1, 1, . . .) 

. 

= (0, 1, e, e 2 , . . .) 

F(z) = 1 

1 − e (0, 0, 1 − e, 1 − e2 , . . .) . 



Metodou reziduí. 

n ≥ 1 

an = res1 

F(z) = 

1 

(z − 1)(z − e) 

a0 = lim 

z→∞ F(z) = 0 . 

zn−1 z 

+ rese 

(z − 1)(z − e) n−1 

(z − 1)(z − e) = 

= 1 en−1 1 − en−1 

+ = 

1 − e e − 1 1 − e . 



rezidui: 

n ≥ 1 

F(z) = 1 

z 

an = res1 

F(z) = 

z 

(z − 1) 2 

1 

(z − 1) 2 

. 

= (0, 0, 1, 2, 3, ...) . 

zn−1 d 

= lim 

(z − 1) 2 z→1 dz zn−1 = n − 1 . 


10.40. Pˇríklad. Pomocí Z transformace nalezněte součet 

1 2 + 2 2 + · · · + n 2 n 

= k 2 . 

ˇRešení 

res1 

n 

k=0 

k=0 

(n 2 ) . = z2 + z 

. 

(z − 1) 3 

k 2 

 

.= z 

z − 1 

z2 + z 

(z − 1) 3 = z3 + z2 (z − 1) 

z3 + z2 (z − 1) 4 zn−1 1 

= lim 

z→1 3! (zn+2 + z n+1 ) ′′′ = 

= 1 

1 

[(n + 2)(n + 1)n + (n + 1)n(n − 1)] = n(n + 1)(2n + 1) . 

3! 6 


4 .

10.3 . Diferenční rovnice 

Motivace: teorie signál˚u, numerické ˇrešení pariálních 

diferenciálních rovnic, ladder networks, ... 

Diferenční rovnice mají podobnou struktutu jako rovnice 

diferenciální, hledá se ˇrešení ve tvaru posloupnosti vyhovující 

počátečním podmínkám. 

ˇRešení těchto rovnic pomocí transformace Z je diskrétní 

analogie ˇrešení diferenciálních rovnic pomocí Laplaceovy 

transformace. 


yn+2 + 2 yn+1 + yn = 0 

y0 = y1 = 1 . 

(homogenní diferenční rovnice druhého ˇrádu s konstantními 

koeficienty) 


(yn+2) ∞ n=0 

(yn+1) ∞ n=0 

(yn) ∞ n=0 

. 

= Y (z) . 

. 

= z[Y (z) − y0] = z(Y (z) − 1) . 

. 

= z 2 

 

Y (z) − y0 − y1 

 

Provedeme transformaci rovnice: 

z 

= 

= z 2 

 

Y (z) − 1 − 1 

 

= z 

z 

2 Y (z) − z 2 − z . 

z 2 Y (z) − z 2 − z + 2zY (z) − 2z + Y (z) = 0 . 

Y (z)(z 2 + 2z + 1) = z 2 + 3z . 

Y (z) = z2 + 3z 

. 

(z + 1) 2 


Provedeme inverzní transformaci: 

n ≥ 1 

(z 

yn = res−1 

2 + 3z)z n−1 

(z + 1) 2 

= lim 

z→−1 (n + 1)zn + 3nz n−1 = 

= (n + 1)(−1) n + 3n(−1) n−1 = (−1) n (1 − 2n) . 

(yn) ∞ n=0 

= (1, 1, −3, 5, . . .) . 


Mnohdy dává lepší pˇredstavu než numerický výpočet, ve 

kterém se hromadí zaokrouhlovací chyby: 


Transformace: 

z 2 [Y (z) − 1 − 1 

3z 

yn+2 = 10 

3 yn+1 − yn . 

y0 = 1, y1 = 1 

3 . 

Y (z)(z 2 − 10 

3 z + 1) = z2 + z 

3 

Y (z) = 

z 2 − 3z 

(z − 3)(z − 1 

3 

10 

] = z[Y (z) − 1] − Y (z) 

3 

) = z 

z − 1 

3 

− 10 

3 z = z2 − 3z 

. 

= ( 1 

3n )∞n=0 Numerický výpočet na tˇri platné číslice dá nesmyslné výsledky: 

y0 = 1, y1 = 0, 333, ..., y6 = −0, 092, ..., y10 = −5, 65 



Fibonanciho čísla 

Fibonanci (1212) Liber Abaci 

Úloha o populaci králík˚u: 

každý pár se zreprodukuje po dvou měsících 

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 

Posloupnost se ˇrídí zákonem 

co bude co je pˇrír˚ustek 

 

yn+2 = yn+1 + yn 

y0 = y1 = 1 


Transformace rovnice: 

z 2 

 

Y (z) − 1 − 1 

 

= z[Y (z) − 1] + Y (z) 

z 

Inverze: 

z 

(z 2 − z − 1)Y (z) = z 2 

Y (z) = 

z 2 

z 2 − z − 1 

z 

z2 

1 z 

= z √ 

− z − 1 5 z − 1+√5 2 

yn = 1 

√ 5 

Binet (1786-1856) 

1 + √ 5 

2 

n+1 

− 

√ 

1 − 5 

− 

2 

z 

z − 1−√ 5 

2 

n+1 


Kombinace dvou geometrických ˇrad, jedna z nich mizí v 

nekonečnu: 

yn+1 

lim 

n→∞ yn 

= 1 + √ 5 

2 

Souvisí s poměrem zlatého ˇrezu. 

. 

= 1, 61803 . 



∆(yn) ∞ n=0 

∆ 2 yn + yn = 0 

y0 = 1, ∆y0 = 0 . 

. 

= (z − 1) Y (z) − z 

∆ 2 (yn) ∞ n=0 = (z −1)[(z −1)Y (z)−z]−0 = (z −1)2 Y (z)−z(z −1) 

[(z − 1) 2 + 1]Y (z) = z(z − 1) 

z(z − 1) 

Y (z) = 

(z − 1) 2 + 1 = 

z2 − z 

z2 − 2z + 2 = 

 

z − 1 

A 

= z 

= z 

(z − 1 − j)(z − 1 + j) z − 1 − j + 

 

B 

= 

z − 1 + j 

= 1 

2 z 

 

1 

z − 1 − j + 

 

1 

. 

z − 1 + j 


yn = 1 

2 [(1 + j)n + (1 − j) n ] = Re( √ π 

j 

2e 4 ) n = 

= 2 n/2 cos nπ 

4 . 



∆ 2 yn = 2 

y0 = 0, ∆y0 = 1 

∆ 2 (yn) ∞ n=0 = (z − 1)2 Y (z) − z 

Y (z)(z − 1) 2 = 2 z 

+ z . 

z − 1 

Y (z) = 

2z z 

+ . 

(z − 1) 3 (z − 1) 2 

z 

res1 

n 1 

= lim 

(z − 1) 3 z→1 2 (zn ) ′′ = 1 

n(n − 1) 

2 

yn = n(n − 1) + n = n 2 . 


10.46. Pˇríklad. Rovnice s konvolučním jádrem 

yn = res1 

yn+2 + 

n 

2 k yn−k = 1 

k=0 

y0 = y1 = 0 

z 2 Y (z) + z 

z 

Y (z) = 

z − 2 z − 1 . 

(z − 2)z n−1 

(z − 1) 3 

Y (z) = 

z − 2 

(z − 1) 3 

1 

= lim 

z→1 2 (zn − 2z n−1 ) ′′ = 

= 1 

n 

n(n − 1) − (n − 1)(n − 2) = (n − 1)[2 − 

2 2 ] 


10.47. Pˇríklad. Vyjádˇrete vzorcem ˇrešení diferenční rovnice 

yn+1 − 2yn = an , 

kde y0 = 0 a (an) ∞ n=0 je obecná posloupnost ze Z0. 

Transformace: 

kde F(z) je obraz (an) ∞ n=0 . 

Pro n ≥ 1 

Y (z) = 

F (z) 

z − 2 

zY (z) − 2Y (z) = F(z) , 

. 

= (1(n − 1)2 n−1 ) ∞ n=0 ∗ (an) ∞ n=0 . 

yn = 

n 

2 k−1 an−k . 

k=1 



1 

z3 1 

= 

+ 1 z3 1 

1 + 1 

z 3 

yn+3 + yn = an 

y0 = y1 = y2 = 0 . 

= 

= 

Y (z) = F(z) 

z 3 + 1 

∞ 

n=0 

(−1) n 

1 

z 3(n+1) 

. 

= 

. 

= (0, 0, 0, 1, 0, 0, −1, 0, 0, 1, 0, 0, −1, . . .) 

yn = an−3 − an−6 + an−9 − . . . 


10.49. Pˇríklad. Pomocí diferenčních rovnic určete součet 

ˇRešení: 

1 

2 

+ 2 

2 

yn = 1 

2 

( n 

2 n )∞ n=0 

3 n 

+ + · · · + 

2 23 2 

+ 2 

2 

n . 

3 n 

+ + · · · + 

2 23 2 

n + 1 

yn+1 − yn = 

2n+1 y0 = 0 

. 

= 

2z 

(2z − 1) 

( n + 1 

2n+1 )∞n=0 . 

= 1 

2 

n . 

1 z 

= 

2 2 (z − 1 

2 )2 

z 2 

(z − 1 

2 )2 


z 2 

zY (z) − Y (z) = 1 

2 (z − 1 

. 

2 

)2 

Y (z) = 1 1 z 

2 (z − 1) 

2 

(z − 1 

2 )2 

1 1 

res1 

2 (z − 1) (z − 1 

1 1 

= 

2 

)2 2 ( 1 

= 2 . 

2 

)2 

z n+1 

z n+1 

1 1 

res 1 

2 2 (z − 1) (z − 1 

= 

2 

)2 

 

1 zn+1 ′ 

1 

= lim 

= lim 

z→1/2 2 z − 1 z→1/2 2 · (n + 1)zn (z − 1) − zn+1 (z − 1) 2 

= 

 

n + 1 

2 

2n 

− 1 

 

− 

2 

1 

2n+1 

n + 1 1 

= − − . 

2n 2n yn = 2 − 

n + 1 1 

− 

2n 2 


n .

11.1. Náhodné vektory 

Reálný náhodný vektor: 

11. Náhodné procesy 

(Ω, A, P).... pravděpodobnostní prostor. 

X = (X1, . . . , Xn) : Ω → R n . 

Reprezentován distribuční funkcí: 

FX(x1, . . . , xn) = P[X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn] . 


Komplexní náhodná veličina: 

Z : Ω → C . 

Z = X + jY , 

kde X a Y jsou reálné náhodné veličiny na Ω. Konvence: 

Distribuční funkce: 

stˇrední hodnota: 

[Z ≤ z] = [X ≤ Re z, Y ≤ Im z] . 

FZ (z) = P[Z ≤ z] . 

EZ = EX + jEY . 

kovariance (komplexních) náhodných veličin Z a W : 

cov(Z , W ) = E[(Z − EZ )(W − EW )] . 


ozptyl: 

korelace: 

var(Z ) = cov(Z , Z ) = E(|Z − EZ | 2 ) 

ϱ(Z , W ) = 

Vlastnosti kovariance: 

cov(Z , W ) 

var(Z ) var(W ) . 

cov(Z1 + Z2, W ) = cov(Z1, W ) + cov(Z2, W ) 

cov(Z , W ) = cov(W , Z ) 

cov(α Z , W ) = α cov(Z , W ) 

cov(Z , α W ) = α cov(Z , W ) 

cov(Z , Z ) ≥ 0 


X = (X1, . . . , Xn) ... komplexní náhodný vektor 

kovarianční matice: (n × n) 

A = ( cov(Xi, Xj) ) 

11.1. Pˇríklad. Reálné náhodné veličiny X a Y mají kovarianční 

matici 

 

2 1 

1 1 

Z = X + jY . Stanovte var Z a cov(Z , Z ). 


var Z = cov(X + jY , X + jY ) = 

= cov(X, X) + cov(jY , X) + cov(X, jY ) + cov(jY , jY ) = 

= 2 + j − j + 1 = 3 . 

cov(Z , Z ) = cov(X + jY , X − jY ) = 

= cov(X, X) + cov(jY , X) + cov(X, −jY ) + cov(jY , −jY ) = 

= 2 + j + j − 1 = 1 + 2j . 


11.2. Stochastické procesy - Základy 

Stochastický proces modeluje vývoj náhodné veličiny (napˇr. v 

čase) - vývoj názor˚u ve společnosti, vývoj ceny akcií, fluktuace 

polohy elektronu, náhodná procházka, síla signálu .... ) 

Xt m˚uže ovlivnit Xt+1 — cov(Xt, Xt+1) = 0. 

11.2. Definice. Stochastický (náhodný) proces je systém 

náhodných veličin (Xt)t∈T na daném pravděpodobnostním 

prostoru (Ω, A, P). 

Indexová množina ... T 

Trajektorie procesu v bodě ω ∈ Ω ... {Xt(ω) | t ∈ T }. 

Spojitý náhodný proces ... T je interval 

Časová ˇrada ... T je posloupnost 


11.3. Pˇríklad. Xt = X. Konstantní proces. (Náhoda jen v 

prvním kroku, pak se kopíruje). 

P[X ≤ x1, X ≤ x2, . . . , X ≤ xn] = P[X ≤ min{x1, . . . , xn}] = 

= F(min{x1, . . . , xn}) , 

kde F je distribuční funkce náhodné veličiny X. 


11.4. Definice. Necht’ (Xt)t∈T je stochastický proces. Stˇrední 

hodnota stochastického procesu (Xt)t∈T je funkce 

µ(t) = µt = E(Xt) 

na množině T . 

Kovarianční funkce stochastického procesu (Xt)t∈T je funkce 

R(s, t) = cov(Xs, Xt) 

na množině T × T . 

Rozptyl stochastického procesu (Xt)t∈T je funkce 

na množině T . 

σ(t) = σ 2 t = var Xt = R(t, t) 


11.5. Pˇríklad. X1, X2, . . . , Xn ... nekorelované náhodné veličiny 

 

0 s = t 

R(s, t) = 

var(Xt) s = t . 

11.6. Pˇríklad. Elementární proces Xt = e jωt X, ω, t ∈ R. 

µt = e jωt E(X) 

R(s, t) = cov(Xs, Xt) = cov(e jωs X, e jωt X) = e jω(s−t) var(X) . 


11.7. Definice. Stochastický proces (Xt)t∈T se nazývá 

kovariančně stacionární, jestliže 

R(s1, t1) = R(s2, t2) 

pro všechna s1, s2, t1, t2, pro které platí 

s1 − t1 = s2 − t2 . 

Stochastický proces (Xt)t∈T se nazývá stacionární, jestliže je 

kovariančně stacionární a má konstantní stˇrední hodnotu. 


Pro kovariančně stacionární procesy definujeme 

jednorozměrnou kovarianční funkci 

Pak 

R(t) = cov(Xs, Xs+t) . 

R(s, t) = R(t − s) . 

R(s, t) = R(t, s) =⇒ R(−t) = R(t) . 

11.8. Pˇríklad. (Xn)n∈N posloupnost nezávislých náhodných 

veličin s rozptylem σ2 > 0. 

 

σ 

R(n) = 

2 n = 0 

0 n = 0 


11.9. Pˇríklad. Elementární proces je kovariančně stacionární. 

R(t) = e −jωt var(X) . 

11.10. Pˇríklad. Zn = Xn + V , n ∈ N. Xn jsou nezávislé se 

stejným rozptylem σ 2 1 > 0; var(V ) = σ2 > 0; Xn a V jsou 

nezávislé. 

cov(Zn, Zm) = cov(Xn + V , Xm + V ) = 

= cov(Xn, Xm) + cov(V , Xm) + cov(Xn, V ) + cov(V , V ) = 

 

σ 

= 

2 + σ2 1 n = m 

σ2 n = m 


R(n) = 

 

σ2 + σ2 1 n = 0 

σ2 n = 0. 

11.11. Pˇríklad. Proces Xt = (cos t) X , t ∈ R, má kovarianční 

funkci 

R(s, t) = cos t · cos s · var(X) 

a není kovariančně stacionární kdykoliv var(X) = 0. 


11.12. Pˇríklad. . . . X−1, X0, X1, . . . nezávislé náhodné veličiny 

se stejným rozptylem σ 2 > 0 

k > 0. 

Yn = Xn + Xn−1 

2 

cov(Yn, Yn+k) = cov( Xn + Xn−1 

2 

R(0) = var(Yn) = 1 

2 σ2 . 

R(−k) = 1 

4 δ1kσ 2 . 

n ∈ Z . 

, Xn+k + Xn+k−1 

) = 

2 

= 1 

4 cov(Xn, Xn−1+k) = 1 

4 δ1kσ 2 . 


11.13. Definice. Stochastický proces (Xt)t∈T se nazývá 

Markov˚uv, jestliže indexová množina T je uspoˇrádaná, a pro 

každý konečný výběr t1 < t2 < · · · < tn ∈ T platí 

P[Xtn = xn|Xt 1 = x1, Xt 2 = x2, · · · , Xt n−1 = xn−1] = 

= P[Xtn = xn|Xt n−1 = xn−1] 

markovská vlastnost : stav v čase n + 1 závisí pouze na stavu v 

čase n. 

Pˇríklad: Náhodná procházka, gambling 


11.14. Definice. Poisson˚uv proces je proces indexován 

podmnožinami konečné míry základní množiny S ⊂ R n takový, 

že 

1 Veličiny indexované disjunktními množinami jsou nezávislé 

2 Veličina XB, B ⊂ S, má Poissonovo rozdělení s 

parametrem λmíra(B), kde λ > 0. (λ > 0 se nazývá 

parametr procesu). 

Počet částic v dané oblasti, počet radioaktivních rozpad˚u v 

daném časovém okamžiku, počet volání na ústˇrednu v daném 

časovém okamžiku, apod. 


11.3. Spektrální analýza stacionárních proces ˚u 

Motivace: analýza náhodného signálu ve frekvenční oblasti 

11.15. Definice. 

je stacionární časová ˇrada. Funkce f (λ) se 

nazývá spektrální hustota procesu (Xn), jestliže platí 

π 

R(k) = e jkλ f (λ) dλ 

1 Necht’ (Xn) ∞ n=1 

pro všechna k ∈ Z. 

2 Necht’ (Xt)t∈R je stacionární proces. Funkce f (λ) se 

nazývá spektrální hustota procesu (Xt), jestliže platí 

∞ 

R(t) = e jtλ f (λ) dλ 

pro všechna t ∈ R. 

−π 

−∞ 


1 f (λ) definovaná na < −π, π > má Fourierovu ˇradu 

∞ 

2 

k=−∞ cke jkλ , kde 

ck = 1 

2π 

π 

f (λ)e −jkλ . 

−π 

=⇒ R(k) = 2πc−k ⇔ ck = R(−k) 

2π 

R(t) = ˆ f (−λ) = 2π ˇ f (λ) . 

11.16. Pˇríklad. X1, X2, . . . nekorelované náhodné veličiny se 

stejným rozptylem σ2 a nulovými stˇredními hodnotami. Pak 

 

0 k = 0 

R(k) = 

σ2 k = 0 . 

σ2 

σ2 

= 2π . Tedy f (λ) = 2π . Časovým ˇradám s touto 

hustotou ˇríkáme bílý šum. 

c0 = R(0) 

2π 


.

11.17. Pˇríklad. Y0, Y1, . . . , Yn, . . . nekorelované, normované 

náhodné veličiny 

s > 0. 

Xn = Yn + Yn−1 , n = 0, 1, . . . 

cov(Xn, Xn+s) = cov(Yn + Yn−1, Yn+s + Yn+s−1) = 

= δs1 

s = 0 ... cov(Xn, Xn) = 2 

jednorozměrná kovarianční funkce: 

R(0) = 2, R(1) = R(−1) = 1, ostatní nuly. 

spektrální hustota: 

f (λ) = 1 

2π (R(−1)ejλ + R(0) + R(1)e −jλ ) = 1 

2π (ejλ + 2 + e −jλ ) = 

= 1 

1 + cos λ 

(2 + 2 cos λ) = = 

2π π 

2 λ 

cos2 

π 2 . 


zobecnění pˇredchozího pˇríkladu 

11.18. Věta. Necht’ (Xn)n∈Z je stacionární časová ˇrada. Je-li 

∞ 

n=−∞ 

|R(n)| < ∞ 

pak existuje spektrální hustota f (λ) a platí: 

D˚ukaz: 

(Inverzní vzorec) f (λ) = 1 

2π 

∞ 

n=−∞ 

|e −jnλ R(n)| ≤ 

∞ 

n=−∞ 

∞ 

n=−∞ 

e −jnλ R(n) 

|R(n)| < ∞ . 

Weierstarsseovo kritérium =⇒ ˇrada ∞ 

n=−∞ e−jnλ R(n) 

konverguje stejnoměrně pro λ ∈ R. 


Volme pevně k ∈ Z. Pak 

π 

−π 

f (λ)e jkλ dλ = 1 

2π 

∞ 

n=−∞ 

= 1 

2πR(k) = R(k) . 

2π 

π 

R(n) e 

−π 

j(k−n)λ dλ = 

11.19. Pˇríklad. Reálný stochastický proces (Xn)n∈Z má 

kovarianční funkci 

R(n) = Ce −α|n| , 

kde C, α > 0. Stanovte spektrální hustotu. 

∞ 

n=−∞ 

|R(n)| = 

∞ 

n=−∞ 

Ce −α|n| < ∞ . 


f (λ) = 1 

2π 

∞ 

n=−∞ 

= 1 

 

C + C 

2π 

= C 

 

2π 

e −jnλ R(n) = 1 

2π 

∞ 

n=1 

e −jnλ e −αn + C 

∞ 

n=−∞ 

∞ 

n=1 

1 + e−jλ−α ejλ−α 

+ 

1 − e−jλ−α 1 − ejλ−α e −jnλ Ce −α|n| = 

e jnλ e −αn 

 

= 


 

.

11.20. Věta. Necht’ (Xt)t∈R je stacionární stochastický proces. 

Je-li ∞ 

|R(t)| dt < ∞ 

−∞ 

pak existuje spektrální hustota f (λ) a platí: 

(Inverzní vzorec) f (λ) = 1 

∞ 

e 

2π 

−jtλ R(t) dt . 

D˚ukaz: teorie Fourierovy transformace. 

−∞ 


11.21. Pˇríklad. Spojitý proces má kovarianční funkci 

R(t) = Ce −α|t| cos βt . 

C, α > 0. Určete spektrální hustotu. 

Víme, že Fourier˚uv obraz e −α|t| je 2a 

a 2 +p 2 . Pak 

(cos βt)e −α|t| = ejβ + e −jβ 

Tedy 

= 

2 

f (l) = 1 

 

2π 

e −α|t| 

. 1 2a 

= 

2 a2 + (p − β) 

a 

a2 a 

+ 

+ (p − β) 2 a2 . 

+ (p + β) 2 

a 

a2 + 

+ (p − β) 2 

2 + 

a 

a2 + (p + β) 2 

 

2a 

a2 + (p + β) 2 

 

= 


11.22. Pˇríklad. Určete kovarianční funkci, je-li spektrální 

hustota 

2 

f (λ) = 

π(λ2 . 

+ 1) 2 

R(t) = 2 

∞ 

π −∞ 

e jtλ 

1 

(λ2 dλ 

+ 1) 2 

Počítáme pomocí reziduové věty, integrál pˇres horní 

polokružnici jde k nule pro t > 0 (viz tabule). Tedy pro t > 0: 

Závěr: 

R(t) = 2 

2πj resj 

π 

ejtλ (λ2 = 4j lim 

+ 1) 2 λ→j 

 

= 4j − j 

4 e−t 

(t + 1) 

R(t) = e −|t| (|t| + 1) . 

 

ejtλ (λ − j) 2 

(λ2 + 1) 2 

′ 

= 

= e −t (t + 1) . 


11.23. Pˇríklad. Určete kovarianční funkci spojitého bílého 

šumu s hustotou f (λ) = 1(λ + a) − 1(λ − a), a > 0. 

Pomocí Fourierova obrazu bránové funkce 

R(t) = 

2 sin at 

t 


.

Posloupnost klouzavých součt˚u MA(n) 

(Yn) ... posloupnost nekorelovaných veličin s nulovými 

stˇredními hodnotami a konstantním rozptylem σ 2 . 

a0, a1, . . . , an ∈ C a0, an = 0 . 

Posloupnost klouzavých součt˚u 

Xt = 

n 

ak Yt−k = a0Yt + a1Yt−1 + · · · + anYt−n 

k=0 

EXt = 0 t ∈ Z . 

t ∈ Z . 


Kovarianční funkce pro t ≥ 0: 

 

n 

R(t) = EXs+t Xs = E 

= σ 2 

k=0 

n 

k,j=0 

akYs+t−k 

akajδt−k,−j 

t − k = −j ⇒ k = t + j ≤ n 

= σ 2 

n−t 

j=0 

at+jaj 

n 

j=0 

ajYs−j 

pro 0 ≤ t ≤ n, R(t) = 0 pro t > n. 

Pro záporné hodnoty dopočítat ze vzorce R(t) = R(−t). 


Spektrální hustota f (λ): Bude trigonometrický polynom. 

f (λ) = 1 

2π 

n 

t=−n 

R(t)e −jtλ = σ2 

 

 

n 

 

2π ake −jkλ 

 

2 

 

= σ2 

 

 

n 

 

2π 

k=0 

Ověˇrení: Srovnáme koeficient u e −jtλ , 0 ≤ t ≤ n, 

n 

k=0 

ake −jkλ 

 

n 

l=0 

ale jlλ 

 

= 

k,l=0,...,n 

k=0 

ak ale j(l−k)λ 

Volíme l − k = −t a tedy k = l + t. Pˇríslušný koeficient je 

 

σ2 n−t 

al+tal . 

2π 

l=0 

 

 

 

ake jkλ 

2 

 

Identita pro t < 0 plyne z konjugované symetrie kovarianční 

funkce a stejné symetrie pro Fourierovy koeficienty reálné 

funkce. 



Xn = Yn + Yn−1, σ = 1 

f (λ) = 1 

2π |(1 + e−jλ )| 2 = 1 

2π [(1 + cos λ)2 + sin(−λ) 2 ] = 

= 1 + cos λ 

π 

Posloupnost klouzavých pr˚uměr˚u 

tj. 

Pak pro |t| ≤ n je 

2 n − |t| + 1 

R(t) = σ 

(n + 1) 

= 2 λ 

cos2 

π 2 . 

a0 = a1 = · · · = an = 1 

n + 1 

Xt = Yt + Yt−1 + · · · + Yt−n 

n + 1 

n + 1 

2 = σ2 

. 

 

1− |t| 

 

= R(0) 1− 

n + 1 

|t| 

 

. 

n + 1 


Lineární pokles kovarianční funkce 

Spektrální hustota: 

σ 

f (λ) = 

2 

2π(n + 1) 2 

 

 

 

 


n 

e −jkλ 

 

 

 

 

k=0 

2 

σ 

= 

2 

2π(n + 1) 2 

 

 

 

 

Xn = Yn + 2Yn−1 + Yn−2 . 

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 1 

1 − e −j(n+1)λ 

1 − e −jλ 

f (λ) = σ2 

2π (1 + 2e−jλ + e −2jλ )(1 + 2e jλ + e 2jλ ) = 

= σ2 

2π [1 + 2ejλ + e 2jλ + 2e −jλ + 4 + 2e jλ + e −2jλ + 2e −jλ + 1] = 

= σ2 

[6 + 8 cos λ + 2 cos 2λ] 

2π 


 

 

 

 

2 

.

Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?