05:35, 1 ÑÐ°Ð½ÑÐ°ÑÐ¸ 1970

More documents

Recommendations

Info

$Fractional and operational calculus with generalized fractional ...$

$Numerical Methods Course Notes Version 0.1 (UCSD Math 174, Fall ...$

64 Boro Piperevski ravenka na Shredinger so periodiqen potencijal i spektar koj ima na poluoskata toqno n sloevi. Ovaa ravenka e i specijalen sluqaj na ravenka na Hil. Vo teorijata na parcijalni ravenki e poznat klasiqniot rezultat za rexavaǌe na vnatrexna zadaqa na Dirihle za konturen problem za Laplasova parcijalna diferencijalna ravenka vo sfera. So transformacija vo sferni koordinati i koristeǌe na Furieov metod na razdvojuvaǌe na promenlivite se dobivaat diferencijalniravenki qii rexenija se klasiqnite ortogonalni Lezandrovi polinomi koi se i sopstveni funkcii za soodvetna Xturm-Liuvilova zadaqa. Pri toa rexenijata na Laplasovata parcijalna diferencijalna ravenka se dobivaat vo vid na homogeni polinomi od soodveten stepen i se nareqeni sferni harmoniqni funkcii. Ovoj priod kon rexavaǌe na istata zadaqa no za elipsoid go koristel Lame so voveduvaǌe na eliptiqki koordinati vo Laplasovata parcijalna diferencijalna ravenka. So koristeǌe na eliptiqki funkcii i so koristeǌe na Furieoviot metod na razdeluvaǌe na promenlivite, dobil diferencijalna ravenka od vid − d2 y du 2 + [ a℘(u)+b ] y =0, kade ℘(u) e specijalna eliptiqka funkcija na Vajerstrase so parametri e 1 ,e 2 ,e 3 ,kadee 1 + e 2 + e 3 =0,ikadea i b se parametri koi treba da se opredelat od uslovite na zadaqata. Od uslovot na Dirihleovata zadaqa za baraǌe rexenie homogen polinom od stepen n t.e. analitiqka harmoniska funkcija vo soodvetnata oblast, se dobiva uslov parametarot a da bide od vid a = −n(n +1), n priroden broj. Do istiot uslov se doaǵa i od klasiqnata teorija za diferencijalnata ravenka na Lame vo algebarska forma od klasa na Fuks so pet regularni singulariteti ϕ(x)y”+ 1 2 ϕ′ (x)y ′ +(ax + b)y =0, kako od drug priod, za zadovoluvaǌe na uslovot ovaa ravenka da ima opxto rexenie ednoznaqna analitiqka funkcija. Se pokaжuva deka toj uslov e potreben i dovolen. So toa ravenkata na Lame go dobiva vidot (1) odnosno (1 ′ ), pri xto nejzinite rexenija se edinstveno od osum vida so qetiri
ZA DIFERENCIJALNATA RAVENKA NA LAME 65 oblika: (A) : P, (B) : (C) : (C) : ( ) 1/2P, ℘(u) − ei i =1, 2, 3, ) ( ) 1/2 ( ) (2) 1/2P, ℘(u) − ei ℘(u) − ej i =1, 2, 3, j =1, 2, 3, i ≠ j, ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2P ℘(u) − e1 ℘(u) − e2 ℘(u) − e3 kade ℘(u) e funkcijata na Vajerxtras, a P e polinom od ℘(u) , ivoalgebarskivid: (A ′ ): P (x), (B ′ ): (x − e i ) 1/2 P (x), i =1, 2, 3, (C ′ ): (x − e i ) 1/2 (x − e j ) 1/2 P (x), i =1, 2, 3, j =1, 2, 3, i ≠ j, (2 ′ ) (D ′ ): (x − e 1 ) 1/2 (x − e 2 ) 1/2 (x − e 3 ) 1/2 P (x) kade P (x) e polinom od x. Parametarot b = λ dobiva toqno 2n +1 vrednosti.Za n paren broj 1 2 (n +2) rexenija se od tipot (A) i 3 n rexenija od tipot (C). 2 Za n neparen broj 3 2 (n +1) rexenija se od tipot (B) i 1 2 (n − 1) rexenija od tipot (D). Ovie vrednosti moжat da se nareqat i sopstveni vrednosti, na koi im odgovaraat soodvetni rexenija na ravenkata na Lame, nareqeni sopstveni funkcii. Znaqi ovaa zadaqa moжe da se razgleduva i kako rexavaǌe na Sturm-Liuvilova zadaqa odnosno problem za naogjaǌe sopstveni vrednosti i sopstveni funkcii na eden specijalen diferencijalen operator l = − d2 dx 2 + q(x). Site sopstveni vrednosti se realni broevi. Jasno e deka sopstveni funkcii kako rexenija na ravenkata na Lame moжat da bidat polinomi od stepen k samo vo sluqaite n =2k itoatoqno k +1 na broj koi odgovaraat toqno na k +1 sopstveni vrednosti na parametarot λ [1], [3]. So dobivaǌe na site 2n +1 rexenija na ravenkata na Lame koi soodvectvuvaat na 2n +1 vrednosti na parametarot λ, seovozmoжuva dobivaǌeto na baranoto rexenie na Dirihleovata zadaqa
Page 1: Matematiqki Bilten ISSN 0351-336X 2
Page 5 and 6: ZA DIFERENCIJALNATA RAVENKA NA LAME
Page 7 and 8: ZA DIFERENCIJALNATA RAVENKA NA LAME

05:35, 1 ÑÐ°Ð½ÑÐ°ÑÐ¸ 1970

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

05:35, 1 ÑÐ°Ð½ÑÐ°ÑÐ¸ 1970