Sveučilište u Zagrebu Ekonomski fakultet

Predavanje_1
Modeliranje
financijskih serija
prof.dr.sc. Nataša Erjavec
nerjavec@efzg.hr
&
Saša Jakšić, univ. spec. oec.
sjaksic@efzg.hr
1

Konzultacije
Ponedjeljak: 10 -12
Utorak: 17 - 18

Literatura:
Brooks, C. (2002). Introductory Econometrics for
Finance, Cambridge University Press; 2nd edition,UK.
Bahovec, V. i Erjavec N. (2009). Uvod u
ekonometrijsku analizu, Element, Zagreb
4

Dodatna literatura:
Alexander, C.(2001). Market Models: A Guide to
Financial Data Analysis, John Wiley & Sons;
Chichester, UK.
Tsay, R. S. (2001). Analysis of Financial Time series,
Wiley and Sons, Chichester, UK.
Mills, T.C. (1999). The Econometric Modelling of
Financial Time Series, Cambridge University Press;
2nd edition, UK
5

Nastavne metode i ispit:
Predavanja i vježbe
Ispit
I mogućnost - tijekom nastave dva kolokvija
• I kolokvij - 9.4.2013.
• II kolokvij – 28.5.2013.
II mogućnost - pisani i usmeni ispit

Dijagram toka ekonometrijskog modela
1. Razumijevanje financijske teorije
2. Definiranje modela kojeg je moguće procijeniti
3. Prikupljanje podataka
4. Procjena modela
5. Dijagnostika modela (ocjena kakvoće dobivenih rezultata)
Zadovoljavajuća
Interpretacija rezultata
Nezadovoljavajuća
Modifikacija metoda statističke analize
Prikupljanje “boljih podataka”
Modifikacija modela
Posljedice na teoriju
7

Podaci financijskih varijabli
Financijske varijable koje se najčešće analiziraju?
Cijene – cijene dionica, indeksi cijena, tečajevi
Prinosi – prinosi dionica, indeksi prinosa, kamatne stope
Volatilnost (rizičnost)
Obujam prometa
Varijable u korporativnim financijama
• Izdavanje dužničkih vrijednosnih papira, primjena hedging instrumenata
8

Vremenski nizovi
Vremenski niz je kronološki uređen niz vrijednosti
varijable koja predočuje neku pojavu ili statistički
proces u vremenu.
Veličine koje tvore niz nazivaju se frekvencijama, a u
pravilu se odnose na jednake vremenske intervale ili
jednako udaljene vremenske točke;
y 1, y2,...,
y n
9

Vremenski nizovi
Primjeri analiza koje je moguće provesti na temelju
regresijskog modela vremenskih serija:
Kako se vrijednost dionica neke zemlje mijenja
obzirom na makroekonomske varijable i ekonomsku
politiku zemlje?
Kako na prinos dionica određene kompanije utječe
najava isplate dividendi?
Utjecaj povećanja vrijednosti valute određene zemlje
na njenu kamatnu stopu.
10

Cross Sectional Data
(prostorni modeli)
Cross-sectional data su podaci o vrijednosti jedne ili
više pojava (varijabli) u jednom vremenskom
intervalu ili vremenskoj točki, a odnose se na više
subjekata (prostornih jedinica, firmi, zemalja)
Npr. uzorak vrijednosti kamatnih stopa banaka za
određeni period
prostorni ekonometrijski modeli
11

Cross Sectional Data
(prostorni modeli)
Primjeri analiza u kojima se koriste prostorni modeli
(Cross-Sectional Regression):
• Povezanost između veličine kompanije i prinosa na
investicije u dionice kompanije
• Veza između GDP određene zemlje i vjerojatnosti
da će vlada podmiriti inozemna dugovanja
12

Panel podaci (panel data)
Panel podaci su kombinacija vremenskih
nizova i “cross-sectional” podataka
Npr. dnevne cijene i broj “blue chip”
dionica tijekom dvije godine
13

Nizovi financijskih podataka
Uzorci podataka
• Npr. makroekonomske analize - nedovoljan
broj podataka
• Financijska ekonomija – prevelik broj podataka,
čak i u malim uzorcima veliki utjecaj slučajne
pogreške (signal to noise problem)
14

Nizovi financijskih podataka
Vremenska skala:
• Ekonomski podaci dobivaju se najčešće u regularnim
vremenskim intervalima (točkama)
• Financijski podaci su najčešće real-time ili tick-by-tick
(npr. bilježe svaku promjenu cijene dionice na burzi,
neregularni intervali trgovanja)
15

Nizovi financijskih podataka
Financijski podaci imaju određena (specifična) svojstva
koja utječu na odabir i primjenu statističkih metoda u
empirijskim istraživanjima
• Netipične vrijednosti (outliers)
• Trendovi (trends)
• ''Vraćanje'' na prosječnu razinu (mean-reversion)
• Grupiranje volatilnosti (volatility clustering)
16

Netipične vrijednosti
17

Trend
18

Više trendova
19

Mean-reversion + netipične vrijednosti
20

Mean-Reversion (više)
21

Grupiranje volatilnosti
(Volatility Clustering)
22

Dinamika prinosa
Indeks američkog
dioničkog tržišta S&P-500
23

Osnovna statistička analiza podataka
(deskriptivna statistika)
Svaka empirijska analiza započinje
deskriptivnom analizom
vizualna analiza podataka (npr. grafički
prikazi)
sumiranje svojstava nizova podataka
istraživanje povezanosti među nizovima
24

Osnovna statistička analiza podataka
(deskriptivna statistika)
Najbolje analitičke tehnike su naše oči i
zdrav razum
• Mana kompjutora “Garbage in - garbage out”
25

Osnovna statistička analiza podataka
(deskriptivna statistika)
Analiza grafičkih prikaza
Trendovi ili “mean reversion”
Grupiranje volatilnosti (“volatility clusters”)
“ključne opservacije”
Netipične vrijednosti (outliers)
Pogreške u podacima?
Točke obrata
• Promjena režima (regime changes)
26

Osnovna statistička analiza podataka
(deskriptivna statistika)
Osnovni statistički pokazatelji (Summary statistics)
Prosječne vrijednosti varijabli
• Prosječna vrijednost, median, mod
Varijabilnost (disperzija) podataka obzirom na mjere
centralne tendencije
• Standardna devijacija,varijanca, maximum/minimum
Distribucija podataka
Skewness, kurtosis
Broj opservacija, broj nedostajućih opservacija
27

Osnovna statistička analiza podataka
(deskriptivna statistika)
Kako najčešće žalimo “objasniti” jednu
varijablu drugom
• “obujam prometa protrgovanih dionica ovisi
(pozitivno) o volatilnosti”
relacije između varijabli su bitne
• grafički prikazi (poligon frekvencija, histogram)
• korelogrami (korelacije, kovarijance)
28

Osnovne transformacije podataka
Logritmiranje (ln)
Izračunavanje prinosa
Desezoniranje (seasonally adjusting)
Centriranje (De-meaning)
Uklanjanje trenda (De-trending)
Pomaci varijabli (vrijednosti), unazad
(lagging) i unaprijed (leading)
29

Prinosi i logaritamski prinosi
Predavanje 1
30

Prinosi i logaritamski prinosi
Statistička analiza cijena (financijskih
varijabli) često je veoma zahtjevna,
budući da su cijene u uzastopnim
razdobljima:
• korelirane i
• varijanca ''cijena'' često raste s vremenom.
U empirijskim istraživanjima najčešće
se analiziraju promjene u cijenama.
31

Prinosi i logaritamski prinosi
Promjene u cijenama mogu se izraziti kao:
Diskretni, aritmetički, jednostavni prinosi (simple
returns)
Kontinuirani, složeni, geometrijski, logaritamski
prinosi (compound returns)
32

Jednostavni prinosi
R
pri čemu je:
R t
prinos u vremenu t
p t
cijena imovine na dan t
t
p
t
p
t
p
1
t
1
100%
Napomena: Isplata dividendi se zanemaruje ili
alternativno, pretpostavlja se da je niz cijena prilagođen
odzirom na isplatu dividende.
33

Primjer: Godišnji jednostavni prinosi
R
T
p
T
p
0
p
100%
p T
i p 0
su cijene imovine u prvom i posljednjem danu
trgovanja u godini.
0
R
T
p
p
T
0
1
100%
p
p
T
T
1
p
p
T
T
1
2
p
p
T
T
2
3
p
p
1
0
1
100%
t
T
p
p
t
1 t 1
1
100%
34

Logaritamski prinosi
r
t
ln
p
t
ln
p
t
1
100%
ln
p
p
t
t
1
100%
r t
je prinos u vremenu t
p t
je cijena imovine na dan t i
ln – logaritam s bazom e
35

Primjer: Godišnji logaritamski prinosi
r
t
ln
p
T
ln
p
0
100%
ln
p
p
T
0
100%
p T
i p 0
su cijene imovine u prvom i
posljednjem danu trgovanja u godini.
36

T
se može zapisati:
r
ln
p
T
ln
p
0
ln
p
p
T
0
ln
p
p
T
T
1
p
p
T
T
1
2
p
p
T
T
2
3
p
p
1
0
ln
t
T
p
p
t
1 t 1
ln
p
p
T
T
1
ln
p
p
T
T
1
2
ln
p
p
1
0
r
r
T
r
T
1
...
r
1
T
t 1
r
t
tj. godišnji logaritamski prinosi jednaki su sumi dnevnih
jednostavnih prinosa
svojstvo agregiranja (kumulativnosti):
37

Primjer: Godišnji logaritamski prinosi
Analogno:...unutar k vremenskih
razdoblja vrijedi:
k
1
r
t
k
r
t
r
t
1
...
r
t
k
1
i
0
r
t
i
38

Prednosti logaritamskih prinosa
interpretiraju se kao kontinuirani složeni prinosi
svojstvo aditivnosti unutar vremenskog perioda
ne ovise o frekvencijama prikupljanja podataka
(time resolution)
prinosi unutar imovine (asset) mogu se
jednostavno uspoređivati
39

Nedostaci logaritamskih prinosa
Teorija portfolija (Markowitz) koristi činjenicu da se prinos
portfolija može zapisati kao ponderirana sredina
komponenti prinosa pojedine imovine.
Navedeno svojstvo vrijedi samo za jednostavne prinose, tj.
ali ne vrijedi za log-prinose,
N
i 1
tj. ln-prinosi nisu aditivni unutar portfolija
ln-sume nije suma-ln
R
pt
w
i
R
it

Distribucija prinosa
Ako su r t normalno distribuirani, cijene nikada neće biti
negativne.
U slučaju normalne distribuiranosti jednostavnih prinosa
R t može se dogoditi da cijene budu negativne, što je
ekonomski nesuvislo.
41

Distribucija jednostavnih prinosa
,
.
Primjer: Neka je
tada je
N(5;50
2
)
P
R t
R t
018
100 %
0,
jednostavni prinosi R t ne bi smjeli biti manji od - 100%.
Zašto?????
42

Distribucija jednostavnih prinosa
.
Naime, ako je R t < -100%, tada je:
R
t
p
t
p
p
p
t
t
t
1
p
1
t
1
100%
1 100% 100%
p
p
t
t
1
100 %
100 %
100 %
43

Obrazloženje:
p
p
t
t
1
0
cijene su negativne (omjer cijena)
S druge strane, ako je: N(5;50
)
2
P
R
t
R t
018
Rt
5 100 5
105
100 P
P Zt
P Zt
50 50
50
2,1
0,
44

Veza između jednostavnih i logaritamskih prinosa
r log 1
R
Taylorov razvoj:
r
R
1
2
R
2
1
3
R
3
Ako je R dovoljno malo:
r
R
Prema tome, za male vrijednosti jednostavnih prinosa,
mala je razlika između jednostavnih i logaritamskih
prinosa.
45

Veza između jednostavnih i logaritamskih prinosa
U praksi, to znači da ako je:
volatilnost cijena mala i
kratki intervali promatranja (time resolution is high)
logaritamski i jednostavni prinosi su približno
jednaki, ali......
povećanjem volatilnosti i povećanjem intervala
promatranja (manji time resolution) razlike postaju
veće.
46

Slika 1: Jednostavni i logaritamski godišnji prinosi Norveške i
Američke burze, u periodu 1970-2002.
47

Slika 1: Jednostavni i logaritamski godišnji prinosi Norveške i
Američke burze, u periodu 1970-2002.
Američka burza: sve točke leže na pravcu, mala razlika
između prinosa
Norveška burza: značajno odstupanje od pravca, razlike
između prinosa
Razlike proizlaze zbog razlika u godišnjoj volatilnosti na
ovim tržištima, koja je u analiziranom periodu bila 18% (za
Američko) i 44% (za Norveško)
48