Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT
Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT
Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Matematika pro Kybernetiku<br />
<strong>Lecture</strong> Notes<br />
Jan Hamhalter<br />
http://math.feld.cvut.cz/hamhalte<br />
katedra <strong>matematiky</strong>, <strong>FEL</strong> <strong>ČVUT</strong><br />
20. prosince 2010<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 1 / 369
Hlavní témata<br />
Funkce komplexní proměnné<br />
Fourierova transformace, Laplaceova transformace,<br />
Z -transformace<br />
Základy teorie stochastických proces˚u (spektrální teorie,<br />
Markovovy ˇretězce)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 2 / 369
Literatura<br />
J.Hamhalter, J.Tišer: Funkce komplexní proměnné. Skripta<br />
<strong>FEL</strong> <strong>ČVUT</strong>, 2001.<br />
H.A.Priestly: Introduction to Complex Analysis, Oxford<br />
University Press, 2003.<br />
J.Veit: Integrální transformace, XIV, SNTL, Praha 1979.<br />
M.Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika,<br />
Skripta <strong>FEL</strong> <strong>ČVUT</strong>, 2007.<br />
Z.Prášková a P.Lachout: Základy náhodných proces˚u I,<br />
MFF UK, 2005.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 3 / 369
1. Komplexní čísla a geometrie komplexní<br />
roviny<br />
Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou<br />
hledat koˇreny polynom˚u<br />
Geronimo Cardano (1501-1576) - vzorce pro ˇrešení<br />
kvadratické a kubické rovnice<br />
René Descartes (1596-1615) - pojem imaginární ˇrešení<br />
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) - korektní zavedení<br />
komplexních čísel, komplexní rovina<br />
William Rowan Hamilton (1805-1856) - komplexní čísla<br />
jako dvojice čísel reálných, zavedl i kvaterniony<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 4 / 369
Chceme model rozšiˇrující množinu reálných čísel R a<br />
obsahující element (imaginární jednotku) j tak, že j 2 = −1.<br />
1.1. Definice. Symbolem C označíme množinu uspoˇrádaných<br />
dvojic {(x, y) | x, y ∈ R} s následujícími operacemi:<br />
• Sčítání: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)<br />
• Násobení: (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)<br />
C ... množina komplexních čísel<br />
(1, 0) · (x, y) = (x, y),<br />
(0, 1) · (x, y) = (−y, x) a tedy pro j ∼ (0, 1) platí<br />
j 2 = (−1, 0) ∼ −1.<br />
Obecně: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) ∼ x + jy.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 5 / 369
• komplexní čísla se násobí jako dvojčleny s využitím j 2 = −1.<br />
Terminologie a značení<br />
z = x + j y, x, y ∈ R<br />
x = Re z ... reálná část, y = Im z ... imaginární část<br />
z = x − j y .... číslo komplexně sdružené<br />
|z| = x 2 + y 2 = √ z z ... absolutní hodnota (modul)<br />
Algebraické zákony:<br />
z1 z2 = z2 z1, z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3,<br />
z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3 .<br />
Pravidla pro konjugaci:<br />
(i) z = z, (ii) z w = z w (iii) Re z = z+z<br />
2 (iv) Im z = z−z<br />
2 j<br />
(v) |z| = |z|.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 6 / 369
Komplexní (Gaussova) rovina<br />
Re z = |z| · cos ϕ Im z = |z| · sin ϕ.<br />
Argument: z = 0<br />
Arg z = {ϕ ∈ R | z = |z| · (cos ϕ + j sin ϕ) } .<br />
Hlavní hodnota argumentu: z = 0<br />
arg z ∈ Arg z , arg z ∈ (−π, π > .<br />
Pˇríklad: z1 = 1 + j, z2 = 1<br />
|z1| = √ 2, cos ϕ =<br />
|z2| = √ 2, cos ϕ = 1<br />
2<br />
√ 2 (1 − j √ 3).<br />
√<br />
2<br />
2 = sin ϕ ⇒ arg z1 = π<br />
4 .<br />
√<br />
3<br />
, sin ϕ = − 2 ⇒ arg z2 = − π<br />
3 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 7 / 369
Geometrický význam sčítání:<br />
... posun v rovině o vektor a.<br />
Geometrický význam násobení:<br />
a ∈ C z → z + a<br />
z1 · z2 = |z1| · (cos ϕ1 + j sin ϕ1) · |z2| · (cos ϕ2 + j sin ϕ2) =<br />
|z1|·|z2|[cos ϕ1 cos ϕ2−sin ϕ1 sin ϕ2+j(cos ϕ1 sin ϕ2+sin ϕ1 cos ϕ2)]<br />
Tedy<br />
= |z1| · |z2|[cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)] .<br />
|z1 · z2| = |z1| · |z2|<br />
arg z1 + arg z2 ∈ Arg(z1 · z2) .<br />
z → z a , kde a = |a|(cos ϕ + j sin ϕ)<br />
... otočení o úhel ϕ kolem počátku a pak stejnolehlost se<br />
stˇredem v počátku a koeficientem |a|.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 8 / 369
Pˇríklad: Je dán trojúhelník s vrcholy 1 + j, j, −1 + 2j. Otočte<br />
tento trojúhelník o pravý úhel vzhledem k počátku<br />
otočené vrcholy: j(1 + j) = −1 + j, j 2 = −1, j(−1 + 2j) = −2 − j<br />
další varianta: 1 − j, 1, 2 + j.<br />
• Dělení - inverzní operace k násobení<br />
z1<br />
z2<br />
= z1z2<br />
.<br />
|z2| 2<br />
• Geometrická interpretace dělení:<br />
z → z<br />
a<br />
a = |a|(cos ϕ + j sin ϕ), a = 0<br />
... otočení o úhel −ϕ a stejnolehlost s koeficientem 1<br />
|a| .<br />
Pˇríklad:<br />
1<br />
x + jy<br />
x − jy<br />
=<br />
x 2 =<br />
+ y 2<br />
x<br />
x 2 + y<br />
y<br />
− j<br />
2 x 2 .<br />
+ y 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 9 / 369
1.2. Věta. (Moivrova věta) Pro z = |z|(cos ϕ + j sin ϕ) platí<br />
Pˇríklad:<br />
z n = |z| n (cos nϕ + j sin nϕ) .<br />
(1 + j) n = √ 2 n (cos n π<br />
4<br />
• Binomická rovnice: z n = a<br />
π<br />
+ j sin n ) .<br />
4<br />
|z| n (cos nϕ + j sin nϕ) = |a|(cos ψ + j sin ψ)<br />
|z| = n |a| , nϕ = ψ + 2kπ ,<br />
ψ + 2kπ<br />
ϕ =<br />
n<br />
Stačí vzít k = 0, 1, . . . , n − 1.<br />
... vrcholy pravidelného n-úhelníka na kružnici |z| = n |a|.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 10 / 369
Pˇríklad: Nalezněte 4 1 − j. Tj. ˇrešíme rovnici z 4 = a, a = 1 − j.<br />
|a| = √ 2 , ψ = − π<br />
4<br />
úhly: − π<br />
16<br />
, 7π<br />
16<br />
, 15π<br />
16<br />
, 23π<br />
16<br />
z1 = 8√ 2(cos π π<br />
− j sin<br />
16 16 )<br />
z2 = 8√ 2(cos 7π 7π<br />
+ j sin<br />
16 16 )<br />
z3 = −z1<br />
z4 = −z2 .<br />
"Odmocniny v komplexním oboru jsou víceznačné funkce"<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 11 / 369
Vzdálenost bod˚u z1, z2: |z1 − z2|.<br />
Nerovnosti<br />
1 | Re z|, | Im z| ≤ |z|<br />
2 |z + w| ≤ |z| + |w| (trojúhelníková nerovnost)<br />
3 |z + w| ≥ | |z| − |w| |<br />
4 |z| ≤ | Re z| + | Im z|.<br />
D˚ukaz (2)<br />
|z + w| 2 = (z + w)(z + w) = |z| 2 + |w| 2 + (wz + zw) =<br />
(3)<br />
= |z| 2 + |w| 2 + 2 Re(zw) ≤ |z| 2 + |w| 2 + 2 |z||w| =<br />
= (|z| + |w|) 2 .<br />
|z| = |z + w − w| ≤ |z + w| + |w|<br />
|w| = |z + w − z| ≤ |z + w| + |z|<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 12 / 369
(4)<br />
|z| 2 = | Re z| 2 + | Im z| 2 ≤ | Re z| 2 + | Im z| 2 + 2| Re z|| Im z|<br />
= (| Re z| + | Im z|) 2<br />
———————————————————–<br />
Poznámka: C nemá uspoˇrádání !<br />
———————————————————–<br />
Cvičení – d˚uležité geometrické útvary v rovině a jejich popis<br />
• |z − a| = r, r > 0, a ∈ C<br />
• |z − a| ≥ r, r > 0, a ∈ C<br />
• [z1, z2] = {z1 + t(z2 − z1) | t ∈< 0, 1 >} úsečka<br />
• Re z ≥ 5<br />
• π<br />
3π<br />
4 ≤ arg z ≤ 4<br />
• a = b, |z − a| = |z − b| ... osa úsečky [a, b].<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 13 / 369
Rovnice kružnice:<br />
Azz + az + az + C = 0 ,<br />
kde A = 0, C jsou reálná čísla, a je komplexní a aa − AC > 0.<br />
Ekvivalentní zápis:<br />
<br />
<br />
<br />
a <br />
z + <br />
A<br />
=<br />
<br />
aa − AC<br />
.<br />
(výpočet tabule)<br />
Rovnice pˇrímky:<br />
A 2<br />
az + az + C = 0 ,<br />
kde a = 0 je komplexní a C je reálné číslo<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 14 / 369
Apolloniovy kružnice: α = α1 + jα2, β = β1 + jβ2, α = β,<br />
λ > 0, λ = 1.<br />
|z − α|<br />
= λ .<br />
|z − β|<br />
Konstantní poměr vzdáleností k daným bod˚um. Výpočet v<br />
kartézských souˇradnicích pro z = x + jy.<br />
|z − α| 2 = λ 2 |z − β| 2<br />
(x − α1) 2 + (y − α2) 2 = λ 2 (x − β1) 2 + λ 2 (y − β2) 2<br />
Po zjednodušení:<br />
<br />
x − α1 − λ2β1 1 − λ2 2 <br />
+ y − α2 − λ2β2 1 − λ2 2 = r 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 15 / 369
Stˇred: a = α1−λ2β1 1−λ2 + j α2−λ2β2 1−λ2 Fakt: α, β, a leží na jedné pˇrímce:<br />
= a1 + ja2<br />
<br />
λ2 (β1 − α1)<br />
[α1 − a1, α2 − a2] =<br />
1 − λ2 , λ2 (β2 − α2)<br />
1 − λ2 <br />
<br />
β1 − α1<br />
[β1 − a1, β2 − a2] =<br />
1 − λ2 , β2 − α2<br />
1 − λ2 <br />
——————————————————————<br />
Zobecněná kružnice (circline) = kružnice nebo pˇrímka<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 16 / 369
Pˇríklad: Určete parametry kružnice<br />
|z + 1| = λ|z| λ = 1, λ > 0 .<br />
−1, 0 jsou ˇrídící body, a proto jeden pr˚uměr leží na reálné ose;<br />
periferní body z1 z2 jsou ˇrešením rovnice<br />
z1 = 1<br />
λ−1 ; z2 = 1<br />
−λ−1 .<br />
stˇred: 1 1<br />
2 ( λ−1<br />
<br />
<br />
<br />
+ 1<br />
−λ−1<br />
poloměr: 1<br />
2<br />
1 1<br />
λ−1 + λ+1<br />
1 ) =<br />
<br />
<br />
1<br />
= <br />
2<br />
z + 1 = ±λz<br />
λ 2 −1<br />
2λ<br />
λ2−1 <br />
<br />
<br />
<br />
= |λ|<br />
|λ 2 −1| .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 17 / 369
inverzní body v˚uči pˇrímce jsou body osově sdružené<br />
inverzní body v˚uči kružnici |z − a| = r :<br />
body α, β ležící na polopˇrímce procházející stˇredem kružnice,<br />
pro které platí<br />
|α − a| · |β − a| = r 2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 18 / 369
K = {z | |z − a| = r}<br />
Kruhová inverze v˚uči K je zobrazení<br />
f (z) = a +<br />
r 2<br />
z − a .<br />
Kruhová inverze najde k danému bodu bod inverzní.<br />
• transformace z → 1/z realizuje kruhovou inverzi v˚uči<br />
jednotkové kružnici.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 19 / 369
Rozšíˇrená rovina komplexních čísel a Riemannova sféra<br />
Riemannova sféra<br />
neboli<br />
S : x 2 + y 2 + (u − 1/2) 2 = 1<br />
4<br />
x 2 + y 2 + u 2 = u .<br />
Φ(z) ... stereografická projekce C na S \ N, kde N = [0, 0, 1].<br />
Pro z = x + jy je Φ(z) pr˚usečík pˇrímky spojujícící z a N se<br />
sférou S. Φ je vzájemně je dnoznačné zobrazení C na S \ {N}.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 20 / 369
Analytické výjádˇrení sterografické projekce:<br />
pˇrímka:<br />
[0, 0, 1] + t[(x, y, 0) − (0, 0, 1)] = [tx, ty, 1 − t] .<br />
dosazeno do rovnice sféry:<br />
t 2 x 2 + t 2 y 2 + (1 − t) 2 = 1 − t<br />
t 2 (1 + x 2 + y 2 1<br />
) − t = 0 ⇒ t =<br />
1 + x 2 + y 2<br />
<br />
x<br />
Φ(x + jy) =<br />
1 + x 2 y<br />
,<br />
+ y 2 1 + x 2 x<br />
,<br />
+ y 2 2 + y 2<br />
1 + x 2 + y 2<br />
<br />
.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 21 / 369
• Co odpovídá rovnoběžkám ?<br />
Kružnice se stˇredem v počátku<br />
• Co odpovídá kulovému vrchlíku ?<br />
Vnějšek kruhu se stˇredem v počátku.<br />
Jaké útvary v C se zobrazí na kružnice na S ?<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 22 / 369
Každá kružnice je pr˚unik S s rovinou<br />
ax + by + cu = d<br />
Složky Φ musí vyhovovat této rovnici, tj.<br />
ax<br />
1 + x 2 +<br />
+ y 2<br />
c = d .... rovnice kružnice<br />
by<br />
1 + x 2 + y 2 + c(x 2 + y 2 )<br />
1 + x 2 = d .<br />
+ y 2<br />
⇒ (c − d)(x 2 + y 2 ) + ax + by = d<br />
c = d ... rovnice pˇrímky (právě když jdeme pˇres severní pól)<br />
kružnice na S ←→ zobecněné kružnice v C.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 23 / 369
Klaudios Ptolemaios (100-160 n.l.)<br />
Ptolemaiova věta<br />
Každá kružnice na kulové ploše, jež neprochází jejím severním<br />
pólem, se pˇri stereografické projekci zobrazí na kružnici.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 24 / 369
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 25 / 369
M.Kˇrížek, L.Somer, A.Šolcová: Deset matematických vět o<br />
pražském orloji, Pokroky Matematiky Fyziky a Astronomie,<br />
54-2009, 281-300.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 26 / 369
poloměr sféry: asi 40 cm<br />
zajímavé kružnice: ekliptika, obratník raka, obratník kozoroha,<br />
obzorník, den a noc, ....<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 27 / 369
Zavedení nekonečna v komplexním oboru:<br />
Na sféˇre se blížíme k N ⇐⇒ |z| → ∞.<br />
N ∼ ∞ S ∼ C ∪ {∞} = ˜C ... rozšíˇrená komplexní rovina<br />
Rozšíˇrená aritmetika: pro a ∈ C.<br />
−∞ = ∞ , a ± ∞ = ∞ , a a<br />
∞ = 0 , 0 = ∞ pro a = 0.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 28 / 369
2. Základní pojmy analýzy v C<br />
• Základem analýzy je pojem limity, k tomu potˇrebujeme pojem<br />
okolí bodu z ∈ C.<br />
U(z) = U(z, ε) = {w ∈ C | |w − z| < ε} .<br />
... ε-okolí bodu z, (ε > 0).<br />
... prstencové okolí bodu z.<br />
... okolí nekonečna.<br />
U(z, ε) \ {z}<br />
U(∞, ε) = {w ∈ C | |w| > ε} .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 29 / 369
2.1. Definice. Posloupnost (zn) ⊂ C má limitu z ∈ ˜ C, jestliže<br />
pro každé okolí U(z) platí, že pouze konečně mnoho člen˚u<br />
posloupnosti (zn) neleží v U(z).<br />
2.2. Tvrzení.<br />
1 limn→∞ zn = z ∈ C právě tehdy když limn→∞ Re zn = Re z<br />
a současně limn→∞ Im zn = Im z.<br />
2 limn→∞ zn = ∞ právě tehdy když limn→∞ |zn| = ∞.<br />
D˚ukaz: (1) limn→∞ zn = z ∈ C ⇔ limn→∞ |z − zn| = 0.<br />
| Re(z − zn)|, | Im(z − zn) ≤ |z − zn| ≤ | Re(z − zn)| + | Im(z − zn)|<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 30 / 369
Pˇríklad • zn = (1 + 1<br />
n )n + j cos 1<br />
n<br />
limn→∞ zn = limn→∞(1 + 1<br />
n )n + j limn→∞ cos 1<br />
n = e + j<br />
• limn→∞(−1) n n = ∞. Tato limita neexistuje v oboru reálných<br />
čísel !!<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 31 / 369
2.3. Definice.<br />
1 Necht’ G ⊂ C. ˇRekneme, že množina G je otevˇrená jestliže<br />
s každým svým bodem z ∈ G obsahuje i jisté jeho okolí<br />
U(z, ε) ⊂ G.<br />
2 Bod z ∈ C se nazývá hraničním bodem množiny M, jestliže<br />
pro každé jeho okolí U(z, ε) platí<br />
U(z, ε) ∩ M = ∅ a současně U(z, ε) ∩ (C \ M) = ∅ .<br />
3 Množina všech hraničních bod˚u množiny M se nazývá<br />
hranice množiny M a značí se ∂M.<br />
4 Uzávěr M množiny M je definován jako M ∪ ∂M. Množiny,<br />
pro které platí, že M = M se nazývají uzavˇrené.<br />
• M je uzavˇrená ⇔ C \ M je otevˇrená ⇔ M ⊃ ∂M.<br />
• ∅ je otevˇrená množina<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 32 / 369
"Souvislý celek nelze roztrhnout na dvě části"<br />
2.4. Definice. Množina D neni souvislá, jestliže existují dvě<br />
disjunktní otevˇrené množiny G a H takové, že<br />
1 D ⊂ G ∪ H (pokrýváme)<br />
2 G ∩ D = ∅ a H ∩ D = ∅. (efektivní pokrytí)<br />
V opačném pˇrípadě nazýváme množinu D souvislou.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 33 / 369
2.5. Tvrzení. Úsečka [a, b] je souvislá množina.<br />
D˚ukaz: pˇrednáška – tabule<br />
2.6. Definice. Souvislá otevˇrená množina se nazývá oblast.<br />
2.7. Věta. Necht’ G ⊂ C je otevˇrená neprázdná množina. Pak<br />
následující tvrzení jsou ekvivalentní.<br />
1 Každé dva body z G lze spojit lomenou čarou ležící v G.<br />
2 G je oblast.<br />
D˚ukaz: pˇrednáška – tabule, skripta<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 34 / 369
2.8. Definice. Množina G ⊂ C se nazývá konvexní, jestliže lze<br />
každé dva body z G spojit úsečkou ležící v G.<br />
2.9. Tvrzení. Otevˇrená konvexní množina je oblast.<br />
• Opačné tvrzení neplatí !!!<br />
Budeme zacházet s oblastmi, které "nemají díry".<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 35 / 369
2.10. Definice. Oblast G ⊂ C se nazývá jednoduše souvislá,<br />
jestliže její steregrafická projekce Φ(G) na Riemannovu sféru<br />
má souvislý doplněk.<br />
2.11. Tvrzení. Omezená oblast G ⊂ C je jednoduše souvislá<br />
právě tehdy když C \ G je souvislá množina.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 36 / 369
2.12. Tvrzení. Otevˇrená konvexní množina G je jednoduše<br />
souvislá.<br />
D˚ukaz: Lze pˇredpokládat, že 0 ∈ G. Dva body v doplňku Φ(G)<br />
lze spojit poledníky procházejícími pˇres severní pól. Detaily -<br />
pˇrednáška – tabule.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 37 / 369
3. Holomorfní funkce<br />
3.1. Funkce komplexní proměnné<br />
3.1. Definice. f : D(f ) → C, D(f ) ⊂ C je komplexní funkce.<br />
možné interpretace:<br />
• f (x + jy) = u(x, y) + j v(x, y), x, y ∈ R<br />
dvojice reálných funkcí – vektorové pole.<br />
Re f = u, Im f = v.<br />
• z → f (z) .... jistá transformace roviny<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 38 / 369
Pˇríklad: f (z) = z 2 .<br />
(x + jy) 2 = x 2 − y 2 + j2xy<br />
u(x, y) = x 2 − y 2 ; v(x, y) = 2xy<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 39 / 369
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 40 / 369
geometricky:<br />
|z|(cos ϕ + j sin ϕ) → |z| 2 (cos 2ϕ + j sin 2ϕ) .<br />
napˇríklad: 1. kvadrant → horní polorovina;<br />
horní polorovina → C \ R + .<br />
Deformace souˇradnicové sítě:<br />
Re z = c → {(c 2 − t 2 ) + j2ct | t ∈ R}.<br />
c = 0 .... R −<br />
c = 0 ... parabola.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 41 / 369
3.2. Definice. Necht’ f : C → C je komplexní funkce a<br />
z0 ∈ C ∪ {∞}. ˇRekneme, že f má limitu A ∈ C ∪ {∞} v bodě z0,<br />
jestliže pro každé okolí U(A, ε) existuje okolí U(z0, δ) takové, že<br />
každý bod z ∈ U(z0, δ) \ {z0} se zobrazí do U(A, ε).<br />
ˇRekneme, že f je spojitá v bodě z0 ∈ C, jestliže<br />
Pˇríklady:<br />
1) limz→0 z<br />
z neexistuje.<br />
lim f (z) = f (z0) .<br />
z→z0 2) limz→∞ z2 = ∞.<br />
= ∞ !! Na rozdíl od reálného oboru !!<br />
3) limz→0 1<br />
z<br />
Funkce f (z) = arg z je spojitá v C \ R − . Pˇrechodem pˇres<br />
zápornou část reálné osy zaznamenáme skok 2π.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 42 / 369
3.2. Diferencovatelnost komplexních funkcí<br />
3.3. Definice. Komplexní funkce f (z) má v bodě z ∈ C<br />
derivaci, jestliže existuje vlastní limita<br />
f (z + h) − f (z)<br />
lim<br />
.<br />
h→0 h<br />
Hodnota této limity se označuje f ′ (z).<br />
Dvourozměrnost limity má silné d˚usledky<br />
Pro derivování platí běžná pravidla se stejným d˚ukazem jako v<br />
reálném oboru.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 43 / 369
1 (f + g) ′ (z) = f ′ (z) + g ′ (z).<br />
2 (fg) ′ (z) = f ′ (z)g(z) + g ′ (z)f (z).<br />
3 ( f<br />
g )′ (z) = f ′ (z)g(z)−f (z)g ′ (z)<br />
g2 je-li g(z) = 0.<br />
(z)<br />
4 [f (g(z))] ′ = f ′ (g(z))g ′ (z).<br />
5 Je-li g inverzní funkce k funkci f , pak<br />
g ′ (z) =<br />
1<br />
f ′ (g(z)) ,<br />
za pˇredpokladu, že derivace f ′ (g(z)) existuje a je nenulová<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 44 / 369
Pˇríklad: Určete f ′ (z) pro f (z) = z n , n ∈ N.<br />
f ′ (z) = nz n−1 .<br />
Ověˇríme indukcí: n = 1 ... f ′ (z) = 1<br />
Necht’ hypotéza platí pro n. Pak<br />
(z n+1 ) ′ = (z · z n ) ′ = z n + z · n · z n−1 = (n + 1)z n .<br />
Pˇríklad: f (z) = Re z.<br />
f (z + h) − f (z)<br />
h<br />
= Re h<br />
h<br />
Limita pro h → 0 tohoto výrazu neexistuje (testujte limity po<br />
osách). f (z) je pˇríklad spojité funkce, která nemá derivaci v<br />
žádném bodě. Najdete takto snadno pˇríklad reálné funkce s<br />
týmiž vlastnostmi ?<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 45 / 369
3.4. Věta. Necht’ f je diferencovatelná v bodě z = x + jy. Pak<br />
reálná složka u i imaginární složka v funkce f mají parciální derivace<br />
v bodě (x, y). Tyto parciální derivace splňují následující<br />
Cauchy-Riemannovy podmínky:<br />
∂u<br />
∂x<br />
Navíc platí, že<br />
∂v<br />
(x, y) = (x, y) ,<br />
∂y<br />
f ′ (z) = ∂u<br />
∂x<br />
∂u<br />
∂y<br />
(x, y) = −∂v (x, y) .<br />
∂x<br />
∂v<br />
(x, y) + j (x, y) .<br />
∂x<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 46 / 369
D˚ukaz: f ′ f (z+h)−f (z)<br />
(z) = limh→0 h<br />
Jdeme po reálné ose:<br />
f ′ u(x + h, y) − u(x, y) v(x + h, y) − v(x, y)<br />
(z) = lim<br />
+ j<br />
h→0,h∈R h<br />
h<br />
= ∂u<br />
∂x<br />
∂v<br />
(x, y) + j (x, y) .<br />
∂x<br />
Jdeme po imaginární ose:<br />
f ′ u(x, y + h) − u(x, y) v(x, y + h) − v(x, y)<br />
(z) = lim<br />
+ j<br />
h→0,h∈R j h<br />
j h<br />
= 1<br />
j<br />
∂u ∂v<br />
(x, y) + (x, y) .<br />
∂y ∂y<br />
=⇒ ∂u<br />
∂x<br />
+ j ∂v<br />
∂x<br />
.<br />
= −j ∂u<br />
∂y<br />
=⇒ Cauchy-Riemannovy podmínky.<br />
+ ∂v<br />
∂y .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 47 / 369
Pˇríklad: f (z) = z, f (z) = x − jy, ∂u<br />
∂x<br />
Tedy f nemá derivaci v žádném bodě.<br />
= 1; ∂v<br />
∂y<br />
= −1.<br />
Pˇríklad: f (z) = 1 pro Re z = 0 ∧ Im z = 0; f (z) = 0 jinak.<br />
Parciální derivace u a v jsou v bodě (0, 0) nulové, nicméně<br />
neexistuje.<br />
f (h) − f (0) f (h)<br />
lim<br />
= lim<br />
h→0 h h→0 h<br />
3.5. Věta. Komplexní funkce f (z) má v bodě z = x + jy derivaci<br />
právě tehdy když její složky u a v splňují Cauchy-Riemannovy<br />
podmínky a mají obě totální diferenciál v bodě (x, y).<br />
Spojitost parciálních derivací + Cauchy-Riemannovy podmínky<br />
⇒ existence derivace.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 48 / 369
3.3. Holomorfní funkce<br />
3.6. Definice. Funkce f je holomorfní v otevˇrené množině<br />
G ⊂ C, jestliže má derivaci v každém bodě množiny G.<br />
Funkce f je holomorfní v bodě z0, je-li holomorfní v nějakém<br />
okolí bodu z0.<br />
————————————————————————–<br />
3.7. Tvrzení. Je-li f holomorfní v otevˇrené množině G, pak je v<br />
G spojitá.<br />
D˚ukaz zcela stejný jako v reálném pˇrípadě.<br />
3.8. Věta. Má-li funkce f nulovou derivaci v oblasti G, pak je<br />
konstantní.<br />
D˚ukaz: nulovost derivace ⇒ nulovost parciálních derivací<br />
složek+ věta o stˇrední hodnotě ⇒ f je konstantní.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 49 / 369
Další význam derivace - zachování úhl˚u, konformita.<br />
ϕ :< a, b >→ C ... parametrizace kˇrivky C.<br />
t ∈< a, b >.<br />
Tečna ke kˇrivce v bodě ϕ(t) ... z = ϕ(t) + sϕ ′ (t); s ∈ R.<br />
úhel kˇrivek v bodě ϕ1(t) = ϕ2(s) = úhel tečen ...<br />
arg ϕ ′ 1 (t) − arg ϕ′ 2 (s), ϕ1(t) = ϕ2(s)<br />
Co se děje v transformaci z → f (z) s úhly?<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 50 / 369
3.9. Věta. Věta o zachování úhlu Necht’ f je holomorfní v<br />
oblasti G. Pˇredpokládejme, že ϕ1 a ϕ2 jsou parametrizace dvou<br />
kˇrivek C1 a C2 ležících v G, které se protínají v bodě<br />
z = ϕ1(t) = ϕ2(s). Necht’ f ′ (z) = 0. Pak f zachová úhel mezi<br />
kˇrivkami C1 a C2.<br />
D˚ukaz:<br />
(f ◦ ϕ1) ′ (t)<br />
(f ◦ ϕ2) ′ (s) = f ′ (z)ϕ ′ 1 (t)<br />
f ′ (z)ϕ ′ 2 (s) = ϕ′ 1 (t)<br />
ϕ ′ 2 (s)<br />
Z toho vyplývá:<br />
arg(f ◦ ϕ1) ′ (t) − arg(f ◦ ϕ2) ′ (s) = arg ϕ ′ 1 (t) − arg ϕ′ 2 (t) mod 2π .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 51 / 369
Pˇríklad: f (z) = z 2 . Uvažujme dvě kolmé pˇrímky<br />
p1 = {1 + jt | t ∈ R} , t = 1<br />
p2 = {s + j | s ∈ R} , s = 1<br />
f (p1) = {1 − t 2 + 2jt | t ∈ R} .<br />
f (p2) = {s 2 − 1 + 2js | s ∈ R} .<br />
vektory tečen jsou kolmé:<br />
(−2t, 2) tj. pro t = 1 (−2, 2)<br />
(2s, 2) tj. pro s = 1 (2, 2).<br />
Pro z = 0 je f ′ (z) = 0 a úhly se nezachovají.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 52 / 369
3.10. Definice. Holomorfní funkce v otevˇrené množině G se<br />
nazývá konformní, jestliže f ′ (z) = 0 pro všechna z ∈ G.<br />
3.11. Tvrzení. Složení dvou konformních zobrazení je<br />
konformní zobrazení. Inverze k prostému konformnímu<br />
zobrazení je konformní.<br />
založeno na skutečnosti, že (f ◦ g) ′ (z) = f ′ (g(z)) · g ′ (z) a<br />
(f −1 ) ′ 1 (z) =<br />
f ′ (f −1 (z)) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 53 / 369
Holomorfní a harmonické funkce<br />
Pˇredpokládejme, že<br />
f (z) = u(x, y) + jv(x, y) .<br />
f je holomorfní v G a u, v mají spojité parciální derivace<br />
druhého ˇrádu v G. Vezměme Cauchy-Riemannovy podmínky:<br />
∂u<br />
∂x<br />
= ∂v<br />
∂y ;<br />
∂u<br />
∂y<br />
= −∂v<br />
∂x<br />
První identitu derivujme podle x a druhou podle y. Dostaneme<br />
∂2u ∂x 2 = ∂2v ∂x∂y ;<br />
Tedy u splňuje Laplaceovu rovnici<br />
v G.<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 + ∂2u ∂y<br />
∂2u ∂y 2 = − ∂2v ∂y∂x .<br />
2 = 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 54 / 369
Taktéž v splňuje Laplaceovu rovnici.<br />
Funkce splňující Laplaceovu rovnici se nazývají harmonické.<br />
Závěr: Reálná a imaginární složka holomorfní funkce je<br />
harmonická.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 55 / 369
3.4. Elementární funkce<br />
Afinní funkce<br />
f (z) = az + b, a = 0, b ∈ C .<br />
složení rotace, stejnolehlosti a posunu.<br />
f ′ (z) = a<br />
f je holomorfní v C, f (∞) = ∞.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 56 / 369
Polynomy<br />
polynom stupně n:<br />
f (z) = a0z n + a1z n−1 + · · · + an−1z + an , a0 = 0<br />
Holomorfní funkce v C, konformní až na konečně mnoho bod˚u.<br />
3.12. Věta. Základní věta algebry<br />
Každý polynom stupně alespoň jedna má alespoň jeden<br />
komplexní koˇren.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 57 / 369
Lineární lomené zobrazení (Möbiova transformace)<br />
Nebo-li<br />
f (z) =<br />
az + b<br />
cz + d<br />
f (z) = a<br />
c +<br />
ad − bc = 0 , c = 0 .<br />
1<br />
c 2 (bc − ad)<br />
z + d<br />
c<br />
Tedy f je složení afinních zobrazení, kruhové inverze v˚uči<br />
jednotkovému kruhu a osové souměrnosti dle reálné osy.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 58 / 369
• složením lineárních lomených zobrazení je lineární lomené<br />
zobrazení<br />
• linerní lomené zobrazení je prosté, jeho inverze je opět<br />
lineární lomené zobrazení<br />
Dodefinování v rozšíˇrené komplexní rovině:<br />
f (∞) = a<br />
c<br />
f (− d<br />
) = ∞ .<br />
c<br />
Pˇríklad: Nalezněte Möbiouvu transformaci, která zobrazí<br />
polorovinu Im z > 0 na otevˇrený jednotkový kruh.<br />
ˇRešení:<br />
Im z > 0 ⇔ |z − j| < |z + j| ⇔ |z−j|<br />
|z+j| < 1<br />
Tedy f (z) = z−j<br />
z+j .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 59 / 369
D˚uležitý princip:<br />
3.13. Věta. Lineární lomené zobrazení zachová zobecněné<br />
kružnice a body inverzní v˚uči nim.<br />
Rozšíˇrení definice : stˇred kružnice je sdružený s ∞. Princip<br />
platí i pro tuto dvojici.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 60 / 369
Pˇríklad: f (z) = j 1+z<br />
1−z . Určete obraz jednotkové kružnice.<br />
1 ∈ K → ∞ a tedy obraz je pˇrímka. (Stačí tedy vzít obraz dvou<br />
bod˚u)<br />
∞ → −j,<br />
0 → j<br />
implikuje, že j a −j jsou sdružené a tedy obraz je jejich osa –<br />
reálná osa.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 61 / 369
Racionální funkce<br />
kde p a q jsou polynomy.<br />
f (z) = p(z)<br />
q(z) ,<br />
f je holomorfní a konformní v C až na koˇreny polynomu q.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 62 / 369
Exponenciální funkce<br />
e z = e Re z (cos(Im z) + j sin(Im z)) , z ∈ C .<br />
u(x, y) = e x cos y v(x, y) = e x sin y .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 63 / 369
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 64 / 369
Cauchy-Riemannovy podmínky + spojitost derivací – e z je<br />
holomorfní v C.<br />
e z ′ = ∂u<br />
∂x<br />
e z = 0 ⇒ e z je konformní v C.<br />
+ j ∂v<br />
∂x = ex cos y + je x sin y = e z .<br />
e z ′ = e z<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 65 / 369
Eulerova identita:<br />
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ , ϕ ∈ R .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 66 / 369
Některé vlastnosti exponenciální funkce:<br />
1 |ez | = eRe z<br />
2 e z 1 · e z 2 = e z 1+z 2<br />
3 e z+2πj = e z · e 2πj = e z . Perioda 2πj!!<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 67 / 369
Pˇríklad: ˇRešte rovnici e a = z, kde z ∈ C \ {0}.<br />
e a = |z| · (cos(arg z) + j sin(arg z)) .<br />
=⇒ Re a = ln |z| Im a = arg z + 2kπ , k ∈ Z .<br />
Množina ˇrešení je<br />
{ln |z| + j(arg z + 2kπ) | k ∈ Z} .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 68 / 369
Deformace souˇradnicové sítě:<br />
... kružnice s poloměrem e c .<br />
vc = {z ∈ C | Re z = c} .<br />
e z = e c+jy = e c · e jy , y ∈ R<br />
hc = {z ∈ C | Im z = c}<br />
e z = e x+jc = e x · e jc , x ∈ R<br />
... polopˇrímka bez počátku, úhel c.<br />
Pˇríklad: Na co zobrazí e z následující množiny?<br />
a) {z | − π ≤ Im z ≤ π}<br />
b) {z | − π ≤ Re z ≤ π}<br />
c) {z | 0 ≤ Re z ≤ ln π}.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 69 / 369
Logaritmus<br />
z = 0<br />
Ln z = {ln |z| + j arg z + 2kπj | k ∈ Z} .<br />
Hlavní větev logaritmu<br />
z = 0<br />
ln z = ln |z| + j arg z .<br />
Hlavní větev logaritmu je inverzní funkcí k e z na množině<br />
{z ∈ C | − π < Im z ≤ π}.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 70 / 369
Pˇríklady:<br />
Ln 1 = {2kπj | k ∈ Z},<br />
ln 1 = 0,<br />
ln(1 + j) = ln √ 2 + jπ/4,<br />
ln(−1) = πj.<br />
• ln z je spojitá funkce na množině D = C \ {−t | t ∈ R, t > 0}.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 71 / 369
Zkoumejme diferencovatelnost ln z na množině D.<br />
Necht’ z ∈ D. Vyšetˇrujeme výraz<br />
ln(z + h) − ln z<br />
h<br />
Substituce ln z = w, v = ln(z + h) − ln z. Pak h = e v+w − e w .<br />
Jestliže h → 0, pak v → 0.<br />
limv→0<br />
Tedy<br />
ln(z + h) − ln z<br />
h<br />
=<br />
.<br />
v<br />
ev+w 1<br />
=<br />
− ew ew v<br />
ev − 1<br />
v<br />
e v −1 = 1 (Použít derivaci ez v bodě 0 !!!)<br />
ln(z + h) − ln z<br />
lim<br />
h→0 h<br />
= 1 1<br />
=<br />
ew z .<br />
Závěr: ln z je funkce holomorfní na D, pˇričemž<br />
(ln z) ′ = 1<br />
z<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 72 / 369
Goniometrické a hyperbolické funkce<br />
Osbornova pravidla:<br />
cos z = ejz + e−jz 2<br />
sin z = ejz − e−jz 2j<br />
cosh z = ez +e −z<br />
2<br />
sinh z = ez −e −z<br />
2<br />
cos jz = cosh z sin jz = j sinh z .<br />
Reálné a imaginární složky: (x, y ∈ R)<br />
cos(x + jy) = cos x cosh y − j sin x sinh y<br />
sin(x + jy) = sin x cosh y + j cos x sinh y<br />
výpočet ze vzorce, součtové vzorce, ....<br />
Identity platí stejně.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 73 / 369
sin z = 0 ⇔ z = kπ, k ∈ Z.<br />
tg z =<br />
cotg z =<br />
sin z<br />
cos z<br />
cos z<br />
sin z<br />
z ∈ {π/2 + kπ | k ∈ Z}<br />
z ∈ {kπ | k ∈ Z} .<br />
Pro derivace platí stejné vzorce jako v reálném oboru.<br />
Napˇr:<br />
sin ′ z =<br />
e jz − e −jz<br />
2j<br />
′<br />
= jejz + je −jz<br />
2j<br />
= ejz + e −jz<br />
2<br />
= cos z .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 74 / 369
Cyklometrické funkce<br />
mnohoznačné funkce:<br />
Dají se logaritmicky vyjádˇrit:<br />
Výpočet:<br />
Arcsin z = {a ∈ C | sin a = z}<br />
Arccos z = {a ∈ C | cos a = z}<br />
Arcsin z = {−ja | a ∈ Ln(jz + w), w ∈<br />
substituce: p = e ja .<br />
e ja − e −ja<br />
2j<br />
= z .<br />
p − 1<br />
p = 2jz ⇐⇒ p2 − 2jzp − 1 = 0<br />
p1,2 = 2jz ± √ −4z2 + 4<br />
2<br />
<br />
1 − z 2 }<br />
<br />
= jz ± 1 − z2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 75 / 369
Pˇríklad: Rovnice tg a = z má ˇrešení právě tehdy když<br />
z ∈ {j, −j}. Množinou ˇrešení je<br />
Výpočet:<br />
Substituce: e 2ja = p<br />
z = j. Pak<br />
1 1 + jz<br />
Ln<br />
2j 1 − jz .<br />
sin a<br />
cos a = eja − e−ja j(eja + e−ja ) = e2ja − 1<br />
j(e2ja + 1)<br />
p − 1 = jz(p + 1) ⇐⇒ p =<br />
e 2ja =<br />
1 + jz<br />
1 − jz .<br />
a ∈ 1 1 + jz<br />
Ln<br />
2j 1 − jz .<br />
1 + jz<br />
, z = −j<br />
1 − jz<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 76 / 369
M˚užeme definovat větve:<br />
arctg z = 1 1 + jz<br />
ln<br />
2j 1 − jz .<br />
Tato funkce je diferencovatelná právě tehdy když 1+jz<br />
1−jz ∈ R− .<br />
Domácí cvičení:<br />
⇐⇒ z ∈ {jt | |t| ≥ 1} .<br />
Derivace této funkce:<br />
(arctg z) ′ = 1 1 − jz j(1 − jz) − (1 + jz)(−j)<br />
·<br />
2j 1 + jz (1 − jz) 2<br />
= ...<br />
=<br />
1<br />
(1 + jz)(1 − jz) =<br />
1<br />
z 2 + 1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 77 / 369
4. Integrální reprezentace holomorfní funkce<br />
4.1. Kˇrivkový integrál a primitivní funkce<br />
Motivace: hledáme primitivní funkci<br />
4.1. Definice. Množina C se nazývá oblouk, jestliže existuje<br />
spojité zobrazení<br />
ϕ :< a, b >→ C<br />
intervalu < a, b > na množinu C splňující následující<br />
podmínky:<br />
1 ϕ je prosté zobrazení<br />
2 ϕ má spojitou a nenulovou derivaci na (a, b). V krajních<br />
bodech existují jednostranné drivace.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 78 / 369
4.2. Definice. Množina C ⊂ C se nazývá kˇrivka, jestliže<br />
existuje spojité zobrazení<br />
ϕ :< a, b >→ C<br />
takové, že < a, b > lze rozdělit na konečně mnoho podinterval˚u<br />
tak, že na každém dílčím intervalu má ϕ vlastnosti (i) a (ii) v<br />
definici oblouku. Navíc žádame, aby ϕ bylo prosté zobrazení až<br />
na konečně mnoho bod˚u.<br />
Zobrazení ϕ se nazývá parametrizací oblouku nabo kˇrivky C.<br />
Kˇrivka se nazývá uzavˇrená, jestliže ϕ(a) = ϕ(b). Kˇrivka se<br />
nazývá jednoduchá, jestliže ϕ(t) = ϕ(s) pro všechna s = t s<br />
výjimkou počátečního a koncového bodu.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 79 / 369
Tečný vektor ... ϕ ′ (t)<br />
Délka kˇrivky ... l(C) = b<br />
a |ϕ′ (t)| dt.<br />
Orientace ... zp˚usob probíhání kˇrivky, kladná a záporná.<br />
Pˇríklady:<br />
1. [a, b]<br />
ϕ(t) = a + t(b − a) , t ∈ [0, 1] .<br />
ϕ ′ (t) = b − a .<br />
2. Elipsa se stˇredem 1 + j, poloosy a = 1, b = 2, osy<br />
rovnoběžné se souˇradnou soustavou.<br />
ϕ(t) = 1 + j + cos t + 2j sin t t ∈< 0, 2π > .<br />
ϕ ′ (t) = − sin t + 2j cos t .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 80 / 369
3. Elipsa, stejné parametry, osy rovnoběžné s osami kvadrant˚u.<br />
ϕ(t) = 1 + j + e jπ/4 (cos t + 2j sin t) t ∈< 0, 2π ><br />
ϕ ′ (t) = e jπ/4 (− sin t + 2j cos t) .<br />
4.3. Definice. Uzavˇrená jednoduchá kˇrivka se nazývá<br />
Jordanova kˇrivka.<br />
4.4. Věta. Jordanova věta Je-li C Jordanova kˇrivka pak C \ C<br />
je sjednocením omezené oblasti a neomezené oblasti.<br />
Int(C) ... omezená oblast, vnitˇrek kˇrivky<br />
Ext(C) ... neomezená oblast, vnějšek kˇrivky<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 81 / 369
4.5. Definice. Necht’ C je kˇrivka s parametrizací<br />
ϕ :< a, b >→ C a necht’ f : C → C je funkce spojitá v bodech<br />
kˇrivky C. Kˇrivkový integrál funkce f podél kˇrivky C je (komplexní<br />
číslo)<br />
<br />
b<br />
f (z) dz = f (ϕ(t))ϕ ′ (t) dt .<br />
C<br />
a<br />
———————————————————–<br />
Pˇríklad: <br />
C (z − z0) k dz, kde k ∈ Z a C je kladně orientovaná<br />
kružnice se stˇredem v bodě z0 a poloměrem r > 0.<br />
ϕ(t) = z0 + r e jt , t ∈< 0, 2 π > .<br />
ϕ ′ (t) = r j e jt .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 82 / 369
C<br />
(z − z0) k dz =<br />
2π<br />
Je-li k = −1 je výsledek 2πj.<br />
Je-li k = −1 pokračujeme:<br />
<br />
C<br />
0<br />
r k e j kt j r e j t dt = r k+1 j<br />
= j r k+1<br />
<br />
ej (k+1)t 2π<br />
= 0 .<br />
j (k + 1) 0<br />
(z − z0) k dz =<br />
<br />
2πj k = −1<br />
0 k = −1 .<br />
2π<br />
0<br />
e j(k+1)t dt<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 83 / 369
Kˇrivkový integrál je stejný pro všechny parametrizace dávající<br />
stejnou orientaci. (Nedokazuje se - viz skripta)<br />
Značení:<br />
−C – kˇrivka s opačnou orientací<br />
C1 + C2 – napojení navazujících kˇrivek C1 a C2.<br />
Vlastnosti kˇrivkového integrálu:<br />
<br />
<br />
<br />
C f (z) + g(z) dz = C f (z) dz + C g(z) dz<br />
<br />
C α f (z) dz = αC<br />
f (z) dz α ∈ C<br />
<br />
−C f (z) dz = −C<br />
f (z) dz<br />
<br />
C f (z) dz =<br />
1+C2 <br />
C f (z) dz +<br />
1 <br />
C f (z) dz.<br />
2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 84 / 369
Technické pˇríklady:<br />
1. <br />
C 1/z dz , C je úsečka C = [j, 1].<br />
<br />
C<br />
1/z dz =<br />
1<br />
= (1 − j)<br />
= −j<br />
ϕ(t) = t + (1 − t)j , t ∈< 0, 1 > .<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
ϕ ′ (t) = 1 − j .<br />
1<br />
·(1−j) dt = (1−j)<br />
t + (1 − t)j<br />
0<br />
−j<br />
2t2 dt +<br />
− 2t + 1<br />
1<br />
2t2 1<br />
dt +<br />
− 2t + 1 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
t − (1 − t)j<br />
t2 dt =<br />
+ (1 − t) 2<br />
2t<br />
2t2 dt =<br />
− 2t + 1<br />
4t − 2<br />
2t 2 − 2t + 1 dt<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 85 / 369
2t 2 − 2t + 1 = 1 1<br />
[4(t −<br />
2 2 )2 + 1]<br />
Pokračování výpočtu:<br />
1<br />
1<br />
−j<br />
0 2t2 1<br />
dt +<br />
− 2t + 1 2<br />
<br />
= −j arctg 2 t − 1<br />
1 +<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
4t − 2<br />
2t 2 − 2t + 1 dt<br />
<br />
ln |2 t 2 − 2t + 1|<br />
1<br />
0<br />
= −j π<br />
2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 86 / 369
2. <br />
C z2 dz , kde C je kladně orientovaná kˇrivka – sjednocení<br />
intervalu < −R, R > (R > 0) na reálné ose a horní<br />
polokružnice se stˇredem v počátku a poloměrem R.<br />
ϕ1(t) = t , t ∈< −R, R > .<br />
R<br />
t<br />
−R<br />
2 <br />
t3 R<br />
dt = =<br />
3 −R<br />
2<br />
3 R3 .<br />
ϕ2(t) = R e jt<br />
π<br />
R 2 e 2jt j R e jt dt =<br />
0<br />
<br />
C<br />
t ∈< 0, π > .<br />
<br />
1<br />
3 R3e 3jt<br />
π = − 2<br />
3 R3 .<br />
z 2 dz = 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 87 / 369<br />
0
4.6. Věta. Odhad modulu kˇrivkového integrálu Necht’ C je<br />
kˇrivka a f (z) funkce spojitá v bodech kˇrivky C. Pak<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f (z) dz<br />
≤ max |f (z)| · l(C) .<br />
z∈C<br />
D˚ukaz - pˇrednáška<br />
C<br />
C<br />
Pˇríklad: Odhadněte velikost <br />
C 1/z dz, kde C je kružnice<br />
|z − 1| = 2.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1/z dz<br />
1<br />
≤ max · 4π ≤ 4π .<br />
z∈C |z|<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 88 / 369
Pˇríklad: Určete limitu<br />
<br />
lim e<br />
R→∞ CR −az2<br />
dz ,<br />
kde a > 0, CR je úsečka [R, R + jp], kde R, p > 0.<br />
z ∈ CR ⇒ z = R + jy, y ∈< 0, p >.<br />
|e −az2<br />
| = |e −a(R2 +2jRy−y 2 ) −aR<br />
| = e 2 ay 2<br />
e ≤ e −aR2<br />
e ap2<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C R<br />
e −az2<br />
<br />
<br />
dz<br />
<br />
≤ e−aR2e<br />
ap2<br />
· p → 0 pro R → ∞ .<br />
ˇRešení:<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 89 / 369
Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí (fn(z)) k funkci<br />
f (z) na množině M ⊂ C znamená<br />
lim<br />
n→∞ sup |fn(z) − f (z)| = 0 .<br />
z∈M<br />
4.7. Tvrzení. Jestliže (fn(z)) je posloupnost spojitých funkcí<br />
stejnoměrně konvergujících k funkci f na kˇrivce C, pak<br />
<br />
<br />
lim<br />
n→∞<br />
fn(z) dz = f (z) dz .<br />
D˚ukaz:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C<br />
C<br />
<br />
fn(z) dz −<br />
C<br />
<br />
<br />
f (z) dz<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C<br />
C<br />
<br />
<br />
fn(z) − f (z) dz<br />
≤<br />
≤ sup |fn(z) − f (z)| · l(C) → 0 , n → ∞ .<br />
z∈C<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 90 / 369
4.8. Tvrzení. Necht’ f je funkce spojitá v bodě z0 ∈ C. Pak<br />
<br />
1<br />
lim<br />
f (z) dz = f (z0) .<br />
h→0 h<br />
D˚ukaz:<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
h<br />
[z 0,z 0+h]<br />
[z 0,z 0+h]<br />
<br />
<br />
f (z) dz − f (z0) <br />
=<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
f (z0 + th)h dt − f (z0) <br />
h<br />
<br />
0<br />
=<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
= <br />
[f (z0 + th) − f (z0)] dt<br />
<br />
0<br />
f je spojitá v bodě z0 =⇒ pro každé pˇredepsané ε je<br />
|f (z0 + th) − f (z0)| < ε<br />
pro dostatečně malá |h|. Tedy i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
f (z) dz − f (z0) <br />
h<br />
≤ ε<br />
[z 0,z 0+h]<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 91 / 369
Primitivní funkce je v reálném pˇrípadě konstruována jako<br />
neurčitý integrál F(x) = x<br />
c f (t) dt. Každá spojitá reálná funkce<br />
má funkci primitivní.<br />
V komplexním oboru je situace složitější - více možností kˇrivek<br />
vedoucích k danému bodu.<br />
4.9. Definice. Necht’ G ⊂ C je otevˇrená množina. Funkce F(z)<br />
se nazývá funkce primitivní k funkci f (z) na množině G, jestliže<br />
F ′ (z) = f (z) pro každé z ∈ G .<br />
4.10. Definice. Kˇrivkový integrál funkce f na oblasti G nezávisí<br />
na cestě, jestliže<br />
<br />
<br />
f (z) dz = f (z) dz<br />
C 1<br />
pro všechny kˇrivky C1, C2 ⊂ G se stejným koncovým a<br />
počátečním bodem.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 92 / 369<br />
C 2
Nezávislost na cestě odpovídá konzervativnímu poli ve fyzice.<br />
4.11. Tvrzení. Kˇrivkový integrál funkce f v oblasti G nezávisí<br />
na cestě právě tehdy když<br />
<br />
f (z) dz = 0<br />
pro každou uzavˇrenou kˇrivku C ležící v G.<br />
C<br />
4.12. Věta. Newtova-Leibnitzova formule. Necht’ F (z) je primitivní<br />
funkce k funkci f (z) na oblasti G. Necht’ C je kˇrivka ležící v<br />
G s počátečním bodem z1 a koncovým bodem z2. Pak platí<br />
<br />
f (z) dz = F(z2) − F(z1) .<br />
C<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 93 / 369
D˚ukaz: ϕ :< a, b >→ C parametrizace kˇrivky C.<br />
<br />
C<br />
f (z) dz =<br />
b<br />
a<br />
f (ϕ(t))ϕ ′ (t) dt =<br />
= [F(ϕ(t))] b a = F (ϕ(b)) − F(ϕ(a)) = F(z2) − F(z1) .<br />
D ˚usledek: Má-li f primitivní funkci, pak její kˇrivkový integrál<br />
nezávisí na cestě.<br />
• Re z je pˇríklad funkce spojité v C, která nemá primitivní funkci<br />
nebot’ napˇr. <br />
C Re z dz = j = 0, kde C je hranice jednotkového<br />
čtverce s vrcholy 0, 1, 1 + j, j.<br />
——————————————————————-<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 94 / 369
Pˇríklad: <br />
C 1/z dz, C... [j, 1].<br />
<br />
C<br />
1/z dz = ln 1 − ln j = −j π<br />
2 .<br />
4.13. Věta. Necht’ G je oblast a f (z) spojitá funkce na G. Následující<br />
tvrzení jsou ekvivalentní<br />
1 f (z) má primitivní funkci na oblasti G.<br />
2 Kˇrivkový integrál funkce f (z) nezávisí na cestě.<br />
<br />
3<br />
C f (z) dz = 0 pro každou uzavˇrenou (Jordanovu) kˇrivku C<br />
ležící v G.<br />
D˚ukaz: pˇrednáška, skripta<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 95 / 369
Pˇríklad: <br />
C z2 dz , kde C je kladně orientovaná kˇrivka –<br />
sjednocení intervalu < −R, R > (R > 0) na reálné ose a horní<br />
polokružnice se stˇredem v počátku a poloměrem R.<br />
z 2 má v C primitivní funkci a tudíž integrál je nulový.<br />
4.14. Věta. Funkce f (z) má v konvexní oblasti G primitivní<br />
funkci právě tehdy když <br />
C f (z) dz = 0 pro každý obvod trojúhelníka<br />
C ležícího v G.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 96 / 369
4.2. Cauchyova věta<br />
Cauchy 1814 – za pˇredpokladu spojitosti derivace, použil<br />
vpodstatě Greenovu větu – pˇrístup ze skript<br />
Goursant v pozdním 19 století – obecný pˇrípad<br />
4.15. Věta. Cauchyova věta. Necht’ f je holomorfní funkce v jednoduše<br />
souvislé oblasti. Pak<br />
<br />
f (z) dz = 0<br />
pro každou uzavˇrenou kˇrivku C ⊂ G.<br />
C<br />
D ˚usledek: Každá holomorfní funkce má v jednoduše souvislé<br />
oblasti primitivní funkci.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 97 / 369
D˚ukaz Cauchyovy věty proveden po částech:<br />
1. Nulovost integrálu, je-li kˇrivka obvodem trojúhelníka –<br />
pˇrednáška, tabule.<br />
2. Cauchyova věta pro konvexní oblast – pˇrednáška, tabule.<br />
3. Obecný pˇrípad – nedokazuje se<br />
Pˇríklad: <br />
C<br />
z<br />
(z − 1) 3 (z2 dz = 0 ,<br />
+ z + 1)<br />
kde C je jakákoliv Jordanova kˇrivka mající body 1, − 1<br />
své vnější oblasti.<br />
2 ±<br />
√ 3j<br />
2 ve<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 98 / 369
V Cauchyově větě je d˚uležité aby se vnitˇrní oblast kˇrivky<br />
dala "zabalit" do jednoduše souvislé množiny.<br />
Pˇredpoklad jednoduché souvislosti je v Cauchyově větě<br />
podstatný – integrál funkce 1<br />
z pˇres jednotkovou kružnici je<br />
roven 2πj.<br />
Pˇríklad: Aplikace Cauchyovy věty na výpočet Fourierova<br />
obrazu gaussovské funkce.<br />
Spočtěte integrál ∞<br />
e<br />
−∞<br />
−t2<br />
e −j pt dt ,<br />
kde p je reálný parametr, pomocí Laplaceova integrálu<br />
∞<br />
e −t2<br />
dt = √ π .<br />
−∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 99 / 369
∞<br />
e −t2<br />
e −jpt ∞<br />
dt =<br />
−∞<br />
Substituce u = t + jp<br />
2 .<br />
Ukážeme, že<br />
což dá výsledek<br />
−∞<br />
∞+ jp<br />
2<br />
jp<br />
−(t+<br />
e 2 )2− p2<br />
p2<br />
− 4 dt = e 4<br />
∞<br />
−∞<br />
jp<br />
−(t+<br />
e 2 )2<br />
dt .<br />
p2<br />
−<br />
= e 4<br />
jp<br />
∞+ 2<br />
−∞+ jp<br />
2<br />
e −u2<br />
du .<br />
−∞+ jp<br />
2<br />
∞<br />
−∞<br />
e −u2<br />
∞<br />
du = e −t2<br />
dt ,<br />
−∞<br />
e −t2<br />
e −j pt dt = √ p2<br />
−<br />
π e 4 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 100 / 369
Pˇredpokládejme, že p > 0.<br />
Vezměme kladně orientovaný obvod obdélníka s vrcholy −R,<br />
R, R + jp, −R + jp jako kˇrivku CR a uplatněme Cauchyovu větu<br />
na funkci f (z) = e−z2 . Dostaneme<br />
<br />
e −z2<br />
dz = 0 .<br />
C R<br />
Horizontální úsečky C1, C3, vertikální C2, C4. Na základě<br />
pˇredchozího pˇríkladu máme pro i = 2, 4:<br />
<br />
lim f (z) dz = 0 .<br />
R→∞<br />
Limitním pˇrechodem R → ∞ v identitě<br />
4<br />
<br />
f (z) dz = 0<br />
dostaneme<br />
∞<br />
e −t2<br />
−∞<br />
i=1<br />
C i<br />
C i<br />
∞+jp/2<br />
dt − e<br />
−∞+jp/2<br />
−t2<br />
dt = 0 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 101 / 369
4.16. Věta. Princip deformace. Pˇredpokládejme, že C1 a C2<br />
jsou Jordanovy kˇrivky s kladnou orientací takové, že<br />
Int C1 ∪ C1 ⊂ Int C2 .<br />
Necht’ z0 ∈ Int C1. Pˇredpokládejme, že f je holomorfní v<br />
každém bodě množiny Int C2 ∪ C2 kromě bodu z0. Pak<br />
<br />
<br />
f (z) dz = f (z) dz .<br />
D˚ukaz: pˇrednáška<br />
C 1<br />
C 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 102 / 369
Pˇríklad: Ukažte, že<br />
<br />
C<br />
1<br />
dz = 2πj ,<br />
z − z0<br />
kde C je kladně orientovaná Jordanova kˇrivka mající z0 ve své<br />
vnitˇrní oblasti.<br />
ˇRešení: Princip deformace zredukuje na kružnici a využije se<br />
pˇredchozí pˇríklad.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 103 / 369
2<br />
4z2 dz, kde C je kladně orientovaná kružnice<br />
−1<br />
Pˇríklad: <br />
C<br />
|z| = 2.<br />
2<br />
4z2 − 1 =<br />
1<br />
2z − 1 −<br />
1<br />
2z + 1 .<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
dz = dz =<br />
C 2z − 1 K 2z − 1 K 2(z − 1<br />
1<br />
dz = 2πj<br />
2 ) 2<br />
K ... |z − 1 1<br />
2 | = 2 .<br />
<br />
C<br />
L ... |z + 1 1<br />
2 | = 2<br />
Závěr: <br />
C<br />
1<br />
dz =<br />
2z + 1<br />
2<br />
4z2 dz = 0<br />
−1<br />
<br />
L<br />
1<br />
1<br />
dz = 2πj = πj .<br />
2(z + 1/2) 2<br />
= πj .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 104 / 369
4.3. Cauchy ˚uv integrální vzorec a jeho d ˚usledky<br />
4.17. Věta. Cauchy˚uv integrální vzorec<br />
Necht’ funkce f (z) je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti<br />
G ⊂ C. Pro každou kladně orientovanou Jordanovu kˇrivku C<br />
ležící v G a pro každý bod z0 ∈ Int C platí<br />
1<br />
2πj<br />
<br />
C<br />
f (z)<br />
dz = f (z0) .<br />
z − z0<br />
možnost rekonstrukce všech hodnot z hraniční kˇrivky.<br />
D˚ukaz: pˇrednáška, skripta.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 105 / 369
Pˇríklady:<br />
1. f (z) = 1 <br />
C<br />
1<br />
dz = 2πj<br />
z − z0<br />
je-li C kladně orientovaná Jordanova kˇrivka mající bod z0 ve<br />
svém vnitˇrku.<br />
2. <br />
C<br />
cos z<br />
dz ,<br />
(z − 1)(z − 5) 2<br />
kde C je kladně orientovaná Jordanova kˇrivka obsahující bod 1<br />
ve svém vnitˇrku a bod 5 ve svém vnějšku.<br />
<br />
C<br />
f (z) =<br />
cos z<br />
(z − 5) 2 , z0 = 1 .<br />
cos z<br />
cos 1 πj cos 1<br />
dz = 2πj = .<br />
(z − 1)(z − 5) 2 16 8<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 106 / 369
4.18. Definice. Funkce holomorfní v C se nazývá celistvá.<br />
4.19. Věta. Liouvillova věta<br />
Omezená celistvá funkce je konstantní.<br />
D˚ukaz – pˇrednáška<br />
4.20. Věta. Základní věta algebry<br />
Každý polynom stupně alespoň jedna má alespoň jeden komplexní<br />
koˇren.<br />
D˚ukaz: P(z) polynom stupně alespoň jedna.<br />
Sporem: Je-li P(z) nenulové pro všechna z ∈ C, pak 1<br />
P(z) je<br />
omezená celistvá funkce a tedy konstantní funkce, což je spor.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 107 / 369
5. Reprezentace holomorfní funkce<br />
mocninnou ˇradou<br />
5.1. Mocninné ˇrady<br />
Cíl – rozvoj v Taylorovu ˇradu, "digitalizace funkce"<br />
5.1. Definice. ˇRada tvaru<br />
∞<br />
an (z − z0) n = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0) 2 + · · ·<br />
n=0<br />
se nazývá mocninná ˇrada se stˇredem v bodě z0 a koeficienty<br />
an. Částečné součty ˇrady jsou funkce<br />
Sm(z) =<br />
m<br />
an (z − z0) n .<br />
n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 108 / 369
• Mocninná ˇrada konverguje bodově k funkci f (z) na množině<br />
M ⊂ C jestliže pro všechna z ∈ M<br />
|Sm(z) − f (z)| → 0 pro m → ∞ .<br />
• Mocninná ˇrada konverguje stejnoměrně k funkci f (z) na<br />
množině M ⊂ C jestliže<br />
sup |Sm(z) − f (z)| → 0 pro m → ∞ .<br />
z∈M<br />
Funkce, která je součtem mocninné ˇrady je "nekonečný<br />
polynom".<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 109 / 369
Pˇríklady<br />
• geometrická ˇrada<br />
∞<br />
z n = 1 + z + z 2 + · · ·<br />
n=0<br />
Konverguje právě tehdy když |z| < 1 se součtem<br />
1 + z + z 2 + · · · = 1<br />
1 − z .<br />
Otázka stejnoměrné konvergence:<br />
Sm(z) =<br />
m<br />
z n =<br />
n=0<br />
1 − zm+1<br />
1 − z<br />
Na M = {z | |z| < 1} nemáme stejnoměrnou konvergenci<br />
nebot’:<br />
<br />
<br />
sup |Sm(z)−S(z)| = sup<br />
1 − z<br />
<br />
z∈M<br />
z∈M<br />
m+1<br />
<br />
1 <br />
− <br />
|z|<br />
1 − z 1 − z = sup<br />
z∈M<br />
m+1<br />
= ∞ .<br />
|1 − z|<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 110 / 369<br />
.
Avšak pro Mϱ = {z ∈ C | |z| < ϱ}, 0 < ϱ < 1, máme<br />
stejnoměrnou konvergenci nebot’:<br />
sup<br />
z∈M<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
m+1<br />
<br />
<br />
<br />
1 − z <br />
ϱm+1<br />
≤ → 0 pro m → ∞ .<br />
1 − ϱ<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 111 / 369
Pˇríklady:<br />
• ∞<br />
n=0<br />
n zn<br />
Odmocninové kritérium<br />
lim<br />
n→∞<br />
n√ n|z| = |z| .<br />
ˇRada absolutně konverguje právě pro |z| < 1.<br />
•<br />
Podílové kritérium:<br />
lim<br />
n→∞<br />
|z| n+1<br />
(n + 1)!<br />
∞<br />
n=0<br />
z n<br />
n!<br />
n!<br />
· = lim<br />
|z| n n→∞<br />
ˇRada konverguje absolutně v C.<br />
1<br />
|z| = 0 .<br />
n + 1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 112 / 369
5.2. Tvrzení. Konverguje-li ˇrada ∞<br />
n=0 an (z − z0) n pro w ∈ C<br />
pak konverguje absolutně na množině<br />
{z ∈ C | |z − z0| < |w − z0|} .<br />
D˚ukaz: z0 = 0.<br />
Z konvergence pro z = w vyplývá omezenost člen˚u ˇrady, tedy<br />
existuje konstanta M ≥ 0 tak, že pro všechna n ∈ N,<br />
|an| |w| n ≤ M .<br />
Pro z ∈ C s |z| < |w| volme ϱ tak, že |z| < ϱ < |w|. Pak<br />
m˚užeme odhadnout<br />
|anz n | = |an| · |z| n ≤ |an| ϱ n = |an||w|<br />
n ϱn ϱn<br />
≤ M .<br />
n n<br />
|w|<br />
∞ ϱn<br />
n=0 M |w| n < ∞, a proto ∞ n=0 |an| |z| n < ∞.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 113 / 369<br />
|w|
5.3. Definice. Poloměr konvergence R mocninné ˇrady<br />
∞<br />
n=0 an (z − z0) n je definován jako<br />
R = sup{r ≥ 0 |<br />
∞<br />
|an| · r n < ∞} .<br />
n=0<br />
D˚usledek Tvrzení 5.2: Je-li R poloměr konvergence mocninné<br />
ˇrady ∞<br />
n=0 an (z − z0) n , pak tato ˇrada<br />
1 Konverguje absolutně pro všechna z s |z − z0| < R.<br />
2 Nekonverguje pro žádné z s |z − z0| > R.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 114 / 369
Pˇríklady:<br />
<br />
1 ∞<br />
n=0 zn , R = 1.<br />
<br />
2 ∞<br />
n=0 n zn , R = 1.<br />
<br />
3 ∞<br />
n=0 zn<br />
n! , R = ∞<br />
<br />
4 ∞<br />
n=0 n!zn Podílové kritérium:<br />
R = 0.<br />
(n + 1)! |z| n+1<br />
n! |z| n<br />
= (n + 1) |z| → ∞ pro z = 0 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 115 / 369
• ∞<br />
n=0 anz n , kde<br />
an =<br />
<br />
m n = 2 m<br />
0 jinak<br />
Pomocná ˇrada : ∞ m=1 mz2m . Odmocninové kritérium:<br />
<br />
lim<br />
m→∞<br />
m<br />
m |z2m | = lim<br />
m→∞<br />
m√ m · |z| 2 m<br />
m =<br />
=⇒ R = 1 .<br />
<br />
0 |z| < 1<br />
∞ |z| > 1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 116 / 369
5.4. Tvrzení. Necht’ (cn) je posloupnost nezáporných čísel, pro<br />
kterou platí, že<br />
lim n√<br />
cn = 1 .<br />
n→∞<br />
Potom ˇrady<br />
∞<br />
n=0<br />
anz n<br />
mají stejný poloměr konvergence.<br />
a<br />
∞<br />
n=0<br />
cn an z n<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 117 / 369
D˚ukaz: R poloměr konvergence pro ∞<br />
n=0 anz n .<br />
lim<br />
n→∞<br />
n√ cn = 1 =⇒<br />
pro každé ε > 0 je n√ cn ≤ 1 + ε až na konečně mnoho n .<br />
pro každé ε > 0 je cn ≤ (1 + ε) n až na konečně mnoho n .<br />
Volme 0 < q < R a<br />
Až na konečně mnoho n platí:<br />
|z| < q<br />
(< R) .<br />
1 + ε<br />
|cn an z n | ≤ (1 + ε) n |an| |z| n < (1 + ε) n |an| ·<br />
q n<br />
(1 + ε) n = |an| q n .<br />
Ovšem ∞<br />
n=0 |an| q n < ∞ . Pˇrechodem ε → 0+, q → R−<br />
máme:<br />
∞<br />
n=0 cn an z n konverguje absolutně pro |z| < R.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 118 / 369
Tedy R ≤ R ′ , kde R ′ je poloměr konvergence ˇrady<br />
∞<br />
n=0 cn an z n .<br />
Bez újmy na obecnosti m˚užeme pˇredpokládat, že cn jsou<br />
kladné. Jelikož limn→∞ n<br />
<br />
1<br />
pronásobit koeficienty 1<br />
cn<br />
cn = 1, m˚užeme ˇradu ∞ n=0 cn an zn a dle pˇredchozích argument˚u získat<br />
opačnou nerovnost mezi poloměry konvergence.<br />
5.5. D ˚usledek. ˇRady ∞ n=0 an zn a ∞ n=1 np an zn , kde p ∈ Z,<br />
mají stejný poloměr konvergence, nebot’<br />
lim<br />
n→∞<br />
n√ n p = 1 .<br />
ˇRady se stejným poloměrem: ∞ n=0 zn , ∞ n=0 n zn , ∞ n=0 n2z n ,<br />
∞<br />
n=1 1<br />
n zn , ∞<br />
n=1 1<br />
n 2 z n<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 119 / 369
Problematika stejnoměrné konvergence:<br />
5.6. Věta. Weierstrasseovo kritérium<br />
Platí-li pro posloupnost funkcí fn(z), že<br />
kde<br />
|fn(z)| ≤ an<br />
pro všechna z ∈ M ,<br />
∞<br />
an < ∞ ,<br />
n=0<br />
pak ˇrada ∞<br />
n=0 fn(z) konverguje stejnoměrně na množině M.<br />
D˚ukaz: Bodová konvergence plyne ze srovnávacího kritéria.<br />
<br />
<br />
∞<br />
<br />
fn(z) −<br />
n=0<br />
pro N → ∞.<br />
N<br />
<br />
<br />
fn(z) <br />
≤<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n=0<br />
∞<br />
n=N+1<br />
<br />
<br />
fn(z) <br />
≤<br />
∞<br />
n=N+1<br />
an → 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 120 / 369
5.7. Věta. Pokud má mocninná ˇrada ∞<br />
n=0 an (z − z0) n<br />
poloměr konvergence R > 0, pak konverguje stejnoměrně na<br />
každém kruhu {z | |z − z0| < ϱ}, kde ϱ < R.<br />
D˚ukaz: Pro z ∈ {z | |z − z0| < ϱ} máme<br />
|an(z − z0) n | ≤ |an| ϱ n<br />
∞<br />
|an|ϱ n < ∞<br />
n=0<br />
Aplikujeme Weirstrasseovo kritérium.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 121 / 369
Jaké jsou vlastnosti funkce<br />
f (z) =<br />
∞<br />
an(z − z0) n ?<br />
n=0<br />
5.8. Věta. Necht’ R > 0 je poloměr konvergence mocninné ˇrady<br />
∞<br />
n=0 an (z − z0) n . Funkce<br />
f (z) =<br />
∞<br />
an (z − z0) n<br />
n=0<br />
je holomorfní v kruhu |z − z0| < R a platí pro ni, že<br />
f ′ (z) =<br />
∞<br />
n an (z−z0) n−1 = a1+2 a2(z−z0) 2 +3 a3 (z−z0) 2 +· · · .<br />
n=1<br />
"Derivace ˇrady člen po členu"<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 122 / 369<br />
(1)<br />
(2)
D˚ukaz: ˇRady v (1) a (2) mají stejný poloměr konvergence (viz<br />
výše).<br />
z0 = 0, |z| < R<br />
<br />
∞<br />
= <br />
<br />
n=0<br />
an<br />
<br />
<br />
<br />
f (z + h) − f (z)<br />
h<br />
(z + h) n − z n<br />
h<br />
−<br />
∞<br />
n an (z − z0) n−1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n=1<br />
−nz n−1<br />
<br />
<br />
≤<br />
∞<br />
<br />
<br />
|an|· <br />
(z + h)<br />
<br />
n − zn h<br />
n=0<br />
−nz n−1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 123 / 369
Volme δ ∈ (0, R − |z|) a |h| < δ. (Binomická formule).<br />
<br />
<br />
<br />
(z + h)<br />
<br />
n − zn − nz<br />
h<br />
n−1<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
h<br />
≤ |h|<br />
n<br />
k=2<br />
<br />
n<br />
|z|<br />
k<br />
n−k |h| k−2 ≤ |h|<br />
δ2 n<br />
<br />
n<br />
z<br />
k<br />
n−k h k<br />
<br />
<br />
<br />
≤<br />
k=2<br />
n<br />
k=2<br />
≤ |h|<br />
δ2 [ |z| + δ]n .<br />
Použitím tohoto odhadu dostáváme:<br />
<br />
<br />
∞<br />
<br />
f (z + h) − f (z)<br />
<br />
− n an z<br />
h<br />
n−1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n=1<br />
≤ |h|<br />
δ 2<br />
<br />
n<br />
|z|<br />
k<br />
n−k δ k ≤<br />
∞<br />
|an|·[ |z|+δ] n → 0 pro h → 0<br />
n=2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 124 / 369
Pˇríklady:<br />
1<br />
1 − z =<br />
1<br />
=<br />
(1 − z) 2<br />
n=2<br />
∞<br />
z n ,<br />
n=0<br />
∞<br />
n z n−1 ,<br />
n=1<br />
2 <br />
= n (n − 1) z<br />
(1 − z) 3 n−2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 125 / 369
5.9. Věta. Funkce f (z) = ∞<br />
n=0 an (z − z0) n má na kruhu<br />
konvergence |z − z0| < R mocninné ˇrady ∞<br />
n=0 an (z − z0) n<br />
derivace všech ˇrád˚u, pˇričemž platí, že<br />
f (k) (z) =<br />
Speciálně,<br />
∞<br />
an n (n − 1) · · · (n − k + 1) (z − z0) n−k .<br />
n=k<br />
f (k) (z0) = ak · k! .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 126 / 369
D˚usledky:<br />
Koeficienty ˇrady jsou určeny hodnotami součtu na libovolně<br />
malém okolí bodu z0.<br />
Princip neurčitých koeficient˚u:<br />
∞<br />
an (z − z0) n =<br />
n=0<br />
na jistém okolí bodu z0 implikuje<br />
∞<br />
bn(z − z0) n<br />
n=0<br />
an = bn pro všechna n .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 127 / 369
5.10. Věta. Integrace člen po členu<br />
Má-li ˇrada ∞ n=0 an (z − z0) n poloměr konvergence R > 0, pak<br />
funkce<br />
∞ an<br />
n+1<br />
F(z) = (z − z0)<br />
n + 1<br />
n=0<br />
je primitivní funkce k funkci<br />
f (z) =<br />
∞<br />
an (z − z0) n<br />
n=0<br />
na množině {z | |z − z0| < R}.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 128 / 369
Pˇríklad: Nalezněte součet ˇrady<br />
ˇRešení:<br />
n=0<br />
f (z) =<br />
f (z) = z<br />
∞<br />
n 2 z n<br />
n=0<br />
∞<br />
n 2 z n−1<br />
n=0<br />
∞<br />
n 2 z n−1 <br />
∞<br />
=<br />
n=0<br />
∞<br />
n z n ∞<br />
= z n z n−1 <br />
∞<br />
= z<br />
n=0<br />
n=0<br />
n=0<br />
z n<br />
n z n<br />
′<br />
.<br />
′<br />
= z<br />
<br />
z<br />
f (z) = z<br />
(1 − z) 2<br />
′<br />
= z + z2<br />
′<br />
1<br />
=<br />
1 − z<br />
.<br />
(1 − z) 3<br />
z<br />
(1 − z) 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 129 / 369
5.11. Věta. Integrální vyjádˇrení koeficient˚u<br />
Pˇredpokládejme, že<br />
f (z) =<br />
∞<br />
an (z − z0) n<br />
n=0<br />
a R > 0 je poloměr konvergence ˇrady ∞ n=0 an (z − z0) n . Pro<br />
jakoukoliv Jordanovu kˇrivku C ⊂ {z | |z − z0| < R} , obsahující<br />
bod z0 ve své vnitˇrní oblasti platí<br />
an = 1<br />
2πj<br />
<br />
C<br />
f (z)<br />
dz .<br />
(z − z0) n+1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 130 / 369
D ˚ukaz:<br />
<br />
C<br />
<br />
f (z)<br />
dz =<br />
(z − z0) n+1<br />
C<br />
∞<br />
ak (z − z0) k−n−1 dz =<br />
k=0<br />
Díky stejnoměrné konvergenci na každém kruhu<br />
|z − z0| < ϱ < R máme<br />
=<br />
∞<br />
k=0<br />
ak<br />
<br />
C<br />
=⇒ an = 1<br />
2πj<br />
(z − z0) k−n−1 dz = an · 2πj .<br />
<br />
C<br />
f (z)<br />
dz .<br />
(z − z0) n+1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 131 / 369
5.12. Věta. Jednoznačnost analytické funkce<br />
Funkce f (z) je dána součtem mocninné ˇrady<br />
∞<br />
f (z) = an (z − z0) n<br />
n=0<br />
s kladným poloměrem konvegence R. Necht’ existuje<br />
posloupnost (zk) neobsahující z0 tak, že f (zk) = 0 pro všechna<br />
k a limk→∞ zk = z0. Pak f je nulová funkce.<br />
D˚ukaz: indukcí dokážeme, že an = 0 pro všechna n.<br />
1. a0 = f (z0) = limk→∞ f (zk) = 0.<br />
2. a0 = a1 = · · · = an−1 = 0.<br />
f (z) = an(z − z0) n + an+1(z − z0) n+1 + · · · =<br />
g(zk) = 0 a tedy an = 0.<br />
= (z − z0) n [an + an+1(z − z0) + · · · ]<br />
<br />
g(z)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 132 / 369
5.2. Taylorovy ˇrady<br />
5.13. Definice. Necht’ f (z) je funkce mající všechny derivace v<br />
z0. Taylorova ˇrada funkce f (z) v bodě z0 je mocninná ˇrada<br />
∞<br />
n=0<br />
f (n) (z0)<br />
n!<br />
(z − z0) n .<br />
5.14. Věta. Existence Taylorova rozvoje<br />
Necht’ f (z) je holomorfní funkce v oblasti G. Necht’ K je<br />
kružnice se stˇredem v bodě z0 taková, že Int K ∪ K ⊂ G. Pak<br />
existuje mocninná ˇrada ∞<br />
n=0 an (z − z0) n konvergující v Int K<br />
tak, že<br />
pro všechna z ∈ Int K .<br />
f (z) =<br />
∞<br />
an (z − z0) n<br />
n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 133 / 369
5.15. D ˚usledek. Holomorfní funkce má v otevˇrené množině<br />
derivace všech ˇrád˚u !<br />
D˚ukaz: r ... poloměr kružnice K<br />
Volme 0 < ϱ < r a označme Kϱ = {z | |z − z0| = ϱ}. Vyjdeme z<br />
Cauchyova vzorce pro z ∈ Int Kϱ<br />
|w − z0| = ϱ:<br />
1<br />
w − z =<br />
f (z) = 1<br />
<br />
2πj Kϱ<br />
1<br />
w − z0 + z0 − z =<br />
f (w)<br />
dw .<br />
w − z<br />
1<br />
·<br />
w − z0<br />
|z − z0| |z − z0|<br />
= < 1 .<br />
|w − z0| ϱ<br />
1<br />
1 − z−z 0<br />
w−z 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 134 / 369<br />
.
Tedy<br />
1<br />
w − z =<br />
∞ 1 (z − z0)<br />
·<br />
w − z0<br />
n<br />
=<br />
(w − z0) n<br />
n=0<br />
Omezenost f : |f (w)| ≤ M na Kϱ.<br />
<br />
<br />
<br />
(z − z0) n<br />
f (w)<br />
(w − z0) n+1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
≤ M · |z − z0| n<br />
ϱ n+1<br />
∞<br />
<br />
|z − z0|<br />
n=0<br />
ϱ<br />
n<br />
∞<br />
n=0<br />
(z − z0) n<br />
(w − z0) n+1<br />
<br />
1 |z − z0|<br />
= M ·<br />
ϱ ϱ<br />
< ∞ .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 135 / 369<br />
n
Weierstrasseovo kritérium implikuje stejnoměrnou konvergenci,<br />
a tedy záměnu integrálu a ˇrady<br />
f (z) = 1<br />
<br />
2πj Kϱ<br />
= 1<br />
2πj<br />
<br />
f (w) 1<br />
dw =<br />
w − z 2πj Kϱ<br />
∞<br />
<br />
n=0<br />
Kϱ<br />
∞<br />
n=0<br />
f (w)<br />
(w − z0) n+1 (z−z0) n dw =<br />
<br />
f (w)<br />
dw · (z − z0)<br />
(w − z0) n+1 n .<br />
=⇒ existence rozvoje s koeficienty<br />
an = 1<br />
<br />
f (w)<br />
dw<br />
2πj (w − z0) n+1<br />
Kϱ<br />
Zbytek věta o jednoznačnosti<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 136 / 369
Zobecněný Cauchy ˚uv vzorec:<br />
Je-li f (z) holomorfní v otevˇrené množině G, z0 ∈ Int C ∪ C ⊂ G,<br />
kde C je kladně orientovaná Jordanova kˇrivka, pak<br />
f (n) (z0) = n!<br />
<br />
f (w)<br />
dw .<br />
2πj C (w − z0) n+1<br />
5.16. Věta. Věta o jednoznačnosti<br />
Je-li f (z) holomorfní funkce v oblasti G a existuje-li prostá poslupnost<br />
(zk) ⊂ G s limk→∞ zk = a ∈ G taková, že f (zk) = 0 pro<br />
všechna k, pak<br />
D˚ukaz – pˇrednáška, skripta<br />
f (z) = 0 pro všechna z ∈ G .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 137 / 369
Klasické Taylorovy ˇrady a techniky rozvoje:<br />
5.17. Pˇríklad.<br />
v bodě z0 = a.<br />
1<br />
z − a =<br />
f (z) =<br />
1<br />
1<br />
=<br />
z − z0 + z0 − a<br />
1<br />
, k ∈ N,<br />
(z − a) k<br />
z0 − a ·<br />
1<br />
1 + z−z 0<br />
z 0−a<br />
Pro |z − z0| < |z0 − a|. Postupná derivace:<br />
=⇒ f (z) =<br />
n=k−1<br />
=<br />
∞<br />
n (z − z0) n<br />
(−1)<br />
(z0 − a)<br />
n=0<br />
n+1 .<br />
(k−1)<br />
1<br />
=<br />
z − a<br />
(−1)k−1 (k − 1)!<br />
(z − a) k<br />
∞ (−1) n−k+1 − 1) · · · (n − k + 2)<br />
·n(n (z−z0)<br />
(z0 − a) n+1 (k − 1)!<br />
n−k+1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 138 / 369
5.18. Pˇríklad.<br />
f (n) (0) = 1 pro všechna n.<br />
f (z) = e z<br />
e z =<br />
∞<br />
n=0<br />
z n<br />
n!<br />
z0 = 0<br />
z ∈ C<br />
5.19. Pˇríklad. Goniometrické funkce:<br />
∞<br />
sin z = (−1) n z2n+1 (2n + 1)!<br />
z ∈ C.<br />
n=0<br />
cos z =<br />
∞<br />
(−1)<br />
n=0<br />
n z2n<br />
(2n)!<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 139 / 369
f (z) = ln z, z0 = 1.<br />
f ′ (z) = 1<br />
z =<br />
Integrace člen po členu:<br />
f (z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
f (1) = 0 ⇒ c = 0.<br />
∞<br />
ln z =<br />
1<br />
(z − 1) + 1 =<br />
(−1) n<br />
n + 1 (z − 1)n+1 + c =<br />
n=1<br />
(−1) n−1<br />
n<br />
(z − 1) n<br />
∞<br />
(−1) n (z − 1) n<br />
n=0<br />
∞<br />
n=1<br />
(−1) n−1<br />
n<br />
|z − 1| < 1 .<br />
(z − 1) n + c<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 140 / 369
5.20. Pˇríklad.<br />
f (z) = arctg z , z0 = 0 .<br />
f ′ (z) =<br />
1<br />
∞<br />
= (−1)<br />
1 + z2 n z 2n<br />
f (0) = 0 ⇒ c = 0.<br />
f (z) =<br />
arctg z =<br />
n=0<br />
n=0<br />
n=0<br />
∞<br />
n z2n+1<br />
(−1) + c .<br />
2n + 1<br />
∞<br />
n z2n+1<br />
(−1)<br />
2n + 1<br />
|z| < 1 .<br />
|z| < 1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 141 / 369
Leibnizova formule<br />
(f (z)g(z)) (n) =<br />
D˚ukaz indukcí: 1. n = 1 OK<br />
n<br />
k=0<br />
<br />
n<br />
f<br />
k<br />
(k) (z)g (n−k) (z)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 142 / 369
2. Platí pro n pak platí pro n + 1.<br />
=<br />
n<br />
k=0<br />
=<br />
[f (z)g(z)] (n+1) <br />
n<br />
=<br />
n<br />
k=0<br />
<br />
n<br />
k<br />
k=0<br />
<br />
n<br />
f<br />
k<br />
(k) g (n−k) ′<br />
(z) =<br />
<br />
n<br />
[f<br />
k<br />
(k) (z) g (n−k+1) (z) + f (k+1) (z)g (n−k) (z)] =<br />
f (k) (z)g (n−k+1) n+1<br />
<br />
n<br />
(z)+<br />
f<br />
k − 1<br />
(k) (z)g (n−k+1) (z) =<br />
= f (z)g (n+1) (z) +<br />
k=1<br />
n<br />
<br />
n n<br />
[ +<br />
k k − 1<br />
<br />
=( n+1<br />
k )<br />
k=1<br />
+f (n+1) (z)g(z) .<br />
]f (k) (z)g (n−k+1) (z)+<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 143 / 369
5.21. Věta. Násobení mocninných ˇrad<br />
Necht’ pro bod z0 mají funkce f (z) a g(z) v okolí bodu z0<br />
Taylorovy rozvoje<br />
f (z) =<br />
∞<br />
an (z − z0) n<br />
n=0<br />
g(z) =<br />
∞<br />
bn(z − z0) n .<br />
n=0<br />
Pak funkce h(z) = f (z)g(z) má v daném okolí bodu z0 Taylor˚uv<br />
rozvoj<br />
∞<br />
h(z) = cn (z − z0) n ,<br />
kde<br />
cn =<br />
n=0<br />
n<br />
k=0<br />
ak bn−k .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 144 / 369
D˚ukaz:<br />
cn = 1<br />
n! h(n) (z0) = 1<br />
n!<br />
= 1<br />
n!<br />
n<br />
k=0<br />
n<br />
k=0<br />
<br />
n<br />
f<br />
k<br />
(k) (z0)g (n−k) (z0) =<br />
n!<br />
k!(n − k)! · k!ak(n − k)!bn−k =<br />
Mocninné ˇrady násobíme jako polynomy<br />
n<br />
k=0<br />
akbn−k<br />
Pˇríklad: Napište počáteční členy Taylorova rozvoje funkce<br />
f (z) = e−(z−1)2 · ln z pro z0 = 1.<br />
<br />
1−(z−1) 2 +<br />
<br />
(z − 1)4<br />
+· · · (z−1)−<br />
4!<br />
(z − 1)2<br />
+<br />
2<br />
(z − 1)3<br />
= (z − 1) − (z − 1) 2 /2 − 2/3(z − 1) 3 + · · ·<br />
−<br />
3<br />
(z − 1)4<br />
+·<br />
4<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 145 / 369
6. Reprezentace holomorfní funkce<br />
Laurentovou ˇradou<br />
6.1. Laurentovy ˇrady<br />
Motivace:<br />
f (z) = 1<br />
1−z .<br />
Pro |z| < 1 je f (z) = ∞<br />
n=0 zn . Co pro |z| > 1 ?<br />
f (z) = 1<br />
1 − z<br />
1<br />
=<br />
z ·<br />
1<br />
1/z − 1<br />
= −<br />
∞ 1<br />
.<br />
zn+1 n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 146 / 369
6.1. Definice. ˇRada tvaru<br />
∞<br />
n=−∞<br />
an(z−z0) n = · · ·<br />
a−2 a−1<br />
+ +a0+a1(z−z0)+a2(z−z0)<br />
(z − z0) 2 z − z0<br />
2 +·<br />
kde (an) ∞ n=−∞ je posloupnost komplexních čísel a z0 ∈ C se<br />
nazývá Laurentova ˇrada se stˇredem v bodě z0 a koeficienty<br />
(an) ∞ n=−∞.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 147 / 369
ˇRada ∞ n=0 an(z − z0) n se nazývá regulární část Laurentovy<br />
ˇrady,<br />
ˇrada −1 n=−∞ an(z − z0) n se nazývá hlavní část Laurentovy<br />
ˇrady<br />
Laurentova ˇrada konverguje v daném bodě z ∈ C konverguje-li<br />
současně v tomto bodě její hlavní i regulární část. Její součet je<br />
pˇritom definován jako součet regulární a hlavní části, tj.<br />
∞<br />
n=−∞<br />
an(z − z0) n =<br />
∞<br />
a−n(z − z0) −n ∞<br />
+ an(z − z0) n .<br />
n=1<br />
n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 148 / 369
6.2. Definice. ˇRada<br />
∞<br />
n=−∞<br />
an<br />
z n<br />
se nazývá Laurentova ˇrada se stˇredem v bodě ∞.<br />
ˇRada −1 n=−∞ an<br />
zn se nazývá hlavní část.<br />
ˇRada ∞ n=0 an<br />
zn se nazývá regulární část.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 149 / 369
Otázka konvergence ˇrady ∞<br />
n=−∞ an(z − z0) n :<br />
1. regulární část: ∞<br />
n=0 an (z − z0) n ... mocninná ˇrada se<br />
stˇredem z0 a poloměrem konvergence R2.<br />
2. hlavní část ∞<br />
n=1 a−n(z − z0) −n = a −1<br />
z−z 0 + a −2<br />
(z−z 0) 2 + · · ·<br />
Substituce: w = 1<br />
z−z 0 .<br />
a−1w + a−2w 2 + · · ·<br />
– mocninná ˇrada s poloměrem konvergence R.<br />
R1 = 1<br />
R ... poloměr konvergence hlavní části.<br />
Hlavní část konverguje absolutně pro |z − z0| > R1.<br />
Zobecněné mezikruží: 0 ≤ R1, R2 ≤ ∞<br />
P(z0, R1, R2) = {z ∈ C | R1 < |z − z0| < R2}<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 150 / 369
6.3. Věta. Necht’ ∞<br />
n=−∞ an(z − z0) n je Laurentova ˇrada s<br />
poloměrem konvergence hlavní části R1 a regulární části R2.<br />
Je-li R1 < R2 pak Laurentova ˇrada konverguje absolutně v<br />
mezikruží P(z0, R1, R2) a nekonverguje v žádném bodě mimo<br />
uzávěr tohoto mezikruží.<br />
Pˇríklady: 1.<br />
regulární část:<br />
lim<br />
n→∞<br />
∞<br />
n=−∞<br />
2 −|n| (z − 1) n .<br />
∞<br />
2 −n (z − 1) n .<br />
n=0<br />
n√ 2 −n |z − 1| = 1/2|z − 1| < 1 =⇒ |z − 1| < 2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 151 / 369
hlavní část:<br />
lim<br />
n→∞<br />
−1<br />
n=−∞<br />
2 −|n| (z − 1) n =<br />
∞<br />
2 −n 1<br />
(z − 1)<br />
n=1<br />
n√ 1 1 1<br />
2−n =<br />
|z − 1| 2 |z − 1|<br />
Závěr: mezikruží konvergence P(1, 1<br />
2 , 2).<br />
2.<br />
−1<br />
n=−∞<br />
2 n z n +<br />
n .<br />
< 1 =⇒ |z − 1| > 1<br />
2 .<br />
∞<br />
3 n z n .<br />
n=0<br />
R1 = 1<br />
2 , R2 = 1<br />
3 .<br />
Závěr: Nekonverguje v žádném bodě.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 152 / 369
3.<br />
Konverguje v P(0, 1, ∞).<br />
−1<br />
n=−∞<br />
Otázka stejnoměrné konvergence:<br />
6.4. Věta. Konverguje-li Laurentova ˇrada v mezikruží<br />
P(z0, R1, R2), kde R1 < R2, pak konverguje stejnoměrně v<br />
každém mezikruží P(z0, ϱ1, ϱ2), kde R1 < ϱ1 < ϱ2 < R2.<br />
D˚ukaz: pˇrednáška, skripta.<br />
z n<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 153 / 369
Funkce f (z) = ∞ n=−∞ an (z − z0) n je holomorfní v oblasti<br />
P(z0, R1, R2). Existují totiž dvě holomorfní funkce g, h tak, že<br />
<br />
1<br />
f (z) = g(z − z0) + h .<br />
z − z0<br />
Opačná otázka: Má funkce holomorfní v mezikruží rozvoj v<br />
Laurentovu ˇradu?<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 154 / 369
6.5. Věta. Cauchy˚uv vzorec pro mezikruží<br />
Necht’ C1, C2 jsou kladně orientované Jordanovy kˇrivky takové,<br />
že C1 ⊂ Int C2. Necht’ f je funkce holomorfní v otevˇrené<br />
množině O ⊃ Int C2 \ Int C1. Pak pro každé z ∈ Int C2 \ Int C1 je<br />
f (z) = 1<br />
2πj<br />
<br />
C 2<br />
D˚ukaz: Pˇrednáška, skripta.<br />
<br />
f (w)<br />
dw −<br />
w − z C1 f (w)<br />
w − z dw<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 155 / 369<br />
<br />
.
6.6. Věta. Rozvoj v Laurantovu ˇradu<br />
Necht’ f (z) je funkce holomorfní v mezikruží P(z0, r, R), kde<br />
0 ≤ r < R ≤ ∞. Pak existuje právě jedna Laurantova ˇrada<br />
∞<br />
n=−∞ an (z − z0) n tak, že<br />
Pˇritom<br />
f (z) =<br />
∞<br />
n=−∞<br />
an (z − z0) n<br />
z ∈ P(z0, r, R) .<br />
an = 1<br />
<br />
f (w)<br />
dw n ∈ Z ,<br />
2πj C (w − z0) n+1<br />
kde C je libovolná kladně orientovaná Jordanova kˇrivka ležící v<br />
P(z0, r, R) a z0 ∈ IntC.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 156 / 369
D˚ukaz: 1. Existence rozvoje<br />
z0 = 0, z ∈ P(0, r, R).<br />
volme ϱ1, ϱ2 s r < ϱ1 < |z| < ϱ2 < R.<br />
C1 ... |z| = ϱ1<br />
C2 ... |z| = ϱ2<br />
kladná orientace<br />
w ∈ C1:<br />
f (z) = 1<br />
2πj<br />
f (w)<br />
w − z<br />
<br />
C 2<br />
<br />
f (w)<br />
dw −<br />
w − z C1 f (w)<br />
=<br />
z( w = −f (w)<br />
− 1)<br />
z<br />
f (w)<br />
w − z dw<br />
<br />
.<br />
∞<br />
n=0<br />
w n<br />
.<br />
zn+1 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 157 / 369
Odhad hodnoty<br />
|f (w)| |w|n<br />
≤ (max<br />
|z| n+1<br />
w∈C 1<br />
|f (w)|) 1<br />
|z|<br />
ϱn 1<br />
|z| n<br />
Jelikož ϱ1 |z| < 1 dá horní odhad konvergentní číselnou ˇradu.<br />
Tedy ∞<br />
0<br />
w n<br />
f (w)<br />
zn+1 konverguje stejnoměrně pro w ∈ C1.<br />
<br />
∞<br />
<br />
f (w)<br />
dw = −<br />
w − z<br />
f (w)w n <br />
dw · 1<br />
.<br />
zn+1 C 1<br />
n=0<br />
Rozvoj pro C2 vede na regulární část - viz věta o Taylorově<br />
rozvoji.<br />
C 1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 158 / 369
Jednoznačnost a integrální vyjádˇrení koeficient˚u:<br />
<br />
C<br />
f (w) =<br />
f (w)<br />
=<br />
w n+1<br />
∞<br />
k=−∞<br />
∞<br />
k=−∞<br />
f (w)<br />
dw =<br />
w n+1<br />
<br />
C<br />
ak w k | ·<br />
1<br />
w n+1<br />
ak w k−n−1 <br />
|<br />
∞<br />
k=−∞<br />
ak<br />
<br />
C<br />
f (w)<br />
w n+1 dw = 2πj an .<br />
C<br />
dw .<br />
w k−n−1 dw .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 159 / 369
Pˇríklady:<br />
f (z) =<br />
1<br />
z − 2<br />
f (z) = −<br />
1<br />
(z − 2)(z − 3) , z0 = 0 , v P(0, 2, 3) .<br />
1<br />
z − 3<br />
= 1<br />
z<br />
∞<br />
n=0<br />
f (z) = 1 1<br />
−<br />
z − 3 z − 2 .<br />
= −1<br />
3<br />
1<br />
1 − 2<br />
z<br />
z n<br />
3<br />
=<br />
n+1 −<br />
1<br />
1 − z<br />
3<br />
∞<br />
n=0<br />
−1<br />
n=−∞<br />
= −<br />
2n =<br />
zn+1 ∞<br />
n=0<br />
zn .<br />
3n+1 −1<br />
n=−∞<br />
2 −n−1 z n .<br />
2 −n−1 z n , 2 < |z| < 3 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 160 / 369
f (z) =<br />
Derivace člen po členu:<br />
1<br />
(z − 2) 2 , z0 = 0 , |z| > 2 .<br />
1<br />
z − 2 =<br />
∞<br />
n=0<br />
2 n<br />
z n+1<br />
∞ 1<br />
− = (−n − 1)<br />
(z − 2) 2 2n<br />
1<br />
=<br />
(z − 2) 2<br />
f (z) =<br />
−2<br />
n=−∞<br />
n=0<br />
∞<br />
(n + 1) 2n<br />
n=0<br />
z n+2<br />
z n+2<br />
(−n − 1)2 −n−2 z n .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 161 / 369
f (z) = z 2 e 1/z , z0 = ∞ ,<br />
f (z) = z 2<br />
∞ 1<br />
zn 1<br />
n! = z2 ∞ 1 1<br />
+ z +<br />
(n + 2)! z<br />
n=0<br />
n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 162 / 369<br />
n .
Integrace:<br />
c = 0<br />
f (z) =<br />
<br />
f (z) = ln 1 + 1<br />
<br />
, z0 = ∞<br />
z<br />
g(z) = ln(1 + z) , z0 = 0<br />
g ′ (z) = 1<br />
1 + z =<br />
∞<br />
(−1) n z n<br />
g(z) =<br />
n=0<br />
∞<br />
n 1<br />
(−1)<br />
n + 1<br />
n=0<br />
n=0<br />
∞<br />
n zn+1<br />
(−1) + c<br />
n + 1<br />
1<br />
· , |z| > 1 .<br />
zn+1 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 163 / 369
6.2. Singularity<br />
6.7. Definice. Necht’ f je funkce holomorfní v prstencovém<br />
okolí bodu z0 ∈ C ∪ ∞. Bod z0 není v definičním oboru funkce<br />
f . Pak se bod z0 nazývá izolovaným singulárním bodem<br />
(singularitou) funkce f . ˇRekneme, že z0 je<br />
1 odstranitelná singularita funkce f , jestliže existuje vlastní<br />
limita f v bodě z0;<br />
2 pól funkce f , jestliže limz→z 0 f (z) = ∞;<br />
3 podstatná singularita funkce f jestliže f nemá limitu v bodě<br />
z0.<br />
Pˇríklad:<br />
sin z<br />
z ...0, ∞; e1/z ...0, ∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 164 / 369
6.8. Věta. Necht’ f je funkce holomorfní a omezená na<br />
prstencovém okolí bodu z0. Pak z0 je odstranitelná singularita<br />
funkce f . Navíc, dodefinujeme-li funkci f v bodě z0 její limitou,<br />
stane se f holomorfní v bodě z0.<br />
Nemá analogii v reálném oboru ... sin(1/x), sin x, sgn x,<br />
D˚ukaz:<br />
C<br />
f (z) =<br />
∞<br />
n=−∞<br />
an (z − z0) n .<br />
Pro n = 1, 2, . . .<br />
a−n = 1<br />
<br />
<br />
f (w)<br />
1<br />
dw =<br />
2πj (w − z0) −n+1 2πj<br />
C je kružnice o poloměru r a stˇredu z0.<br />
C<br />
x 2<br />
|x| .<br />
f (w)(w − z0) n−1 dw .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 165 / 369
Omezenost f znamená:<br />
na jistém okolí bodu z0. Tedy<br />
|f (w)(w − z0) n−1 | ≤ M<br />
|a−n| ≤ 1<br />
M · 2πr = Mr .<br />
2π<br />
Protože r m˚uže být libovolně malé, máme<br />
|a−n| = 0<br />
pro všechna n = 1, 2 . . .. Tedy hlavní část Laurentova rozvoje je<br />
nulová.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 166 / 369
Póly mají jemnější klasifikaci vystihující rychlost konvergence k<br />
∞. Souvisí s ˇrádem koˇrene holomorfní funkce.<br />
6.9. Tvrzení. Necht’ f je funkce holomorfní v bodě z0, která<br />
není identicky rovna nule na žádném okolí bodu 0. Pak existuje<br />
(jediné) číslo k = 0, 1, . . . tak, že<br />
f (z0) = · · · = f (k−1) (z0) = 0 , f (k) (z0) = 0 .<br />
Číslo k se nazývá násobnost (ˇrád, stupeň) koˇrene z0 funkce f<br />
Poznámka: k = 0 neni koˇrenem,<br />
k = ∞ znamená nulovost na celém okolí. Tvrzení vyplývá ze<br />
skutečnosti, že nulovost všech derivací znamená nulovost<br />
Taylorova rozvoje.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 167 / 369
z0 je koˇrenem násobnosti k ⇐⇒<br />
f (z) = f (k) (z0)<br />
(z−z0)<br />
k!<br />
k + f (k+1) (z0)<br />
(k + 1)! (z−z0) k+1 +· · · = (z−z0) k g(z) ,<br />
kde g(z) je holomorfní v bodě z0 a g(z0) = 0.<br />
Je-li z0 pól funkce f (z), pak f (z) = 0 pro všechna z ∈ P, kde P<br />
je nějaké prstencové okolí bodu z0. Funkce h(z) = 1<br />
f (z) je<br />
holomorfní v tomto prstencovém okolí a platí, že<br />
limz→z 0 h(z) = 0. z0 je tedy odstranitelná singularita funkce<br />
h(z). Dodefinováním h(z0) = 0 se z0 stane koˇrenem funkce h.<br />
ˇRád (stupeň, násobnost) pólu z0 funkce f (z) je definován jako<br />
stupeň koˇrene z0 funkce h(z).<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 168 / 369
z0 je pólem násobnosti k ⇐⇒ 1<br />
f (z) = (z − z0) k g(z), kde g(z) je<br />
holomorfní a nenulová v bodě z0.<br />
6.10. Tvrzení. Bod z0 ∈ C je pólem násobnosti k právě tehdy<br />
když<br />
f (z) = h(z)<br />
,<br />
(z − z0) k<br />
kde h(z) je holomorfní a nenulová v bodě z0.<br />
Každý pól má sv˚uj ˇrád – konvergence k ∞ je "kvantovaná" a ne<br />
libovolná jako v reálném oboru<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 169 / 369
Pˇríklady<br />
f (z) =<br />
1<br />
.<br />
z(z − 2) 2<br />
jednoduchý pól 0 a dvojnásobný pól 2.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 170 / 369
0 je pól násobnosti 5<br />
1 ... pól násobnosti 2<br />
z − sin z<br />
f (z) =<br />
z8 .<br />
f (z) = ez−1 − 1<br />
(z − 1) 3<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 171 / 369
6.11. Definice. Necht’ f je holomorfní v prstencovém okolí<br />
nekonečna. ˇRekneme, že ∞ je pól funkce f ˇrádu k jestliže<br />
f (z) = z k g(z) ,<br />
kde g je holomorfní funkce s vlastní nenulovou limitou v ∞.<br />
∞ je pól násobnosti k ⇐⇒ 0 je pól ˇrádu k funkce g(z) = f (1/z).<br />
Pˇríklad: ∞ je pól násobnosti 2 funkce f (z) = z 2 e 1/z .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 172 / 369
6.12. Věta. Necht’ ∞ n=−∞ an (z−z0) n (resp. ∞ n=−∞ an<br />
zn ) je Laurent˚uv<br />
rozvoj funkce f v prstencovém okolí bodu z0 ∈ C ∪ ∞.<br />
1 f má v bodě z0 odstranitelnou singularitu právě tehdy když<br />
an = 0 pro všechna n < 0.<br />
2 f má v bodě z0 pól násobnosti k právě tehdy když a−k = 0<br />
a an = 0 pro všechna n < −k.<br />
3 f má v bodě z0 podstatnou singularitu právě tehdy když<br />
nekonečně mnoho koeficient˚u v hlavní části Laurentovy<br />
ˇrady je nenulových.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 173 / 369
D˚ukaz (2)<br />
f (z) = g(z)<br />
(z − z0) k<br />
kde g je holomorfní a nenulová v z0.<br />
=<br />
g(z) =<br />
f (z) =<br />
∞<br />
bn(z − z0) n , b0 = 0<br />
n=0<br />
1<br />
(z − z0) k<br />
∞<br />
bn(z − z0) n =<br />
n=0<br />
b0 b1<br />
+<br />
(z − z0) k (z − z0) k−1 + · · · + bk + bk+1(z − z0) + · · ·<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 174 / 369
Pˇríklady:<br />
dvojnásobný pól<br />
f (z) =<br />
sin z 1 1<br />
= −<br />
z3 z2 3!<br />
f (z) = e 1/z =<br />
∞<br />
n=0<br />
z2<br />
+ + · · ·<br />
5!<br />
1<br />
n!z n<br />
0... podstatná singularita , ∞ ... odstranitelná singularita.<br />
f (z) = sin z =<br />
∞ je podstatná singularita<br />
∞ je pól násobnosti 2<br />
∞<br />
n=0<br />
z 2n+1<br />
(2n + 1)!<br />
f (z) = z 2 e 1/z = z 2 ∞ 1 1<br />
+ z +<br />
(n + 2)! zn n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 175 / 369
6.3. Reziduum<br />
Motivace: integrální vyjádˇrení koeficient˚u Laurentovy ˇrady:<br />
an = 1<br />
<br />
f (z)<br />
dz<br />
2πj (z − z0) n+1<br />
dá ve speciálním pˇrípadě<br />
C<br />
a−1 = 1<br />
2πj<br />
<br />
C<br />
f (z) dz<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 176 / 369
Laurentovým rozvojem se stˇredem v dané singularitě rozumíme<br />
Laurent˚uv rozvoj v nějakém prstencovém okolí singularity.<br />
6.13. Definice. Necht’ z0 ∈ C (resp.z0 = ∞) je singularita<br />
funkce f (z). Koeficient a−1 (resp. −a1) Laurenotva rozvoje f v<br />
bodě z0 se nazývá reziduum funkce f v bodě z0. Značení: resz 0 f .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 177 / 369
Pˇríklady:<br />
res0<br />
sin z<br />
= 0<br />
z3 sin z 1 1<br />
= −<br />
z3 z2 3!<br />
n=0<br />
+ z2<br />
5!<br />
res∞ z 2 e 1/z = − 1<br />
3! .<br />
z 2 e 1/z = z 2 ∞ 1 1<br />
+ z +<br />
(n + 2)! zn Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 178 / 369
Reziduum — co zbyde po integraci kolem bodu. Napˇríklad, je-li<br />
C dostatečně velká záporně orientovaná kružnice se stˇredem v<br />
nule je pro singularitu ∞:<br />
<br />
C<br />
f (z) dz =<br />
∞<br />
<br />
n=0<br />
C<br />
<br />
an a1<br />
dz =<br />
zn C z dz = −a12πj = 2πjres∞ f (z) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 179 / 369
Některé metody výpočtu rezidua (mimo Laurent˚uv rozvoj)<br />
6.14. Tvrzení. Necht’ z0 ∈ C je k-násobný pól funkce f . Pak<br />
1 d<br />
resz f = lim<br />
0<br />
z→z0 (k − 1)!<br />
k−1<br />
d zk−1 <br />
(z − z0) k <br />
f (z) .<br />
D˚ukaz:<br />
f (z) =<br />
a−k<br />
+<br />
(z − z0) k a−k+1<br />
a−1<br />
+ · · · + + a0 + · · ·<br />
(z − z0) k−1 z − z0<br />
(z−z0) k f (z) = a−k+a−k+1(z−z0)+· · ·+a−1(z−z0) k−1 +a0(z−z0) k +· ·<br />
d k−1<br />
d zk−1 <br />
(z − z0) k <br />
f (z) = (k − 1)!a−1 + k!a0(z − z0) + · · · .<br />
Limitou z → z0 jde poslední výraz k (k − 1)!a−1.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 180 / 369
Pˇríklad:<br />
res2j<br />
z + 2<br />
(z − 2j) 2 = lim<br />
(z + 1) z→2j<br />
d<br />
d z<br />
Speciálně pro jednonásobný pól platí<br />
<br />
z + 2<br />
= lim<br />
z + 1 z→2j<br />
resz f = lim (z − z0) f (z) .<br />
0<br />
z→z0<br />
−1 3 + 4j<br />
=<br />
(z + 1) 2 25 .<br />
6.15. Tvrzení. Necht’ f a g jsou funkce holomorfní v z0 ∈ C.<br />
Necht’ z0 je jednonásobný koˇren funkce g<br />
(tj. g(z0) = 0, g ′ (z0) = 0). Pak<br />
resz 0<br />
f (z) f (z0)<br />
=<br />
g(z) g ′ (z0) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 181 / 369
Pˇríklady:<br />
reskπ f (z) = reskπ<br />
f (z) = z3 + 1<br />
sin z<br />
res0 f = 1<br />
= 1 .<br />
cos 0<br />
f (z) = cotg z<br />
cos z<br />
sin z<br />
= cos kπ<br />
cos kπ<br />
= 1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 182 / 369
6.16. Tvrzení. Necht’ f je holomorfní v bodě z0 ∈ C a g má v<br />
bodě z0 jednonásobný pól. Pak<br />
D˚ukaz: pˇrednáška, skripta.<br />
Pˇríklad:<br />
resz 0 f (z)g(z) = f (z0)resz 0 g(z) .<br />
reskπ z 3 cotg z = (k 3 π 3 )reskπ cotg z = k 3 π 3 .<br />
Pˇrípad ∞. Má-li f odstranitelnou singularitu v ∞, pak<br />
f (∞) = lim<br />
z→∞ f (z) = a0 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 183 / 369
6.17. Tvrzení.<br />
1 Necht’ f má v ∞ odstranitelnou singularitu. Pak<br />
res∞ f = lim<br />
z→∞ z[f (∞) − f (z)]<br />
res∞ f = lim<br />
z→∞ z 2 f ′ (z)<br />
2 Má-li f v ∞ pól ˇrádu k, pak<br />
res∞ f = (−1)k<br />
(k + 1)! lim<br />
<br />
z→∞<br />
Pˇríklad:<br />
z<br />
<br />
k+2 d k+1<br />
f (z)<br />
d zk+1 res∞ e 1/z = lim<br />
z→∞ z[1 − e 1/z ] = −1 .<br />
res∞ e 1/z = lim<br />
z→∞ z 2 (e 1/z ) ′ = −1 .<br />
res∞<br />
e 1/z<br />
2z<br />
e1/z<br />
= lim −z<br />
z→∞ 2z<br />
= −1<br />
2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 184 / 369
7. Reziduová věta a její aplikace<br />
6.1. Reziduová věta<br />
Motto: Jacques Hadamard (1865-1963): "Nejkratší cesta mezi<br />
dvěma pravdami v reálném oboru vede pˇres obor komplexní."<br />
7.1. Věta. Reziduová věta<br />
Necht’ G je oblast a f (z) funkce holomorfní v množině<br />
G \ {z1, z2, . . . , zn}. Nechtˇ C je kladně orientovaná Jordanova<br />
kˇrivka ležící v G a mající ve svém vnitˇrku body z1, z2, . . . , zk,<br />
k ≤ n. Pˇredpokládejme dále, že G obsahuje vnitˇrní oblast kˇrivky<br />
C. Potom<br />
<br />
k<br />
f (z) dz = 2πj resz f . i<br />
C<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 185 / 369<br />
i=1
Cauchy˚uv vzorec i Cauchyova věta se dají chápat jako<br />
d˚usledek Reziduové věty.<br />
Víme již, že reziduová věta platí pro jednu singularitu.<br />
D˚ukaz: Hi(z) ... součet hlavní části Laurentova rozvoje v bodě<br />
zi. Jedná se o funkci holomorfní v C \ {zi}. Položme<br />
g(z) = f (z) − H1(z) − H2(z) − · · · − Hk(z) .<br />
g je (po dodefinování) v bodech zi holomorfní v G. Dle<br />
Cauchyovy věty:<br />
<br />
0 =<br />
C<br />
<br />
g(z) dz =<br />
<br />
=<br />
C<br />
C<br />
f (z) dz −<br />
f (z) dz − 2πj<br />
k<br />
<br />
i=1<br />
C<br />
k<br />
resz f (z) . i<br />
i=1<br />
Hi(z) dz =<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 186 / 369
7.2. D ˚usledek. Je-li funkce f (z) holomorfní v C až na konečně<br />
mnoho bod˚u z1, z2, . . . , zk ∈ C, pak<br />
k<br />
resz f + res∞ f = 0 .<br />
i<br />
i=1<br />
D˚ukaz: Pro kladně orientovanou Jordanovu kˇrivku C mající<br />
body z1, z2, . . . , zk ve svém vnitˇrku platí<br />
<br />
C<br />
f (z) dz = 2πj<br />
k<br />
resz f k<br />
i=1<br />
<br />
− f (z) dz = 2πj res∞ f .<br />
C<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 187 / 369
Pˇríklady: <br />
C<br />
1<br />
(z2 dz ,<br />
− 1)(z − 3) 2<br />
kde C je kladně orientovaná asteroida x 2/3 + y 2/3 = 2 2/3 .<br />
Singularity uvnitˇr — 1, −1, jednoduché póly.<br />
C<br />
res1<br />
1<br />
(z2 =<br />
− 1)(z − 3) 2<br />
1 1<br />
=<br />
2 · (−2) 2 8 .<br />
1<br />
res−1<br />
(z2 1<br />
1<br />
=<br />
= −<br />
− 1)(z − 3) 2 (−2) · (−4) 2 32 .<br />
<br />
1<br />
(z2 <br />
1 1<br />
dz = 2πj − =<br />
− 1)(z − 3) 2 8 32<br />
3π<br />
16 j.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 188 / 369
C<br />
1<br />
dz ,<br />
1 + z100 kde C je kladně orientovaná kružnice |z| = 2.<br />
Celkem sto singularit z1, z2, . . . , z100. (Tvoˇrí vrcholy<br />
pravidelného stoúhelníka na jednotkové kružnici.)<br />
100<br />
resz f = −res∞ f .<br />
k<br />
k=1<br />
res∞ f (z) = lim<br />
<br />
C<br />
z→∞ −<br />
z<br />
= 0 .<br />
1 + z100 1<br />
dz = 0 .<br />
1 + z100 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 189 / 369
C<br />
sin<br />
z<br />
dz ,<br />
z + 1<br />
kde C je kladně orientovaná kružnice |z| = 2.<br />
sin<br />
<br />
z<br />
= sin 1 −<br />
z + 1 1<br />
<br />
= sin 1 cos<br />
z + 1<br />
cos<br />
sin<br />
1<br />
z + 1 =<br />
1<br />
z + 1 =<br />
k=0<br />
1<br />
− cos 1 sin<br />
z + 1<br />
1<br />
z + 1 .<br />
∞<br />
k (z + 1)−2k<br />
1<br />
(−1) =⇒ res−1 cos = 0 .<br />
(2k)!<br />
z + 1<br />
∞<br />
k (z + 1)−2k−1<br />
(−1)<br />
(2k + 1)! =⇒ res−1<br />
1<br />
sin = 1 .<br />
z + 1<br />
k=0<br />
Závěr: <br />
C<br />
sin<br />
z<br />
dz = −2πj cos 1.<br />
z + 1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 190 / 369
6.2. Výpočet určitých integrál ˚u<br />
a) Integrály racionálních funkcí ∞ P(x)<br />
−∞ Q(x) dx<br />
P, Q ... polynomy s reálnými koeficienty,<br />
st Q > st P + 1, Q nemá reálné koˇreny.<br />
CR (R > 0)... kladně orientovaná kˇrivka skládající se z úsečky<br />
LR = [−R, R] a oblouku kružnice<br />
KR = {z ∈ C | |z| = R, Im z ≥ 0}.<br />
f (z) = P(z)<br />
Q(z)<br />
R zvolme tak, aby všechny singularity funkce f v polorovině<br />
Im z > 0 ležely uvnitˇr kˇrivky CR. Podle reziduové věty<br />
<br />
<br />
f (z) dz = 2πj<br />
resz f (z) .<br />
C<br />
{z | Q(z)=0,Im z>0}<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 191 / 369
L R<br />
<br />
Ukážeme, že<br />
K R<br />
C R<br />
f (z) dz =<br />
<br />
f (z) dz =<br />
R<br />
−R<br />
L R<br />
<br />
f (z) dz + f (z) dz .<br />
KR f (x) dx −→ (R→∞)<br />
<br />
lim f (z) dz = 0 .<br />
R→∞ KR z∈K R<br />
∞<br />
−∞<br />
P(x)<br />
dx .<br />
Q(x)<br />
Existuje okolí nekonečna, U, tak, že<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
2 <br />
P(z) <br />
<br />
Q(z) ≤ M tj.<br />
<br />
<br />
<br />
P(z) <br />
<br />
M<br />
Q(z)<br />
≤ ,<br />
|z| 2<br />
z ∈ U.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f (z) dz<br />
≤ délka(KR) · max |f (z)| ≤ πR · M πM<br />
= → 0<br />
R2 R<br />
pro R → ∞.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 192 / 369
Závěr:<br />
∞<br />
−∞<br />
Pˇríklad: ∞<br />
P(x)<br />
dx = 2πj<br />
Q(x)<br />
−∞<br />
<br />
{z | Q(z)=0,Im z>0}<br />
resz<br />
x 2<br />
(x 2 + a2 dx , a > 0 .<br />
) 2<br />
<br />
P(z)<br />
resaj = lim (z − aj)<br />
Q(z) z→aj<br />
2 z2 (z2 + a2 ) 2<br />
∞<br />
−∞<br />
′<br />
2ajz 1<br />
= lim =<br />
z→aj (z + aj) 3 4aj<br />
x 2<br />
(x 2 + a2 dx = 2πj resaj<br />
) 2<br />
P(z)<br />
Q(z) .<br />
<br />
z<br />
= lim<br />
z→aj<br />
2<br />
(z + aj) 2<br />
P(z) 1<br />
= 2πj<br />
Q(z) 4aj<br />
= π<br />
2a .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 193 / 369<br />
′<br />
=
) Integrály z goniometrických funkcí 2π<br />
0 R(cos x, sin x) dx.<br />
R(x, y) ... racionální funkce definovaná na jednotkové kružnici.<br />
2π<br />
<br />
z2 + 1<br />
R(cos x, sin x) dx = R ,<br />
2z<br />
z2 <br />
− 1 dz<br />
2jz jz ,<br />
0<br />
kde C je kladně orientovaná jednotková kružnice.<br />
Odvození : pˇrednáška, skripta<br />
——————————————————————————-<br />
Pˇríklad:<br />
2π<br />
0<br />
C<br />
dx<br />
, a > b > 0 .<br />
a + b cos x<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 194 / 369
Položme<br />
F(z) =<br />
1<br />
a + b z2 +1<br />
2z<br />
· 1<br />
jz<br />
= 2<br />
j<br />
1<br />
bz2 + 2az + b .<br />
Funkce F(z) má singularity v koˇrenech polynomu<br />
tj. v bodech<br />
bz 2 + 2az + b<br />
z1 = −a + √ a2 − b2 , z2 =<br />
b<br />
−a − √ a2 − b2 .<br />
b<br />
|z1| < 1, |z2| > 1 (Nebot’ z1z2 = b<br />
b = 1)<br />
2π<br />
0<br />
dx<br />
a + b cos x = 2πj resz 1<br />
= 4π<br />
b ·<br />
2<br />
jb(z − z1)(z − z2) =<br />
1<br />
√<br />
2 a2−b2 b<br />
=<br />
2π<br />
√ a 2 − b 2 .<br />
4π<br />
b(z1 − z2) =<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 195 / 369
c) integrály typu ∞<br />
−∞ R(x) ejx dx<br />
kde R(x) je racionální funkce s reálnými koeficienty, nemá póly<br />
na reálné ose, limz→∞ R(z) = 0.<br />
Dle Eulerovy identity:<br />
∞<br />
R(x)e jx ∞<br />
∞<br />
dx = R(x) cos x dx + j R(x) sin x dx.<br />
−∞<br />
−∞<br />
7.3. Věta. Jordanovo lemma<br />
Necht’ Kr je polokružnice {z ∈ C | |z| = r, Im z ≥ 0}.<br />
Pˇredpokládejme, že f (z) je spojitá funkce definovaná na<br />
pr˚uniku jistého okolí nekonečna s horní polorovinou. Označme<br />
−∞<br />
M(r) = max |f (z)|.<br />
z∈Kr<br />
<br />
Jestliže limr→∞ M(r) = 0, pak limr→∞ Kr f (z)ejz dz = 0.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 196 / 369
D˚ukaz: <br />
Kr<br />
f (z)e jz π<br />
dz = f (re jt )e jrejt<br />
· jre jt dt .<br />
Protože |f (z)| ≤ M(r) na Kr m˚užeme odhadnout<br />
<br />
<br />
<br />
f (z)e jz <br />
<br />
dz<br />
<br />
Kr<br />
0<br />
π<br />
≤ rM(r) · |e<br />
0<br />
jrejt<br />
| dt . (3)<br />
Pro z = x + jy, x, y ∈ R máme ejz = ejx−y , |ejz | = e−y . Pro<br />
z = rejt <br />
<br />
dá výše uvedená identita<br />
Dle (3) dostaneme<br />
<br />
<br />
<br />
f (z)e jz <br />
<br />
dz<br />
<br />
Kr<br />
e jrejt = e −r sin t .<br />
π<br />
≤ rM(r) ·<br />
0<br />
e −r sin t dt.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 197 / 369
Pro t ∈< 0, π<br />
2<br />
(konkávita).<br />
> platí nerovnost<br />
sin t ≥ 2<br />
t .<br />
π<br />
Díky symetrii funkce sinus k bodu π/2 máme<br />
π<br />
0<br />
e −r sin t dt = 2<br />
π<br />
2<br />
0<br />
e −r sin t dt .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 198 / 369
Platí tedy<br />
π<br />
2<br />
0<br />
Závěr:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e −r sin t dt ≤ 2<br />
π<br />
2<br />
0<br />
2<br />
−r<br />
e π t dt < 2<br />
Kr<br />
f (z)e jz <br />
<br />
dz<br />
<br />
≤ rM(r)π<br />
r<br />
∞<br />
0<br />
2<br />
−r<br />
e π t dt = 2 1<br />
2<br />
π<br />
= πM(r) → 0 pro r → ∞.<br />
π<br />
=<br />
r r .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 199 / 369
Pro racionální funkci R(z) s limz→∞ R(z) = 0 platí Jordanovo<br />
lemma, a proto m˚užeme postupovat stejně jako v bodě (a).<br />
Tímto získáme<br />
∞<br />
R(x) e jx dx = 2πj<br />
−∞<br />
<br />
{z∈C | z je pól R(z),Im z>0}<br />
resz R(z) e jz .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 200 / 369
Pˇríklad:<br />
∞<br />
−∞<br />
= 2πj res2j<br />
∞<br />
−∞<br />
ejx x 2 dx .<br />
+ 4<br />
ejx x 2 ∞<br />
dx =<br />
+ 4 −∞<br />
ejz z2 e−2<br />
= 2πj<br />
+ 4 2 · 2j<br />
cos x<br />
x 2 dx =<br />
+ 4<br />
= π<br />
2 e−2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 201 / 369
d) Obcházení jednoduchých pól ˚u<br />
7.4. Tvrzení. Pˇredpokládejme, že funkce f (z) má jednoduchý<br />
pól v bodě z0 ∈ C. Necht’ C je oblouk kružnice o stˇredu z0 a<br />
poloměru ϱ parametrizovaný funkcí<br />
ϕ(t) = z0 + ϱe jt<br />
t ∈< ϕ, ϕ + α > ,<br />
kde 0 ≤ ϕ < ϕ + α < 2π. Pak<br />
<br />
lim f (z) dz = jα resz f (z). 0<br />
ϱ→0+<br />
C<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 202 / 369
D˚ukaz: Skutečnost, že f má v bodě z0 jednoduchý pól<br />
znamená , že f (z) je možno vyjádˇrit:<br />
f (z) = resz f (z) 0<br />
+ g(z),<br />
z − z0<br />
kde g je funkce holomorfní v z0. Je tedy<br />
Pˇritom <br />
<br />
C<br />
C<br />
<br />
f (z) dz =<br />
C<br />
resz 0 f (z)<br />
z − z0<br />
<br />
dz +<br />
C<br />
g(z) dz . (4)<br />
ϕ+α<br />
resz f (z)<br />
resz f (z)<br />
0 0<br />
dz =<br />
z − z0<br />
ϕ ϱejt · jϱe jt dt =<br />
ϕ+α<br />
= jresz f (z) dt = jα resz f (z).<br />
0 0<br />
ϕ<br />
Funkce g je omezená v jistém okolí bodu z0. Pro ϱ → 0+<br />
konverguje délka kˇrivky k nule.<br />
<br />
<br />
=⇒ <br />
g(z) dz<br />
≤ αϱ · max |g(z)| → 0,<br />
C<br />
pro ϱ → 0 + .<br />
C<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 203 / 369
Závěr:<br />
Pˇríklad: Newton˚uv integrál<br />
(detaily pˇrednáška)<br />
∞<br />
<br />
lim f (z) dz = jα resz f (z). 0<br />
ϱ→0+ C<br />
−∞<br />
sin x<br />
x<br />
dx = π .<br />
Integrujeme pˇres velké polokružnice (Jordanovo lemma) a malé<br />
polokružnice kolem bodu 0 (pˇredchozí tvrzení)<br />
∞<br />
−∞<br />
e jz<br />
z<br />
dz = πj res0<br />
e jz<br />
z<br />
= πj .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 204 / 369
8.1. Fourierovy ˇrady<br />
8. Fourierova transformace<br />
• zpracování periodické funkce, spektrální rozklad<br />
pˇredpoklady:<br />
1<br />
f (t) :< a, a + T >→ C , T > 0<br />
nebo f je periodická funkce s periodou T .<br />
2 f je integrovatelná tj.<br />
a+T<br />
a<br />
|f (t)| dt < ∞ .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 205 / 369
Fourierova ˇrada v komplexním tvaru funkce f je ˇrada<br />
∞<br />
cne jnωt =<br />
kde<br />
n=−∞<br />
= · · · + c−2e −2jωt + c−1e −jωt + c0 + c1e jωt + c2e 2jωt + · · ·<br />
ω = 2π<br />
T , cn = 1<br />
a+T<br />
f (t) e<br />
T a<br />
−jnωt dt .<br />
Fourierovy koeficienty funkce f , cn, (n ∈ Z) "poměˇrují" f (t) s<br />
periodickým pohybem e jnωt , tj. násobnými harmonickými<br />
kmitočty.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 206 / 369
Princip: Spojité funkce integrovatelné s kvadrátem se stejnými<br />
Fourierovými koeficienty jsou stejné. Fourierovy koeficienty<br />
kódují funkce, charakterizují je ve frekvenční oblasti.<br />
D˚ukaz tohoto faktu je obtížnější.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 207 / 369
Je-li f je reálná funkce, pak c−n = cn pro všechna n ∈ N.<br />
D˚ukaz: f (t) je reálné:<br />
T cn =<br />
T c−n =<br />
a tedy c−n = cn.<br />
a+T<br />
a<br />
a+T<br />
a<br />
f (t) e −jnωt dt =<br />
−j<br />
+j<br />
a+T<br />
a<br />
f (t) e jnωt dt =<br />
a+T<br />
a<br />
a+T<br />
a<br />
f (t) sin nωt dt<br />
a+T<br />
a<br />
f (t) sin nωt dt<br />
f (t) cos nωt dt<br />
f (t) cos nωt dt<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 208 / 369
Je-li f reálná funkce, pak m˚užeme sloučit dva komplexně<br />
sdružené členy dohromady a dostat tak čistě reálnou ˇradu:<br />
n ≥ 1<br />
cn e jnωt + c−n e −jnωt =<br />
cn(cos nωt + j sin nωt) + c−n (cos nωt − j sin nωt) =<br />
= (cn + c−n) cos nωt + (j cn − jc−n) sin nωt =<br />
= 2 Re cn cos nωt − 2 Im cn sin nωt .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 209 / 369
Označme<br />
an = 2 Re cn = 2<br />
T<br />
bn = −2 Im cn = 2<br />
T<br />
a+T<br />
a<br />
a+T<br />
a<br />
f (t) cos nωt dt<br />
f (t) sin nωt dt<br />
kosínově-sínový tvar:<br />
a0<br />
2 +<br />
∞<br />
an cos nωt + bn sin nωt ,<br />
Amplituda:<br />
n=1<br />
An =<br />
<br />
a 2 n + b 2 n .<br />
Transformační vztahy mezi koeficienty: n ≥ 1<br />
an = 2 Re cn cn = an<br />
2<br />
bn = −2 Im cn . c−n = an<br />
2<br />
− j bn<br />
2<br />
+ j bn<br />
2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 210 / 369
D˚uležité je, že Fourierovy koeficienty umožní zrekonstruovat<br />
funkci (jsou vlastně souˇradnicemi v˚uči nekonečné bázi).<br />
V některých pˇrípadech je funkce pˇrímo rovna součtu své<br />
Fourierovy ˇrady.<br />
8.1. Věta. Dirichletova věta<br />
Je-li reálná funkce f (t) s periodou T po částech spojitá a má po<br />
částech spojitou derivaci, pak<br />
f (t+) + f (t−)<br />
2<br />
pro všechna t ∈ R.<br />
= a0<br />
2 +<br />
∞<br />
an cos nωt + bn sin nωt ,<br />
n=1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 211 / 369
8.2. Pˇrímá a zpětná Fourieova transformace<br />
motivace: spektrální rozklad obecné neperiodické funkce v<br />
nekonečné časové oblasti, nediskrétní škála frekvencí, koreluje<br />
funkci s harmonickými funkcemi g(t) = e jωt , ω ∈ R.<br />
8.2. Definice. Necht’ f (t) je komplexní funkce definovaná na R.<br />
Funkce<br />
∞<br />
ˆf (p) = f (t)e −jpt dt , p ∈ R<br />
−∞<br />
se nazývá Fourierova transformace funkce f .<br />
Funkce<br />
∞<br />
ˇ 1<br />
f (p) = f (t)e<br />
2 π<br />
jpt dt p ∈ R ,<br />
−∞<br />
se nazývá inverzní Fourierova transformace funkce f .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 212 / 369
Za definiční obor se považuje množina všech p ∈ R, pro které<br />
existují pˇríslušné integrály.)<br />
Konvence: ∞<br />
−∞<br />
f (t) dt = lim<br />
R→∞<br />
hlavní hodnota integrálu<br />
R<br />
−R<br />
f (t) dt .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 213 / 369
Poznámka:<br />
ˆ f (p) = 2π ˇ f (−p)<br />
Značení a terminologie: F : f → ˆ f , F −1 : f → ˇ f<br />
Fourierova transformace a inverzní Fourierova transformace.<br />
Ff , f (t) . = ˆ f (p), F{f (t)} = ˆ f (p) .<br />
Postačující podmínka pro existenci Fourierovy transformace:<br />
∞<br />
|f (t)| dt < ∞ .<br />
−∞<br />
Pak totiž: ∞<br />
−∞ |f (t) e−jpt | dt = ∞<br />
−∞ |f (t)| dt < ∞ .<br />
Značení: L1 (R) = {f : R → C | ∞<br />
−∞<br />
|f (t)| dt < ∞} .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 214 / 369
8.3. Pˇríklad. Obraz bránové funkce a > 0<br />
<br />
1 t ∈< −a, a ><br />
fa(t) =<br />
0 jinde<br />
∞<br />
ˆfa(p) = fa(t) e −jpt dt =<br />
−∞<br />
<br />
e−jpt =<br />
−jp<br />
a<br />
e −jpt dt<br />
−a<br />
t=a =<br />
t=−a<br />
ejap − e−jap jp<br />
sin ap<br />
= 2<br />
p<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 215 / 369
8.4. Pˇríklad.<br />
ˇfa(p) = 1<br />
2 π ˆfa(−p) = 1 sin(−ap)<br />
=<br />
π −p<br />
1 sin ap<br />
π p<br />
8.5. Pˇríklad. Obraz gaussovské funkce<br />
Víme již, že ∞<br />
f (t) = e −at2<br />
, a > 0 .<br />
e<br />
−∞<br />
−t2<br />
e −jtp dt = √ p2<br />
−<br />
πe 4 .<br />
Na základě toho (substituce u = √ at):<br />
∞<br />
−∞<br />
e −at2<br />
e −jtp dt = 1/ √ ∞<br />
a e<br />
−∞<br />
−u2<br />
e −jup/√a du =<br />
<br />
π p2<br />
e− 4a .<br />
a<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 216 / 369
8.6. Pˇríklad. Vybíjení kondenzátoru:<br />
α > 0<br />
<br />
e<br />
f (t) =<br />
−αt 0<br />
t ≥ 0<br />
jinak<br />
∞<br />
ˆf (p) =<br />
0<br />
e −α t e −jpt dt =<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−(α+jp)t dt =<br />
<br />
−1<br />
=<br />
α + jp e−(α+jp)t<br />
∞ 0<br />
= 1<br />
α + jp .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 217 / 369
Fourierovy obrazy racionálních funkcí - aplikace reziduové<br />
věty<br />
Pˇredpoklady: P a Q jsou polynomy, st Q > st P a Q nemá<br />
reálné koˇreny:<br />
∞ P(t)<br />
Q(t) ejt <br />
<br />
P(z)<br />
dt = 2πj<br />
resz<br />
Q(z) ejz<br />
<br />
−∞<br />
{z | Q(z)=0 ,Im z>0}<br />
Pˇri výpočtu Fourierovy transformace racionální funkce P(t)<br />
Q(t)<br />
potˇrebujeme integrál<br />
∞<br />
−∞<br />
P(t)<br />
Q(t) e−jpt dt<br />
Ten se dá substitucí pˇrevést na integrál výše:<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 218 / 369
Substituce pro p = 0:<br />
u = −pt, du = −p dt.<br />
Pak<br />
Označíme-li<br />
máme:<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
P(t)<br />
Q(t) e−jpt ∞<br />
dt =<br />
−∞<br />
P(t)<br />
Q(t) e−jpt dt = 2πj<br />
|p|<br />
R(z) =<br />
P(− z<br />
p )<br />
Q(− z<br />
p )<br />
<br />
P(− u<br />
p )<br />
Q(− u<br />
p<br />
{z | Q(−z/p)=0 ,Im z>0}<br />
du<br />
eju<br />
) |p|<br />
resz R(z)e jz .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 219 / 369
8.7. Pˇríklad.<br />
p = 0<br />
R(z) =<br />
f (t) = 1<br />
t 2 + 1 .<br />
1<br />
z2 (−p) 2 + 1 =<br />
p 2<br />
p2<br />
z2 .<br />
+ p2 ˆ 2πj<br />
f (p) =<br />
|p| resj|p| z2 + p2 ejz 2πj p2<br />
= ·<br />
|p|<br />
e−|p|<br />
2j|p| = πe−|p| .<br />
Pro p = 0 dopočítáme ze spojitosti obrazu, nebo z definice:<br />
∞<br />
−∞<br />
1<br />
t 2 + 1 dt = [arctg t]∞ −∞ = π .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 220 / 369
Souvislost Fourierovy transformace a Fourierovy ˇrady<br />
Pˇredpokládejme, že f (t) je periodická funkce s periodou T > 0<br />
taková, že<br />
a+T<br />
a<br />
|f (t)| dt < ∞ .<br />
Označme 1 charakteristickou funkci intervalu<br />
< a, a + T > a<br />
fT = 1 · f (t) .<br />
Pro Fourier˚uv koeficient, cn, funkce f (t) platí<br />
cn = 1<br />
T<br />
a+T<br />
a<br />
f (t) e −jnωt dt = 1<br />
T ˆ fT (nω)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 221 / 369
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 222 / 369
8.8. Věta. Věta o inverzní Fourierově transformaci<br />
Necht’ f ∈ L 1 (R).<br />
1 Je-li f spojitá na R a ˆ f ∈ L 1 (R) pak<br />
pro všechna t ∈ R .<br />
f (t) = 1<br />
∞<br />
ˆ jpt<br />
f (p) e dp<br />
2π −∞<br />
2 Je-li f a f ′ po částech spojitá funkce na R pak<br />
f (t+) + f (t−)<br />
2<br />
pro všechna t ∈ R .<br />
= 1<br />
∞<br />
ˆ jpt<br />
f (p) e dp<br />
2π −∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 223 / 369
Význam:<br />
f (t) = 1<br />
∞<br />
ˆ jωt<br />
f (ω) e dω<br />
2π −∞<br />
ω1 < ω2 < · · · < ωn<br />
aproximující součty tohoto integrálu:<br />
1<br />
2π<br />
n−1<br />
ˆf (ωi)(ωi+1 − ωi) e jωi t<br />
i=1<br />
jsou kombinací harmonických funkcí ωi(t) = e jω i t .<br />
| ˆ f (ω)| udává amplitudu.<br />
8.9. D ˚usledek. Dvě spojité funkce z L 1 (R) jsou stejné, mají-li<br />
stejnou Fourierovu transformaci.<br />
D˚ukaz: f , g ∈ L 1 (R) spojité ˆ f = ˆg. Pro h = f − g máme<br />
ˆh = 0 ,<br />
a tedy h = 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 224 / 369
8.10. Pˇríklad.<br />
Podle Pˇríkladu 8.3 máme<br />
g(t) = 1<br />
∞ sin p<br />
2<br />
2 π −∞ p ej pt dp.<br />
⎧<br />
⎪⎨ 1 je-li t ∈ (−1, 1)<br />
g(t) = 1/2<br />
⎪⎩<br />
0<br />
je-li t = 1, −1<br />
jinak<br />
Jinými slovy inverzní obraz funkce h(p) = 2<br />
Speciální pˇrípad t = 0 vede na Newton˚uv integrál.<br />
sin p<br />
p je funkce g(t).<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 225 / 369
8.11. Věta. Základní gramatika Fourierovy transformace<br />
1 F{f (t − a)} = e−jpa ˆf (p)<br />
(posun ve vzoru)<br />
2 F{f (at)} = 1<br />
|a| ˆf ( p<br />
a<br />
) , a = 0<br />
(změna měˇrítka, scaling)<br />
3 F{f (−t)} = ˆ f (p)<br />
(pravidlo konjugace)<br />
4 F{e jat f (t)} = ˆ f (p − a)<br />
(posun obrazu, modulace vzoru)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 226 / 369
D˚ukaz:<br />
1 F{f (t − a)} = e −jpa ˆ f (p) :<br />
2<br />
Substituce<br />
∞<br />
=<br />
−∞<br />
∞<br />
F{f (t − a)}(p) = f (t − a) e −jpt dt<br />
−∞<br />
u = t − a<br />
f (u)e −jp(u+a) du = e −jpa<br />
∞<br />
∞<br />
F{f (at)}(p) = f (at) e −jpt dt =<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞<br />
f (u)e −jpu du =<br />
= e −jpa ˆ f (p) .<br />
substituce u = a t , du = a dt<br />
= 1<br />
∞<br />
u<br />
−jp<br />
f (u) e a du =<br />
|a|<br />
1<br />
|a| ˆf ( p<br />
) .<br />
a<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 227 / 369
3<br />
4<br />
∞<br />
F{f (−t)}(p) = f (−t) e −jpt dt =<br />
∞<br />
−∞<br />
substituce u = −t<br />
∞<br />
= f (u) e jpu ∞<br />
du = f (u) e−jpu du =<br />
−∞<br />
f (t) e<br />
−∞<br />
jat e −jpt dt =<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
= f (u) e−jpu du = ˆf (p) .<br />
−∞<br />
f (t) e<br />
−∞<br />
−j(p−a) t dt = ˆf (p − a) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 228 / 369
8.12. Pˇríklad.<br />
8.13. Pˇríklad.<br />
sin t e −t2<br />
1<br />
−<br />
e 2 (t−1)2 . −jp<br />
= e √ 1<br />
−<br />
2 π e 2 p2<br />
= ejt − e −jt<br />
2 j<br />
e −t2 <br />
. 1 √ (p−1)2 (p+1)2<br />
− −<br />
= π e 4 − e 4<br />
2 j<br />
8.14. Pˇríklad. Pˇredpokládejme, že platí věta o inverzní<br />
Fourierově transformaci. Jaké reálné funkce mají reálný<br />
Fourier˚uv obraz ?<br />
ˇRešení: ˆ f (p) = ˆ f (p) a tedy f (−t) = f (t). Jsou to pouze sudé<br />
funkce.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 229 / 369
8.15. Pˇríklad. Nalezněte obraz funkce g(t) = f (2t − 3) pomocí<br />
obrazu funkce f (t).<br />
ˇRešení:<br />
f (t) → f (t − 3) → f (2t − 3)<br />
ˆ f (p) → e −3j pˆ f (p) →<br />
1 3<br />
e− 2<br />
2 jpˆ p<br />
f (<br />
2 )<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 230 / 369
8.16. Věta. Riemannovo-Lebesgueovo lemma<br />
Je-li f ∈ L 1 (R), pak ˆ f je spojitá funkce a<br />
lim ˆf (p) = 0 .<br />
p→±∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 231 / 369
8.17. Věta. Obraz derivace<br />
Necht’ f (t) je spojitě diferencovatelná funkce a<br />
f , f ′ ∈ L 1 (R). Pak<br />
D˚ukaz:<br />
F{f ′ (t)}(p) = jp ˆ f (p) .<br />
f ′ ∈ L1 (R) =⇒ ∞<br />
0 f ′ (t) dt = limt→∞ f (t) − f (0) .<br />
Tedy existuje limita limt→±∞ f (t). Tato limita musí být nula<br />
nebot’ f ∈ L1 (R).<br />
Nyní použijeme metodu per-partes:<br />
∞<br />
f<br />
−∞<br />
′ (t) e −jp t t=∞ −j p t<br />
dt = f (t) e<br />
∞<br />
+ j p f (t) e<br />
t=−∞ −∞<br />
−jp t dt =<br />
= j p ˆ f (p) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 232 / 369
8.18. Pˇríklad. f (t) = e−a t2 , a > 0. Pak<br />
f ′ (t) = −2 a t e −a t2 <br />
. π p2<br />
= j p e− 4a .<br />
a<br />
D ˚usledek:<br />
f , f ′ , . . . , f (k) spojité funkce z L 1 (R) =⇒<br />
f (k) (t) . = (j p) k ˆ f (p)<br />
a dle Riemannova-Lebesgueova lemmatu<br />
lim<br />
|p|→∞ pkˆf (p) → 0 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 233 / 369
8.19. Věta. Derivace obrazu<br />
Necht’ f (t) ∈ L 1 (R) a tf (t) ∈ L 1 (R). Pak<br />
F{t f (t)}(p) = j d<br />
dp ˆ f (p) .<br />
8.20. Pˇríklad. Spočtěte Fourierovu transformaci funkce<br />
ˇRešení:<br />
t2<br />
−<br />
t e 2<br />
t2<br />
−<br />
f (t) = t e 2<br />
.<br />
= j d √ −p<br />
2π e<br />
dp<br />
2<br />
2 = −j √ p2<br />
−<br />
2π p e 2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 234 / 369
Konvoluce je operace na množině integrovatelných funkcí.<br />
Motivace: Co odpovídá ve Fourierově transformaci součinu<br />
funkcí?<br />
8.21. Definice. Necht’ f , g ∈ L 1 (R). Konvoluce funkcí f a g je<br />
funkce h = f ∗ g daná vztahem<br />
∞<br />
(f ∗ g)(t) = f (s)g(t − s) ds .<br />
−∞<br />
8.22. Pˇríklad. h = fa ∗ fa, kde fa je bránová funkce.<br />
∞<br />
h(t) = fa(s) fa(t − s) ds .<br />
−∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 235 / 369
Integrujeme 1 pˇres pr˚unik interval˚u<br />
< −a, a > ∩ < t − a, t + a > .<br />
⎧<br />
0 t < −2a<br />
⎪⎨<br />
t + 2a t ∈< −2a, 0 ><br />
h(t) =<br />
2 a − t t ∈< 0, 2 a ><br />
⎪⎩<br />
0 t > 2 a<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 236 / 369
8.23. Věta. Obraz konvoluce<br />
Necht’ f , g ∈ L 1 (R). Pak pro h = f ∗ g platí<br />
ˆh(p) = ˆ f (p) ˆg(p) .<br />
D˚ukaz: Založen na záměně poˇradí integrace<br />
h(t)<br />
∞<br />
∞<br />
<br />
f (s) g(t − s) ds e<br />
−∞ −∞<br />
−jp t dt =<br />
∞ ∞<br />
=<br />
g(t − s) e<br />
−∞ −∞<br />
−j p (t−s) <br />
dt<br />
<br />
posun u=t−s<br />
∞<br />
= g(u) e<br />
−∞<br />
−jp u ∞<br />
du ·<br />
<br />
ˆg(p)<br />
<br />
−∞<br />
f (s) e −j p s ds =<br />
f (s) e −jp s <br />
ds<br />
<br />
ˆ f (p)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 237 / 369
8.24. Pˇríklad. Trojúhelník:<br />
⎧<br />
0 t < −2a<br />
⎪⎨<br />
t + 2a t ∈< −2a, 0 ><br />
f (t) =<br />
2 a − t t ∈< 0, 2 a ><br />
⎪⎩<br />
0 t > 2 a<br />
Platí f (t) = fa(t) ∗ fa(t)<br />
Podle věty o obrazu konvoluce:<br />
ˆ f (p) =<br />
<br />
2<br />
2 sin ap<br />
=<br />
p<br />
4 sin2 ap<br />
p2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 238 / 369
8.25. Pˇríklad. Určete konvoluci e−at2 ∗ e−bt2 a, b > 0.<br />
Fourierova transformace:<br />
<br />
π p2 π p2<br />
e− 4a · e− 4b =<br />
a b π p2<br />
− √ e 4<br />
ab (1/a+1/b) .<br />
Inverze: <br />
π<br />
ab<br />
) t2<br />
e−( a+b<br />
a + b<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 239 / 369
8.26. Pˇríklad. ˇRešte diferenciální rovnici<br />
Fourierova transformace<br />
y ′′ (t) − y(t) = e −t2<br />
−p 2ˆy(p) − ˆy(p) = F{e −t2<br />
}(p) .<br />
−y(t) =<br />
<br />
e −t2<br />
∗ F −1<br />
<br />
1<br />
.<br />
1 + p 2<br />
<br />
(t) .<br />
F −1<br />
<br />
1<br />
1 + p2 <br />
(t) = 1<br />
2 e−|t| .<br />
∞<br />
y(t) = −1/2 e −|t−s| e −s2<br />
ds .<br />
−∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 240 / 369
Fourierova transformace je základem obor˚u:<br />
teorie signál˚u<br />
harmonická analýza<br />
kvantová mechanika<br />
waveletová analýza<br />
parciální diferenciální rovnice<br />
atd.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 241 / 369
9. Laplaceova transformace<br />
9.1. Pˇrímá Laplaceova transformace<br />
9.1. Definice. Pˇredpokládejme, že f (t) je komplexní funkce<br />
definovaná na intervalu < 0, ∞). Laplaceova transformace<br />
funkce f je komplexní funkce F(p) daná vztahem<br />
∞<br />
F(p) = f (t) e −p t dt .<br />
0<br />
Za definiční obor Laplaceova obrazu považujeme množinu<br />
všech komplexních p s Re p > 0, pro která existuje výše<br />
uvedený integrál.<br />
• LT zpracuje na rozdíl od FT i nestabilní systémy.<br />
• LT je motivována LTI systémy.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 242 / 369
Konvence:<br />
1(t) =<br />
Často ztotožňujeme f a 1(t)f (t).<br />
<br />
1 t ≥ 0<br />
0 t < 0 .<br />
.<br />
Značení: F = Lf , f = F, L{f (t)} = F(p)<br />
Pˇrímá Laplaceova transformace je zobrazení f → Lf .<br />
9.2. Definice. Funkce f (t) definovaná na kladné části reálné<br />
osy se nazývá funkce tˇrídy L0 (též pˇredmět standardního<br />
typu), jestliže<br />
1 f je po částech spojitá,<br />
2 f je nejvýše exponenciálního r˚ustu, tj. existují konstanty<br />
a, M ≥ 0 tak, že<br />
a t<br />
|f (t)| ≤ M e<br />
pro všechna t ≥ 0 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 243 / 369
• Pˇríklady funkcí tˇrídy L0: omezené po částech spojité funkce,<br />
polynomy, kvazipolynomy (součiny polynom˚u a<br />
exponenciálních funkcí).<br />
• Laplaceova transformace je definována pro širší tˇrídu funkcí<br />
než transformace Fourierova.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 244 / 369
9.3. Pˇríklad.<br />
∞<br />
F(p) =<br />
Vzhledem k tomu, že<br />
0<br />
e (1+j) t e −p t dt =<br />
f (t) = e (1+j) t .<br />
∞<br />
|e (1+j−p) t (1−Re p) t<br />
| = e<br />
0<br />
e (1+j−p) t <br />
e (1+j−p) t<br />
dt =<br />
∞ .<br />
1 + j − p<br />
limita v ∞ existuje (a je rovna nule) právě když Re p > 1. Tedy<br />
F(p) =<br />
1<br />
p − 1 − j<br />
Re p > 1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 245 / 369<br />
0
Zobecnění: Pro a ∈ C.<br />
e a t . = 1<br />
p − a<br />
Re p > Re a<br />
9.4. Věta. Pˇredpokládejme, že f (t) ∈ L0 má Laplace˚uv obraz<br />
F (p). Pak platí následující tvrzení:<br />
1 Existuje α ≥ 0 tak, že F(p) je holomorfní v polorovině<br />
{p ∈ C | Re p > α}<br />
2 limRe p→∞ F(p) = 0.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 246 / 369
D˚ukaz: (ii)<br />
Vezměme p s Re p > α.<br />
<br />
∞<br />
<br />
f (t) e<br />
0<br />
−pt <br />
<br />
dt<br />
≤<br />
∞<br />
0<br />
<br />
e(α−Re<br />
p) t<br />
= M<br />
α − Re p<br />
|f (t)| ≤ M e αt .<br />
M e αt e − Re p t dt =<br />
t=∞<br />
t=0<br />
=<br />
M<br />
→ 0<br />
Re p − α<br />
pro Re p → ∞ .<br />
9.5. D ˚usledek. Je-li f (t) ∈ L0 s Laplaceovým obrazem F(p),<br />
pak existují konstanty M, α ≥ 0 takové, že<br />
pro všechna p s Re p > α.<br />
|F(p)| ≤<br />
M<br />
Re p − α ,<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 247 / 369
Další d˚uležité obrazy:<br />
sin ωt<br />
cos ωt<br />
t n<br />
.<br />
=<br />
.<br />
=<br />
. =<br />
ω<br />
p2 + ω2 p<br />
p2 + ω2 n!<br />
pn+1 Základní gramatika Laplaceovy transformace:<br />
f (t)<br />
e at f (t)<br />
f (ωt)<br />
tf (t)<br />
.<br />
=<br />
.<br />
=<br />
F(p)<br />
F(p − a) , a ∈ R<br />
.<br />
= 1<br />
.<br />
=<br />
p<br />
F( ) ,<br />
ω ω<br />
−F<br />
ω > 0<br />
′ (p)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 248 / 369
Pravidla o translaci:<br />
f (t)<br />
1(t − a) f (t − a)<br />
1(t − a) f (t)<br />
.<br />
= F (p)<br />
.<br />
= e −ap F(p) , a > 0<br />
.<br />
= e −ap L{f (t + a)}<br />
9.6. Pˇríklad. Spočtěte obraz konečného impulsu<br />
<br />
1 t ∈< a, 2a ><br />
f (t) =<br />
0 jinak.<br />
ˇRešení:<br />
f (t) = 1(t − a) − 1(t − 2a) . −ap 1 1<br />
= e − e−2ap<br />
p p .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 249 / 369
9.7. Věta. Obraz periodické funkce<br />
Je-li f ∈ L0 periodická funkce s periodou T > 0, pak Laplace˚uv<br />
obraz funkce f je funkce<br />
F(p) =<br />
D˚ukaz:<br />
∞<br />
F(p) = f (t) e −pt dt =<br />
0<br />
Substituce t = nT + x, dt = dx:<br />
=<br />
T<br />
0 f (t) e−pt dt<br />
1 − e−pT .<br />
∞<br />
(n+1)T<br />
f (t) e −pt dt =<br />
n=0<br />
∞<br />
T<br />
f (nT +x) e<br />
n=0<br />
0<br />
−p(nT +x) ∞<br />
dx = e<br />
n=0<br />
−pnT<br />
T<br />
T<br />
= f (x) e<br />
0<br />
0<br />
−px ∞<br />
dx · (e<br />
n=0<br />
−pT ) n =<br />
T<br />
0 f (x) e−px dx<br />
1 − e−pT .<br />
nT<br />
f (x) e −px dx =<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 250 / 369
9.8. Pˇríklad. Nalezněte obraz periodického prodloužení funkce<br />
<br />
1 t ∈< a, 2a ><br />
f (t) =<br />
0 jinak<br />
s periodou T = 2a.<br />
ˇRešení: T = 2a<br />
1(t − a) − 1(t − 2a) . −pa 1 1<br />
= e − e−2pa<br />
p p .<br />
F(p) = 1<br />
p · (e−ap − e−2ap )<br />
1 − e−2ap = 1<br />
p ·<br />
e−ap (1 − e−ap )<br />
(1 − e−ap )(1 + e−ap ) =<br />
= 1<br />
p ·<br />
e−ap 1<br />
=<br />
1 + e−ap p ·<br />
1<br />
1 + e ap<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 251 / 369
V některých pˇrípadech se dá Laplaceova transformace<br />
mocninné ˇrady počítat člen po členu.<br />
9.9. Věta. “Laplacování člen po členu"<br />
Pˇredpokládejme, že f (t) ∈ L0 a jsou splněny následující dvě<br />
podmínky<br />
1<br />
pro všechna t ≥ 0 .<br />
2 ˇRada<br />
f (t) =<br />
∞<br />
∞<br />
n=0<br />
an t n<br />
n!<br />
an<br />
p<br />
n=0<br />
n+1<br />
konverguje v jistém okolí nekonečna.<br />
Pak pro Laplace˚uv obraz F (p) funkce f (t) platí<br />
∞ n!<br />
F(p) = an .<br />
pn+1 n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 252 / 369
9.10. Pˇríklad.<br />
n=0<br />
sin t<br />
f (t) = .<br />
t<br />
∞ (−1)<br />
f (t) =<br />
n t2n (2n + 1)! .<br />
n=0<br />
Zkoumejme konvergenci ˇrady<br />
∞ (−1) n ∞<br />
(2n)!<br />
(−1)<br />
=<br />
(2n + 1)! p2n+1 n<br />
.<br />
(2n + 1) p2n+1 n=0<br />
Tato ˇrada má stejný (vnitˇrní) poloměr konvergence jako ˇrada<br />
∞ 1<br />
,<br />
p2n+1 n=0<br />
která konverguje pro |p| > 1. Pro Laplace˚uv obraz F(p) máme<br />
∞ (−1)<br />
F (p) =<br />
n<br />
(2n + 1) p2n+1 pro Re p > 1 .<br />
n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 253 / 369
9.2. Inverzní Laplaceova transformace<br />
• Nutná podmínka pro existenci vzoru v L0 je holomorfnost v<br />
jisté pravé polorovině a nulová limita funkce pro Re p → ∞. Do<br />
této kategorie spadají racionální funkce.<br />
9.11. Tvrzení. Je-li F (p) = P(p)<br />
Q(p) , kde P and Q jsou polynomy,<br />
st Q > st P, pak F je Laplaceovým obrazem funkce z L0.<br />
algoritmus: rozklad na částečné zlomky<br />
e at t n−1<br />
(n − 1)!<br />
.<br />
=<br />
1<br />
.<br />
(p − a) n<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 254 / 369
9.12. Pˇríklad.<br />
rozklad na částečné zlomky:<br />
Po výpočtu<br />
F(p) =<br />
F(p) =<br />
F(p) = 2(p2 − 1)<br />
(p2 .<br />
+ 1) 2<br />
A B<br />
+<br />
(p + j) 2 (p + j) +<br />
C D<br />
+<br />
(p − j) 2 (p − j) .<br />
1<br />
+<br />
(p + j) 2<br />
1<br />
(p − j) 2<br />
.<br />
= e −jt t + e j t t = 2t cos t .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 255 / 369
9.13. Pˇríklad.<br />
F(p) = A<br />
p + j +<br />
F(p) =<br />
1<br />
(p2 .<br />
+ 1) 2<br />
B C<br />
+<br />
(p + j) 2 p − j +<br />
±j je pólem druhého ˇrádu funkce F(p).<br />
A = res−j F(p) = lim<br />
p→−j [F(p) (p + j) 2 ] ′ =<br />
lim<br />
p→−j<br />
<br />
1<br />
(p − j) 2<br />
′<br />
C = A = − j<br />
4 .<br />
D<br />
.<br />
(p − j) 2<br />
=<br />
−2 j<br />
=<br />
(−j − j) 3 4 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 256 / 369
Vzor:<br />
B = lim<br />
p→−j F(p)(p + j) 2 =<br />
D = B .<br />
1<br />
= −1<br />
(−j − j) 2 4 .<br />
f (t) = − 1<br />
4 t e−jt − 1<br />
4 t ej t + j<br />
4 e−j t − j<br />
4 ejt =<br />
= − 1 1<br />
t cos t + sin t .<br />
2 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 257 / 369
Obecnější než racionální funkce jsou funkce holomorfní v okolí<br />
nekonečna mající v nekonečnu nulovou limitu.<br />
9.14. Věta. Věta o rozkladu<br />
Necht’ F (p) je holomorfní funkce v okolí nekonečna s Laurentovým<br />
rozvojem<br />
F(p) =<br />
∞<br />
n=1<br />
an<br />
.<br />
pn Pak F(p) je Laplaceovým obrazem funkce<br />
f (t) =<br />
∞<br />
n=1<br />
an<br />
(n − 1)! tn−1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 258 / 369
9.15. Pˇríklad.<br />
F(p) = 1 1<br />
−<br />
p 1!<br />
F(p) = 1 1<br />
e− p .<br />
p<br />
1 1<br />
+ − · · · =<br />
p2 2!p3 f (t) =<br />
∞<br />
k=0<br />
(−1) k<br />
k!<br />
∞<br />
k=0<br />
t k<br />
k! .<br />
(−1) k<br />
k!<br />
1<br />
.<br />
pk+1 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 259 / 369
Integrální formule a metoda reziduí<br />
odvození integrálního vyjádˇrení:<br />
Pˇredpoklady:<br />
f (t) ∈ L0, f ′ (t) po částech spojitá,<br />
f (t) = 0 pro t < 0. Existuje α > 0 tak, že<br />
Pro x > α je<br />
|f (t)| ≤ M e α t , t ≥ 0 .<br />
f (t) e −x t ∈ L 1 (R) .<br />
Zvolme pevně p = x + j y, kde x > α , y ∈ R.<br />
Počítejme hodnotu Laplaceovy transformace v bodě p:<br />
∞<br />
Lf (p) = F(x + j y) = (f (t) e −x t ) e −j y t dt .<br />
Jinými slovy<br />
F(x + j y) = F{f (t)e −xt }(y) .<br />
0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 260 / 369
M˚užeme použít větu o inverzní Fourierově transformaci<br />
aplikovanou na funkci<br />
−x t<br />
f (t) e<br />
V bodech spojitosti funkce f (t) máme:<br />
f (t) e −x t = 1<br />
∞<br />
F(x + j y) e<br />
2π<br />
j y t dy t > 0 .<br />
Odtud<br />
−∞<br />
f (t) = 1<br />
∞<br />
e<br />
2π −∞<br />
x t e j y t F(x + j y) dy .<br />
Tento integrál se dá interpretovat jako kˇrivkový integrál pˇres<br />
pˇrímku: Zvolme nejdˇríve úsečku, CR, s krajními body<br />
Parametrizace této úsečky je<br />
x − j R , x + j R , R > 0 .<br />
ϕ(y) = x + j y , ϕ ′ (y) = j; y ∈< −R, R > .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 261 / 369
Tedy<br />
<br />
C R<br />
F(p)e p t dp =<br />
R<br />
−R<br />
F(x + j y) e x t e j y t j dy .<br />
<br />
1<br />
F(p) e<br />
2πj CR p t dp = 1<br />
R<br />
F(x + jy) e<br />
2π −R<br />
xt+j yt dy .<br />
Limitou pro R → ∞ dostaneme<br />
Riemann˚uv–Mellin˚uv vzorec<br />
f (t) = 1<br />
2πj<br />
<br />
Lx<br />
F(p) e p t dp .<br />
Lx ... Bromwichova linie. Pˇrímka daná parametrizací<br />
ϕ(t) = x + j t t ∈ (−∞, ∞) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 262 / 369
Též používáme zápis<br />
f (t) = 1<br />
∞j+x<br />
F(p) e<br />
2π j −∞j+x<br />
p t dp<br />
Všimněme si, že na x, x > α nezáleží.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 263 / 369
Jak vypočítat integrál ∞j+a<br />
−∞j+a F(p) ep t dp, a > 0 ?<br />
Pˇredpokládejme, že uvedený integrál existuje.<br />
Technické pˇredpoklady:<br />
1 Laplace˚uv obraz, F(p), se dá rozšíˇrit na funkci holomorfní<br />
v C vyjma spočetně mnoha izolovaných singulárních bod˚u<br />
p1, p2, . . . ležících v polorovině<br />
{p ∈ C | Re p < a}<br />
2 Existuje posloupnost polokružnic<br />
Kn = {p ∈ C | |p − a| = Rn, Re p ≤ a}<br />
s poloměry Rn → ∞ tak, že<br />
<br />
F(p) e p t dp → 0 pro n → ∞ .<br />
Kn<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 264 / 369
Technické pˇredpoklady implikují pomocí reziduové věty, že<br />
∞j+a<br />
F(p) e p t dp = 2πj <br />
respn F(p) e p t .<br />
−∞j+a<br />
Metoda reziduí:<br />
f (t) = <br />
n<br />
n<br />
p t<br />
respn F(p) e<br />
Dá se použít u některých d˚uležitých funkcí jako racionální<br />
funkce, a obrazy periodických funkcí. Dá odhad vzoru, ve<br />
všech pˇrípadech je možno výsledek ověˇrit zkouškou.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 265 / 369
Testovací pˇríklady:<br />
9.16. Pˇríklad.<br />
9.17. Pˇríklad.<br />
f (t) = resja<br />
f (t) = res0<br />
F(p) =<br />
F(p) = 1<br />
p 2<br />
ep t<br />
= lim<br />
p2 p→0 (ep t ) ′ = te 0 = t .<br />
p<br />
p 2 + a 2<br />
p<br />
p 2 + a 2 ep t + res−ja<br />
a > 0 .<br />
p<br />
p 2 + a 2 ep t =<br />
= aj<br />
2 aj ej a t + −aj<br />
−2 aj e−j a t = 1<br />
2 eaj t + 1<br />
2 e−aj t = cos at .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 266 / 369
9.18. Poznámka. Pokud je singularita pn pólem prvního ˇrádu<br />
funkce F(p), pak<br />
9.19. Pˇríklad.<br />
respn F(p) e p t = (respn F(p)) · e pn t .<br />
F(p) =<br />
1<br />
(p − 1)(p − 2)(p − 3) .<br />
f (t) = e t res1 F(p) + e 2t res2 F(p) + e 3t res3 F(p) =<br />
= et<br />
2 − e2t + 1<br />
2 e3t .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 267 / 369
9.20. Pˇríklad.<br />
F(p) =<br />
1<br />
(p − 1) 2 (p − 2)(p − 3)<br />
e<br />
res1<br />
pt<br />
(p − 1) 2 <br />
e<br />
= lim<br />
(p − 2)(p − 3) p→1<br />
pt ′<br />
=<br />
(p − 2)(p − 3)<br />
<br />
t e<br />
= lim<br />
p→1<br />
pt<br />
(p − 2)(p − 3) −<br />
2p − 5<br />
(p − 2) 2 <br />
ept =<br />
(p − 3) 2<br />
3<br />
4 et + t 1<br />
2 et .<br />
Ostatní singularity jsou jednoduché póly a tedy<br />
f (t) = 3<br />
4 et + t 1<br />
2 et − e 2t + 1<br />
4 e3t .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 268 / 369
9.21. Pˇríklad.<br />
F(p) =<br />
singularity ±j, póly druhého ˇrádu<br />
resj<br />
Podobně<br />
Závěr:<br />
ept (p2 <br />
e<br />
= lim<br />
+ 1) 2 p→j<br />
pt<br />
(p + j) 2<br />
′<br />
1<br />
(p2 .<br />
+ 1) 2<br />
=<br />
te<br />
= lim<br />
p→j<br />
pt (p + j) 2 − ept2(p + j)<br />
(p + j) 4<br />
= −t ejt<br />
4<br />
res−j<br />
ept (p2 −te−jt<br />
=<br />
+ 1) 2 4<br />
f (t) = − 1 1<br />
t cos t +<br />
2 2<br />
+ 1<br />
4 je−jt .<br />
sin t .<br />
− jejt<br />
4 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 269 / 369
9.22. Pˇríklad.<br />
F(p) =<br />
1<br />
p(1 + e p ) .<br />
Singularity: 0, e p = −1, tj. pn = (2n + 1)jπ, n ∈ Z<br />
Aplikujeme metodu reziduí:<br />
res0<br />
Pro pn = (2n + 1) πj<br />
respn<br />
e pt<br />
p(1 + e p )<br />
e pt<br />
p(1 + e p ) =<br />
= etpn<br />
pn e pn<br />
<br />
=−1<br />
1 1<br />
=<br />
1 + e0 2 .<br />
et(2n+1) πj<br />
= −<br />
(2n + 1)πj .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 270 / 369
f (t) = 1<br />
2 −<br />
= 1<br />
2 −<br />
∞<br />
n=−∞<br />
∞<br />
n=−∞<br />
et (2n+1)π j<br />
(2n + 1)π j =<br />
cos[(2n + 1) π t] + j sin[(2n + 1) π t]<br />
(2n + 1)πj<br />
= 1 2<br />
−<br />
2 π<br />
∞<br />
n=0<br />
Dostáváme takto periodickou funkci s periodou<br />
= 2.<br />
T = 2π<br />
π<br />
=<br />
sin[(2n + 1)π t]<br />
(2n + 1)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 271 / 369<br />
.
Na základě této informace jsme dokonce schopni explicitně<br />
stanovit danou funkci.<br />
Tedy<br />
G(p) =<br />
1<br />
p(1 + ep G(p)<br />
=<br />
) 1 − e−2p 1 − e−2p<br />
p(1 + ep ) = (1 − e−p )(1 + e−p )<br />
p(1 + e−p )ep =<br />
= 1<br />
p e−p − 1<br />
p e−2p . = 1(t − 1) − 1(t − 2) .<br />
Budeme se ted’ věnovat zobecnění této metody.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 272 / 369
Metoda odštěpení pol˚u<br />
Motivace:<br />
kvazipolynom: p(t) e at . . . p(t) je polynom, a ∈ C.<br />
Laplace˚uv vzor Laplace˚uv obraz<br />
součet kvazipolynom˚u racionální funkce P(p)<br />
Q(p)<br />
součet funkcí "kvazipolynom·1(t − a)” součet funkcí tvaru P(p)<br />
Q(p) e−ap , a ≥ 0.<br />
konečné impulsy dané kvazipolynomy součet funkcí tvaru P(p)<br />
Q(p) e−ap , a ≥ 0.<br />
periodické funkce z kvazipolynom˚u součet funkcí P(p) e<br />
Q(p)<br />
−ap<br />
1−e−pT , a ≥ 0, T > 0<br />
součet všech funkcí výše součty součet všech funkcí výše<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 273 / 369
Takovéto funkce vznikají pˇri ˇrešení systém˚u diferenciálních a<br />
integro-diferenciálních rovnic, popisují lineární dynamické<br />
systémy. Typická situace:<br />
Y (p)<br />
<br />
= F(p)<br />
<br />
· X(p)<br />
<br />
L−obraz výstupu pˇrenosová funkce L−obraz vstupu<br />
Pˇrenosová funkce je obvykle ryze lomená funkce, jejíž<br />
singularity mají zápornou reálnou část.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 274 / 369
To nás vede k úloze nalézt vzor k funkci typu<br />
F(p) = P(p) e<br />
Q(p)<br />
−ap<br />
, a ≥ 0, T > 0<br />
1 − e−pT Je možno použít metodu reziduí pro pˇrípad a = 0 a pak posun<br />
pro obecné a, singularity jsou dvojího typu:<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 275 / 369
1 Koˇreny polynomu Q(p).<br />
Je-li p1 koˇren polynomu Q, pak je pólem ˇrádu l funkce<br />
F(p). Výpočet rezidua vede k funkci typu<br />
pl−1(t)e p 1 t , kde pl−1 je polynom stupně l − 1 .<br />
Vyplyne z konkrétních výpočt˚u.<br />
2 Koˇreny rovnice e −Tp = 1, tj. body<br />
2πnj<br />
T<br />
n = 0, ±1, ±2, . . .<br />
Nekonečně těchto bod˚u není koˇrenem polynomu Q. V<br />
těchto bodech má F (p) jednonásobné poly. Výpočtem<br />
reziduí pak dostaneme funkce typu<br />
cn e 2nπj<br />
T t , cn ∈ C .<br />
Součet těchto funkcí je periodická funkce s periodou T > 0<br />
(Dostaneme ji ve formě Fourierovy ˇrady).<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 276 / 369
Závěr: Vzor f (t) je tvaru<br />
f (t) = h(t)<br />
<br />
+ g(t)<br />
<br />
součet kvazipolynom˚u, neustálená složka periodická funkce s periodou T<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 277 / 369
9.23. Pˇríklad.<br />
vzor f (t)<br />
g(t) je funkce s periodou 3.<br />
res2<br />
F(p) = 1<br />
p − 2 ·<br />
1<br />
.<br />
1 − e−3p 1<br />
p − 2 ·<br />
f (t) = A e 2t + g(t) .<br />
1<br />
1 − e −3p ept =<br />
1<br />
e2t<br />
1 − e−6 1<br />
A = .<br />
1 − e−6 F(p) = 1<br />
p − 2 ·<br />
1 A G(p)<br />
= +<br />
1 − e−3p p − 2 1 − e−3p G(p) je obraz konečného impulzu délky 3 generující funkci g(t).<br />
Pronásobením funkcí<br />
(1 − e −3p )<br />
dostáváme<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 278 / 369
G(p) = 1<br />
p − 2 − A(1 − e−3p )<br />
p − 2<br />
.<br />
=<br />
g(t) = (1 − A)e 2t<br />
g(t) = −0, 002458 e 2t<br />
Dále se periodicky opakuje.<br />
Napˇr.<br />
.<br />
= e 2t − A e 2t + A e 2(t−3) 1(t − 3) .<br />
t ∈< 0, 3)<br />
t ∈< 0, 3)<br />
f (100) = Ae 200 + g(100) = Ae 200 + g(99 + 1) =<br />
= Ae 200 + (1 − A)e 2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 279 / 369
9.24. Pˇríklad.<br />
0.. dvojnásobný pól<br />
F(p) =<br />
res0 F (p)e pt <br />
pept = lim<br />
p→0 1 − e−p ′<br />
=<br />
kde g(t) má periodu 1.<br />
1<br />
p(1 − e −p ) .<br />
= lim<br />
p→0 e pt (1 + tp)(1 − e−p ) − pe −p<br />
(1 − e −p ) 2<br />
(2 krát L’Hospitalovo pravidlo)<br />
f (t) =<br />
2t + 1<br />
2<br />
+ g(t) ,<br />
=<br />
= 2t + 1<br />
2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 280 / 369<br />
.
Fourierovo vyjádˇrení g(t): n = 0<br />
g(t) = <br />
res2nπj F(p)e pt = e2nπtj<br />
2nπj<br />
n∈Z,n=0<br />
e 2nπtj<br />
2nπj<br />
= 1<br />
π<br />
∞<br />
n=1<br />
sin 2nπt<br />
n<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 281 / 369<br />
.
Explicitní vyjádˇrení:<br />
F(p) =<br />
1<br />
p(1 − e −p )<br />
1 1 G(p)<br />
= + +<br />
p2 2p 1 − e−p G(p) = 1 1<br />
−<br />
p p2 (1 − e−p ) − 1<br />
2p (1 − e−p ) . =<br />
f (t) = t + 1<br />
2<br />
Tedy<br />
.<br />
= 1 − t + (t − 1)1(t − 1) − 1<br />
2<br />
1<br />
+ 1(t − 1) .<br />
2<br />
g(t) = 1<br />
− t<br />
2<br />
t ∈< 0, 1) .<br />
f (t) = t + 1 1<br />
+ − t = 1<br />
2 2<br />
t ∈< 0, 1) .<br />
1 1<br />
+ g(t − 1) = t + + − (t − 1) = 2<br />
2 2<br />
t ∈< 1, 2) .<br />
f (t) = n t ∈< n − 1, n) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 282 / 369
9.25. Pˇríklad. Určete analyticky inverzní Laplace˚uv obraz<br />
funkce<br />
1<br />
F(p) =<br />
(p + 1) (p + 2) (1 − e−p ) .<br />
Perioda je 1.<br />
res−1 e pt F(p) = e−t<br />
1 − e = A e−t ; A = 1<br />
1 − e<br />
res−2 e pt F(p) = − e−2t<br />
1 − e 2 = B e−2 t ; B = −1<br />
1 − e 2<br />
1<br />
(p + 1) (p + 2) (1 − e−p A B G(p)<br />
= + +<br />
) p + 1 p + 2 1 − e−p Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 283 / 369
Odtud<br />
G(p) =<br />
=<br />
1<br />
(p + 1) (p + 2) − A (1 − e−p )<br />
−<br />
p + 1<br />
B (1 − e−p )<br />
p + 2<br />
−1 1<br />
+<br />
p + 2 p + 1 − A (1 − e−p )<br />
−<br />
p + 1<br />
B (1 − e−p )<br />
p + 2<br />
Pro t ∈< 0, 1) je periodická část<br />
g(t) = −e −2 t + e −t − A e −t − B e −2 t = (1 − A) e −t −2 t<br />
− (1 + B) e<br />
Závěr:<br />
f (t) = A e −t + B e −2 t + g(t) .<br />
Predikce: pro velké t je f (t) skoro periodická funkce.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 284 / 369
10.1. Pˇrímá Z -transformace<br />
10. Z -transformace<br />
Motivace: zpracování diskrétního signálu, vzorkování,<br />
umožňuje použít analytické operace na diskrétní objekty.<br />
Z : (an) ∞ n=0<br />
↦→ F(z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
an<br />
.<br />
zn Otázka: Pro jaké posloupnosti (an) ∞ n=0 konverguje ˇrada<br />
∞ n=0 an<br />
zn v jistém okolí nekonečna?<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 285 / 369
10.1. Tvrzení. ˇRada<br />
∞<br />
n=0<br />
konverguje v nějakém okolí nekonečna právě tehdy když existují<br />
konstanty M ≥ 0 a c ∈ R tak, že<br />
|an| ≤ M e cn<br />
an<br />
z n<br />
pro všechna n . (5)<br />
D˚ukaz: Pˇredpokládejme, že ∞ n=0 an<br />
zn konverguje ve vnějšku<br />
kruhu {z ∈ C | |z| > R ′ }. Její součet<br />
F(z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
an<br />
.<br />
zn je na této oblasti holomorfní funkce.<br />
Zvolme kladně orientovanou kružnici C se stˇredem v počátku,<br />
ležící v {z ∈ C | |z| > R ′ }, tj. s poloměrem R > R ′ > 0.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 286 / 369
Podle integrálního vyjádˇrení koeficient˚u Laurentovy ˇrady (tady<br />
je tˇreba ˇradu ∞ n=0 an<br />
zn interpretovat jako ˇradu se stˇredem v<br />
počátku) máme<br />
<br />
<br />
|an| = <br />
1 F(z) <br />
<br />
dz<br />
2π j C z−n+1 ≤<br />
≤ 1<br />
2π ·<br />
1<br />
R<br />
Tedy<br />
1−n · max<br />
z∈C<br />
|an| ≤ Me n ln R .<br />
|F(z)| · 2π R =<br />
= R n · max<br />
z∈C |F(z)| .<br />
<br />
=M<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 287 / 369
Opačná implikace, pˇredpokádejme, že platí odhad (5):<br />
ˇRada<br />
|an|<br />
|z| n ≤ M (ec ) n<br />
|z|<br />
∞<br />
n=0<br />
M (ec ) n<br />
|z| n<br />
n .<br />
je pro |z| > ec geometrická ˇrada s absolutní hodnotou<br />
kvocientu<br />
ec < 1 .<br />
|z|<br />
Dle srovnávacího kritéria konverguje ˇrada<br />
∞<br />
n=0<br />
an<br />
z n pro všechna z s |z| > ec .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 288 / 369
Značení:<br />
Z0 ... množina všech komplexních posloupností (an) ∞ n=0 , které<br />
jsou nejvýše exponenciálního r˚ustu. Tj.<br />
kde M ≥ 0, c ∈ R.<br />
|an| ≤ M e cn<br />
pro všechna n ,<br />
Ekvivalentně, pro (an) ∞ n=0 ∈ Z0 existuje M ≥ 0 a a > 0 tak, že<br />
|an| ≤ M a n<br />
pro všechna n .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 289 / 369
Každá omezená posloupnost je v Z0<br />
Každá posloupnost (p(n)) ∞ n=0 , kde p je polynom, je v Z0:<br />
Tedy napˇríklad<br />
lim<br />
n→∞<br />
p(n)<br />
= 0 .<br />
en |p(n)| ≤ e n<br />
pro dostatečně velká n.<br />
Vzorkování kvazipolynomu je v Z0.<br />
(nn ) ∞ n=0 ∈ Z0<br />
n<br />
lim<br />
n→∞<br />
n<br />
= lim<br />
ecn n→∞ en(ln n−c) = ∞ .<br />
(n!) ∞ n=0 ∈ Z0.<br />
Podílové kritérium pro ˇradu ∞ n=0 n!<br />
zn :<br />
(n + 1)! |z|n<br />
·<br />
|z| n+1 n!<br />
= n + 1<br />
|z|<br />
Nekonverguje v žádném bodě.<br />
→ ∞ , n → ∞ .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 290 / 369
10.2. Definice. Z-obraz posloupnosti (an) ∞ n=0 ∈ Z0 je funkce<br />
Značení:<br />
F(z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
an<br />
.<br />
zn Z (an) ∞ n=0 = F(z) , (an) ∞ n=0<br />
.<br />
= F(z)<br />
K0 ... funkce holomorfní v okolí ∞ mající v ∞ vlastní limitu.<br />
10.3. Věta. Z -transformace je prosté zobrazení množiny Z0 na<br />
množinu K0.<br />
D˚ukaz: Věta o Laurentově rozvoji.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 291 / 369
10.4. Pˇríklad.<br />
z = 0 .<br />
10.5. Pˇríklad.<br />
(an) ∞ n=0<br />
(an) ∞ n=0<br />
= (1, 2, 0, 4, 0, 0, . . .) .<br />
F(z) = 1 + 2<br />
z<br />
4<br />
+ .<br />
z3 = (0, 0, . . . , 1<br />
index m<br />
, 0, 0, . . .) = (δmn) ∞ n=0 .<br />
F(z) = 1<br />
z m<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 292 / 369
10.6. Pˇríklad.<br />
10.7. Pˇríklad.<br />
|z| > 1.<br />
F(z) =<br />
(an) ∞ n=0 =<br />
F(z) =<br />
n=0<br />
∞ 1<br />
n! n=0<br />
∞ 1 1 1<br />
= e<br />
n! zn n=0<br />
z = 0 .<br />
(an) ∞ n=0 = (c)∞ n=0 .<br />
∞ c 1<br />
= c<br />
zn 1 − 1/z<br />
z .<br />
= cz<br />
z − 1 ,<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 293 / 369
10.8. Pˇríklad.<br />
|z| > 1.<br />
F(z) = 1<br />
z<br />
(an) ∞ n=0<br />
+ 1<br />
z<br />
= (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) .<br />
1<br />
+ + · · · =<br />
3 z5 1<br />
z =<br />
1 − 1/z2 z<br />
z 2 − 1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 294 / 369
10.9. Pˇríklad. Víme, že se posloupnost (an) ∞ n=0 zobrazí na<br />
funkci F(z). Jaká posloupnost se zobrazí na funkci F(z 2 )?<br />
Tedy<br />
má Z -obraz F(z 2 ).<br />
F(z) =<br />
F (z 2 ) =<br />
∞<br />
n=0<br />
∞<br />
n=0<br />
an<br />
z n<br />
an<br />
z 2n<br />
(a0, 0, a1, 0, a2, 0, . . .)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 295 / 369
10.10. Pˇríklad.<br />
|z| > |a|.<br />
(an) ∞ n=0 = (an ) ∞ n=0 , a ∈ C<br />
F(z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
an z<br />
=<br />
zn z − a .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 296 / 369
10.11. Věta. Základní gramatika Z -transformace<br />
Pˇredpokládejme, že (an) ∞ n=0 ∈ Z0 a (bn) ∞ n=0 ∈ Z0, pˇričemž<br />
Pak platí<br />
1 (Linearita)<br />
Z (an) ∞ n=0<br />
= F(z) .<br />
Z (c1 an + c2 bn) ∞ n=0 = c1Z (an) ∞ n=0 + c2 Z (bn) ∞ n=0<br />
pro libovolná c1, c2 ∈ C.<br />
2 (Multiplikace)<br />
pro všechna a = 0.<br />
3 (Derivace obrazu)<br />
Z (a n an) ∞ n=0<br />
= F<br />
<br />
z<br />
,<br />
a<br />
Z (n an) ∞ n=0 = −zF ′ (z) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 297 / 369
D˚ukaz:<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Z (c1 an + c2 bn) ∞ n=0 =<br />
∞<br />
= c1<br />
n=0<br />
an<br />
+ c2<br />
zn Z (a n an) ∞ n=0 =<br />
∞<br />
n=0<br />
∞<br />
n=0<br />
F ′ <br />
∞<br />
(z) =<br />
n=0<br />
−zF ′ (z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
c1 an + c2 bn<br />
z n<br />
=<br />
bn<br />
z n = c1Z (an) ∞ n=0 + c2Z (bn) ∞ n=0 .<br />
an an<br />
=<br />
zn an<br />
zn ′<br />
=<br />
∞<br />
n=0<br />
∞<br />
n=0<br />
n=0<br />
an<br />
( z<br />
<br />
z<br />
= F .<br />
a<br />
)n a<br />
∞ 1<br />
−nan .<br />
zn+1 nan<br />
z n = Z (n an) ∞ n=0 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 298 / 369
10.12. Pˇríklad.<br />
(c + 2 a n ) ∞ n=0<br />
Z (c + 2 a n ) ∞ n=0 = Z (c)∞ n=0 + 2Z (an ) ∞ n=0 =<br />
10.13. Pˇríklad.<br />
F(z) = 1<br />
<br />
z<br />
2j z − e<br />
= cz z<br />
+ 2<br />
z − 1 z − a<br />
(sin ωn) ∞ n=0 .<br />
sin nω = 1<br />
2j (ejωn − e −jωn ) .<br />
jω −<br />
z<br />
z − e−jω <br />
|z| > max(1, |a|)<br />
= 1 z<br />
2j<br />
2 − ze−jω − z2 + zejω =<br />
z 2 − 2z cos ω + 1<br />
z sin ω<br />
z 2 − 2z cos ω + 1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 299 / 369<br />
=
10.14. Pˇríklad.<br />
Z (a n sin nω) ∞ n=0 = <br />
10.15. Pˇríklad.<br />
Z (n) ∞ n=0<br />
2 z<br />
a<br />
(a n sin nω) ∞ n=0<br />
z<br />
a sin ω<br />
− 2 z<br />
a cos ω + 1<br />
(n) ∞ n=0 .<br />
′<br />
z<br />
= −z<br />
z − 1<br />
=<br />
=<br />
=<br />
az sin ω<br />
z2 .<br />
− 2az cos ω + a2 z<br />
(z − 1) 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 300 / 369
10.16. Pˇríklad.<br />
Z (n 2 ) ∞ n=0<br />
<br />
= −z<br />
z<br />
(z − 1) 2<br />
(n 2 ) ∞ n=0<br />
′<br />
= −z (z − 1)2 − z2(z − 1)<br />
(z − 1) 4<br />
Takto je možno získat obraz každého polynomu.<br />
10.17. Pˇríklad.<br />
F(z) =<br />
( z<br />
a<br />
(a n n) ∞ n=0<br />
z<br />
a<br />
− 1)2 =<br />
az<br />
.<br />
(z − a) 2<br />
= z2 + z<br />
.<br />
(z − 1) 3<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 301 / 369
10.18. Věta. Posun doprava<br />
Necht’ (an) ∞ n=0 ∈ Z0 a k je nezáporné celé číslo. Definujme<br />
posloupnost (bn) ∞ n=0 vztahem<br />
Pak<br />
bn =<br />
<br />
an−k jestliže n ≥ k<br />
0 jestliže n < k .<br />
Z (bn) ∞ n=0<br />
kde F(z) je obraz (an) ∞ n=0 .<br />
Též:<br />
(an−k1(n − k)) ∞ n=0<br />
k<br />
1<br />
= F(z) ,<br />
zk .<br />
= 1<br />
F (z) .<br />
zk <br />
( 0, . . . 0, a0, a1, . . .) . = 1<br />
F(z) .<br />
zk Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 302 / 369
D˚ukaz:<br />
Z (bn) ∞ n=0<br />
= a0<br />
z<br />
10.19. Pˇríklad.<br />
z<br />
+ · · ·<br />
zk+2 = 1<br />
zk (a0 + a1 a2 1<br />
+ + · · · ) = F(z) .<br />
z z2 zk a1 a2<br />
+ +<br />
k k+1<br />
(0, 0, 0, 1, 1, 1, · · · )<br />
(1) ∞ n=0<br />
.<br />
= z<br />
z − 1<br />
(0, 0, 0, 1, 1, 1, · · · ) . = 1<br />
z3 z<br />
z − 1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 303 / 369
10.20. Věta. Translace vlevo<br />
Pˇredpokládejme, že (an) ∞ n=0 ∈ Z0 má Z −obraz F(z) a k je celé<br />
nezáporné číslo. Definujme posloupnost (bn) ∞ n=0 rovností<br />
Pak<br />
bn = an+k<br />
Z (bn) ∞ n=0 = zk<br />
n = 0, 1, . . .<br />
k−1 an<br />
F(z) −<br />
zn <br />
.<br />
(ak, ak+1, . . .) . = z k<br />
<br />
F(z) − a0 − a1<br />
z<br />
n=0<br />
a2 ak−1<br />
− − · · · −<br />
z2 zk−1 <br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 304 / 369
D˚ukaz:<br />
z k<br />
<br />
F(z) −<br />
Z (bn) ∞ n=0 = ak + ak+1<br />
z<br />
k−1 <br />
n=0<br />
= z k<br />
<br />
ak ak+1<br />
+<br />
zk z<br />
10.21. Pˇríklad.<br />
F(z) = z 5<br />
<br />
an<br />
zn <br />
= z k<br />
<br />
∞<br />
an<br />
n=0<br />
k+1 + ak+2<br />
−<br />
zn <br />
+ · · ·<br />
zk+2 ak+2<br />
+ + · · ·<br />
z2 k−1 <br />
n=0<br />
(sin 5ω, sin 6ω, . . .)<br />
z sin ω<br />
z 2 − 2z cos ω + 1<br />
−sin ω<br />
z<br />
an<br />
zk <br />
=<br />
= ak + ak+1<br />
z<br />
−sin 2ω<br />
z<br />
ak+2<br />
+ + · · ·<br />
z2 3ω 4ω<br />
−sin −sin<br />
2 z3 z4 <br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 305 / 369
10.22. Pˇríklad.<br />
((n + 3) 2 ) ∞ n=0<br />
(n 2 ) ∞ n=0<br />
.<br />
= z2 + z<br />
(z − 1)<br />
F(z) = z 3<br />
<br />
z2 + z 1 4<br />
− 0 − −<br />
(z − 1) 3 z z2 <br />
=<br />
3 .<br />
= z5 + z 4<br />
(z − 1) 3 − z2 − 4z .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 306 / 369
Diference posloupnosti (an) ∞ n=0 ∈ Z0 je definována rovností<br />
Diference vyšších čád˚u:<br />
Pˇríklady:<br />
∆(an) ∞ n=0 = (an+1 − an) ∞ n=0 .<br />
∆ k (an) ∞ n=0 = ∆∆k−1 (an) ∞ n=0 .<br />
∆ 2 (an) ∞ n=0 = ∆(an+1−an) ∞ n=0 = (an+2−an+1−(an+1−an)) ∞ n=0 =<br />
∆(n) ∞ n=0 = (1)∞ n=0 .<br />
∆ 2 (n) ∞ n=0 = (0)∞ n=0 .<br />
(an+2 − 2an+1 + an) ∞ n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 307 / 369
10.23. Tvrzení. Necht’ (an) ∞ n=0 ∈ Z0 se Z -obrazem F(z). Pak<br />
D˚ukaz:<br />
Z (∆an) ∞ n=0 = (z − 1)F (z) − za0 .<br />
(an+1) ∞ n=0 = (a1, a2, . . .) . = z[F(z) − a0] .<br />
∆(an) ∞ n=0<br />
.<br />
= zF (z) − za0 − F (z) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 308 / 369
10.24. Definice. Pˇredpokládejme, že<br />
(an) ∞ n=0 , (bn) ∞ n=0 ∈ Z0.<br />
Konvoluce těchto posloupností je posloupnost<br />
definovaná vztahem<br />
10.25. Pˇríklad.<br />
cn =<br />
(cn) ∞ n=0 = (an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 ,<br />
n<br />
k=0<br />
ak bn−k<br />
c0 = a0 b0<br />
c1 = a0 b1 + a1 b0<br />
n = 0, 1, . . . .<br />
c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0<br />
(1) ∞ n=0 ∗ (1)∞ n=0 = (n + 1)∞ n=0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 309 / 369
10.26. Pˇríklad.<br />
(1) ∞ n=0 ∗ (en ) ∞ n=0 = (1, 1 + e, 1 + e + e2 , . . .)<br />
10.27. Pˇríklad. Co je konvoluce s posloupností (0, 1, 0, 0, . . .)?<br />
(0, 1, 0, 0, . . .) ∗ (a0, a1, a2, . . .) = (0, a0, a1, . . .)<br />
10.28. Pˇríklad. Co je konvoluce s posloupností<br />
(0, 0, . . . , 0,<br />
1, 0, . . .) = (δkn)<br />
<br />
k<br />
∞ n=0 ?<br />
(δkn) ∞ n=0 ∗ (an) ∞ n=0<br />
Posun doprava o k-pozic.<br />
= (0, 0, . . . , 0,<br />
a0, a1, . . .)<br />
<br />
k<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 310 / 369
10.29. Věta. Věta o konvoluci<br />
Pˇredpokládejme, že (an) ∞ n=0 , (bn) ∞ n=0<br />
Z (an) ∞ n=0 = F(z), Z (bn) ∞ n=0 = G(z).<br />
Pak<br />
D˚ukaz:<br />
F(z)G(z) =<br />
∈ Z0,<br />
Z [(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 ] = F(z) · G(z) .<br />
∞<br />
k=0<br />
=<br />
ak<br />
·<br />
zk ∞<br />
m=0<br />
∞<br />
<br />
n<br />
n=0<br />
k=0<br />
bm<br />
=<br />
zm akbn−k<br />
1<br />
z n = Z [(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 ]<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 311 / 369
10.30. Pˇríklad.<br />
10.31. Pˇríklad.<br />
(n + 1) ∞ n=0 = (1)∞ n=0 ∗ (1)∞ n=0<br />
(1) ∞ n=0 ∗ (en ) ∞ n=0<br />
.<br />
= z<br />
z − 1<br />
z<br />
z − e =<br />
2 . z<br />
=<br />
z − 1<br />
z 2<br />
(z − 1)(z − e) .<br />
10.32. Pˇríklad. Určete posloupnost (an) ∞ n=0 , pro kterou platí<br />
Z (an) ∞ n=0<br />
(an) ∞ n=0 ∗ (2n ) ∞ n=0 = (4n ) ∞ n=0 .<br />
Z (an) ∞ n=0 ·<br />
z z<br />
=<br />
z − 2 z − 4<br />
z − 2 2<br />
= = 1 +<br />
z − 4 z − 4<br />
.<br />
= (δn0 + 2 · 1(n − 1)4 n−1 ) ∞ n=0 = (1, 2, 8, 32, . . .) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 312 / 369
10.33. Pˇríklad. Pro jakou posloupnost (an) ∞ n=0 platí, že<br />
pro všechna (bn) ∞ n=0 ∈ Z0.<br />
(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 = (bn) ∞ n=0<br />
F(z) · G(z) = G(z)<br />
(an) ∞ n=0<br />
F(z) = 1<br />
= (1, 0, 0, . . .) .<br />
D˚usledek: Konvolutivní součin je komutativní, asociativní a má<br />
jednotkový prvek.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 313 / 369
Význam konvoluce<br />
vstup ↦→ výstup<br />
L : Z0 ↦→ Z0<br />
1 L je translačně invariantní, tj. jestliže<br />
L(an) ∞ n=0 = (bn) ∞ n=0 , pak<br />
2 L je lineární, tj<br />
L(1(n − k)an−k) ∞ n=0 = (1(n − k)bn−k) ∞ n=0 .<br />
L(c1(an) ∞ n=0 +c2(bn) ∞ n=0 +· · · ) = c1L(an) ∞ n=0 +c2L(bn) ∞ n=0 +· · ·<br />
Pˇredpokládejme, že<br />
L(1, 0, . . .) = (b0, b1, . . .)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 314 / 369
vstup:<br />
výstup:<br />
a0(1, 0, 0, . . .) + a1(0, 1, 0, 0, . . .) + . . .<br />
a0 · (b0, b1, b2, b3, . . .) +<br />
a1 · (0, b0, b1, b2 . . .) +<br />
a2 · (0, 0, b0, b1, . . .) +<br />
. . . . . . . . .<br />
(a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b0, . . . )<br />
Závěr:<br />
Odezva na (an) ∞ n=0 je<br />
(an) ∞ n=0 ∗ (bn) ∞ n=0 = (an) ∞ n=0 ∗ L(1, 0, 0, . . .) nebo-li<br />
L(an) ∞ n=0 = (an) ∞ n=0<br />
∗ L(1, 0, 0, . . .) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 315 / 369
10.34. Tvrzení. Je-li Z (an) ∞ n=0 = F(z), pak<br />
D˚ukaz:<br />
n <br />
k=0<br />
ak<br />
10.35. Pˇríklad.<br />
∞<br />
<br />
n<br />
Z<br />
k=0<br />
<br />
n<br />
Z<br />
k=0<br />
ak<br />
∞<br />
n=0<br />
= zF (z)<br />
= (an)<br />
n=0<br />
∞ n=0 ∗ (1)∞n=0 <br />
k = z<br />
z − 1 ·<br />
z<br />
(z − 1) 2<br />
z − 1 .<br />
.<br />
= z<br />
F(z) .<br />
z − 1<br />
.<br />
=<br />
z 2<br />
(z − 1) 3<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 316 / 369
10.2. Inverzní Z -transformace<br />
Z −1 : K0 ↦→ Z0<br />
F(z) ↦→ (an) ∞ n=0<br />
F(z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
Metody výpočtu:<br />
• rozvoj v Laurentovu ˇradu<br />
• integrální forma, reziduová věta<br />
an = 1<br />
2πj<br />
<br />
C<br />
an<br />
.<br />
zn F(z)z n−1 dz<br />
kde C je kladně orientovaná kružnice se stˇredem v počátku,<br />
ležící v oblasti, kde je obraz holomorfní<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 317 / 369
Podle reziduové věty:<br />
an = <br />
resz (F(z) z i n−1 ) .<br />
Suma pˇres singularity ležící uvnitˇr C.<br />
• pˇrímé vzorce<br />
z i<br />
a0 = lim<br />
z→∞ F(z)<br />
a1 = lim z(F(z) − a0)<br />
z→∞<br />
a2 = lim z<br />
z→∞ 2<br />
<br />
F(z) − a0 − a1<br />
<br />
z<br />
an+1 = (−1) n+1 z<br />
lim<br />
z→∞<br />
n+2<br />
(n + 1)! [znF(z)] (n+1) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 318 / 369
• známé obrazy<br />
• konvoluce<br />
10.36. Pˇríklad.<br />
sin 1<br />
z =<br />
∞<br />
n=0<br />
F(z) = sin 1<br />
z<br />
(−1) n<br />
1 1<br />
.<br />
(2n + 1)! z2n+1 a2n+1 = (−1) n 1<br />
(2n + 1)!<br />
a2n = 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 319 / 369
10.37. Pˇríklad.<br />
F(z) =<br />
1<br />
(z − 1)(z − e)<br />
F(z) = 1<br />
<br />
1 1<br />
−<br />
1 − e z − 1 z − e<br />
1 1<br />
=<br />
z − 1 z ·<br />
1 1<br />
=<br />
z − e z ·<br />
z<br />
z − 1<br />
z<br />
z − e<br />
.<br />
= (0, 1, 1, . . .)<br />
.<br />
= (0, 1, e, e 2 , . . .)<br />
F(z) = 1<br />
1 − e (0, 0, 1 − e, 1 − e2 , . . .) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 320 / 369
10.38. Pˇríklad.<br />
Metodou reziduí.<br />
n ≥ 1<br />
an = res1<br />
F(z) =<br />
1<br />
(z − 1)(z − e)<br />
a0 = lim<br />
z→∞ F(z) = 0 .<br />
zn−1 z<br />
+ rese<br />
(z − 1)(z − e) n−1<br />
(z − 1)(z − e) =<br />
= 1 en−1 1 − en−1<br />
+ =<br />
1 − e e − 1 1 − e .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 321 / 369
10.39. Pˇríklad.<br />
rezidui:<br />
n ≥ 1<br />
F(z) = 1<br />
z<br />
an = res1<br />
F(z) =<br />
z<br />
(z − 1) 2<br />
1<br />
(z − 1) 2<br />
.<br />
= (0, 0, 1, 2, 3, ...) .<br />
zn−1 d<br />
= lim<br />
(z − 1) 2 z→1 dz zn−1 = n − 1 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 322 / 369
10.40. Pˇríklad. Pomocí Z transformace nalezněte součet<br />
1 2 + 2 2 + · · · + n 2 n<br />
= k 2 .<br />
ˇRešení<br />
res1<br />
n <br />
k=0<br />
k=0<br />
(n 2 ) . = z2 + z<br />
.<br />
(z − 1) 3<br />
k 2<br />
<br />
.= z<br />
z − 1<br />
z2 + z<br />
(z − 1) 3 = z3 + z2 (z − 1)<br />
z3 + z2 (z − 1) 4 zn−1 1<br />
= lim<br />
z→1 3! (zn+2 + z n+1 ) ′′′ =<br />
= 1<br />
1<br />
[(n + 2)(n + 1)n + (n + 1)n(n − 1)] = n(n + 1)(2n + 1) .<br />
3! 6<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 323 / 369<br />
4 .
10.3 . Diferenční rovnice<br />
Motivace: teorie signál˚u, numerické ˇrešení pariálních<br />
diferenciálních rovnic, ladder networks, ...<br />
Diferenční rovnice mají podobnou struktutu jako rovnice<br />
diferenciální, hledá se ˇrešení ve tvaru posloupnosti vyhovující<br />
počátečním podmínkám.<br />
ˇRešení těchto rovnic pomocí transformace Z je diskrétní<br />
analogie ˇrešení diferenciálních rovnic pomocí Laplaceovy<br />
transformace.<br />
10.41. Pˇríklad.<br />
yn+2 + 2 yn+1 + yn = 0<br />
y0 = y1 = 1 .<br />
(homogenní diferenční rovnice druhého ˇrádu s konstantními<br />
koeficienty)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 324 / 369
(yn+2) ∞ n=0<br />
(yn+1) ∞ n=0<br />
(yn) ∞ n=0<br />
.<br />
= Y (z) .<br />
.<br />
= z[Y (z) − y0] = z(Y (z) − 1) .<br />
.<br />
= z 2<br />
<br />
Y (z) − y0 − y1<br />
<br />
Provedeme transformaci rovnice:<br />
z<br />
=<br />
= z 2<br />
<br />
Y (z) − 1 − 1<br />
<br />
= z<br />
z<br />
2 Y (z) − z 2 − z .<br />
z 2 Y (z) − z 2 − z + 2zY (z) − 2z + Y (z) = 0 .<br />
Y (z)(z 2 + 2z + 1) = z 2 + 3z .<br />
Y (z) = z2 + 3z<br />
.<br />
(z + 1) 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 325 / 369
Provedeme inverzní transformaci:<br />
n ≥ 1<br />
(z<br />
yn = res−1<br />
2 + 3z)z n−1<br />
(z + 1) 2<br />
= lim<br />
z→−1 (n + 1)zn + 3nz n−1 =<br />
= (n + 1)(−1) n + 3n(−1) n−1 = (−1) n (1 − 2n) .<br />
(yn) ∞ n=0<br />
= (1, 1, −3, 5, . . .) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 326 / 369
Mnohdy dává lepší pˇredstavu než numerický výpočet, ve<br />
kterém se hromadí zaokrouhlovací chyby:<br />
10.42. Pˇríklad.<br />
Transformace:<br />
z 2 [Y (z) − 1 − 1<br />
3z<br />
yn+2 = 10<br />
3 yn+1 − yn .<br />
y0 = 1, y1 = 1<br />
3 .<br />
Y (z)(z 2 − 10<br />
3 z + 1) = z2 + z<br />
3<br />
Y (z) =<br />
z 2 − 3z<br />
(z − 3)(z − 1<br />
3<br />
10<br />
] = z[Y (z) − 1] − Y (z)<br />
3<br />
) = z<br />
z − 1<br />
3<br />
− 10<br />
3 z = z2 − 3z<br />
.<br />
= ( 1<br />
3n )∞n=0 Numerický výpočet na tˇri platné číslice dá nesmyslné výsledky:<br />
y0 = 1, y1 = 0, 333, ..., y6 = −0, 092, ..., y10 = −5, 65<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 327 / 369
10.43. Pˇríklad.<br />
Fibonanciho čísla<br />
Fibonanci (1212) Liber Abaci<br />
Úloha o populaci králík˚u:<br />
každý pár se zreprodukuje po dvou měsících<br />
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233<br />
Posloupnost se ˇrídí zákonem<br />
co bude co je pˇrír˚ustek<br />
<br />
yn+2 = yn+1 + yn<br />
y0 = y1 = 1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 328 / 369
Transformace rovnice:<br />
z 2<br />
<br />
Y (z) − 1 − 1<br />
<br />
= z[Y (z) − 1] + Y (z)<br />
z<br />
Inverze:<br />
z<br />
(z 2 − z − 1)Y (z) = z 2<br />
Y (z) =<br />
z 2<br />
z 2 − z − 1<br />
z<br />
z2 <br />
1 z<br />
= z √<br />
− z − 1 5 z − 1+√5 2<br />
yn = 1<br />
√ 5<br />
Binet (1786-1856)<br />
1 + √ 5<br />
2<br />
n+1<br />
−<br />
√<br />
1 − 5<br />
−<br />
2<br />
z<br />
z − 1−√ 5<br />
2<br />
n+1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 329 / 369
Kombinace dvou geometrických ˇrad, jedna z nich mizí v<br />
nekonečnu:<br />
yn+1<br />
lim<br />
n→∞ yn<br />
= 1 + √ 5<br />
2<br />
Souvisí s poměrem zlatého ˇrezu.<br />
.<br />
= 1, 61803 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 330 / 369
10.44. Pˇríklad.<br />
∆(yn) ∞ n=0<br />
∆ 2 yn + yn = 0<br />
y0 = 1, ∆y0 = 0 .<br />
.<br />
= (z − 1) Y (z) − z<br />
∆ 2 (yn) ∞ n=0 = (z −1)[(z −1)Y (z)−z]−0 = (z −1)2 Y (z)−z(z −1)<br />
[(z − 1) 2 + 1]Y (z) = z(z − 1)<br />
z(z − 1)<br />
Y (z) =<br />
(z − 1) 2 + 1 =<br />
z2 − z<br />
z2 − 2z + 2 =<br />
<br />
z − 1<br />
A<br />
= z<br />
= z<br />
(z − 1 − j)(z − 1 + j) z − 1 − j +<br />
<br />
B<br />
=<br />
z − 1 + j<br />
= 1<br />
2 z<br />
<br />
1<br />
z − 1 − j +<br />
<br />
1<br />
.<br />
z − 1 + j<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 331 / 369
yn = 1<br />
2 [(1 + j)n + (1 − j) n ] = Re( √ π<br />
j<br />
2e 4 ) n =<br />
= 2 n/2 cos nπ<br />
4 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 332 / 369
10.45. Pˇríklad.<br />
∆ 2 yn = 2<br />
y0 = 0, ∆y0 = 1<br />
∆ 2 (yn) ∞ n=0 = (z − 1)2 Y (z) − z<br />
Y (z)(z − 1) 2 = 2 z<br />
+ z .<br />
z − 1<br />
Y (z) =<br />
2z z<br />
+ .<br />
(z − 1) 3 (z − 1) 2<br />
z<br />
res1<br />
n 1<br />
= lim<br />
(z − 1) 3 z→1 2 (zn ) ′′ = 1<br />
n(n − 1)<br />
2<br />
yn = n(n − 1) + n = n 2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 333 / 369
10.46. Pˇríklad. Rovnice s konvolučním jádrem<br />
yn = res1<br />
yn+2 +<br />
n<br />
2 k yn−k = 1<br />
k=0<br />
y0 = y1 = 0<br />
z 2 Y (z) + z<br />
z<br />
Y (z) =<br />
z − 2 z − 1 .<br />
(z − 2)z n−1<br />
(z − 1) 3<br />
Y (z) =<br />
z − 2<br />
(z − 1) 3<br />
1<br />
= lim<br />
z→1 2 (zn − 2z n−1 ) ′′ =<br />
= 1<br />
n<br />
n(n − 1) − (n − 1)(n − 2) = (n − 1)[2 −<br />
2 2 ]<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 334 / 369
10.47. Pˇríklad. Vyjádˇrete vzorcem ˇrešení diferenční rovnice<br />
yn+1 − 2yn = an ,<br />
kde y0 = 0 a (an) ∞ n=0 je obecná posloupnost ze Z0.<br />
Transformace:<br />
kde F(z) je obraz (an) ∞ n=0 .<br />
Pro n ≥ 1<br />
Y (z) =<br />
F (z)<br />
z − 2<br />
zY (z) − 2Y (z) = F(z) ,<br />
.<br />
= (1(n − 1)2 n−1 ) ∞ n=0 ∗ (an) ∞ n=0 .<br />
yn =<br />
n<br />
2 k−1 an−k .<br />
k=1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 335 / 369
10.48. Pˇríklad.<br />
1<br />
z3 1<br />
=<br />
+ 1 z3 1<br />
1 + 1<br />
z 3<br />
yn+3 + yn = an<br />
y0 = y1 = y2 = 0 .<br />
=<br />
=<br />
Y (z) = F(z)<br />
z 3 + 1<br />
∞<br />
n=0<br />
(−1) n<br />
1<br />
z 3(n+1)<br />
.<br />
=<br />
.<br />
= (0, 0, 0, 1, 0, 0, −1, 0, 0, 1, 0, 0, −1, . . .)<br />
yn = an−3 − an−6 + an−9 − . . .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 336 / 369
10.49. Pˇríklad. Pomocí diferenčních rovnic určete součet<br />
ˇRešení:<br />
1<br />
2<br />
+ 2<br />
2<br />
yn = 1<br />
2<br />
( n<br />
2 n )∞ n=0<br />
3 n<br />
+ + · · · +<br />
2 23 2<br />
+ 2<br />
2<br />
n .<br />
3 n<br />
+ + · · · +<br />
2 23 2<br />
n + 1<br />
yn+1 − yn =<br />
2n+1 y0 = 0<br />
.<br />
=<br />
2z<br />
(2z − 1)<br />
( n + 1<br />
2n+1 )∞n=0 .<br />
= 1<br />
2<br />
n .<br />
1 z<br />
=<br />
2 2 (z − 1<br />
2 )2<br />
z 2<br />
(z − 1<br />
2 )2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 337 / 369
z 2<br />
zY (z) − Y (z) = 1<br />
2 (z − 1<br />
.<br />
2<br />
)2<br />
Y (z) = 1 1 z<br />
2 (z − 1)<br />
2<br />
(z − 1<br />
2 )2<br />
1 1<br />
res1<br />
2 (z − 1) (z − 1<br />
1 1<br />
=<br />
2<br />
)2 2 ( 1<br />
= 2 .<br />
2<br />
)2<br />
z n+1<br />
z n+1<br />
1 1<br />
res 1<br />
2 2 (z − 1) (z − 1<br />
=<br />
2<br />
)2<br />
<br />
1 zn+1 ′<br />
1<br />
= lim<br />
= lim<br />
z→1/2 2 z − 1 z→1/2 2 · (n + 1)zn (z − 1) − zn+1 (z − 1) 2<br />
=<br />
<br />
n + 1<br />
2<br />
2n <br />
− 1<br />
<br />
−<br />
2<br />
1<br />
2n+1 <br />
n + 1 1<br />
= − − .<br />
2n 2n yn = 2 −<br />
n + 1 1<br />
−<br />
2n 2<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 338 / 369<br />
n .
11.1. Náhodné vektory<br />
Reálný náhodný vektor:<br />
11. Náhodné procesy<br />
(Ω, A, P).... pravděpodobnostní prostor.<br />
X = (X1, . . . , Xn) : Ω → R n .<br />
Reprezentován distribuční funkcí:<br />
FX(x1, . . . , xn) = P[X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn] .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 339 / 369
Komplexní náhodná veličina:<br />
Z : Ω → C .<br />
Z = X + jY ,<br />
kde X a Y jsou reálné náhodné veličiny na Ω. Konvence:<br />
Distribuční funkce:<br />
stˇrední hodnota:<br />
[Z ≤ z] = [X ≤ Re z, Y ≤ Im z] .<br />
FZ (z) = P[Z ≤ z] .<br />
EZ = EX + jEY .<br />
kovariance (komplexních) náhodných veličin Z a W :<br />
cov(Z , W ) = E[(Z − EZ )(W − EW )] .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 340 / 369
ozptyl:<br />
korelace:<br />
var(Z ) = cov(Z , Z ) = E(|Z − EZ | 2 )<br />
ϱ(Z , W ) =<br />
Vlastnosti kovariance:<br />
cov(Z , W )<br />
var(Z ) var(W ) .<br />
cov(Z1 + Z2, W ) = cov(Z1, W ) + cov(Z2, W )<br />
cov(Z , W ) = cov(W , Z )<br />
cov(α Z , W ) = α cov(Z , W )<br />
cov(Z , α W ) = α cov(Z , W )<br />
cov(Z , Z ) ≥ 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 341 / 369
X = (X1, . . . , Xn) ... komplexní náhodný vektor<br />
kovarianční matice: (n × n)<br />
A = ( cov(Xi, Xj) )<br />
11.1. Pˇríklad. Reálné náhodné veličiny X a Y mají kovarianční<br />
matici<br />
<br />
2 1<br />
1 1<br />
Z = X + jY . Stanovte var Z a cov(Z , Z ).<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 342 / 369
var Z = cov(X + jY , X + jY ) =<br />
= cov(X, X) + cov(jY , X) + cov(X, jY ) + cov(jY , jY ) =<br />
= 2 + j − j + 1 = 3 .<br />
cov(Z , Z ) = cov(X + jY , X − jY ) =<br />
= cov(X, X) + cov(jY , X) + cov(X, −jY ) + cov(jY , −jY ) =<br />
= 2 + j + j − 1 = 1 + 2j .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 343 / 369
11.2. Stochastické procesy - Základy<br />
Stochastický proces modeluje vývoj náhodné veličiny (napˇr. v<br />
čase) - vývoj názor˚u ve společnosti, vývoj ceny akcií, fluktuace<br />
polohy elektronu, náhodná procházka, síla signálu .... )<br />
Xt m˚uže ovlivnit Xt+1 — cov(Xt, Xt+1) = 0.<br />
11.2. Definice. Stochastický (náhodný) proces je systém<br />
náhodných veličin (Xt)t∈T na daném pravděpodobnostním<br />
prostoru (Ω, A, P).<br />
Indexová množina ... T<br />
Trajektorie procesu v bodě ω ∈ Ω ... {Xt(ω) | t ∈ T }.<br />
Spojitý náhodný proces ... T je interval<br />
Časová ˇrada ... T je posloupnost<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 344 / 369
11.3. Pˇríklad. Xt = X. Konstantní proces. (Náhoda jen v<br />
prvním kroku, pak se kopíruje).<br />
P[X ≤ x1, X ≤ x2, . . . , X ≤ xn] = P[X ≤ min{x1, . . . , xn}] =<br />
= F(min{x1, . . . , xn}) ,<br />
kde F je distribuční funkce náhodné veličiny X.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 345 / 369
11.4. Definice. Necht’ (Xt)t∈T je stochastický proces. Stˇrední<br />
hodnota stochastického procesu (Xt)t∈T je funkce<br />
µ(t) = µt = E(Xt)<br />
na množině T .<br />
Kovarianční funkce stochastického procesu (Xt)t∈T je funkce<br />
R(s, t) = cov(Xs, Xt)<br />
na množině T × T .<br />
Rozptyl stochastického procesu (Xt)t∈T je funkce<br />
na množině T .<br />
σ(t) = σ 2 t = var Xt = R(t, t)<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 346 / 369
11.5. Pˇríklad. X1, X2, . . . , Xn ... nekorelované náhodné veličiny<br />
<br />
0 s = t<br />
R(s, t) =<br />
var(Xt) s = t .<br />
11.6. Pˇríklad. Elementární proces Xt = e jωt X, ω, t ∈ R.<br />
µt = e jωt E(X)<br />
R(s, t) = cov(Xs, Xt) = cov(e jωs X, e jωt X) = e jω(s−t) var(X) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 347 / 369
11.7. Definice. Stochastický proces (Xt)t∈T se nazývá<br />
kovariančně stacionární, jestliže<br />
R(s1, t1) = R(s2, t2)<br />
pro všechna s1, s2, t1, t2, pro které platí<br />
s1 − t1 = s2 − t2 .<br />
Stochastický proces (Xt)t∈T se nazývá stacionární, jestliže je<br />
kovariančně stacionární a má konstantní stˇrední hodnotu.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 348 / 369
Pro kovariančně stacionární procesy definujeme<br />
jednorozměrnou kovarianční funkci<br />
Pak<br />
R(t) = cov(Xs, Xs+t) .<br />
R(s, t) = R(t − s) .<br />
R(s, t) = R(t, s) =⇒ R(−t) = R(t) .<br />
11.8. Pˇríklad. (Xn)n∈N posloupnost nezávislých náhodných<br />
veličin s rozptylem σ2 > 0.<br />
<br />
σ<br />
R(n) =<br />
2 n = 0<br />
0 n = 0<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 349 / 369
11.9. Pˇríklad. Elementární proces je kovariančně stacionární.<br />
R(t) = e −jωt var(X) .<br />
11.10. Pˇríklad. Zn = Xn + V , n ∈ N. Xn jsou nezávislé se<br />
stejným rozptylem σ 2 1 > 0; var(V ) = σ2 > 0; Xn a V jsou<br />
nezávislé.<br />
cov(Zn, Zm) = cov(Xn + V , Xm + V ) =<br />
= cov(Xn, Xm) + cov(V , Xm) + cov(Xn, V ) + cov(V , V ) =<br />
<br />
σ<br />
=<br />
2 + σ2 1 n = m<br />
σ2 n = m<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 350 / 369
R(n) =<br />
<br />
σ2 + σ2 1 n = 0<br />
σ2 n = 0.<br />
11.11. Pˇríklad. Proces Xt = (cos t) X , t ∈ R, má kovarianční<br />
funkci<br />
R(s, t) = cos t · cos s · var(X)<br />
a není kovariančně stacionární kdykoliv var(X) = 0.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 351 / 369
11.12. Pˇríklad. . . . X−1, X0, X1, . . . nezávislé náhodné veličiny<br />
se stejným rozptylem σ 2 > 0<br />
k > 0.<br />
Yn = Xn + Xn−1<br />
2<br />
cov(Yn, Yn+k) = cov( Xn + Xn−1<br />
2<br />
R(0) = var(Yn) = 1<br />
2 σ2 .<br />
R(−k) = 1<br />
4 δ1kσ 2 .<br />
n ∈ Z .<br />
, Xn+k + Xn+k−1<br />
) =<br />
2<br />
= 1<br />
4 cov(Xn, Xn−1+k) = 1<br />
4 δ1kσ 2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 352 / 369
11.13. Definice. Stochastický proces (Xt)t∈T se nazývá<br />
Markov˚uv, jestliže indexová množina T je uspoˇrádaná, a pro<br />
každý konečný výběr t1 < t2 < · · · < tn ∈ T platí<br />
P[Xtn = xn|Xt 1 = x1, Xt 2 = x2, · · · , Xt n−1 = xn−1] =<br />
= P[Xtn = xn|Xt n−1 = xn−1]<br />
markovská vlastnost : stav v čase n + 1 závisí pouze na stavu v<br />
čase n.<br />
Pˇríklad: Náhodná procházka, gambling<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 353 / 369
11.14. Definice. Poisson˚uv proces je proces indexován<br />
podmnožinami konečné míry základní množiny S ⊂ R n takový,<br />
že<br />
1 Veličiny indexované disjunktními množinami jsou nezávislé<br />
2 Veličina XB, B ⊂ S, má Poissonovo rozdělení s<br />
parametrem λmíra(B), kde λ > 0. (λ > 0 se nazývá<br />
parametr procesu).<br />
Počet částic v dané oblasti, počet radioaktivních rozpad˚u v<br />
daném časovém okamžiku, počet volání na ústˇrednu v daném<br />
časovém okamžiku, apod.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 354 / 369
11.3. Spektrální analýza stacionárních proces ˚u<br />
Motivace: analýza náhodného signálu ve frekvenční oblasti<br />
11.15. Definice.<br />
je stacionární časová ˇrada. Funkce f (λ) se<br />
nazývá spektrální hustota procesu (Xn), jestliže platí<br />
π<br />
R(k) = e jkλ f (λ) dλ<br />
1 Necht’ (Xn) ∞ n=1<br />
pro všechna k ∈ Z.<br />
2 Necht’ (Xt)t∈R je stacionární proces. Funkce f (λ) se<br />
nazývá spektrální hustota procesu (Xt), jestliže platí<br />
∞<br />
R(t) = e jtλ f (λ) dλ<br />
pro všechna t ∈ R.<br />
−π<br />
−∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 355 / 369
1 f (λ) definovaná na < −π, π > má Fourierovu ˇradu<br />
∞<br />
2<br />
k=−∞ cke jkλ , kde<br />
ck = 1<br />
2π<br />
π<br />
f (λ)e −jkλ .<br />
−π<br />
=⇒ R(k) = 2πc−k ⇔ ck = R(−k)<br />
2π<br />
R(t) = ˆ f (−λ) = 2π ˇ f (λ) .<br />
11.16. Pˇríklad. X1, X2, . . . nekorelované náhodné veličiny se<br />
stejným rozptylem σ2 a nulovými stˇredními hodnotami. Pak<br />
<br />
0 k = 0<br />
R(k) =<br />
σ2 k = 0 .<br />
σ2<br />
σ2<br />
= 2π . Tedy f (λ) = 2π . Časovým ˇradám s touto<br />
hustotou ˇríkáme bílý šum.<br />
c0 = R(0)<br />
2π<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 356 / 369<br />
.
11.17. Pˇríklad. Y0, Y1, . . . , Yn, . . . nekorelované, normované<br />
náhodné veličiny<br />
s > 0.<br />
Xn = Yn + Yn−1 , n = 0, 1, . . .<br />
cov(Xn, Xn+s) = cov(Yn + Yn−1, Yn+s + Yn+s−1) =<br />
= δs1<br />
s = 0 ... cov(Xn, Xn) = 2<br />
jednorozměrná kovarianční funkce:<br />
R(0) = 2, R(1) = R(−1) = 1, ostatní nuly.<br />
spektrální hustota:<br />
f (λ) = 1<br />
2π (R(−1)ejλ + R(0) + R(1)e −jλ ) = 1<br />
2π (ejλ + 2 + e −jλ ) =<br />
= 1<br />
1 + cos λ<br />
(2 + 2 cos λ) = =<br />
2π π<br />
2 λ<br />
cos2<br />
π 2 .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 357 / 369
zobecnění pˇredchozího pˇríkladu<br />
11.18. Věta. Necht’ (Xn)n∈Z je stacionární časová ˇrada. Je-li<br />
∞<br />
n=−∞<br />
|R(n)| < ∞<br />
pak existuje spektrální hustota f (λ) a platí:<br />
D˚ukaz:<br />
(Inverzní vzorec) f (λ) = 1<br />
2π<br />
∞<br />
n=−∞<br />
|e −jnλ R(n)| ≤<br />
∞<br />
n=−∞<br />
∞<br />
n=−∞<br />
e −jnλ R(n)<br />
|R(n)| < ∞ .<br />
Weierstarsseovo kritérium =⇒ ˇrada ∞<br />
n=−∞ e−jnλ R(n)<br />
konverguje stejnoměrně pro λ ∈ R.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 358 / 369
Volme pevně k ∈ Z. Pak<br />
π<br />
−π<br />
f (λ)e jkλ dλ = 1<br />
2π<br />
∞<br />
n=−∞<br />
= 1<br />
2πR(k) = R(k) .<br />
2π<br />
π<br />
R(n) e<br />
−π<br />
j(k−n)λ dλ =<br />
11.19. Pˇríklad. Reálný stochastický proces (Xn)n∈Z má<br />
kovarianční funkci<br />
R(n) = Ce −α|n| ,<br />
kde C, α > 0. Stanovte spektrální hustotu.<br />
∞<br />
n=−∞<br />
|R(n)| =<br />
∞<br />
n=−∞<br />
Ce −α|n| < ∞ .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 359 / 369
f (λ) = 1<br />
2π<br />
∞<br />
n=−∞<br />
= 1<br />
<br />
C + C<br />
2π<br />
= C<br />
<br />
2π<br />
e −jnλ R(n) = 1<br />
2π<br />
∞<br />
n=1<br />
e −jnλ e −αn + C<br />
∞<br />
n=−∞<br />
∞<br />
n=1<br />
1 + e−jλ−α ejλ−α<br />
+<br />
1 − e−jλ−α 1 − ejλ−α e −jnλ Ce −α|n| =<br />
e jnλ e −αn<br />
<br />
=<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 360 / 369<br />
<br />
.
11.20. Věta. Necht’ (Xt)t∈R je stacionární stochastický proces.<br />
Je-li ∞<br />
|R(t)| dt < ∞<br />
−∞<br />
pak existuje spektrální hustota f (λ) a platí:<br />
(Inverzní vzorec) f (λ) = 1<br />
∞<br />
e<br />
2π<br />
−jtλ R(t) dt .<br />
D˚ukaz: teorie Fourierovy transformace.<br />
−∞<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 361 / 369
11.21. Pˇríklad. Spojitý proces má kovarianční funkci<br />
R(t) = Ce −α|t| cos βt .<br />
C, α > 0. Určete spektrální hustotu.<br />
Víme, že Fourier˚uv obraz e −α|t| je 2a<br />
a 2 +p 2 . Pak<br />
(cos βt)e −α|t| = ejβ + e −jβ<br />
Tedy<br />
=<br />
2<br />
f (l) = 1<br />
<br />
2π<br />
e −α|t| <br />
. 1 2a<br />
=<br />
2 a2 + (p − β)<br />
a<br />
a2 a<br />
+<br />
+ (p − β) 2 a2 .<br />
+ (p + β) 2<br />
a<br />
a2 +<br />
+ (p − β) 2<br />
2 +<br />
a<br />
a2 + (p + β) 2<br />
<br />
2a<br />
a2 + (p + β) 2<br />
<br />
=<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 362 / 369
11.22. Pˇríklad. Určete kovarianční funkci, je-li spektrální<br />
hustota<br />
2<br />
f (λ) =<br />
π(λ2 .<br />
+ 1) 2<br />
R(t) = 2<br />
∞<br />
π −∞<br />
e jtλ<br />
1<br />
(λ2 dλ<br />
+ 1) 2<br />
Počítáme pomocí reziduové věty, integrál pˇres horní<br />
polokružnici jde k nule pro t > 0 (viz tabule). Tedy pro t > 0:<br />
Závěr:<br />
R(t) = 2<br />
2πj resj<br />
π<br />
ejtλ (λ2 = 4j lim<br />
+ 1) 2 λ→j<br />
<br />
= 4j − j<br />
4 e−t <br />
(t + 1)<br />
R(t) = e −|t| (|t| + 1) .<br />
<br />
ejtλ (λ − j) 2<br />
(λ2 + 1) 2<br />
′<br />
=<br />
= e −t (t + 1) .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 363 / 369
11.23. Pˇríklad. Určete kovarianční funkci spojitého bílého<br />
šumu s hustotou f (λ) = 1(λ + a) − 1(λ − a), a > 0.<br />
Pomocí Fourierova obrazu bránové funkce<br />
R(t) =<br />
2 sin at<br />
t<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 364 / 369<br />
.
Posloupnost klouzavých součt˚u MA(n)<br />
(Yn) ... posloupnost nekorelovaných veličin s nulovými<br />
stˇredními hodnotami a konstantním rozptylem σ 2 .<br />
a0, a1, . . . , an ∈ C a0, an = 0 .<br />
Posloupnost klouzavých součt˚u<br />
Xt =<br />
n<br />
ak Yt−k = a0Yt + a1Yt−1 + · · · + anYt−n<br />
k=0<br />
EXt = 0 t ∈ Z .<br />
t ∈ Z .<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 365 / 369
Kovarianční funkce pro t ≥ 0:<br />
<br />
n<br />
R(t) = EXs+t Xs = E<br />
= σ 2<br />
k=0<br />
n<br />
k,j=0<br />
akYs+t−k<br />
akajδt−k,−j<br />
t − k = −j ⇒ k = t + j ≤ n<br />
= σ 2<br />
n−t<br />
j=0<br />
at+jaj<br />
n <br />
j=0<br />
ajYs−j<br />
pro 0 ≤ t ≤ n, R(t) = 0 pro t > n.<br />
Pro záporné hodnoty dopočítat ze vzorce R(t) = R(−t).<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 366 / 369
Spektrální hustota f (λ): Bude trigonometrický polynom.<br />
f (λ) = 1<br />
2π<br />
n<br />
t=−n<br />
R(t)e −jtλ = σ2<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
2π ake −jkλ<br />
<br />
2<br />
<br />
= σ2<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
2π <br />
k=0<br />
Ověˇrení: Srovnáme koeficient u e −jtλ , 0 ≤ t ≤ n,<br />
n <br />
k=0<br />
ake −jkλ<br />
<br />
n<br />
l=0<br />
ale jlλ<br />
<br />
= <br />
k,l=0,...,n<br />
k=0<br />
ak ale j(l−k)λ<br />
Volíme l − k = −t a tedy k = l + t. Pˇríslušný koeficient je<br />
<br />
σ2 n−t<br />
al+tal .<br />
2π<br />
l=0<br />
<br />
<br />
<br />
ake jkλ<br />
2<br />
<br />
Identita pro t < 0 plyne z konjugované symetrie kovarianční<br />
funkce a stejné symetrie pro Fourierovy koeficienty reálné<br />
funkce.<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 367 / 369
11.24. Pˇríklad.<br />
Xn = Yn + Yn−1, σ = 1<br />
f (λ) = 1<br />
2π |(1 + e−jλ )| 2 = 1<br />
2π [(1 + cos λ)2 + sin(−λ) 2 ] =<br />
= 1 + cos λ<br />
π<br />
Posloupnost klouzavých pr˚uměr˚u<br />
tj.<br />
Pak pro |t| ≤ n je<br />
2 n − |t| + 1<br />
R(t) = σ<br />
(n + 1)<br />
= 2 λ<br />
cos2<br />
π 2 .<br />
a0 = a1 = · · · = an = 1<br />
n + 1<br />
Xt = Yt + Yt−1 + · · · + Yt−n<br />
n + 1<br />
n + 1<br />
2 = σ2<br />
.<br />
<br />
1− |t|<br />
<br />
= R(0) 1−<br />
n + 1<br />
|t|<br />
<br />
.<br />
n + 1<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 368 / 369
Lineární pokles kovarianční funkce<br />
Spektrální hustota:<br />
σ<br />
f (λ) =<br />
2<br />
2π(n + 1) 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
11.25. Pˇríklad.<br />
n<br />
e −jkλ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
k=0<br />
2<br />
σ<br />
=<br />
2<br />
2π(n + 1) 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Xn = Yn + 2Yn−1 + Yn−2 .<br />
a0 = 1, a1 = 2, a2 = 1<br />
1 − e −j(n+1)λ<br />
1 − e −jλ<br />
f (λ) = σ2<br />
2π (1 + 2e−jλ + e −2jλ )(1 + 2e jλ + e 2jλ ) =<br />
= σ2<br />
2π [1 + 2ejλ + e 2jλ + 2e −jλ + 4 + 2e jλ + e −2jλ + 2e −jλ + 1] =<br />
= σ2<br />
[6 + 8 cos λ + 2 cos 2λ]<br />
2π<br />
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 369 / 369<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
.