y = f(x)

北京大学 数学 00130201 2009-2010年第一学期期末
北京大学2009-2010年第一学期期末考试高数B试题,共 19 小题, 满分 100 分。
所有的答案要写在答题纸上。
姓名: 学号: 系: 教师:卢 Tiao
一 判断题,对该部分给出的每个命题,判断它是真命题还是假命题,
如果是真请打, 如果是假请打。
1. [3分] 设y = f(x) 在闭区间[0,1]上可导,则必存在一点ξ ∈ (0, 1), 使得 f ′ (ξ) = 0 。
2. [3分] y = e x 在x = 0 点的泰勒公式是 e x = 1 + x + 1
2! x2 + · · · + 1
n! xn + o(x n ), (x → 0).
3. [3分] 设 y = f(x) 在(A, B) 内有n + 1阶导数,则对(A, B)中任意取定的一点x0 及任意的x ∈
(A, B) 存在θ ∈ (0, 1) 使得
f(x) = f(x0) + f ′ (x0)
1!
(x − x0) + · · · + f (n) (x0)
n!
(x − x0) n + f (n+1) (θx + (1 − θ)x0)
(x − x0)
(n + 1)!
n+1 .
4. [3分] 设函数y = f(x) 在(0,1)有定义。若x0 ∈ (0, 1) 是 y = f(x) 的极值点,且f(x) 在x0 可
导, 则 f ′ (x0) = 0。
5. [3分] 向量a 和向量b 垂直 ⇐⇒ a · b = 0.
6. [3分] 向量a 和向量b 共线 ⇐⇒ a × b = 0.
7. [3分] i, j, k 分别是直角坐标系Oxyz 的x轴,y轴和z轴的单位向量,则 向量a1 = (x1, y1, z1) 和
向量 a2 = (x2, y2, z2) 的外积的计算公式可以写成
i
a1 × a2 =
x1
j
y1
k
z1
= (y1z2 − y2z1)i + (z1x2 − x1z2)j + (x1y2 − x2y1)k.
x2 y2 z2
8. [3分] 过点P0(x0, y0, z0) 与向量n = (A, B, C) 垂直的平面方程是 n · −−→
P0P = 0, 其中 P (x, y, z)
是平面的任意一点, 即 A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 .
9. [3分] 若函数z = f(x, y)的偏导数fx(x, y) 与 fy(x, y) 在点(x0, y0) 处存在,则f(x, y) 在
点(x0, y0) 处可微。
二 填空题,可以只写答案. 但如果写解答过程,要写得详细清楚, 把答
案用下划线标出. 过程仅在答案是错的情况下作为给分的参考,请
大家细心演算。
1. [5分] 求极限: lim (x,y)−>(0,0)
(x 2 +y 2 )(cos(x 2 +y 2 )−1)
x 2 +y 2 −sin(x 2 +y 2 )
= .
2. [5分] 已知三点A(2, 4, 1),B(2, 3, 0),C(3, 5, 2). 则三角形ABC的面积是 .
3. [5分] 过直线l : x−1
2
y z+1 = 0 = 1
和 点 P (0, 1, 1) 的平面方程是 .
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4. [10分] 求复合函数z = sin(u2 + v), 其中 u = xy, v = y2 的偏导数。 ∂z ∂z
∂x = , ∂y
= .
5. [5分] 求函数f(x, y) = x2y3 在点(2, 3)沿从点P0(2, 3) 到点P (2+ √ 3, 4) 的方向的方向导数 ∂f
∂l
(2,3)
。 ∂f
=
(2,3)
∂l
6. [10分] 求由方程F (x + y, y + z) = 0确定的隐函数z = z(x, y)偏导数. ∂z ∂z
∂x = , ∂y
三 解答题和证明题,要求写出清楚详细的解题或证明过程
1. [8分] 用拉格朗日乘子法求椭球面 x2
4
= .
+ y2
9 + z2 = 1上的点到平面 x + y + z = 100 的最小距离。
2. [9分] 设数列{xn}满足0 < x1 < π, xn+1 = sin xn, (n = 1, 2, · · · ). 求
1. 证明: limn→+∞ xn 存在, 并求这个极限.
2. 计算 limn→+∞
xn+1
xn
1
x 2 n .
3. [9分] 设函数f(x)和g(x)在[a, b]上连续,在 (a, b)内具有二阶导数且具有相同的最小值,f(a) =
g(a), f(b) = g(b), 求证: 存在ξ ∈ (a, b), 使得 f ′′ (ξ) = g ′′ (ξ).
4. [7分] 设 y = f(x) 在(−1, 1) 内具有二阶连续导数且f ′′ (x) = 0, 请证明:
1. 对于(−1, 1)中的任一x = 0, 存在唯一的 θ(x) ∈ (0, 1) ,使得f(x) = f(0) + xf ′ (θ(x)x) 成立;
2. limx→0 θ(x) = 1
2 .
再次提醒大家:所有的答案要按顺序写在答题纸上,检查是否填写学号,姓名,
系。 考试结束后,监考老师收试卷,清点确认所有试卷都收了上来,发令大家离
开。 大家要等监考老师发令离开才可离开座位,携带好自己的物品撤离考场。
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