09 Nelinearno programiranje.pdf

9. Nelinearno
programiranje
9.1 Infinitezimalni račun 1
9.1.1 Dferenciranje 1
9.1.2 Lagrangeovi množitelji 1
9.1.3 Integriranje 4
9.1.4 Zadaci – IR 4
9.2 Metode traženja 5
9.2.1 Fibonaccijeva pretraga 5
9.2.2 Metoda najstrmijeg pristupa 5
9.2.3 Metoda pretraga duž ograničenja 5
9.2.4 Metoda pokretne tangente na ograničenje 5
9.2.5 Zadaci – MT 5
Literatura 5
Nelinearno programiranje (NP) – skup postupaka optimalizacije modela s nelinearnim
funkcijama cilja i/ili ograničenja.
Razvijen je veći broj formalnih postupaka namijenjenih rješavanju različitih specifičnih
problema, na primjer, metod Lagrangeovih množitelja – formalizirani postupak određivanja
ekstrema funkcija cilja, cjelobrojno programiranje – za rješavanje problema s cjelobrojnim
varijablama.
9.1 Infinitezimalni račun
9.1.1 Dferenciranje
9.1.2 Lagrangeovi množitelji
Matematički model
Funkcija cilja (m = broj varijabli):
y = opt
x y(x1, x2, …, xm) i = 1, 2, 3, ..., m (F-9.1)
i
Funkcije ograničenja (n = broj jednadžbi):
φj(x1, x2, …, xm) = 0 i = 1, 2, 3, ..., n (F-9.2)

2 Kvantitativne metode
Rješenje
Optimum se dobiva za vrijednosti xi koje ispunjavaju uvjet:
∇y –
m
∑λ j ∇ϕj
= 0 (F-9.3)
j= 1
φj(x1, x2, …, xm) = 0
gdje je: ∇y – gradijent vektor funkcije cilja, okomit na njenu površinu:
∂y ∂y ∇y = i1+ ∂x ∂x
∂y
i2 + + ∂x
in
1 2 n
gdje je: ∂ – oznaka za parcijalnu derivaciju,
i – jedinični vektor („ort“) koji ima određeni pravac i smjer te jedinični intenzitet.
Ako se, na primjer, promjene temperature (t) u nekog tijelu, u koordinatnom sustavu
0,x1,x2,x3 , mogu opisati jednadžbom:
t = 2x1 + x1x2 + x2x3 2
pravac i smjer najbržeg porasta temperature (okomit na površine istih temperatura) mogu se
opisati s vektorom:
∇t = (2 + x2)i1 + (x1 + x3 2 )i2 + (2 x2x3)i3
Za slučaj jednog ograničenja:
∇y – λ◦∇φ = 0
φ(x1, x2, …, xn) = 0
Na ovaj način se traže vrijednosti xi za koje su paralelni gradijent funkcije cilja i gradijent
funkcije ograničenja. Za slučaj bez ograničenja:
∇y = 0
PRIMJER P-9.1
Uz minimalne troškove (T) izraditi i ugraditi toplinski izmjenjivač „cijevi u oplati“ (S-9.1),
dimenzija D (promjer) × L (dužina) sa 100 m cijevi (dovoljne površine za potrebnu razmjenu
topline). Troškovi ugradbe su: 900 NJ za cijevi, 1100◦D 2,5 ◦L za oplatu i 320◦D◦L za smještajni
prostor. U 1 m 2 poprečnog presjeka može biti smješteno 200 cijevi.
Slika S-9.1 Toplinski izmjenjivač cijevi u oplati
Matematički model:
Analizom konstrukcije dolazi se do izraza:

Funkcija cilja:
2 ⎛πD2⎞ ⎜ ,m ⎟◦(200, cijevi/m
⎝ 4 ⎠
2 )(L, m) = 100 m
T = min
D
Funkcija ograničenja:
Analitičko rješenje:
i
900 + 1100◦D 2,5 ◦L + 320◦D◦L NJ
50◦π◦D 2 ◦L = 100
09. Nelinearno programiranje 3
Ekstremi funkcija mogu se odrediti konvencionalnim postupkom infinitezimalnog računa
(prva i druga derivacija):
T = 900 + 2200
π ◦D0,5 + 640
π ◦D–1
dT
1100
=
dD
π ◦D–0,5 – 640
π ◦D–2 = 0
D = 0,6969 = 0,7 m
L = 1,2992 = 1,3 m
T = 900 + 1100◦D 2,5 ◦L + 320◦D◦L = 900 + 1100◦0,7 2,5 ◦1,3 + 320◦0,7◦1,3
T = 1.777,45 NJ
Lagrange-ovi množitelji:
T = mi
900 + 1100◦D 2,5 n
◦L + 320◦D◦L NJ
D
i
50◦π◦D 2 ◦L = 100
Vektori gradijenata funkcije cilja i ograničenja:
∇T = (2750◦D 1,5 ◦L + 320◦L)◦i1 + (1100◦D 2,5 + 320◦D)◦i2
∇φ = 100◦π◦D◦L◦i1 + 50◦π◦D 2 ◦i2
Skalarne jednadžbe (F-9.3) funkcije cilja:
i1 : 2750◦D 1,5◦ L + 320◦D – λ◦100◦π◦D◦L = 0
i2 : 1100◦D 2,5 + 320◦D – λ◦50◦π◦D 2 = 0
Po rješenju i1 po λ:
i uvrštavanju u i2 dobiva se:
λ =
1,5
2750 D + 320
100 πD 1,5
2750 D + 320
1100◦D 2,5 + 320◦D –
100 πD ◦50◦π◦D 2 = 0
D = 0,6969 = 0,7 m, L = 1,2992 = 1,3 m, T = 1.777,45 NJ

4 Kvantitativne metode
9.1.3 Integriranje
9.1.4 Zadaci – IR
Z-9.1 Odrediti visinu (h) kanala sustava ventilacije kroz rešetkasti nosač s kojima se
dobiva maksimalna površina presjeka kanala (maksimalni protok).
Matematski model/ograničenja:
Rješenje: h = 0,3 m
Z-9.2 Minimalizirati potrebnu snagu (P) sustava za opskrbu vodom ako je ukupni
protok Q = 0,01 m 3 /s. Padovi tlaka u cjevovodima dati su izrazima:.
1. Δp1 = 2,1×10 10 ◦Q1 2 ,
2. Δp2 = 3,6×10 10 ◦Q2 2 .
u kojima je tlak (p) izražen u paskalima (Pa), a protoke u m 3 /s. Iste koeficijente
korisnog učinka imaju dvije crpke (ηc), kao i dva elektromotora (ηm).
Matematski model/ograničenja:
Rješenje: Q1 = 0,00567 m 3 /s
Z-9.3 Minimalizirati troškove izrade čeličnog okvira ako su cijene:
a) horizontalnih profila u pravca x1 200x1 €/m,
b) horizontalnih profila u pravca x2 300x2 €/m i
c) svih okomitih profila (x3) 500x3 €/m
Okvir mora obuhvatiti volumen od 900 m 3 .
Matematski model/ograničenja:
Rješenje: T = 9000 €

9.2 Metode traženja
09. Nelinearno programiranje 5
Priroda funkcija cilja i ograničenja često onemogućava optimalizaciju korištenjem analitičkih
metoda. U takvim se slučajevima koriste metode traženja koje uvjetuju samo mogućnost
izračunavanja vrijednosti funkcije cilja na osnovu aktualnih vrijednosti varijabli.
Za probleme s jednom varijablom, kod kojih je funkcija cilja jednoznačna, najjednostavnije
je izračunavati vrijednosti funkcije cilja za ravnomjerne razmake vrijednosti varijable sve
dok se ne dobije optimalna vrijednost (maksimalna/minimalna). Iako ova metoda nije najučinkovitija,
ona ne zahtijeva veliko vrijeme izračunavanja za jednostavne probleme. Razvijeno
je više efikasnih tehnika traženja, kao što je, na primjer, metoda zlatnog presjeka.
Efikasna metoda traženja je potrebna za višedimenzionalne probleme jer je broj potrebnih
izračunavanja (vrijeme rada računala) značajno veći nego kod problema s jednom varijablom.
Problem traženja s dvije varijable se može nacrtati, pri čemu se vrijednosti funkcija cilja
prikazuju kao konturne linije. Traženje optimuma takve funkcije može se usporediti s traženjem
na karti vrha brda (ili dna doline), a korisna tehnika za ovaj tip problema je metoda
najstrmijeg uspona (ili kosine).
9.2.1 Fibonaccijeva pretraga
9.2.2 Metoda najstrmijeg pristupa
9.2.3 Metoda pretraga duž ograničenja
9.2.4 Metoda pokretne tangente na ograničenje
9.2.5 Zadaci – MT
Literatura
1. Stoecker W.F.; Design of Thermal Systems, Third edition, 565 s, McGraw-Hill, 1989;
0070616205.
2. R. K. Sinnott: Chemical engineering, Volume 6 – An Introduction to Chemical Engineering
Design; Pergamon Press, Oxford, 1983.