Dyskretna transformata Fouriera - Fatcat

Sprawozdanie do laboratorium nr. 13
Dyskretna transformata Fouriera
Autor: Damian ̷Lapa
W ćwiczeniu mieliśmy zbadać dzia̷lanie transformaty Fouriera w procesie odszumiania
sygna̷lów. Podany by̷l sygna̷l w przestrzeni czasowej w poniższej postaci:
f k = sin(4k × 2π/N) + sin(12k × 2π/N)
Podane by̷ly dwie wartości N: 400 i 800. Przebieg ten wyglada ↩
tak, jak na rysunku:
(rys. 1)
Dyskretna ↩
transformate ↩
Fouriera tego sygna̷lu otrzymujemy ze wzoru:
F n =
N−1 ∑
k=0
f k exp(−2πink/N) n = 0, ..., N − 1
Poddajac ↩
przebieg sygna̷lu poczatkowego ↩
transformacie otrzymujemy wykres (rys. 2).
Widzimy na nim sk̷ladowe harmoniczne o dużej amplitudzie, które wystepuj ↩
a ↩
dla n
równego kolejno 4, 12, (N-1)-12 i (N-1)-4.

(rys. 2)
W kolejnym kroku dodaliśmy do przebiegu szumy otrzymujac ↩
przebieg:
f ′ k = f k + r k sin(100k × 2π/N) + s k sin(150k × 2π/N)
Wartości r k i s k generowane by̷ly z rozk̷ladem jednorodnym na przedziale [−1/4; +1/4],
dla każdego k. Konsekwencja ↩
dodania szumu jest zmiana przebiegu sygna̷lu w przestrzeni
czasowej, co zosta̷lo pokazane na rys. 3.
(rys. 3)

Po przeprowadzeniu transformaty zak̷lóconego sygna̷lu na pierwszy rzut oka nie widać
nic niepokojacego ↩
poza zmianami amplitud ”pierwotnych” harmonicznych. Jednak,
gdy popatrzymy na ca̷lość przez lupe ↩
widzimy dodane szumy, które nie wykazuja ↩
żadnej
regularności.
Szumy w powi ↩
ekszeniu:
(rys. 4)
(rys. 5)
Sygna̷l odszumiamy zeruj ↩
ac wartości F ′ n dla 99 < n < N −99. Pozbywamy si ↩
e tym sposobem
szumu z cz ↩
eści transformaty. Nast ↩
epnie w celu powrotu do przestrzeni czasowej

stosujemy transformacje ↩
odwrotna:
↩
f k = 1 N
N−1 ∑
n=0
F n exp(2πink/N)
Jak widać na rys. 6 sygna̷l z szumami po powrocie do przestrzeni czasowej nie jest idealny.
Wykazuje pewne zmiekszta̷lcenia. Ca̷lość potwierdza przebieg różnicy pomiedzy
↩
przebiegiem poczatkowym, ↩
a tym po odszumieniu (kolor niebieski na wykresie, jak
również w powiekszeniu ↩
na rys. 7).
(rys.6)
(rys.7)
Różnice w stosunku do amplitudy sygna̷lu pierwotnego (1.5) s ↩
a jednak dość znaczne.
Maksymalna wynosi prawie -0.25, co stanowi prawie 17% amplitudy. Gdy rozszerzymy

przedzia̷l odszumiany różnice staja ↩
sie ↩
mniejsze i bardziej p̷lynne (rys. 8), w przeciwnym
wypadku nastepuje ↩
wzrost tej różnicy (rys. 9).
(rys. 8) (rys. 9)
Sama transformacja w obie strony sygna̷lu także nie jest bezstratna. Być może jest
to skutek faktu, że do uzyskania wykresu braliśmy tylko cześć ↩
rzeczywista ↩
transformaty
odwrotnej, jak również skończonej dok̷ladności obliczeniowej komputera, jednakże
różnice sa ↩
znikome - maksymalnie rzedu ↩
1e-4 (rys. 10).
(rys. 10)
W przypadku przyjecia ↩
do obliczeń N równego 800 (800/400 = m = 2) przebieg
czasowy sie ↩
nie zmienia, poza faktem dwukrotnego wzrostu ilości punktów. Amplituda
pierwotnych harmonicznych na wykresie transformaty wzrasta czterokrotnie, czyli jak
m 2 (sprawdzi̷lem to również dla N równego 1200 i 1600). Ich wystepowanie ↩
pozostaje
bez zmian: g̷lówne dla n równego 4, 12, (N-1)-12 i (N-1)-4. Amplituda szumów na
wykresie transformaty wzrasta oko̷lo dwa razy. Amplituda b̷l edów ↩
pozostaje mniej
wiecej ↩
na tym samym poziomie.