Treca grupa zadataka iz kvantne fizike - phy

Treća grupa zadataka iz kvantne fizike
Prosinac 2007.
1. Čestica se giba u sfernosimetričnom potencijalu i opisana je valnom
funkcijom oblika
ψ(r) = CR(r) { sin θ cos φ + sin 2 θ cos φ }
Oredite normalizacijsku konstantu C, 〈L 2 〉 i 〈L z 〉. Pretpostavite da je
radijalni dio valne funkcije normiran.
2. Hamiltonianu H = p2
+ 1 2m 2 mω2 q 2 doda se interakcija oblika V (q).
Izračuajte egzaktno (bez računa smetnje) pomak energijskih nivoa za
slučaj
a) V (q) = αq 2
b)V (q) = βq
gdje su α i β su pozitivni realni brojevi.
3. Elektron se giba u potencijalu beskonačno duboke potencijalne jame
širine L. Opisan je valnom funkcijom oblika
〈x| ψ〉 = A sin 3 ( πx
L )
Odredite srednju energiju elaktrona E = 〈ψ |H| ψ〉 bez da upotrebite
integraciju u realnom prostoru. H je hamiltonov operator sistema.
4. Hamiltonov operator za sustav sa dva nivoa ima oblik
H = E 1 |1〉 〈1| + E 2 |2〉 〈2| + V |2〉 〈1| + V ∗ |1〉 〈2|
1

gdje konstante E 1 , E 2 i V imaju dimenziju energije. Odredite vlastita
stanja (linearne kombinacije |1〉 i |2〉) i vlastite energije sistama.
5. Promatramo trodimenzionalni Hilbertov prostor. Ako skup ortonormiranih
vektora (označimo ih ketovima {|1〉 , |2〉 , |3〉}) izaberemo kao bazu,
operatori A i B imaju formu
A =
B =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
a 0 0
0 −a 0
0 0 −a
b 0 0
0 0 −ib
0 ib 0
gdje su a i b ralni brojevi.
a) Očito da A posjeduje degenerirani spektar. Da li B posjeduje degenerirani
spektar?
b) Pokažite da A i B komutiraju.
c) Nadite novi skup ortonormiranih vektora koji su istovremeno vlastiti
vektori od A i B. Odredite vlastite vrijednosti od A i B pridružrne
novim vlastitim vektorima. Da li skup vlastitih vrijednosti pridružen
vlastitom vektoru od A i B jednoznačno odreduje stanje sistema opisano
tim vektorom.
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
2