Nadir Arada - (Cálculo Numérico) - Portal de docentes FCT/UNL

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
APROXIMAÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias
Nadir Arada

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Problema de Cauchy
Seja I um intervalo de IR e seja f : I × IR −→ IR uma função contínua.
Para yo dado, procura-se y que satisfaz o problema na condição inicial
y ′ (t) = f(t, y(t)) t ∈ I
onde y ′ (t) = dy
dt
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y(a) = yo

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Exemplos. Um problema de Cauchy pode ser linear, como por
exemplo y ′ (t) = 3y(t) − 3t t > 0
y(0) = 1
onde f(t, u) = 3u − 3t e cuja única solução é y(t) = 2
3 e3t + t + 1
3 .
• Um problema de Cauchy pode ser não linear, como por exemplo
y ′ (t) = y 1
3 , t > 0
y(0) = 0
para o qual f(t, u) = u 1
3 e admite as três soluções y(t) =
y(t) = −
8t3 27
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ou a solução trivial y(t) = 0.
8t 3
27 ,

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Existência e unicidade de solução exacta
Teorema de Cauchy-Lipschitz. Suponha que f satisfaz as seguintes
condições
1. f é contínua em IR × I
2. f é lipschitziana em relação a segunda variável, isto é existe uma
constante positiva L (chamada constante de Lipschitz) tal que
|f(t, y1) − f(t, y2)| ≤ L |y1 − y2| ∀ t ∈ I e ∀ y1, y2 ∈ IR.
Então o problema de Cauchy admite uma única solução.
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Derivada numérica
Considere y ∈ C 1 [a, b] e seja t∗ um ponto genérico em ]a, b[. A
derivada de y no ponto t∗ é
y ′ (t∗) = lim
h→0 +
y(t∗+h)−y(t∗)
h
Portanto, para h suficientemente pequeno e positivo, a quantidade
D+(t∗) = y(t∗+h)−y(t∗)
h
é uma aproximação da derivada y ′ (t∗), chamada diferença finita
progressiva.
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Para estimar o erro de aproximação associado, basta considerar o
desenvolvimento de Taylor de y a volta de t∗: Se y ∈ C 2 [a, b], tem-se
Portanto,
y(t∗ + h) = y(t∗) + hy ′ (t∗) + h2
2 f”(η) η ∈ [t∗, t∗ + h]
D+(t∗) − y ′ (t∗) = y(t∗+h)−y(t∗)
h
e, assim, o erro satisfaz
′
y (t∗) − D+(t∗)
= f”(η)
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2 h
− y ′ (t∗) = h2
2 f”(η)
≤ maxt∈[t∗,t∗+h]|f”(t)| h
2

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Do mesmo modo, a derivada de y no ponto t∗ também pode ser
definida por
y ′ (t∗) = lim
h→0 +
y(t∗)−y(t∗−h)
h
Portanto, para h suficientemente pequeno e positivo, a quantidade
D−(t∗) = y(t∗)−y(t∗−h)
h
é uma aproximação da derivada y ′ (t∗), chamada diferença finita
regressiva. Se y ∈ C 2 [a, b], tem-se
y(t∗ − h) = y(t∗) − hy ′ (t∗) + h2
2 f”(η) η ∈ [t∗ − h, t∗]
Portanto, o erro satisfaz
′
y (t∗) − D−(t∗)
= f”(η)
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2 h
≤ maxt∈[t∗−h,t∗]|f”(t)| h
2

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Seja n ∈ IN, h = b−a
n
Aproximação do problema de Cauchy
e sejam
ti = a + ih, i = 0, · · · , n
(n + 1) pontos equidistantes em [a, b]. O problema de Cauchy
definido para qualquer t ∈ [a, b] é também definido nos nós ti, isto é
Notamos
y ′ (ti) = f (ti, y(ti)) i = 0, · · · , n
ui uma aproximação de y(ti)
Precisamos igualmente de aproximar a derivada y ′ (ti): utilizamos as
derivadas numéricas introduzidas anteriormente.
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Métodos de Euler
Esquema de Euler progressivo
ui+1−ui
h = f (ti, ui) i = 0, 1, · · · , n − 1
u0 = yo
Esquema de Euler regressivo
ui+1−ui
h = f (ti+1, ui+1) i = 0, 1, · · · , n − 1
u0 = yo
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
• O esquema de Euler progressivo é um esquema explícito que
permite calcular ui+1 em função de ui explicitamente
ui+1 = ui + hf (ti, ui)
• O esquema de Euler regressivo é um esquema implícito, porque
ui+1 é definida implicitamente em função de ui
ui+1 = ui + hf (ti+1, ui+1)
Para determinar ui+1, é preciso geralmente resolver uma equação não
linear.
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Exemplo 1. Considere o seguinte problema de Cauchy
′ 2 y (t) = − 5 y(t) + sin (5t) t ∈ [0, 5.5]
y(0) = 5
cuja (única) solução é
y(t) = 3270
2
629
e− 5 t + 10
125
629 sin (5t) − 629 cos (5t)
O método de Euler progressivo associado a este problema escreve-se
⇐⇒
ui+1−ui
h
2 = − 5ui + sin (5ti) i = 0, 1, · · · , n − 1
u0 = 5
ui+1 = 1 − 2
5h ui + h sin(5ih) i = 0, 1, · · · , n − 1
u0 = 5
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Para h = 1.1, tem-se
ui+1 = 0.56 ui + 1.1 × sin(5.5i) i = 0, 1, · · · , 4
u0 = 5
Do mesmo modo, para h = 0.55, obtem-se
ui+1 = 0.824 ui + 0.55 × sin (2.75i) i = 0, 1, · · · , 9
u0 = 5
Os resultados correspondentes são resumidos na Figura 1. O método
parece convergir (lentamente), os resultados sendo melhores quando o
passo decresce.
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5
4
3
2
1
0
−1
Solução exacta
Euler progressivo h = 1.1
Euler progressivo h = 0.55
1 2 3 4 5
Figura 1: Comparação das soluções obtidas pelo método de Euler para h = 1.1 e h = 0.55
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Convergência de Euler progressivo
Teorema. Se y ∈ C 2 [a, b] e f é uma função de Lipschitz de constante
L, então
|y(ti) − ui| ≤ C(ti) h
onde
C(ti) = eLt i−1
2L max
t∈[a,b] |y”(t)|
Em particular, o método é convergente de ordem 1.
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Demonstração. Seja ei = ui − y(ti) o erro no nó i. Então
ei+1 − ei = (ui+1 − y(ti+1)) − (ui − y(ti))
= (ui+1 − ui) − (y(ti+1) − y(ti))
= hf(ti, ui) − hy ′ (ti) + h2
2 y”(ηi)
= hf(ti, ui) − hf (ti, y(ti)) + h2
2 y”(ηi)
= h(f(ti, ui) − f (ti, y(ti))) − h2
2 y”(ηi)
Uma vez que f é uma função de Lipschitz de constante L, tem-se
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|f(ti, ui) − f (ti, y(ti))| ≤ L |ui − y(ti)| = L |ei|

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Portanto
|ei+1 − ei| =
h(f(ti, ui) − f (ti, y(ti))) − h2
2 y”(ηi)
≤ h |f(ti, ui) − f (ti, y(ti))| + h2
2 |y”(ηi)|
≤ h |f(ti, ui) − f (ti, y(ti))| + hτ(h)
≤ hL |ei| + hτ(h)
onde τ(h) = h
2 maxi |y”(ηi)|. A combinação destas desigualdades
implica
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|ei+1| ≤ |ei+1 − ei| + |ei| ≤ (1 + Lh) |ei| + hτ(h)

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Seja Ei = |ei|. Tem-se
Ei+1 ≤ (1 + Lh) Ei + hτ(h)
≤ (1 + Lh)((1 + Lh) Ei−1 + hτ(h)) + hτ(h)
= (1 + Lh) 2 Ei−1 + (1 + (1 + Lh)) hτ(h)
≤ (1 + Lh) 2 ((1 + Lh) Ei−2 + hτ(h)) + (1 + (1 + Lh)) hτ(h)
= (1 + Lh) 3
Ei−2 + 1 + (1 + Lh) + (1 + Lh) 2
hτ(h)
≤ 1 + (1 + Lh) + (1 + Lh) 2 + · · · + (1 + Lh) i
hτ(h)
= (1+hL)i+1 −1
hL
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hτ(h) = (1+hL)i+1 −1
L
τ(h)

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Mas
implicando que
Assim
e portanto
1 + hL ≤ e hL
∀ h > 0,
(1 + hL) i ≤ e ihL − 1 = e Lti − 1.
Ei ≤ eLti−1 L τ(h) ≤ eLti−1 h
L 2 max
t∈[a,b] |y”(t)|
|ui − y(ti)| ≤
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e Lt i−1
2L
max
t∈[a,b] |y”(t)|
h

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Exemplo 2. Considere o seguinte problema de Cauchy
cuja (única) solução é
′ 1 y (t) = 2 (t − y(t)) t ∈ [0, 3]
y(0) = 1
t
−
y(t) = 3e 2 + t − 2.
O método de Euler progressivo associado a este problema escreve-se
⇐⇒
ui+1−ui
h
u0 = 1
1 = 2 (ti − ui) i = 0, 1, · · · , n − 1
ui+1 = 1 − h
2
ui + h2
2 i i = 0, 1, · · · , n − 1
u0 = 1
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Para h = 1, tem-se
ui+1 = 1
2 (ui + i) i = 0, 1, · · · , 3
u0 = 1
Do mesmo modo, para h = 0.5
ui+1 = 0.75 ui + 0.125i i = 0, 1, · · · , 5
u0 = 1
e para h = 0.25, obtem-se
ui+1 = 0.875 ui + 0.03125 i i = 0, 1, · · · , 11
u0 = 1
Os resultados correspondentes são resumidos na Figura 2. O método
converge e, como é previsível, os resultados melhoram quando h
decresce.
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
1
0
Solução exacta
Euler progressivo h = 1
Euler progressivo h = 0.5
Euler progressivo h = 0.25
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Figura 2: Comparação das soluções obtidas pelo método de Euler progressivo
para diferentes valores de h
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Condições de estabilidade
A escolha do passo de tempo não é arbitrária. Para o método de Euler
progressivo, problemas de instabilidade podem acontecer.
Por exemplo, considere o problema
y ′ (t) = −2y t > 0
y(0) = 1
cuja solução exacta é y(t) = e −2t .
Como podemos ver nas figuras 3, 4, 5 e 6, os métodos de Euler
progressivo e regressivo têm comportamentos diferentes em relação a
h. O primeiro método converge para h = 0.9 e diverge para h = 1.1,
quando o segundo converge para ambos os valores.
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3
2
1
0
−1
−2
−3
Solução exacta
Euler progressivo : h = 0.9
Euler progressivo : h = 1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 3: Convergência condicional do método de Euler progressivo
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
5
4
3
2
1
0
Euler progressivo : h = 0.9
Euler progressivo : h = 1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 4: Erro correspondente ao método de Euler progressivo
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1
0
Solução exacta
Euler regressivo : h = 0.9
Euler regressivo : h = 1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 5: Convergência do método de Euler regressivo
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0.5
0
−0.5
Euler regressivo : h = 0.9
Euler regressivo : h = 1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 6: Erro correspondente ao método de Euler progressivo
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Para perceber o que acontece, considere o problema mais geral
y ′ (t) = λy, t > 0
y(0) = yo
onde λ < 0. A solução exacta é y(t) = yoe λt e satisfaz
lim y(t) = 0.
t→+∞
Portanto uma solução aproximada tem necessariamente de satisfazer
lim
i→+∞ ui = 0
Um esquema que satisfaz esta condição diz-se absolutamente estável
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Aplicando Euler progressivo, vem que ui+1 = (1 + λh) ui e, por
recorrência, obtem-se
ui+1 = (1 + λh) i u0 = (1 + λh) i yo.
Portanto o esquema de Euler progressivo é absolutamente estável se, e
só se, a seguinte condição de estabilidade é satisfeita
|1 + λ h| < 1 ⇐⇒ 0 < h < 2
|λ|
No caso do exemplo precedente, esta condição não está satisfeita no
caso de h = 1.1, o que explica que o método nao converge.
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Aplicando Euler regressivo, vem que ui+1 =
recorrência, obtem-se
ui+1 =
Uma vez que λ < 0, vem que
i i 1
1
1−λh
u0 1−λh yo.
0 < 1
1−λh < 1
1
1−λh
ui e, por
e portanto o esquema de Euler regressivo é absolutamente estável.
Isto explica os resultados apresentados nas Figuras 5 e 6.
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Métodos de Runge-Kutta de ordem 2
Se integrarmos a equação a equação y ′ (t) = f (t, y(t)), entre ti e ti+1,
obtemos
y(ti+1) − y(ti) =
ti+1
ti
f(t, y(t)) dt
Portanto, em vez de utilizar a derivação numérica, podemos construir
esquemas de aproximação utilizando métodos de integração.
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Utilizando a regra do trapézio, obtemos o seguinte esquema implícito,
chamado esquema de Crank-Nicolson:
ui+1 = ui + h
2 (f (ti, ui) + f (ti+1, ui+1))
Modificando este esquema para o tornar explícito, obtemos o esquema
de Heun:
ui+1 = ui + h
2 (f (ti, ui) + f (ti+1, ui + hf (ti, ui)))
Os dois métodos são de ordem 2 em relação a h.
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Utilizando a regra do ponto médio, obtemos o seguinte esquema
ui+1 = ui + hf t 1
i+ , u 1
i+ ,
2 2
t 1
i+ 2
= ti + h
2
Modificando este esquema para o tornar explícito, aproximamos u 1
i+
2
por ui + h
2f (tn, ui) e obtemos o esquema de Euler modificado:
ui+1 = ui + hf ti + h
2 , ui + h
2f (tn, ui)
Os métodos de Heun e de Euler modificado pertencem a família dos
métodos de Runge-Kutta de ordem 2.
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Exemplo 3. Considere o problema de Cauchy do Exemplo 1. O
método de Euler modificado associado a este problema escreve-se
ui+1−ui
h
u0 = 5
Uma vez que
= f ti + h
2 , ui + h
2 f (ti, ui)
f ti + h
2 , ui + h
= − 2
5
= − 2
5
= − 2
5
2 f (ti, ui)
ui + h
2 f (ti, ui) + sin 5ti + 5h
2
ui + h
2
1 − h
5
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i = 0, 1, · · · , n − 1
2 − 5ui + sin(5ti) + sin 5ti + 5h
2
ui − h
5 sin (5ti) + sin 5ti + 5h
2

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
conclui-se que
ui+1 = 1 − 2h
5
u0 = 5
para i = 0, 1, · · · , n − 1.
2h2 + 25
ui − h2
5 sin(5ih) + h sin5ih + 5h
2
Por conseguinte para h = 1.1, vem que
ui+1 = 0.6568 ui − 0.242 × sin (5.5i) + 1.1 × sin(5.5i + 2.75)
u0 = 5
para i = 0, 1, · · · , 4.
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Do mesmo modo, para h = 0.55, tem-se
ui+1 = 0.8042 ui − 0.01331 × sin(2.75i) + 0.55 × sin (2.75i + 1.375)
u0 = 5
para i = 0, 1, · · · , 9.
Os resultados correspondentes são resumidos na Figura 7 a seguir. A
convergência melhora quando o passo decresce, e é mais rápida que
no caso de Euler progressivo.
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5
4
3
2
1
0
Solução exacta
Euler modificado h = 1.1
Euler modificado h = 0.55
0 1 2 3 4 5
Figura 7: Comparação das soluções obtidas pelo método de Euler modificado
para h = 1.1 e h = 0.55
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Exemplo 4. Considere o problema de Cauchy do Exemplo 1. O
método de Heun associado a este problema escreve-se
ui+1−ui
h
u0 = 5
Uma vez que
f(ti,ui)+f(ti+1,ui+hf(ti,ui))
= 2
f (ti+1, ui + h f (ti, ui))
= − 2
5 (ui + h f (ti, ui)) + sin (5ti+1)
= − 2
5
= − 2
5
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i = 0, 1, · · · , n − 1
ui + h − 2
5 ui + sin (5ti) + sin (5ti+1)
2h 1 − 5
ui − 2h
5 sin (5ti) + sin (5ti+1)

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
conclui-se que
ui+1 = 1 − 2h
2h2
h h2
5 + 25
ui + 2 − 5 sin (5ih) + h
2 sin(5ih + 5)
u0 = 5
para i = 0, 1, · · · , n − 1.
Para h = 1.1, tem-se
ui+1 = 0.6568 ui + 0.308 × sin (5.5i) + 0.55 × sin (5.5i + 5)
u0 = 5
para i = 0, 1, · · · , 4.
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Do mesmo modo, para h = 0.55, tem-se
ui+1 = 0.8042 ui + 0.2145 × sin(2.75i) + 0.275 × sin(2.75i + 2.75)
u0 = 5
para i = 0, 1, · · · , 9.
Os resultados correspondentes são resumidos na Figura 8 a seguir. A
convergência melhora quando o passo decresce, é mais rápida que no
caso de Euler progressivo e é comparável a convergência do método
de Euler modificado.
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Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
5
4
3
2
1
0
−1
Solução exacta
Heun h = 1.1
Heun h = 0.55
1 2 3 4 5
Figura 8: Comparação das soluções obtidas pelo método de Heun para h =
1.1 e h = 0.55
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Método de Runge-Kutta de ordem 4
Existem outros métodos, mais complexos, como por exemplo o
método de Runge-Kutta de ordem 4 obtido considerando o regra de
integração de Simpson:
ui+1 = ui + h
1
6 Ki + 2K 2 i + 2K3i + K4
i
onde ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias
K 1 i = f (ti, ui)
K 2 i = f ti + h
2 , ui + h
2 K1 i
K3 i = f ti + h
2 , ui + h
K4 i = f ti+1, ui + hK3
i
2 K2 i

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Exemplo 5. Considere o problema de Cauchy do Exemplo 1. O
método de Runge-Kutta de ordem 4 associado a este problema
escreve-se
u0 = 1
onde
ui+1−ui
h
K 1 i
K 2 i
1 1 = 6 Ki + 2K2 i + 2K3 i + K4
i
= f (ti, ui) = − 2
5 ui + sin(5ti)
= f ti + h
2 , ui + h
2K1
i
= − 2
5
= − 2
5
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias
ui + h
2 K1 i
1 − h
5
+ sin 5ti + h
2
i = 0, 1 · · · , n − 1
ui − h
5 sin (5ti) + sin 5ti + h
2

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
K 3 i
K 4 i
2 = − 5
ui + h
2K2i
+ sin 5ti + h
2
= f ti + h
2 , ui + h
2K2i = − 2
5 1 − h
h2
5 + 25
ui +
h 2
5 sin (5ti) + 5−h
5 sin 5ti + h
2
= f ti+1, ui + hK3
2
i = −
= − 2
+
5
− 2h
5
1 − h
5
2h2 + 25
+ 2h2
25
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias
− 2h3
125
5
ui + hK3
i + sin (5ti+1)
ui − 2h3
125 sin (5ti)
sin 5ti + h
2 + sin (5ti+1)

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
Portanto, para qualquer i = 0, 1 · · · , n − 1, tem-se
ui+1 = ui + h
6 K1 i + 2K2 i + 2K3i + K4
i
= 1 + 2h
2h2 4h3 h4
5 + 25 − 475 + 1875
ui
+ 1 − 2h
2h2 2h2
5 + 25 − 125 sin (5ti)
+ 3 − h
5 sin 5ti + h
2 + sin (5ti+1)
Os resultados correspondentes a h = 1.1 e h = 0.55 são resumidos na
Figura 9 a seguir. A convergência melhora quando o passo decresce, e
é mais rápida que no caso dos métodos anteriormente considerados.
(C.f. Figura 10 e Figura 11 a seguir.)
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
5
4
3
2
1
0
Solução exacte
Runge-Kutta 4 h = 1.1
Runge-Kutta 4 h = 0.55
0 1 2 3 4 5
Figura 9: Comparação das soluções obtidas pelo método de Runge-Kutta de
ordem 4 para h = 1.1 e h = 0.55
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
5
4
3
2
1
0
−1
1 2 3 4 5
Solução exacte
Runge-Kutta 4
Heun
Euler modificado
Euler progressivo
Figura 10: Comparação das soluções obtidas pelos diferentes métodos para h = 1.1
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias

Problema de Cauchy Derivada numérica Aproximação Euler Estabildade Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
5
4
3
2
1
0
Solução exacte
Runge-Kutta 4
Heun
Euler modificado
Euler progressivo
0 1 2 3 4 5
Figura 11: Comparação das soluções obtidas pelos diferentes métodos para h = 0.55
Cálculo Numérico - Équações diferenciais ordinárias