M - tud.ttu.ee

6 PÖÖRDLIIKUMISE DÜNAAMIKA
6.1 Jõumoment
Meenutame kangi tasakaalutingimust põhikooli füüsikakursusest, kus seda illustreeriti
järgmise näitega. Kangil, mis võib vabalt pöörelda ümber toetuspunkti O, paiknevad kaks
koormust.
l
2
O
l
Väiksem koormus kangi toetuspunktile lähemal tasakaalustab suurema koormuse
toetuspunktist kaugemal (antud juhul ühe koormuse kaal, mis mõjub kaugusel l
toetuspunktist, tasakaalustab kahe samasuguse koormuse kaalu kaugusel l/2 toetuspunktist).
Ehk üldisemalt – kui rakendada kangi erinevatele õlgadele jõud F r 1
ja F r 2
, mille
rakenduspunktide kaugused toetuspunktist O on vastavalt l1
ja l2
, siis kang on tasakaalus, kui
F l = F , (6.1)
1 1 2l2
l 1
l 2
O
F r 1
2
F r 1

s.t jõudude rakenduspunktide kaugused kangi toetuspunktist peavad olema pöördvõrdelised
nende jõududega. (NB! Öeldu kehtib vaid siis, kui jõud on kangi suhtes risti, teisi juhte
põhikoolis ei käsitletud!)
O
l
F r
Suurust l nimetati jõu F r õlaks ning tema korrutist selle jõu mooduliga F jõumomendiks
punkti O suhtes (tähis M O
).
M O
= Fl . (6.2)
Nüüd vaatame natuke üldisemat juhtu, kus jõud pole kangi suhtes risti, vaid moodustab selle
suhtes mingi nurga α :
l
O
r
α
F r
Ilmselt avaldab kangile pööravat mõju ainult jõu F r
ristprojektsioon kangi suhtes, mis
võrdub F
⊥
= F sinα
. Kangiga paralleelne projektsioon F
||
= F cosα
põhjustaks ainult kangi
libisemist pikisuunas. Seega – kui tähistaksime jõu F r rakenduspunkti kauguse punktist O
nüüd tähega r, saaksime kangile mõjuva jõumomendi väärtuseks
M O
= Fr sinα , (6.3)
2

Et jõumomendi definitsioonvalem (6.2) jääks ka selle juhu jaoks kehtima, peame jõu õla
defineerima üldisemal kujul. Jooniselt on näha, et r sinα
võrdub jõu mõjusirge lühima
kaugusega punktist O, tähistame selle samuti tähega l.
Jõu F r õlaks punkti O suhtes nimetatakse selle jõu mõjusirge lühimat kaugust punktini O:
l = r sinα . (6.4)
Siin r on jõu rakenduspunkti kaugus punktini O. Kui jõud mõjub kangiga risti, siis ilmselt
kehtib l = r ja valemid (6.1) ja (6.2) jäävad samuti jõusse.
Kui kangile ei mõju muid jõumomente peale nimetatud
, siis see hakkab mõjutama
kangi pöörlemist ümber punkti O läbiva telje, mis on risti nii jõuga F r kui ka kangi endaga.
Järelikult peab pöörlemistelg olema suunatud lehe tasandiga risti. Seda arvestades
defineeritakse jõumomendi vektor M r
O
, mille moodul arvutatakse valemist (6.3) ja mis on
suunatud piki pöörlemistelge. Tema täpsem suund määratakse kruvi reegliga – kui jõud F r
mõjutab pöörlemist ümber punkti O kruvi pöördliikumise sihis, siis tema moment punkti O
suhtes on suunatud kruvi kulgliikumise sihis.
M O
M r
⊗ O
O
r
α
F r
Nii näiteks mõjutab vaadeldaval joonisel jõud F r pöörlemist päripäeva, mistõttu tema
momendi vektor on suunatud joonise sisse.
Määratleme jõu F r rakenduspunkti kohavektori r r punkti O suhtes. See on vektor, mis viib
punktist O jõu rakenduspunkti. Siis võime vastavalt vektorkorrutise definitsioonile kirjutada
jõumomendi definitsiooni järgmisel kujul.
Jõu F r momendiks punkti O suhtes nimetatakse punkti O jõu rakenduspunktiga ühendava
vektori r ja jõu F r vektorkorrutist:
r r r
= × F . (6.5)
M O
r r r
Märkus. Vektorkorrutise tähistamiseks asutatakse ka kirjaviisi [ , F]
M O
= .
3

6.1a Newtoni III seaduse analoog pöördliikumisel.
m m2
2
Vaatleme kahte punktmassi
1
ja , mis mõjutavad teineteist jõududega F r 1,
ja F r 2, 1.
Arvutame nende jõudude momendid mingi punkti O suhtes.
m 1
F r 2,1
2
α 1
r 1
O
l
r 2
F r 1,
α 2
m 2
Arvutame jõudude F r 1, 2
ja F r 2,1
momentide moodulid punkti O suhtes. Jõu F r 1, 2
momendi
moodul avaldub
M
1,2
= r2
F1,2
sinα
2
,
jõu F r 1,2
moodul
M
2,1
= r1
F2,1
sinα1
.
Et nende jõudude pööravad mõjud punktile O mõjuvad vastassuundades, siis ka nende
momendid on suunatud teineteisele vastu ja kahe jõu summaarne moment punkti O suhtes
oleks mooduli poolest nende jõumomentide vahe:
M = M
1,2
− M
2,1
= r2
F1,2
sinα
2
− r1
F2,1
sinα1.
Vastavalt Newtoni III-le seadusele on need jõud võrdvastupidised, s.t. nende moodulid on
võrdsed:
F = ,
1,2
F2,1
mis annaks summaarse jõumomendi punkti O suhtes
M = F1 ,2
( r2
sinα
2
− r1
sinα1
).
Samas, nagu jooniselt järeldub,
r
2
sinα 2
= r1
sinα1
= l .
4

Järelikult võrdub eelmises valemis sulgavaldis nulliga, nii nagu ka jõudude F r 1,2
ja F r 2, 1
summaarne moment punkti O suhtes. Seega võime sõnastada pöördliikumise jaoks järgmise
seaduse.
Newtoni III seadus pöördliikumisel. Kui kaks keha mõjutavad teineteist jõududega, siis
nende jõudude summaarne moment mistahes ruumipunkti suhtes võrdub nulliga.
6.1b Jõumoment telje suhtes.
Eelmises alapunktis defineeriti jõumoment punkti O suhtes kui vektor, mis on risti nii jõu
kui ka tema õlaga. Kui selline jõumoment mõjuks vabale kehale, siis punkt O oleks selle keha
masskese ja jõumoment avaldaks kehale pööravat mõju ümber telje, mis eelpoolöeldu põhjal
on jõu ja tema õlaga risti.
P
O
r r
F r
M r 0
5

Joonis kujutab algselt mittepöörlevat vaba keha, mille masskeskmeks on punkt O ja mille
mingile suvalisele punktile hakkab mõjuma jõud F r . Keha hakkab selle mõjul kiirenevalt
pöörlema ümber telje OP, mis on risti vektoritega F r ja r . Jõu F r moment punkti O suhtes
M r O
on samuti jõumomendi definitsiooni põhjal suunatud alla telje OP sihis.
Vaatleme nüüd juhtu, kui algselt mittepöörlev keha pole vaba, vaid omab eelnevalt
fikseeritud pöörlemistelge. Kui tema mingile punktile hakkab mõjuma teatud jõud F r , siis ei
alati tarvitse see olla etteantud pöörlemisteljega risti.
P
P'
M r
OP '
O
β
r r
F r
M r O
Siis ei hakka keha pöörlema enam mitte ümber telje OP, vaid ümber fikseeritud telje OP’.
Ilmselt on jõumomendi M r
pöörav mõju telje OP’ suhtes määratud tema projektsiooniga
sellele teljele, mida tähistame
0
OP '
. Jooniselt on näha, et tema moodul arvutatakse
M r 6

M = M cos β . (6.6)
OP '
O
Siin β on nurk vektori M r 0
ja telje OP’ vahel.
Jõu F r momendiks etteantud telje OP suhtes nimetatakse vektorkorrutise
r r
× F projektsiooni sellele teljele. Tema moodul arvutatakse valemist
r r
= × F cos β . (6.6a)
M OP '
6.2 Impulsimoment punkti ja telje suhtes
Liikugu punktist O kaugusel r punktmass massiga m ja kiirusega v r . Tema impulss avaldub
p
r r = mv .
O
r r
m
α
v r
Tähistame sümboliga r selle punktmassi kohavektori punkti O suhtes. Mõjugu nüüd sellele
punktmassile mingi nullist erinev resultantjõud F r , mille tulemusena punktmassi impulss
muutub. Newtoni seaduse üldisema kuju (5.8) põhjal on selle impulsi ajaline tuletis
p &r r
= F .
Nimetatud resultantjõu moment punkti O suhtes:
r r r
M O
= × F =
r × p
r & . (6.7)
Vaatleme lisaks veel vektorkorrutist
r&r
r r r
× p = v × mv
= 0 , (6.8)
see võrdub alati nulliga kui kahe samasihilise vektori vektorkorrutis. Seega ei muutu võrdus
(6.7), kui vaadeldud suurus selle paremale poolele juurde liita:
r r r d r r
M O
= × p&r
+ r&r
× p = ( × p)
. (6.9)
dt
Tuletisemärgi all sulgudes saame uue füüsikalise suuruse, mida nimetatakse vaadeldava
punktmassi impulsimomendiks punkti O suhtes.
Punktmassi impulsimomendiks mingi punkti O suhtes nimetatakse vektorkorrutist
7

L O
= × p =
× mv , (6.10)
kus r on selle punktmassi kohavektor punkti O suhtes ja p r selle punktmassi impulss.
Vastavalt vektorkorrutise arvutamise eeskirjale tema moodul avaldub
L O
= mpsinα , (6.11)
kus α on nurk kohavektori ja impulssvektori vahel.
Vastavalt vektorkorrutise definitsioonile on ka impulssmomendi vektor risti kehavektori ja
impulssvektoriga määratud tasandi suhtes, vt. joonis järgmisel leheküljel.
r r m
O
M r O
v r
Punktmassi impulsimomendiks mingi suvalise etteantud telje OP’ suhtes nimetatakse
r r r
vektorkorrutise L O
= × p projektsiooni sellele teljele. Tema moodul arvutatakse valemist
r r = × p cos β , (6.12)
L OP '
kus β on nurk vektori
L r O
ja telje OP’ vahel.
Arvestades impulsimomendi definitsioonvalemit (6.10) saaksime valemi (6.9) viia
järgmisele
r
kujule:
r dL
M = , (6.13)
dt
kus M r on punktmassile mõjuva resultantjõu moment suvalise telje või punkti suhtes, L r selle
punktmassi impulsimoment sama telje või punkti suhtes. Kui võrdleme seda valemiga (5.8),
siis võiksime teda nimetada Newtoni teise seaduse analoogiks pöördliikumisel, kuid me
peame eelnevalt näitama, et ta ei kehti mitte ainult punktmassi, vaid ka suvalise keha korral.
Seda teeme ülejärgmises alajaotuses.
8

6.3 Impulsimomendi jäävuse seadus.
Vaatleme mingit n punktmassist koosnevat süsteemi. Olgu i-nda punktmassi
impulsimoment mingi etteantud telje või punkti suhtes L r i
. Selle süsteemi summaarne
impulsimoment nimetatud telje või punkti suhtes oleks siis
r n r
L = . (6.14)
∑
L i
i=
1
Kui i-ndale punktmassile mõjub resultantjõud F r i
, siis tähistame tema momendi selle etteantud
telje või punkti suhtes M r i
. Vastavalt valemile (6.13) oleks süsteemi summaarse
impulsimomendi muutumiskiirus seega
n n
&r &r r
L = L i
= M ,
∑
i=
1
∑
i=
1
i
see on kõigile süsteemi punktmassidele mõjuvate jõudude momentide summa.
Punktmassidele mõjuvad jõud jagatakse süsteemisisesteks, millega need punktmassid
üksteist mõjutavad, ning süsteemivälisteks, millega neid punktmasse mõjutavad süsteemist
väljaspool asuvad kehad. Seda arvestades saaksime viimase valemi esitada järgmiselt:
n
n
&r r r
välis
sise
L = M i
+ M ,
kus
∑
i=
1
valis
M r i
∑
i=
1
i
on i-ndale punktmassile mõjuvate süsteemiväliste jõudude summaarne moment,
sise
M r i
i-ndale punktmassile mõjuvate süsteemisiseste jõudude summaarne moment. Nagu me
aga näitasime punktis (6.1a), tasakaalustavad süsteemisiseste jõudude momendid üksteist
paarikaupa ja nende kogusumma annab kokku nulli. Järelikult saame süsteemi
impulsimomendi muutumiskiiruse valemi lõplikul kujul selliselt:
n
&r r
välis
L = .
(6.15)
∑
M i
i=
1
Punktmasside süsteemi impulsimomendi muutumiskiirus suvalise punkti või telje suhtes
võrdub süsteemile mõjuvate väliste jõudude momentide summaga sellesama punkti või telje
suhtes. Seda valemit võib üldistada ka niisugusele süsteemile, kus punktmasside asemel
paiknevad lõplike mõõtmetega kehad. Kui aga süsteemile ei mõju välisjõude või nad üksteist
tasakaalustavad, siis nende summaarne moment võrdub nulliga ja süsteemi impulsimoment ei
muutu. See lubab meil sõnastada impulsimomendi jäävuse seaduse.
Impulsimomendi jäävuse seadus. Suletud süsteemis paiknevate kehade summaarne
impulsimoment mistahes punkti või telje suhtes on nende kehade igasuguse vastasmõju korral
jääv.
6.4 Inertsimoment
Olgu nüüd mingi lõplike mõõtmetega keha, mis pöörleb ümber seda keha läbiva
pöörlemistelje (vt. joonis järgmisel leheküljel). Arvutame selle keha impulsimomendi
nimetatud pöörlemistelje suhtes.
9

Selleks jagame keha esmalt lõpmata väikesteks osadeks – massielementideks, millest
igaühte võib vaadelda punktmassina. Olgu neid massielemente n tükki, i-nda massielemendi
massi tähistame mi
, tema kauguse pöörlemisteljest ri
ja kiiruse v r i
.
Siis oleks i-nda massielemendi impulsimomendi moodul pöörlemistelje suhtes
L
i
= miviri
.
Keha kui terviku impulsimoment avalduks sel juhul summana
L =
n
∑
i=
1
m v r . (6.17)
i
i
i
Saadud valemi puuduseks on see, et kiirus, mass ja kaugus pöörlemisteljest tuleb arvutada iga
massielemendi kohta eraldi. Asendame esmalt i-nda massielemendi joonkiiruse kui
kulgliikumist kirjeldava suuruse tema nurkkiirusega valemit v i
= r i
ω arvestades. Et
nurkkiirus on keha kõigi punktide jaoks tema definitsiooni põhjal ühesugune, siis võime
summa (6.17) kirjutada kujul
r r
i
v r
i
mi
n
∑
2
L = ω m i
r i
. (6.18)
i=
1
Valemi paremal pool olevat summat nimetatakse vaadeldava keha summaarseks
inertsimomendiks etteantud pöörlemistelje suhtes:
I
Σ
=
n
∑
i=
1
m i
r 2 i
. (6.19)
Siin m on selle keha i-nda massielemendi mass, r tema vähim kaugus pöörlemisteljest.
i
2
Korrutist mir i
summamärgi all nimetatakse massielemendi mi
inertsimomendiks
pöörlemistelje suhtes.
Punktmassi inertsimomendiks etteantud pöörlemistelje suhtes nimetatakse tema massi
korrutist kauguse ruuduga pöörlemisteljest:
2
I = mr . (6.20)
Kõrvutades valemeid (6.18) ja (6.19) saame lõpliku valemi pöörleva keha impulsimomendi
arvutamiseks mingi telje suhtes:
i
10

L = I r
Σ
ω . (6.21)
Võrdleme seda impulsi definitsioonivalemiga (5.1). Et impulsimoment on impulsi analoog
pöördliikumisel, nurkkiiruse vektor kiirusvektori analoog pöördliikumisel, siis võime
järeldada, et inertsimoment on massi analoog pöördliikumisel.
6.5 Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand
Üldistades valemit (6.13) punktmassilt lõplike mõõtmetega kehale, saame (6.21) põhjal
valemi:
r
r dL d( I
r
Σω)
M = = , (6.22)
dt dt
kehale mõjuva resultantjõu moment suvalise pöörlemistelje suhtes võrdub tema
impulsimomendi muutumiskiirusega sama telje suhtes.
Kui keha summaarne inertsimoment ajas ei muutu, siis valem (6.22) lihtsustub kujule
r
r
dω
r
M = I
Σ
= I
Σε
, (6.23)
dt
kus r ε on keha nurkkiirenduse vektor. Kulgliikumisel on selle valemi analoogiks Newtoni II
seadus konstantse massiga keha jaoks, valem (3.6).
Valem (6.22) esitab pöördliikumise dünaamika põhiseadust, mis on ühtlasi Newtoni teise
seaduse analoog pöördliikumisel. Selle erijuht jääva inertsimomendi korral on (6.23).
6.6 Steineri lause
Vaba keha pöörleb alati ümber oma masskeset läbiva telje. Tähistame tema inertsimomendi
selle telje suhtes I C
. Steineri lause lubab arvutada selle keha inertsimomendi ka mingi teise
telje suhtes.
11

a r
C
Tähistame keha masskeskme tähega C . Olgu keha mass m. Tema inertsimoment masskeset
läbiva telje suhtes avaldub
I
C
=
n
∑
i=
1
m r
2 . (6.24)
i
i
Kui paigutame koordinaatteljestiku selliselt, et koordinaatide alguspunkt asuks keha
masskeskmes ja z-telg oleks suunatud piki masskeset läbivat telge, siis (6.24) avalduks
I
C
=
n
∑
i=
1
m
i
(
2 2
x + y ) , (6.25)
i
i
kus xi
ja yi
oleksid massielemendi mi
x- ja y-koordinaat.
Arvutame nüüd selle keha inertsimomendi mingi suvalise etteantud telje suhtes. Olgu seda
etteantud telge masskeskmega ühendav vektor a r (siin a r pole kiirendus, vaid telgedevaheline
kaugus!).
2
2
Massielemendi m i
kaugus etteantud teljest oleks sel juhul ( a
x
+ xi
) + ( a
y
+ yi
) , kus ax
ja
oleksid vektori a r x- ja y-komponendid. Siis keha inertsimoment etteantud telje suhtes
a
y
oleks
I =
n
∑
i=
1
m
i
2
2
[ a + x ) + ( a + y ) ]
( .
x
Sulgude avamine annab tulemuseks
I =
i
y
i
n
n
n
n
2 2
2 2
( a + a ) m + a m x + 2a
m y + m ( x + y )
x
y
∑
i=
1
i
∑
x
i=
1
i
i
∑
y
i=
1
i
i
∑
2 .
2
Esimene liidetav on ma , kus m on selle keha kogumass. Viimane liidetav on valemi (6.25)
põhjal keha inertsimoment masskeset läbiva telje suhtes. Näitame, et teine ja kolmas liidetav
võrduvad nulliga.
i=
1
i
i
i
12

Kolmandas liidetavas summa
n
∑
i=
1
m i
x i
on keha masskeskme x-koordinaat korrutatud selle
keha massiga, vt. valem (5.14). Samuti on summa ∑ m i
y i
masskeskme y-koordinaadi ja keha
massi korrutis. Et meil oli koordinaatide alguspunkt paigutatud keha masskeskmesse, siis
masskeskme koordinaadid võrduvad nulliga ja me saame viimasest valemist nulliga
võrduvaid suurusi välja jättes valemi, mida nimetatakse Steineri lauseks.
Steineri lause. Keha inertsimoment I mingi suvalise etteantud telje suhtes leitakse valemist
2
I = I
C
+ ma , (6.26)
kus I C
on keha inertsimoment etteantud teljega paralleelse ja masskeset läbiva telje suhtes, m
selle keha mass ning a tema masskeskme kaugus sellest etteantud teljest.
n
i=
1
6.7 Mõningate lihtsamate kehade inertsimomentide arvutamine
6.7a Homogeense varda inertsimoment varda keskpunkti suhtes.
Olgu meil varras pikkusega l ja massiga m. Defineerime varda joontiheduse kui pikkusühiku
kohta tuleva massi, mis arvutatakse
m
τ = .
l
Eraldame vardast lõpmata väikese joonelemendi pikkusega dx, mis asub varda masskeskmest
O kaugusel x. Tema mass on
dm = τ dx ,
inertsimoment punkti O läbiva telje suhtes
dI = x
2 dm = x
2 τdx
.
Siis varda kui terviku inertsimoment avaldub integraalina
l
2
3 2
2 x ml
I = τ ∫ x dx = τ = .
12 12
l
−
2
13

C
x
dx
dm = τdx
Iseseisvalt tõestada nii integreerimise kui Steineri lause abil, et varda inertsimoment tema
otspunkti suhtes on
2
ml
I = .
3
6.7b Ketta inertsimoment
Iseseisvalt tõestada, et homogeense ketta inertsimoment masskeset läbiva telje ja ketta
tasandiga ristuva telje suhtes on
2
mr
I = ,
2
kus m on ketta mass ja r raadius. Vt. I. Saveljev. Füüsika üldkursus I, lk. 109-110.
6.8 Pöörleva keha kineetiline energia.
Tuleme tagasi alapunktis 6.4 käsitletud lõplike mõõtmetega pöörleva keha juurde ja
arvutame selle pöörlemise kineetilise energia. Jagame selle keha sarnaselt alapunktiga 6.4
üksikuteks massielementideks m i
ja vaatleme neid kui punktmasse. Ühe sellise massielemendi
kineetiline energia avaldub
2
2 2
mivi
miω
ri
Ei
= = .
2 2
Kogu keha summaarne kineetiline energia avaldub summana
n
n
ω
2
E = E = m r .
∑
i
i=
1 2
∑
i=
1
i
i
Et summa viimases avaldises võrdub vaadeldava keha inertsimomendiga, siis saame pöörleva
keha kineetilise energia arvutamiseks järgmise avaldise:
14

2
Iω
E = . (6.27)
2
Siin I on keha inertsimoment tema pöörlemistelje suhtes ja ω tema pöörlemise nurkkiirus.
15