05:35, 1 јануари 1970

Matematiqki Bilten ISSN 0351–336X
29 (LVI)
2006 (63–70)
Skopje, Makedonija
ZA DIFERENCIJALNATA RAVENKA NA LAME
Boro M. Piperevski
Apstrakt
Vo ovoj trud se razgleduva diferencijalnata ravenka
na Lame. So koristenje na polinomnoto rexenie na Hermite
se dobiva egzistencija i konstrukcija na edno rexenie na
sedum klasi diferencijalni ravenki od tret red so polinomni
koeficienti.
1. Voved
Vo ovoj trud se razgleduva diferencijalnata ravenka na Lame
− d2 y
+ n(n +1)℘(u)y = λy, (1)
du2 kade ℘(u) e specijalna eliptiqka funkcija na Vajerstrase so parametri
e 1 ,e 2 ,e 3 ,kadee 1 +e 2 +e 3 =0, npriroden broj i λ - parametar.
Funkcijata na Vajerstrase e di-periodiqna eliptiqka funkcija
so dva perioda i e rexenie na diferencijalnata ravenka:
℘ ′2 (u) = ( )( )( )
℘(u) − e 1 ℘(u) − e2 ℘(u) − e3
Ravenkata na Lame ima i svoja algebarska forma:
2ϕ(x)y”+ϕ ′ (x)y ′ − 2 [ n(n +1)− λ ] y =0, (1 ′ )
kade ϕ(x) =4(x − e 1 )(x − e 2 )(x − e 3 ). Vrskata meǵu dvata vida e
dadena so ℘(u) =x. Ravenkata na Lame e specijalen sluqaj na
63

64 Boro Piperevski
ravenka na Shredinger so periodiqen potencijal i spektar koj ima
na poluoskata toqno n sloevi. Ovaa ravenka e i specijalen sluqaj
na ravenka na Hil.
Vo teorijata na parcijalni ravenki e poznat klasiqniot rezultat
za rexavanje na vnatrexna zadaqa na Dirihle za konturen
problem za Laplasova parcijalna diferencijalna ravenka vo sfera.
So transformacija vo sferni koordinati i koristenje na Furieov
metod na razdvojuvanje na promenlivite se dobivaat diferencijalniravenki
qii rexenija se klasiqnite ortogonalni Lezandrovi
polinomi koi se i sopstveni funkcii za soodvetna
Xturm-Liuvilova zadaqa. Pri toa rexenijata na Laplasovata
parcijalna diferencijalna ravenka se dobivaat vo vid na homogeni
polinomi od soodveten stepen i se nareqeni sferni harmoniqni
funkcii.
Ovoj priod kon rexavanje na istata zadaqa no za elipsoid go
koristel Lame so voveduvanje na eliptiqki koordinati vo Laplasovata
parcijalna diferencijalna ravenka. So koristenje na
eliptiqki funkcii i so koristenje na Furieoviot metod na razdeluvanje
na promenlivite, dobil diferencijalna ravenka od vid
− d2 y
du 2 + [ a℘(u)+b ] y =0,
kade ℘(u) e specijalna eliptiqka funkcija na Vajerstrase so parametri
e 1 ,e 2 ,e 3 ,kadee 1 + e 2 + e 3 =0,ikadea i b se parametri
koi treba da se opredelat od uslovite na zadaqata.
Od uslovot na Dirihleovata zadaqa za baranje rexenie homogen
polinom od stepen n t.e. analitiqka harmoniska funkcija
vo soodvetnata oblast, se dobiva uslov parametarot a da bide od
vid a = −n(n +1), n priroden broj.
Do istiot uslov se doaǵa i od klasiqnata teorija za diferencijalnata
ravenka na Lame vo algebarska forma od klasa na Fuks
so pet regularni singulariteti
ϕ(x)y”+ 1 2 ϕ′ (x)y ′ +(ax + b)y =0,
kako od drug priod, za zadovoluvanje na uslovot ovaa ravenka da
ima opxto rexenie ednoznaqna analitiqka funkcija.
Se pokaжuva deka toj uslov e potreben i dovolen.
So toa ravenkata na Lame go dobiva vidot (1) odnosno (1 ′ ),
pri xto nejzinite rexenija se edinstveno od osum vida so qetiri

ZA DIFERENCIJALNATA RAVENKA NA LAME 65
oblika:
(A) : P,
(B) :
(C) :
(C) :
( ) 1/2P,
℘(u) − ei i =1, 2, 3, )
( ) 1/2 ( ) (2)
1/2P,
℘(u) − ei ℘(u) − ej i =1, 2, 3, j =1, 2, 3, i ≠ j,
( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2P
℘(u) − e1 ℘(u) − e2 ℘(u) − e3
kade ℘(u) e funkcijata na Vajerxtras, a P e polinom od ℘(u) ,
ivoalgebarskivid:
(A ′ ): P (x),
(B ′ ): (x − e i ) 1/2 P (x), i =1, 2, 3,
(C ′ ): (x − e i ) 1/2 (x − e j ) 1/2 P (x), i =1, 2, 3, j =1, 2, 3, i ≠ j,
(2 ′ )
(D ′ ): (x − e 1 ) 1/2 (x − e 2 ) 1/2 (x − e 3 ) 1/2 P (x)
kade P (x) e polinom od x.
Parametarot b = λ dobiva toqno 2n +1 vrednosti.Za n paren
broj 1 2 (n +2) rexenija se od tipot (A) i 3 n rexenija od tipot (C).
2
Za n neparen broj 3 2 (n +1) rexenija se od tipot (B) i 1 2
(n − 1)
rexenija od tipot (D).
Ovie vrednosti moжat da se nareqat i sopstveni vrednosti,
na koi im odgovaraat soodvetni rexenija na ravenkata na Lame,
nareqeni sopstveni funkcii. Znaqi ovaa zadaqa moжe da se razgleduva
i kako rexavanje na Sturm-Liuvilova zadaqa odnosno
problem za naogjanje sopstveni vrednosti i sopstveni funkcii na
eden specijalen diferencijalen operator
l = − d2
dx 2 + q(x).
Site sopstveni vrednosti se realni broevi. Jasno e deka
sopstveni funkcii kako rexenija na ravenkata na Lame moжat da
bidat polinomi od stepen k samo vo sluqaite n =2k itoatoqno
k +1 na broj koi odgovaraat toqno na k +1 sopstveni vrednosti
na parametarot λ [1], [3].
So dobivanje na site 2n +1 rexenija na ravenkata na Lame
koi soodvectvuvaat na 2n +1 vrednosti na parametarot λ, seovozmoжuva
dobivanjeto na baranoto rexenie na Dirihleovata zadaqa

66 Boro Piperevski
(konturen problem) kako troen proizvod (vo soglasnost so metodot
na Furie), koe e homogen polinom od stepen n vo odnos na Dekartovite
pravoagolni koordinati. Ovie homogeni harmoniski polinomi
kako rexenija na Dirihleovata zadaqa se nareqeni polinomi
na Lame.
Da zabeleжime deka i kaj konturniot problem so sfera isto
taka se dobivaat toqno 2n +1 linearno nezavisni rexenija.
Poznat e rezultatot za formiranje na diferencijalnata ravenka
od tret red
y ′′′ +3fy”+(f ′ +2f 2 +4g)y ′ +(4fg +2g ′ )y =0
qii rexenija se proizvodi od dve rexenija na diferencijalna
ravenka od vtor red
y ′′ + fy ′ + gy =0
So koristenje na ovoj rezultat se dobiva deka ravenkata od tret
redodvid
2ϕy ′′′ +3ϕ ′ y ′′ + { ϕ ′′ − 8 [ n(n +1)x − λ ]} y ′ − 4n(n +1)y =0, (∗)
ima rexenie F (x) koe e polinom od stepen n i e proizvod F = y 1 y 2
od dve rexenija y 1 ,y 2 na ravenkata na Lame(1 ′ ) . Ovaa polinomno
rexenie e polinom za proizvolno λ i e nareqen polinom na Hermit.
Neka e dadena diferencijalna ravenka od vtor red od vid
(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 )y ′′ +(b 2 x 2 + b 1 x + b 0 )y ′ +(c 1 x + c 0 )=0, (3)
kade x 1 ≠ x 2 ≠ x 3 .
Vo [2] e pokaжano deka so transformacijata definirana so
y =(x − x 1 ) α (x − x 2 ) β (x − x 3 ) γ z, (3 ′ )
diferencijalnata ravenka (3) se transformira vo najmnogu 7 drugi
diferencijalni ravenki od ist vid. Ako ovaa transformacija
ja primenime konkretno za ravenkata na Lame od vid (1 ′ ) togax se
dobivaat slednite 7diferencijalni ravenki:
2ϕz 1 ”+[ϕ ′ +8(x 2 +e 1 x+e 2 e 3 )]z 1 ′ +{−2[n(n+1)x−λ]+(4x+2e 1)}z 1 =0, (I)
2ϕz 2 ”+[ϕ ′ +8(x 2 +e 2 x+e 1 e 3 )]z ′ 2+{−2[n(n+1)x−λ]+(4x+2e 2 )}z 2 =0, (II)
2ϕz 3 ”+[ϕ ′ +8(x 2 +e 3 x+e 1 e 2 )]z ′ 3+{−2[n(n+1)x−λ]+(4x+2e 3 )}z 3 =0, (III)
2ϕz 4 ”+[ϕ ′ +8(2x 2 −e 3 x+e 2 3]z ′ 4+{−2[n(n+1)x−λ]+(12x−6e 3 )}z 4 =0, (IV)
2ϕz 5 ”+[ϕ ′ +8(2x 2 −e 2 x+e 2 2]z ′ 5+{−2[n(n+1)x−λ]+(12x−6e 2 )}z 5 =0, (V)
2ϕz 6 ”+[ϕ ′ +8(2x 2 −e 1 x+e 2 1 ]z′ 6 +{−2[n(n+1)x−λ]+(12x−6e 1)}z 6 =0, (VI)
2ϕz 7 ”+3ϕ ′ z ′ 7 + {−2[n(n +1)x − λ]+ϕ ′′ }z 7 =0.
(VII)

ZA DIFERENCIJALNATA RAVENKA NA LAME 67
Vo toj sluqaj spored (3 ′ ) vrskite meǵu soodvetnite rexenija se
dadeni so:
y =(x − e 1 ) 1/2 z 1 ,y=(x − e 2 ) 1/2 z 2 ,y=(x − e 3 ) 1/2 z 3 ,
y =(x − e 1 ) 1/2 (x − e 2 ) 1/2 z 4 ,y=(x − e 1 ) 1/2 (x − e 3 ) 1/2 z 5 , (4 ′ )
y =(x − e 2 ) 1/2 (x − e 3 ) 1/2 z 6 ,y=(x − e 1 ) 1/2 (x − e 2 ) 1/2 (x − e 3 ) 1/2 z 7 .
Vo vrska so potrebniot uslov za egzistencija na polinomno rexenie
za ravenkite (1 ′ ), (I), (II), (III), (IV), (V), (VI), (VII), korenite na
soodvetnite karakteristiqni ravenki se
( 1 2 n, − 1 2 − 1 2 n) za ravenkata (1′ );
(− 1 2 + 1 2 n, −1 − 1 2n) za ravenkite (I), (II), (III);
(−1+ 1 2 n, − 3 2 − 1 n) za ravenkite (IV), (V), (VI);
2
(− 3 2 + 1 2 n, −2 − 1 n) za ravenkata (VII).
2
Vo literaturata [3] e poznato deka potreben uslov diferencijalnata
ravenka od vid (1 ′ ) da ima polinomno rexenie e soodvetnata
karakteristiqna ravenka da ima koren priroden broj.
Spored toa za n =2k (paren broj) moжni polinomni rexenija od
stepen k i k − 1 moжe da se baraat kaj diferencijalnite ravenki
(1 ′ ), (IV), (V), (VI), azan =2k − 1 (neparen broj) moжni polinomni
rexenija od stepen k − 1 i k − 2 moжe da se baraat kaj diferencijalnite
ravenki (I), (II), (III), (IV).
Lema: Site funkcii na Lame od vidovite (2 ′ ) se dobivaat so
pomox na polinomni rexenija samo na diferencijalnite ravenki
(1 ′ ), (I), (II), (III), (IV), (V), (VI), (VII).
Da zabeleжime deka za diferencijalnata ravenka od tret red
(∗) soodvetnata karakteristiqna ravenka za koreni gi ima broevite
n, −(n +1), − 1 xto znaqi deka e zadovolen potrebniot i dovolen
uslov za egzistencija na edinstveno polinomno rexenie poli-
2
nomot na Hermit. So koristenje na rezultatot za dobivanje na
diferencijalna ravenka od tret red koja ima rexenija proizvod
od dve rexenija na diferencijalna ravenka od vtor red, od diferencijalnite
ravenki (I), (II), (III), (IV), (V), (VI), (VII) se dobivaat
soodvetno slednite sedum diferencijalni ravenki od tret red:
2ϕ 2 Z ′′′
1 +3ϕ[ϕ′ +8(x 2 + e 1 x + e 2 e 3 )]Z ′′
1 + {ϕ′′ ϕ + 16(2x + e 1 )ϕ+
+8(x 2 + e 1 x + e 2 e 3 )ϕ ′ + 64(x 2 + e 1 x + e 2 e 3 ) 2 − 8[n(n +1)x − λ]ϕ}Z ′ 1+
+ {8ϕ − 32[n(n +1)− λ](x 2 + e 1 x + e 2 e 3 )+
+ 32(2x + e 1 )(x 2 + e 1 x + e 2 e 3 ) − 4n(n +1)ϕ}Z 1 =0, (I 1 )

68 Boro Piperevski
2ϕ 2 Z ′′′
2 +3ϕ[ϕ′ +8(x 2 + e 2 x + e 1 e 3 )]Z ′′
2 + {ϕ′′ ϕ + 16(2x + e 2 )ϕ+
+8(x 2 + e 2 x + e 1 e 3 )ϕ ′ + 64(x 2 + e 2 x + e 1 e 3 ) 2 − 8[n(n +1)x − λ]ϕ}Z ′ 2+
+ {8ϕ − 32[n(n +1)− λ](x 2 + e 2 x + e 1 e 3 )+
+ 32(2x + e 2 )(x 2 + e 2 x + e 1 e 3 ) − 4n(n +1)ϕ}Z 2 =0, (II 1 )
2ϕ 2 Z ′′′
3 +3ϕ[ϕ ′ +8(x 2 + e 3 x + e 1 e 2 )]Z ′′
3 + {ϕ ′′ ϕ + 16(2x + e 3 )ϕ+
+8(x 2 + e 3 x + e 1 e 2 )ϕ ′ + 64(x 2 + e 3 x + e 1 e 2 ) 2 − 8[n(n +1)x − λ]ϕ}Z ′ 3+
+ {8ϕ − 32[n(n +1)− λ](x 2 + e 3 x + e 1 e 2 )+
+ 32(2x + e 3 )(x 2 + e 3 x + e 1 e 2 ) − 4n(n +1)ϕ}Z 3 =0, (III 1 )
2ϕ 2 Z ′′′
4 +3ϕ[ϕ ′ +8(2x 2 − e 3 x − e 2 3)]Z ′′
4 + {ϕ ′′ ϕ + 16(5x − 2e 3 )ϕ+
+8(2x 2 − e 3 x − e 2 3 )ϕ′ + 64(2x 2 − e 3 x − e 2 3 )2 − 8[n(n +1)x − λ]ϕ}Z ′ 4 +
+ {24ϕ − 32[n(n +1)− λ](2x 2 − e 3 x − e 2 3)+
+ 32(6x +3e 3 )(2x 2 − e 3 x − e 2 3) − 4n(n +1)ϕ}Z 4 =0, (IV 1 )
2ϕ 2 Z ′′′
5 +3ϕ[ϕ ′ +8(2x 2 − e 2 x − e 2 2)]Z ′′
5 + {ϕ ′′ ϕ + 16(5x − 2e 2 )ϕ+
+8(2x 2 − e 2 x − e 2 2)ϕ ′ + 64(2x 2 − e 2 x − e 2 2) 2 − 8[n(n +1)x − λ]ϕ}Z ′ 5+
+ {24ϕ − 32[n(n +1)− λ](2x 2 − e 2 x − e 2 2)+
+ 32(6x +3e 2 )(2x 2 − e 2 x − e 2 2) − 4n(n +1)ϕ}Z 5 =0, (V 1 )
2ϕ 2 Z ′′′
6 +3ϕ[ϕ′ +8(2x 2 − e 1 x − e 2 1 )]Z′′ 6 + {ϕ′′ ϕ + 16(5x − 2e 1 )ϕ+
+8(2x 2 − e 1 x − e 2 1)ϕ ′ + 64(2x 2 − e 1 x − e 2 1) 2 − 8[n(n +1)x − λ]ϕ}Z ′ 6+
+ {24ϕ − 32[n(n +1)− λ](2x 2 − e 1 x − e 2 1 )+
+ 32(6x +3e 1 )(2x 2 − e 1 x − e 2 1) − 4n(n +1)ϕ}Z 6 =0, (VI 1 )

ZA DIFERENCIJALNATA RAVENKA NA LAME 69
2ϕ 2 Z 7 ′′′ +9ϕϕ ′ Z 7 ′′ + {7ϕ ′′ ϕ +6ϕ ′2 − 8[n(n +1)x − λ]ϕ}Z 7+
′
+ {2ϕ ′′′ ϕ +4ϕ ′′ ϕ ′ − 8[n(n +1)− λ]ϕ ′ − 4n(n +1)ϕ}Z 7 =0, (VII 1 )
So koristenje na vrskite (4 ′ ) se dobivaat partikularni rexenija
na diferencijalni ravenki od tret red od vid (I 1 ), (II 1 ), (III 1 ), (IV 1 ),
(V 1 ), (VI 1 ), (VII 1 ), izrazeni so polinomnoto rexenie F na diferencijalnata
ravenka (∗).
Teorema: Diferencijalnite ravenki od tret red od vid (I 1 ),
(II 1 ), (III 1 ), (IV 1 ), (V 1 ), (VI 1 ), (VII 1 ) imaat edno rexenie izrazeno so
polinomot na Hermit F kako polinomno rexenie na diferencijalnata
ravenka od tret red (∗). Pri toa formulata na soodvetnoto
rexenie e dadeno so:
Z 1 =(x − e 1 ) −1 F, Z 2 =(x − e 2 ) −1 F, yZ 3 =(x − e 3 ) −1 ,
Z 4 =(x − e 1 ) −1 (x − e 2 ) −1 F, Z 5 =(x − e 1 ) −1 (x − e 3 ) −1 F,
(5)
Z 6 =(x − e 2 ) −1 (x − e 3 ) −1 F, Z 7 =(x − e 1 ) −1 (x − e 2 ) −1 (x − e 3 ) −1 F.
Literatura
[1]E.Heine: Uber lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, so
wie uber die Existenz und Anzahl der Lame’shen Funktionen erster
Art Monatsberichte der Kon Preuss. Akademie Wissenschaften, Berlin
1864 (1865), 13-22.
[2] Boro Piperevski: One transformation of a class of linear differential
equations of the second order, Proceedings, Department of Electrical
Engineering, tome 6-7, (27-34), 1990, Skopje.
[3] Sheffer, I.M.: On the properties of polynomials satisfying a linear differential
equations: Part I; Transactions of the American Mathematical
Society, 35(1933), 184-214, Menasha – New York.

70 Boro Piperevski
ON A LAME DIFFERENTIAL EQUATION
Boro M. Piperevski
Summary
In this work we consider Lame’s differential equation. With the Hermite
polynomial we be obtained formula for one particular solution of a
seven class linear homogenous differential equations of the third order with
polynomial coefficients.
”Ss Cyril and Methodius” University
Faculty of Electrical Engineering
P.O.Box 574, 1000 Skopje
Republic of Macedonia
e-mail:
borom@etf.ukim.edu.mk