RIJEÃ…Â ENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKEOvi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaš.Zadatke je izabrala, pripremila i riješila Ksenija Pukšec(demonstratorica iz matematike na EF).Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakić(demonstratorica iz matematike na EF).Tehničku realizaciju materijala u programskom paketu L A TEX napravio jeKrešimir Bokulić (demonstrator iz računarstva na PMF-MO).1

DERIVACIJE1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedećom funkcijomp(t) = 2.45 · (1 0.06t2)+ 2.86. Ispitajte dugoročno ponašanje cijene. (Uputa:treba računati limes funkcije kada t ide u beskonačnost.)Rješenje:Napomena:⎧⎪⎨ 0, a < 1limx→∞ ax = 1, a = 1⎪⎩∞, a > 1[lim 2.45 · ( 1 ] ( ) 0.06·∞ 1t→+∞ 2 )0.06t + 2.86 = + 2.86 =2( ) ∞ 1= 2.45 · + 2.86 = 2.45 · 0 + 2, 86 = 2.8622. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedećom funkcijomi(t) = 2.4e −0.02t + 3.56. Ispitajte dugoročno ponašanje inflacije. (Uputa:treba računati limes funkcije kada t ide u beskonačnost).Rješenje:limt→∞ (2.4e−0.002t + 3.56) = 2.4e −0.02·∞ + 3.56 == 2.4e −∞ + 3.56 = 3.562

3. Nadite asimptote funkcije f(x) = −3x + x.Rješenje:x ≠ 0D = R\{0}Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:lim f(x) = ∞x→a( ) −3limx→0 x + x = − 3 0 + 0 = ∞x = 0 ⇒ okomita asimptota.Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:lim f(x) = bx→∞( ) −3limx→∞ x + x = −3∞ + ∞ = ∞⇒ nema vodoravne asimptote.Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:limx→∞−3x+ xx−3+x 2xx→∞= limx1. limx→∞f(x)x= k2. limx→∞[f(x) − kx]= limx→∞−3 + x 2x 2= L ′ 2xH = limx→∞ 2x = 1 = k( ) ( )−3−3limx→∞ x + x − 1x = lim = − 3x→∞ x ∞ = 0 = l3

y = x ⇒ kosa asimptotay = kx + ly = 1 · x + 04

4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x 3 + x + 215Rješenje:f ′ (x) = (x 3 ) ′ + (x) ′ + (215) ′f ′ (x) = 3x 3−1 + 1 + 0f ′ (x) = 3x 2 + 15. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x2x+1 .Rješenje:y ′ = (x2 ) ′ (x + 1) − x 2 (x + 1) ′(x + 1) 2y ′ = 2x2−1 · (x + 1) − x 2 ((x) ′ + (1) ′ )(x + 1) 2y ′ = 2x · (x + 1) − x2 · (1 + 0)(x + 1) 2y ′ = 2x2 + 2x − x 2(x + 1) 2y ′ = x2 + 2x(x + 1) 25

6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)e xRješenje:y ′ = (x + 1) ′ e x + (x + 1)(e x ) ′y ′ = ((x) ′ + (1) ′ )e x + (x + 1)e xy ′ = (1 + 0)e x + (x + 1)e xy ′ = e x + (x + 1)e xy ′ = e x (x + 2)6

7. Nadi prvu derivaciju funkcije y = √ x 3 − 2 3 √x2 + 3 3 √ x −2xRješenje:y = x 3 2 − 2x23 + 3x13 − 2x−1y ′ = (x 3 2 ) ′ − (2x 2 3 ) ′ + (3x 1 3 ) ′ − (2x −1 ) ′y ′ = 3 2 x 3 2 −1 − 2 · (x 2 3 ) ′ + 3 · (x 1 3 ) ′ − 2 · (x −1 ) ′y ′ = 3 2 x 1 2 − 2 · 23 x 2 3 −1 + 3 · 13 x 1 3 −1 − 2 · (−1)x −1−1y ′ = 3 2 x 1 2 −43 x −13 + x −23 + 2x −27

8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3x xRješenje:y ′ = (3x ) ′ · x − 3 x (x) ′x 2y ′ = 3x ln3 · x − 3 x · 1x 2y ′ = 3x (xln3 − 1)x 28

9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b · 1x a , b ≠ 0, a > 0Rješenje:y = bx −ay ′ = (bx −a ) ′y ′ = b(x −a ) ′y ′ = b(−a)x −a−1y ′ = −abx −a−1y ′ 1= −ab ·x a+1y ′ = −abx a+19

10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x 2 ) 100 .Rješenje:f ′ (x) = [(1 + x 2 ) 100 ] ′f ′ (x) = 100(1 + x 2 ) 99 (1 + x 2 ) ′f ′ (x) = 100(1 + x 2 ) 99 · 2xf ′ (x) = 200x(1 + x 2 ) 9911. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = √ 1 − 3x 4 .Rješenje:f ′ 1(x) =2 √ 1 − 3x · (1 − 4 3x4 ) ′f ′ 1(x) =2 √ 1 − 3x · 4 (−12x3 )f ′ (x) =−6x3 √1 − 3x410

12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3 x2 .Rješenje:f ′ (x) = 3 x2 ln3 · (x 2 ) ′f ′ (x) = 3 x2 ln3 · 2x13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 4 √ 1−x 3 .Rješenje:f ′ (x) = 4 √ 1−x 3 ln4 · ( √ 1 − x 3 ) ′f ′ (x) = 4 √ 1−x 13ln4 ·2 √ 1 − x · (1 − 3 x3 ) ′f ′ (x) = 4 √ 1−x 3 ln4 ·12 √ 1 − x 3 · (−3x2 )11

√ 1−x14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e x+1 .Rješenje:√f ′ 1−x(x) = e x+1 ·√√f ′ 1−x(x) = e x+11 − x · (x + 1 )′√f ′ 1−x(x) = e x+1 ·1√21−xx+1f ′ (x) = ef ′ (x) =f ′ (x) =1√21−xx+1· ( 1 − xx + 1 )′· (1 − x)′ · (x + 1) − (1 − x) · (x + 1) ′(x + 1) 2√ 1−xx+1 ·1√2−e√1−xx+11−xx+1·√ 1−xx+1· (x + 1)2√ 1−x−2(x + 1) 2−e x+1√ 31 − x · (x + 1) 2f ′ (x) =√ 1−x−e x+1√ √1 − x · (x + 1)3f ′ (x) =√ 1−x−e x+1√ √ 1 − x · (x + 1) · x + 1f ′ (x) =f ′ (x) =−e√ 1−xx+1(x + 1) · √(1− x)(x + 1)−e√ 1−xx+1(x + 1) · √1− x 212

15. Koristeći definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) = √ 2x + 1 utočki x 0 = 4.Rješenje:limh→0f ′ f(x + h) − f(x)(x) = lim√ h→0√h2(x + h) + 1 − 2x + 1·h=√2(x + h) + 1 +√ 2x + 1√2(x + h) + 1 +√ 2x + 1== limh→02(x + h) + 1 − (2x + 1)h( √ 2x + 2h + 1 + √ 2x + 1) == limh→02x + 2h + 1 − 2x − 1h( √ 2x + 2h + 1 + √ 2x + 1) =2= lim √ √ =h→0 2x + 2h + 1 + 2x + 12√ 2x + 2 · 0 + 1 +√ 2x + 1=f ′ (4) =1√ = √ 1 = 1 2 · 4 + 1 9 322 √ 2x + 1 = 1√ 2x + 113

16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e −2x .Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uočite pravilo za računanjeslijedećih!Rješenje:y ′ = e −2x · (−2x) ′ = e −2x · −2 = −2e −2xy ′′ = (−2e −2x ) ′ = −2 · e −2x · (−2) = (−2) 2 e −2x = 2 2 · e −2xy ′′′ = ((−2) 2 · e −2x ) ′ = (−2) 2 · e −2x · (−2) = (−2) 3 · e −2xy ′′′′ = (−2) 3 e −2x · (−2) = (−2) 4 e −2x = 2 4 e −2x.y (100) = 2 100 · e −2x14

17. Za funkciju ukupnih troškova T (Q) = √ ln(3Q 2 ) odredite pripadnu funkcijugraničnih troškova.Rješenje:T ′ (Q) ==12 √ ln(3Q 2 ) · (ln(3Q2 )) ′ =12 √ ln(3Q 2 ) ·=12 √ ln(3Q 2 ) ·=13Q 2 · (3Q2 ) ′ =1Q √ ln(3Q 2 )13Q 2 · 6Q =15

18. Primjenom diferencijala približno izračunajte 1.001 10 .Rješenje:Tražimo ono što lako izračunamo, a da približno bude jednako.1 10 , bazu smo promijenili, ono što smo promijenili označimo s x.x = 1∆x = 0.001 = dxx + ∆x = 1 + 0.001 = 1.001y = x 10y ′ = 10x 9y(x + ∆x) ≈ y(x) + y ′ (x) · dxy(1 + 0.001) ≈ y(1) + y ′ (1) · dxy(1.001) ≈ 1 10 + 10 · 1 9 · 0.001y(1.001) ≈ 1.0116

19. Izračunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) = √ L, te relativnu pogrešku,ako je L = 0, ∆L = 0.001.Rješenje:Prirast funkcije:Diferencijal funkcije:∆y = y(x + ∆x) − y(x)∆Q = Q(L + ∆L) − Q(L)∆Q = Q(9.001) − Q(9)∆Q = √ 9.001 − √ 9∆Q = 0.000166662Relativna pogreška:dy = y ′ (x) · dxdL = ∆L = 0.001dQ = Q ′ (L) · dL = 12 √ L · dL = 12 √ 9 · 0.001dQ = 0.000166667∆Q − dQ∆Q· 100 =∆y − dy· 100∆y0.000166662 − 0.0001666670.000166662· 100 = −0.003000084%17

20. Odredite jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f(x) = 84+x 2 u točkis apscisom 2.Rješenje:t . . . y − f(x 0 ) = f ′ (x 0 )(x − x 0 ), T (x 0 , f(x 0 ))n . . . y − f(x 0 ) =−1f ′ (x 0 ) (x − x 0), T (x 0 , f(x 0 ))T (x 0 , f(x 0 ))T (2, f(2)) = T (2, 1)f(2) = 84 + x = 82 4 + 4 = 1f ′ 8= ( = −16x4 + x 2)′ (4 + x 2 ) 2f ′ (2) = −16 · 2(4 + 4) = −12 2t . . . y − 1 = −1 (x − 2)2y − 1 = −12 x + 1y = −12 x + 2n . . . y = 2x + 218

21. Izračunaj:x − √ 2 − xlimx→1 x − 1Rješenje:x − √ 2 − xlimx→1 x − 1= 1 − √ 2 − 11 − 1= limx→1(x − √ 2 − x) ′(x − 1) ′ =1 − 12 √ 2−x= limx→1 1(= lim 1 +x→1= 1 +· (2 − x)′=)=12 √ 2 − x12 √ 2 − 1 = 1 + 1 2 = 3 2= 0 0 = L′ H =19

22. Odredite područje rasta i pada funkcije f(x) = −3x 4 + 6x 2 − 15.Rješenje:D = Rf ′ (x) = −12x 3 + 12x−12x 3 + 12x = 0−12x(x 2 − 1) = 0−12x = 0 ⇒ x = 0x 2 − 1 = 0 ⇒x = 1x = −1−∞, −1 -1, 0 0, 1 1, +∞f’(x) + - + -↗ ↙ ↗ ↙Npr: ako za interval < −∞, −1 > uzmemo točku -2, tada jef ′ (−2) = −12 · (−2) 3 + 12 · (−2) = 24.Funkcija pada na < −1, 0 >i < 1, +∞ >, a raste na < −∞, −1 > i < 0, 1 >.20

23. Odredite područja konveksnosti i konkavnosti funkcije y = xe x .Rješenje:D = Ry ′ = e x + xe x = e x (1 + x)y ′′ = e x (1 + x) + e x = e x (2 + x)e x (2 + x) = 0x = −2−∞, −2 −2, +∞y ′′ − +∩ ∪Funkcija je konkavna na < −∞, −2 >, a konveksna na < −2, +∞ >.21

24. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 6x 4 − 8x 3 − 10.Rješenje:D = Rf ′ (x) = 24x 3 − 24x 224x 3 − 24x 2 = 024x 2 (x − 1) = 024x 2 = 0 ⇒ x = 0x − 1 = 0 ⇒x = 1f ′′ (x) = 72x 2 − 48xf ′′ (0) = 0f ′′′ (x) = 144x − 48f ′′′ (0) = −48U x = 0 nema ekstrema.f ′′ (1) = 72 · 1 2 − 48 · 1f ′′ (1) = 24 > 0min(1, f(1))f(1) = 6 · 1 4 − 8 · 1 3 − 10 = −12min(1, −12)22

25. Izračunajte maksimum funkije dobiti ako je zadana funkcija ukupnih troškovaC(Q) = Q 3 − 6Q 2 + 140Q + 750 i funkcija ukupnih prihodaR(Q) = −7.5Q 2 + 1400Q, gdje je Q količina proizvodnje.Rješenje:D = Q ∈ [0, +∞ >D(Q) = R(Q) − C(Q)D(Q) = −7.5Q 2 + 1400Q − (Q 3 − 6Q 2 + 140Q + 750)D(Q) = −Q 3 − 1.5Q 2 + 1260Q − 750D ′ (Q) = −3Q 2 − 3Q + 1260Q 1,2 = −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · (−3) · 12602 · (−3)Q 1 = 20D ′′ (Q) = −6Q − 3D ′′ (20) = −6 · 20 − 3 = −123 < 0max(20, D(20))D(20) = 15850max(20, 15850)23

26. Pronadite minimum funkcije prosječnih troškova ako su ukupni troškoviT (Q) = 4Q 2 + 112Q + 100, gdje je Q količina proizvodnje.Rješenje:D = Q ∈ [0, +∞ >A(Q) = T (Q)Q = 4Q2 + 112Q + 100QA(Q) = 4Q2Q + 112QQ + 100QA(Q) = 4Q + 112 + 100QA ′ (Q) = 4 − 100Q 24 − 100Q = 0 2Q = 5A ′′ (Q) = 200Q 3A ′′ (5) = 200125 > 0min(5, A(5))A(5) = 152min(5, 152)24

27. Zadana je funkcija prosječnih prihoda AR(Q) = −Q+200, gdje je Q količinaproizvodnje.Izračunajte maksimum funkcije ukupnih prihoda.Rješenje:D = Q ∈ [0, +∞ >R(Q) = AR(Q) · QR(Q) = (−Q + 200) · Q = −Q 2 + 200QR ′ (Q) = −2Q + 200−2Q + 200 = 0Q = 100R ′′ (Q) = −2 < 0R(100) = 10000max(100, 10000)25

28. Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosječnih troškovaP (Q) = 460 − 3200100Q, T (Q) = 2 +Q .Za koji opseg proizvodnje Q se ostvaruje najveća dobit i koliko ona iznosi?Koliki su tada ukupni prihodi i troškovi?Rješenje:D(Q) = P (Q) − T (Q)T (Q) = T (Q) · QT (Q) = (2 + 100 ) · Q = 2Q + 100QD(Q) = 460 − 3200Q− (2Q + 100)D(Q) = 360 − 3200Q− 2QD ′ (Q) = 3200 − 2Q 23200− 2 = 0 ⇒ Q = 40Q 2D ′′ (Q) = −6400Q 3D ′′ (40) = −0.1 < 0 ⇒ max(40, D(40))D(40) = 200, max(40, 200)P (40) = 380T (40) = 18026

29. Odredite domenu i točke infleksije funkcije f(x) = 1 2 x2 + lnx.Rješenje:x > 0D = x ∈< 0, +∞ >f ′ (x) = x + 1 xf ′′ (x) = 1 − 1 x 21 − 1 x 2 = 0 ⇒x 1 = 1f ′′′ (x) = 2x −3f ′′′ (1) = 2 · 1 −3 = 2 ≠ 0I(1, f(1))f(1) = 1 2 · 12 + ln1 = 1 2 + 0 = 1 2I(1, 1 2 )27

30. Zadana je funkcija troškova T (Q) = Q 3 − 2Q, gdje je Q količinaproizvodnje. Izračunajte koeficijent elastičnosti troškova u odnosu na proizvodnjuna nivou proizvodnje Q=2. Interpretirajte rezultat.Rješenje:=E T,Q = Q T · T ′ Q=Q 3 − 2Q · (Q3 − 2Q) ′ =QQ 3 − 2Q · Q(3Q2 − 2) =Q(Q 2 − 2) (3Q2 − 2) == 3Q2 − 2Q 2 − 2E T,Q (2) = 3 · 22 − 22 2 − 2 = 5Kada Q na nivou Q=2 povećamo za 1%, onda će se T povećati za 5%.28

31. Odredite područja elastičnosti i neelastičnosti funkcije potražnjeu odnosu na cijenu p.Rješenje:q(p) = 95003p 2 + 675E q,p = p q · q′ =D . . . 3p 2 + 675 ≠ 03p 2 ≠ −675 ⇒ uvijekp95003p 2 +675|E g,p | = | −p ≥ 0q ≥ 0( ) ′ 9500·= −6p23p 2 + 675 3p 2 + 6756p 23p 2 + 675 | = 6p 23p 2 + 6756p 23p 2 + 675 > 1/ · 3p2 + 6756p 2 > 3p 2 + 6753p 2 > 675/ : 3p 2 > 225p > 15P el =< 15, +∞ >P neel =< 0, 15 >29

32. Ispitajte homogenost funkcije √f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 · x 2 · ln x 1+x 2x 2 +x 3.Rješenje:√f(λx 1 , λx 2 , λx 3 ) = λx 1 · λx 2 · ln λx 1 + λx 2=λx 2 + λx√3= λ 2 x 1 · x 3 · ln λ(x 1 + x 2 )λ(x 2 + x 3 ) =√= λ 2 · x 1 · x 3 · ln x 1 + x 2=x 2 + x 3= λ 2 · f(x 1 , x 2 , x 3 )Funkcija je homogena stupnja α = 2.30

33. Ispitajte homogenost funkcije f(x, y) = √ x · y 2 .Rješenje:f(λx, λy) = √ λx · (λy) 2 = √ λ · √x · λ 2 · y 2 =√= λ 5 2 · x · y 2 = λ 5 2 · f(x, y)Funkcija je homogena stupnja α = 5 2 .31

34. Ispitajte homogenost funkcijef(x, y) = log 3x2 + 2y 2xyRješenje:f(λx, λy) = log 3(λx)2 + 2(λy) 2=λxλy= log 3λ2 x 2 + 2λ 2 y 2=λ 2 xy= log λ2 (3x 2 + 2y 2 )= log 3x2 + 2y 2= f(x, y) =λ 2 xyxy= λ 0 · f(x, y)Funkcija je homogena stupnja α = 0.32

35. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.6L 1 2C t , gdjeje L količina rada, a C količina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju rastući prinosi u proizvodnji.Rješenje:Q(λL, λC) = 3.6(λL) 1 2 (λC) t = 3.6λ 1 2 L12 λ t C t == λ 1 2 +t 3.6L 1 2 C t = λ 1 2 +t Q(LC)12 + t > 1t > 1 − 1 2t > 1 2t ∈< 1 2 , +∞ >Napomena:α > 1 ⇒ prinosi su rastući.α = 1 ⇒ prinosi su konstantni.α < 1 ⇒ prinosi su opadajući.33

36. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.5L t C 1 4, gdjeje L količina rada, a C količina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju opadajući prinosi u proizvodnji.Rješenje:Q(λL, λC) = 2.5(λL) t (λC) 1 4 = 2.5λ t L t λ 1 4 C14 == λ t+ 1 4 2.5L t C 1 4 = λt+ 1 4 Q(LC)t + 1 4 < 1t < 1 − 1 4t < 3 4t ∈< −∞, 3 4 >34

37. Kako se promijeni vrijednost funkcije√x √ y + z + y √ z + vf(x, y, z, v) =x + 2y + 3z + 4vako sve varijable istovremeno:a) povećamo 256 puta?b) smanjimo za 34.39%?Rješenje:a)=f(λx, λy, λz, λv) = λ α f(x, y, z, v)f(256x, 256y, 256z, 256v) = 256 α f(x, y, z, v)√λx √ λy + λz + λy √ λz + λvf(λx, λy, λz, λv) ==λx + 2λy + 3λz + 4λv√λx √ λy + λz + λy √ √λz + λv λ 3 2(x √ y + z + y √ z + v)=λ(x + 2y + 3z + 4v) λ(x + 2y + 3z + 4v)= λ 1 4 · f(x, y, z, v)=f(256x, 256y, 256z, 256v) = 256 1 4 f(x, y, z, v)f(256x, 256y, 256z, 256v) = 4f(x, y, z, v)Kada sve varijable istovremeno povećamo 256 puta tada će se vrijednostfunkcije povećati 4 puta.35

)x → x − 34.39 x = x(1 − 0.3439) = 0.6561x100f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.6561 1 4 f(x, y, z, v)f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.9f(x, y, z, v)Ako sve varijable istovremeno smanjimo za neki postotak p tada će se vrijednostfunkcije smanjiti za 100(1 − λ α )%.100(1 − λ α )% = 100(1 − 0.9)% = 10%Kada sve varijable istovremeno smanjimo za 34,39% tada će se funkcijasmanjiti za 10%.36

38. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x 2 + xy + √ y.Rješenje:f x = (3x 2 ) ′ + (xy) ′ + ( √ y) ′ == 3 · (x 2 ) ′ + y · (x) ′ + 0 == 3 · 2x 2−1 + y · 1 = 6x + yf y = (3x 2 ) ′ + (xy) ′ + ( √ y) ′ == 0 + x · (y) ′ + 12 √ y == x · 1 + 12 √ y = x + 12 √ y37

39. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y, z) = e 2xz − ln(yz) + 1.Rješenje:f x = e 2xz · (2xz) ′ − 0 + 0 == e 2xz · 2z · (x) ′ = e 2xz · 2z · 1 = 2ze 2xzf y = 0 − 1yz · (yz)′ + 0 = − 1yz · z · (y)′ == − 1yz · z = −1 yf z = e 2xz · (2xz) ′ − 1yz · (yz)′ + 0 == e 2xz · 2x · (z) ′ − 1yz · y · (z)′ == e 2xz · 2x · 1 − 1yz · y · 1 == 2xe 2xz − 1 z38

40. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2x−yx+y .Rješenje:u x = (2x − y)′ · (x + y) − (2x − y) · (x + y) ′=(x + y) 22(x + y) − (2x − y) 3y= =(x + y) 2 (x + y) 2u y = (2x − y)′ · (x + y) − (2x − y) · (x + y) ′=(x + y) 2−1 · (x + y) − (2x − y) · 1 3x= =(x + y) 2 (x + y) 239

41. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = x y .Rješenje:f x = yx y−1f y = x y lnx42. Nadi sve prve i druge parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = y 2 2 x .Rješenje:z x = y 2 · 2 x ln2z y = 2 x · 2y = y · 2 x+1z xx = y 2 · ln2 · 2 x ln2 = y 2 (ln2) 2 · 2 xz xy = 2 x ln2 · 2y = y · 2 x+1 ln2z yx = y · 2 x+1 ln2 · 1 = y · 2 x+1 ln2z yy = 2 x+1 · 1 = 2 x+140

43. Za funkciju f(x, y, z) = z · y x izračunajteRješenje:d 3 fdxdydz .f z = y x · 1 = y xf zy = xy x−1f zyx = 1 · y x−1 + x · y x−1 lny · 1 == y x−1 + x · y x−1 lny = y x−1 (1 + xlny) = f xyz41

44. Izračunajte koeficijente parcijalne elastičnosti funkcije f(x, y) = √ x − y 2 uodnosu na varijable x i y te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3.Rješenje:E f,x = x f · f x =x√x − y2 ·E f,x (25, 3) =12 √ x − y · (1 − 0) = x2252 · (25 − 9) = 25322(x − y 2 )Kada x na nivou 25 (y ostaje konstantno) povećamo za 1% onda ćefunkcijska vrijednost porasti za 2532 %.E f,y = y f · f y =y√x − y2 ·E f,y (25, 3) =12 √ −y2· (0 − 2y) =x − y2 x − y 2−925 − 9 = −916Kada y na nivou 3 (x ostaje konstantno) povećamo za 1% onda će funkcijskavrijednost pasti za 9 16 %. 42

45. Zadana je funkcija potražnje robe A, q 1 (p 1 , p 2 ) = 3p −11 lnp 2, gdje su p 1cijena robe A i p 2 cijena robe B. Odredite koeficijente parcijalne i ukršteneelastičnosti te interpretirajte dobivene rezultate.Rješenje:E g1 ,p 1= p 1q 1· q 1p1 =p 13p −11 lnp 2· −3lnp 2p 2 1= −1Kada p 1 povećamo za 1% (p 2 ostaje konstantno) tada će se q 1 smanjiti za1%.E g1 ,p 2= p 2q 1· q 1p2 =p 23p −11 lnp 2· 3p −111= 1p 2 lnp 2Kada p 2 povećamo za 1% (p 1 ostaje konstantno) tada će se q 1 povećati za1lnp 2% jer je lnp 2 > 0 zbog q 1 > 0 pa su A i B supstituti.43

46. Za funkcijuf(x, y, z) = 3 √x 4 y 5z 2 , izračunajte xf x + yf y + zf z .Rješenje:xf x + yf y + zf z = α · ff(λx, λy, λz) = λ α f(x, y, z)√√ √(λx)f(λx, λy, λz) = 4 (λy) 53 = 3 λ4 x 4 λ 5 y 5= 3 λ9 x 4 y 5=(λz) 2 λ 2 z 2 λ 2 z 2= 3 √λ7 3 √x4 y 5z 2 = λ 7 3 · f(x, y, z)α = 7 3xf x + yf y + zf z = 7 3 · 3√x4 y 5z 244

47. Dana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.4L 1 4C 1 2, gdje je L količina rada, aC količina kapitala.Izračunajte zbroj parcijalnih elastičnosti funkcije proizvodnje u odnosu narad i kapital.Rješenje:E Q,L + E Q,C = αQ(λL, λC) = 3.4(λL) 1 4 (λC)12 = 3.4λ14 L14 λ12 C12 =λ 1 4 + 1 2 3.4L14 C12 = λ34 Q(L, C)E Q,L + E Q,C = 3 445

48. Dana je funkcija) −1t+1f(x, y, z) = t+1 √ zxy − ( 1zOdredite parametar t ∈ R, t ≠ −1, tako da zbroj svih parcijalnih elastičnostidane funkcije bude jednak nuli.Rješenje:E f,y + E f,y + E f,z = α ⇒ α = 0t ∈ R t.d. E f,y + E f,y + E f,z = 0f(λx, λy, λz) = λ α f(x, y, z)√ (λzλx 1f(λx, λy, λz) = t+1 λy − λz√ [zxy −= t+1 √λt+1= λ 1t+1(λ −1 ) −1t+1·( 1z) −1t+1) −1t+1=√ [ ( ) ]−1= λ 1t+1 t+1zx 1y − λ 1t+1t+1 · =z(√ ( ) )−1zx 1y − zt+1t+11t + 1 = 01 = 0 ⇒⇐]== λ 1t+1 f(x, y, z)(Ne postoji t ∈ R takav da je α = 0)̸ ∃t ∈ R t.d. α = 046

49. Funkcija potražnje za proizvodom A homogena je stupnja 1.1, te ovisi ocijeni proizvoda A i cijeni porizvoda B. Ako je koeficijent elastičnosti tefunkcije potražnje u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.4, izračunajtevrijednost koeficijenta elastičnosti te iste funkcije potražnje u odnosu na cijenuproizvoda B, te ga interpretirajte.Rješenje:α = 1.1E fA ,p A= −0.4E fA ,p B=?E fA ,p A+ E fA ,p B= α−0.4 + E fA ,p B= 1.1E fA ,p B= 1.1 + 0.4E fA ,p B= 1.5Kada p B povećamo za 1% (p A ostaje konstantno) tada će se f A povećati za1.5%.47

50. Izračunajte ekstreme funkcijef(x, y) = x 2 − 4x + 2y 2 − 8yRješenje:f x = 2x − 42x − 4 = 0x = 2f y = 4y − 84y − 8 = 0y = 2D 1 = f xxf xx = 2D 1 = 2 > 0D 2 = f xx f yy − fxy 2f yy = 4f xy = 0D 2 = 2 · 4 − 0 2D 2 = 8 > 0}D 1 > 0⇒ min(2, 2, f(2, 2))D 2 > 0f(2, 2) = 2 2 − 4 · 2 + 2 · 2 2 − 8 · 2 = −12min(2, 2, −12)48

51. Izračunajte ekstreme funkcijef(x, y) = e x2 +y 2 −4xRješenje:f x = e x2 +y 2 −4x · (2x − 4)e x2 +y 2 −4x · (2x − 4) = 02x − 4 = 0x = 2f y = e x2 +y 2 −4x · 2ye x2 +y 2 −4x · 2y = 02y = 0y = 0D 1 = f xxf xx = e x2 +y 2 −4x · (2x − 4) 2 + e x2 +y 2 −4x · 2f xx = e x2 +y 2 −4x [ (2x − 4) 2 + 2 ]f xx = 2e −4D 1 = 2e −4 > 0D 2 = f xx f yy − f 2 xyf yy = e x2 +y 2 −4x · 4y 2 + e x2 +y 2 −4x · 2f yy = e x2 +y 2 −4x (4y 2 + 2)f yy = 2e −449

f xy = (2x − 4) · e x2 +y 2 −4x · 2yf xy = 0D 2 = 2e −4 · 2e −4 − 0 2 = 4e −8 > 0}D 1 > 0⇒ min(2, 0, e −4 )D 2 > 050

52. Zadana je funkcija ukupnih prihodaP (Q 1 , Q 2 ) = −Q 2 1 − Q 2 2 + 18Q 1 + 14Q 2 − 5 i ukupnih troškovaT (Q 1 , Q 2 ) = 8Q 1 + 8Q 2 za dva proizvoda. Izračunajte maksimum funkcijedobiti.Rješenje:D(Q 1 , Q 2 ) = P (Q 1 , Q 2 ) − T (Q 1 , Q 2 )D(Q 1 , Q 2 ) = −Q 2 1 − Q 2 2 + 10Q 1 + 6Q 2 − 5D Q1 = −2Q 1 + 10−2Q 1 + 10 = 0Q 1 = 5D Q2 = −2Q 2 + 6−2Q 2 + 6 = 0Q 2 = 3D 1 = D Q1 Q 1D Q1 Q 1= −2D 1 = −2 < 0D 2 = D Q1 Q 1D Q2 Q 2− D 2 Q 1 Q 2D Q2 Q 2= −2D Q1 Q 2= 0D 2 = −2 · (−2) − 0 2 = 4 > 0}D 1 < 0⇒ max(5, 3, 29)D 2 > 051

53. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x 2 − xy + x 2 , uz uvjet x − 2y = 0.Rješenje:f(x, y) = x 2 − xy + y 2x − 2y = 0x = 2yf(y) = (2y) 2 − 2y · y + y 2f(y) = 4y 2 − 2y 2 + y 2f(y) = 3y 2f ′ (y) = 6y6y = 0y = 0 ⇒ x = 2yx = 2 · 0 ⇒ x = 0f ′′ (y) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))min(0, 0, f(0, 0))min(0, 0, 0)52

54. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x 2 − xy + y 2 , uz uvje x + y = 1.Rješenje:x + y = 1y = 1 − xf(x) = x 2 − x · (1 − x) + (1 − x) 2f(x) = x 2 − x + x 2 + 1 − 2x + x 2f(x) = 3x 2 − 3x + 1f ′ (x) = 6x − 36x − 3 = 06x = 3x = 1 2 ⇒ y = 1 − xy = 1 − 1 2 = 1 2f ′′ (x) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))( 1min2 , 1 ( 12 , f 2 , 1 2))( 1f2 , 1 ( ) 2 1= −2)1 2 2 · 1 ( 2 12 2) + = 1 4( 1f2 , 1 =2)1 4( 1min2 , 1 2 , 1 4)53

55. Odredite ekstreme funkcijef(x, y) = x 4 + y 4 , x > 0, y > 0 uz uvjet x 2 + y 2 = 8.Rješenje:y 2 = 8 − x 2f(x, y) = (x 2 ) 2 + (y 2 ) 2f(x) = (x 2 ) 2 + (8 − x 2 ) 2f(x) = x 4 + 64 − 16x 2 + x 4f(x) = 2x 4 − 16x 2 + 64f ′ (x) = 8x 3 − 32x8x 3 − 32x = 08x(x 2 − 4) = 08x = 0̸ x ≠ 0x 2 − 4 = 0x = 2̸ x = − ̸ 2y = √ 8 − x 2 = √ 8 − 4 = √ 4 = 2f ′′ (x) = 24x 2 − 32f ′′ (2) = 64 > 0min(2, 2, 32)54

56. Dane su funkcija ukupnih troškova T (L, C) = L + C i proizvodnjeQ(L, C) = √ LC, gdje je L količina rada, a C količina kapitala. Izračunajteminimum funkcije ukupnih troškova na nivou proizvodnje Q=4.Rješenje:√LC = 4/2LC = 16/ : LC = 16LT (L) = L + 16L = L + 16L−1T ′ (L) = 1 − 16L −21 − 16 = 0/ · L2L2 L 2 − 16 = 0L 2 = 16L 1 = 4̸ L̸2 = − ̸ 4C = 164 = 4T ′′ (L) = 32L −3T ′′ (4) = 0.5 > 0min(4, 4, 8)55

57. Dana je funkcija ukupnih troškova T (L, C) = L 2 − LC + C 2 i funkcijaproizvodnje Q(L, C) = LC, gdje je L rad, a C kapital. Nadite kombinacijurada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 1 ostvaruju minimalnitroškovi. Odredite minimalne troškove.Rješenje:Q(L, C) = LCLC = 1/ : LC = 1 LT (L) = L 2 − L · 1 ( ) 2 1L + = L 2 − 1 + L −2LT ′ (L) = 2L − 2L −32L − 2 = 0/ · L3L3 2L 4 − 2 = 02L 4 = 2L = ±1L ≥ 0L = 1T ′′ (L) = 2 + 6L −4T ′′ (1) = 2 + 6 · 1 −4 = 8 > 0min(1, 1, 1)56