badanie układów teleskopowych

Ćwiczenie 78
H. Kasprzak
BADANIE UKŁADÓW TELESKOPOWYCH
Cel ćwiczenia: zestawienie modelu lunety, wyznaczenie powiększenia i zdolności rozdzielczej lunety,
ocena jakości odwzorowania badanych lunet na podstawie ich zdolności rozdzielczej, wyznaczenie kąta pola
widzenia lunety, pomiar odległości za pomocą lornetki.
Zagadnienia: Bieg promieni w lunecie astronomicznej, powiększenie wizualne lunety, źrenica
wejściowa, żrenica wyjściowa, pole widzenia, zdolność rozdzielcza. Budowa lornetki.
78.1. Pojęcia podstawowe
Promień aperturowy – promień wychodzący z osiowego punktu przedmiotu i przechodzący przez brzeg
przysłony aperturowej.
Kąt aperturowy – kąt między promieniem aperturowy a osią optyczną.
Przysłona aperturowa w instrumencie optycznym jest otworem, który najbardziej ogranicza pęk
promieni (aperturowych) wychodzących ze środka przedmiotu. Obrazem przysłony aperturowej w przestrzeni
przedmiotowej jest źrenica wejściowa, a w przestrzeni obrazowej – źrenica wyjściowa (patrz rys. 78.1 i 78.2).
Promień polowy – promień wychodzący ze skrajnego punktu przedmiotu (najbardziej oddalonego od
osi optycznej) i przechodzący przez środek źrenicy wejściowej.
Kąt polowy – kąt pomiędzy promieniem polowym a osią optyczną.
Przysłona polowa – jest przysłoną, która najbardziej ogranicza obszar odwzorowywanego przedmiotu.
Obrazem przysłony polowej w przestrzeni przedmiotowej jest luka wejściowa, a w przestrzeni obrazowej – luka
wyjściowa.
Ogniskiem obrazowym układu optycznego nazywamy obraz nieskończenie odległego punktu
przedmiotowego leżącego na osi układu.
Ogniskiem przedmiotowym układu optycznego nazywamy taki punkt przedmiotu na osi, którego obraz
powstaje w nieskończoności.
Ogniskowa obrazowa układu optycznego jest odległością jego ogniska obrazowego od układu.
Ogniskowa przedmiotowa – odległość ogniska przedmiotowego układu od układu.
W celu uproszczenia w ćwiczeniu zrezygnowano ze stosowania reguł znaków kątów i odległości,
przyjętych w optyce instrumentalnej.
78.2. Wprowadzenie
Dwa układy optyczne umieszczone na wspólnej osi tak, że ognisko obrazowe pierwszego układu
pokrywa się z ogniskiem przedmiotowym drugiego, są układem bezogniskowym czyli teleskopowym. Wiązka
promieni wzajemnie równoległych po przejściu przez taki układ pozostaje wiązką równoległą. Realizacją
układów teleskopowych są lunety służące do oglądania bardzo odległych przedmiotów. W przypadku
obserwacji przedmiotów z małych odległości wewnętrzne ogniska obu układów optycznych lunety nie
pokrywają się i teleskopowość takiego układu jest naruszona. Ze względu na ograniczoną przestrzeń jaka jest do
dyspozycji w pracowni, lunety badane będą przede wszystkim dla skończonych odległości przedmiotów.
Rozróżniamy dwa zasadnicze typy lunet: astronomiczną, zwaną lunetą Keplera i ziemską, zwaną lunetą
Galileusza.
Luneta Galileusza składa się z dwóch układów soczewek: skupiającego obiektywu oraz
rozpraszającego okularu. Daje ona ostatecznie obraz prosty (nieodwrócony), więc nadaje się do obserwacji
przedmiotów znajdujących się na Ziemi. Luneta ziemska ma małą długość i ze względu na aberracje układu
optycznego daje niewielkie powiększenie, najwyżej sześciokrotne. Układ Galileusza stosuje się przede
wszystkim w najprostszych lornetkach teatralnych.
100

Rys. 78.1. Bieg promieni aperturowych i polowych w lunecie Keplera: Ob – obiektyw, Ok – okular, w – kąt widzenia
przedmiotu, w' – kąt widzenia obrazu, y’ – obraz pośredni, Ź wej – źrenica wejściowa, Ź wyj – źrenica wyjściowa, b i ∆ –
odległości obrazu pośredniego od obiektywu i okularu, – przysłona polowa, – ogniskowa przedmiotowa okularu
P p
f ok
Luneta Keplera składa się z dwóch skupiających układów soczewek: obiektywu i okularu (rys. 78.1).
Obiektyw wytwarza w swej obrazowej płaszczyźnie ogniskowej rzeczywisty obraz pośredni y’, bardzo
odległego przedmiotu. Obraz ten jest przedmiotem dla okularu, który następnie odwzorowuje go w
nieskończoności. Luneta Keplera nazywa się lunetą astronomiczną i daje obrazy odwrócone, co nie stanowi
przeszkody w obserwacji ciał niebieskich.
Wiązka promieni pochodzących z jednego punktu przedmiotowego wychodzi z okularu zarówno lunety
Galileusza jak i lunety Keplera jako wiązka równoległa. Układ optyczny miarowego (nie obarczonego wadami)
oka obserwatora, umieszczonego za okularem lunety, skupia równoległą wiązkę promieni wychodzących z
okularu na siatkówce oka, bez konieczności męczącej oko akomodacji. Ostatecznie więc obraz obserwowanego
przez lunetę odległego przedmiotu powstaje na siatkówce oka.
Powiększenie lunety Keplera
Zasadniczą cechą lunety jest jej powiększenie wizualne, które określa wzór
Γ =
tg w′
tg w , (78.1)
gdzie: w – kąt pod jakim widać przedmiot okiem nieuzbrojonym, w’ – kąt pod jakim widać obraz przedmiotu
przez lunetę.
Z rys. 78.1 widać, że
tg w'
y '
= ,
∆
tg w
= y' ,
b
więc powiększenie lunety można też określić wyrażeniem
101

Γ = =
∆
b
f ok
, (78.2)
gdzie: ∆ – odległość tego obrazu od okularu, równa ogniskowej przedmiotowej f ok okularu, b – odległość
obrazu utworzonego przez obiektyw od obiektywu. Powiększenie lunety jest funkcją odległości a przedmiotu od
lunety. Stosując wzór (78.2) na powiększenie lunety oraz obliczając odległość b obrazu pośredniego od
obiektywu, ze wzoru soczewkowego
1 1 1
+ =
a b f ob
otrzymuje się wzór na powiększenie lunety
Γ a
=
f
f
ob
ok
⎛ a
⎜
⎝ a−
f
ob
⎞
⎟ .
⎠
Po rozwinięciu nawiasu w szereg oraz przyjęciu pierwszych dwóch wyrazów szeregu otrzymuje się
ostatecznie
f
⎛
f
ob ob
Γ a
= ⎜1 + ⎟ . (78.3)
f ⎝
ok
a ⎠
⎞
Rys. 78.2. Obrazem źrenicy wejściowej o średnicy D tworzonym przez okular Ok jest źrenica wyjściowa
o średnicy D’. W szczególnym przypadku, gdy przedmiot jest w nieskończoności, b = f ob , , ∆ = f ok
Z wyj
Powiększenie lunety maleje ze wzrostem odległości przedmiotu od lunety, osiągając minimum dla
przedmiotów znajdujących się w nieskończoności
Γ ∞
= f ob
f
ok
. (78.4)
Wiązki światła wchodzące do lunety są ograniczone przez oprawę obiektywu, która jest źrenicą
wejściową Ź wej lunety. Obrazem tej źrenicy, wytworzonym przez okular jest źrenica wyjściowa Ź wyj lunety
(rys. 78.2). Podczas obserwacji przedmiotów przez lunetę oko umieszcza się tak, aby źrenica oka (tęczówka)
pokryła się z płaszczyzną źrenicy wyjściowej. W celu wykorzystania całkowitego strumienia świetlnego
przechodzącego przez lunetę, powinno się stosować średnicę źrenicy wyjściowej D’ lunety, nie większą niż
średnica źrenicy oka obserwatora (około 5 mm). W przeciwnym razie nie wszystkie promienie wychodzące z
okularu lunety wpadną do oka obserwatora.
Średnica D źrenicy wejściowej lunety (średnica oprawy obiektywu) powinna być jednak możliwie
duża, aby zapewnić dostateczną jasność obrazu i zdolność rozdzielczą przyrządu. Z rys. 78.2 widać, że stosunek
szerokości wiązek wchodzącej i wychodzącej z lunety jest równy stosunkowi ogniskowych: obiektywu i
okularu. Miarą powiększenia lunety jest zatem stosunek średnic D źrenicy wejściowej i D’ źrenicy wyjściowej
lunety. Dla a →∞ (patrz rys. 78.2 oraz wzór 78.2) otrzymamy
102

fob
D
Γ = = = . (78.5)
f D′
ok
Pole widzenia lunety
Drugą charakterystyczną cechą lunety jest jej pole widzenia. Kątem pola widzenia lunety nazywamy
kąt rozwarcia 2w stożka obejmującego tę część przestrzeni, która jest widoczna przez lunetę, tzn. kąt, pod
którym widzimy przez lunetę dwa najbardziej odległe od siebie punkty w płaszczyźnie prostopadłej do osi
optycznej lunety. Wielkość kąta pola widzenia lunety zależy od średnicy przysłony polowej P p , znajdującej się
w płaszczyźnie obrazowej obiektywu (rys. 78.1).
Jedna z metod pomiaru kąta pola widzenia zilustrowana jest na rys. 78.3.
Rys. 78.3. Pomiar kąta pola widzenia lunety za pomocą łaty mierniczej
Przedmiotem jest łata z podziałką o znanej wartości h. Jeśli w polu widzenia lunety widać N tych działek, a
luneta jest ustawiona w odległości a od łaty, to całkowity kąt pola widzenia
hN
2wmax = 2arctg . (78.6)
2a
Zdolność rozdzielcza lunety
O jakości obrazu tworzonego przez lunetę, czyli o stopniu skorygowania aberracji układu optycznego
lunety (obiektywu i okularu), świadczy jej zdolność rozdzielcza. Określa ją najmniejszy kąt w przestrzeni
przedmiotowej, zawarty między kierunkami obserwacji dwóch jasnych punktów, które podczas obserwacji
przez lunetę oko jest w stanie rozróżnić jako punkty oddzielne .
Fizjologiczna zdolność rozdzielcza oka nieuzbrojonego wynosi około 60'' (jedna minuta kątowa), to
znaczy, że oko jest w stanie rozróżnić dwa punkty świecące, które widać pod kątem 1 minuty kątowej. Jeżeli
dwa punkty obserwuje się pod kątem mniejszym niż 1 minuta kątowa, oko nie jest w stanie rozróżnić tych
punktów jako oddzielne. Teoretyczną kątową zdolność rozdzielczą lunety idealnej (gdy układ optyczny lunety
nie posiada aberracji optycznych) o powiększeniu Γ określa się jako
ε = 60''
Γ . (78.7)
Rzeczywiste układy optyczne lunet mają aberracje odwzorowania, wskutek czego ich zdolność rozdzielcza jest
mniejsza od zdolności teoretycznej, i to tym bardziej, im gorsza jest korekcja układu optycznego lunety.
Zdolność rozdzielczą lunety bada się za pomocą testów z odpowiednim ułożeniem wzorców. Test taki
składa się ze spiralnie ułożonych segmentów. Każdy segment stanowi cztery kwadraty w których występuje
szereg ciemnych i jasnych linii pionowych, poziomych oraz skośnych (rys. 78.4).
103

Rys. 78.4. Test do badania zdolności rozdzielczej lunety
Grubość linii ciemnych i jasnych we wszystkich czterech kwadratach tego samego segmentu jest stała. Jednak
grubość linii dla różnych segmentów zmniejsza się według postępu geometrycznego w kierunku do środka
spirali. Test odpowiednio oświetlony umieszcza się w pewnej odległości od lunety. Obserwując przez lunetę
wyszukuje się najmniejszego segmentu w teście, w którym można jeszcze rozróżnić linie w kwadratach. W
tabeli (78.1) są podawane liczby linii na milimetr (czarnych lub białych) dla każdego segmentu testu, a więc
odwrotności grubości tych linii w milimetrach.
Lornetka jako układ dwóch lunet skorygowanych
Model lunety zestawiony z prostego obiektywu i okularu jest układem nieskorygowanym, gdyż
występują w nim błędy odwzorowania zwane aberracjami. Aby wykazać wpływ aberracji układu optycznego na
jakość jego odwzorowania, należy wyznaczyć badane wielkości lunety skorygowanej o podobnej
charakterystyce i porównać zwłaszcza wartości zdolności rozdzielczej badanych lunet.
Jedną z najczęściej występujących wersji lunety Keplera jest lornetka pryzmatyczna. Lornetką
nazywamy zespół dwóch połączonych ze sobą lunet (rys. 78.5) o równoległych względem siebie osiach
optycznych. Lornetka służy do dwuocznej obserwacji dalekich przedmiotów, których powiększone obrazy są
wtedy stereoskopowe. Aby umożliwić nastawienia lornetki na różne rozstawienia osi oczu obserwatorów, obie
jej lunety są połączone przegubowo, a ich oś obrotów jest równoległa do osi optycznych lunet.
Na rysunku 78.5 przedstawiono układ optyczny typu Keplera, który pozwala osiągnąć powiększenia
kilkunasto lub kilkudziesięciokrotne. Ze względu na fakt, że w lunecie Keplera powstaje obraz odwrócony, w
lornetce stosuje się po dwa pryzmaty, w każdej z lunet lornetki. Oba pryzmaty, zwane układem Porro I rodzaju
odwracają ten odwrócony obraz tak, że obserwator widzi obraz prosty. Zastosowanie pryzmatów powoduje
ponadto skrócenie wymiarów lornetki oraz poszerzenie bazy widzenia stereoskopowego. W lornetkach
morskich lub polowych, umieszcza się zwykle w prawej lunecie płytkę z podziałką kątową, którą wykorzystuje
się do pomiaru odległości obserwowanych przedmiotów. Podziałka kątowa wyrażona jest w tysięcznych, przy
czym tysięczną nazywamy kąt, pod którym widzimy przedmiot o pewnej szerokości s z odległości 1000 s.
104

Rys. 78.5. Schemat układu optycznego lornetki pryzmatycznej
Pomiar powiększenia lunety za pomocą łaty
Powiększenie lunety wyznaczyć można za pomocą łaty, którą umieszcza się w skończonej odległości
od miejsca obserwacji. Pomiar jest obuoczny, polegający na jednoczesnej obserwacji dwóch różnych obrazów
wzajemnie się pokrywających. Jeżeli zatem obserwować łatę jednym okiem bezpośrednio, a drugim przez lunetę
w ten sposób, że liczba N całkowitych działek widzianych przez lunetę przypada na liczbę n działek
obserwowanych bezpośrednio gołym okiem, to miarą powiększenia dla skończonej odległości przedmiotu jest
Γ = n N . (78.8) Pomiar powiększenia lunety metodą źrenicową
Zgodnie ze wzorem (78.5) powiększenie lunety może być również określone stosunkiem średnic jej
źrenicy wejściowej i źrenicy wyjściowej. Pomiar średnicy źrenicy wejściowej lunety nie nastręcza większych
trudności i zwykle używa się do tego celu suwmiarki. Średnicę źrenicy wyjściowej natomiast mierzy się za
pomocą dynametru Ramsdena (rys. 78.6), który składa się z lupy L i płytki ogniskowej P, zaopatrzonej w
podziałkę o wartości elementarnej 0,2 mm lub 0,1 mm.
Na rysunku 78.7 zilustrowano bieg promieni świetlnych od źrenicy wejściowej do źrenicy wyjściowej
lunety Keplera. Widać wyraźnie, że źrenicą wejściową jest oprawa obiektywu lunety, natomiast źrenicą
wyjściową obraz rzeczywisty oprawy utworzony za pomocą okularu lunety. Aby zmierzyć średnicę D’ źrenicy
wyjściowej lunety należy dynametr Ramsdena ustawić za okularem lunety tak, aby obraz źrenicy wyjściowej
utworzył się na płytce P dynametru i następnie odczytać jej średnicę.
105

Rys. 78.6. Dynametr Ramsdena
Rys. 78.7. Źrenica wejściowa i wyjściowa
lunety
Pomiar odległości przedmiotu za pomocą lornetki
Rys. 78.8. Pomiar odległości za pomocą lornetki
Jeżeli podczas obserwacji łaty przez lornetkę liczba m działek widocznych na odcinku y’ skali w
prawym okularze lornetki pokrywa się z obrazem długości l łaty, to na podstawie rys. 78.8 można zapisać
a więc
y′
f
ob
l
= = tg( mw0)
≈ mw0 a
,
l
a = , (78.9)
m w 0
gdzie
w 0
jest wartością działki elementarnej podziałki okularu lornetki.
106

78.2. Zadania do wykonania
A) Pomiary
Pomiar powiększenia modelu lunety
1. Zestawić na ławie optycznej elementy lunety (obiektyw, płytka ogniskowa, okular).
2. Stolik z zestawioną lunetą ustawić w odległości około 6 m od testu rozdzielczego i przesuwając okularem
oraz płytką ogniskową ustawić lunetę na ostre widzenie testu i krzyża płytki ogniskowej. Aby nie było
paralaksy (to znaczy, aby płytka ogniskowa znajdowała się w tej samej płaszczyźnie co obraz testu) obrazy
testu oraz krzyża nie powinny się wzajemnie przemieszczać podczas zmiany położenia oka, poprzecznie do
osi lunety.
3. Zmierzyć: b – odległość obiektywu od płytki ogniskowej, ∆ – odległość okularu od płytki ogniskowej.
4. Przesunąć dwa elementy lunety z ustawionego położenia a następnie ponownie ustawić na ostre widzenie
testu jak poprzednio. Wykonać pomiary jak w punkcie 3.
5. Po trzykrotnym zmierzeniu odległości b i ∆ obliczyć powiększenie lunety na podstawie wartości średnich b i
∆, korzystając ze wzoru (78.2).
Pomiar zdolności rozdzielczej modelu lunety oraz oka
1. Obserwując test z odległości a = 6 m przez lunetę znaleźć najmniejszy numer segmentu, na którym można
jeszcze rozróżnić wszystkie linie.
2. Z tabeli 78.1 odczytać dla danego segmentu odległość d między rozdzielonymi liniami. Jeżeli liczba linii na
milimetr (jak podaje tabela) wynosi k, to odległość pomiędzy liniami wynosi oczywiście d = 1/ k mm .
3. Wyniki pomiarów zebrać w tabeli i wyznaczyć wartość kątową zdolności rozdzielczej w radianach
d
ε = arctg = arctg
a
1
ak . (78.10)
[ ]
Dla małych kątów (rzędu 1 ° lub poniżej) można z dużą dokładnością przyjąć, że tangens kąta jest równy
kątowi (w mierze łukowej tzn. w radianach). Zatem
ε = 1
ak [ rad]
. (87.10)
W sekundach kątowych
ε ≅ 206265 d = 206265 1
a a k . (78.11)
4. Posługując się testem rozdzielczym wyznaczyć kątową zdolność rozdzielczą własnego oka.
Tabela 78.1
Segment
Nr
Liczba linii na mm
k = 1/ mm
Segment
Nr
Liczba linii na mm
k = 1/ mm
1 1,169 14 3,178
2 1,262 15 3,432
3 1,363 16 3,707
4 1,472 17 4,003
5 1,589 18 4,322
6 1,717 19 4,669
7 1,854 20 5,042
8 2,003 21 5,446
9 2,162 22 5,882
10 2,335 23 6,351
11 2,523 24 6,859
12 2,742 25 7,408
13 2,942
107

Uwaga: Zdolność rozdzielcza zestawionej lunety zależy w dużym stopniu od osiowego ustawienia
obiektywu i okularu, ponieważ przy skręceniu obiektywu względem osi celowania występuje wyraźnie
astygmatyzm, powodujący znaczne zmniejszenie zdolności rozdzielczej lunety.
Pomiar powiększenia lunety skorygowanej za pomocą łaty
1. W odległości a ≅ 6 m od łaty (tej samej co dla lunety zestawionej) ustawić na stoliku lunetę na ostre
widzenie obrazu łaty.
2. Obserwując łatę jednym okiem bezpośrednio, a drugim przez lunetę obliczyć liczbę całkowitych działek N
widzianych przez lunetę, a przypadających na określoną liczbę działek n obserwowanych bezpośrednio.
3. Obliczyć powiększenie lunety ze wzoru (78.8).
Pomiar powiększenia lunety skorygowanej metodą źrenicową
1. Patrząc przez okno ustawić lunetę na ostre widzenie odległego przedmiotu (wystarczy około 40 m).
2. Zmierzyć średnicę D przysłony za pomocą suwmiarki.
3. Nałożyć przysłonę na obiektyw lunety.
4. Ustawić lupę dynametru Ramsdena na ostre widzenie podziałki znajdującej się na płytce ogniskowej
dynametru.
5. Przyłożyć oprawę dynametru do okularu lunety.
6. Wyciągać powoli dynametr z oprawy, przesuwając go wzdłuż osi lunety, aż do otrzymania ostrego obrazu
źrenicy wyjściowej na tle podziałki (tj. do zniknięcia paralaksy między źrenicą wyjściową a podziałką
dynametru).
7. Odczytać wielkość średnicy D' źrenicy wyjściowej lunety i obliczyć powiększenie lunety ze wzoru (78.5).
Pomiar kąta pola widzenia lunety skorygowanej
1. Ustawić lunetę w odległości a na ostre widzenie łaty.
2. Obliczyć całkowitą liczbę działek N widocznych w polu widzenia lunety.
3. Zmierzyć wartość działki h na łacie.
4. Obliczyć kąt pola widzenia lunety ze wzoru (78.6).
5. Pomiary powtórzyć dla trzech różnych odległości a.
Pomiar zdolności rozdzielczej lunety skorygowanej
lunety.
Wyznaczyć wartość kątową zdolności rozdzielczej lunety skorygowanej podobnie jak dla modelu
Pomiar odległości przedmiotu za pomocą lornetki
1. Z dwóch miejsc wskazanych przez prowadzącego ćwiczenia obserwować poziomą łatę wyskalowaną
w metrach.
2. Znaleźć liczbę działek m widocznych w prawym okularze lornetki, przypadających na odpowiednią długość
łaty l.
3. Obliczyć odległość łaty od obserwatora ze wzoru (78.9).
B) Opracowanie wyników
Ocenę błędu powiększenia zestawionej lunety przeprowadza się w oparciu o równanie (78.2). Wielkość
błędów ∆b oraz ∆(∆) określa się z rozrzutu wielkości mierzonych b oraz ∆, posługując się błędem średniej
arytmetycznej. Błąd powiększenia lunety skorygowanej szacuje się ze wzoru (78.8), przyjmując liczbę działek N
widzianych przez lunetę jako wielkość stałą. Błąd kąta pola widzenia lunety określa się ze wzoru (78.6),
przyjmując jako zmienną jedynie wielkość N.
108