(0 )2 1436587@9BAC9EDGF4HI 7P5QHRFTSVU0DXW6F4H

¢¡¤£¦¥¨§¢©§¡¤£¡

¡ ¢ ¤£¦¥ ¡
¨©
§
§
©
©
©
§
§©©
§§
§§©©
§
§
§
§
§
§
§
§

ii CONTEÚDO
¢¡¤£¦¥§¡©¨ §

CONTEÚDO 1

2 CONTEÚDO

¢¡¤£¦¥ ¡ §
¨©
¡ §
0 α
¨
α2 A =
0 0 α
0 0 0
¨¥ ¨
0 α α2 A 2 = AA =
=
A 3 = AA 2 =
0 0 α
0 0 0
0 α α 2
0 0 α
0 0 0
A 2
A 3
0×0 + α×0 + α 2 ×0 0×α + α×0 + α 2 ×0 0×α 2 + α×α + α 2 ×0
0×0 + 0×0 + α×0 0×α + 0×0 + α×0 0×α 2 + 0×α + α×0
0×0 + 0×0 + 0×0 0×α + 0×0 + 0×0 0×α 2 + 0×α + 0×0
0 0 α2 =
0 0 0
0 0 0
0 α α 2
0 0 α
0 0 0
=
=
0 0 α 2
0 0 0
0 0 0
0×0 + α×0 + α 2 ×0 0×0 + α×0 + α 2 ×0 0×α 2 + α×0 + α 2 ×0
0×0 + 0×0 + α×0 0×0 + 0×0 + α×0 0×α 2 + 0×0 + α×0
0×0 + 0×0 + 0×0 0×0 + 0×0 + 0×0 0×α2 + 0×0 + 0×0
0 0 0
0 0 0
0 0 0

4 CAPÍTULO 1. ¢¡¤£¦¥¨§©¢£ ¥£§§¥ £
n ≥ 3
A n = A 3 A n−3 =
¡ ¨
Y =
Y 2 = −I2
Y 4 = I2
¨¥ ¨
Y 2 = Y Y =
0
−1
1
0
−1 0
0 1
−1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A n−3
0
= 0
0
0
0
0
0 0 0
(αI2 + βY ) (αI2 − βY ) = (α 2 + β 2 ) I2, α, β ∈ IR
=
0 −1
0 1
−1 0
= −I2
=
0×0 + 1×(−1) 0×1 + 1×0
(−1)×0 + 0×(−1) (−1)×1 + 0×0
Y 4 = Y 2 Y 2 = (−I2) (−I2) = I2 × I2 = I2
α
β
(αI2 + βY ) (αI2 − βY )
= (αI2) (αI2) − (αI2) (βY ) + (βY ) (αI2) − (βY ) (βY )
= α 2 I2I2 − αβI2Y + αβY I2 − β 2 Y Y
I2I2 = I2, I2Y = Y I2 = Y, Y Y = −I2
(αI2 + βY ) (αI2 − βY ) = α2I2 − αβY + αβY − β2 (−I2)
= α 2 I2 + β 2 I2
= (α 2 + β 2 ) I2

c2 ¡ = 1
¡ ¨ X = a b c A =
2 T
A = X X − I3
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
A 3 = −A
¨¥ ¨
A2
=
0
c
−c
0
b
−a
0
c
−c
0
b
−a
−b a 0 −b a 0
0×0 − c×c + b×(−b) 0×(−c) − c×0 + b×a 0×b − c×(−a) + b×0
=
=
c×0 + 0×c − a×(−b) c×(−c) + 0×0 − a×a c×b + 0×(−a) − a×0
5
a 2 + b 2 +
−b×0 + a×c + 0×(−b) −b×(−c) + a×0 + 0×a −b×b + a×(−a) + 0×0
−c2 − b2 ab ac
ab −c 2 − a 2 bc
ac bc −b 2 − a 2
1£¢ 2 2 2 a + b + c =
a 2 − 1 = −b 2 − c 2 , b 2 − 1 = −a 2 − c 2 , c 2 − 1 = −a 2 − b 2
A 2 =
a 2 − 1 ab ac
ab b 2 − 1 bc
ac bc c 2 − 1
X T X − I3 = a b c a
b
c
=
=
=
−
a × a a × b a × c
b × a b × b b × c
c × a c × b c × c
a 2 ab ac
ab b 2 bc
ac bc c 2
−
a 2 − 1 ab ac
ab b 2 − 1 bc
ac bc c 2 − 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
− 0
0
1
0
0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

6 CAPÍTULO 1. ¢¡¤£¦¥¨§©¢£ ¥£§§¥ £
2 T A = X X −
¢¡
I3
A3 = AA2
0 −c b
a2 − 1 ab ac
= c 0 −a ab b
−b a 0
2 − 1 bc
ac bc c2
− 1
−abc + abc −c(b2 − 1) + b2c −bc2 + b(c2 − 1)
=
=
c(a 2 − 1) − a 2 c abc − abc ac 2 − a(c 2 − 1)
−b(a2 − 1) + a2b −ab2 + a(b2 − 1) −abc + abc
0 c −b
0 −c b
= −A
¡ ¨ A =
c 0 a
b −a 0
AB = BA =
= −
cos θ sin θ
A n =
¨ ¨¥
AB
cos θ
=
− sin θ
sin θ
cos θ
=
=
−c 0 −a
−b a 0
B =
cos α sin α
− sin θ cos θ
− sin α cos α
cos (θ + α) sin (θ + α)
− sin (θ + α) cos (θ + α)
cos (nθ) sin (nθ)
− sin (nθ) cos (nθ)
cos α sin α
− sin α cos α
, n ∈ IN
cos θ cos α − sin α sin θ cos θ sin α + sin θ cos α
− sin θ cos α − cos θ sin α cos θ cos α − sin θ sin α
cos (θ + α) sin (θ + α)
− sin (θ + α) cos (θ + α)
BA =
=
cos (α + θ) sin (α + θ)
− sin (α + θ) cos (α + θ)
cos (θ + α) sin (θ + α)
− sin (θ + α) cos (θ + α)
= AB

θ
α =
A2
cos (θ + θ) sin (θ + θ)
= AA =
− sin (θ + θ) cos (θ + θ)
A3 = AA2
cos (θ + 2θ)
=
− sin (θ + 2θ)
sin (θ + 2θ)
cos (θ + 2θ)
A n =
cos (nθ) sin (nθ)
− sin (nθ) cos (nθ)
¢ n ∈ IN
=
=
(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
cos (2θ) sin (2θ)
− sin (2θ) cos (2θ)
cos (3θ) sin (3θ)
− sin (3θ) cos (3θ)
¡ ¨ A B AB = BA
A 2 − B 2 = (A − B) (A + B)
¨¥ ¨ A B
(A + B) 2 = (A + B) (A + B)
= A (A + B) + B (A + B)
= AA + AB + BA + BB
= A 2 + AB + BA + B 2
(A − B) (A + B) = A (A + B) − B (A + B)
= AA + AB − BA − BB
= A 2 + AB − BA − B 2
(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
⇐⇒ A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2
⇐⇒ BA = AB (A B )
7

8 CAPÍTULO 1. ¢¡¤£¦¥¨§©¢£ ¥£§§¥ £
A 2 − B 2 = (A − B) (A + B)
⇐⇒ A 2 − B 2 = A 2 + AB − BA − B 2
⇐⇒ BA = AB (A B )
¡ ¨ A =
¨¥ ¨ ¡ £¢
AB =
0 1
0 1
B =
(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
A 2 − B 2 = (A − B) (A + B)
BA =
0 1
0 1
−1 −1
0 0
−1 −1
0 0
0 1
0 1
=
=
0 0
0 0
0 −2
0 0
AB BA ¥¤
=
(A + B) 2 = A2 + 2AB + B2 A 2 − B 2 = (A − B) (A + B)
−1 −1
0 0
¡ ¨ A B 2×2
E 2 × 2 (E) = 0
λ E 2 = λ I2
(AB − BA) = 0
¥¤
A B ¢ C 2 2
£¢
×
¨¥ ¨ A =
(AB − BA) 2 C = C (AB − BA) 2
a11 a12
a21 a22
B =
b11 b12
b21 b22

¡
2 × 2
AB =
BA =
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
b11 b12
b21 b22
£¢
a11 a12
a21 a22
a12b21 − b12a21
=
=
a11b11 + a12b21
a21b11 + a22b21
b11a11 + b12a21
AB − BA ¡
£¢
AB − BA =
E =
a b
c d
E2
E2 =
a + d = 0
a21(b11 − b22) + (a22 − a11)b21
b21a11 + b22a21
a11b12 + a12b22
a21b12 + a22b22
b11a12 + b12a22
b21a12 + b22a22
(a11 − a22)b12 + a12(b22 − b11)
a21b12 − b21a12
2 × 2 (E) = 0
(AB − BA) = (a12b21 − b12a21) + (a21b12 − b21a12) = 0
a b
E £¢ ¢ E =
c −a
= (a 2 + bc)
a b
c −a
1 0
0 1
a b
c −a
a2 + bc
=
ca − ac
ab − ba
bc + a2
a2 + bc
=
0
= ` a 2 + bc ´
I2
| {z }
λ
9
¡
0 a 2 + bc
¡
AB −
¡
BA
¡ (b) ¥¤ α
¥¤
(AB − BA) 2 = α I2
£¢
(AB − BA) 2 C = (α I2) C = αI2C = αCI2 = C (αI2)
¡ ¢ α β
0 α
= C (AB − BA) 2
¡ ¨ 2 × 2 1 3
α β
0 1

10 CAPÍTULO 1. ¢¡¤£¦¥¨§©¢£ ¥£§§¥ £
1 3
0 1
α β
γ θ
1 3
0 1
=
¨¥ ¨ A =
1 3
0 1
α β
γ θ
£¢
α, β, γ, θ ∈ IR 2 × 2
α β
γ θ
A ¡ ¢ A =
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
α β
0 α
α 3α + β
γ 3γ + θ
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
α = α + 3γ
=
3α + β = β + 3θ
γ = γ
3γ + θ = θ
3γ = 0
3α = 3θ
γ = γ
3γ = 0
α + 3γ β + 3θ
γ θ
⇐⇒
¡ ¨ 0 1 0
0 0 1
¢ α β γ
0 α β
0 0 α
0 1 0
0 0 1
0 0 0
¨¥ ¨ A =
⇐⇒
⇐⇒
α β
£¢
α β γ
a b c
x y z
α β γ
a b c
x y z
0 1 0
0 0 1
0
0
0
α
0
β
0 a b
0 x y
0 0 0
γ = 0
α = θ.
¢
3 × 3 IR
a = 0 b = α c = β
=
=
x = 0 y = a = 0 z = b = α
¡ ¢ A α
0
β
α
γ
β
0 0 α
0 1 0
0 0 1
0 0 0
a b c
x y z
0 0 0
α β γ
a b c
x y z

¡ § ¨ ¡ A
T
A T + A AA
A − A T ¡
¡
¨¥ ¨ A £¢
¡
¢
A + A T T = A T + A T T = A T + A = A + A T
AA T T = A T T A T = AA T
A − A T T = A T − A T T = A T − A = − A − A T
A + A T
AA T
¢ ¡ A − A T ¡
¡
¡ ¨ §§ A B A
¡ ¡ B
¡
¡ ¢ ¢ ¡
¢ ¡
AB + BA, AB − BA,
2
A ,
2
B
¨¥ ¨ A B A
¡ ¡ B
¡ ¡
£¢
(AB + BA) T = (AB) T + (BA) T = BT AT + AT BT = −BA + A(−B) = −BA − AB = − (AB + BA)
¡ ¢¡ A T = A B T = −B
AB + BA
¡ ¡
(AB − BA) T = (AB) T − (BA) T = BT AT − AT BT = −BA − A(−B) = −BA + AB = AB − BA
(A 2 ) T = (AA) T = A T A T = AA = A 2
(B 2 ) T = (BB) T = B T B T = (−B)(−B) = BB = B 2
11

12 CAPÍTULO 1. ¢¡¤£¦¥¨§©¢£ ¥£§§¥ £
AB − BA A 2
B 2
¢ ¡
¡ ¨ § A B C
(A (B + C)) T = B T A T + C T A T
£¢
(A (B + C)) T = (B + C) T A T = B T + C T A T = B T A T + C T A T
¨¥ ¨ A B C
1 2 3
¡ ¨ § A B
A + B = 4 5 6
7 8 9
A ¡ ¡ B ¡
A =
a11 a12 a13
¨
¨¥
¢
A ¨ T A B A T = −A B = B
B 3 × 3
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a21 a31
¢ £¢
A T = a12 a22 a32
a13 a23 a33
¡ ¡ £¢
A
A = −AT ⇐⇒
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11 = −a11
a12 = −a21
a13 = −a31
a22 = −a22
a23 = −a32
a33 = −a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2a11 = 0
a21 = −a21
a31 = −a13
2a22 = 0
a32 = −a23
2a33 = 0
A ¢
B
b11 b12 b13
B =
B T =
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b11 b21 b31
b12 b22 b32
b13 b23 b33
a11
= − a12
a21
a22
a31
a32
a13 a23 a33
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
.
.
a11 = a22 = a33 = 0
a21 = −a21
a31 = −a13
a32 = −a23,

A ¡ ¢
A =
0 a12 a13
−a12 0 a23
−a13 −a23 0
¡ ¡ ¡ £¢
B
b11 b12 b13
B = B T ⇐⇒
B ¡ ¢
¢
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
A + B =
b21 b22 b23
b31 b32 b33
B =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0 a12 a13
=
−a12 0 a23
−a13
b11
−a23 0
a12 + b12 a13 + b13
⎧
⎪⎨
⎪⎩
+
b12 − a12 b22 a23 + b23
b13 − a13 b23 − a23 b33
b11 = 1
a12 + b12 = 2
a13 + b13 = 3
b12 − a12 = 4
b22 = 5
a23 + b23 = 6
b13 − a13 = 7
b23 − a23 = 8
b33 = 9
⇐⇒
0 −1 −2
1 0 −1
2 1 0
A B ¢
A =
b11 b21 b31
b11 b12 b13
b12 b22 b23
b13 b23 b33
b11 b12 b13
b12 b22 b23
b13 b23 b33
⎧
⎪⎨
⎪⎩
b12 b22 b32
b13 b23 b33
=
b11 = 1
b22 = 5
=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
b33 = 9
( a12 + b12 = 2
b12 − a12 = 4
( a13 + b13 = 3
b13 − a13 = 7
( a23 + b23 = 6
b23 − a23 = 8
B =
⇐⇒
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 3 5
3 5 7
5 7 9
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
b12 = b21
b13 = b31
b23 = b32
b11 = 1
b22 = 5
b33 = 9
a12 = −1
b12 = 3
a13 = −2
b13 = 5
a23 = −1
b23 = 7
13

14 CAPÍTULO 1. ¢¡¤£¦¥¨§©¢£ ¥£§§¥ £

¢¡¤£¦¥ ¡
¡£¢¥¤ §¦ ¨
ad − bc = 0
¡ ¨ § A =
¨
¨¥ ¨ A =
AB = I2 ⇐⇒
a b
c d
a b
c d
©
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x y
z t
B =
AB = BA = I2
x y
z t
ax + bz ay + bt
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎨
⎩
cx + dz cy + dt
=
=
( ax + bz = 1 (×c)
cx + dz = 0 (×a)
( ay + bt = 0 (×c)
cy + dt = 0 (×a)
(bc − ad) z = c
(bc − ad) t = −a
(bc − ad) x = −d
(bc − ad) y = b
d
−
B =
bc−ad
c
bc−ad
b
bc−ad
a
− bc−ad
1 0
0 1
1 0
⇐⇒
0 1
=⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a b
c d
¡ ¨ ¤
¨
z =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
c
bc−ad
t = − a
bc−ad
x = − d
y =
( acx + bcz = c
acx + adz = 0
( acy + bct = 0
bc−ad
b
bc−ad
= 1
−d b
bc−ad c −a
acy + adt = a
£¢
bc − ad = 0

¤
16 ¡ £¢¦£¥
CAPÍTULO 2.
¡ ¨ α
A =
¨ A−1
¨¥ ¨ B =
a b c
d e f
g h i
1 1 0
AB = I3
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1 0 0
1 2 α
¨ A =
AB = BA = I3
a b c
d e f
g h i
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a + d b + e c + f
a b c
a + 2d + gα b + 2e + hα c + 2f + iα
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a + d = 1
b + e = 0
c + f = 0
a = 0
b = 1
c = 0
a + 2d + gα = 0
b + 2e + hα = 0
c + 2f + iα = 1
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 1 0
1 0 0
1 2 α
=
a = 0
b = 1
c = 0
d = 1 − a = 1
e = −b = −1
f = −c = 0
¦¥£ §¥ £
1 1 0
1 0 0
1 2 α
1 0 0
0 1 0
0 0 1
gα = −a − 2d = −2
hα = −b − 2e = 1
iα = 1 − c − 2f = 1
¨§ ¢
α =
¢
0
2
g α 1
= − h = i = α 1 ¡
α
B =
0 1 0
1 −1 0
−2 1 1
α α α
α = 0 A ¡ ¨ ¨ ¡ B
¢
AB = I2
¢
BA = I2
¡
£¢
¡
¡ ¨ A n 2 A = In
¡ ¨ ¨
A

B(= A) n AB = AB = In
¨¥ 2
¨
A = AA = £¢
In
¥¤
¨ B ¡ ¤
A
¡ ¨ A n
A 2 + αA + βIn = 0,
A
¡ ¨ ¨
¨¥ ¨
A 2 + αA + βIn = 0 ⇐⇒ A 2 + αA = −βIn
1 α
B = − A − β β
In
B = − 1
¡ A ¡ ¨
α, β ∈ IR β = 0
⇐⇒ A (A + αIn) = (A + αIn) A = −βIn
⇐⇒ − 1
β A (A + αIn) = − 1
⇐⇒ A
=
β
− 1 α A − β β In
A − α
β In
¡ ¨ A
β (A + αIn) A = In
− 1 α A − β β In
A = In
¢
AB = BA = In
¡
¡ ¨ A B n A ¨
(A + B) A −1 (A − B) = (A − B) A −1 (A + B)
(A + B) A −1 (A − B) = (A + B) (A −1 A − A −1 B)
= (A + B) (In − A −1 B)
¨¥ ¨ A B n A ¨
= AIn − AA −1 B + BIn − BA −1 B
= AIn − InB + BIn − BA −1 B
= A − B + B − BA −1 B
= A − BA −1 B
¢
17

¤
18 ¡ £¢¦£¥
CAPÍTULO 2.
(A − B) A−1 (A + B) = (A − B) (A−1A + A−1B)
= (A − B) (In + A −1 B)
= AIn + AA −1 B − BIn − BA −1 B
= AIn + InB − BIn − BA −1 B
= A + B − B − BA −1 B
= A − BA −1 B
(A + B) A −1 (A − B) = (A − B) A −1 (A + B)
¡ ¨ A B n AB − In
BA − In
(BA − In) B (AB − In) −1
A − In = In
¡ ¡ ¨
¨¥ ¨ A B n AB − In
£¢
(BA − In) B (AB − In) −1
A − In
= (BA − In) B (AB − In) −1 A − (BA − In) In
= (BAB − InB) (AB − In) −1 A − (BA − In)
= (BAB − B) (AB − In) −1 A − (BA − In)
= B (InAB − In) (AB − In) −1 A − (BA − In)
= B (AB − In) (AB − In) −1
A − (BA − In)
In
= BInA − (BA − In)
= BA − (BA − In) = In
B (AB − In) −1
A − In (BA − In) = In
¦¥£ §¥ £
¡ ¨
¡ ¨

BA − In
¨ ¨ ¡
¡
(BA − In) −1 = B (AB − In) −1 A − In
¡ ¨ A n
− Ak+1 = (In − A) In + A + A2 + · · · + Ak ¤
k k ∈ IN 0£¢ A = In − A ¡ ¨
In
(In − A) In + A + A2 + · · · + Ak−1 + Ak
In + A + A2 + · · · + Ak−1 + Ak ¨¥ ¨ A n
= In
−A In + A + A 2 + · · · + A k−1 + A k
= In + A + A 2 + · · · + A k−1 + A k
− AIn + AA + AA 2 + · · · + AA k−1 + AA k
= In + A + A 2 + · · · + A k−1 + A k
− A + A 2 + A 3 + · · · + A k + A k+1
= In + (A − A) + (A 2 − A 2 ) + · · · + A k − A k − A k+1
= In − A k+1
In − A k+1 = In + A + A 2 + · · · + A k−1 + A k (In − A)
¥¤ k ∈ IN A k = 0n×n £¢
k+1 k A = A A
= 0n
In = (In − A) In + A + A2 + · · · + Ak−1 ¡ In
= In + A + A 2 + · · · + A k−1 (In − A)
− A ¡ ¨ (In − A) −1 = In + A + A 2 + · · · + A k−1
19

¤
20 ¡ £¢¦£¥
CAPÍTULO 2.
¦¥£ §¥ £
¡ ¨ A B C n α ∈ IR
α = 0
A ¡ ¨ £¢ αA ¡ ¨ ¨
A ¢ ¨ £¢ AB
¡ ¨
¤ B
¡ ¨ A AB AC£¢ = B =
C
¨¥ ¨
n
¡ ¨ £¢ ¤
A −1 A
AA −1 = A −1 A = In
α (AA−1 ) = α (A−1A) = αIn ⇐⇒ (αA) A−1 = A−1 (αA) = αIn
α = 0 ¤
⇐⇒ 1
α (αA) A−1 = 1
α A−1 (αA) = In
⇐⇒ (αA) 1
1 ¢¡ α A−1 ¨ αA
¡
¡ ¨ ¤ −1 AB (AB)
(AB) (AB) −1 = (AB) −1 AB = In
(AB) (AB) −1 = In
αA−1 = 1
αA−1 (αA) = In
⇐⇒ A B (AB) −1 = In ( ¢¡ )
⇐⇒ A −1 A B (AB) −1 = A −1 In ( A −1 ¡ )
−1
⇐⇒ In B (AB) = A−1 ⇐⇒ B (AB) −1 = A −1
⇐⇒ B (AB) −1 A = A −1 A ( A ¡ )
⇐⇒ B (AB) −1 A = In
C

(AB) −1 (AB) = In ⇐⇒ (AB) −1 A
C
B = In
−1
C = (AB) A ¢
BC = CB = In ¡
B
¡ ¨
¨ ¡
−1 −1
B = (AB) A
¤ AC£¢ ¡ ¨ −1
A AB = A
A−1 (AB) = A−1 (AC) ⇐⇒ (A−1A) B = (AA−1 ) C
⇐⇒ In B = In C
⇐⇒ B = C
¡ ¨ A ¡ n In
In + A ©§¦ In − A
¨ £¢ (In + A) −1
¨¥ ¨ A n In
(In + A) (In − A) = (In) 2 − InA + AIn − A 2
In
21
+ A ¡
− A ¡ £¢¥¤
+ A ¨
= (In) 2 − A + A − A 2 = (In) 2 − A 2
= (In − A) (In + A)
¡ (In + A) −1
(In + A) −1 ((In + A) (In − A)) = (In + A) −1 ((In − A) (In + A))
⇐⇒ ((In + A) −1 (In + A)) (In − A) = ((In + A) −1 (In − A)) (In + A)
⇐⇒ In (In − A) = ((In + A) −1 (In − A)) (In + A)
⇐⇒ (In − A) = ((In + A) −1 (In − A)) (In + A)
(In − A) (In + A) −1 = ((In + A) −1 (In − A)) (In + A) (In + A) −1
= ((In + A) −1 (In − A)) In
¡ (In + A) −1
= (In + A) −1 (In − A)

¤
22 ¡ £¢¦£¥
CAPÍTULO 2.
− A
¦¥£ §¥ £
(In + A) −1 In
¡ ¨ § A B n
A
¡ ¡ £¢
§¦©¨ ¥¥¤ ¤
B n ¨
P
B = P −1 AP
©
¡ ¡ ¤
¡ ¡ B£¢ A
¡ ¡ B ¤ A
¡ ¡ A B
¡ ¡ C£¢ B
¡ ¡ A C
¡ ¤
A
¡ ¡ B B
¡ ¨ £¢ B
¡ ¨
¤
¨¥ ¨ A n
A ¡ ¤
A = (In) −1 AIn = InAIn = A
¡ ¡ B£¢ ¤
A P ¨
n
−1
A = P BP
P ¡
P A = P P −1 BP = P P −1 BP = InBP = BP
¡
−1 P
P −1 (P A) = P −1 (BP ) ⇐⇒ (P −1P ) A = P −1 (BP )
⇐⇒ A = P −1 BP
B
¡ ¡ A
¢¡
¡ ¡ B A
¡ C£¢ ¤ B Q
P
¨
n
A = P −1 BP B = Q −1 CQ

A = P −1 BP = P −1 (Q −1 CQ) P = (P −1 Q −1 ) C (QP )
¡ A ¡ ¡ C
= (QP ) −1 C (QP )
A n £¢¥¤ α = 0 A = αIn
¡ ¡
¡
A ¡
¤ £¢
A n −1 P B = P AP
¡ B ¡
¡
B = P −1 (αIn) P = αP −1 InP = αP −1 P = αIn = A
¡ ¡ ¤
¡ B £¢ ¥¤
A P n
A = P −1BP B ¡ ¨ £¢ A ¡ ¡ ¨
A −1 = P −1 BP −1 = (BP ) −1 P −1 −1 = (BP ) −1 P = P −1 B −1 P
23

¤
24 ¡ £¢¦£¥
CAPÍTULO 2.
¦¥£ §¥ £

¢¡¤£¦¥ ¡
¡ ¨£¢ ¦ ¤ ¨ ¦¥ ¨ ¢¥¤ ¦
¡ ¨ §
¨
¢
£¢
A2 =
1 2
0 1
¨¥ ¨
1
[A2 | I2] = 0
2
1
|
|
¡ A2
A3 =
1 0
0 1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
−−−−−→
ℓ1 − 2ℓ2
1 0 |
0 1 |
A4 =
1 −2
0 1
¨ ¡ −1
A
¡
1 −2
2 = 0
¨ 1
¡
[A3 | I3] =
A3
−−−−−→
ℓ1 − 3ℓ3
1 2 3 |
0 1 2 |
0 0 1 |
1 2 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
= I3 | A −1
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 −3
0 1 −2
0 0 1
1 2 3 |
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ3 0 1 0 |
0 0 1 |
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
= I2 | A −1
2
1 0 0 |
−−−−−→
ℓ1 − 2ℓ2 0 1 0 |
0 0 1 |
¡ ¨ ¨ ¡ A −1
3 =
§
1 −2 1
0 1 −2
0 0 1
1 0 0
0 1 −2
0 0 1
1 −2 1
0 1 −2
0 0 1

¤
26 ¥£ ¥¡ ©
CAPÍTULO 3.
A4
[A4 | I4] =
−−−−→
ℓ3 − ℓ4
−−−−−→
ℓ2 − 3ℓ2
−−−−−→
ℓ1 − 4ℓ4
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ3
−−−−−→
ℓ1 − 3ℓ3
−−−−−→
ℓ1 − 2ℓ2
1 2 3 4 |
0 1 2 3 |
0 0 1 2 |
0 0 0 1 |
1 2 3 4 |
0 1 2 3 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 2 3 4 |
0 1 2 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 2 3 0 |
0 1 2 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 2 3 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 2 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
££¢ ¥§ ¥£ £¥¤ § ¥§ £ ¡ £¢¦£¦¥
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 −2
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 −3
0 0 1 −2
0 0 0 1
1 0 0 −4
0 1 0 −3
0 0 1 −2
0 0 0 1
1 0 0 −4
0 1 −2 1
0 0 1 −2
0 0 0 1
1 0 −3 2
0 1 −2 1
0 0 1 −2
0 0 0 1
1 −2 1 0
0 1 −2 1
0 0 1 −2
0 0 0 1
¡ ¨ ¨ ¡ A −1
4 =
1 α
0 1
1 α α2
Bα =
= I4 | A −1
4
1 −2 1 0
0 1 −2 1
0 0 1 −2
0 0 0 1
¡ ¨ ¨ £¢
Aα =
Cα =
0 1 α
0 0 1
1 α α2 α3 0 1 α α 2
0 0 1 α
0 0 0 1
¤

1 α |
0 1 |
1 0
0 1
−−−−−→
¨¥ ¨ ¢
[Aα | I2] =
Aα
¡ ¨ A −1 =
[Bα | I3] =
−−−−−−→
l1 − α 2 ℓ3
Bα
1 α α 2 |
0 1 α |
0 0 1 |
1 α 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
= I3 | B −1
α
¢
[Cα | I4] =
¡ ¨ B −1
α =
−−−−−→
l3 − αℓ4
−−−−−−→
l2 − α 2 ℓ4
−−−−−−→
l1 − α 3 ℓ4
−−−−−→
l2 − αℓ3
−−−−−−→
l1 − α 2 ℓ3
−−−−−→
l1 − αℓ2
l1 − αℓ2
1 −α
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 −α 2
0 1 −α
0 0 1
1 0 |
0 1 |
1 −α
0 1
1 α α2 |
−−−−−→
l2 − αℓ3 0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0 |
−−−−−→
l1 − αℓ2 0 1 0 |
0 0 1 |
1 −α 0
0 1 −α
0 0 1
1 α α 2 α 3 |
0 1 α α 2 |
0 0 1 α |
0 0 0 1 |
1 α α 2 α 3 |
0 1 α α 2 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 α α 2 α 3 |
0 1 α 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 α α 2 0 |
0 1 α 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 α α 2 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 α 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 −α
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 −α2 0 0 1 −α
0 0 0 1
1 0 0 −α 3
0 1 0 −α 2
0 0 1 −α
0 0 0 1
1 0 0 −α3 0 1 −α 0
0 0 1 −α
0 0 0 1
1 0 −α 2 0
0 1 −α 0
0 0 1 −α
0 0 0 1
1 −α 0 0
0 1 −α 0
0 0 1 −α
0 0 0 1
= I2 | A −1
α
1 0 0
0 1 −α
0 0 1
1 −α 0
0 1 −α
0 0 1
= [I4 | C −1
α ]
27

¤
28 ¥£ ¥¡ ©
CAPÍTULO 3.
¡ ¨ C −1
α =
1 −α 0 0
0 1 −α 0
0 0 1 −α
0 0 0 1
££¢ ¥§ ¥£ £¥¤ § ¥§ £ ¡ £¢¦£¦¥
Cα
¡ ¨ ¢ ¨
¨
A =
B =
C =
3 1 0
1 2 1
2 −1 −1
1 −1 0
2 1 2
0 1 −1
1 −1 1 2
2 −2 1 1
1 −1 0 1
−2 0 2 −2
¨¥ ¨ ¢
[A | I3] =
3 1 0 | 1 0
0
−−−−−→
ℓ3 − 2
3 ℓ1
−−−−−→
ℓ2 − 1
3 ℓ1
−−−−→
ℓ2 + ℓ3
1 2 1 |
2 −1 −1 |
3 1 0 |
1 2 1 |
0 − 5
−1 |
3
0 0 0 |
0
5
3 1 |
0 − 5
3
3
1
−1
0 |
|
0
5
3 1 |
0 0 0 |
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
− 2
3 0 1
1 0 0
− 1
3 1 0
− 2
3 0 1
1 0 0
− 1
3 1 0
−1 1 1
¡ ¢ 3£¢
A
¢¢¡ ¨
A
[B | I3] =
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
−−−−−→
ℓ3 − 1
3 ℓ2
1 −1 0 |
2 1 2 |
0 1 −1 |
1 −1 0 |
0 3 2 |
0 1 −1 |
1 −1 0 |
0 3 2 |
0 0 − 5
3 |
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
−2 1 0
0 0 1
1 0 0
−2 1 0
2
3
1
− 3 1
¤

−−−−−→
− 3
5 ℓ3
−−−−−→
1
3 ℓ2
−−−−−→
ℓ2 − 2
3 ℓ3
−−−−−→
ℓ1 + ℓ2
1 −1 0 |
0 3 2 |
0 0 1 |
1 −1 0 |
0 1
2
3
|
0 0 1 |
1 −1 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0
−2 1 0
− 2
5
− 2
3
− 2
5
− 2
5
− 2
5
3
5
− 2
5
− 2
5
B ¡ ¨ B −1 =
[C | I4] =
−−−−−−→
ℓ4 + 2ℓ1
−−−−−→
ℓ3 − ℓ1
−−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
−−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ4
−−−−−→
ℓ4 − ℓ3
−−−−−−→
2ℓ3 − ℓ4
1
5
3
− 5
1 0 0
1
3
1
5
0
3
− 5
1 0 0
1
5
1
5
2
5
3
− 5
1 2
5 5
1 2
5 5
1
5
3
− 5
3 1
5 5
− 2
5
1
5
− 2
5
1
5
1 −1 1 2 |
2 −2 1 1 |
1 −1 0 1 |
−2 0 2 −2 |
1 −1 1 2 |
2 −2 1 1 |
1 −1 0 1 |
0 −2 4 2 |
1 −1 1 2 |
2 −2 1 1 |
0 0 −1 −1 |
0 −2 4 2 |
1 −1 1 2 |
0 0 −1 −3 |
0 0 −1 −1 |
0 −2 4 2 |
1 −1 1 2 |
0 −2 4 2 |
0 0 −1 −1 |
0 0 −1 −3 |
1 −1 1 2 |
0 −2 4 2 |
0 0 −1 −1 |
0 0 0 −2 |
1 −1 1 2 |
0 −2 4 2 |
0 0 −2 0 |
0 0 0 −2 |
= [I3 | B −1 ]
2
5
2
5
3
− 5
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
−1 0 1 0
2 0 0 1
1 0 0 0
−2 1 0 0
−1 0 1 0
2 0 0 1
1 0 0 0
2 0 0 1
−1 0 1 0
−2 1 0 0
1 0 0 0
2 0 0 1
−1 0 1 0
−1 1 −1 0
1 0 0 0
2 0 0 1
−1 −1 3 0
−1 1 −1 0
29

¤
30 ¥£ ¥¡ ©
CAPÍTULO 3.
−−−−−→
ℓ2 + ℓ4
−−−−−→
ℓ1 + ℓ4
−−−−−→
ℓ2 + 2ℓ3
−−−−−→
ℓ1 + 1
2 ℓ3
−−−−−→
ℓ1 − 1
2 ℓ2
−−−−−→
− 1
2 ℓ2
−−−−−→
− 1
2 ℓ3
−−−−−→
− 1
2 ℓ4
1 −1 1 2 |
0 −2 4 0 |
0 0 −2 0 |
0 0 0 −2 |
1 −1 1 0 |
0 −2 4 0 |
0 0 −2 0 |
0 0 0 −2 |
0 1 −1 0 |
0 −2 4 0 |
0 0 −2 0 |
0 0 0 −2 |
⎡
⎣
1 −1 0 0 |
0 −2 0 0 |
0 0 −2 0 |
0 0 0 −2 |
1 0 0 0 |
0 −2 0 0 |
0 0 −2 0 |
0 0 0 −2 |
⎡
⎣
⎡
⎣
⎡
⎢
⎣
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 −2 0 |
0 0 0 −2 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 −2 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
C ¡ ¨ C −1 =
⎡
⎢
⎣
¥§ ¥£ £¥¤ § ¥§ £ ¡ £¢¦£¦¥
££¢
1 0 0 0
1 1 −1 1
−1 −1 3 0
−1 1 −1 0
0 1 −1 0
1 1 −1 1
−1 −1 3 0
−1 1 −1 0
1 0 −1 0
−1 −1 5 1
−1 −1 3 0
−1 1 −1 0
− 1
2
1
2
1
2
0
−1 −1 5 1
−1 −1 3 0
−1 1 −1 0
0 1 −2 − 1
2
−1 −1 5 1
−1 −1 3 0
−1 1 −1 0
0 1 −2 − 1
2
1
2
1
2
5
− 2
1
− 2
−1 −1 3 0
−1 1 −1 0
0 1 −2 − 1
2
1
2
1
2
5
− 2
1
− 2
1
2
−1
1
2
1
3
− 2
−1
0
0
0 1 −2 − 1
2
1
2
1
2
5
− 2
1
− 2
1
2
1
2
3
− 2 0
1
2
1
− 2
1
2 0
0 1 −2 − 1
2
1
2
1
2
5
− 2
1
− 2
1
2
1
2
3
− 2 0
1
2
1
− 2
1
2 0
¨ −1
Aα
⎤
⎥
⎦
⎤
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦
⎥
⎦ = [I4 | C −1 ]
¡ ¨ α Aα =
1 1 0
1 0 0
1 2 α
¤
¡

¨¥ ¨
[Aα | I3] =
1
1
1
1
0
2
0
0
α
|
|
|
−−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−−→
ℓ1 + ℓ2
1 1 0 |
0 −1 0 |
0 1 α |
1 0 0 |
0 −1 0 |
0 0 α |
[Aα | I3] −−−−−→
linhas
α = 0£¢ r (Aα) = 2 Aα
−−−−→
1
α ℓ3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
−1 1 0
−1 0 1
0 1 0
−1 1 0
−2 1 1
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 α |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
−−−−−→
ℓ3 − ℓ1
−−−−−→
ℓ2 + ℓ3
−−−−−→
−ℓ2
1 1 0 |
1 0 0 |
0 1 α |
1 1 0 |
0 −1 0 |
0 0 α |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 α |
1 0 0
0 1 0
−1 0 1
¢ ¨ 0 ¡
α =
0 1 0
1 −1 0
−2 1 1
0 1 0
1 −1 0
− 2
α
1
α
1
α
¡ ¨ ¨ ¡ A −1
α =
1 0 0
−1 1 0
−2 1 1
0 1 0
1 −1 0
−2 1 1
= [I3 | A −1
α ]
¡ Aα
− 2
¨ ¡ £¢ α
α
1
α
1
α
3α 0 −2
1 1 −α
2α 0 −1
B −1
α
α Bα
¨¥ 0£¢
¨
α =
0
B0 = 1
0
0
1
0
−2
0
−1
−−−−−→
ℓ3 − 1
2 ℓ1
0 0 −2
1 1 0
0 0 0
¡ ¡ ¢ 3 B0
α = 0£¢
[Bα, I3] =
−−−−−−→
ℓ3 − 2α ℓ1
3α 0 −2 |
1 1 −α |
2α 0 −1 |
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 −α |
3α 0 −2 |
0 −2α 2α 2 − 1 |
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ2
0 1 0
1 0 0
0 −2α 1
0 1 0
1 −1 0
¡ ¨
¢¢¡ ¨
1 1 −α |
3α 0 −2 |
2α 0 −1 |
0 1 0
1 0 0
0 0 1
31

¤
32 ¥£ ¥¡ ©
CAPÍTULO 3.
−−−−−−→
ℓ2 − 3α ℓ1
−−−−−−−→
−2ℓ2
−−−−−−→
3ℓ3
−−−−−→
ℓ2 + ℓ3
−−−−−−−−−−−−−→
ℓ2 − (−6α 2 + 4)ℓ3
B −1
α =
−−−−−−→
ℓ1 + αℓ3
−−−−−→
1
6α ℓ2
−−−−−−→
ℓ1 − αℓ2
− 1
1 1 −α |
0 −3α 3α 2 − 2 |
0 −2α 2α 2 − 1 |
1 1 −α |
0 6α −6α 2 + 4 |
0 −2α 2α 2 − 1 |
1 1 −α |
0 6α −6α 2 + 4 |
0 −6α 6α 2 − 3 |
1 1 −α |
0 6α −6α 2 + 4 |
0 0 1 |
1 1 −α |
0 6α 0 |
0 0 1 |
1 1 0 |
0 6α 0 |
0 0 1 |
1 1 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
2
0
α
α
1−2α 2
3α
1 α
2 −2
α
−2 0 3
α = 0£¢ Bα
¥§ ¥£ £¥¤ § ¥§ £ ¡ £¢¦£¦¥
££¢
0 1 0
1 −3α 0
0 −2α 1
0 1 0
−2 6α 0
0 −2α 1
0 1 0
−2 6α 0
0 −6α 3
0 1 0
−2 6α 0
−2 0 3
0 1 0
6(1 − 2α 2 ) 6α 3(6α 2 − 4)
−2 0 3
−2α 1 3α
6(1 − 2α 2 ) 6α 3(6α 2 − 4)
−2 0 3
−2α 1 3α
1−2α 2
α 1
6α 2 −2 0
−4
2α
3
− 1
2
0
α
α
1−2α 2
3α
1 α
2 −2
α
−2 0 3
= [I3 | B −1
α ]
¨ ¨ ¡
¡
= 1
−1 0 2
1 − 2α
α
2 α 3α2 − 2
−2α 0 3α
¡ ¨ Cα =
¢
r(Cα) =
1 α 2 = 1
4 α 2 = 1
1 α α 2 α 3
α α 2 α 3 1
α 2 α 3 1 α
α 3 1 α α 2
α
Cα
¡ ¨
−1 Cα
¤

¨¥ ¨ ¢
[Cα | I4] =
−−−−−→
ℓ2 − αℓ1
−−−−−−→
ℓ3 − α 2 ℓ1
−−−−−−→
ℓ4 − α 3 ℓ1
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ4
−−−−−→
ℓ3 − αℓ4
−−−−−−→
ℓ2 − α 2 ℓ4
−−−−−→
ℓ2 − αℓ3
1 α α 2 α 3 |
α α 2 α 3 1 |
α 2 α 3 1 α |
α 3 1 α α 2 |
1 α α 2 α 3 |
0 0 0 1 − α 4 |
α 2 α 3 1 α |
α 3 1 α α 2 |
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 α α 2 α 3 |
0 0 0 1 − α 4 |
0 0 1 − α 4 α(1 − α 4 ) |
α 3 1 α α 2 |
1 0 0 0
−α 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 α α 2 α 3 |
0 0 0 1 − α4 |
0 0 1 − α4 α ` 1 − α4´ |
0 1 − α4 α ` 1 − α4´ α2 ` 1 − α4´ |
1 α α 2 α 3 |
0 1 − α4 α ` 1 − α4´ α2 ` 1 − α4´ 0 0 1 − α
|
4 α ` 1 − α4´ |
0 0 0 1 − α4 |
1 α α 2 α 3 |
0 1 − α4 α ` 1 − α4´ α2 ` 1 − α4´ |
0 0 1 − α4 0 |
0 0 0 1 − α4 |
1 α α 2 α 3 |
0 1 − α 4 α ` 1 − α 4´
0 |
0 0 1 − α 4 0 |
0 0 0 1 − α 4 |
1 α α 2 α 3 |
0 1 − α 4 0 0 |
0 0 1 − α 4 0 |
0 0 0 1 − α 4 |
1 0 0 0
−α 1 0 0
−α 2 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
−α 1 0 0
−α 2 0 1 0
−α 3 0 0 1
1 0 0 0
−α 3 0 0 1
−α 2 0 1 0
−α 1 0 0
1 0 0 0
−α 3 0 0 1
0 −α 1 0
−α 1 0 0
1 0 0 0
0 −α 2 0 1
0 −α 1 0
−α 1 0 0
1 0 0 0
0 0 −α 1
0 −α 1 0
−α 1 0 0
¡ £¢
4 2 2 1 − α = (1 − α ) (1 + α ) = 0 α = ±1
1 α α2 α3
Cα ←−−−→
linhas
4 1 − α 0£¢ =
[Cα | I4] ←−−−→
linhas
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
=⇒ r(Cα) = 1 (Cα
1 α α 2 α 3 |
0 1 − α 4 0 0 |
0 0 1 − α 4 0 |
0 0 0 1 − α 4 |
¢¢¡ ¨ )
1 0 0 0
0 0 −α 1
0 −α 1 0
−α 1 0 0
33

¤
34 ¥£ ¥¡ ©
CAPÍTULO 3.
−−−−−→
ℓ2
1−α 4
−−−−−→
ℓ3
1−α 4
−−−−−→
ℓ4
1−α 4
−−−−−−→
l1 − α 3 ℓ4
−−−−−−→
l1 − α 2 ℓ3
−−−−−→
l1 − αℓ2
⎡
⎣
⎡
⎣
⎡
⎣
⎡
⎣
⎡
⎣
⎡
⎣
1 α α 2 α 3 |
0 1 0 0 |
0 0 1 − α 4 0 |
0 0 0 1 − α 4 |
1 α α 2 α 3 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 − α 4 |
1 α α 2 α 3 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 α α 2 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 α 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
= [I4 | C −1
α ]
C −1
α =
r(Cα) = 4 ¨ ¡
⎡
⎣
¥§ ¥£ £¥¤ § ¥§ £ ¡ £¢¦£¦¥
££¢
⎤
1 0 0 0
0 0 − α
1−α4 1
1−α4 0 −α 1 − α4 0
−α 1 0 0
1 0 0 0
0 0 − α
1−α4 1
1−α4 0 − α
1−α4 1
1−α4 −α 1 0
0
0
1 0 0 0
0 0 − α
1−α4 1
1−α4 0 − α
1−α4 1
1−α4 −
0
α
1−α4 1
1−α4 0 0
1
1−α4 − α3
1−α4 0 0
0 0 − α
1−α4 1
1−α4 0 − α
1−α4 1
1−α4 0
− α
1−α4 1
1−α4 0 0
1
1−α4 0 − α2
1−α4 0
0 0 − α
1−α4 1
1−α4 0 − α
1−α4 1
1−α4 0
− α
1−α4 1
1−α4 0 0
1
1−α4 0 0 − α
1−α4 0 0 − α
1−α4 1
1−α4 0 − α
1−α4 1
1−α4 0
− α
1−α4 1
1−α4 0 0
1
1−α4 0 0 − α
1−α4 0 0 − α
1−α4 1
1−α4 0 − α
1−α4 1
1−α4 0
− α
1−α4 1
1−α4 0 0
⎤
⎦.
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦
¤

¢¡¤£¦¥ ¡
¡ ¨ £¢ ¢ ¤ ¢
¡ ¨ § A =
1 1 2 −1
2 2 −2 2
0 0 6 −4
B =
−1
4
−6
(S)
AX = B
(−1, 1, 1, 3) ¡ ¢ (S)
1, 0, 1, 0) ¢¢¡ ¢
(S)
(S)
¦¥ (S)
¨¥ ¨ (S)
A
−1
1
1
3
2 3
2
3 x
1 1 2 −1 6
4 2 2 −2 2 5 6 y 7
4 z 5
0 0 6 −4
| {z } w
| {z }
A
X
=
1 1 2 −1
2 2 −2 2
0 0 6 −4
=
−1
1
1
3
2
4 −1
4
3
5
−6
| {z
B
}
=
−1
4
−6
[−1, 1, 1, 3] T ¢ ¢
¡
0
A
1
0
1
=
1 1 2 −1
2 2 −2 2
0 0 6 −4
0
1
0
1
3
=
0
6
−1
=
4
6

36 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
[1, 0, 1, 0] T ¢¢¡ ¢ ¢
¢ A £¢ ¢
¢
A =
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 2 −1
2 2 −2 2
0 0 6 −4
1 1 2 −1
0 0 −6 4
0 0 0 0
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 1 2 −1
0 0 −6 4
0 0 6 −4
A
¡
r (A) = 2
¢
¢
[A | B] =
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 2 −1 | −1
2 2 −2 2 | 4
0 0 6 −4 | −6
1 1 2 −1 | −1
0 0 −6 4 | 6
0 0 0 0 | 0
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
= [A ′ | B ′ ]
1 1 2 −1 | −1
0 0 −6 4 | 6
0 0 6 −4 | −6
r ([A | B]) = 2 r (A) = r ([A | B]) = 2 < 4
¡ ¢ ¢ ¢
(S)
¢ ¢ [A ′ | B ′ ¢
]
4 − r (A) = 2
[A ′ | B ′ ] =
−−−→
− 1
6 ℓ2
1 1 2 −1 | −1
0 0 −6 4 | 6
0 0 0 0 | 0
1 1 0
1
3 | 1
0 0 1 − 2
0 0 0
3
0
|
|
−1
0
−−−−−→
ℓ1 + 1
3 ℓ2
= [A” | B”]
¥ B”
A”X =
1 1 0
1 x
3
0 0 1 − 2
3
0 0 0 0
y
z
w
1
=
−1
0
⇐⇒
⇐⇒
1 1 0
1
3 | 1
0 0 −6 4 | 6
0 0 0 0 | 0
w
x + y + = 1 3
z − 2
w = −1
3
x = 1 − y − w
3
z = −1 + 2
3 w
1 w
2
− y − , y, −1 + 3 3w, w
T
| (y, w) ∈ IR
(S) ¡

x y z IR
¡ ¨ £¢ ¤
(S1)
(S3)
(S5)
(S7)
(S9)
⎧
⎪⎨ x + y + 2z = 1
2x − y + z = 1
⎪⎩
3x + 3z = 0
⎧
⎪⎨ x + y − z = 0
2x + y = 1
⎪⎩
−x − z = −1
2x + y = 1
−x + 3y + z = 2
⎧
2x − y + z = −1
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + 2y + z = 0
x − 3y = −1
4x − 2y + 2z = −2
−2x + y − z = 1
x + y + z = −1
2x + y = 0
y + z = 2
x − z = −1
(S2)
(S4)
(S6)
(S8)
(S10)
¥
(a)
⎧
⎪⎨ x + y − z = 0
2x + y = 1
⎪⎩
x − z = 1
⎧
⎪⎨ x + 2y = 1
x + y = 1
⎪⎩
−x + y = −1
x + 2y + z = −1
2x + 4y + 2z = 3
⎧
−5x − 2y + z = −1
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
6x + 2y + z = 0
−4x − 2y + 3z = −2
2x + 4z = −2
−6x − 3y + 2z = −1
−x + 2z = 1
x + 2y = −1
2y + 2z = 0
x − 2z = −1
¨¥ (S1) ¢ ¢ ©
¨
(S1)
⎧
⎨ x + y + 2z = 1
2x − y + z = 1
⎩
3x + 3z = 0
⇐⇒
2
1
4 2
0
|
1
−1
3
{z
2
1
3
3 2
5 4
}
x
y
z
3 2
5 = 4 1
3
1 5
0
| {z }
A1
⇐⇒ A1X = B1
| {z }
X
¢ A1 £¢ ¢
¢
B1
37
¢

38 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
A1 =
1 1 2
2 −1 1
0 3 3
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 1 2
0 −3 −3
0 3 3
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 2
0 −3 −3
0 0 0
r (A1) = 2
¢
¡
A1
¢
[A1 | B1] =
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 2 | 1
2 −1 1 | 1
0 3 3 | 0
1 1 2 | 1
0 −3 −3 | −1
0 0 0 | −1
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 1 2 | 1
0 −3 −3 | −1
0 3 3 | 0
r ([A1 | B1]) = 3
r (A1) < r ([A1 | B1])
(S1) ¡
§ (S2) £¢ ¢ ©
(S2)
⎧
⎨
⎩
x + y − z = 0
2x + y = 1
x − z = 1
⇐⇒
2
4
1
2
1
1
−1
0
1 0 −1
| {z }
A2
⇐⇒ A2X = B2
3 2
5 4 x
y
z
3
5
| {z }
X
=
2
4 0
1
3
5
1
| {z }
¢ A2 ¢ ¢
¢
A2 =
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
1 1 −1
2 1 0
1 0 −1
1 1 −1
0 −1 2
0 0 −2
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 1 −1
0 −1 2
1 0 −1
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
B2
1 1 −1
0 −1 2
0 −1 0
r (A2) = 3
¢
¡
A2
¢
[A2 | B2] =
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
1 1 −1 | 0
2 1 0 | 1
1 0 −1 | 1
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
0 −1 0 | 1
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
1 0 −1 | 1
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
0 0 −2 | 0
= [A ′ 2 | B ′ 2]

(A2) = r ([A2 | B2]) = 3
(S2) ¡
¢ ¢ [A ′ 2 | B′ 2 ]
r ([A2 | B2]) = 3
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
0 0 −2 | 0
¢
[A ′ 2 | B ′ 2] =
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ3
−−−−→
ℓ1 + ℓ3
1 1 −1 | 0
0 1 0 | −1
0 0 1 | 0
1 0 0 | 1
0 1 0 | −1
0 0 1 | 0
−−−−→
−ℓ2
− 1
3 ℓ3
−−−−→
ℓ1 + ℓ3
= [A2” | B2”]
¥ B2”
A2”X =
1 0 0
x
1
x
(S3)
⎧
⎨
0 1 0
0 0 1
y
z
=
−1
0
⇐⇒
1 1 −1 | 0
0 1 −2 | −1
0 0 1 | 0
1 1 0 | 0
0 1 0 | −1
0 0 1 | 0
y
z
=
1
−1
0
(S3) £¢ ¢ ©
⎩
x + y − z = 0
2x + y = 1
−x − z = −1
⇐⇒
2
4
1 1 −1
2 1 0
−1 0 −1
| {z }
A3
⇐⇒ A3X = B3
3 2
5 4 x
y
z
3
5
| {z }
X
=
2
4
0
1
3
5
|
−1
{z }
¢ A3 £¢ ¢
¢
A3 =
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 −1
2 1 0
−1 0 −1
1 1 −1
0 −1 2
0 0 0
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 1 −1
0 −1 2
−1 0 −1
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
B3
1 1 −1
0 −1 2
0 1 −2
r (A3) = 2
¢
¡
A3
¢
[A3 | B3] =
1 1 −1 | 0
2 1 0 | 1
−1 0 −1 | −1
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
−1 0 −1 | −1
39

40 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
0 1 −2 | −1
r ([A3 | B3]) = 2
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
0 0 0 | 0
= [A ′ 3 | B′ 3 ]
r (A3) = r ([A3 | B3]) = 2 < 3
¢ ¢ 3 − r (A3) = 1
(S3) ¡ ¢
¢ ¢ [A ′ 3 | B′ 3 ]
¢
[A ′ 3 | B′ 3 ] =
−−−−→
ℓ1 − ℓ2
1 1 −1 | 0
0 −1 2 | 1
0 0 0 | 0
1 0 1 | 1
0 1 −2 | −1
0 0 0 | 0
1 1 −1 | 0
−−−−→
−ℓ2 0 1 −2 | −1
0 0 0 | 0
= [A3” | B3”]
¥ B3”
A3”X =
1 0 1
x
1
0 1 −2
0 0 0
y
z
=
(S3)
−1
0
⇐⇒
⇐⇒
x + z
y − 2z
0
x
y
z
=
=
1
−1
0
1 − z
−1 + 2z
z
[1 − z, −1 + 2z, z]
¡ T | z ∈
IR
¡ (S4) £¢ ¢ ©
(S4)
⎧
⎨
⎩
x + 2y = 1
x + y = 1
−x + y = −1
⇐⇒
2
4
1 2 0
1 1 0
−1 1 0
| {z }
A4
⇐⇒ A4X = B4
3 2
5 4 x
y
z
3
5
| {z }
X
=
2
4
1
1
3
5
−1
| {z }
¢ A4 ¢ ¢
¢
A4 =
−−−−−→
ℓ3 + 3ℓ2
1 2 0
1 1 0
−1 1 0
1 2 0
0 −1 0
0 0 0
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
1 2 0
0 −1 0
−1 1 0
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
B4
1 2 0
0 −1 0
0 3 0

(A4) = 2
¢
¡
A4
¢
[A4 | B4] =
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
1 2 0 | 1
1 1 0 | 1
−1 1 0 | −1
1 2 0 | 1
0 −1 0 | 0
0 3 0 | 0
r ([A4 | B4]) = 2
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−−→
ℓ3 + 3ℓ2
1 2 0 | 1
0 −1 0 | 0
−1 1 0 | −1
1 2 0 | 1
0 −1 0 | 0
0 0 0 | 0
= [A ′ 4 | B ′ 4]
r (A4) = r ([A4 | B4]) = 2 < 3
¢ ¢ 3 − r (A4) = 1
(S4) ¡ ¢
¢ ¢ [A ′ 4 | B′ 4 ]
¢
[A ′ 4 | B′ 4 ] =
−−−−−→
ℓ1 − 2ℓ2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 2 0 | 1
0 −1 0 | 0
0 0 0 | 0
1 0 0 | 1
0 1 0 | 0
0 0 0 | 0
x
y
z
1 2 0 | 1
−−−−→
−ℓ2 0 1 0 | 0
0 0 0 | 0
= [A4” | B4”]
A4”X = B4”
¥
(S4)
=
1
0
0
⇐⇒
x
y
0
[1, 0, z]
¡ T | z ∈
IR
=
1
0
0
(S5) £¢ ¢ ©
(S5)
2x + y = 1
−x + 3y + z = −1
⇐⇒ »
2
−1
1
3
0
1
2
–
4 x
y
3
5
=
| {z } z
| {z }
A5
X
» –
1
2
| {z }
B5
⇐⇒ A5X = B5
¢ A5 £¢ ¢
¢
A5 =
2 1 0
−1 3 1
−−−−−→
ℓ1 + 2ℓ2
2 1 0
0 7 2
41

42 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
[A5 | B5] =
2 1 0 | 1
−1 3 1 | 2
r (A5) = 2
¢
¡
−−−−−→
A5
¢
r ([A5 | B5]) = 2
ℓ1 + 2ℓ2
2 1 0 | 1
0 7 2 | 5
= [A ′ 5 | B ′ 5]
r (A5) = r ([A5 | B5]) = 2 < 3
¢ ¢ 3 − r (A5) = 1
(S5) ¡ ¢
¢ ¢ [A ′ 5 | B′ 5 ]
¢
[A ′ 5 | B′ 5
] =
−−−−→
1
7 ℓ2
2 1 0 | 1
1
0 7 2 | 5
1
2 0 |
0 1
2
7
|
1
2
5
7
−−−−→ 1
1
2 ℓ1
−−−−−→
ℓ1 − 1
2 ℓ2
1
2 0 |
1
2
0 7 2 | 5
1 0 − 1
0 1
¥ B5”
A5”X =
1 0
1
−
0 1
7
2
7
x
y
z
1
=
7
5
7
⇐⇒
⇐⇒
7
2
7
|
|
1
x − 7 z
y + 2
7 z
x
=
y
1
7
5
7
=
1
= [A5” | B5”]
1
7
5
7
(z + 1)
7
1
(5 − 2z)
7
(S5) ¡ 1
1 (z + 1) , 7 7 (5 − 2z) z T
| z
∈ IR
¡ (S6) £¢ ¢ ©
(S6)
x + 2y + z = −1
2x + 4y + 2z = 3
1 2 1
2 4 2
⇐⇒ » 2 3
– x
1 2 1
4 y 5 = 2 4 2
| {z } z
| {z }
A6
X
» –
−1
3
| {z }
B6
⇐⇒ A6X = B6
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 2 1
0 0 0
¢ A6 ¢
¢
A6 =
A6
¢
r (A6) = 1
¢
¡

[A6 | B6] =
1 2 1 | −1
2 4 2 | 3
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 2 1 | −1
0 0 0 | 5
r ([A6 | B6]) = 2
r (A6) = 1 < r ([A6 | B6]) = 2
(S6) ¡
¡ (S7) £¢ ¢ ©
(S7)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2x − y + z = −1
x + 2y + z = 0
x − 3y = −1
4x − 2y + 2z = −2
−2x + y − z = 1
⇐⇒
2
3
2 −1 1
6 1 2 1 7 2
6
7
6 1 −3 0 7 4
6
7
4 4 −2 2 5
−2 1 −1
| {z }
x
3
y 5
z
| {z }
X
A7
⇐⇒ A7X = B7
=
2
−1
3
6
4
0
−1
−2
7
5
1
| {z }
¢ A7 £¢ ¢
¢
⎡
A7 =
−−−−−→
ℓ3 − 1
2 ℓ1
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2 −1 1
1 2 1
1 −3 0
4 −2 2
−2 1 −1
2 −1 1
1 2 1
0 − 5
2
1
− 2
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦ −−−−→
ℓ5 + ℓ1
⎤
⎥
⎦ −−−−−→
ℓ2 − 1
2 ℓ1
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2 −1 1
1 2 1
1 −3 0
4 −2 2
0 0 0
⎤
2 −1 1
0
5
2
1
2
0 − 5
2
1
− 2
0 0 0
0 0 0
⎥
⎦ −−−−−→
ℓ4 − 2ℓ1
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥
⎦ −−−−→
ℓ3 + ℓ2
2 −1 1
1 2 1
⎡
⎢
⎣
1 −3 0
0 0 0
0 0 0
B7
⎤
⎥
⎦
2 −1 1
0
5
2
1
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A7
¢
[A7 | B7] =
−−−−−→
ℓ4 − 2ℓ1
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2 −1 1 | −1
1 2 1 | 0
1 −3 0 | −1
4 −2 2 | −2
−2 1 −1 | 1
2 −1 1 | −1
1 2 1 | 0
1 −3 0 | −1
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎤
⎥
⎦
r (A7) = 2
¢
¡
⎤
⎥
⎤
⎥
⎦ −−−−→
ℓ5 + ℓ1
⎦ −−−−−→
ℓ3 − 1
2 ℓ1
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2 −1 1 | −1
1 2 1 | 0
1 −3 0 | −1
4 −2 2 | −2
0 0 0 | 0
2 −1 1 | −1
1 2 1 | 0
0 − 5
2
1
− | − 2 1
2
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
43

44 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
−−−−−→
ℓ2 − 1
2 ℓ1
⎡
⎢
⎣
2 −1 1 | −1
0
5
2
1
2 |
1
2
0 − 5
2
1
− 2 | − 1
2
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
r ([A7 | B7]) = 2
3 − r (A7) = 1
⎤
⎥
⎦ −−−−→
ℓ3 + ℓ2
⎡
⎢
⎣
2 −1 1 | −1
0
5
2
1
2 |
1
2
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎤
⎥
⎦ = [A′ 7 | B ′ 7]
r (A7) = r ([A7 | B7]) = 2
(S7) ¡ ¢ ¢
¢
¢ ¢ [A ′ 7 | B′ 7 ]
¢
[A ′ 7 | B ′ 7] =
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2 −1 1 | −1
0
5
2
1
2 |
1
2
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
2 0
0 1
6
| − 5 4
5
1
1
| 5
5
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎤
⎡
⎥
⎦ −−−−→
2
5 ℓ2
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦ = [A7” | B7”]
A7”X = B7”
¥
⎡
⎡
⎢
⎣
2
0
0
1
6
5
1
5
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦
x
y
z
⎢
= ⎣
− 4
5
1
5
0
0
0
⎤
⎥
⎦ ⇐⇒
⇐⇒
2 −1 1 | −1
0 1
1
5 |
1
5
0 0 0 | 0
2x + 6
5 z
y + 1
5 z
x
y
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
=
1
−
5 =
1
5
− 4
5
1
5
(3z + 2)
(1 − z)
(S7) ¡ 1
1
− (3z + 2) , 5 5 (1 − z) , z T
| z
∈ IR
¡ (S8) £¢ ¢ ©
(S8)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−5x − 2y + z = −1
6x + 2y + z = 0
−4x − 2y + 3z = −2
2x + 4z = −2
−6x − 3y + 2z = −1
⇐⇒
2
3
−5 −2 1
6 6 2 1 7 2
6
7
6 −4 −2 3 7 4
6
7
4 2 0 4 5
−6 −3 2
| {z }
x
3
y 5
z
| {z }
X
A8
⇐⇒ A8X = B8
=
⎤
⎥
⎦
2
−1
3
6
4
0
−2
−2
7
5
−1
| {z }
B8

¢ A8 £¢ ¢
¢
A8 =
−−−−−→
ℓ3 − 4
5 ℓ1
−−−−−→
ℓ5 − 1
2 ℓ4
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
−5 −2 1
6 2 1
−4 −2 3
2 0 4
−6 −3 2
⎤
⎥
−5 −2 1
6 2 1
0 − 2
5
0 − 4
5
0 − 3
5
11
5
22
5
4
5
⎦ −−−−−→
ℓ5 − 6
5 ℓ1
⎤
⎥
⎡
⎢
⎣
⎦ −−−−−→
ℓ2 + 6
5 ℓ1
⎤
−5 −2 1
0 − 3
0
5
−
4
5
2
0
5
−
11
5
4
5
22
5
⎥
⎦
0 0 0
−−−−−→
ℓ4 − 2ℓ3
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
−5 −2 1
6 2 1
−4 −2 3
2 0 4
0 − 3
5
4
5
⎤
⎥
⎦ −−−−−→
ℓ4 + 2
5 ℓ1
⎤
⎡
⎢
⎣
−5 −2 1
0 − 2
0
5
−
11
5
2
0
5
−
11
5
4
5
22
5
0 − 3
⎥
⎦
5
4
5
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ5
−5 −2 1
0 − 3
5
4
5
0 − 2
5
11
5
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦ −−−−−→
ℓ3 − 2
3 ℓ2
⎡
⎢
⎣
−5 −2 1
6 2 1
−4 −2 3
⎡
⎢
⎣
0 − 4
5
0 − 3
5
22
5
4
5
⎤
⎥
⎦
−5 −2 1
0 − 3
5
4
5
0 − 2
5
11
5
0 − 4
5
22
5
0 − 2
5
11
5
−5 −2 1
0 − 3
5
4
5
0 0
5
3
0 0 0
0 0 0
A8
¢
[A8 | B8] =
−−−−−→
ℓ4 + 2
5 ℓ1
−−−−−→
ℓ2 + 6
5 ℓ1
−−−−−→
ℓ5 − 1
2 ℓ4
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
−5 −2 1 | −1
6 2 1 | 0
−4 −2 3 | −2
2 0 4 | −2
−6 −3 2 | −1
45
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
r (A8) = 3
¢
¡
⎤
⎥
−5 −2 1 | −1
6 2 1 | 0
−4 −2 3 | −2
0 − 4
5
0 − 3
5
22
5 | − 12
5
4
5 |
1
5
−5 −2 1 | −1
0 − 2
5
11
5 | − 6
5
0 − 2
5
11
5 | − 6
5
0 − 4
5
22
5 | − 12
5
0 − 3
5
4
5 |
1
5
⎦ −−−−−→
ℓ5 − 6
5 ℓ1
⎤
⎥
⎡
⎢
⎣
⎦ −−−−−→
ℓ3 − 4
5 ℓ1
⎤
⎥
⎦ −−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ5
⎤
−5 −2 1 | −1
0 − 3
0
5
−
4
5 |
1
5
2
5
11
5 | − 6
0 −
5
4
5
22
5 | − 12
5
⎥
⎦
0 0 0 | 0
−−−−−→
ℓ4 − 2ℓ3
−5 −2 1 | −1
6 2 1 | 0
−4 −2 3 | −2
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2 0 4 | −2
0 − 3
5
4
5
|
1
5
⎤
⎥
⎦
−5 −2 1 | −1
6 2 1 | 0
0 − 2
5
0 − 4
5
0 − 3
5
11
5 | − 6
5
22
5 | − 12
5
4
5 |
1
5
−5 −2 1 | −1
0 − 3
5
4
5 |
1
5
0 − 2
5
11
5 | − 6
5
0 − 4
5
22
5 | − 12
5
0 − 2
5
11
5 | − 6
5
−5 −2 1 | −1
0 − 3
5
4
5 |
1
5
0 − 2
5
11
5 | − 6
5
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

46 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
−−−−−→
ℓ3 − 2
3 ℓ2
⎡
⎢
⎣
r ([A8 | B8]) = 3
−5 −2 1 | −1
0 − 3
5
4
5 |
1
5
0 0
5
3 | − 4
3
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎤
⎥
⎦ = [A′ 8 | B ′ 8]
r (A8) = r ([A8 | B8]) = 3
(S8) ¡
¢ ¢ [A ′ 8 | B′ 8 ]
¢
⎡
[A ′ 8 | B ′ 8] =
−−−−−→
ℓ2 − 4
5 ℓ3
−−−−−→
ℓ1 − 2
3 ℓ2
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
−5 −2 1 | −1
0 − 3
5
4
5 |
1
5
0 0
5
3 | − 4
3
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
−5 −2 1 | −1
0 −3 0 |
21
5
0 0 5 | −4
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
−5 0 0 | −3
= [A8” | B8”]
0 −3 0 |
21
5
0 0 5 | −4
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎤
⎥
⎦
⎤
−−−−→
5ℓ2
3ℓ3
⎡
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦ −−−−−→
ℓ1 − 1
5 ℓ3
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
−−−−−−−−−−→
− 1
5 ℓ1, − 1
3 ℓ2
1
5 ℓ3
A8”X = B8”
¥
⎡
5
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦
x
y
z
⎡
⎢
= ⎢
⎣
3
− 7
5
− 4
5
0
0
⎤
⎥
⎦ ⇐⇒
x
−5 −2 1 | −1
0 −3 4 | 1
0 0 5 | −4
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
−5 −2 0 | − 1
5
0 −3 0 |
21
5
0 0 5 | −4
y
z
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
⎡
⎢
⎣
1 0 0 |
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
5
3
0 1 0 | − 7
5
0 0 5 | − 4
5
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
=
5
3
− 7
5
− 4
5
¡ (S9) £¢ ¢ ©
(S9)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + z = −1
2x + y = 0
y + z = 2
x − z = −1
⇐⇒
2
3
1 1 1 2
6 2 1 0 7 4
4 0 1 1 5
1 0 −1
| {z }
A9
x
3
y 5
z
| {z }
X
⇐⇒ A9X = B9
=
⎤
⎥
⎦
2
6
4
−1
0
2
3
7
5
−1
| {z }
B9

¢ A9 £¢ ¢
¢
A9 =
−−−−→
ℓ4 + ℓ3
1 1 1
2 1 0
0 1 1
1 0 −1
1 1 1
0 −1 −2
0 1 1
0 0 −1
−−−−→
ℓ4 − ℓ1
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 1
2 1 0
0 1 1
0 −1 −2
1 1 1
0 −1 −2
0 0 −1
0 0 −1
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−→
ℓ3 − ℓ4
1 1 1
0 −1 −2
0 1 1
0 −1 −2
1 1 1
0 −1 −2
0 0 −1
0 0 0
r (A9) = 3
¢
¡
A9
¢
[A9 | B9] =
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 1 | −1
2 1 0 | 0
0 1 1 | 2
1 0 −1 | −1
1 1 1 | −1
0 −1 −2 | 1
0 1 1 | 2
0 −1 −2 | 0
1 1 1 | −1
0 −1 −2 | 1
0 0 −1 | 3
0 0 −1 | 2
−−−−→
ℓ4 − ℓ1
−−−−→
ℓ4 + ℓ3
−−−−→
ℓ3 − ℓ4
1 1 1 | −1
2 1 0 | 0
0 1 1 | 2
0 −1 −2 | 0
1 1 1 | −1
0 −1 −2 | 1
0 1 1 | 2
0 0 −1 | 2
1 1 1 | −1
0 −1 −2 | 1
0 0 −1 | 3
0 0 0 | 1
r ([A9 | B9]) = 4 r (A9) < r ([A9 | B9])
(S9) ¡
¡ (S10)
(S10)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−x + 2z = 1
x + 2y = −1
£¢ ¢ ©
2y + 2z = 0
x − 2z = −1
⇐⇒
2
6
4
−1 0 2
1 2 0
0 2 2
1 0 −2
| {z }
A10
⇐⇒ A10X = B10
3
2 3
7 x
7 4
5
y 5
z
| {z }
X
=
2
6
4
1
−1
0
3
7
5
−1
| {z }
¢ A10 ¢ ¢
¢
A10 =
−1 0 2
1 2 0
0 2 2
1 0 −2
−−−−→
ℓ4 + ℓ1
−1 0 2
1 2 0
0 2 2
0 0 0
−−−−→
ℓ2 + ℓ1
−1 0 2
0 2 2
0 2 2
0 0 0
B10
47

48 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
−1 0 2
0 2 2
0 0 0
0 0 0
r (A10) = 2
¢
¡
A10
¢
[A10 | B10] =
−−−−→
ℓ2 + ℓ1
−1 0 2 | 1
1 2 0 | −1
0 2 2 | 0
1 0 −2 | −1
−1 0 2 | 1
0 2 2 | 0
0 2 2 | 0
0 0 0 | 0
= [A ′ 10 | B′ 10 ]
r ([A10 | B10]) = 2
3 − r (A10) = 1
−−−−→
ℓ4 + ℓ1
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
−1 0 2 | 1
1 2 0 | −1
0 2 2 | 0
0 0 0 | 0
−1 0 2 | 1
0 2 2 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
¡ ¢ ¢
r (A10) = r ([A10 | B10])
(S10) ¢
¢ ¢ [A ′ 10 | B ′ 10]
¢
−1 0 2 | 1
[A ′ 10 | B′ 10 ] =
1 0 −2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
0 2 2 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
= [A10” | B10”]
x
y
z
−−−−→
−ℓ1
1
2 ℓ2
A10”X = B10”
¥
1
(S10)
⎡
= ⎣
¡
0
0
0
⎤
⎦ ⇐⇒
⇐⇒
1 0 −2 | −1
0 1 1 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
x − 2z
y + z
x − 2z
y + z
[−1 + 2z, −z, z] T
| z ∈ IR
1
=
0
1
=
0

¡ ¨ α ∈ IR β ∈ IR
x + y − z = 1
⎪⎩
⎧ ⎪⎨
−x − αy + z = −1
−x − y + (α + 1)z = β − 2
¢ ¢ α
β
α = 0 β = 1
¨¥ ¨
⎧
⎪⎨ x + y − z = 1
−x − αy + z = −1
⎪⎩
−x − y + (α + 1)z = β − 2
−1 −α 1
x
y
=
−1
−1
−1
α + 1 z
X
β − 2
£¢ ¢
1 1 −1
1
Aα
Bβ
⇐⇒ Aα X = Bβ
¢ Aα £¢ ¢
¢
1
Aα = −1
−1
1
−α
−1
−1
1
α + 1
r (Aα) =
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
Aα
1 1 −1
−1 −α 1
0 0 α
¡
−−−−→
ℓ2 + ℓ1
2 ¢¡ α = 0 £¥¤ α = 1
3 ¢¡ α = 0 ¡ α = 1
1 1 −1
0 1 − α 0
0 0 α
¢ ¢
[Aα | Bβ] =
−−−−→
ℓ2 + ℓ1
1 1 −1 | 1
−1 −α 1 | −1
−1 −1 α + 1 | β − 2
1 1 −1 | 1
0 1 − α 0 | 0
0 0 α | β − 1
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
1 1 −1 | 1
−1 −α 1 | −1
0 0 α | β − 1
49

50 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
£¢
⎧
⎪⎨
⎪⎩
¢¡ ¡
¢¡ ¡
¢¡
¢¡ ¡
⎧
2
⎪⎨
3
r ([Aα | Bβ]) =
2
⎪⎩
3
α = 0
α = 0
α = 1
α = 0
β = 1
β = 1
α = 1
¡ α = 0 ¡ α = 1 ¡¢¡¤£¦¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
©£
§
£ . ¡
¡ α = 1 ¡¢¡£¦¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤
¡¤
§
¤ 1.
¡ α = 0 ¡ β = 1 ¡¢¡£©¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤
¡¤
§
¤ 1.
¡ ¡ ¡¢¡£©¥ £
§
α = 0 β = 1 r (Aα) = 2 < r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ ©£
£ ¡¢
α = 0 β = 1 ¡ ¢
1 1 −1
0 1 0
0 0 0
x
y
z
=
1
0
0
y = 0 x − z = 1
{(x, 0, x − 1) | x ∈ IR}
⇐⇒
x + y − z
y
0
=
1
0
0
1
¢¡
¡ ¨ α ∈ IR β ∈ IR
x + αz = 3
⎪⎩
⎧⎪ ⎨
x + (β − 3)y + 2αz = α + 3
x + 2αz = 4
¢ ¢ α
β
α 1 = β 3
=

¨¥ ¨
⎧
⎪⎨
x + αz = 3
x + (β − 3)y + 2αz = α + 3
⎪⎩
x + 2αz = 4
£¢ ¢
2
4
1
1
0
β − 3
α
2α
1 0 2α
| {z }
Aαβ
3 2
5 4 x
y
z
3
5
| {z }
X
=
2
4 3
α + 3
3
5
|
4
{z }
Bα
⇐⇒ Aαβ X = Bα
¢ Aαβ ¢
¢
1
Aαβ = 1
1
0
β − 3
0
α
2α
2α
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
⎧
⎪⎨
r (Aαβ) =
⎪⎩
Aαβ
1 0 α
0 β − 3 α
1 0 2α
¡
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
1 ¢¡ β = 3 ¡ α = 0
2 ¢¡ β = 3 ¡ α = 0
2 ¢¡ β = 3 ¡ α = 0
3 ¢¡ β = 3 ¡ α = 0
1 0 α
0 β − 3 α
0 0 α
¢ ¢
[Aαβ | Bα] =
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
1 0 α | 3
1 β − 3 2α | α + 3
1 0 2α | 4
1 0 α | 3
0 β − 3 α | α
0 0 α | 1
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
⎧
⎨
r ([Aαβ | Bα]) =
⎩
3 β = ¢¡ 3
2 ¢¡ β = 3 ¡ α = 1
3 ¢¡ β = 3 ¡ α = 1
1 0 α | 3
1 β − 3 2α | α + 3
0 0 α | 1
51

52 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
£¢
⎧
⎪⎨
⎪⎩
¡ β = 3 ¡ α = 0 ¡¢¡£©¥ £ r (Aαβ) = r ([Aαβ | Bα]) = 3
¨§
¡¢ £ ¡¢ ¡¡ ¡
©£
§
£
¡ ¡ ¡¢¡£©¥ £
§
β = 3 α = 0 r (Aαβ) = 2 < r ([Aαβ | Bα]) = 3
¨§
¡¢ ©£
£ ¡¢
¡ β = 3 ¡ α = 1 ¡¢¡£©¥ £ r (Aαβ) = r ([Aαβ | Bα]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤ 1
¡¤
¡ ¡ ¡¢¡£©¥ £
§
β = 3 α = 0, 1 r (Aαβ) = 2 < r ([Aαβ | Bα]) = 3
¨§
¡¢ ©£
£ ¡¢
¡ ¡ ¡¢¡£©¥ £
§
β = 3 α = 0 r (Aαβ) = 1 < r ([Aαβ | Bα]) = 3
¨§
¡¢ ©£
£ ¡¢
3 ¡ ¢
α = 1 β =
1 0 1
0 0 1
0 0 1
x
y
z
=
3
1
1
x = 2 z = 1
{(2, y, 1) | y ∈ IR}
⇐⇒
x + z
z
z
=
3
1
1
1
¡
¡ ¨ α ∈ IR β ∈ IR
⎧
⎪⎨
x + αy + βz = 1
(Sαβ) α(β − 1)y = α
⎪⎩
x + αy + z = β2
¢ ¢ α
β ¢
(S22) ¤
(S22)
¡ ¨
¢ (S22) ¨
¨¥ ¨ (Sαβ)

¢ ¢
2
4
1
0
α
α(β − 1)
β
0
1 α 1
| {z }
Aαβ
3 2
5 4 x
y
z
3
5
| {z }
X
=
2
4 1
α
β2 3
5
| {z }
Bαβ
⇐⇒ Aαβ X = Bαβ
¢ Aαβ ¢
¢
1
Aαβ = 0
1
α
α(β − 1)
α
β
0
1
Aαβ
−−−−→
ℓ1 − ℓ3
⎧
⎨ 1 β ¢¡ = 1
r (Aαβ) =
⎩
¡
1 α β
0 α(β − 1) 0
0 0 β − 1
2 ¢¡ β = 1 ¡ α = 0
3 ¢¡ β = 1 ¡ α = 0
¢ ¢
[Aαβ | Bαβ] =
£¢
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 α β | 1
0 α(β − 1) 0 | α
1 α 1 | β 2
⎧
⎪⎨
r ([Aαβ | Bαβ]) =
⎪⎩
−−−−→
ℓ1 − ℓ3
1 α β | 1
0 α(β − 1) 0 | α
0 0 β − 1 | 1 − β 2
1 ¢¡ β = 1 ¡ α = 0
2 ¢¡ β = 1 ¡ α = 0
2 ¢¡ β = 1 ¡ α = 0
3 ¢¡ β = 1 ¡ α = 0
¡ β = 1 ¡ α = 0 ¡¢¡£©¥ £ r (Aα,β) = r ([Aα,β | Bα,β]) = 1
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤
¡¤
§
¤ 2.
¡ ¡ ¡¢¡£©¥ £
¨§
β = 1 α = 0 r (Aαβ) = 1 < r ([Aαβ | Bαβ]) = 2
©£ ¡¢¡ £ ¡¢
¡ β = 1 ¡ α = 0 ¡¢¡£©¥ £ r (Aαβ) = r ([Aαβ | Bαβ]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤
¡¤
§
¤ 1.
¡ β = 1 ¡ α = 0 ¡¢¡£©¥ £ r (Aαβ) = r ([Aαβ | Bαβ]) = 3
¨§
¡¢ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
©£
§
£
¡
53

54 CAPÍTULO 4. ¦ £§ ¥£ £¡ ¦§©££¢¡ £ §¥£
α = β = 2 ¡ ¡
¢
A22
(S22)
1 2 2 | 1 0 0
[A22 | I3] =
−−−−→
1
2 ℓ2
−−−−−→
ℓ1 − 2ℓ3
A22
0 2 0 | 0 1 0
1 2 1 | 0 0 1
=
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
1 2 2
0 2 0
1 2 1
1 2 2 | 1 0 0
0 2 0 | 0 1 0
0 0 −1 | −1 0 1
¢
1
0
0
2
1
0
2
0
−1
|
|
|
1
0
−1
0
1
2
0
0
0
1
−−−−→
−ℓ3
1
0
0
2
1
0
2
0
1
|
|
|
1
0
1
0
1
2
0
0
0
−1
1
0
0
2
1
0
0
0
1
|
|
|
−1
0
1
0
1
2
0
2
0
−1
−−−−−→
ℓ1 − 2ℓ2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
|
|
|
−1
0
1
−1
1
2
0
2
0
−1
= I3 | A −1
¡ ¨
22
−1
−1
A22 = 0
1
−1
1
2
0
2
0
−1
A22
¡ ¨ £¢
A22X = B22 ⇐⇒ A −1
⇐⇒
⇐⇒
22 A22X = A −1
22 B22 ⇐⇒ X = A −1
22 B22
−1 −1 2
1
x
y
z
x
y
z
=
=
1
0 0 2
1 0 −1
5
1
−3
2
4

¢¡¤£¦¥ ¡
¡ ¢ ¢ ¢
¡ ¨ § £¢
A =
¢ ¢ ©
1 1 0
2 1 1
1 1 1
B =
1 0 −1 0
−2 0 2 −1
1 1 −1 1
3 3 −6 6
¨¥ ¤£ ¡ 1
¨
det A =
1
2
1
1
1
1
0
1
1
=
1
1
1
1
2
− 1
1
1
det B =
=
= −2
1 0 −1 0
−2 0 2 −1
1 1 −1 1
3 3 −6 6
0 2 −1
1 −1 1
3 −6 6
1 1
3 6
−
−
− −2
−2 0 −1
1 1 1
3 3 6
1 −1
3 −6
= 0 − 1 = −1
1 1
3 6
= (−2 × 3 − (−3)) − (−2 × 3 − 0) = 3
1 1 0
2 1 1
1 1 1
=
1 1
1 1
− 2
1 0
1 1
−
+
¥£ ¡ 1
det A =
= 0 − 2 + 1 = −1
£
1 0
1 1
1 1
3 3

56 CAPÍTULO 5. ¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
det B =
=
= −
+ 3
+ 2
+ 3
− 3
1 0 −1 0
−2 0 2 −1
1 1 −1 1
3 3 −6 6
0 2 −1
1 −1 1
3 −6 6
2 −1
−6 6
−1 0
2 −1
0 −1 0
1 −1 1
3 −6 6
2 −1
−1 1
−1
2
0
−1
+
+ 2 −
= −6 + 3 × 1 + 2 × 3 + 3 − 3 = 3
¡ ¨ λ ∈ IR Aλ
0 −1 0
0 2 −1
3 −6 6
=
λ det Aλ = 0
¨¥ ¨ ¨ Aλ
det Aλ =
3 − λ −3 2
0 −2 − λ 2
0 −3 3 − λ
¨
= (3 − λ)
= (3 − λ) ((−2 − λ) (3 − λ) + 6)
−1 0
−6 6
= (3 − λ) (λ 2 − λ) = (3 − λ) λ (λ − 1)
det Aλ = 0 ⇐⇒ (3 − λ) λ (λ − 1) = 0
− 3
+ 3
0 −1 0
0 2 −1
1 −1 1
−1 0
−1 1
3 − λ −3 2
0 −2 − λ 2
0 −3 3 − λ
1
¡
−2 − λ 2
−3 3 − λ
⇐⇒ λ = 0 λ = 1 λ = 3
¡ ¨ k ∈ IR
Bk =
1 0 −1 0
2 −1 −1 k
0 k −k k
−1 1 1 2
k det Bk = 2

¨¥ ¤£ ¡ 1
¨
det Bk
1
2
= 0
−1
0
−1
k
1
−1
−1
−k
1
0
k
k
2
=
−1
k
1
−1
−k
1
k
k
2
−
2
0
−1
−1
k
1
k
k
2
= k
= k −
−k 2
−1 −1 k
1 −1 1
1 1 2
−1 1
1 2
1 1
1 2
− k
+
+
1 1
1 2
0 1
−1 1
2 −1 k
0 1 1
−1 1 2
+ k
+ k
= k (4 + 2k) − k (3 + k) = k 2 + k
1 −1
1 1
0 1
−1 1
det Bk = 2 ⇐⇒ k2 − k = 2 ⇐⇒ k2 − k − 2 = 0
¡ ¨ H = ⎣
det H =
⇐⇒ (k − 1)(k + 2) = 0 ⇐⇒ k = 1 k = −2
⎡
x a b 0 c
0 y 0 0 d
0 e z 0 f
g h k u ℓ
0 0 0 0 v
x a b 0 c
0 y 0 0 d
0 e z 0 f
g h k u ℓ
0 0 0 0 v
= v
⎤
⎦ det
H
¨¥ ¨ £ ¡ 5 ¡ 4 ¡ 1
1
= vuxyz
x a b 0
0 y 0 0
0 e z 0
g h k u
¡ ¨
am + bp an + bq
cm + dp cn + dq
= vu
x a b
0 y 0
0 e z
= vux
= (mq − np) (ad −
bc)
¨¥ ¨
am + bp an + bq
cm + dp cn + dq
=
am an
cm + dp cn + dq
+
bp bq
cm + dp cn + dq
y 0
e z
57

¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
58 CAPÍTULO 5.
am
= cm
m
= ac
an am an bp bq bp bq
+ + + cn dp dq cm cn dp dq
n m n p q p
+ ad
+ bc
+ bd
q
m n
p q
m n
= ac × 0 + ad (mq − pn) + bc (pn − mq) + bd × 0
p q
= ad (mq − pn) − bc (mq − pn) = (mq − np) (ad − bc)
¢¡¤£ ¦¥¨§¨© ¦ ¡ § ¤¤¥¦ ¡ ¥ 1 2 3
¦¥ ¦§ §
¡ ¨ abc = 0£¢
bc a 2 a 2
b 2 ac b 2
c 2 c 2 ab
a b c
=
¨
¨¥
bc
abc
a2 a2 b2 ac b2 c2 c2
ab
abc
= bc
a2 a2 ab2 ac b2 ac2 c2
abc
= c
ab
ba2 a2 ab2 bac b2 ac2 bc2
ab
=
= a
= ab
= abc
bc
a2 a2 b2 ac b2 c2 c2
ab
=
¡ ¨
A =
d e f
g h i
a b c
bc ba ca
ab 2 bac cb 2
ac 2 bc 2 cab
bc ab ac
ab ac bc
ac bc ab
a b c
d e f
g h i
bc ba ca
ab ac cb
ac 2 bc 2 cab
det A = γ
γ £¢ ©
a + g b + h c + i
d e f
g h i
b e h
a d g
c f i
¨¥ ¨ A =
a b c
d e f
g h i
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
bc ab ac
ab ac bc
ac bc ab
abc ba 2 ca 2
ab 2 bac cb 2
ac 2 bc 2 cab
bc ba ca
ab ac cb
ac bc ab
¢ ¢
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
det A =
γ
¢

d e f
g h i
a b c
¨
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
a b c a b c
= − g h i
= − − d e f
= − (−γ) = γ
d e f
g h i
a b c
a b c
= 3 −d −e −f
= 3 × (−1) d e f
4g 4h 4i
4g 4h 4i
a b c
= 3 × (−1) × 4 d e f
g h i
a b c
= −12 d e f
= −12γ
g h i
=
+
˛
˛
˛ g h i ˛
˛ d e f ˛ =
= γ
a + g b + h c + i
d e f
g h i
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
b e h
a d g
c f i
=
b a c
e d f
h g i
¡ ¨
a b c
d e f
g h i
= −3
= −3
= −3
= −3
T
=
¢¡¤£ ¦¥¨§¨©¤ ¦ ¡ § ¤£¢ ¥¤ 1 ¤¥ ¥¤ ¤¥ 2 3 ¦
˛
|
g h
{z
=0
i ˛
}
a b c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
g h i
b a c
e d f
h g i
− 3
− 3 × (−4)
= −3γ
= −
x − y − z 2x 2x
2y y − z − x 2y
2z 2z z − x − y
a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
−4d −4e −4f
˛
|
a
d
d
b
e
e
{z
=0
c
f
f
˛
}
a b c
d e f
g h i
= −γ
= (x + y z)3
+
¨¥ ¨ ¡ 1 2 3
x − y − z 2x 2x
2y y − z − x 2y
2z 2z z − x − y
=
x + y + z x + y + z x + y + z
2y y − z − x 2y
2z 2z z − x − y
59

¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
60 CAPÍTULO 5.
= (x + y + z)
1 1 1
2y y − z − x 2y
2z 2z z − x − y
2y = (x + y + z) + (y − x − z) 2z = (x + y + z) + (z − x − y)
1 1 1
2y y − z − x 2y
2z 2z z − x − y
=
= (x + y + z)
+ (y − x − z)
= (x + y + z) 2
= (x + y + z) 2
1 1 1
x + y + z 0 x + y + z
x + y + z x + y + z 0
1 1 1
1 0 1
x + y + z x + y + z 0
1 1 1
1 1 1
z − x − y z − x − y z − x − y
1 1 1
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 1 0
= (x + y + z) 2 0 1
1 0
= (x + y + z) 2 ,
¢
x − y − z 2x 2x
2y y − z − x 2y
2z 2z z − x − y
¡ ¨ a ∈ IR
+
+ (y − x − z) (z − x − y)
− +
1 1
1 0
1 1 1
y − x − z y − z − x y − x − z
z − x − y z − x − y z − x − y
0 1
1 0
= (x + y + z)3 .
¥ ¢ ¤
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
¢¡¤£ ¦¥¨§¨© ¥ ¡¡ ¥¨§ § ¡ ℓ1 ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ℓ4 ¦
= 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
¢ x IR

¨¥ ¨
2 3 4
1
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
= (x + 3a)
= (x + 3a)
=
x + 3a x + 3a x + 3a x + 3a
a x a a
a a x a
a a a x
¢ ¢ 1
⎛
1 1 1 1
a x a a
a a x a
a a a x
1 1 1 1
0 x − a 0 0
a a x a
a a a x
⎜
⎜
= (x + 3a) ⎜
⎜(x
− a)
⎝
= (x + 3a) (x − a)
⎛
= (x + 3a)
+
1 1 1 1
0 1 0 0
a a x a
a a a x
1 1 1 1
0 1 0 0
a a x a
a a a x
⎜
⎜
= (x + 3a) (x − a) ⎜
⎜(x
− a)
⎝
= (x + 3a) (x − a) 2
⎛
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
a a a x
= (x + 3a) (x − a) 2
⎜
⎜
⎜
⎜(x
− a)
⎝
= (x + 3a) (x − a) 3
= (x + 3a) (x − a) 3 .
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 1
a x − a + a a a
a a x a
a a a x
1 1 1 1
a a a a
a a x a
a a a x
+ a
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
a a a x
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
˛
|
1
1
a
a
1 1
1 1
a x
a a
{z
= 0
1
1
a
x
˛
}
+ a
+ a
⎞
⎟
⎠
˛
|
1
1
1
a
1 1
1 1
1 1
a a
{z
= 0
1
1
1
x
˛
}
˛
|
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
{z
=0
1
1
1
1
˛
}
= (x + 3a) (x − a)3
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
1 0 0
0 1 0
0 0 1
61

62 CAPÍTULO 5. ¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
= 0 ⇐⇒ (x + 3a) (x − a)3 = 0
⇐⇒ x = a x = −3a

¢¡¤£¦¥ ¡
¡ ¢ ¢ ¡
¡ ¨
¡ ¨ § t ∈ IR At
t At
=
1 t −1
2 4 −2
−3 −7 t + 3
¨¥ ¨ t ∈ IR
At
¡ ¨ det (At) = 0
£
1 At
¡
det (At) =
1 t −1
2 4 −2
−3 −7 t + 3
=
4 −2
−7 t + 3
− t
2 −2
−3 t + 3
= 4 (t + 3) − 14 − t (2 (t + 3) − 6) − 14 + 12
= −2t 2 + 4t = −2t (t − 2)
−
2 4
−3 −7
det (At) = 0 ⇐⇒ t(t + 2) = 0 ⇐⇒ t = 0 t = 2
¡ At
¨ t ∈ IR \ {0, 2}
¡
¡
0 a
¨
a2 A = a−1 0 a
a A ¡ ¨
a −2 a −1 0
a =
0

64 CAPÍTULO 6. ¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
0 a a2 a−1 0 a
a−2 a−1 0
= −a
a−1 a
a−2
0 + a2
a−1 0
a−2 a−1
¨¥ ¨ ¤£ ¡ 1 A
det A =
= −a (−aa −2 ) + a 2 (a −1 a −1 ) = 2a 2 a −2 = 2a 0 = 2 = 0
A
¡ ¨ a ∈ IR \ {0}
−5 det C = 4
¡ ¨ A B C n det A = 2 det B =
det (ABC) det
(3B)
A B C ¢ ¨ det (C −1 )
¨¥ ¨
det (ABC) = (det A) (det B) (det C) = −40
det (3B) = 3 n det B = −5 × 3 n
det A T B −1
det A det B det C ¢ ¢ A B C
¢ ¨
det (C−1 ) = 1
det C
= 1
4
det A T B −1 = det A T det (B −1 ) = det A det (B −1 ) =
det (AB) = det (BA)
¡ ¨ A B n
AB ¡ ¨ £¢ A B ¡ ¢
det A
det B
¨¥ ¨
det (AB) = (det A) (det B) = (det B) (det A) = det (BA)
= − 2
5
AB ¡ ¨ £¢ det (AB) = 0 det (AB) =
(det A) (det B)

(det A) (det B) = 0 ⇐⇒ (det A) = 0 (det B) = 0
A ⇐⇒ ¢ ¨
B
¡ ¨ ¥ A B n ¡
¥¤ P n ¨ B = P −1 AP
§
¨¥ ¨ A B n ¡
¡
det B = det (P −1AP ) = det (P −1 ) det A det P = 1
det P
= det A
P n ¨ B = P −1 AP
T AA = £¢
In
¥¤
p p ∈ IN 0£¢ A = det A
= 0
¡ ¨ A n
det A ∈ {−1, 1}
¤ £¢
det A det P
¨¥ T
¨
AA = £¢
In
det AAT = det (In) ⇐⇒ (det A) det(AT ) = det (In)
⇐⇒ (det A) (det A) = 1
⇐⇒ (det A) 2 − 1 = 0
⇐⇒ (det A − 1) (det A + 1) = 0
⇐⇒ det A = 1 det A = −1
¥¤ 0£¢ p p ∈ IN A =
det (Ap ¡¡ ¡
) = det 0 ⇐⇒ det AA · · · A
p
= 0
⇐⇒ (det A) (det A) · · · (det A) = 0
¡ ¡¡ p
⇐⇒ (det A) p = 0 ⇐⇒ det A = 0
65

66 CAPÍTULO 6. ¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
¡ ¨
1 −1 1 1
A =
0 2 4 4
1 3 1 1
0 0 −2 0
B =
2 1 −1
1 1 1
−1 0 1
A det det
B
¢ ¢ ¨
¨
AX = ¡ 0 .
BX =
¡ 0 .
¨ ¤£
¨¥
1
0
1
0
−1
2
3
0
1
4
1
−2
1
4
1
0
=
2
3
0
4
1
−2
4
1
0
+
−1
2
0
1
4
−2
1
4
0
det A =
= 2
1 1
−2 0
− 3
2 1 −1
1 1 1
−1 0 2
4 4
−2 0
= 2
−
1 1
0 2
−
4 4
−2 0
1 1
−1 2
− 2
−
1 1
−2 0
1 1
−1 0
= −32
= 0
£ ¡ 1 B
det B =
det A 0 = det B 0
=
¡ ¨
A
¢¢¡ ¨
B
¡ ¨ £¢
A r(A) ¢
= 4
¡
AX = 0 ¡ ¢ ¡ −1 X A 0 0
B ¢ ¡ ¨ £¢ r(B) < 3 ¢
BX = 0 ¢¢¡
¡ ¨ A =
3 1 2
1 2 1
2 2 2
det A A ¡ ¨
¡

A −1
A
¨¥ ¨ £ ¡ 1 A
det A =
3 1 2
1 2 1
2 2 2
= 3
A
¡ ¨
¢ (i, j) A
2 1
2 2
i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 Aij £¢
˛
b
bA22
b
˛
bA11 = ˛ 2
˛ 2
1
2
˛ = 2
˛
bA21 = − ˛ 1
˛ 2
2
2
˛ = 2
˛
bA31 = ˛ 1
˛ 2
2
1
˛ = −3
¡
A =
T Aij
¨ ¡
|A| = 2
−
1 1
2 2
b
bA23
b
˛
A12 = − ˛ 1
˛ 2
1
2
˛ = 0
˛
= ˛ 3
˛ 2
2
2
˛ = 2
˛
A32 = − ˛ 3
˛ 1
2
1
˛ = −1
=
2 0 −2
2 2 −4
−3 −1 5
A −1 = 1 A A =
det
+ 2
1 2
2 2
¢ ¡
T
=
1 1 − 3
1
0 1 − 1
2
5
−1 −2 2
= 2 = 0
˛
A13 = ˛ 1
˛ 2
2
2
˛ = −2
˛
= − ˛ 3
˛ 2
1
2
˛ = −4
˛
A33 = ˛ 3
˛ 1
1
2
˛ = 5
2 2 −3
0 2 −1
−2 −4 5
¡ ¨ A 3 ¡ A =
A
67
˛
1 0 1
−2 2 −2
0 1 2
¨¥ ¨ A A = |A| In A
¡ ¨
A = |A| ( In
¨ ¡
£¢ A =
1 0 1
−2 2 −2
0 1 2
A) −1 = |A| ( A) −1
¢

68 CAPÍTULO 6. ¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
1 0 1 |
−2 2 −2 |
0 1 2 |
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−−−−−→
ℓ2 + 2ℓ1
1 0 1 |
0 2 0 |
0 1 2 |
¢
A | I3] =
[
−−−−→
1
2 ℓ2
−−−−→
1
2 ℓ3
−−−−→
ℓ1 − ℓ3
1 0 1 |
0 1 0 |
0 1 2 |
1 0 1 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0
1
0
1
2
0
0
1
1 0 0
1
−
1
2 0
1
2
1
− 4
1
2
3
2
1
− 1
2
3
1
4
1
2
1
− 4
¡ ¨ ¢
(
A
−1
A = |A| A) = 2 1
1
M
¡ ¨ § M =
2
− 1
2
m 1 1
1 m 1
1 1 m
1
4
2
1
− 4
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
1
− 2
0
1
2
1
− 2
0
1
2
1 0 1 |
0 1 0 |
0 0 2 |
= I3 | ( A) −1
3
=
1
2 −1
2 1 0
−1 − 1
2 1
m
¡ ¨
M
¡ ¡ ¨ −1 M M
¨ ¨¥
˛
cM11 = ˛ m
˛ 1
1
m
˛ = m2 c
c
− 1
˛
cM21 = − ˛ 1
˛ 1
1
m
˛ = 1 − m
˛
cM31 = ˛ 1
˛ m
1
1
˛ = 1 − m
i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 Mij ¡ £¢
¢ (i, j) M
¡
M =
=
Mij
T
=
c
˛
M12 c = − ˛ 1
˛ 1
1
m
˛ = 1 − m
˛
M22 = ˛ m
˛ 1
1
m
˛ = m2 c
− 1
˛
M32 = − ˛ m
˛ 1
1
1
˛ = 1 − m
m 2 − 1 1 − m 1 − m
1 − m m 2 − 1 1 − m
1 − m 1 − m m 2 − 1
m 2 − 1 1 − m 1 − m
1 − m m 2 − 1 1 − m
1 − m 1 − m m 2 − 1
T
= (m − 1)
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1 0 0
1
−1
1
2
−
0
1
2 1
M
¢ ¡
˛
M13 = ˛ 1
˛ 1
m
1
˛ = 1 − m
˛
M23 c = − ˛ m
˛ 1
1
1
˛ = 1 − m
˛
M33 = ˛ m
˛ 1
1
m
˛ = m2 − 1
m + 1 −1 −1
−1 m + 1 −1
−1 −1 m + 1
.

¤£ ¡ 1
det M =
m
1 1
m
= m
1
1
m −
1 m 1
1 1 m
1 1
1 m
= m (m 2 − 1) − (m − 1) + 1 − m
= m (m − 1) (m + 1) − 2 (m − 1)
= (m − 1) (m (m + 1) − 2)
= (m − 1) (m 2 + m − 2)
= (m − 1) 2 (m + 2)
+
1 m
1 1
M
¡ ¨ det M = 0 ¡ m = 1 m = −2
¨ ¡
¤
M −1 = 1
det M
=
M =
m−1
(m−1) 2
m + 1 −1 −1
−1 m + 1 −1
(m+2)
−1 −1 m + 1
m + 1 −1 −1
1
−1 m + 1 −1
(m−1)(m+2)
−1 −1 m + 1
¡ ¨ §§ A n ¨
A
¡ ¨
¤
( A) −1 = 1
|A| A = (A −1 )
A| = n−1
|A|
|
n−2
A) = |A|
A
(
¡ ¨ A A A = In£¢ |A|
|A| = 0 A = |A| InA−1 = |A| A−1 ¨ ¨
¡
¨¥ ¨
¡
−1 −1
A) = ( |A| A = 1
−1
A |A|
−1 1
= |A| A
A −1
A −1 = |A −1 | In = 1
|A| In
69

70 CAPÍTULO 6. ¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡
£¢
−1 1
A = A |A| In
= 1
|A| AIn = 1
|A| A
−1 1 A) = ( |A| A =
−1
A
A
In£¢
|A |
A = |A|
A| = ||A| In| ⇐⇒ |A| A| = ||A|In| = |A| n
⇐⇒ | A| = |A| n
|A|
A) ( ( A)) = | A| In
(
⇐⇒ ( ( A)) = ( A) −1 |
= |A|n−1
A|
( 1
⇐⇒ A)) = |A| ( A |A|n−1 = |A| n−2A ¡ ¨ § A B n ¨
(AB) = ( B) ( A)
¨¥ ¨ A B ¢ ¨ £¢ AB
¡ ¨
(AB) = |AB| (AB) −1 = (|A| |B|) (B−1A−1 )
¡ ¨ § A =
x
(S) A y
z
= (|B| B −1 ) (|A| A −1 ) = ( B) ( A)
1 2 3
0 2 1
1 1 1
B =
14
7
6
B ¢ x = y
z
A det (S) ¡
£¢ ¢ (S)

¨¥ ¥£ ¡ A
¨
1
det A = 0
1
2
2
1
3
1
1
1 =
2
1
1 2
1 + 2
3
1 = −3
det A ¢ ¡ A ¡ ¨ (S) ¡
¢ ¢
(S) ¡
x =
y =
z =
˛
˛
˛
14 2 3
7 2 1
6 1
det A
1
1 14 3
0 7 1
1 6
det A
1
1 2 14
0 2 7
1 1
det A
6
˛
˛
˛
= −3 = 1 −3
= −6
−3
= −9
−3
= 2
= 3
71

72 CAPÍTULO 6. ¥£ ¦£¥¡ ¤§ ¦£¡

¢¡¤£¦¥ ¡
¡ © ¢ ¥ ¢
IR × IR 2
(x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) x1, x2, y1, y2 ∈ IR
¡ ¨ § ¢ IR 2
IR 2
¢ ¥¤
α ⊙ (x, y) = (α x, α y) x, y, α ∈ IR
IR 2 , ⊕, ⊙ ¡
(x1, y1) (x2, y2) ∈ IR 2
(x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1)
¨¥ 2 ¨
(IR , ¡ ¢
⊕) ©
⊕
= (x2, y2) ⊕ (x1, y1)
¢ ¡
⊕
© ⊕ y1) (x1, y2) (x2, (x3, y3) ∈ IR 2
(x1, y1) ⊕ ((x2, y2) ⊕ (x3, y3)) = (x1, y1) ⊕ (x2 + x3, y2 + z3)
= (x1 + (x2 + x3) , y1 + (y2 + y3))
= ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3)
= ((x1, y1) ⊕ (x2, y2)) ⊕ (x3, y3)

74 CAPÍTULO 7. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
¡ § ⊕ +
IR
(x, y) ∈ IR 2
(x, y) ⊕ (e1, e2) = (x, y)
⊕ ©
¢¡
(x + e1, y + e2) = (x, y) ⇐⇒
(e1, e2) ∈ IR 2
x + e1 = x
y + e2 = y
⇐⇒
e1 = 0
e2 = 0
(e1, e2) = (0, 0) ¡ IR 2 ⊕
©
⊕ (x, y) ∈ IR 2
(x, y) ∈ IR 2
¢¡
(x + x, y + y) = (0, 0) ⇐⇒
(x, y) ⊕ (x, y) = (0, 0)
x + x = 0
y + y = 0
⇐⇒
x = −x
y = −y
(−x, −y) = − (x, ¡ y) (x,
y) ¢
2
IR
¡ ¢ 2
, ⊕ IR ,
¡
⊕, ¨§ ⊙ ⊕
α IR ∈
α ⊙ ((x1, y1) ⊕ (x2, y2)) = α ⊙ (x1 + x2, y1 + y2)
(x1, y1), (x2, y2) ∈ IR 2
= (α(x1 + x2), α(y1 + y2))
= (α x1 + α x2, α y1 + α y2)
(α ⊙ (x1, y1)) ⊕ (α ⊙ (x2, y2)) = (α x1, α y1) ⊕ (α x2, α y2)
= (α x1 + α x2, α y1 + α y2)
α ⊙ ((x1, y1) ⊕ (x2, y2)) = (α ⊙ (x1, y1)) ⊕ (α ⊙ (x2, y2))

α ⊙ (β ⊙ (x, y)) = α ⊙ (β x, β y) = (α(β x), α (β y))
= ((αβ) x, (αβ) y) = (αβ) ⊙ (x, y)
¢ ¡ ¢
1 ⊙ (x, y) = (1x, 1y) = (x, y)
¢ ¢ IR 2 , ⊕, ⊙ ¡
¡ 2 ¨
V = {(x, x ) | x ∈
¢ IR}
V ¢ ¤
IR ×
V V
(x, x2 ) ⊕ (y, y2 ) = 2
x + y, (x + y)
α ⊙ (x, x2 ) = αx, (αx) 2
α x y ∈ IR
(V, ⊕, ⊙)
¡
(x, x 2 ) ⊕ (y, y 2 ) = (x + y, (x + y) 2 ) = (y + x, (y + x) 2 )
¨¥ ¨
(V,
¡ ¢
⊕) © ⊕ (x, x2 2 ) (y, y ) V ∈
= (y, y 2 ) ⊕ (x, x 2 )
¢ ¡
⊕
© ⊕ (x, x 2 2 (y, ) 2 y (z, z ) ∈ 2 IR )
(x, x 2 ) ⊕ ((y, y 2 ) ⊕ (z, z 2 )) = (x, x 2 ) ⊕ (y + z, (y + z) 2 )
= x + (y + z) , (x + (y + z)) 2
((x, x2 ) ⊕ (y, y2 )) ⊕ (z, z2 ) = (x + y, (x + y) 2 ) ⊕ (z, z2 )
= (x + y) + z, ((x + y) + z) 2
75

76 CAPÍTULO 7. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
¡ § ⊕ +
IR
2 (x, x ) ∈ IR 2
2
x, x ⊕ e, e 2 = x, x 2
⊕ ©
¢¡
2
x + e, (x + e) = x, x 2 ⇐⇒
(e, e 2 ) ∈ IR 2
x + e = x
(x + e) 2 = x 2 =⇒ e = 0
(0, 0) ¡ K ⊕
©
⊕ (x, x 2 ) ∈ IR 2
(y, y2 ) ∈ IR 2
x, x 2 ⊕ y, y 2 = (0, 0)
¢¡
2
x + y, (x + y) = (0, 0) ⇐⇒
x + y = 0
(x + y) 2 = 0
=⇒ y = −x
2 (−x, x )
¡ (x, x 2 ¢ ⊕
)
¨§
(x, x 2 ), (y, y2 ) ∈ IR 2
(K, ⊕) ¡ ¢ (K, ⊕, ⊙) ¡
α IR ∈
α ⊙ ((x, x2 ) ⊕ (y, y2 )) = α ⊙ (x + y, (x + y) 2 )
= α(x + y), (α(x + y)) 2
(α ⊙ (x, x2 )) ⊕ (α ⊙ (y, y2 )) = α x, (α x) 2 ⊕ α y, (α y) 2
= α x + α y, (α x + α y) 2
α ⊙ x, x 2 ⊕ y, y 2 = α ⊙ x, x 2 ⊕ α ⊙ y, y 2

α ⊙ (β ⊙ (x, x2 )) = α ⊙ β x, (β x) 2 = α(β x), (α (β x)) 2
= (αβ) x, ((αβ) x) 2 = (αβ) ⊙ (x, x 2 )
¢ ¡ ¢
1 ⊙ x, x 2 = 1x, (1x) 2 = x, x 2
¢ ¢ (V, ⊕, ⊙) ¡
¡ £¢ ¤ ¢
¡ ¨ IR 2
α ∈ IR (x1, x2) (y1, y2) ∈ IR 2
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0)
α (x1, x2) = (0, αx1)
α ∈ IR (x1, x2) (y1, y2) ∈ IR 2
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1, x2 − y2)
α (x1, x2) = (αx1, αx2)
(x1, x2) (y1, y2) ∈ IR 2
(x1, x2) ⊕ (y1, y2) = (x1 + y1, 0) = (y1 + x1, 0) = (y1, y2) ⊕ (x1, x2)
¨¥ 2 ¨
(IR , ¡ ¢
⊕) ©
⊕
¢ ¡
⊕
© ⊕ x2) (x1, x2) (x1, (z1, z2) ∈ IR 2
(x1, x2) ⊕ ((y1, y2) ⊕ (z1, z2)) = (x1, x2) ⊕ (y1 + z1, 0)
= (x1 + (y1 + z1) , 0)
77

78 CAPÍTULO 7. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
((x1, x2) ⊕ (y1, y2)) ⊕ (z1, z2) = (x1 + y1, 0) ⊕ (z1, z2)
= ((x1 + y1) + z1, 0)
¡ § ⊕ +
IR
(x1, x2) ∈ IR 2
(x1, x2) ⊕ (e1, e2) = (x1, x2)
⊕ ©
¢¡
(x1 + e1, 0) = (x1, x2) ⇐⇒
(e1, e2) ∈ IR 2
x1 + e1 = x1
x2 = 0
⇐⇒
e1 = 0
x2 = 0
¡ ¢ ¤ ⊕
£¢ x2 ¢
¢ ¡
¤ ¢ ¢ ⊙
¡ ¢ ¢ ¢ ¡
α ⊙
£¢
IR 2 , ⊕, ⊙
(x1, x2) ⊕ (y1, y2) = α ⊙ (x1 + y1, 0) = (0, α (x1 + y1))
α ⊙ (x1, x2) ⊕ α ⊙ (y1, y2) = (0, αx1) ⊕ (0, αy1) = (0, 0)
α ⊙
(x1, x2) ⊕ (y1, y2) = α ⊙ (x1, x2) ⊕ α ⊙ (y1, y2)
α ⊙ (β ⊙ (x1, x2)) = α ⊙ (0, βx1) = (0, 0)
(αβ) ⊙ (x1, x2) = (0, αβx1)
α ⊙ (β ⊙ (x1, x2)) = (αβ) ⊙ (x1, x2)

1 ⊙ (x1, x2) = (0, x1) = (x1, x2)
2
(IR ,
¡ ¢
⊕)
¢
⊕ ©
(x1, x2) (y1, y2) ∈ IR 2
(x1, x2) ⊕ (y1, y2) = (x1, x2 − y2)
(y1, y2) ⊕ (x1, x2) = (y1, y2 − x2)
¢ ⊕ ¢ ¡ IR 2 , ⊕, ⊙ ¢ ¡
©
⊕
(x1, x2) (x1, x2) (z1, z2) ∈ IR 2
(x1, x2) ⊕ ((y1, y2) ⊕ (z1, z2)) = (x1, x2) ⊕ (y1, y2 − z2)
= (x1, x2 − (y2 − z2)) = (x1, x2 − y2 + z2)
((x1, x2) ⊕ (y1, y2)) ⊕ (z1, z2) = (x1, x2 − y2) ⊕ (z1, z2)
= (x1, (x2 − y2) − z2) = (x1, x2 − y2 − z2)
¢ ⊕ ¢¢¡ IR 2
(x1, x2) ∈ IR 2
(x1, x2) ⊕ (e1, e2) = (e1, e2) ⊕ (x1, x2) = (x1, x2)
⊕ ©
(e1, e2) ∈ IR 2
¡ (x1, x2) ∈ IR 2
(x1, x2 − e2) = (x1, x2)
(e1, e2 − x2) = (x1, x2) ⇐⇒
e2 = 0
e1 = x1
¡ ¢ ¤ ⊕
x1
£¢ ¢
¢ ¢ ⊙ ¢
¢
¡ ¢ ⊙ IR 2
79

80 CAPÍTULO 7. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
¡ ¨ ¢
G = {(0, y) | y ∈ IR}
Rm = (x, y) ∈ IR 2 | y = mx , m ∈ IR
¢ IR 2
£¢
2
M = (x, y) ∈ IR | x = y
Rm,b = (x, y) ∈ IR 2 | y = mx + b , m ∈ IR, b ∈ IR \ {0}
¢ ¢ 2
IR
¨¥ ¨ G
¡ IR 2
©
(0, y1) + (0, y2) = (0, y1 + y2) = (0, y2 + y1) = (0, y2) + (0, y2)
(0, y1) + ((0, y2) + (0, y3)) = (0, y1) + (0, y2 + y3) = (0, y1 + (y2 + y3))
= (0, (y1 + y2) + y3) = (0, y1 + y2) + (0, y3)
= (0, y1) + (0, y2) + (0, y3)
(0, y) + (0, 0) = (0, y + 0) = (0, y) =⇒ 0)
(0,
(0, y) + (0, −y) = (0, y − y) = (0, 0) =⇒ (0, −y) = y)
−(0,
(0, y)
(G, +) ¡ ¢ ¢ ¥¤

α ((0, y1) + (0, y2)) = α(0, y1 + y2) = (0, α(y1 + y2))
= (0, αy1) + (0, αy2) = α(0, y1) + α(0, y2)
α (β(0, y)) = α(0, βy) = (0, αβy) = αβ(0, y)
1(0, y) = (0, 1y) = (0, y)
= (x, y) ∈ IR 2 | y = mx = {(x, mx) | x ∈ IR} ¡
2
IR
Rm
£¢ G ¡ (IR 2 , +, ·)
(x, mx) + (y, my) = (x + y, mx + my) = (x + y, m(x + y))
= (y + x, m(y + x)) = (y + x, my + mx)
= (y, my) + (x, mx)
(x, mx) + ((y, my) + (z, mz)) = (x, mx) + (y + z, my + mz)
= (x, mx) + (y + z, m(y + z))
= (x + (y + z), mx + m(y + z))
= ((x + y) + z, m(x + y) + mz)
= (x + y, m(x + y)) + (z, mz)
= ((x, mx) + (y, my)) + (z, mz)
(x, mx) + (e, me) = (x, mx) =⇒ (e, me) = 0)
(0,
(x, mx) + (−x, −mx) = (0, 0) =⇒ (−x, −mx) = −(x,
mx)
(x, mx)
81

82 CAPÍTULO 7. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
(Rm, +) ¡ ¢ ¢ ¤
α ((x, mx) + (y, my)) = α(x + y, m(x + y)) = (α(x + y), α m(x + y))
= (α x + α y, α mx + α my)
= (α x, α mx) + (α y, α my)
= α(x, mx) + α(y, my)
α (β(x, mx)) = α(β x, β mx) = (αβ x, αβ mx) = αβ(x, mx)
1(x, mx) = (1x, 1 mx) = (1, mx)
£¢ Rm
2
(IR , +, ·)
¡
¥¤ ¤ ¢
¢
¥¤ (1, 2) (2, 1)
M ¢¢¡ (IR 2 , +, ·)
¨
¢
(1, 2)+(2, 1) = (3, 3) ¢ ¡ M
M
¡ ¢
Rm,b
¢ ¡ M ©
(x, mx + b) + (y, my + b) = (x + y, mx + b + my + b)
£¢ Rm,b
= (x + y, m(x + y) + 2b)
= (x + y, m(x + y) + b)
¢ ¡ 2
(IR , +,
·)
¡ ¨ ¢
F1 = (a1, a2, a3) ∈ IR 3 | a1 − 2a2 = 0 a2
F2 = {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, −1, 0)}
F3 = (a1, a2, a3) ∈ IR 3 | a3 ≤ 0
¢ IR 3
+ a3 = 0

F1 = {(2a2, a2, −a2) | a2 ∈ IR}
¨¥ ¨ F1
¢
(2x, x, −x) + (2y, y, −y) = (2x + 2y, x + y, −x − y)
= (2y + 2x, y + x, −y − x)
= (2y, y, −y) + (2x, x, −x)
(2x, x, −x) + ((2y, y, −y) + (2z, z, −z))
= (2x, x, −x) + (2y + 2z, y + z, −y − z)
= (2x + 2y + 2z, x + y + z, −x − y − z)
= (2x + 2y, x + y, −x − y) + (2z, z, −z)
= ((2x, x, −x) + (2y, y, −y)) + (2z, z, −z)
(2x, x, −x) + (2e, e, −e) = (2x, x, −x) =⇒ (2e, e, −e) = (0, 0, 0)
(2x, x, −x) + (−2x, −x, x) = (0, 0, 0) =⇒ − (2x, x,
−x)
(2x, x, −x)
(F1, +) ¡ ¢ ¢ ¥¤
α ((2x, x, −x) + (2y, y, −y)) = α (2x + 2y, x + y, −x − y)
= (2αx + 2αy, αx + αy, −αx − αy)
= (2αx, αx, −αx) + (2αy, αy, −αy)
= α (2x, x, −x) + α (2y, y, −y)
α (β (2x + 2y, x + y, −x − y)) = αβ (2x + 2y, x + y, −x − y)
83

84 CAPÍTULO 7. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
£¢ F1
1 (2x + 2y, x + y, −x − y) = (2x + 2y, x + y, −x − y)
IR 3
¡
¥¤
(0, 1, 0) − (0, −1, 0) = (0, 2, 0) /∈ F2
F2
F3
= {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, −1, 0)} ¢¢¡ 3
IR
= (a1, a2, a3) ∈ IR 3 | a3 ≤ 0 ¢ ¡ 3 IR
(a1, a2, a3) F3 ∈ −(a1, a2, a3) = (−a1, −a2, −a3) /∈ F3
¡ ¨ Mn×n(IR) n
¢ Mn×n(IR)
F1
¨¥ ¨
F1 = {A ∈ M3×3(IR) | det A = 0}
F2 =
T A ∈ Mn×n(IR) | A = A
M3×3(IR) A ∈ F1
A + B ∈ F1
Mn×n(IR)
F2
¢
= {A ∈ M3×3(IR) | det A = 0} ¢ ¡
B ¢
∈ F1
= A ∈ Mn×n(IR) | A = A T ¡
© ¢ ¡

¢¡¤£¦¥ ¡
¡ © ¢ ¥ ¡
¡ ¨ § §
S = ((1, 0, 1) , (0, 1, 1) , (2, −1, 1) , (0, 0, 1))
§ ¢ IR 3
¡ ¢ (1, 2, 3) ¢ S
¨¥ ¨ S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (2, −1, 1), (0, 0, 1)}
¡
§ ¢
3 IR
γ ω
β
(a, b, c) = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 1) + γ(2, −1, 1) + ω(0, 0, 1)
¡
(a, b, c) ∈ IR 3¥¤ α
(a, b, c) = (α, 0, α) + (0, β, β) + (2γ, −γ, γ) + (0, 0, ω)
= (α + 2γ, β − 2γ, α + β + γ + ω)
⇐⇒
⇐⇒
α + 2γ = a
⎧
⎪⎨
⎪⎩
β − 2γ = b
α + β + γ + ω = c
α = a − 2γ
β = b + 2γ
ω = c − α − β − γ = c − a − b − γ

86 CAPÍTULO 8. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
+ (c − a − b − γ) (0, 0, 1) γ ∈ IR
(a, b, c) = (a − 2γ) (1, 0, 1) + (b + 2γ) (0, 1, 1) + γ(2, −1, 1)
(a, b, c) = (1, 2, 3)£¢
(1, 2, 3) = (1 − 2γ) (1, 0, 1) + (2 + 2γ) (0, 1, 1) + γ(2, −1, 1)
−γ(0, 0, 1)
¡ γ = 1
(1, 2, 3) = −(1, 0, 1) + 4(0, 1, 1) + (2, −1, 1) − (0, 0, 1)
γ = −1
(1, 2, 3) = 3(1, 0, 1) − (2, −1, 1) + (0, 0, 1)
¡ ¨ ¤
§
S = x 2 + 1, x + 1, 2x 2 − x + 1
¢
¢ 2 x − x + ¡ ¢ 2
S
x 2 − x ¡ ¢ S
¢ ¡ 2
k ∈ ¤ 2 IR 3x − 5x +
¡
k
¢ S
2 x − x + ¡ ¢ 2 ¥¤ S
β
α γ
x2 − x + 2 = α (x2 + 1) + β (x + 1) + γ (2x2 − x + 1)
¨¥ ¨ ¤
α β γ ¢
α + 2γ = 1
= (α + 2γ) x 2 + (β − γ) x + α + β + γ
β − γ = −1
α + β + γ = 2
⇐⇒
α = 1 − 2γ
β = −1 + γ
0 = 2
=⇒

2 x − x +
¢¢¡ ¢ 2
S
¤ 2 ¡ ¢ S ¤
x −x+2
α β γ
x2 − x = α (x2 + 1) + β (x + 1) + γ (2x2 − x + 1)
α β γ ¢
α + 2γ = 1
β − γ = −1
α + β + γ = 0
= (α + 2γ) x 2 + (β − γ) x + α + β + γ
⇐⇒
α = 1 − 2γ
β = −1 + γ
0 = 2
=⇒
2 x − x + 2 ¡ ¢ S
x 2 − x = (1 − 2γ) x 2 + 1 + (γ − 1) (x + 1) + γ 2x 2 − x + 1
γ
¡
¤ 2 3x − 5x +
¡ ¢ k ¤
α S
β γ
3x 2 − 5x + k = α (x 2 + 1) + β (x + 1) + γ (2x 2 − x + 1)
α β γ ¢
α + 2γ = 3
β − γ = −5
α + β + γ = k
= (α + 2γ) x 2 + (β − γ) x + α + β + γ
⇐⇒
α = 3 − 2γ
β = −5 + γ
−2 = k
=⇒
2 x − x + 2 ¡ ¢ S k = −2
3x 2 − 5x − 2 = (3 − 2γ) x 2 + 1 + (γ − 5) (x + 1) + γ 2x 2 − x + 1
γ ∈ IR
87

88 CAPÍTULO 8. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
F ¡ 5
IR § ¢
F
¡ ¨ F = {(a, b, c, d, e) ∈ IR 5 | a − b = 0 a = b + d}
a − b = 0 a = b + d£¢
(a, b, c, d, e) = (b + d, b, b, e) d, ¢
F
¨¥ ¨ (a, b, c, d, e) ∈ F
F = {(b + d, b, b, d, e) | b, d, e ∈ IR}
§ ¢ F (b + d, b, b, d, e) ¡
¢ F ¡ (IR 5 , +, ·)
F£¢
(b + d, b, b, d, e) = (b, b, b, 0, 0) + (d, 0, 0, d, 0) + (0, 0, 0, 0, e)
= b(1, 1, 1, 0, 0) + d(1, 0, 0, 1, 0) + e(0, 0, 0, 0, 1)
((1, 1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, ¡ § ¢ 1))
F
¡ ¨ a, b, c ∈ IR
¤
¢ x y z
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + z = a
x + 2y + 3z = b
x + 3y + 2z = b
¡
M3×1(IR) ¡ ¢
1
1
1
,
1
2
3
1
¨¥ ¨ ¤
¢
2
3 2
4
1 1 1
1 2 3
1 3 2
5
| {z }
A
4 x
y
z
3
5
| {z }
X
=
2
4 a
b
c
3
2
3
5
| {z }
B
.
¢ x y z

¢ [A | B]
¢
[A | B] =
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−→
1
3 ℓ3
−−−−→
ℓ1 − ℓ3
1 1 1 | a
1 2 3 | b
1 3 2 | c
1 1 1 | a
0 1 2 | b − a
0 2 1 | c − a
1 1 1 | a
⎡
⎢
⎣
0 1 2 | b − a
0 0 1 |
1 1 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
2b−a−c
3
−−−−−→
2ℓ2 − ℓ3
4a−2b+c
3
2c−b−a
3
2b−a−c
3
1 1 1 | a
1 2 3 | b
0 2 1 | c − a
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ3
⎤
⎥
⎦ −−−−→
ℓ1 − ℓ2
1 1 1 | a
0 1 2 | b − a
0 0 3 | 2b − a − c
1 1 1 | a
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
2c−b−a
3
2b−a−c
3
5a−b−c
3
2c−b−a
3
2b−a−c
3
r(A) = r ([A | B]) = 3 ¡ ¢
¡
⎡ ⎤
⎣
x
y
z
⎦ =
⎡
⎢
⎣
5a−b−c
3
5a−b−c
3
5a−b−c
M3×1(IR) ¡ ¢
1
1
a
b
c
⇐⇒
⇐⇒
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1
1
,
1
2
3
3
⎤
⎥
⎦
3
2
M3×1(IR)¥¤ ¡ α
∈ β γ
=
=
1
= α 1
1
α
α
α
+
+ β
β
2β
3β
α + β + γ
α + 2β + 3γ
α + 3β + 2γ
1
2
3
+
+ γ
γ
3γ
2γ
¢
(α, β, γ) = ¡ ¨
5a−b−c
3
a
b
c
, 5a−b−c,
3
5a−b−c
3
= 5a−b−c
3
1
1
1
+ 5a−b−c
3
1
2
3
1
3
2
+ 5a−b−c
3
1
3
2
89

90 CAPÍTULO 8. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
¡
α1
¨
G =
−α2
α1 + α2
0
| α1, α2 ∈
IR
¡ G
§ ¢ M2×2(IR)
G
¨
G
¢ ¨ ¢
G
¨¥ ¨
¢ ¢
G ¡ M2×2(IR)
§
¢
α1 α1 G£¢
+ α2
α1
−α2
α1 + α2
0
1 1
0 0
=
,
α1 α1
0 0
0 1
−1 0
−α2
¢ α1 α1 + α2
−α2 0
−α2
α1 α1 + α2
−α2
0
0 α2
+
0
= α1
1 1
0 0
+ α2
¡ § ¢
G
0
0 1
−1 0
∈ G ¨ ¡
= α2 (α1 + α2)
¢¡ ¢
α2 (α1 + α2) = 0 ⇐⇒ α2 = 0 α1
¥¤ 1 2
−1 0
+ α2 = 0
¡ G ¡ ¨
G ¢ ¡ ¨
α2 (α1 + α2) = 0 ⇐⇒
α2 = 0 α1
0 0
3 0
−3 0
¡ ¢¡
¥¤ 2 2
¨
+ α2 = 0
¢ G ¢ ¢
S1 = ((1, −1, 1) , (1, 1, 0)) S2 = ((1, −1, 1) , (1, 1, 0) , (2, 0, 1))
¡ ¨ IR 3
§

¡
¤
§
S1 = x 2 − x + 1, x 2 + x
S2 = x 2 − x + 1, x 2 + x, 2x 2 + 1
¢ ¢
2
¡
M2×2(IR) §
1 1
S1 = 1 1
1 0
S2 = 0 2
¡
,
,
2 3
1
1
2
1
2 1
,
,
2 2
1
0
1
3
2 1
,
,
3 1
2
2
1
3
4 3
¨¥ α ¨
β
α (1, −1, 1) + β (1, 1, 0) = (0, 0, 0)
(α, −α, α) + (β, β, 0) = (0, 0, 0) ⇐⇒ (α + β, −α + β, α) = (0, 0, 0)
£¢
⇐⇒
⇐⇒
α + β = 0
−α + β = 0
α = 0
α = 0
β = 0
(1, −1, 1)
(1, 1, 0)¢
α β γ
α (1, −1, 1) + β (1, 1, 0) + γ (2, 0, 1) = (0, 0, 0)
£¢
(α, −α, α) + (β, β, 0) + (2γ, 0, γ) = (0, 0, 0)
⇐⇒ (α + β + 2γ, −α + β, α + γ) = (0, 0, 0)
⇐⇒
⇐⇒
α + β + 2γ = 0
−α + β = 0
α + γ = 0
β = α
γ = −α
91

92 CAPÍTULO £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
8.
(1, −1, 1)
(1, 1, 0)
(2, 0, 1) ¢
α β ∈ IR
α x 2 − x + 1 + β x 2 + x = 0
£¢
(α + β) x 2 + (β − α) x + α = 0 ⇐⇒
¤
α + β = 0
β − α = 0
α = 0
⇐⇒
α = 0
β = 0
2 x − 1 2 x + x ¢
+ x α γ
β
£¢
α x 2 − x + 1 + β x 2 + x + γ 2x 2 + 1 = 0
(α + β + 2γ) x 2 + (β − α) x + α + γ = 0 ⇐⇒
¤
⇐⇒
α + β + 2γ = 0
−α + β = 0
α + γ = 0
β = α
γ = −α
2 2 x +x 2 x +1 ¢
2x
−x+1
β
γ
α ω
£¢
α
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1 1
1 1
+ β
2 3
1 2
+ γ
2 2
1 1
α α 2β 3β 2γ 2γ
α α + β 2β + γ γ
α + 2β + 2γ + 3ω α + 3β + 2γ + ω
⎧
⎨
⎩
α + β + γ + 2ω α + 2β + γ + ω
α + 2β + 2γ + 3ω = 0
α + 3β + 2γ + ω = 0
α + β + γ + 2ω = 0
α + 2β + γ + ω = 0
1 2 2 3
1 3 2 1
1 1 1 2
1 2 1 1
α
β
γ
ω
=
0
0
0
0
3 1
+ ω 2 1
+
=
=
3ω ω
0
2ω ω
0
0 0
0 0
0 0
=
0 0
0 0

£ ¡ 1
1 2 2 3
1 3 2 1
1 1 1 2
1 2 1 1
=
3 2 1
1 1 2
2 1 1
−
2 2 3
1 1 2
2 1 1
+
2 2 3
3 2 1
2 1 1
−
2 2 3
3 2 1
1 1 2
= −1
¡ ¨ ¢
1 1
1 1
¡ ¢ ¢¢¡
S1 =
,
2 3
1 2
,
2 2
1 1
3 1
, 2 1
¡
α β
γ
ω
£¢
α
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1 0
0 2
+ β
1 1
2 1
+ γ
0 3
2 1
+ ω
2 3
4 3
=
α 0
β β 0 3γ 2ω 3ω
0 2α + 2β β + 2γ γ + 4ω 3ω
α + β + 2ω β + 3γ + 3ω
0 0
⎧
⎨
⎩
2β + 2γ + 4ω 2α + β + γ + 3ω
α + β + 2ω = 0
β + 3γ + 3ω = 0
2β + 2γ + 4ω = 0
2α + β + γ + 3ω = 0
1 1 0 2
0 1 3 3
0 2 2 4
2 1 1 3
α
β
γ
ω
=
0
0
0
0
£ ¡ 1
1 1 0 2
0 1 3 3
0 2 2 4
2 1 1 3
1 0
0 2
=
1 3 3
2 2 4
1 1 3
=
− 2
0 0
1 0 2
1 3 3
2 2 4
¢ ¡ ¨ ¢
S2 =
¡
,
1 1
2 1
,
0 3
2 1
2 3
, 4 3
¡
0 0
0 0
=
= 0
0 0
0 0
93
¡

94 CAPÍTULO 8. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
k ∈ IR vk
¡ ¨ IR 5
u = (5, 1, −1, −2, −4)
= (1, 0, k, 2k)
−1, wk = (3, 1, −k, 0, 0)
§ k (u, vk, wk) ¡
¨¥ ¨ α β γ ∈ IR α u+β vk +γ wk = 0 5 IR ≡ (0, 0, 0, 0, 0)
£¢ α(5, 1, −1, −2, −4) + β(1, 0, k, −1, 2k) + γ(3, 1, −k, 0, 0) = 0IR 5
⇐⇒ (5α, α, −α, −2α, −4α) + (β, 0, kβ, −β, 2kβ) + (3γ, γ, −kγ, 0, 0) = 0 IR 5
⇐⇒ (5α + β + 3γ, α + γ, −α + kβ − kγ, −2α − β, −4α + 2kβ) = 0 5 IR
⎧
5α + β + 3γ = 0
⇐⇒
⇐⇒
⎪⎨
⎪⎩
⎡
⎣
α + γ = 0
−α + kβ − kγ = 0
−2α − β = 0
−4α + 2kβ = 0
⎤
5 1 3
1 0 1
−1 k −k
−2 −1 0
−2 k 0
⎦
α
β
γ
⎡
= ⎣
⎡
⎤ ⎡
⎤
0
0
0
0
0
⎤
⎦
¢ ¢ ¢
⎣
5 1 3
1 0 1
−1 k −k
−2 −1 0
−2 k 0
⎦ −−−−−−→
5ℓ5 + 2ℓ1
−−−−−→
5ℓ3 + ℓ1
−−−−→
ℓ5 − ℓ4
⎣
⎡
⎣
⎡
⎣
5 1 3
1 0 1
−1 k −k
−2 −1 0
0 5k + 2 6
5 1 3
1 0 1
0 5k + 1 3 − 5k
0 −3 6
0 5k + 2 6
5 1 3
0 1 −2
0 5k + 1 3 − 5k
0 −3 6
0 5(k + 1) 0
⎦ −−−−−−→
5ℓ4 + 2ℓ2
⎤
⎡
⎣
⎦ −−−−−−→
−5ℓ2 + ℓ1
⎤
⎦ −−−−→
ℓ5 − ℓ3
⎡
⎣
5 1 3
1 0 1
−1 k −k
0 −3 6
0 5k + 2 6
⎡
⎣
⎤
⎦
5 1 3
0 1 −2
0 5k + 1 3 − 5k
0 −3 6
0 5k + 2 6
⎤
⎦
5 1 3
0 1 −2
0 4 −3 + 5k
0 −3 6
0 5(k + 1) 0
⎤
⎦

−−−−−→
ℓ4 + 3ℓ2
−−−−−→
ℓ4 ↔ ℓ5
⎣
⎡
⎡
⎣
⎡
⎣
⎡
⎣
5 1 3
0 1 −2
0 4 −3 + 5k
0 0 0
0 5(k + 1) 0
5 1 3
0 1 −2
0 0 5(k + 1)
0 5(k + 1) 0
0 0 0
5 1 3
1 0 1
−1 k −k
−2 −1 0
−2 k 0
5 1 3
1 0 1
−1 k −k
−2 −1 0
−2 k 0
⎤
⎡
⎦ ←→ ⎣
⎤
⎦ −−−−−→
ℓ3 + 4ℓ2
⎤
⎤
⎦ −−−−−−−−−−→
ℓ2 −
1
5(k+1) ℓ3
⎡
⎣
ℓ1−
3
5(k+1) ℓ4
⎦ −−−−−→
ℓ3 ↔ ℓ4
5 1 3
0 1 −2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎡
⎣
⎡
⎣
⎤
5 1 3
0 1 −2
0 0 −2
0 0 0
0 0 0
5 1 3
0 1 −2
0 0 5(k + 1)
0 0 0
0 5(k + 1) 0
5 1 3
0 1 −2
0 5(k + 1) 0
0 0 5(k + 1)
0 0 0
⎦ ¥ k + 1 = 0
⎤
⎤
⎦
⎤
⎦
⎦ ¥ k + 1 = 0
¡ k = −1 ¡
k = −1 k = 1
¨ (u, vk, wk) ¢
¡ ¨ F G
F G
¨¥ ¨ ¤ ((1, 1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1))
¡ § ¢
¡
F ¡ £¢ α β F
γ ∈ IR
¡
α(1, 1, 1, 0, 0) + β(1, 0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0)
⇐⇒ (α + β, α, α, β, γ) = (0, 0, 0, 0, 0)
⇐⇒
⎧
α + β = 0
⎨
α = 0
⎩ β = 0
α = 0
⇐⇒ β = 0
γ = 0
γ = 0
95

96 CAPÍTULO £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
8.
§ ¢ 1
1
α β ¡
γ ∈ IR
⇐⇒
⇐⇒
1
1
1
2
1
3
1 3 2
1
α 1 + β
1
α + β + γ = 0
1
2
3
α + 2β + 3γ = 0
α + 3β + 2γ = 0
1 1 1
1 2 3
1 3 2
α
β
γ
1
+ γ
=
0
0
0
3
2
=
0
0
0
¡ ¨ α
β
γ
1
=
1
, 2
3
0
0
0
1
, 3
2
¡ ¨ G = 〈(1, −1, 0), (0, 1, 4), (2, −1, 4)〉
¨¥ ¨ G = 〈(1, −1, 0), (0, 1, 4), (2, −1, 4)〉
IR 3 G
1 −1 0
0 1 4
2 −1 4
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ1
1 −1 0
0 1 4
0 1 4
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
G = 〈(1, −1, 0), (0, 1, 4), (2, −1, 4)〉
= 〈(1, −1, 0), (0, 1, 4), (0, 1, 4)〉
= 〈(1, −1, 0), (0, 1, 4), (0, 0, 0)〉
= 〈(1, −1, 0), (0, 1, 4)〉
¡ ¨ § IR 3 §
Sk = (1, 0, 2), (−1, 2, −3), (−1, 4, k)
1 −1 0
0 1 4
0 0 0
k ∈ IR Sk
¡ IR 3

¨¥ ¨ § Sk
Bk =
¢ ¡ 3
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
1 −1 −1
0 2 4
2 −3 k
1 −1 −1
0 1 2
0 0 k + 4
Bk
Sk
¡ IR 3
Bk =
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ1
r (Bk) =
¡ IR 3
¡
1 −1 −1
0 2 4
2 −3 k
1 −1 −1
0 2 4
0 −1 k + 2
¤
−−−−→
1
2 ℓ1
¢
¢
2 ¢¡ k + 4 = 0
3 ¢¡ k + 4 = 0
k = −4
1 −1 −1
0 1 2
0 −1 k + 2
97

98 CAPÍTULO 8. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡

¢¡¤£¦¥ ¡
¡ © ¢ ¥ ¡
F = (a, b, c, d) ∈ IR 4 | a − b = 0 a = b + d
G = (a, b, c, d) ∈ IR 4 | b − c = 0 d = 0
¡ ¨ § IR 4
H = 〈(1, 0, 0, 3), (2, 0, 0, 1)〉
F.
¢
G.
F ∩ G.
G ∩ H.
¨¥ ¨
(a, b, c, d) ∈ F
a − b = 0
a = b
a = b + d
⇐⇒
a = b + d
£¢
F ¢
F = {(a, a, c, 0) | a, c ∈ IR}
⇐⇒
a = b
d = 0
= {a(1, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) | a, c ∈ IR}
= 〈(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)〉

100 CAPÍTULO 9. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
1 1 ¢ 0 0
§ ¢ ¡
0 0 1 1
((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)) F
(a, b, c, d) ∈ G
£¢
b − c = 0
d = 0
⇐⇒
G ¢
G = {(a, b, b, 0) | a, b ∈ IR}
1 0 0 0
2
b = c
d = 0
= {a(1, 0, 0, 0) + b(0, 1, 1, 0) | a, b ∈ IR}
= 〈(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0)〉
0 1 1 1
¢
§ ¢ ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0)) ¡ G dim G =
¡
(a, b, c, d) ∈ F ∩ G
⎧
⎪⎨
⎪⎩
( a − b = 0
a = b + d
( b − c = 0
£¢ (a, b, c, d) ∈ F (a, b, c, d) ∈ G
d = 0
⇐⇒
a = b
d = 0
b = c
F ∩ G ¢
F ∩ G = {(a, a, a, 0) | a, c ∈ IR}
[ 1 1 1 0 ]
= {a(1, 1, 1, 0) | a ∈ IR}
= 〈(1, 1, 1, 0)〉
§ ¢
¢
((1, 1, 1, 0)) ¡
¢ ¢
F ∩ G
1 0 0 3
2 0 0 1
1 0 0 3
2 0 0 1
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
−−−−−→
ℓ1 − 3ℓ2
1 0 0 3
0 0 0 −5
1 0 0 0
0 0 0 1
−−−−→
− 1
5 ℓ2
1 0 0 3
0 0 0 1

(a, b, c, d) = (a, b, b, 0)
H = 〈(1, 0, 0, 3), (2, 0, 0, 1)〉
= 〈(1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, −5)〉
= 〈(1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 1)〉
= 〈(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)〉
(a, b, c, d) ∈ G ∩ H£¢ (a, b, c, d) ∈ G (a, b, c, d) ∈ H
¢¡
(a, b, c, d) = α(1, 0, 0, 0) + β(0, 0, 0, 1) = (α, 0, 0, β)
G ∩ H = {(a, 0, 0, 0) | a ∈ IR} = 〈(1, 0, 0, 0)〉
¡ ¨ IR 4
=⇒
F = (a, b, c, d) ∈ IR 4 | a = 0 c = 2b
G = 〈(1, −1, 0, 2), (−1, 2, 0, 1), (2, −3, 0, 1)〉
dim F = dim G = 2.
F ∩ G.
b = c
d = 0
¨¥ ¨ (a, b, c, d) ∈ F£¢ a = 0 c = 2b
F
¢
F = {(0, b, 2b, d) | b, d ∈ IR}
= {b(0, 1, 2, 0) + d(0, 0, 0, 1) | b, d ∈ IR}
= 〈(0, 1, 2, 0), (0, 0, 0, 1)〉
¢
§ ¢ ¡
0 1 2 0
0 0 0 1
((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)) F dim F = 2
b = 0
¢ ¢
101

102 CAPÍTULO 9. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
1 −1 0 2
−1 2 0 1
2 −3 0 1
1 −1 0 2
−1 2 0 1
2 −3 0 1
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ1
−−−−→
ℓ2 + ℓ3
1 −1 0 2
−1 2 0 1
0 −1 0 −3
1 −1 0 2
0 1 0 3
0 0 0 0
−−−−→
ℓ2 + ℓ1
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
1 −1 0 2
0 1 0 3
0 −1 0 −3
1 0 0 5
0 1 0 3
0 0 0 0
G = 〈(1, −1, 0, 2), (−1, 2, 0, 1), (2, −3, 0, 1)〉
= 〈(1, −1, 0, 2), (−1, 2, 0, 1), (0, −1, 0, −3)〉
= 〈(1, −1, 0, 2), (0, 1, 0, 3), (0, −1, 0, −3)〉
= 〈(1, −1, 0, 2), (0, 1, 0, 3), (0, 0, 0, 0)〉
= 〈(1, −1, 0, 2), (0, 1, 0, 3)〉
= 〈(1, 0, 0, 5), (0, 1, 0, 3)〉
dim G = 2
F + G = 〈(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 5), (0, 1, 0, 3)〉
G
F +
1 0 0 5
0 1 0 3
0 1 2 0
0 0 0 1
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
1 0 0 5
0 1 0 3
0 0 −2 0
0 0 0 1
dim (F + G) = dim F + dim G − dim (F ∩ G)
((1, 0, 0, 5), (0, 1, 0, 3), (0, 0, −2, 0), (0, 0, 0, 1))
¡ F + G
dim (F + G) = 4
dim (F ∩ G) = dim (F + G) − dim F − dim G = 0
F ∩ G = {0} ¨ ¢

F = (a, b, c, d) ∈ IR 4 | a + b + c = 0
G = 〈(1, 1, 0, 0), (2, 2, 0, 5), (0, 0, 0, 1)〉
¡ ¨ IR 4
F.
¢
F ∩ G.
¨¥ ¨ (a, b, c, d) ∈ F £¢ c = −a−b
F
¢
F = {(a, b, −a − b, d) | a, b, d ∈ IR}
= {a(1, 0, −1, 0) + b(0, 1, −1, 0) + d(0, 0, 0, 1) | a, b, d ∈ IR}
= 〈(1, 0, −1, 0), (0, 1, −1, 0), (0, 0, 0, 1)〉
¢
§ ¢
1
0
0
1
−1
−1
0
0
((1, 0, −1, 0), (0, 1, −1, 0), (0, 0, 0, 1)) ¡
0 0 0 1
F
G
1
2
1
2
0
0
0
5
0 0 0 1
1 1 0 0
2 2 0 5
0 0 0 1
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
−−−−→
ℓ2 − ℓ3
1 1 0 0
0 0 0 5
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
103
¢
¢
−−−−→
1
5 ℓ2
G = 〈(1, 1, 0, 0), (2, 2, 0, 5), (0, 0, 0, 1)〉
= 〈(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 5), (0, 0, 0, 1)〉
= 〈(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1)〉
= 〈(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 0)〉
= 〈(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)〉
1 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1

104 CAPÍTULO 9. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
(a, b, c, d) ∈ F ∩ G£¢ (a, b, c, d) ∈ F (a, b, c, d) ∈ G
¢¡
(a, b, c, d) = (a, b, −a − b, d)
=⇒
⎧
⎨
⎩
dim F ∩ G = 1
(a, b, c, d) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 0, 1) = (α, α, 0, β)
a = α
b = α
c = −a − b = 0
=⇒
⎧
⎨
⎩
a = b
a = −b
c = −a − b
=⇒
F ∩ G = {(0, 0, 0, d) | d ∈ IR} = 〈(0, 0, 0, 1)〉
¡ ¨ IR 4
⎧
⎨
F = 〈(1, 1, −1, 1), (2, 2, 3, −1), (3, 3, 7, −3), (0, 0, 0, 1)〉
G = 〈(1, 1, −1, 1), (1, 0, 1, −1), (1, −1, −4, 4)〉
F.
G.
F ∩ G.
⎩
a = 0
b = 0
c = 0
¨ ¢ ¨¥ 1
2
1
2
−1
3
1
−1
3 3 7 −3
0 0 0 1
1 1 −1 1
2 2 3 −1
3 3 7 −3
0 0 0 1
−−−−−→
ℓ3 − 3ℓ1
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ2
−−−−−→
ℓ2 + 3ℓ3
1 1 −1 1
2 2 3 −1
0 0 10 −6
0 0 0 1
1 1 −1 1
0 0 5 −3
0 0 0 0
0 0 0 1
1 1 −1 1
0 0 5 0
0 0 0 1
0 0 0 0
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
−−−−−→
ℓ4 ↔ ℓ3
−−−−−→
1
5 ℓ2
1 1 −1 1
0 0 5 −3
0 0 10 −6
0 0 0 1
1 1 −1 1
0 0 5 −3
0 0 0 1
0 0 0 0
1 1 −1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
¢

−−−−→
ℓ1 − ℓ3
1 1 −1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1))
¡ F
¢ ¢
1 1 −1 1
1 0 1 −1
1 −1 −4 4
1 1 −1 1
1 0 1 −1
1 −1 −4 4
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ2
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ3
−−−−→
ℓ1 + ℓ3
1 1 −1 1
1 0 1 −1
0 −2 −3 3
1 1 −1 1
0 −1 2 −2
0 0 −7 7
1 1 −1 1
0 −1 0 0
0 0 1 −1
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 −1
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−−→
− 1
7 ℓ3
−−−−−→
−ℓ2
−−−−→
ℓ1 − ℓ2
1 1 −1 1
0 −1 2 −2
0 −2 −3 3
1 1 −1 1
0 −1 2 −2
0 0 1 −1
1 1 −1 1
0 1 0 0
0 0 1 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 −1
((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, −1, 1))
¡ G
(a, b, c, d) ∈ F ∩ G£¢ (a, b, c, d) ∈ F (a, b, c, d) ∈ G
⇐⇒
¡
(a, b, c, d) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 1)
(a, b, c, d) = α(1, 0, 0, 0) + β(0, 1, 0, 0) + γ(0, 0, −1, 1)
(a, b, c, d) = (α, α, β, γ)
(a, b, c, d) = (α, β, −γ, γ)
=⇒
a = b
c = −d
F ∩ G = {(a, a, −d, d) | a, d ∈ IR}
= {a(1, 1, 0, 0) + d(0, 0, −1, 1) | a, d ∈ IR}
= 〈(1, 1, 0, 0), (0, 0, −1, 1)〉
¡ ¨ IR 3¡
Fα = (x, y, x) ∈ IR 3 | x = αy = αz
105
α ∈ IR

106 CAPÍTULO 9. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡
α, Fα
¢ ¢ α, Fα.
G = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 2)〉 .
¢ ¢ α, dim (G + Fα) .
¡ IR 3 .
¢ ¢ α, G + Fα.
¨ ¢ α Fα
¡
¨¥
IR 3
¡
α = 0
£¢
F0 = (x, y, z) ∈ IR 3 | x = 0 = {(0, y, z)} = {y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)}
= 〈(0, 1, 0), (0, 0, 1)〉
Fα = {(x, y, z) | x = αy y = z} = {(αy, y, y)} = 〈(α, 1, 1)〉
dim F0 = 2
α = 0
1
0 ¢ ¢
dim Fα = α = 0
α = 1
0
0
1
0
1
0
2
0
1 1 0
0 0 2
0 1 0
0 0 1
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ1
−−−−→
ℓ1 − ℓ2
1 1 0
0 1 0
0 0 2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
−→
1
2 ℓ3
1 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
−−−−→
ℓ3 − ℓ4
G + F0 = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)〉
dim (G + F0) = 3
1 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 1
α = 0 ¢ ¢ α 1 1
1 1 0
0 0 2

α 1 1
1 1 0
0 0 2
−−−−→
1
2 ℓ3
−−−−→
ℓ2 + ℓ3
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
£¢ 1£¢
α =
α 1 1
1 1 0
0 0 2
α 1 1
1 1 0
0 0 1
α 1 1
0 α − 1 0
0 0 1
α α 0
0 α − 1 0
0 0 1
←→
−−−−−→
αℓ2 − ℓ1
−−−−→
ℓ1 − ℓ3
−−−−→
1
α ℓ1
1 1 0
0 0 0
0 0 1
G + F1 = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 1)〉
1
α =
α 1 1
1 1 0
0 0 2
dim (G + F1) = 2
←→
−−−−→
ℓ1 − ℓ2
1 1 0
0 α − 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
α 1 1
0 α − 1 −1
0 0 1
α 1 0
0 α − 1 0
0 0 1
1 1 0
0 α − 1 0
0 0 1
−−−−→
1
α−1 ℓ2
1 1 0
0 1 0
0 0 1
G + Fα = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)〉
dim (G + F1) = 3
107

108 CAPÍTULO 9. £¡ §© ¢¦£ ¤ ¢¥ § ¡

¢¡¤£¦¥ ¡ §¡
¢ ¤ ¤ ¥ © £¢ ©
¡ ¤ A£¢ 1
¡ ¤ −1
α A α
¡ ¢ ¦ ¥¤ −1
A
¡ ¢ ¦
, A
¡ ¨ § A ∈ Mn×n(IR)
¨
¨¥ ¨ A ∈ Mn×n(IR) £¢ ¤ ¨
¢ α ¤
X = 0
1
α
AX = αX
⇐⇒
⇐⇒
¤ ¡
X = 0
¢
A £¢ α = 0 ¥¤ X ∈ Mn×1(IR)
A −1 (AX) = A −1 (αX)
X = 0
X = αA −1 X
⇐⇒
⇐⇒
X = 0
In X = αA −1 X
X = 0
A −1 X = 1
α X
A−1
¡ ¨ ¢ ¨ £¢ ¥¤ ¨ A P ∈
¨ ¢ Mn×n(IR) Mn×n(IR)
D ∈
P −1AP = D ⇐⇒ (P −1AP ) −1 = D−1 ⇐⇒ (AP ) −1 (P −1 ) −1 = D −1
⇐⇒ P −1 A −1 P = D −1
¡

110 CAPÍTULO 10. ¢ § ¢ ¢¥£ £ ¢£ ¤ ¢¥£ ¡¤¥¡ ¢¡¤¥
−1 A
¡ ¢ ¨ ¢ ¨
¡
¡ ¨ A ∈ Mn×n(IR) P ∈ Mn×n(IR) ¨
¤ A ¤ ¡ ¤ ¡
¡ ¢ ¨ ¤ ¡ ¢ ¦ α α
−1
P AP.
A
T
A .
¤ A ¤ α
¡ ¤ T
α A .
¡
¡ ¢ ¨ ¤ −1
A ¡ ¢ ¨ P AP .
¨¥ ¨
α ¤ A ⇐⇒ det (A − α In) = 0
⇐⇒ det (P P −1 AP P −1 − αIn) = 0
⇐⇒ det (P (P −1 AP ) P −1 − αIn) = 0
⇐⇒ det (P (P −1 AP ) P −1 − αP P −1 ) = 0
⇐⇒ det (P (P −1 AP − αIn) P −1 ) = 0
⇐⇒ det P det (P −1 AP − αIn) det (P −1 ) = 0
⇐⇒ det P det (P −1 AP − αIn)
⇐⇒ det (P −1 AP − αIn) = 0
⇐⇒ α ¤ −1 P AP
¡ ¢
¢ A
D Mn×n(IR)
∈
Q−1AQ = D ⇐⇒ (Q−1AQ) T = DT 1
det P
= 0
¦ £¢ ¤ ¨ Q ∈ Mn×n(IR)
⇐⇒ Q T A T (Q −1 ) T = D T
⇐⇒ Q T A T Q T −1 = D T
=⇒ A T ¡ ¢
¦

¢ ¨ ¡
α ¤
A ⇐⇒ det (A − α In) = 0
⇐⇒ det (A − α In) T ⇐⇒
= 0
det AT − α IT ⇐⇒
n = 0
det AT
− α In = 0
⇐⇒ α ¤ T A
¢ Mn×n(IR)
D ∈
Q−1AQ = D ⇐⇒ Q−1 (P P −1AP P −1 ) Q = D
A ¡ ¢ ¨ £¢ ¤ ¨ Q ∈ Mn×n(IR)
⇐⇒ Q −1 P (P −1 AP ) P −1 Q = D
⇐⇒ (P −1 Q) −1 (P −1 AP ) (P −1 Q) = D
=⇒ P −1AP ¡ ¢ ¨
¢ ¨ ¡
¡ ¨ A =
3 2 0
−4 −3 0
4 2 −1
¤
A
¡ ¢
¤
¡ ¢ ¨
A P ∈ M3×3(IR) ¨
P −1 AP =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
A
−1 9 P (P AP )
(P −1AP ) 12
9 A 12
A
111

112 CAPÍTULO 10. ¢ § ¢ ¢¥£ £ ¢£ ¤ ¢¥£ ¡¤¥¡ ¢¡¤¥
¨¥ ¨ ¤
p(x) = det (A − xI3) =
= (3 − x)
A ¡
−3 − x 0
2 −x − 1
3 − x 2 0
−4 −3 − x 0
4 2 −x − 1
− 2
= (3 − x)(x + 1)(x + 3) − 8(x + 1)
= (x + 1) ((3 − x)(x + 3) − 8)
= (x + 1)(1 − x 2 ) = (x + 1) 2 (1 − x)
−4 0
4 −x − 1
¤ A p(x) = 0 ¢ α1
¢
¤ α1
M−1
M−1 = {X ∈ M3×1(IR) | (A + I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
a
b
c
4 2 0 | 0
−4 −2 0 | 0
4 2 0 | 0
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
= −1 α2 = 1
(−1) = 2 (1) = 1
¡
4 2 0
−4 −2 0
4 2 0
4 2 0 | 0
−4 −2 0 | 0
0
2 1
0
0
0
|
|
0
0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
= −1 ¡
a
b
c
−−−−→
ℓ2 + ℓ1
¤ (A + I3) X = 0 :
M−1
=
M−1 =
−−−−→
1
2 ℓ1
a
b
c
=
=
1
−2
0
a
−2a
c
1
−2
0
0
, 0
1
=
∈ M3×1(IR) | 2a + b = 0
,
∈ M3×1(IR) | a, c ∈ IR
0
0
1
¢
0
0
0
4 2 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
(−1) = dim M−1 = 2

¢ M1
¤ α2
M1 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − I3) X = 0}
a
= b ∈ M3×1(IR) |
2 2 0 | 0
−4 −4 0 | 0
4 2 −2 | 0
c
2 2 0
−4 −4 0
4 2 −2
¤ (A + I3) X = 0 ©
M1 =
=
=
−−−−−→
2ℓ1 + ℓ2
a
b
c
a
b
c
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ3
a
−a
a
=
M1
¢
2 2 0 | 0
0 0 0 | 0
4 2 −2 | 0
2 2 0 | 0
0 0 0 | 0
0 −2 −2 | 0
a
b
c
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ1
−−−−−→
1
2 ℓ1
− 1
2 ℓ3
=
= 1 ¡
0
0
0
2 2 0 | 0
0 0 0 | 0
0 −2 −2 | 0
∈ M3×1(IR) | a + b = 0 b + c = 0
∈ M3×1(IR) | a = c = −b
1
−1
1
| a ∈ IR
(−1) + ¢
¢
(1) = 2 + 1 = 3
1 1 0 | 0
0 0 0 | 0
0 1 1 | 0
(1) = dim M1 = 1
A
¡ ¢ ¨ ¢ ¥¤
P M3×3(IR) ¨
∈
P −1 AP =
¤
α1 0 0
0 α1 0
0 0 α2
=
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
¡ P 1
−2
0
0
1
−1
0 1 1
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
−1 2
P AP =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I3
113

114 CAPÍTULO 10. ¢ § ¢ ¢¥£ £ ¢£ ¤ ¢¥£ ¡¤¥¡ ¢¡¤¥
n ∈ IN
(P −1AP ) 2n =
(P −1 AP ) 2 n
= (I3) n = I3
(P −1 AP ) 2n+1 = (P −1 AP ) 2n (P −1 AP ) = P −1 AP
(P −1AP ) 2 = (P −1AP ) (P −1AP ) = P −1A (P P −1 ) AP
= P −1 AI2AP = P −1 AAP = P −1 A 2 P
n ∈ IN
¢
−1 n −1 n
P AP = P A P
−1 2n −1 2n (P AP ) = P A P = I3
=⇒
⎧⎪ ⎨
(P −1AP ) 2n+1 = P −1A2n+1P = P −1AP
2n −1 A = P P = I3
A 2n+1 = P (P −1 AP ) P −1 = A
⎪⎩
(P −1 AP ) 12 = I3
(P −1 AP ) 9 = P −1 AP
A 12 = I3
A 9 = A.
¡ ¨ £¢
A =
¤
1 0 −1
1 2 1
2 2 3
B =
0 1 0
0 0 1
1 −3 3
¡ ¢ ¨ ¢ A ¡ ¢ ¨
B

P ∈ M3×3(IR) −1
P
AP ¨
¢
¢ P −1 AP
¨¥ ¨ ¤
pA(x) = det (A − xI3) =
= (1 − x)
1 − x 0 −1
1 2 − x 1
2 2 3 − x
A ¡
2 − x 1
2 3 − x
−
1 2 − x
2 2
= (1 − x) ((2 − x)(3 − x) − 2) + 2(1 − x)
= (1 − x)(2 − x)(3 − x) − 2(1 − x) + 2(1 − x)
= (1 − x)(x − 2)(x − 3)
¤ A ¢ α1 = 3
= (1) = (2) (3) =
1
¢ ¡
= 1 α2
¤ B
¡
pB(x)
= det (B − xI3) =
= −x
−
−x 1
−3 3 − x
−x 1 0
0 −x 1
1 −3 3 − x
0 1
1 3 − x
= −x 3 + 3x 2 − 3x − 1 = (1 − x) 3
= 2 α3
= −x (x(x − 3) + 3) − 1
B ¤ α = 1 (1) = 3
¤ α1
M1
M1 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − I3) X = 0}
a
= b ∈ M3×1(IR) |
0 0 −1 | 0
1 1 1 | 0
2 2 2 | 0
c
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ2
0 0 −1
1 1 1
2 2 2
= 1 ¡
a
b
c
¤ (A + I3) X = 0 ©
−−−−→
−ℓ2
1 1 1 | 0
0 0 −1 | 0
2 2 2 | 0
1 1 1 | 0
0 0 1 | 0
0 0 0 | 0
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ1
=
0
0
0
1 1 1 | 0
0 0 −1 | 0
0 0 0 | 0
115

116 CAPÍTULO 10. ¢ § ¢ ¢¥£ £ ¢£ ¤ ¢¥£ ¡¤¥¡ ¢¡¤¥
M1 =
M1
=
=
a
b
c
−b
b
0
−1
1
0
=
∈ M3×1(IR) | a + b + c = 0 c = 0
−1
1
0
¢ M2
| b ∈ IR
¢
¤ α2
M2 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 2I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
−1 0 −1 | 0
1 0 1 | 0
2 2 1 | 0
a
b
c
−1 0 −1
1 0 1
2 2 1
(1) = dim M1 = 1
a
b
c
¤ (A − 2I3) X = 0 ©
M2 =
M2
=
=
a
b
c
a
b
c
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
−2b
b
2b
=
−1 0 −1 | 0
0 0 0 | 0
2 2 1 | 0
−1 0 −1 | 0
0 2 −1 | 0
0 0 0 | 0
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ3
−−−−→
−ℓ1
=
0
0
0
= 2 ¡
−1 0 −1 | 0
2 2 1 | 0
0 0 0 | 0
1 0 1 | 0
0 2 −1 | 0
0 0 0 | 0
∈ M3×1(IR) | a + c = 0 2b − c = 0
∈ M3×1(IR) | c = −a = 2b
−2
1
2
| b ∈ IR
¢
(2) = dim M2 = 1

¤ α3
M3
M3 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 3I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
a
b
c
−2 0 −1 | 0
1 −1 1 | 0
2 2 0 | 0
−−−−→
ℓ1 + ℓ3
−2 0 −1
1 −1 1
2 2 0
−2 0 −1 | 0
1 −1 1 | 0
0 2 −1 | 0
−2 0 −1 | 0
0 −2 1 | 0
0 0 0 | 0
a
b
c
−−−−−→
2ℓ2 + ℓ3
¤ (A − 3I3) X = 0 ©
M3 =
=
=
M3
a
b
c
a
b
c
−b
b
2b
−−−−→
ℓ2 + ℓ3
=
(1) + ¢
−−−−→
−ℓ1
=
0
0
0
= 3 ¡
117
−2 0 −1 | 0
0 −2 1 | 0
0 2 −1 | 0
2 0 1 | 0
0 −2 1 | 0
0 0 0 | 0
∈ M3×1(IR) | 2a + c = 0 − 2b + c = 0
∈ M3×1(IR) | c = −2a = 2b
| b ∈ IR
−1
1
2
¢
(2) + ¢
(3) = dim M3 = 1
(3) = 1 + 1 + 1 = 3
¢
A ¡ ¢ ¨
α = 1 B
¡
M ¤
M = {X ∈ M3×1(IR) | (B − I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
a
b
c
−1 1 0
0 −1 1
1 −3 2
a
b
c
=
0
0
0

118 CAPÍTULO 10. ¢ § ¢ ¢¥£ £ ¢£ ¤ ¢¥£ ¡¤¥¡ ¢¡¤¥
−1 1 0 | 0
0 −1 1 | 0
1 −3 2 | 0
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ3
−1 1 0 | 0
1 −3 2 | 0
0 −1 1 | 0
−1 1 0 | 0
0 −1 1 | 0
0 −1 1 | 0
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
¤ (B − I3) X = 0 ©
M =
a
b
c
¢
¨
M =
−−−−→
1
2 ℓ2
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
∈ M3×1(IR) |
a
a = c b = c = a
a
−1 1 0 | 0
0 −2 2 | 0
0 −1 1 | 0
−1 1 0 | 0
0 −1 1 | 0
0 0 0 | 0
| a ∈ IR
¢
3 ¢¢¡ ¢ ¨
1
1
(1) = dim M = 1
1
(1) < B
A ¡ ¢
¤
P −1 AP =
¦ ¤ P ∈ M3×3(IR)
α1 0 0
0 α2 0
0 0 α3
=
P ¡ P =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
−1 −2 −1
1 1 1
0 2 2

¢¡¤£¦¥ ¡ § §
¨ ¢ ¢ ¢ ¢¡ © ¨£¢ ¤£ ¢
¨£¢ ©
¡ ¨ § (e1, e2, e3) IR 3
α ∈ u IR ¢ ©
v
u = αe1 + 2e2 − 5e3
u = 2e1 + αe2 − e3
u = 2e1 + αe2 + e3
u = αe1 + e2 − 1
2 e3
v = e1 + 3αe2 + e3
v = 7e1 − 3e2 + 2e3
v = 4e1 + 2αe2 + 2e3
v = 2αe1 − 3αe2 − 2e3
¨¥ ¨ u v ¢ ¤ u | v = 0
u | v = 0 ⇐⇒ α × 1 + 2 × 3 − 5 × 1 = 0 ⇐⇒ α + 1 = 0
⇐⇒ α = −1
u | v = 0 ⇐⇒ 2 × 7 + α × (−3) − 1 × 2 = 0
⇐⇒ 12 − 3α = 0 ⇐⇒ α = 4
u | v = 0 ⇐⇒ 2 × 4 + α × (2α) + 1 × 2 = 0 ⇐⇒ 5 + α 2 = 0
=⇒ ¢¥¤ α
£

120 CAPÍTULO 11. ¡¤¥ ¥ ¡ ¦£¦¥ ¡ ¤¡¤¥ ¥ £
¢
¦£¥ ¢ £ ¡¤¥ ¥
u | v = 0 ⇐⇒ α × (2α) + 1 × (−3α) − 1 × (−2) = 0
2
⇐⇒ 2α 2 − 3α + 1 = 0 ⇐⇒ (2α − 1)(α − 1) = 0
⇐⇒ α = 1
2
u = αe1 + e2 − e3
α = 1
v = 3e2
¡ ¨ (e1, e2, e3) IR 3
¢
u = e2 + 2e3
¨ u|v
cos (u, v) = u v
¨¥
v = 4e2 + 3e3
cos (u, v) = α×0+1×3−1×0
√
α2 +12 +(−1) 2 √ 32 = 3
3 √ α2 +2
cos (u, v) = 0×0+1×4+2×3
√ 1 2 +2 2 √ 4 2 +3 2 = 10
√ 5 √ 25 = 2 √ 5
= 1
√ α 2 +2
¡ ¨ (e1, e2, e3) IR 3
u = e1 + e2 − 2e3 v = 3e1 − e3
u × v
u
v
u v
5
e1 e2 e3
1 1 −2
3 0 −1
¨¥ ¨ u × v ¨
¢
u × v =
1 −2
0 −1
e1 −
1 −2
3 1
e2 +
¥£
1 1
0 3
e3 = −e4 − 5e2 − 3e3
¢ ¥¤ u v ¢
u × v ¡ u v ¡
u × v = (−1) 2 + (−5) 2 + (−3) 2 = √ 35

u×v
√ =
35 1
√ (−e4 − 5e2 − 3e3)
35
u 5
v
u×v
5 √
35
¡ ¡ u v ¡
(2, −1, 1) C = (−1, 2, 3)
¡ ¨ ¡ ¢ ¡ A = (1, 2, 3)
B =
¨¥ ¨
−→
AB = B − A = (1, −3, −2)
−→
AC = C − A = (−2, 0, 0)
−→
AB × −→
AC =
¡
e1 e2 e3
1 −3 −2
−2 0 0
= 4e2 − 6e3
¢¢¡
−→
AB× −→
AC
2
=
= −
√ (4) 2 +(−6) 2
2
1 −2
−2 0
e2 +
= √ 52
2 = √ 13
1 −3
−2 0
e3
¡ ¨
u = e1 + e2, v = e2 + e3 w = e1 + e2
¨¥ ¨
u × v =
e1 e2 e3
1 1 0
0 1 1
=
1 0
1 1
e1
−
= e1 − e2 + e3
1 0
0 1
e2
+
1 1
0 1
e3
121

122 CAPÍTULO 11. ¡¤¥ ¥ ¡ ¦£¦¥ ¡ ¤¡¤¥ ¥ £
(u × v) | w
= |1 + 1| = 2
¢
¦£¥ ¢ £ ¡¤¥ ¥
u v w ¡
¡ ¨ ¢ (O; e1, e2, e3)
A = (0, k, −3) B = (−1, 0, −4) C = (1, k, −3)
¡
k
¡
C 1
¢ ¡ A B
[OA]
[OB] [OC] ¢ k
6
k O A B C £¢
¨¥ ¨
−→
AB = B − A = (−1, −k, −1)
−→
AC = C − A = (1, 0, 0)
−→
AB × −→
AC =
¡
¢¢¡
e1 e2 e3
−1 −k −1
1 0 0
= −e2 + ke3
−→
AB× −→
AC
2
=
= −
√ (−1) 2 +(k) 2
2
−1 −1
1 0
e2 +
= √ 1+k 2
2
−1 −k
1 0
e3
¢ 1£¢ ¢
k
√
1+k2 2 = 1 ⇐⇒ 1 + k2 = 4 ⇐⇒ k 2 = 3 ⇐⇒ k = ± √ 3
−→
OA = A − O = (0, k, −3)
−→
OB = B − O = (−1, 0, −4)
−→
OC = C − O = (1, k, −3)

−→
OA × −→
OB =
=
e1 e2 e3
0 k −3
−1 0 −4
k −3
0 −4
e1 −
= −4ke1 + 3e2 + ke3
0 −3
−1 −4
e2 +
0 k
−1 0
e3
−→
OA × −→ −→
OB | OC
= |−4k + 3k − 3k| = |−4k| = 4|k|
[OA] [OB] [OC] ¡
¡ ¢ 6 k ¢
4|k| = 6 ⇐⇒ |k| = 3
2
⇐⇒ k = ± 3
2
O A B £¢
C
−→
OA × −→ −→
OB | OC
= 0 ⇐⇒ 4|k| = 0 ⇐⇒ k = 0
123

124 CAPÍTULO 11. ¡¤¥ ¥ ¡ ¦£¦¥ ¡ ¤¡¤¥ ¥ £
¢
¦£¥ ¢ £ ¡¤¥ ¥

¢¡¤£¦¥ ¡ §
¡ ¢ ¤£¢ ¥ ¢
¥
A = (3, −1) ¡
2,
u = (−2, 2,
−3)
¡ ¨ § £¢ ©
¥
A = (3, −1)
2, B = (2, 1, 0)
¥
(1, 2) ¡
0, ¢ ¢ 2x − y + z =
0
¥ (1, 0, 2) ¡ u =
(2e1 − 3e2) × (e1 + e2 + e3)
¨¥ ¨ R A = (3, 2, −1) ¢
u = (−2, 2, −3) ¢ £¢
R = A + 〈u〉 = (3, 2, −1) + 〈(−2, 2, −3)〉
(x, y, z) R ¤
¤ λ ∈ IR
(x, y, z) = (3, 2, −1) + λ(−2, 2, −3)
¢ ¢ ¡
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = 3 − 2λ
y = 2 + 2λ
z = −1 − 3λ
§

126 CAPÍTULO 12. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
x−3 y−2
= −2 2
= z+1
−3
−→
AB = B − A = (−1, −1, 1) £¢ R
¡ ¢ £¢
R A = (3, 2, −1) B = (2, 1, 0)
R = A + 〈 −→
AB〉 = (3, 2, −1) + 〈(−1, −1, 1)〉
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (3, 2, −1) + λ(−1, −1, 1) λ ∈ IR
¢ £¢ ¢ ¡
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x−3
−1
= y−2
−1
x = 3 − λ
y = 2 − λ
z = −1 + λ
= z+1
1 ⇐⇒ 3 − x = 2 − y = z + 1
R A = (1, 0, ¡
2) ¢ ¢ 2x − y + z =
0
u = (2, −1, 1)
¡ 2x − y + z = 0£¢ R ¡ u
¢ ¢
R = A + 〈 −→ u 〉 = (1, 0, 2) + 〈(2, −1, 1)〉
(x, y, z) R ¤
¥¤ λ ∈ IR
(x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(2, −1, 1)
¢ ¢ ¡
£¢
⎧
⎪⎨ x = 1 + 2λ
y = −λ
⎪⎩
z = 2 + λ

x−1
2
= y
−1
= z−2
u = (2e1 − 3e2) × (e1 + e2 + e3) =
=
−3 0
1 1
e1 −
1
2 0
1 1
⇐⇒ x − 1 = −2y = 2(z − 2)
e2 +
2 −3
1 1
e3 = −3e1 − 2e2 + 5e3
e1 e2 e3
2 −3 0
1 1 1
R A = (1, 0, 2) ¡ u
¢
£¢
R = A + 〈u〉 = (1, 0, 2) + 〈(−3, −2, 5)〉
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(−3, −2, 5), λ ∈ IR
⎧
⎪⎨
¢ ¡ ¢¡
⎪⎩
x = 1 − 3λ
y = −2λ
z = 2 + 5λ
¢
x−1
−3
= y
−2
= z−2
5
¡ ¨ £¢
¢ ¡ ©
x = 0 y =
3z
2x + y + z = 1 x − y − z + 2 = 0
¨¥ ¨ R ¢ ¡ ©
x = 0 y = 3z
£¢
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (0, 3z, z) = z(0, 3, 1)
127

128 CAPÍTULO £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
12.
(0, 0, 0) R (0, 3, 1) ¡ ¢
(x, y, z) = λ(0, 3, 1), λ ∈ IR
R ¢ ¢ ¡ ©
2x + y + z = 1 x − y − z + 2 =
0
R
3x = −1 y + z = 1 − 2x ⇐⇒ x = − 1
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = − 1 5 , y, 3 3 − y = − 1
5 , 0, + y(0, 1, −1)
3 3
£¢
1 −
¢
x + 5y =
2
3
, 0, 5
3
3
3
y + z = 5
R (0, 1, −1) ¡
(x, y, z) = − 1
5
, 0, + λ(0, 1, −1), λ ∈ IR
3 3
¡ ¨ ¢ ¢ ©
3x − 2y + 4z − 6 = 0
¨¥ ¨ P ¢ ¢ x + 5y = 2
£¢
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒ (x, y, z) = (2 − 5y, y, z) = (2, 0, 0) + (−5y, y, z)
⇐⇒ (x, y, z) = (2, 0, 0) + y(−5, 1, 0) + z(0, 0, 1)
(x, y, z) = (2, 0, 0) + λ(−5, 1, 0) + µ(0, 0, 1) λ, µ ∈ IR
¢ P
¡
¢ ¡
P 3x − 2y + 4z − 6 = 0
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒ (x, y, z) = 2 4 y − z + 2, y, z
3 3
⇐⇒ (x, y, z) = (2, 0, 0) + 2 4 y − z, y, z
3 3
£¢
⇐⇒ (x, y, z) = (2, 0, 0) + y 2
3 , 1, 0 + z − 4,
0, 1
3

2
(x, y, z) = (2, 0, 0)
+
¢
λ P
¡
3 , 1, 0 + µ − 4
3 , 0, 1 , λ, µ ∈ IR
(1, 0, 2) ¡
u = (−2, 0)
−1, v = (3, 0,
2)
¡ ¨ ¢ ¢ ©
A = (2, 4)
−1, B = (0, 0, 1)
C = (0, 3, −5)
(3, 0, 0) ¡
(1, 2,
3)
¨¥ ¨ u = (−2, −1, 0) v = (3, 0, 2)¢
P A = (1, 0, ¡
u 2) £¢ ¢
v
P = A + 〈u, v〉 = (1, 0, 2) + 〈(−2, −1, 0), (3, 0, 2)〉
¢ ¡
P
(x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(−2, −1, 0) + µ(3, 0, 2), λ, µ ∈ IR
¡
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = 1 − 2λ + 3µ
y = −λ
z = 2 + 2µ
λ, µ ∈ IR
λ µ
¥
⎧
⎪⎨
⎪⎩
λ = −y
µ = 1
(z − 2)
2
x = 1 − 2λ + 3µ = 1 + 2y + 3(z
− 2)
2
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒ x = 1 + 2y + 3(z
− 2)
2
⇐⇒ 2x − 4y − 3z + 4 = 0
129

130 CAPÍTULO 12. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
u × v =
e1 e2 e3
−2 −1 0
3 0 2
=
−1 0
0 2
e1 −
¢ ¢ P
u ×
¡ v
P
= −2e1 + 4e2 + 3e3 = (−2, 4, 3)
−2 0
3 2
X = (x, y, z) ∈ P ⇐⇒ (u × v) | −−→
AX = 0
e2 +
⇐⇒ (u × v) | (X − A) = 0
−2 −1
3 0
⇐⇒ (−2, 4, 3) | (x − 1, y, z − 2) = 0
⇐⇒ −2 (x − 1) + 4y + 3 (z − 2) = 0
⇐⇒ −2x + 4y + 3z − 4 = 0
e3
P A = (2, 4)
−1, B = (0, 0, 1)
C = (0, 3, −5)
£¢
P = A + 〈 −→
AB, −→
AC〉 = (2, −1, 4) + 〈(−2, 1, −3), (−2, 4, −9)〉
¢ P ¡
(x, y, z) = (2, −1, 4) + λ(−2, 1, −3) + µ(−2, 4, −9), λ, µ ∈ IR
¢ ¢ X = (x, y, z)
£¢ −−→
AX = (x − 2, y + 1, z − 4) −→
AB −→
AC ¢
P
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒
x − 2 y + 1 z − 4
−2 1 −3
−2 4 −9
= 0
⇐⇒ 3(x − 2) − 12(y + 1) − 6(z − 4) = 0
⇐⇒ 3x − 12y − 6z + 6 = 0
⇐⇒ x − 4y − 2z + 2 = 0

P A = (3, 0) ¡
0,
(1, 2,
3)
£¢
X = (x, y, z) ∈ P ⇐⇒ −−→
AX | (1, 2, 3) = 0
⇐⇒ (x − 3, y, z) | (1, 2, 3) = 0
⇐⇒ (x − 3) + 2y + 3z = 0
⇐⇒ x + 2y + 3z − 3 = 0
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒ (x, y, z) = (3 − 2y − 3z, y, z)
⇐⇒ (x, y, z) = (3, 0, 0) + (−2y − 3z, y, z)
⇐⇒ (x, y, z) = (3, 0, 0) + y(−2, 1, 0) + z(−3, 0, 1)
(x, y, z) = (3, 0, 0) + λ(−2, 1, 0) + µ(−3, 0, 1), λ, µ ∈ IR
¢ P
¡
¡ ¨ R ¢ ¡
x − 3 = z y = z − 1
¢
S
(1, 3) ¡ ¡ −2,
R
R S
¢
(1, −2, 3) ¡
¢
3x − z = y −
2
¨¥ ¨ R ¢ ¡
x − 3 = z y = z − 1
131

132 CAPÍTULO 12. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
£¢
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (3 + z, z − 1, z)
⇐⇒ (x, y, z) = (3, −1, 0) + z(1, 1, 1)
u = (1, 1, 1)
¡ R R S ¢
¡
S
(x, y, z) ∈ S ⇐⇒ (x, y, z) = (1, −2, 3) + λ(1, 1, 1), λ ∈ IR
A = (1, −2, 3) ¢ R
¢ S
¢ P
−→
B = (3, −1, 0) ∈ R
AB = (2, 1, −3)
1) ¢
u = (1, 1,
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒ (x, y, z) = (1, −2, 3) + λ(1, 1, 1) + µ(2, 1, −3)
⇐⇒ (x − 1, y + 2, z − 3) = λ(1, 1, 1) + µ(2, 1, −3)
⇐⇒
x − 1
1
y + 2
1
z − 3
1 = 0
2 1 −3
⇐⇒ 4x − 5y − z − 17 = 0
P ¢ 3x − z = y − 2 ¡ 3x − y − z + 2 = 0
u = (3, −1,
¡ P£¢ −1) R
(1, −2, ¡ 3) ¢ P
u
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (1, −2, 3) + λ(3, −1, −1), λ ∈ IR
¡ ¢
⎧
¢
⎪⎨
⎪⎩
x−1
3
x = 1 + 3λ
y = −2 − λ
z = 3 − λ
= y+2
−1
= z−3
−1

¡ ¨ P A B C
(1, 1)
0, (2, 2)
1, (0, 1) ¢
¢ 2,
P0 ¢ ¢
P1
P ¢
133
¤
P P = (−1, 0, −2)
¨¥ ¨ P A = (1, 0, 1)
B = (2, 1, 2)
C = (0, 2,
1)
−→
AB = B − A = (1, 1, 1)
−→
AC = C − A = (−1, 2, 0)
−→ −→
AB, AC
¢ £¢ P
P = A +
P0
P ¢
¤ ¢
−→
¢ P1
P0 = (0, 0, 0) +
−→
AB, AC
−→ −→
= AB, AC
(x, y, z) ∈ P0 ⇐⇒ (x, y, z) = λ(1, 1, 1) + µ(−1, 2, 0)
x y z
⇐⇒ 1 1 1 = 0
−1 2 0
⇐⇒ 2x + y − 3z = 0
¡ ¢
2x + y − 3z + d = 0, d ∈
IR
(−1, 0, P1 ¢
−2)
P ¡ ¡ P0
2(−1) + 0 − 3(−2) + d = 0 ⇐⇒ d = −4.
P1
2x + y − 3z − 4 = 0
¡ ¢ ¢
¢ ¢

134 CAPÍTULO 12. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§

¢¡¤£¦¥ ¡ §
¡ ¢ ¤£¢ ¥ ¡
¡ ¨ § A = (2, 3, 3) ¡ R
¢
(x, y, z) = (2, 1, 2) + λ(1, 2, 2), λ ∈ IR
R
P
A
P w = (1, 1,
−1)
(0, 0,
−3)
(1, −1, 0) P
¨¥ ¨ ¢ R
B = (2, 1, 1) ∈ R u = (1, 2, ¡
2)
A = (2, 3)
3,
¡
R
d (A, R) = u×−→ AB
u
−→
AB = B − A = (0, 1) 2,
£¢
u × −→
AB =
e1 e2 e3
0 1 2
1 2 2
= 2e1 − e2 − 2e3 = (2, −1, −2)
u × −→
AB = 2 2 + (−1) 2 + (−2) 2 = √ 9 = 3
u = √ 1 2 + 2 2 + 2 2 = √ 9 = 3

136 CAPÍTULO 13. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
d (A, R) = 3
3
R
P = (x, y, z) ∈ R
A
¡ ¢ 1 ¢
d(P, A) = 1
2 λ = 3
= 1
P ∈ R
P = (x, y, z) ∈ R
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
P = 2 + 2
(x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 3) 2 = 1
P = (x, y, z) ∈ R
(x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 3) 2 = 1
P = (x, y, z) = (2, 1, 2) + λ(1, 2, 2)
(x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 3) 2 = 1
P = (x, y, z) = (2 + λ, 1 + 2λ, 2 + 2λ)
(x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 3) 2 = 1
P = (x, y, z) = (2 + λ, 1 + 2λ, 2 + 2λ)
λ2 + (2λ − 2) 2 + (2λ − 1) 2 = 1
P = (x, y, z) = (2 + λ, 1 + 2λ, 2 + 2λ)
9λ2 − 12λ + 4 = 0
P = (x, y, z) = (2 + λ, 1 + 2λ, 2 + 2λ)
3
(3λ − 2) 2 = 0
, 1 + 2 × 2
3
, 2 + 2 × 2
3
= 8
3
, 7
3
10 , 3
P
¡ w = (1, 1, −1) ¢
¢
x + y − z + d =
0
¡ d (0, 0, P
3)
¢
0 + 0 − 3 + d = 0 ⇐⇒ d = 3

d((x0, y0, z0), P) = |x0+y0−z0+3| √
12 +12 +(−1) 2
= |3|
√ 3 = 3
√ 3 = √ 3
£¢ (x0, y0, z0) = (1, −1, 0) P ¡
(x, y, z) = (2, 0, 0) + λ(−2, 1, 0) + µ(2, 0, −1), λ, µ ∈ IR
¡ ¨ P ¢
P R d(P, P) = 1
R x = y +1
z = −y −1
¨¥ ¨ P ¢
(x, y, z) = (2, 0, 0) + λ(−2, 1, 0) + µ(2, 0, −1), λ, µ ∈ IR
A = (2, 0, 0) P w = (−2, 1, 0) ×
£¢
(2, 0, −1) = (−1, −2, −2) ¡
P = (x, y, z)
¡
P
d(P, P) =
¦ PR
|w| −→
AP|
√
12 +(−2) 2 +(−2) 2
= |(x−2)×(−1)−2y−2z|
√ 9
= |−x−2y−2z+2|
3
= (x, y, z) R
x = y 1 + z = −y 1£¢ −
d(PR, P) = |−x−2y−2z+2|
= 3
|−(y+1)−2y−2(−y−1)+2|
3
d(PR, P) = 1 ⇐⇒ |y−3|
3
= |y−3|
3
= 1 ⇐⇒ |y − 3| = 3
⇐⇒ y − 3 = 3 y − 3 = −3
⇐⇒ y = 6 y = 0
⎧
⎪⎨
(7, 6, −7)
PR = (y + 1,
y, −y − 1) =
⎪⎩
(1, 0, −1)
137

138 CAPÍTULO 13. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
¡ ¨ P ¢ ¢
x + αy + 2z + β = 0, α, β ∈ IR
R ¢
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, α, 2), λ ∈ IR
R P
P ′
¢
(x, y, z) = (1, 1, −1) + λ(0, 1, −1) + µ(4, −1, −1), λ, µ ∈ IR
α β ′ d (P, P ) = 3
¥¤
(x0, y0,
z0)
(x0, y0, z0) = (1, 0, 0) + λ0(1, α, 2) = (1 + λ0, αλ0, 2λ0)
¨¥ ¨ R ¡ P ¡
£¢ ¤ λ0
¢
λ0(1 + α 2 ) + β + 1 = 0 ⇐⇒ λ0 = − β+1
α2 +5
¢ P R ¡
(x0, y0, z0) =
1 − β+1
α 2 +5
, − (β+1)α
α 2 +5
d (R, P) = 0
′ ¢
P
2β+2
, − α2
+5
(x, y, z) = (1, 1, −1) + λ(0, 1, −1) + µ(4, −1, −1), λ, µ ∈ IR
′ d (P, P ) = 3 P ′ P
P ′¡
P
∈ IR
§
u = (0, 1, −1) × (4, −1, −1) = (−2, −4, −4) v = (1, α, ¢
2)

¢ u v ¢ ¡ α = 2
(1, 1, −1) ′£¢ P
d (P ′ , P) = d ((1, 1, −1), P) = |1+α×1+2×(−1)+β|
√ 1 2 +α 2 +2 2
= |1+2×1+2×(−1)+β|
√ 1 2 +2 2 +2 2
d (P ′ , P) = 3 ⇐⇒ |1+β|
3
= |1+β|
3
= 3 ⇐⇒ |1 + β| = 9
⇐⇒ β = 8 β = −10
¡ ¨ P ¢ ¢ x − y +
z − 1 0 =
R
x = 2y − 1 z = −y + 3
¨¥ ¨ R ¡ P ¡ ¥¤
z0 = −y0 3 ¢
+
x0 − y0 + z0 − 1 = 0 ⇐⇒ (2y0 − 1) − y0 + (−y0 + 3) − 1 = 0
(x0, y0, z0) x0
139
= 2y0 − 1
⇐⇒ 1 =
0
R
¡ P (−1, 0, 3) R
¡ ¨ R1
d (R, P) = d ((−1, 0, 3), P) = |−1−0+3−1| √
12 +(−1) 2 +12 = 1 √
3
z = −2x + 4
y = βx − β
R2
R1
y = x − 1
z = −2x + 2 + β
R2
¢ ¢ β

140 CAPÍTULO 13. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
¨¥ ¨ (x, y, z) ∈ R1
y = βx − β
£¢
z = −2x + 4
(x, y, z) = (x, βx − β, −2x + 4) = (0, −β, 4) + x(1, β, −2)
¡
(x, y, z) ∈ R2
R1 = (0, −β, 4) + 〈(1, β, −2)〉
y = x − 1
£¢
z = −2x + 2 + β
(x, y, z) = (x, x − 1, −2x + 2 + β) = (0, −1, 2 + β) + x(1, 1, −2)
R2 = (0, −1, 2 + β) + 〈(1, 1, −2)〉
¢ ¡ ¥¤
(x, y, £¢ z) (x, y, ¢ £¢
z)
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
y = βx − β
z = −2x + 4
y = x − 1
z = −2x + 2 + β
£¢ ¢ ¢
¢ β = 2 ¢ ¡
(x, y, z) = (1, 0,
2)
£¢ d(R1, R2) = 0
β 2 ¡ = R1
¢ ¢
¢£¢ ¨
(1, β, −2) (1, 1, ¢
−2)
R2 ¢
R1
¢ ¤
β = 1
R2
A = (0, −β, 4) =

(0, −1, 4) R1 ∈ B = (0, −1, β + 2) = (0, −1, 4) ∈ R2 v = (1, −2)
R2
1,
d (R1, R2) = u×−→ AB
u
(1,1,−2)×(0,0,1)
= √
6
= (1,−1,0)
√ 6
= √ 2
√6 = 1 √ 3
β 1 = β 2 £¢
=
¢ ¢ ¢¨
R1
A = (0, −β, R1 4) ∈ B = (0, −1, β + R2 2) ∈ u = (1, β, −2)
v = −2) (1, R2
1, R1
R2
AB
u×v
d (R1, R2) = u×v|−→
= |(2−β)(1−β)|
√ 5|1−β|
(−2β+2,0,1−β)|(0,1−β,2−β)
= (−2β+2,0,1−β)
= |2−β|
√ 5
¡ ¨ R A = (3, 1, 2)
¢
(1, 0) 1, ¢ ¢ P 2x + y − z + 9 = 0
¢ R
P
¢ ′ P
P
P = (4, 3, 3)
¢ ′ R R
141
¡ R
P A
¨¥ ¨ R A = (3, 1, 2)
u = (1, 1, 0) P ¢ ¢ 2x + y − z + 9 = 0
¢
v = (2, 1, −1)
¡ P u =
(1, 1, 0) ¡ R
sin (P, R) = |u|v|
uv
= |3|
√ 2 √ 6 = √ 3
2
= sin π
3
π (P, R) =
3
R = A + 〈u〉 ′ P ¡ ¡ R
P = 3)£¢
(4, 3,
P ′
= A + u, −→
AP = (3, 1, 2) + 〈 (1, 1, 0), (1, 2, 1) 〉
′ P
¡
w = (1, 1, 0) × (1, 2, 1) = (1, −1, 1)

142 CAPÍTULO 13. £ £ ¥ § § ¤§ ¢¢¡ ¤§
(P, P
′ π ) =
¢
2
cos
(P, P ′ ) = |u|w|
uw
R = A + 〈u〉 R ′ = A +
(R, R
′ π ) =
6
cos (R, R ′ ) = |u|−→
AP|
u −→
AP = √ 3
2
= 0
−→ AP
= cos π
6

¢¡¤£¦¥ ¡ §
¤£ ¡¢¡£¡¢¤¦¥ ¡¢¡§¡©¨
¡ ¨ § B =
A =
0 0 0
1 0 3
0 4 2
C =
1 0 3α
§ o ¨ ¢
BC, (BC) 2 , (BC) 3 .
0
1
4
α
2
0 0 −α
α ∈
IR
m ∈ IN m ≥ 3, (BC) m = 03×3.
a 0 0
b a 0
c b a
a b c ¢
(I3 − BC) I3 + BC + (BC) 2 = I3.
A 2
T
AA .
T
AA
2 = A + 2b 2 + c 2
.
A BC
¡ ¨ A B C n A B ¨
¡ ¨ Aα
(A − In) A −1 C + B (AB) −1 C = C
=
1 −1 −1
1 −α −α
−1 1 α + 1
, α ¡

144 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
r Aα
r (Aα) =
2
3
¢
α Aα
¨
0 0 0
¨¥ ¨ §
BC =
(BC) 2 =
(BC) 3 =
1 0 3
0 4 2
0 0 0
1 0 0
α = 0 α = 1,
α = 0 α = 1.
1 0 3α
0
1
4
α
2
0 0 −α
0 0 0
1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 0 0
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
¡ ¨
=
=
=
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
m ∈ IN m ≥ 3
(BC) m = (BC) 3 (BC) m−3 = 03×3 (BC) m−3 = 03×3
¡
(I3 − BC) I3 + BC + (BC) 2
= I3
I3 + BC + (BC) 2 − BC I3 + BC + (BC) 2
= I3 + BC + (BC) 2 − BC + (BC) 2 + (BC) 3
= I3 − (BC) 3 = I3
a 0 0
b a 0
c b a
a 0 0
b a 0
c b a
a 0 0
b a 0
c b a
A2 =
AA T =
a b c
0 a b
0 0 a
=
=
a2 0 0
2ab a2 0
b2 + 2ac 2ab a2
a2 ab ac
ab a2 + b2 ab + ac
ac ab + ac a2 + b2 + c2

¡
T AA = (a2 + b2 + c2 ) + (a2 + b2 ) + a2 = 3a2 + 2b2 + c2
A (BC) =
a 0 0
= (A 2 ) + 2b 2 + c 2
(BC) A =
b a 0
c b a
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
a 0 0
b a 0
c b a
A (BC) = (BC) A
=
=
0 0 0
a 0 0
b a 0
0 0 0
a 0 0
b a 0
¡ A BC
A B C n A B ¨ ¡
£¢
(A − In) A−1C + B (AB) −1 C = AA−1C − In A−1C + B (AB) −1 C
= InC − A −1 C + B (B −1 A −1 ) C
= C − A −1 C + (BB −1 ) A −1 C
= C − A −1 C + In A −1 C
= C − A −1 C + A −1 C = C
¢ Aα £¢ ¢
¢
1
Aα = 1
−1
−1
−α
1
−1
−α
α + 1
r (Aα) =
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
Aα
1 −1 −1
1 −α −α
0 0 α
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
2 ¢¡ α = 0 £¥¤ α = 1,
¡
3 ¢¡ α = 0 ¡ α = 1.
1 −1 −1
0 1 − α 1 − α
0 0 α
145

146 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
Aα
¡ ¨ α = 0 α = 1
¢
¢
£¢
[Aα I3]
|
−−−−→
ℓ2 − ℓ3
−−−−→
ℓ1 + ℓ3
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
[Aα | I3] =
−−−−→
ℓ3 + ℓ1
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−→
1
1−α ℓ2
1
α ℓ3
1 −1 −1 |
⎡
⎣
⎡
⎣
0 1 0 |
0 0 1 |
1 −1 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
A −1
α =
1 −1 −1 |
1 −α −α |
−1 1 α + 1 |
1 −1 −1 |
1 −α −α |
0 0 α |
1 −1 −1 |
0 1 − α 1 − α |
0 0 α |
1 −1 −1 |
0 1 1 |
0 0 1 |
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
1 0 0
− 1 1
− 1−α α
1
1−α
1
− α
1
α
0
1
α
1 + 1
α
− 1
1−α
1
α
− α
1−α
− 1
1−α
1
α
⎡
⎣
− α
1−α
− 1
1−α
1
α
− 1
α
− 1
α
− 1
α
0
1
1−α
0
1
1−α
1
1−α
0
1
1−α
1
1−α
0
1 0 0
−1 1 0
1 0 1
1 0 0
−1
1−α
1
1−α 0
1
α 0
1
α
0
1
α
1
− α
1
α
1
− α
1
α
0
1
− α
1
α
⎤
⎤
⎦
⎦ = [I3 | A −1
α ]
⎤
⎦

o ¨ ¢¡ £¢ ¡¤
a + b a a
¡ ¨ § a, b ∈ IR
a a + b a
a a a + b
abc 0£¢ =
§
©£©¥ £ ¥§¦ £ ¡ ¡ £ ¤ £
¡ ¤
a 1 bc
b 1 ac
c 1 ab
=
¡ ¨ A =
= b2 (3a + b)
a 2 a 1
b 2 b 1
c 2 c 1
1 0 −1
1 2 1
2 2 3
§ §
§
¡©¨ 1 2 ¡ 3 ¡ ¡ £ ¢ ¡¢¡£ ¡ £ a b ¡ c
λ ∈ IR det(A − λI3) = 0
A
¡ ¨
−1 A
147
A
¡ ¨ ¢ x y
z −1 1 0
1 1 2
3 2 2
x 1
= 1
¡
¢ ¢
¡ ¨ α ∈ IR β ∈ IR
x + y − z = 1
⎧⎪⎨
⎪⎩
−2x − (α + 1)y + (α + 2)z = β − 3
y
z
2x + 2y − (α + 2)z = −β + 3
¢ ¢ α
β
1

148 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
α = 0 β = 1
¡ ¨ A n α ∈ IR \ {0}
A (αA) = α n−1 det A In
¨¥ ¨ § ¤£ ¡ 1
a + b a a
a a + b a
a a a + b
= (a + b)
a + b a
a a + b
− a
a a
a a + b
+ a
= (a + b) ((a + b) 2 − a 2 ) − a (a(a + b) − a 2 ) + a (a 2 − a(a + b))
= (a + b) (b 2 + 2ab) − 2a (ab) = 3ab 2 + b 3 = b 2 (3a + b)
a a + b
a a
1 2 3 a c
b
abc
a 1 bc
b 1 ac
c 1 ab
= bc
= abc
a 2 a abc
b 1 ac
c 1 ab
a 2 a 1
b 2 b 1
c 2 c 1
abc = 0
a 1 bc
b 1 ac
c 1 ab
= abc
abc
= (1 − λ)
λ ∈ IR
det(A − λI3) =
= c
a 2 a 1
b 2 b 1
c 2 c 1
1 − λ 0 −1
1 2 − λ 1
2 2 3 − λ
2 − λ 1
2 3 − λ
a 2 a abc
b 2 b bac
c 1 ab
=
−
=
a 2 a 1
b 2 b 1
c 2 c 1
1 2 − λ
2 2
a 2 a abc
b 2 b bac
c 2 c cab
= (1 − λ) ((2 − λ)(3 − λ) − 2) − 2 + 2(2 − λ)
= (1 − λ) ((2 − λ)(3 − λ) − 2) + 2(1 − λ)
= (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ)

⇐⇒ λ = 1 λ = 2 λ = 3
det(A − λI3) = 0 ⇐⇒ (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ) = 0
λ = 0
det A = det(A − 0I3) = (1 − 0)(2 − 0)(3 − 0) = 6 =
0
A
¡ ¨
2 1
2 3
A11 =
A21
= −
A31
=
= 4,
i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 Aij £¢
¢ (i, j) A
0 −1
2 3
0 −1
2 1
= −2,
= 2,
A12
= −
A22
=
A32
= −
¡
T Aij
A =
¨ ¡
=
A −1 = 1
det A
−1 1 0
1 1 2
3 2 2
1 1
2 3
1 −1
2 3
¢ ¡
1 −1
1 1
4 −1 −2
−2 5 −2
2 −2 2
= −1,
= 5,
= −2,
T
=
4 −2 2
1 A = −1 5 −2
6
−2 −2 2
= −
1 2
2 2
−
1 2
3 2
¢¡
¢
x =
1 1 0
1 1 2
1 2 2
−1 1 0
1 1 2
3 2 2
= − 2
6
A13
=
A23
= −
A33
=
4 −2 2
−1 5 −2
−2 −2 2
= 6 = 0
= − 1
3
1 2
2 2
= −2,
149
1 0
2 2
1 0
1 2
= −2,
= 2.

150 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
⎧⎪⎨
⎪⎩
y =
z =
˛
˛
x + y − z = 1
−1 1 0
1 1 2
3 1 2
−1 1 0
1 1 2
3 2 2
−1 1 1
1 1 1
3 2 1
−1 1 0
1 1 2
3 2 2
˛
˛
= 4
6
= 2
6
= 2
3
= 1
3
−2x − (α + 1)y + (α + 2)z = β − 3
2x + 2y − (α + 2)z = −β + 3
¢ ¢
1 1 −1
−2 −α − 1 α + 2
2 2 −α − 2
Aα
x
y
=
1
β − 3
z
X
3 − β
Bβ
⇐⇒ Aα X = Bβ
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
¢ Aα £¢ ¢
¢
Aα =
−−−−−→
2ℓ1 + ℓ2
1 1 −1
−2 −α − 1 α + 2
2 2 −α − 2
1 1 −1
0 1 − α α
0 0 α
r (Aα) =
−−−−→
ℓ2 − ℓ3
Aα
−−−−−→
2ℓ1 − ℓ3
1 1 −1
−2 −α − 1 α + 2
0 0 α
1 1 −1
0 1 − α 0
0 0 α
2 ¢¡ α = 0 £¥¤ α = 1,
¡
3 ¢¡ α = 0 ¡ α = 1.
¢ ¢

[Aα | Bβ] =
£¢
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−−−−−→
2ℓ1 − ℓ3
−−−−−→
2ℓ1 + ℓ2
−−−−→
ℓ2 − ℓ3
1 1 −1 | 1
−2 −α − 1 α + 2 | β − 3
2 2 −α − 2 | 3 − β
1 1 −1 | 1
−2 −α − 1 α + 2 | β − 3
0 0 α | β − 1
1 1 −1 | 1
0 1 − α α | β − 1
0 0 α | β − 1
1 1 −1 | 1
0 1 − α 0 | 0
0 0 α | β − 1
¢¡ ¡
¢¡ ¡
¢¡
¢¡ ¡
⎧
2
⎪⎨
3
r ([Aα | Bβ]) =
2
⎪⎩
3
α = 0
α = 0
α = 1,
α = 0
β = 1,
β = 1,
α = 1.
¡ α = 0 ¡ α = 1 ¡¢¡£©¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
©£
§
£ . ¡
¡ α = 1 ¡¢¡£©¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤
¡
§
¤ 1.
¡ α = 0 ¡ β = 1 ¡¢¡¤£¦¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤
¡
§
¤ 1.
¡ ¡ ¡¢¡¤£¦¥ £
§
α = 0 β = 1 r (Aα) = 2 < r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ ©£
£ ¡¢
α = 0 β = 1 ¡ ¢ 1
1 1 −1
0 1 0
0 0 0
x
y
z
=
1
0
0
y = 0 x − z = 1
{(x, 0, x − 1) | x ∈ IR}
⇐⇒
x + y − z
y
0
=
1
0
0
151
¢¡

152 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¢ ¤
B (B) = det B In
⇐⇒ A (αA) = α n
α
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
det A In
A
αA αA
B = α
(αA) = det (αA) In ⇐⇒ n (αA) = α det A In
⇐⇒ A (αA) = α n−1 det A In

o ¨ ¢ ¡ £¢¥¤§¦©¨¡
¡ ¨ § IR 4
F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | c = 2a + 4b}
G = (1, 1, 0, 0), (3, 3, 0, 5), (0, 0, 0, 1)
¡ F 4
IR
F
G
dim F ∩ G dim(F + G)
¡ ¨ A =
4 1 2
3 −4 0
− 3
2 4 4
4 ¢ ¤ −4 A
¡ ¢
¤
A ¢¢¡ ¢
¦
153
A
¡ ¨ A = (2, 1, 0) B = (3, 2, 0) C = (2, 2, 1) ¨§
IR 3
¡ ¢ ¡ A B
C
¢
A
B
¢ ¢ ¢
B C
A
¨¥ ¨ § (a, b, c, d) ∈ F £¢ c = 2a + 4b
F
¢
F = {(a, b, 2a + 4b, d) | b, d ∈ IR}
= {a(1, 0, 2, 0) + b(0, 1, 4, 0) + d(0, 0, 0, 1) | b, d ∈ IR}
= 〈 (1, 0, 2, 0), (0, 1, 4, 0), (0, 0, 0, 1) 〉

154 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
1 0 2 0
0 1 4 0
0 0 0 1
¢
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
§ ¢ ((1, 0, 2, 0), (0, 1, 4, 0), (0, 0, 0, 1)) ¡ F
dim F =
3
1 1 0 0
3 3 0 5
0 0 0 1
1 1 0 0
3 3 0 5
0 0 0 1
¢ ¢
−−−−−→
ℓ2 − 3ℓ1
1 1 0 0
0 0 0 5
0 0 0 1
−−−−→
1
5 ℓ2
1 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1
−−−−→
ℓ2 − ℓ3
G = 〈 (1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) 〉 dim G = 2
(a, b, c, d) = (a, b, 2a + 4b, d)
(a, b, c, d) ∈ F ∩ G£¢ (a, b, c, d) ∈ F (a, b, c, d) ∈ G
=⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
¢¡
(a, b, c, d) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 0, 1) = (α, α, 0, β)
a = b
c = 2a + 4b
c = 0
=⇒ a = b = c = 0
F ∩ G = {(0, 0, 0, d) | d ∈ IR} = 〈(0, 0, 0, 1)〉 dim F ∩ G = 1
dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G = 4
¤ A
¡
pA(x) = det (A − xI3) =
= (4 − x)
−4 − x 0
4 4 − x
4 − x 1 2
3 −4 − x 0
− 3
2 4 4 − x
−
3 0
− 3
4 − x
2
+ 2
3 −4 − x
− 3
4 2
= (4 − x)(−4 − x)(4 − x) − 3(4 − x) + 2 12 − 3(4
+ x)
2
= −(4 − x)(4 + x)(4 − x) = −(4 − x) 2 (4 + x)

¤ A ¢ α1 = −4
¢ ¡
(4) 2 = (−4) =
1
= 4 α2
¤ α1
M4
M4 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 4I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
a
b
c
0 1 2
3 −8 0
− 3
2 4 0
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ3
0 1 2
3 −8 0
− 3
2 4 0
− 3
2 4 0
3 −8 0
0 1 2
= 4 ¡
a
b
c
¤ (A − 4I3) X = 0 ©
M4 =
=
a
b
c
8
3 b
b
− b
2
=
M4
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
−3 8 0
0 0 0
0 1 2
=
0
0
0
−3 8 0
−−−→
2ℓ1 3 −8 0
0 1 2
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ3
−3 8 0
0 1 2
0 0 0
∈ M3×1(IR) | −3a + 8b
= 0 b + 2c = 0
| b ∈ IR
=
8
3
1
− 1
2
8
3
1
− 1
¢
¤
2
α2
M−4
M−4 = {X ∈ M3×1(IR) | (A + 4I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
8 1 2
3 0 0
− 3
2 4 8
(4) = dim M4 = 1
= −4 ¡
a
b
c
=
∈ M3×1(IR) | a =
b + 2c = 0
0
4b + 8c = 0
0
0
0
∈ M3×1(IR) | a
= 0 b + 2c = 0
155

156 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
M−4
M−2 =
=
¢
0
0
b
− b
2
1
− 1
2
(4) + ¢
| b ∈ IR
¢
=
0
1
− 1
2
(−4) = 1 + 1 = 2 < 3
(−4) = dim M−4 = 1
A
¢¢¡ ¢ ¨
−→
AB = B − A = (3, 2, 0) − (2, 1, 0) = (1, 1, 0)
¡
−→
AC = C − A = (2, 2, 1) − (2, 1, 0) = (0, 1, 1)
−→
AB × −→
AC =
¢¢¡
−→
AB× −→
AC
2
e1 e2 e3
1 1 0
0 1 1
= e1−e2+e3
2
=
= e1 − e2 + e3
√ 1 2 +(−1) 2 +1 2
R A
¢ £¢
B
2
= √ 3
2
R = A + 〈 −→
AB〉 = (2, 1, 0) + 〈(1, 1, 0)〉
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
£¢ R ¡
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (2, 1, 0) + λ(1, 1, 0) λ ∈ IR
¢ £¢ ¢ ¡
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = 2 + λ
y = 1 + λ
z = 0
λ ∈ IR

x − 2 = y − 1 z = 0
P = A + 〈 −→
AB, −→
AC〉 = (2, 1, 0) + 〈(1, 1, 0), (0, 1, 1)〉
P A B C
¢ P ¡
(x, y, z) = (2, 1, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 1), λ, µ ∈ IR
AX = (x−2, y−1, z) −→
¢ ¢ X = (x, y, z) P
£¢ −−→
−→
AC ¢
AB
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒
x − 2 y − 1 z
1 1 0
0 1 1
£¢
= 0
⇐⇒ (x − 2) − (y − 1) + z = 0
⇐⇒ x − y + z − 1 = 0
157

158 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
§ ¡ £¢¥¤ ¨ ¦ ¨ ¢¡ ¨§ ¨¡
¡ ¨ § ¢ x y
z
1 2 0
2 1 1
3 2 0
x 1
= 1
¡
£¢ ¢
¡ ¨ α ∈ IR β ∈ IR
x + y + z = 1
⎪⎩
⎧ ⎪⎨
y
z
2x + y + 2z = β
x + 2y + αz = 2
¢ ¢ α
β
α = 1 β = 1
¡ ¨ IR 4
F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | c = a + b c = d}
G = (1, 0, 1, 1), (2, 0, 2, 4), (0, 0, 0, 1)
¡ F 4
IR
F
G
¡ ¨
dim F ∩ G dim(F + G)
2
A = 2
1
3
0
2
0 −1 2
A
¢ ¡
¤
¢¢¡ ¢ ¨
A
1
A

v = (2, 1)
2,
¡ ¨ A = (1, 1, 0) IR 3
¡ u
¢ ¢ A
u v
159
u = (3, 2, 0)
A ¡
¡ ¨ A ¨
n
−1 1 A) = ( |A| A
¨¥ ¨ § A =
det A =
1 2 0
2 1 1
3 2 0
x
(S) A y
z
B =
1
1
1
= B
¢ x y z
£ ¡ 1 A
1 2 0
2 1 1
3 2 0
=
1 1
2 0
− 2
2 1
3 0
= 4
det A ¢ ¡ A ¡ ¨ (S) ¡
¢ ¢
(S) ¡
x =
y =
z =
˛
˛
˛
1 2 0
1 1 1
1 2
det A
0
1 1 0
2 1 1
3 1
det A
0
1 2 1
2 1 1
3 2
det A
1
˛
˛
˛
= 0
4
= 2
4
= 0
= 1
2
= 2 1 = 4 2

160 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + z = 1
2x + y + 2z = β
x + 2y + αz = 2
¢ ¢
2
4
1
2
1
1
1
2
1 2 α
| {z }
Aα
3 2
5 4 x
y
z
3
5
| {z }
X
=
2
4 1
β
3
5
2
| {z }
Bβ
⇐⇒ Aα X = Bβ
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
¢ Aα ¢
¢
[Aα | Bβ] =
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
£¢
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 1 1 | 1
2 1 2 | β
1 2 α | 2
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 1 1 | 1
0 −1 0 | β − 2
0 1 α − 1 | 1
1 1 1 | 1
0 −1 0 | β − 2
1 2 α | 2
−−−−→
ℓ2 + ℓ3
¢¡
¢¡
2
r (Aα) =
3
α = 1,
α = 1
⎧
⎨
r ([Aα | Bβ]) =
⎩
3 α = ¢¡ 1.
2 ¢¡ α = 1 ¡ β = 1,
3 ¢¡ α = 1 ¡ β = 1,
¡ α = 1 ¡¢¡£¦¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
©£
§
£ ¡
1 1 1 | 1
0 −1 0 | β − 2
0 0 α − 1 | β − 1
¡ α = 1 ¡ β = 1 ¡¢¡£©¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤ 1
¡¤
¡ ¡ ¡¢¡£©¥ £
§
α = 1 β = 1 r (Aα) = 2 < r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ ©£
£ ¡¢

α = 1 β = 1 ¡ ¢ 1
1 1 1
0 −1 0
0 0 0
x
y
z
=
1
−1
0
y = 1 x + z = 0
{(x, 1, −x) | x ∈ IR}
⇐⇒
x + y + z
−y
0
=
1
−1
0
161
¢¡
(a, b, c, d) ∈ F£¢ c = d = a + b F ¢
F = {(a, b, a + b, a + b) | a, b ∈ IR}
= {a(1, 0, 1, 1) + b(0, 1, 1, 1) | a, b ∈ IR}
= 〈 (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) 〉.
¢
§ ¢ ¡
1 0 1 1
0 1 1 1
((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)) F dim F = 2
1 0 1 1
2 0 2 4
0 0 0 1
¢ ¢
1 0 1 1
2 0 2 4
0 0 0 1
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
1 0 1 1
0 0 0 2
0 0 0 1
−−−−→
1
2 ℓ2
1 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 1
−−−−→
ℓ2 − ℓ3
G = 〈 (1, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1) 〉 dim G = 2
(a, b, c, d) ∈ F ∩ G£¢ (a, b, c, d) ∈ F (a, b, c, d) ∈ G
(a, b, c, d) = (a, b, a + b, a + b)
(a, b, c, d) = α(1, 0, 1, 1) + β(0, 0, 0, 1) = (α, 0, α, α + β) =⇒
1 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
¡
α = a
F ∩ G = {(a, 0, a, a) | a ∈ IR} = 〈(1, 0, 1, 1)〉 dim F ∩ G = 1
dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G = 3
β = 0
b = 0

162 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¤
A
¡
pA(x) = det (A − xI3) =
= (2 − x)
3 − x 2
−1 2 − x
2 − x 1 0
2 3 − x 2
0 −1 2 − x
−
2 2
0 2 − x
= (2 − x)(3 − x)(2 − x) + 2(2 − x) − 2(2 − x)
= (2 − x) 2 (3 − x)
= 2 α2
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
¤ A ¢ α1 = 3
¢ ¡
(2) 2 = (3) =
1
¤ α1
M2
M2 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 2I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
=
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
0 1 0
2 1 2
0 −1 0
= 2 ¡
a
b
c
=
0
0
0
∈ M3×1(IR) | b
= 0 2a + b + 2c = 0
a
0
−a
=
∈ M3×1(IR) | b
= 0 a + c = 0
1
∈ M3×1(IR) | a ∈ IR = 0
−1
¢
¤
1
0
−1
α2
M2
M3 = 3 ¡
M3 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 3I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
∈ M3×1(IR) |
−1 1 0
2 0 2
0 −1 −1
1 −1 0
1 0 1
0 1 1
(2) = dim M2 = 1
a
b
c
∈ M3×1(IR) | a = b = −c
a
b
c
=
=
0
0
0
0
0
0

M3 =
=
M3
¢
b
b
−b
1
1
−1
(2) + ¢
A ¢¢¡ ¢
| b ∈ IR
=
¢
1
1
−1
(3) = 1 + 1 = 2 < 3
(3) = dim M3 = 1
¦
R A ¡
u
¢ £¢
¡
R = A + 〈 −→ u 〉 = (1, 1, 0) + 〈(3, 2, 0)〉
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(3, 2, 0) λ ∈ IR
¢ ¢ ¢ ¡
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = 1 + 3λ
y = 1 + 2λ
z = 0
x−1
3
= y−1
2
λ ∈ IR
z = 0
163
£¢ R
u = (3, 0)
2, v = (2, 1) ¢
2, P A = (1, 0) ¡ u 1, v
£¢ ¢
P = A + 〈u, v〉 = (1, 1, 0) + 〈(3, 2, 0), (2, 2, 1))〉
¢ P ¡
(x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(3, 2, 0) + µ(2, 2, 1), λ, µ ∈ IR

164 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
⎧
⎪⎨
¡
x = 1 + 3λ + 2µ
⎪⎩
y = 1 + 2λ + 2µ
z = µ
⎧
⎪⎨
λ, µ ∈ IR
λ µ
¥
λ = 1
⎪⎩
3
(x − 1 − 2µ)
λ = 1(y
− 1 − 2µ)
2
z = µ
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒ 1
1
(x − 1 − 2z) = (y − 1 − 2z)
3 2
⇐⇒ 2x − 3y + 2z + 1 = 0
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
A
¡ ¨ A A = |A| In£¢ |A| = 0
A = |A| InA −1 = |A| A −1
¨ ¡
¡ ¨
−1 −1
A) = ( |A| A −1
1 −1
= A |A|
−1 1 = |A| A

§ ¡ ¢ ¤ ¨ ¤¡©¦¥ ¢ ¡ £¢ ¥¤ ¡
z
1 2 3
2 1 2
0 2 0
¡ § ¢ x ¨
y
x
1
y
z
=
2
−1
¡
¢ ¢
¡ ¨ α ∈ IR β ∈ IR
2x + y + 2z = β − 1
⎪⎩
⎧ ⎪⎨
x + y + z = 1
x + 2y + (α + 1)z = 2
¢ ¢ α
β
α = 0 β = 2
¡ ¨ IR 4
F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | c = a + 2b}
G = (2, 2, 0, 0), (3, 3, 0, 5), (0, 0, 0, 4)
¡ F 4
IR
F
G
dim F ∩ G dim(F + G)
¡ ¨ A =
3 1 2
3 −5 0
− 3
2 4 3
3 ¢ ¤ −5
A
¢ ¡
¢¢¡ ¢
A
¤
¦
A
165

166 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¡ ¨ A = (1, 2, 3) IR 3
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
v = (2, 1)
2,
¡ u
¢ ¢ A
¡
A
u v
¨¥ ¨ § A =
det A =
¢ x y z
1 2 3
2 1 2
0 2 0
B =
y
z
1
2
−1
x
(S) A = B
¤£ ¡ A
1
1 2 3
2 1 2
0 2 0
=
1 2
2 0
− 2
2 2
0 0
u = (1, 2, 1)
+ 3
2 1
0 2
= 8
det A ¢ ¡ A ¡ ¨ (S) ¡
£¢ ¢
(S) ¡
x =
y =
z =
˛
˛
˛
1 2 3
2 1 2
−1 2 0
det A
1 1 3
2 2 2
0 −1
det A
0
1 2 1
2 1 2
0 2 −1
det A
⎧
˛
˛
˛
= 7
8
= −4
8
= 3
8
= − 1
2
⎪⎨
2x + y + 2z = β − 1
x + y + z = 1
⎪⎩
x + 2y + (α + 1)z = 2

£¢ ¢
2
2
2
4 1
1
1
2
1
3 2
5 4
|
1 2 α + 1
{z }
Aα
x
y
3
5
z
| {z }
X
=
β − 1
4 1
3
5
|
2
{z }
Bβ
⇐⇒ Aα X = Bβ
¢ Aα ¢
¢
[Aα | Bβ] =
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1
£¢
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−−−−→
ℓ2 + ℓ3
2 1 2 | β − 1
1 1 1 | 1
1 2 α + 1 | 2
1 1 1 | 1
0 −1 0 | β − 3
1 2 α + 1 | 2
1 1 1 | 1
0 −1 0 | β − 3
0 0 α − 1 | β − 2
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ2
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
¢¡
¢¡
2
r (Aα) =
3
α = 0,
α = 0
⎧
⎨
r ([Aα | Bβ]) =
⎩
3 α = ¢¡ 0
2 ¢¡ α = 0 ¡ β = 2,
3 ¢¡ α = 0 ¡ β = 2,
¡ α = 0 ¡¢¡£©¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
©£
§
£ ¡
1 1 1 | 1
2 1 2 | β − 1
1 2 α + 1 | 2
1 1 1 | 1
0 −1 0 | β − 2
0 1 α | 1
¡ α = 0 ¡ β = 2 ¡¢¡¤£¦¥ £ r (Aα) = r ([Aα | Bβ]) = 2
¨§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤ 1
¡
¡ ¡ ¡¢¡¤£¦¥ £
§
α = 0 β = 2 r (Aα) = 2 < r ([Aα | Bβ]) = 3
¨§
¡¢ ©£
£ ¡¢
α = 0 β = 2 ¡ ¢ 1
1 1 1
0 −1 0
0 0 0
x
y
z
=
1
−1
0
⇐⇒
x + y + z
−y
0
=
1
−1
0
167

168 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
y = 1 x + z = 0
{(x, 1, −x) | x ∈ IR}
¢
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
¢¡
(a, b, c, d) ∈ F£¢ c = a + 2b F ¢
F = {(a, b, a + 2b, d) | a, b, d ∈ IR}
= {a(1, 0, 1, 0) + b(0, 1, 2, 0) + d(0, 0, 0, 1) | a, b, d ∈ IR}
= 〈 (1, 0, 1, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 0, 1) 〉.
1 0 1 0
0 1 2 0
0 0 0 1
¢
§ ¢ ((1, 0, 1, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 0, 1)) ¡ F
dim F =
3
2 2 0 0
3 3 0 5
0 0 0 4
2 2 0 0
3 3 0 5
0 0 0 4
¢ ¢
−−−−→
1
2 ℓ1
−−−−→
1
5 ℓ2
1 1 0 0
3 3 0 5
0 0 0 4
1 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1
−−−−→
1
4 ℓ3
1 1 0 0
3 3 0 5
0 0 0 1
−−−−→
ℓ2 − ℓ3
1 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
−−−−−→
ℓ2 − 3ℓ1
G = 〈 (1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) 〉 dim G = 2
(a, b, c, d) = (a, b, a + 2b, d)
(a, b, c, d) ∈ F ∩ G£¢ (a, b, c, d) ∈ F (a, b, c, d) ∈ G
=⇒
¢¡
(a, b, c, d) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 0, 1) = (α, α, 0, β)
a = b
a + 2b = c
c = 0
=⇒ a = b = c = 0
1 1 0 0
0 0 0 5
0 0 0 1
F ∩ G = {(0, 0, 0, d) | d ∈ IR} = 〈(0, 0, 0, 1)〉 dim F ∩ G = 1
dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G = 4

pA(x) = det (A − xI3) =
= (3 − x)
¤ A ¡
−5 − x 0
4 3 − x
3 − x 1 2
3 −5 − x 0
− 3
2 4 3 − x
−
3 0
− 3
2 3 − x
+ 2
3 −5 − x
− 3
2 4
= (3 − x)(−5 − x)(3 − x) − 3(3 − x) + 2 12 − 3(5
+ x)
2
= −(3 − x)(5 + x)(3 − x) = −(3 − x) 2 (5 + x)
¤ A ¢ α1 = −5
¢ ¡
(3) 2 = (−5) =
1
= 3 α2
¤ α1
M3
M3 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 3I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
2
4
a
b
c
0 1 2
3 −8 0
− 3
2 4 0
3
5 −−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ3
0 1 2
3 −8 0
− 3
2 4 0
= 3 ¡
a
b
c
¤ (A − 3I3)X = 0 ©
M3 = =
=
M3
a
b
c
8
3 b
b
− b
2
=
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
2
4
2
4
− 3
2 4 0
3 −8 0
0 1 2
−3 8 0
0 0 0
0 1 2
3
5 −−−→
2ℓ1
2
4
3
5 −−−−−→
2
ℓ2 ↔ ℓ3 4
=
0
0
0
−3 8 0
3 −8 0
0 1 2
−3 8 0
0 1 2
0 0 0
3
5
∈ M3×1(IR) | −3a + 8b
= 0 b + 2c = 0
∈ M3×1(IR) | b ∈ IR
8
3
1
− 1
2
¢
=
8
3
1
− 1
2
3
5
(3) = dim M3 = 1
169

170 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¤ α2
= −5 ¡
M−5
M3 = {X ∈ M3×1(IR) | (A + 5I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
M−5
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
M−5 =
=
¢
8 1 2
3 0 0
− 3
2 4 8
a
b
c
=
¢
0
0
0
§ £ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
∈ M3×1(IR) | a = 0
b + 2c = 0
4b + 8c = 0
∈ M3×1(IR) | a = 0 b + 2c = 0
0
0
b
− b
2
1
− 1
2
(3) + ¢
| b ∈ IR
¢
=
0
1
− 1
2
(−5) = 1 + 1 = 2 < 3
A ¢¢¡ ¢ ¨
(−5) = dim M−5 = 1
R A ¡ u
¢ ¢
¡
R = A + 〈 −→ u 〉 = (1, 2, 3) + 〈(1, 2, 1)〉
(x, y, z) ∈ R ⇐⇒ (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) λ ∈ IR
¢ £¢ ¢ ¡
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = 1 + λ
y = 2 + 2λ
z = 3 + λ
λ ∈ IR
£¢ R

x − 1 = y−2
2
= z − 3
u = (1, 1)
2, v = (2, 1) ¢
2, P A = (1, 3) ¡ u 2, v
£¢ ¢
P = A + 〈u, v〉 = (1, 2, 3) + 〈(1, 2, 1), (2, 2, 1))〉
¢ P ¡
(x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) + µ(2, 2, 1), λ, µ ∈ IR
⎧
⎪⎨
¡
x = 1 + λ + 2µ
⎪⎩
y = 2 + 2λ + 2µ
z = 3 + λ + µ
λ, µ ∈ IR
λ µ
¥
(x, y, z) ∈ P ⇐⇒ 1
2
(y − 2) = z − 3 ⇐⇒ y − 2z + 4 = 0
171

172 CAPÍTULO 14. ¦£¦£ ££
¢
£ ¡ ¢ ¤£¦¥ § ¢ ©¨
§

¢¡¤£¦¥ ¡ §
¤£ ¡¢¡£¡ ¨©¥ ¡¢¡§¡¡
¡ ¨ § A =
1 b 0
§ o ¨ ¢¡
0 −1 0
0 0 −1
b
¡
b 2 A = ¨ I3
¨
¥¤
¡ A 3 = A A 4 = I3
m ∈ IN A 2m = I3
¡ ¢ a 3d − a
0 d
A 2m+1 = A.
A ¡
0 3
¡ ¨ 2 × 2 1 2
¡ ¨ Bα =
1 α 2 α
0 1 0
0 α 1
¡ ¨
α ∈ IR ¨
¡ ¨ α ∈ IR
⎧
⎪⎨
x + y − z = 1
x + αy − z = 1
⎪⎩
x + y − (α + 1)z = 1

174 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¢ ¢
α
¥
α =
2
A 2 = AA =
¨¥ ¨ §
1 b 0
0 −1 0
0 0 −1
1 b 0
0 −1 0
0 0 −1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
¡ ¨ ¨ ¡ −1 A = A
§ ¡
A 3 = A 2 A = I3A = A A 4 = (A 2 ) 2 = (I3) 2 = I3
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
= I3
m ∈ IN
A 2m = (A 2 ) m = (I3) m = I3 A 2m+1 = A 2m A = I3A = A
a b
c d
2 × 2 1 2
⇐⇒
⇐⇒
a b
1 2
c d 0 3
a 2a + 3b
⎧
⎨
⎩
c 2c + 3d
a = a + 2c
=
2a + 3b = b + 2d
c = 3c
3d = 3d
A
¡ ¢ a d − a
0 d
=
1 α 2 α
0 1 0
0 α 1
=
1 2
0 3
a + 2c b + 2d
3c 3d
⇐⇒
α 0 £¢ = Bα
a b
c = 0
c d
b = d − a
= I3
0 3
B −1
α
¡
=
I3
Bα
α 0 = [Bα | ¢ ¢
I3]

1 α 2 α |
0 1 0 |
0 α 1 |
1 α2 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0
0 1 0
0 0 1
[Bα | I3] =
−−−−−→
l1 − αℓ3
= [I3 | B −1
α ]
1 α 2 −α
0 1 0
0 −α 1
−−−−−→
l3 − αℓ2
−−−−−−→
l1 − α 2 ℓ2
⎧
⎪⎨
x + y − z = 1
x + αy − z = 1
⎪⎩
x + y − (α + 1)z = 1
£¢ ¢
2
2
1
4 1
1
1
−1
−1
3 2
5 4
|
1 1 −(α + 1)
{z }
Aα
x
y
3
5
z
| {z }
X
=
4 1
3
1 5
1
| {z }
B
1 α 2 α |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
⇐⇒ Aα X = B
1 0 0
0 1 0
0 −α 1
1 0 −α
0 1 0
0 −α 1
¢ [Aα|B]
¢
¢
[Aα | B] =
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
£¢
1 1 −1 | 1
1 α −1 | 1
1 1 −(α + 1) | 1
1 1 −1 | 1
0 α − 1 0 | 0
0 0 −α | 0
r (Aα) = r [Aα|B] =
¡ α = 0 £¥¤ α = 1 ¡¢¡£©¥ £ £
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
1 1 −1 | 1
0 α − 1 0 | 0
1 1 −(α + 1) | 1
2 ¢¡ α = 0 £¥¤ α = 1,
3 ¢¡ α = 0 ¡ α = 1.
§
¡¢ ¡ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
α = £¥¤ 0 α = ¡¢¡£©¥ £ £ ©£ ¡¢ ¡ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
¡ 1 2 ¡
α =
1 1 −1
0 1 0
0 0 −2
x
y
z
=
1
0
0
(x, y, z) = (1, 0, 0)
⇐⇒
§
£ £ ¤ 1
¡
§
£ ¡¤
175
x + y − z
y
−2z
1
=
0
0

176 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¡ ¨ § A =
A
β 1 −1
A = β(β + 1)
o ¨ ¢ ¢ ¡¤ ¡
1 β + 1 1
1 1 1
β ∈ IR
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
β
A
¡
¨
¡ ¡ ¨ −1 A A
z
A
¡ ¢ x ¨
y
α + 1 −1 0 x 1
(S)
2 α − 1 0
0 0 1
α IR ∈
¡
(S) £¢ ¢
(S)
¡ ¨ A n ¨ α ∈ IR
y
z
α A −1 A T = α n
¡ ¨ A n ¨
β IR
∈
α = 0
b
bA22
b
˛
bA11 = ˛ β + 1
˛ 1
1
1
˛ = β,
˛
bA21 = − ˛ 1
˛ 1
−1
1
˛ = −2,
˛
bA31 = ˛ 1
˛ β + 1
−1
1
˛ = β + 2,
¨¥ ¨ §
¢ ¡
(βA) = β n−1
A.
=
(αA) 1
α A = ( A) 2
i = 1, 2, 3 j = 1, 3 2, Aij
£¢
¢ (i, j) A
¡
b
bA23
b
˛
A12 = − ˛ 1
˛ 1
1
1
˛ = 0,
˛
= ˛ β
˛ 1
−1
1
˛ = β + 1,
˛
A32 = − ˛ β
˛ 1
−1
1
˛ = −β − 1,
1
1
˛
˛
A13 = ˛ 1
˛ 1
β + 1
1
˛ = −β,
˛
= − ˛ β
˛ 1
1
1
˛ = −β + 1,
˛
A33 = ˛ β
˛ 1
1
β + 1
˛ = β2 + β − 1.

¡
A =
T Aij
=
β 0 −β
−2 β + 1 −β + 1
β + 2 −β − 1 β 2 + β − 1
T
=
β −2 β + 2
0 β + 1 −β − 1
−β −β + 1 β 2 + β − 1
¤£ ¡ A
1
A =
β 1 −1
1 β + 1 1
1 1 1
= β
= β 2 + β = β(β + 1)
β + 1 1
1 1
−
1 1
1 1
−
A
¡ ¨ A = 0
¡
β(β + 1) = 0 ⇐⇒ β = 0 β = −1.
A −1 = 1
β −2 β + 2
1 A = 0 β + 1 −β − 1
β(β+1)
−β A
−β + 1 β2 + β − 1
A ¡ ¨
1 β + 1
1 1
¥£ ¡ 3
α + 1 −1 0
2 α − 1 0
0 0 1
=
α + 1 −1
2 α − 1
= α 2 + 1 > 0
¢ ¡ ¡ ¨
(S) ¡
¢ ¢ (S) ©
x =
y =
z =
˛
˛
˛
1 −1 0
1 α − 1 0
1 0 1
˛
α 2 +1 = α
α + 1 1 0
2 1 0
0 1 1
α2 +1
˛
α + 1 −1 1
2 α − 1 1
0 0
α
1
2 +1
α 2 +1
= α−1
α2 +1
˛
= α2 +1
α2 = 1
+1
.
177

178 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
A ¡ n ¨ £¢ A = 0
−1 T α A A = αn
−1 T A A = αn ) −1 (A
n = α 1
n A = α
A
β = 0 β = ¡
0
A T
(βA) (βA) = det (βA) In ⇐⇒ (βA) (βA) = β n det AIn
⇐⇒ A (βA) = β n−1 (det A) In
⇐⇒ (βA) = β n−1 (det A) InA −1
⇐⇒ (βA) = β n−1 (det A) A −1
⇐⇒ (βA) = β n−1 A
α =
0
β = 1 α β α
=
(αA) = α n−1 A 1
α A = 1
α
(αA)
1
α A = α n−1 1 A αn−1
n−1 A = 1
α n−1
A
α A = n−1
αn−1 2
A) = ( 2
A) (

o ¨ ¢ ¡ £¢¥¤§¦©¨
¡ § ¨
F = {(a, a2 ) | a ∈ IR} ¢¢¡ IR 2
G = A ∈ Mn×n(IR) | A + AT ¢
= αIn α
¡
∈ IR
¡ ¨ IR 4
Mn×n(IR)
F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | d = a + b + c}
G = (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (1, 2, −1, 1)
¡ F 4
IR
F
G
dim F ∩ G dim(F + G)
¤
¡ ¢
¡ ¨ A =
179
2 −1 1
4 −3 1
4 −3 1
A
A
A ¡ ¢ ¨
P
¤
P −1
2
AP =
0 0
¨¥ ¨ §
0 0 0
0 0 −2
a = 0 b = 0 α = 0 α = 1
a 2 + b 2 = (a + b) 2 αa 2 = (αa) 2
(a, a 2 ) + (b, b 2 ) = (a + b, a 2 + b 2 ) = (a + b, (a + b) 2 ),

180 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¢¡
α(a, a 2 ) = (αa, αa 2 ) = (αa, (αa) 2 )
(a, a 2 ) + (b, b 2 ) /∈ F α(a, a 2 ) /∈ F
2
F = {(a, a ) | a ∈
¢¢¡ IR} 2
£¢
IR
+ 0 T n×n
= 0 × In.
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
0n×n ∈ G 0n×n
A B ¢ G £¢ ¤ α β
¡
T T A + A = αIn B + B = βIn
(A + B) + (A + B) T = A + B + AT + BT = (A + AT ) + (B + BT )
¡
A + B ∈ G
= αIn + βIn = (α + β)In
A ¡ G £¢ ¤ α ∈ IR A + A T = αIn
IR
β ∈
β A + A T = β (αIn) ⇐⇒ βA + (βA) T = (αβ)In,
Mn×n(IR)
¡ βA ∈ G
G ¡
F ¢
F = {(a, b, c, a + b + c) | a, b, c ∈ IR}
= {(a, 0, 0, a) + (0, b, 0, b) + (0, 0, c, c) | a, b, c ∈ IR}
= {a(1, 0, 0, 1) + b(0, 1, 0, 1) + c(0, 0, 1, 1) | a, b, c ∈ IR}
= 〈(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)〉
¡ ¢ 1) ¡
4
F IR (1, 0, 0, (0, 1, 0, 1)
(0, 0, 1, 1)
¢
§ ¢
1
0
0
1
0
0
1
1
((1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)) ¡
F
0 0 1 1
,

¢ ¢
dim F = 3 1
1
1
0
0
1
0
1
1 2 −1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 2 −1 1
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
1 1 0 0
0 −1 1 1
1 2 −1 1
1 1 0 0
0 −1 1 1
0 0 0 2
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
−−−−→
1
2 ℓ3
1 1 0 0
0 −1 1 1
0 1 −1 1
1 1 0 0
0 −1 1 1
0 0 0 1
G = 〈 (1, 1, 0, 0), (0, −1, 1, 1), (0, 0, 0, 1) 〉 dim G = 3
F +
¡
G
F + G = 〈(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (0, −1, 1, 1), (0, 0, 0, 1)〉
¢
¢
⎡
⎢
⎣
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 0 0
0 −1 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦
−−−−→
ℓ4 − ℓ1
−−−−→
ℓ4 − ℓ2
−−−−−→
− 1
2 ℓ4
−−−−→
ℓ5 − ℓ4
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 −1
0 −1 1 1
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 −2
0 0 1 2
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎤
⎤
⎥
⎦ −−−−→
ℓ5 + ℓ2
⎥
⎦ −−−−→
ℓ5 − ℓ3
⎡
⎥
⎦ −−−−→ ⎢
ℓ6 − ⎢ ℓ5 ⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 −1
0 0 1 2
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 −2
0 0 0 1
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 0
((1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)) ¡ F + G
dim(F + G) 4 = dim(F ∩ G) = dim F + dim G − dim(F + G) =
2
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
181

182 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
pA(x) = det (A − xI3) =
= (2 − x)
¤
A ¡
−3 − x 1
−3 1 − x
2 − x −1 1
4 −3 − x 1
4 −3 1 − x
+
4 1
4 1 − x
+
4 −3 − x
4 −3
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
= (2 − x) ((3 + x)(x − 1) + 3) + 4(1 − x − 1) + 4(−3 + 3 + x)
= (2 − x) (x 2 + 2x) − 4x + 4x = (2 − x)x (x + 2)
¤ A ¢ α1
¢
= 2 α2
= 0 α3
= 2 ¡
(2) = (0) = (−2) = 1
¡
¤ α1
M2
M2 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 2I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
0 −1 1
4 −5 1
4 −3 −1
a
b
c
0 −1 1
4 −5 1
4 −3 −1
a
b
c
¤ (A − 2I3) X = 0 ©
M2 =
=
=
=
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
M2
a
a
=
4 −5 1
0 −1 1
4 −3 −1
4 −5 1
−−−−→
ℓ3 − ℓ1 0 −1 1
0 2 −2
=
= −2
0
0
0
4 −5 1
−−−−−→
ℓ3 + 2ℓ2 0 −1 1
0 0 0
∈ M3×1(IR) | 4a − 5b + c
= 0 − b + c = 0
∈ M3×1(IR) | 4a − 4b
= 0 b = c
∈ M3×1(IR) | a = b = c
| b ∈ IR
1
1
1
=
1
1
1
¢
(2) = dim M2 = 1

¤ α2
= 0 ¡
M0
M0 = {X ∈ M3×1(IR) | (A + 0I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
a
b
c
2 −1 1
4 −3 1
4 −3 1
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
2 −1 1
4 −3 1
0 0 0
2 −1 1
4 −3 1
4 −3 1
¤ AX = 0 ©
M0 =
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
M0 =
=
a
b
c
=
0
0
0
2 −1 1
−−−−−→
ℓ2 − 2ℓ1 0 −1 −1
0 0 0
∈ M3×1(IR) | 2a − b + c
= 0 − b − c = 0
∈ M3×1(IR) | 2a − 2b
= 0 b = −c
∈ M3×1(IR) | a = b = −c
a
a
−a
1
1
−1
| a ∈ IR
M0 ¢
¤ α3
=
1
M−2
M−2 = {X ∈ M3×1(IR) | (A + 2I3) X = 0}
= ∈ M3×1(IR) |
4 −1 1
4 −1 1
4 −3 3
a
b
c
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
4 −1 1
0 0 0
4 −3 3
4 −1 1
4 −1 1
4 −3 3
4 −1 1
−−−−→
ℓ3 − ℓ1 0 0 0
0 −2 2
1
−1
(0) = dim M0 = 1
= −2 ¡
a
b
c
¤ (A + 2I3)X = 0 ©
=
0
0
0
4 −1 1
−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ3 0 −2 2
0 0 0
183

184 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
M−2 =
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
M−2
¢
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
∈ M3×1(IR) | 4a − b + c
= 0 − 2b + 2c = 0
∈ M3×1(IR) | 4a
= 0 b = c
∈ M3×1(IR) | a
= 0 b = c
M−2 =
=
(2) + ¢
0
0
1
1
b
b
| b ∈ IR
¢
(0) + ¢
=
0
1
1
(2) = dim M−2 = 1
(−2) = 1 + 1 + 1 = 3
A
¡ ¢ ¨ £¢ ¤
P M3×3(IR) ¨
∈
¤
P −1 AP =
α1 0 0
0 α2 0
0 0 α3
=
2 0 0
0 0 0
0 0 −2
¡ P 1
1
1
1
0
1
1 −1 1

£¢¥¤ ¨ ¡ ¢¨ ¦¥§¢ ¡ ¢ ¤ ¦ ©¨
¡ ¨ § α ∈ IR
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−x − y + z = −1
3x + (α + 2)y − 3z = 3
¢ ¢
α
¥
α =
2
¡ ¨ A =
A
2x + (α + 1)y − (α + 2)z = 2
β 1 −1
2 β + 2 2
2β + 1 3 −1
β ∈ IR
A β
det
¡ ¨
A
¡ ¨ −1 A A
z
A
¡ ¨ ¢ x y
α − 1 −α −1
(S)
α + 3 α − 2 0
2 α − 1 1
x 1
= 1
α IR ∈ ¡
(S) ¢ ¢
(S)
¡ ¨
2 F = {(a, a ) |
¢¢¡ a 2
∈ IR} IR
G = A ∈ Mn×n(IR) | A + AT ¢
= αIn α ¡ ∈ IR
Mn×n(IR)
¡ ¨ IR 4
F = (a, b, c, d) ∈ IR 4 | d = a + b + c
Gα = (α, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 2, −1, 1)
y
z
1
185

186 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
¡ F 4 IR F
dim
F
¥¤ ¤ α dim Gα =
2
α dim(F ∩ Gα)
dim(F + Gα)
Gα
¤
¡ ¨ A =
¢ ¡
2 −1 1
4 −3 1
4 −3 1
A
A
A ¡ ¢ ¦
P
¤
P −1
AP =
B =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
2 0 0
0 0 0
0 0 −2
B
B ¢¢¡ ¢ ¨
¨¥ ¨ §
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−x − y + z = −1
3x + (α + 2)y − 3z = 3
2x + (α + 1)y − (α + 2)z = 2
¢ ¢
2
2
−1 −1 1
3 α + 2 −3
2 α + 1 −(α + 2)
3 2
x
y
4
5 4 5
z
| {z } | {z }
Aα
X
3
=
4
−1
3
2
3
5
| {z }
B
⇐⇒ Aα X = B
¢ ¢ [Aα|B]

[Aα | B] =
−1 −1 1 | −1
3 α + 2 −3 | 3
¢
−−−−−→
ℓ2 + 3ℓ1
£¢
2 α + 1 −(α + 2) | 2
−1 −1 1 | −1
0 α − 1 0 | 0
0 α − 1 −α | 0
r (Aα) = r [Aα|B] =
¡ α = 0 £¥¤ α = 1 ¡¢¡£©¥ £ £
¡ α = 0 £¥¤ α = 1 ¡¢¡£©¥ £ £
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
−−−−−→
ℓ3 + 2ℓ1
−1 −1 1 | −1
3 α + 2 −3 | 3
0 α − 1 −α | 0
−1 −1 1 | −1
0 α − 1 0 | 0
0 −α | 0
2 ¢¡ α = 0 £¥¤ α = 1
3 ¢¡ α = 0 ¡ α = 1
§
¡¢ ¡ £ ¡¢
©£
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
¡¢ ¡ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
©£
α 2 ¡
=
1 1 −1
0 1 0
0 0 −2
x
y
z
=
1
0
0
⇐⇒
(x, y, z) = (1, 0, 0)
β 1 −1
A = 2 β + 2 2 β ∈ IR
2β + 1 3 −1
i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 Aij £¢
˛
˛
bA11 = ˛
β + 2 2
3 −1
¢ (i, j) A
˛
bA13 = ˛
˛
bA22 = ˛
˛
bA31 = ˛
˛
bA33 = ˛
2 β + 2
2β + 1 3
β −1
2β + 1 −1
1 −1
β + 2 2
β 1
2 β + 2
˛ = −β − 8,
b
˛ = −2β2 − 5β + 4,
˛ = β + 1,
b
˛ = β + 4,
b
˛ = β2 + 2β − 2.
§
£ £ ¤ 1
¡
§
£ ¡¤
187
x + y − z
y
−2z
¢ ¡
˛
A12 = − ˛
˛
bA21 = − ˛
˛
A23 = − ˛
˛
A32 = − ˛
2 2
2β + 1 −1
1 −1
3 −1
β 1
2β + 1 3
β −1
2 2
=
1
0
0
˛
˛ = −2,
˛ = 4β + 4,
˛ = −β + 1,
˛ = −2β − 2,

188 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¡
=
A =
T Aij
=
−β − 8 4β + 4 −2β 2 − 5β + 4
−2 β + 1 −β + 1
β + 4 −2β − 2 β2 + 2β − 2
−β − 8 −2 β + 4
4β + 4 β + 1 −2β − 2
−2β 2 − 5β + 4 −β + 1 β 2 + 2β − 2
£ ¡ 1 A
A =
= β
β 1 −1
2 β + 2 2
2β + 1 3 −1
β + 2 2
3 −1
−
= β 2 + β = β(β + 1)
2 2
2β + 1 −1
−
¢
T
2 β + 2
2β + 1 3
A
¡ ¨ A = 0
¢¡
β(β + 1) = 0 ⇐⇒ β = 0 β = −1.
¡ ¨
¡
A
A 1 A =
A −1 = 1
(S)
β(β+1)
α − 1 −α −1
α + 3 α − 2 0
2 α − 1 1
−β − 8 −2 β + 4
4β + 4 β + 1 −2β − 2
−2β 2 − 5β + 4 −β + 1 β 2 + 2β − 2
x
y
z
=
1
1
1
¢ x y z
¤£ ¡ 3
α − 1 −α −1
α + 3 α − 2 0
2 α − 1 1
= (α − 1)
= α 2 + 1 > 0
α − 2 0
α − 1 1
+ α
α + 3 0
2 1
.
−
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
.
α + 3 α − 2
2 α − 1
¢ ¡ ¡ ¨
(S) ¡

¢ ¢ (S) ©
x =
y =
z =
˛
˛
˛
1 −α −1
1 α − 2 0
1 α − 1
α
1
2 +1
α − 1 1 −1
α + 3 1 0
2 1 1
α2 +1
˛
˛
α − 1 −α 1
α + 3 α − 2 1
2 α − 1
α
1
2 +1
= 2α−3
α 2 +1
= − α+5
α2 +1
˛
= 2(α2 +1)
α2 +1
= 2
¢ ¤ o
3
¢ ¢ ¢ ¤ § o
3
α 1 0 1
1 0 1 1
1 2 −1 1
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
α 1 0 1
α − 1 −1 1 0
1 2 −1 1
−−−−→
ℓ3 − ℓ1
α 1 0 1
α − 1 −1 1 0
α − 1 1 −1 0
¢ ¢
−−−−→
ℓ3 + ℓ2
r(Aα) =
α 1 0 1
α − 1 −1 1 0
2(α − 1) 0 0 0
2 α = 1
3 α = 1.
= Aα
= 〈 (1, 1, 0, 1), (0, −1, 1, 0) 〉
dim Gα = 2 α = 1 Gα
¢ ¢ ¤ § o
3 ¢ ¢ ¤ o
3
¢ ¢
¢ ¢
¤ ¡
B
pB(x) =
−x 1 0 0
0 −x 1 0
0 0 −x 1
1 0 0 −x
¤ o
3 ¤ o
3
= −x
−x 1 0
0 −x 1
0 0 −x
−
0 1 0
0 −x 1
1 0 −x
= x 4 − 1 = (x 2 − 1)(x 2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x 2 + 1)
189

190 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
= 1 α2
¤ B ¢ α1 ¢ ¡
= (1) (−1) =
1
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
= −1
¢
B − α1I4 =
¢
B I4
−
B − I4 =
−−−−→
ℓ4 + ℓ2
r (B − I4) = 3 ¢
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
1 0 0 −1
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
0 0 1 −1
−−−−→
ℓ4 + ℓ1
−−−−→
ℓ4 + ℓ3
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
0 1 0 −1
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
0 0 0 0
(1) = 4 − r (B − I4) =
1
¢ ¢
B − α2I4 =
B I4
+
¢
B + I4 =
−−−−→
ℓ4 + ℓ2
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 1 1
−−−−→
ℓ4 − ℓ1
−−−−→
ℓ4 − ℓ3
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 −1 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
r (B + I4) = ¢
3
(−1) = 4
2 ¢¢¡ ¢ ¨
< B
(1) + ¢
(−1) = 4 − r (B + I4) = 1

§ ¡ £¢¥¤ ¨ ¦ ¨ ¢ ¨§ ©¨
¡ ¨ § ¢ x y
z
(S)
2α − 1 −2α −1
2α + 3 2α − 2 0
2 2α − 1 1
x 1
= 1
α IR ∈ ¡
(S) ¢ ¢
(S)
¡ ¨ A =
A
β 1 1
1 2 3
β − 1 1 1
y
z
β ∈ IR
A β
det
¡ ¨
A
¡ ¨ −1 A A
A
¡ ¨ α, β ∈ IR
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + 2y + 3z = 1
3x + αy + 2z = β
2x + 3y + z = 2
¢ ¢ α
β
¥
α =
6
¡ ¨ a b
Fa,b = {(x, ax + b) | x ∈ IR}
IR 2
¡
¡ ¨ IR 4
F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | d = a + b c + d = 0}
G = (2, 1, −3, 3), (1, −1, 0, 0), (1, 1, −2, 2)
1
191

192 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
¡ F 4 IR F
dim
F
G dim G
dim F ∩ G = dim F dim(F + G) = dim
G
¤
¡ Aγ
¡ ¨
Aγ =
¢
Aγ
1 2 3
γ 2 0
− 2
3 γ
2
3 3
γ
¢ γ
1 ¤
γ =
P −1
1
Aγ=1P =
0 0
.
Aγ=1
¡ ¢
¦ P
0 2 0
0 0 3
¨¥ ¨ § £ ¡ 3
2α − 1 −2α −1
2α + 3 2α − 2 0
2 2α − 1 1
= (2α − 1)
2α − 2 0
2α − 1 1
+ 2α
2α + 3 0
2 1
−
2α + 3 2α − 2
2 2α − 1
= 4α2 + 1 > 0 ¢ ¡ ¡ ¨
(S) ¡
£¢ ¢
(S) ©
x =
y =
z =
˛
˛
˛
1 −2α −1
1 2α − 2 0
1 2α − 1
4α
1
2 +1
2α − 1 1 −1
2α + 3 1 0
2 1 1
4α2 +1
˛
˛
2α − 1 −2α 1
2α + 3 2α − 2 1
2 2α − 1 1
4α2 +1
= 4α−3
4α 2 +1
= − 2α+5
˛
4α 2 +1
= 2(4α2 +1)
4α 2 +1
= 2

˛
bA11 = ˛
2 3
1 1
˛ = −1, b
˛
A12 = − ˛
i = 1, 2, 3 j = 1, 3 2, Aij
£¢
¢ (i, j) A
˛
bA21 = − ˛
˛
bA31 = ˛
1 1
1 1
1 1
2 3
˛ = 0, b
˛ = 1, bA32
˛
A22 = ˛
˛
= − ˛
¡
1 3
β − 1 1
β 1
β − 1 1
β 1
1 3
¡
A =
T Aij
=
˛ = 3β − 4, b
˛ = 1,
b
˛ = −3β + 1, bA33
−1 3β − 4 3 − 2β
0 1 −1
1 −3β + 1 2β − 1
T
=
193
¢ ¡
˛
A13 = ˛
˛
A23 = − ˛
˛
= ˛
1 2
β − 1 1
β 1
β − 1 1
β 1
1 2
˛ = 3 − 2β,
˛ = −1,
˛ = 2β − 1.
−1 0 1
3β − 4 1 −3β + 1
3 − 2β −1 2β − 1
¤£ ¡ A
1
A =
β 1 1
1 2 3
β − 1 1 1
= β
2 3
1 1
A
¡ ¨
−
1 3
β − 1 1
+
A −1 = 1
−1 0 1
A = − 3β − 4 1 −3β + 1
3 − 2β −1 2β − 1
A
⎧
⎪⎨
x + 2y + 3z = 1
3x + αy + 2z = β
⎪⎩
2x + 3y + z = 2
£¢ ¢
2
2
1 2 3
3 α 2
2 3 1
3 2
x
y
3
4
5 4 5
z
| {z } | {z }
Aα X
=
1
3
4 β 5
2
| {z }
Bβ
1 2
β − 1 1
⇐⇒ Aα X = Bβ
= −1

194 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
¢ [Aα|B]
¢
¢
[Aα | Bβ] =
−−−−−→
ℓ2 − 3ℓ1
−−−−−−−−−−→
ℓ3 + (α − 6)ℓ2
£¢
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 2 3 | 1
3 α 2 | β
2
1
3 1
2
| 2
3 | 1
0 α − 6 −7 | β − 3
0 −1 −5 | 0
1 2 3 | 1
0 −1 −5 | 0
0 0 23 − 5α | β − 3
r (Aα) =
r [Aα|Bα] =
¡ 23 − 5α = 0 ¡ β = 3 ¡¢¡¤£¦¥ £ £
23 − 5α = 0 ¡ β = 3 ¡¢¡¤£¦¥ £ £
¡
§
¡ 23 − 5α = 0 ¡¢¡£©¥ £ £
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ1
1 2 3 | 1
3 α 2 | β
−−−−−−→
ℓ3 ←→ ℓ2
0 −1 −5 | 0
2 ¢¡ 23 − 5α = 0
3 ¢¡ 23 − 5α = 0
2 ¢¡ 23 − 5α = 0 ¡ β = 3
3 ¢¡ 23 − 5α = 0 £¥¤ β = 3
§
¡¢ £ ¡¢
©£
§
¡¢ ©£
©£ ¡¢ ¡ £ ¡¢ ¡£ ¡¢
α 6 ¡
=
1 2 3
0 −1 −5
0 0 −7
x
y
z
=
1
0
β − 3
⇐⇒
5β−15
(x, y, z) = 4 − β, , 7 3−β
7
¢
(0, 0) ∈ F ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒ b = 0
IR 2
§
£ ¡¢
1 2 3 | 1
0 −1 −5 | 0
0 α − 6 −7 | β − 3
§
£ ¡¤
§
¡£ ¡¢ ¡¤
§
£ £ ¤ 1
¡¤
x + 2y + 3z
−y − 5z
−7z
=
1
0
β − 3
¤ x ∈ IR (0, 0) = (x, ax + b)
ax + b = 0
¤ x ∈ IR x = 0
Fa,b
¥¤
b = 0

α ∈ IR£¢
¢ b = 0
Fa,0
(x, ax) + (y, ay) = (x + y, a(x + y)) ∈ F
(x, ax) (y, ay) ¢ Fa,0
α(x, ax) = (αx, a(αx)) ∈ F
¡ IR 2
a ∈ IR
¢
F
F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | d = a + b c + d = 0}
¡ F ¡ IR 4 ¢
= {(a, b, −a − b, a + b) | a, b ∈ IR}
= {(a, 0, −a, a) + (0, b, −b, b) | a, b ∈ IR}
= {a(1, 0, −1, 1) + b(0, 1, −1, 1) | a, b ∈ IR}
= 〈(1, 0, −1, 1), (0, 1, −1, 1)〉
0 1 −1 1
1 0 −1 1
195
¢
(1, 0, −1, 1)
(0, 1, −1, 1)
§ ¢ ((1, 0, −1, 1), (0, 1, −1, 1)) ¡ F
dim F =
2
¢
¢
G
1 −1 0 0
1 1 −2 2
2 1 −3 3
−−−−→
ℓ2 − ℓ1
−−→
1
2 ℓ2
1
3 ℓ3
−−−−→
ℓ1 + ℓ2
1 −1 0 0
0 2 −2 2
2 1 −3 3
1 −1 0 0
0 1 −1 1
0 1 −1 1
1 0 −1 1
0 1 −1 1
0 0 0 0
−−−−−→
ℓ3 − 2ℓ1
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
1 −1 0 0
0 2 −2 2
0 3 −3 3
1 −1 0 0
0 1 −1 1
0 0 0 0
dim G = 2 G = 〈 (1, 0, −1, 1), (0, 1, −1, 1) 〉 = F
F ∩ G = F ∩ F = F
dim F ∩ G = dim F = 2.

196 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
£¢
dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G
det (Aγ − xI3) =
= (1 − x)
¤
Aγ
= dim F + dim G − dim F = dim G
1 − x 2 3
γ 2 − x 0
− 2
3 γ
2
3 3 − x
2 − x 0
2
3 − x
3
¡
− 2
γ 0
− 2
γ 3 3 − x
+ 3
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
− 2
3 γ
γ 2 − x
= (1 − x)(2 − x)(3 − x) − 2γ(3 − x) + 3 2 2
γ + γ(2 − x)
3 3
= (1 − x)(2 − x)(3 − x)
¤ A ¢ α1 = 3
¡
= (1) = (2) (3) =
1
γ 1 = A = Aγ=1
M1
¢
= 1 α2
= 2 α3
¤ α1 = 1 ¡
M1 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − I3) X = 0}
a
0 2 3
= b ∈ M3×1(IR) | 1 1 0
0 2 3
1 1 0
− 2
3
2
3 2
c
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ2
1 1 0
0 2 3
− 2
3
1 1
2
3
0
2
0 2 3
0 0 0
− 2
3
−−−−→
3
2 ℓ3
2
3
2
a
b
c
1 1 0
0 2 3
−1 1 3
¤ (A − I3) X = 0 ©
M1 =
=
=
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
a
b
c
a
b
c
−b
b
− 2
3 b
=
0
0
0
2
3
1 1 0
−−−−→
ℓ3 + ℓ1 0 2 3
0 2 3
∈ M3×1(IR) | a + b
= 0 2b + 3c = 0
∈ M3×1(IR) | a = −b c = − 2
3b
−1
| b ∈ IR
=
1
− 2
3

=
−1
1
− 2
3
¢
α2
M1
¤
M2
M2 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 2I3) X = 0}
−1 2 3
= ∈ M3×1(IR) | 1 0 0
−1 2 3
1 0 0
− 2
3
2
3 1
a
b
c
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ2
− 2
3
−−−→
3ℓ3
2
3
(1) = dim M1 = 1
= 2 ¡
1
a
b
c
1 0 0
−1 2 3
−2 2 3
¤ (A − 2I3) X = 0 ©
M2 =
=
=
−−−−→
ℓ2 + ℓ1
a
b
c
a
b
c
=
1 0 0
−1 2 3
− 2
3
1 0
2
3
0
1
0 2 3
0 2 3
0
b
− 2
3 b
−−−−→
ℓ3 − ℓ2
1 0 0
0 2 3
0 0 0
=
0
0
0
1 0 0
−−−−−→
ℓ3 + 2ℓ1 −1 2 3
0 2 3
∈ M3×1(IR) | a
= 0 2b + 3c = 0
∈ M3×1(IR) | a = 0 c = − 2
3b
0
0
| b ∈ IR
1
− 2
3
=
¢
α3
M2
¤
1
− 2
3
M3
M3 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − 3I3) X = 0}
−2 2 3
= ∈ M3×1(IR) | 1 −1 0
a
b
c
− 2
3
2
3
(2) = dim M2 = 1
= 3 ¡
0
a
b
c
=
0
0
0
197

198 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
−2 2 3
1 −1 0
− 2
3
2
3 0
−−−−−→
ℓ1 ↔ ℓ2
1 −1 0
−2 2 3
− 2
3
1
2
3
−1
0
0
−2 2 3
0 0 0
−−−→
3ℓ3
1 −1 0
−2 2 3
−2 2 0
¤ (A − 3I3)X = 0 ©
M3 =
−−−−−→
ℓ3 + 2ℓ1
=
=
M3
¢
a
b
c
a
b
c
b
=
b
0
(1) + ¢
1
1 −1 0
−−−−−→
ℓ2 + 2ℓ1 0 0 3
0 0 0
∈ M3×1(IR) | a − b
= 0 c = 0
∈ M3×1(IR) | a
= b c = 0
| b ∈ IR
1
0
=
1
¢
(2) + ¢
1
0
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
−−−−→
1
3 ℓ2
1 −1 0
0 0 1
0 0 0
(3) = dim M3 = 1
(3) = 1 + 1 + 1 = 3
A
¡ ¢ ¨ £¢ ¤
P M3×3(IR) ¨
∈
¤
P −1 AP =
α1 0 0
0 α2 0
0 0 α3
=
1 0 0
0 2 0
0 0 3
P ¡ −1 0
1
1 1 1
− 2
3
2
− 3 0

z
§ ¡ ¢ ¤ ¨ ¤¡©¦¥ ¢ ¡ £¢ ¥¤
¡ ¨ § ¢ x y
β −β − 1 −1
(S)
β + 4 β − 1 0
2 β 1
x 1
= 1
β IR ∈
¡
(S) ¢ ¢
(S)
A
¡ ¨ A =
α + 1 1 α
1 2 1
1 3 1
y
z
α ∈ IR
A α
det
¡ ¨
A
¡ ¨ −1 A A
A
¡ ¨ α ∈ IR
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + 2y + 3z = 1
y + 2z = 2
3x + α + 2
5
2x + 3y + z = 2
¢ ¢
α
¥
α = 1
¡ ¨ a b
Fa,b = {(x, ax + b − a) | x ∈ IR}
IR 2
¡
¡ ¨ IR 4
F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | d = a − c b + d = 0}
G = (2, 1, −3, 3), (1, −1, 0, 0), (1, 1, −2, 2)
1
199

200 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££
¢
§ £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡
¡ F 4 IR F
dim
F
G dim G
dim(F G)
∩ dim(F +
G)
¡ ¨
A =
¤
¢ ¡
1 2 3
3 2 0
−2
2
3 3
A
A
A ¡ ¢ ¦
P
¤
P −1
AP =
.
1 0 0
0 3 0
0 0 2

¢¡ ¥ ¡¤£ ¥ §¦
© ¢ ¤
¨
¢ ¢ ¢ ¢
¨§©
©© §
§