METODA KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA WYZNACZANIA ...

PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
z. 64 Transport 2008
Tomasz AMBROZIAK, Renata PIĘTKA
Politechnika Warszawska
Wydział Transportu
ul. Koszykowa
tam@it.pw.edu.pl, pietkar@poczta.onet.pl
METODA KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA WYZNACZANIA
HARMONOGRAMÓW PRACY POJAZDÓW TRAKCYJNYCH
Streszczenie
W artykule przedstawiona została propozycja metody komputerowego wspomagania wyznaczania
harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych. W szczególności został przedstawiony model matematyczny
zagadnienia przydziału pojazdów trakcyjnych do realizowanych zadań przewozowych. Harmonogramy pracy
pojazdów trakcyjnych uzyskujemy stosując metodę tzw. mini-obiegów.
Słowa kluczowe: modelowanie matematyczne, optymalizacja sieci, transport kolejowy.
1. WPROWADZENIE
Istotą kolejowego przedsiębiorstwa kolejowego przewozów pasażerskich jest
stworzenie takiej organizacji przewozów (poprzez odpowiednio ułożony i realizowany
rozkład jazdy pociągów), która będzie spełniała coraz bardziej rosnące wymagania klientów.
Pojazdy trakcyjne są jednym z najcenniejszych elementów wyposażenia
przedsiębiorstwa kolejowego. W związku z tym bardzo ważna jest kwestia maksymalnie
intensywnego ich wykorzystania. Na racjonalne tj. ekonomiczne wykorzystanie pojazdów
trakcyjnych wpływa, poza czynnikami technicznymi, właściwa organizacja ich pracy.
Nieoptymalne zaplanowanie harmonogramów pracy pojazdów trakcyjny przekłada się
na wykorzystanie nadmiernej liczby pojazdów w stosunku do realizowanych zadań oraz
wykonywanie przez pojazdy zbyt dużej liczby przejazdów „służbowych” (próżnych), co
naraża przedsiębiorstwo na wysokie, niepotrzebne koszty.
Zastosowanie odpowiednich narzędzi wspomagania procesu harmonogramowania może
prowadzić do zmniejszenia kosztów jakie ponosi przedsiębiorstwo, a związanych
z korzystaniem z infrastruktury oraz zapewnieniem dostaw energii trakcyjnej. Biorąc zatem
pod uwagę uwarunkowania kosztowe ważne jest takie zaprojektowanie harmonogramów
pracy pojazdów, aby ograniczały one liczbę przebiegów służbowych (próżnych).
Optymalizacja harmonogramów pracy pojazdów staje się możliwa przy zastosowaniu
komputerowego wspomagania wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych
z zastosowaniem aparatu programowania matematycznego nieliniowego.
Poniżej przedstawione zostało jedno z możliwych podejść do wyżej wspomnianego
zagadnienia.

14
Tomasz Ambroziak, Renata Piętka
2. OPIS PROBLEMU
Problem wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych w kontekście
pasażerskiego transportu kolejowego scharakteryzować można następująco.
Podczas konstrukcji rozkładu jazdy na postawie popytu na przewozy pasażerskie
określana jest liczba pociągów jaki należy uruchomić w celu zaspokojenia potrzeb
przewozowych. Każdy pociąg scharakteryzowany jest poprzez:
• numer;
• termin kursowania(częstotliwość);
• relację pociągu określoną przez stację odjazdu oraz stację przybycia;
• moment odjazdu ze stacji początkowej;
• moment przyjazdu do stacji końcowej;
• typ składu przeznaczonego do jego obsługi.
Bazę transportową definiujemy jako miejsce obsługi technicznej składów pociągów
(gdzie rozpoczynają i kończą one swoją pracę). Przyjmujemy założenie, że w bazach taboru,
w dyspozycji przewoźnika znajduje się v pojazdów (składów), które przeznaczone są do
obsługi założonych w rozkładzie jazdy pociągów „handlowych”.
Biorąc powyższe pod uwagę, zadaniem jest wyznaczenie takiego planu ruchu pojazdów,
w skład którego wchodzą: plan tras i harmonogram ruchu pojazdów, aby:
• każdy z uruchamianych pociągów miał zapewniony skład;
• zminimalizowana została całkowita liczba użytych pojazdów (składów);
• zminimalizowany został całkowity koszt przejazdów „służbowych”(próżnych) oraz
przejść składów na stacjach,
przy spełnieniu nałożonych ograniczeń, które wynikają z rozwiązywanego problemu.
Proponowana w artykule metoda ma na celu wsparcie pracy konstruktora planów pracy
pojazdów trakcyjnych, który korzystając z niej będzie miał możliwość szybkiego sprawdzenia
swoich koncepcji organizacji obsługi trakcyjnej pociągów i wyboru do realizacji
najkorzystniejszego rozwiązania.
W przypadku organizacji kolejowych przewozów regionalnych, ze względu na
konieczność uruchamiania około 500 pociągów w ciągu doby, wyznaczanie planów obiegów
składów pojazdów przy zastosowaniu metod ścisłych jest trudne do uzyskania.
Ograniczenie rozmiaru problemu uzyskać można stosując kilkuetapową metodę
rozwiązania ww. zagadnienia. Schemat metody przedstawia rysunek nr 1.
Aby przedstawić koncepcję mini-obiegów, założymy, że mamy optymalne rozwiązanie
przedstawionego zagadnienia, tj., optymalny zbiór możliwych obiegów. Wtedy dla wszystkich
obiegów znamy optymalną kolejność, w której poszczególne pociągi są obsługiwane. W celu
wyznaczenia optymalnego zbioru mini-obiegów możemy zastosować następującą procedurę:
• rozpatrzymy każdy obieg od początku do końca;
• podzielimy go na segmenty identyfikowane przez przebywanie pojazdu w bazie
utrzymania. Za każdym razem, gdy pojazd wyjeżdża z bazy rozpoczynamy nowy
segment, a kiedy pojazd wraca do bazy kończymy ten segment. Otrzymane w ten
sposób segmenty są optymalnym zbiorem mini-obiegów.
Powyższe przedstawienie optymalnego zbioru mini-obiegów sugeruje niektóre
pożądane charakterystyki spełniane przez wygenerowane mini-obiegi a mianowicie:

Metoda komputerowego wspomagania wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych
15
• każdy mini-obieg rozpoczyna się i kończy w tej samej bazie;
• „długość” mini-obiegu wyrażona w godzinach, bądź kilometrach nie przekracza
maksymalnych wartości określonych dla wykonywania przeglądów kontrolnych oraz
obsługi taboru;
• mini-obiegi powinny zapewniać zgodność przejść w całym okresie planowania
obiegów tj. np.: jeżeli pociąg jest uruchamiany pięć dni w tygodniu, to każdego dnia
jego skład powinien mieć zapewniony takie samo przejście.
Źródło: opracowanie własne.
Rys. 1. Schemat metody rozwiązania
Dla wyznaczenia mini – obiegów metodą, której schemat przedstawia rys. 1,
w poszczególnych jej etapach formułowane jest odpowiednie zadanie optymalizacyjne.
Rozwiązywanie problemu wyznaczenia mini – obiegów w kilku etapach pozwala na
ograniczenie rozmiarów problemu, co pozwala na zastosowanie wspomagania
komputerowego.
Do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych w poszczególnych etapach metody
wykorzystujemy program LINGO. Poniżej przedstawiono matematyczne zadanie
optymalizacyjne oraz jego implementację w programie LINGO.
3. SFORMUŁOWANIE MATEMATYCZNE ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO
Aby wykorzystać możliwości programu LINGO przy rozwiązywaniu zadań
optymalizacyjnych, konieczne jest takie sformułowanie optymalizacyjnego zadania
matematycznego, w którym wyróżnić należy konkretne zbiory i podzbiory. Dla problemów
z dużą liczbą danych oraz zmiennych decyzyjnych takie podejście pozwala na zapisanie
powtarzających się ograniczeń za pomocą pojedynczych poleceń programu LINGO.
Dla budowy optymalizacyjnego zadania matematycznego, wykorzystywanego w fazie
I, II oraz III metody, w której wykorzystamy pakiet LINGO, zakładamy, że strukturę połączeń

16
Tomasz Ambroziak, Renata Piętka
pomiędzy bazami napraw i utrzymania oraz poszczególnymi zadaniami (pociągami)
przedstawić można jako graf G=〈W, L〉, gdzie W oznacza zbiór wierzchołków, zaś zbiór L
jest zbiorem łuków.
Zbiór wierzchołków podzielony jest na trzy rozłączne podzbiory:
• W 1 – zbiór wierzchołków odpowiadających bazom wyjazdowym;
• W 2 – zbiór wierzchołków odpowiadających zadaniom (pociąg);
• W 3 – zbiór wierzchołków odpowiadających bazom powrotnym.
Dla każdego z wierzchołków i∈ W 2 (zadania) określamy:
• numer – n∈ ;
• dzień kursowania d;
od
• stację odjazdu S
i
;
prz
• stację przybycia S
i
;
od
• moment odjazdu ze stacji początkowej T
i
;
prz
• moment przyjazdu do stacji końcowej T
i
;
• oraz wielkość Zi
określającą typ składu przeznaczonego do obsługi zadania.
Zbiór L składa się z czterech podzbiór łuków:
• L 1 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami ze zbiorów
W 1 oraz W 2 odpowiednio – łuki wyjazdowe;
• L 2 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami i, j ∈ W 2 , przy
czym stacja przybycia dla wierzchołka i jest taka sama jak stacja odjazdu dla
wierzchołka j – przejścia na stacji;
• L 3 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami i, j ∈ W 2 , przy
czym stacja przybycia dla wierzchołka i jest różna od stacja odjazdu dla wierzchołka j
– przejścia służbowe;
• L 4 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami ze zbiorów
W 2 oraz W 3 odpowiednio– łuki powrotne.
Dla łuków ze zbiorów L2 oraz L3, aby istniało połączenie między dowolnymi
wierzchołkami i, j∈ W2 dodatkowo spełnione muszą być następujące warunki:
• momenty przyjazdu i odjazdu musza spełniać następujący warunek:
prz
T
i
+ t o ≤T
od
j
, gdzie t o jest czasem potrzebnym na „obrót” składu.
od
• czas postoju ( T
j
- T
prz
i
) na stacji zwrotnej nie może przekraczać maksymalnej
wielkości, np.:12 godzin.
Dla każdego łuku l∈L między wierzchołkami i oraz j, gdzie i, j∈W, (i≠j), określony jest
czas przejazdu t i,j .
W omawianym zadaniu optymalizacyjnym dla znalezienia rozwiązania optymalnego
zastosowano kryterium kosztowe. Z każdym łukiem l∈L zawartym między wierzchołkami i
oraz j związany jest koszt „przepływu” po tym łuku. Dla poszczególnych typów łuków może
on być zdefiniowany jako:
w
• koszt c
i,
j
wykorzystania do realizacji przewozów kolejnego pojazdu (składu) oraz
koszt realizacji przejazdu służbowego po tym łuku - dla łuków wyjazdowych;
p_
st
• koszt c
i,
j
związany z opłatami za zajęcie torów stacyjnych przez oczekujące pojazdy
(składy) - dla łuków przejść na stacjach;

Metoda komputerowego wspomagania wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych
17
p_
sl
• koszt ci,
j
realizacji przejazdu służbowego- dla łuków wyjazdowych, przejazdów
służbowych oraz łuków powrotnych.
Wprowadzamy następujące typy zmiennych decyzyjnych definiowanych następująco:
Λ w
1, jeżeli łuk (i, j)∈L 1 należy do dowolnego mini - obiegu
x = ⎧
i,
j ⎨
(3.1)
l∈L 1
⎩ 0, w przeciwnym przypadku.
Λ p_
st
x = ⎧ 1, jeżeli łuk (i, j)∈L 2 należy do dowolnego mini - obiegu
i,
j
l∈L 2
⎨
⎩ 0, w przeciwnym przypadku. (3.2)
Λ p_
sl
x = ⎧ 1, jeżeli łuk (i, j)∈L 3 należy do dowolnego mini - obiegu
i,
j
l∈L 3
⎨
⎩ 0, w przeciwnym przypadku. (3.3)
Λ p
1, jeżeli łuk (i, j)∈L 4 należy do dowolnego mini - obiegu
x = ⎧
i,
j ⎨
(3.4)
l∈L 4
⎩ 0, w przeciwnym przypadku.
gdzie s∈C oznacz długość mini - obiegu,
Λ y = i
i∈W 2
s
W I fazie metody rozwiązywane jest następujące zadanie optymalizacyjne
programowania liniowego.
Znaleźć minimum funkcji
w p _ sl w p _ st p _ st p _ sl p _ sl p _ sl p
( c + c ) ⋅ x + c ⋅ x + c ⋅ x + c ⋅x
ij , ij , ij , ij , ij , ij , ij , ij , ij ,
∑ ∑ ∑ ∑ → min
i, j∈L1∧≠ i j i, j∈L2∧≠ i j i, j∈L3∧≠ i j i,
j∈L4∧≠
i j
przy ograniczeniach:
i∈W2
∧i≠
j
Λ x + x + x =
i∈W2
∧i≠
j
w p_
st p_
sl
ji , ji , ji ,
1
j∈W1 j∈W2∧i≠ j j∈W2∧i≠
j
(3.5)
∑ ∑ ∑ (3.6)
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.7)
Λ x + x + x − x − x − x =
w p_ st p_ sl p p_ st p_
sl
ji , ji , ji , i, j i, j i, j
0
j∈W1 j∈W2∧i≠ j j∈W2∧i≠ j j∈W3 j∈W2∧i≠ j j∈W2∧i≠
j
Λ x − x = 0
i, jkmW , , ∈ 2∧i≠ j≠k≠m∧( i, j) ∈L2∧( km , ) ∈L2∧ ni= n k∧ nj=
n m,
p_
st p_
st
i, j k,
m
p_
sl p_
sl
Λ xi, j
− xk,
m
= 0
i, jkmW , , ∈ ( , ) ( , )
,
2
∧i≠j≠k≠m∧ i j∈L 3
∧ km∈L 3
∧ n
i
= n ∧ n
k j
= nm
(, i j)
∈L
w p_
st p_
sl p
i, j i, j i, j i,
j
(3.8)
(3.9)
Λ x , x , x , x ∈ {0,1}
(3.10)
W powyższym sformułowaniu ograniczenie (3.5) zapewnia pojazd trakcyjny do obsługi
każdego pociągu ze zboru W 2 . Ograniczenie (3.6) jest klasycznym ograniczeniem na
zachowanie przepływu w wierzchołku i∈W 2 . Ograniczenia (3.7) oraz (3.8) są ograniczeniami
na zgodność przejść w mini– obiegach. Ograniczenia (3.9) definiują dziedzinę zmiennych
decyzyjnych.
Po uzyskaniu w fazie I metody rozwiązania przedstawionego modelu, na podstawie
p_
st
uzyskanych wartości zmiennych decyzyjnych x
i,
j tworzone są pierwsze grupy
wierzchołków należących do zbioru W 2 .

18
Tomasz Ambroziak, Renata Piętka
4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE
Przedmiotem rozważań w dalszych badaniach będą zagadnienia określone w fazach II
oraz III przedstawionych na schemacie metody rozwiązania.
W fazie II formułowane i rozwiązywane będzie zadanie optymalizacyjne z fazy I
uzupełnione o ograniczenia:
Λ x + x ≤
i∈W2
∧i≠
j
∑ ∑ (3.11)
p_
st p_
st
ji , ji ,
1
j∈W1 j∈W2∧i≠
j
zapewniające, że mini – obieg rozpoczynać i kończyć się będzie w bazie. Sformułowanie
adekwatnego do sytuacji zadania optymalizacyjnego
p_
st
Po uzyskaniu w fazie II wartości zmiennych decyzyjnych x
i,
j przeprowadzany jest
kolejny etap grupowania wierzchołków należących do zbioru W 2 .
W fazie III zadanie optymalizacyjne z fazy I uzupełniane jest o ograniczenia
zapewniające, że „długość” mini-obiegu wyrażona w godzinach, bądź kilometrach nie
przekroczy maksymalnych wartości określonych dla wykonywania przeglądów kontrolnych
oraz obsługi taboru.
W wyniku rozwiązania zadania optymalizacyjnego fazy III metody, otrzymujemy
poszukiwany zbiór mini – obiegów, które następnie przypisane zostaną do pojazdów.
LITERATURA
[1] Ambroziak T, Piętka R.: Metoda wyznaczania suboptymalnych planów pracy pojazdów
(składów), Zeszyty Naukowe Politechniki Warszawskiej s. Transport, zeszyt 63, Warszawa
2007.
[2] Ambroziak T, Piętka R.: Metoda wyznaczania suboptymalnej organizacji przewozów
terminowych, Wybrane Zagadnienia Logistyki Stosowanej Rocznik 2005 PAN Kom.
Transportu.
[3] Cordeau J. F., Soumis F., Desrosiers J.: Simultaneous assignment of locomotives and cars to
passenger trains, Operations Research. Volume 49, Issue 4, July 2001.
[4] Ahuja R. K., Liu J., Orlin J. B., Sharma D., Shughart L..: Solving Real-Life Locomotive
Scheduling Problems, Working papers. Massachusetts Institute of Technology (MIT), Sloan
School of Management. (http://ideas.repec.org/s/mit/sloanp.html).
[5] Ziarati, K., Soumis F., Desrosiers J., Gelinas S., Saintonge A.: Locomotive assignment with
heterogeneous consists at CN North America, European Journal of Operational Research 97,
1997.
METHOD OF COMPUTER AIDED DETERMINING WORK SCHEDULES FOR TRACTION
VEHICLES
Abstract
The proposal of the method of the computer aid of marking the schedules of the work of traction
vehicles was introduced in the article. He became in the peculiarity introduced the mathematical model of the
question of the allotment of traction vehicles to realized transport tasks. Applying the method of so-called minicirculations
we get the schedules of the work of traction vehicles.
Keywords: railway transport; network optimization; train scheduling.
Recenzenci: Marianna Jacyna, Janusz Fijałkowski